Análise Análise CombinatóriaCombinatória

Prof. MarlonProf. Marlon

ANÁLISE COMBINATÓRIAANÁLISE COMBINATÓRIA é uma parte da matemática que estuda os agrupamentos de elementos sem precisar de enumerá-los.

A origem desse assunto está ligada ao estudo dos jogos de azar, tais como: lançamento de dados, jogos de cartas, etc.

Atualmente, a estimativa de acertos em jogos populares como: loteria esportiva, loto, loteria federal, etc., além de utilizações mais específicas, como confecções de horários, de planos de produção, de números de placas de automóveis etc.

Ex.: 2! = 2 x 1 = 2

3! = 3 x 2 x 1 = 6

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

Convenção 0! = 1 1! = 1

FATORIAL É UMA OPERAÇÃO !FATORIAL É UMA OPERAÇÃO !

ANÁLISE COMBINATÓRIA

FATORIAL5! = 5.4.3.2.1 = 1204! = 4.3.2.1 = 243! = 3.2.1 = 62! = 2.1 = 21! = 10! = 1 CONVENÇÃO

Exemplo: Calcular o valor de:

a) 4! + 3! b) 7!24 + 6

307.6.5.4.3.2.1

5040 Observe que:

4!+3! 7!

c) !8

!10

n! = n.(n 1) . (n 2) . (n 3). .... 2 . 1

=8!

10.9.8! 90=

d) !49

!49!50

– 49!

49!

50.49!

49! (50 – 1)

49!

49

O conjunto solução de:

210)!1(

)!1(

n

né:

(n – 1)!= 210

(n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1).(n – 2).(n – 3)....(n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1)!

(n + 1).n.(n – 1)!

(n + 1).n = 210

n2 + n – 210 = 0

n’ = 14 n’’ = - 15(n tem que ser natural)

Determine a soma dos valores de m que satisfazem a equação (m – 3)! = 1

(m – 3)! = 1! ou (m – 3)! = 0!

m – 3 = 1

m = 4

m – 3 = 0

m = 3

Logo a soma dos valores de m é 7

210)!1(

)!1(

n

n

Observação: n! = n (n – 1)!

Ex.: 8! = 8 . 7!

10! = 10 . 9!

Exemplo:Simplificar a expressão:

9900!98

!9899100

!98

!100

56))(1( 56)!1(

)!1)()(1( 56

)!1(

)!1(

xxx

xxx

x

x

.56)!1(

)!1(

x

xResolva a equação:

2

2251 056 56 22

xxxxx

-8x

7x

2

151x

Resposta: x = 7, pois não existe fatorial de um número negativo

Árvore de possibilidades – princípio geral que pode ser usado para se resolver muitos problemas de contagem.

EXEMPLO:

Uma criança pode escolher uma entre duas balas, uma rosa e uma preta, e um entre três chicletes, um amarelo, um verde e um branco. Quantos conjuntos diferentes a criança pode ter?

PR

BV

A BVA

{R, V}{R, A} {R, B} {P, A} {P, V} {P, B}

Escolha da bala

Escolha do chiclete

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEM – Princípio da CONTAGEM – Princípio da MultiplicaçãoMultiplicação

Trocando a seqüência de eventos:

Escolha da bala

Escolha do chicleteBA

P R PR

{A, P}{A, R} {V, R} {V, P} {B, R} {B, P}

R P

V

Número de possibilidades é o mesmo: 2 x 3 = 3 x 2 = 6.

Princípio da Multiplicação

Se existem n1 resultados possíveis para um primeiro evento e n2 para um segundo, então existem n1 . n2 resultados possíveis para a seqüência de dois eventos.

EXEMPLO:A última parte do seu número de telefone contém quatro dígitos.

Quantos desses números de quatro dígitos existem?

EXEMPLO:Com relação ao Ex.23, quantos números de quatro dígitos existem se

um mesmo dígito não puder ser repetido?

EXEMPLO:a) De quantas maneiras podemos escolher três representantes em um

grupo de 25 pessoas?

b) De quantas maneiras podemos escolher três representantes, para três comissões, um para cada comissão, em um grupo de 25 pessoas, se um representante pode participar de mais de uma comissão?

10 . 10 . 10. 10 = 10000 números diferentes

10 . 9 . 8 . 7 = 5040 números diferentes

25 . 24 . 23 = 13800

25 . 25 . 25 = 15625

EXERCÍCIOS RESOLVIDOSEXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01. Uma moça possui 5 camisas e 4 saias, de quantas maneiras ela poderá se vestir?A escolha de uma camisa poderá ser feita de cinco maneiras diferentes. Escolhida a primeira camisa poderá escolher uma das quatro saias.Portanto, o número total de escolhas será:

4 x 5 = 20

02. Uma moeda é lançada três vezes. Qual o número de seqüências possíveis de cara e coroa?

Indicaremos por C o resultado cara e K o resultado coroa.

