- matemática - análise combinatória

Análise Combinatória

Objetivos da aula

• Princípio Fundamental da Contagem

• Arranjo Simples

• Permutações: simples e com repetição

• Combinação simples

Princípio Fundamental da Contagem

Vamos imaginar o caso de uma montadorade carros que dispõe de 5 cores (preto,vinho, azul, vermelho e prata) para fabricar3 modelos de carros diferentes (Sapoti, Figoe Amora).

Para saber quantos tipos de carrosdiferentes podem ser fabricados, bastacruzar cada cor, com cada tipo de carro.

Usando o esquema a seguir fica mais fácil!

Temos 15 diferentes tipos

de carro.


Princípio Fundamentalda contagem

Evento que depende de evento anterior

Tente fazer sozinho

1) Se jogarmos uma moeda

para o alto 3 vezes, quantas

sequências diferentespodemos obter?

Solução

Logo, temos 8 resultados diferentes

Fatorial de um número natural

Representamos o fatorial de umnúmero colocando um ponto deexclamação depois desse número (n!)

Exemplos:

4! 7! 20!

Cálculo do Fatorial

O fatorial de um número natural n édado pelo seguinte produto:

n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3). ... . 2.1

Exemplos:

• 4! = 4.3.2.1 = 24

• 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1= 3628800

O fatorial de zero é igual a 1

0! = 1

Tente fazer sozinho

2) Calcule:!6!15

!3!17

Solucão

15

34

4.5.6

16.17

!3.4.5.6!.15

!3.15.16.17

!3.4.5.6!.15

!3!.15.16.17

!6!15

!3!17

Tente fazer sozinho

3) (UEMG) Simplificando a expressão

, obtemos: !2

!1!

n

nn

1

1

1

1)

1)

n

nd)

n

nc)

nb

n

na

Solução

Letra D

1

1

!12

2!

!12

2!

!12

11!

!12

!1!

!2

!1!

nnnn

nn

nnn

nn

nnn

nn

nnn

nnn

n

nn

Arranjo Simples

O arranjo simples acontece quandofazemos qualquer agrupamento com todosou alguns elementos de um conjunto, cujaordem dos elementos é considerada.

Exemplo: Quantos números de 3 algarismosdistintos podemos formar com os algarismos2, 3, 4, 5 e 6.

= 60 números

5 4 3

Sendo: n número total de elementos do

conjunto p quantidade de algarismos pedida

!!

pn

nA

p

n

60!3

!3.4.5.6

!3

!6

!36

!63

6

A

Também podemos usar a fórmula dearranjo simples:



ArranjoSimples

Definição

Fórmula

Agrupamento de pelo menos 2 elementos

Importa a ordem


!!

pn

nA

p

n

Tente fazer sozinho4) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8 e 9. a)Quantos números de 3 algarismos

distintos podemos escrever?b)Quantos números de 4 algarismos

distintos que terminem com 7 podemos escrever?

c) Quantos números de 7 algarismos distintos que iniciem com 3 e terminem com 8 podemos escrever?

Tente fazer sozinho4) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8 e 9. a) Quantos números de 3 algarismos

distintos podemos escrever?b) Quantos números de 4 algarismos

distintos que terminem com 7 podemos escrever?

c) Quantos números de 7 algarismos distintos que iniciem com 3 e terminem com 8 podemos escrever?

Solução

a) = 504

b) = 336

c) = 840

9 8 7

8 7 6 1

7 6 5 41 1

7

83

PermutaçãoA permutação é um caso particular do

arranjo simples, pois acontece quandoagrupamos todos os elementos do conjuntodado.

Exemplo: dados 1, 2, 3, 4, 5, se queremosformar números de 3 algarismos, temos umcaso de arranjo. Se queremos formarnúmeros de 5 algarismos, temos um caso dearranjo, particularmente, a permutação.

Permutação Simples

A permutação simples acontece quando

fazemos qualquer agrupamento com todosos elementos de um conjunto.

Exemplo:

A palavra AMOR apresenta 4 letras e comelas, podemos formar alguns anagramas:

ROMA – MORA – ROAM - ARMO

Permutação Simples

Para calcular o número total deanagramas, podemos seguir o seguinteraciocínio:

= 24

Também podemos usar a fórmula de permutação simples: Pn = n!

P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24

4 3 2 1

Tente fazer sozinho5) (UF Pel. – RS Adaptado) Tomando

como base a palavra UFPEL, resolva as seguintes questões:

a)Quantos anagramas podemos formar?b)Quantos anagramas podemos formar,

de modo que comece e termine com vogal?

c)Quantos anagramas podemos formar, de modo que as letras UF apareçam sempre juntas?