Queremos o número de triplas ordenadas(a,b,c) onde a {C,K},b {C,K} e c {C,K}, logo, o resultado procurado é

2.2.2 = 8

K

C

K

C

C

K

C

K

C

K

C

K

C

K

C – C – C

C – C – K

C – K – C

C – K – K

K – C – C

K – C – K

K – K – C

K – K - K

Pelo o Diagrama da Árvore

03. Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos significativos (1 a 9)?

 

9 x 9 x 9 = 729 números 

E se fossem com algarismos distintos?

9 x 8 x 7 = 504 números

04. Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar no sistema de numeração decimal?

Resolução:

Algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9

9 x 9 x 8 x 7

O número não começar por 0 (zero), logo:

9 . 9 . 8. 7 = 4.536

Resposta: 4.536 números

05. Em uma corrida de 6 carros, quantas são as possibilidades do 1º, 2º e 3º lugares?

 

1º lugar 2º lugar 3º lugar

6 x 5 x 4 = 120 possib.

06. Quantos são os divisores de 72?

Os divisores de 72 são do tipo 2x . 3y (pois 72 = 23.32) onde: x {0, 1, 2, 3} e y {0, 1, 2}.

Logo teremos: 4 possibilidades para a escolha do expoente x e 3 possibilidades para a escolha do expoente y.

Total: 4 x 3 = 12

07. Quantos resultados podemos obter na loteria esportiva?

Como são 14 jogos, e para cada um dos jogos temos: coluna 1, coluna do meio e coluna 2.

Pelo P.F.C., teremos:

Jogo 1 Jogo 2 ... Jogo 14

 

C1 Cm C2 C1 Cm C2 C1 Cm C2

3 x 3 x ... x 3 = 314

EM RESUMO:EM RESUMO:

1º) Quantas escolhas devem ser feitas.

2º) Quantas opções cada escolha tem.

3º) Multiplicar tudo!

Se o problema não depender da ordemnão depender da ordem (por exemplo: comissões, escolhas, jogos, equipes, urnas, jogo da sena, aperto de mão, casais, grupos, etc.) dividimos o resultado dividimos o resultado pelo fatorial das escolhas.pelo fatorial das escolhas.

08. Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B, e 4 outras ligando B à cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A a C, passando por B. De quantos modos diferentes a pessoa poderá fazer essa viagem?

Resolução:de A para B = 3 possibilidades

de B para C = 4 possibilidades

Logo, pelo princípio fundamental de contagem, temos: 3 . 4 = 12

Resposta: 12 modos

09. A placa de um automóvel é formada por duas letras seguidas por um número de quatro algarismos. Com as letras A e R e os algarismos ímpares, quantas placas diferentes podem ser constituídas, de modo que o número não tenha algarismo repetido?

Pelo princípio fundamental da contagem, temos:

2 . 2 . 5. 4. 3. 2 = 480 Resposta: 480 placas

Resolução:

Placa:

2 . 2 . 5 . 4 . 3 . 2

10. Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 2, 3, 4, 5, e 7?

5 x 4 x 3 5 x 4 x 3 = 60

 

Respostas: 60 números

11. Com os algarismos de 1 a 9, quantos números de telefone podem formar-se com 6 algarismos, de maneira que cada número tenha prefixo 51 e os restantes sejam números todos diferentes, inclusive dos números que formam o prefixo? 

Resolução:

Algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9

Prefixo

7 x 6 x 5 x 4

colocando-se o prefixo 51, restam 7 algarismos, logo: 7 . 6 . 5. 4 = 840

Resposta: 840 números

12. Um tabuleiro especial de xadrez possui 16 casas dispostas em 4 linhas e 4 colunas. Um jogador deseja colocar 4 peças no tabuleiro, de tal forma que, em cada linha e cada coluna, seja colocada apenas uma peça. De quantas maneiras as 4 peças poderão ser colocadas? 

Resolução:Para se colocar 01 peça temos 16 maneiras.

Para a 3ª e 4ª peças temos, respectivamente, 4 e 1 maneiras.

Logo: 16 . 9 . 4 . 1 = 576

Resposta: 576 maneiras

13. Um torneio esportivo entre duas escolas será decidido numa partida de duplas mistas de tênis. A Escola E inscreveu nesta modalidade 6 rapazes e 4 moças. A equipe de tenistas da Escola F conta com 5 rapazes e 3 moças. Calcule de quantas maneiras poderemos escolher os quatro jogadores que farão a partida decisiva, sabendo que uma das jogadoras da equipe E não admite jogar contra seu namorado, que faz parte da equipe F.

Resolução:

Cálculo da quantidade de maneiras de formação das equipes:

Escola E 6. 4 = 24 maneiras

Escola F 5 . 3 = 15 maneiras

Assim, os quatro jogadores podem ser escolhidos de: 24 . 15 = 360 maneiras.

Excluindo os casos nos quais os namorados jogam entre si, que são em números de: 

(6 . 1) . (1 . 3) = 18, temos:

360 – 18 = 342 

Resposta: 342 maneiras

14. De quantos modos pode-se pintar as faces laterais de uma pirâmide pentagonal regular, utilizando-se oito cores diferentes, sendo cada face de uma única cor?

Resolução:Supondo-se que todas as cinco faces laterais da pirâmide sejam pintadas com cores diferentes duas a duas, e que a pirâmide esteja fixa, o número de modos de pintar suas faces laterais, utilizando 8 cores diferentes, será dado por:

8 . 7 . 6 . 5 . 4 = 6.720

Resposta: 6.720 modos

15) (Cesgranrio-2005) A senha de certo cadeado é composta por 4 algarismos ímpares, repetidos ou não. Somando-se os dois primeiros algarismos dessa senha, o resultado é 8; somando-se os dois últimos, o resultado é 10. Uma pessoa que siga tais informações abrirá esse cadeado em no máximo n tentativas, sem repetir nenhuma. O valor de n é igual a:a) 9b) 15c) 20d) 24e) 30

Resolução:

Algarismos ímpares: 1, 3, 5, 7 e 9

Soma 8 : 1 e 7; 3 e 5 ; 5 e 3 ; 7 e 1, ou seja, 04 opções;

Soma 10 : 1 e 9; 3 e 7; 5 e 5; 7 e 3; 9 e 1, ou seja, 05 opções.

Total de tentativas : 04 x 05 = 20

Portanto n = 20 tentativas.

16. Observe o diagrama

O número de ligações distintas entre X e Z é:a) 39b) 41c) 35d) 45

Resolução:

Possíveis caminhos

XRZ = 3.1 = 3

XRYZ = 3.3.2 = 18

XYZ = 1.2 = 2

XSYZ = 3.2.2 = 12

XSZ = 3.2 = 6

Total = 41 (Princípio da ADIÇÃO)

O Princípio da AdiçãoO Princípio da Adição

Exemplo:Um consumidor deseja comprar um veículo de uma concessionária. A concessionária tem 23 automóveis e 14 caminhões em estoque. Quantas escolhas possíveis o consumidor tem?

Princípio da Adição

Se A e B são eventos disjuntos com n1 e n2 resultados possíveis, respectivamente, então o número total de possibilidades para o evento “A e B” é n1 + n2.

Suponha que queremos selecionar uma sobremesa entre três tortas e quatro bolos. De quantas maneiras isso pode ser feito?O número de escolhas possíveis é o número total de escolhas que temos, 3 + 4 = 7.

23 + 14 = 37Se fosse o mesmo número de veículos mais 17 veículos vermelhos, não seria 23 + 14 + 17. Conjuntos não disjuntos!

Usando os dois Princípios Usando os dois Princípios JuntosJuntos

Exemplo:

Uma criança pode escolher uma entre duas balas, uma rosa e uma preta, e um entre três chicletes, um amarelo, um verde e um branco. Suponha que, neste caso, queremos encontrar de quantas maneiras diferentes a criança pode escolher o doce, ao invés do número de conjuntos de doces que ela pode ter.

Exemplo:

Quantos números de quatro dígitos começam com 4 ou 5?

Exemplo:

Considere novamente o problema do Exemplo anterior. Vamos evitar usar o princípio da adição.

6 + 6 = 12

1000 + 1000 = 2000

2 . 10 . 10 . 10 = 2000

17. A quantidade de números de três algarismos, maiores que 500, que podem ser formados com os algarismos 3, 5, 6, 7 e 9, com repetição, é igual a:a) 10b) 20c) 48d) 52e) 100

Resolução:

é um problema em que o português é quem manda, a maioria das pessoas cometeriam o erro de fazer o cálculo:

4 x 5 x 5 = 100 (errado!)