Solução

a) = 120

b) = 12

c) = 6 ; 6 .4 = 24

= 2 ;

2 x 24 = 48

1 3 2 1

4 3 2 15

3 2 1 12

UF

2 1

Tente fazer sozinho6) (UNIRIO) Uma família formada por 3 adultose 2 crianças vai viajar, sendo 2 na frente e 3atrás. Sabendo-se que apenas 2 pessoaspodem dirigir e que as crianças devem ir atráse na janela, o número total de maneirasdiferentes através das quais estas 5 pessoaspodem ser posicionadas, não permitindo ascrianças irem no colo de ninguém, é igual a:

a) 120 b) 96 c) 48 d) 24 e) 8

Solução

= 82 2 2 1 1bancos

da frentebancosde trás

janelascarona

motorista

Permutação com Repetição

Caso o conjunto dado apresenteelementos repetidos, usaremos a seguintefórmula:

Sendo:n o número total de elementos

α, β, γ número que indica a quantidades de elementos repetidos de cada tipo.

!!!

!,,

n

Pn

Permutação com Repetição

Exemplo: A palavra ARARAQUARA apresenta

um total de 10 letras, sendo 5A, 3R, 1Q e 1U

50402.3!5

!5.6.7.8.9.10

2.3!5

!5.6.7.8.9.10

!3!5

!103,5

10

P

Tente fazer sozinho

7) Apresente a quantidadede anagramas da palavra

MISSISSIPI.

Solução MISSISSIPI: 10 letras, sendo1M, 4I, 4S, 1P

63002.3.4!4

!4.5.6.7.8.9.10

2.3.4!4

!4.5.6.7.8.9.10

!4!4

!104,4

10

P



ArranjoSimples

Definição

Fórmula


Importa a ordem

CasoParticular Permutação


!!

pn

nA

p

n

ArranjoSimples

Definição

Fórmula


Importa a ordem

PermutaçãoDefinição

TiposCom

repetição

simples

Agrupamento de todos elementos dados

P!

CasoParticular

característica

!!

pn

nA

p

n

!!!

!,,

n

Pn

Combinação SimplesA combinação simples acontece

quando agrupamos uma quantidade p deelementos de um conjunto com n elementos,sem importar a ordem que esses elementossão escolhidos. Exemplo: Se devemos sortear 3 pessoasdentre as 5 que se candidataram a umaviagem, não importa a ordem que as 3 serãoescolhidas, pois todas as 3 irão da mesmaforma.

Combinação SimplesPara resolver problemas que ocorrem

a combinação simples, usaremos a fórmula:

Exemplo: Se devemos sortear 3 pessoasdentre 5.

!!

!

pnp

nC

p

n

102!3

!3.4.5

2!3

!3.4.5

!2!3

!5

!35!3

!53

5

C

Tente fazer sozinho

8) (UERJ)Sete diferentes figuras foram criadas parailustrar, em grupo de 4 distintas, o Manual doCandidato do Vestibular Estadual de 2007. Umdesses grupos está apresentado a seguir:

Considere que cada grupo de 4 figuras quepoderia ser formado é distinto de outro somentequando pelo menos uma de suas figuras fordiferente. Nesse caso, o número total de gruposdistintos entre si que poderiam ser formados parailustrar o Manual do Candidato é igual a:

Solução

352.3!4

!4.5.6.7

!3!4

!7

!47!4

!74

7

C

Tente fazer sozinho

9) (IME-RJ) Com 10 espécies de frutas,quantos copos de salada, contendo 6espécies diferentes, podem ser feitos?

Solução

2102.3.4!6

!6.7.8.9.10

!4!6

!10

!610!6

!106

10

C



ArranjoSimples

Definição

Fórmula

CombinaçãoSimples

Definição

Fórmula


Importa a ordem

!!

pn

nA

p

n

!!

!

pnp

nC

p

n

CasoParticular Permutação


Importa a ordem


Bibliografia

• http://www.colegioweb.com.br/matematica/principio-fundamental-da-contagem.html

• http://matematica-online-clc.blogspot.com/2009/07/analise-combinatoria.html

• Dante, Luiz Roberto: Matemática Contexto & Aplicações 2 – Ensino Médio, Editora Ática – 3ª edição. Págs: 308 a 325

http://www.colegioweb.com.br/matematica/principio-fundamental-da-contagem.html

http://www.colegioweb.com.br/matematica/principio-fundamental-da-contagem.html

http://matematica-online-clc.blogspot.com/2009/07/analise-combinatoria.html

http://matematica-online-clc.blogspot.com/2009/07/analise-combinatoria.html

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