Porém, quando o problema fala com repetição, os algarismos devem ser repetidos,assim:

Nº com algarismos repetido mais nº com algarismos distintos é igual ao total de nº que podem ser formados Usando o P.F.C. teremos:

Nº com algarismos repetidos = x

Nº com algarismos distintos = 4.4.3 = 48

Total de nº formados = 4.5.5 = 100

Portanto, x + 48 = 100 x = 52

Resposta : Letra D.

18. Duas das cinqüenta cadeiras de uma sala serão ocupadas por dois alunos. O número de maneiras distintas possíveis que esses alunos terão para escolher duas das cinqüenta cadeiras, para ocupá-las, é:a) 1225b) 2450c) 250d) 49! Resolução:

50 x 49 = 2450

19. Com relação a palavra BRASIL, quantos anagramas podemos formar:

a)No total?

Resolução: 6! = 720

b) Começados por BR?

Resolução: 4! = 24 |BR| 4.3.2.1

c) Começando por vogal e terminando em consoante ?

Resolução: 2.4.3.2.1.4 = 192

d) Com as letras BR juntas nesta ordem?Resolução:BR juntas significa que formarão uma única letra, logo o anagrama será composto de 5 letras, portanto a resposta é:

5! = 120

e) Com as letras BR juntas em qualquer ordem?

Resolução:Em qualquer ordem, teremos:

5! . 2 = 240

f) Quantos anagramas podemos formar com a palavra ARARA?

g) E com a palavra ITATIAIA ?

h) E com a palavra APROVADO ?

102.6

120

!2!3

!5

!2!3!3

!8

!2!2

!8

20. Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 amarelas. Elas são extraídas uma a uma sem reposição. Quantas seqüências de cores podemos observar?

Resolução: É como se fosse uma seqüência de bolas em fileira, do tipo: VVVAA, em qualquer ordem faremos como se fosse um anagrama com repetição, ou seja,

10!2!.3

!5

21. Uma cidade é formada por 12 quarteirões segundo a figura abaixo. Uma pessoa sai do ponto P e dirigi-se para o ponto Q pelo caminho mais curto, isto é movendo–se da esquerda para direita, ou de baixo para cima. Nessas condições, quantos caminhos diferentes ele poderá fazer, se existem 2 ruas “horizontais” e 3 “verticais”?

.Q

P.

Idem solução anterior, é uma anagrama com repetição do tipo:

DDDDCCC, ou seja:

35!3!.4

!7

Resolução:

22.O número de anagramas que podem ser formados com as letras da palavra APOSTA e que não apresentam as letras A juntas é:a) 120b) 240c) 360d) 480e) 600

Resolução:

TOTAL – A juntas = A separadas

!5!2

!6

1202

720

120360 240

23.O jogo da Sena consiste em acertar 6 dezenas sorteadas entre 60. O número de possíveis resultados está entre:a) 15.000.000 e 25.000.000b) 25.000.000 e 35.000.000c) 35.000.000 e 45.000.000d) 45.000.000 e 55.000.000

Resolução:

50.063.8601

55

2

56

3

57

4

58

5

59

6

60

24.Um indivíduo possui 5 discos dos Beatles, 8 discos dos Rolling Stones e 4 discos do U2. Ele foi convidado para ir a uma festa e, ao sair, levou 2 discos dos Beatles, 2 dos Rolling Stones e 3 do U2. O número de modos distintos de se escolherem os discos é:a) 12b) 42c) 160d) 1.120e) 1.200

Resolução:

Beatles x Rol. Stones x U2

1

2

2

3

3

4x

1

7

2

8x

1

4

2

5

1120

25.Se existem 11 pessoas em uma sala e cada pessoa cumprimenta todas as outras uma única vez, o número de apertos de mão dados será igual a:a) 55b) 65c) 110d) 121

Resolução:

Precisamos de mãos : 551

10

2

11

26.Um fisioterapeuta recomendou a um paciente que fizesse, todos os dias, três tipos diferentes de exercícios e lhe forneceu uma lista contendo sete tipos diferentes de exercícios adequados a esse tratamento. Ao começar o tratamento, o paciente resolve que, a cada dia, sua escolha dos três exercícios será distinta das escolhas feitas anteriormente. O número máximo de dias que o paciente poderá manter esse procedimento é:a) 35b) 38c) 40d) 42

351

5

2

6

3

7Resolução:

27. De quantas maneiras distintas podemos distribuir 10 alunos em 2 salas de aula, com 7 e 3 lugares, respectivamente?a) 120b) 240c) 14.400d) 86.400e) 3.608.800

Resolução: Basta escolhermos 3 e os outros irão para a outra sala;

1201

8

2

9

3

10

28.O número de múltiplos de 10, compreendidos entre 100 e 9999 e com todos os algarismos distintos é:a) 250b) 321c) 504d) 576

Resolução:

Para ser múltiplo de 10 o zero tem que estar fixo na casa das unidades, portanto:

576 total

504 0 789

72 0 89

29.Uma sala tem 6 lâmpadas com interruptores independentes. O número de modos de iluminar essa sala, acendendo pelo menos uma lâmpada é:a) 63b) 79c) 127d) 182e) 201

Resolução:

Sabemos que a condição para iluminar a sala é que pelo menos uma lâmpada esteja acesa.As opções de cada lâmpada são: acesa e apagada, logo:

2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64 – 1

(todas apagadas) = 63

30. O código Morse usa “palavras” contendo de 1 a 4 “letras”. As “letras” são representadas pelo ponto (.) ou pelo traço (-). Deste modo, a quantidade de “palavras” possíveis através do código Morse é:a) 16b) 64c) 30d) 8e) 36

Resolução:

Pode-se formar palavras de uma, duas , três ou quatro letras e as opções por letra são duas (ponto ou traço), logo:

30 total

letras) (4 162.2.2.2

letras) (3 82.2.2

letras) (2 42.2

letra) (1 2

31. O número de maneiras de se distribuir 10 objetos diferentes em duas caixas diferentes, de modo que nenhuma caixa fique vazia, é:a) 45b) 90c) 1022d) 101

Resolução:

São 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 =1024 – 2 = 1022

(opções de apenas a caixa A ou apenas a caixa B)

32.(BB/2007) Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para serem usados em uma propaganda na televisão, em expressões do tipo Banco do Bruno, Banco da Rosa etc. Suponha, também, que a quantidade total de nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada inserção da propaganda na TV, sempre apareçam somente dois nomes distintos. Nesse caso, a quantidade de inserções com pares diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70.

Resolução: É uma questão de análise combinatória onde usaremos o princípio fundamental de contagem:Devemos fazer duas escolhas dentre as 12 pessoas disponíveis, ou seja:

pares diferentes,

ou ,

portanto o item está correto.

661

11

2

12x

66!2!.10

!122,12 C

33.(BB/2007)Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais, pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas. Nessa situação, se 3 faixas são verdes e indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá produzir, no máximo, 140 formas diferentes com essas faixas

Resolução: É um problema de permutação repetida onde as cores são como letras e o total de faixas(7) como uma palavra de 07 letras, ou seja:

formas,

portanto o item está correto.

14033

7733

!!.

!P ,

34. Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12 funcionários de um banco em 3 agências, de modo que cada agência receba 4 funcionários.Resolução:

1ª agência x 2ª agência x 3ª agência

346501704951

1

2

2

3

3

4

4

1

5

2

6

3

7

4

8

1

9

2

10

3

11

4

12

35. Se 6 candidatos são aprovados em um concurso público e há 4 setores distintos onde eles podem ser lotados, então há, no máximo, 24 maneiras de se realizarem tais lotações.

Resolução:

4.4.4.4.4.4 = 46, maneiras,

portanto o item está errado

36.(UFMG-2006) A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão constituída de quatro integrantes. Nesse grupo,incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois,juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada. Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão?a) 70 b) 35 c) 45 d) 55

RESOLUÇÃO:

Total de comissões – comissões (Gustavo e Danilo juntos)

1

5.

2

6

1

5.

2

6.

3

7.

4

8

1570 55

SOLUÇÕES INTEIRAS NÃO SOLUÇÕES INTEIRAS NÃO NEGATIVAS DE UMA EQUAÇÃO NEGATIVAS DE UMA EQUAÇÃO

LINEARLINEAREx.: Considere a equação linear x + y = 5, quantas soluções inteiras não negativas podemos obter:

(0,5);(1,4);(2,3);(3,2);(4,1);(5,0),

portanto teremos 6 soluções inteiras não negativas.

Considere agora a equação

x + y + z = 7

resolvendo por tentativa, o trabalho será muito grande , e corremos o risco de esquecer alguma solução.

Temos que dividir 7 unidades em 3 partes ordenadas, de modo que fique em cada parte um número maior ou igual a zero.

Indicaremos cada unidade por uma bolinha e usaremos a barra para fazer a separação, que corresponde aos sinais de adição:

Logo teremos uma permutação com elementos repetidos (como em AARAARAAA), assim:

36!2!7

!92,7

9P

Portanto existem 36 soluções inteiras positivas para a equação.