análise combinatória #

SISTEMA DIGESTRIO

Falaremos, agora, acerca da Anlise Combinatria!

O assunto no difcil, ao contrrio. S precisa ser bem entendido.

Questes de anlise combinatria sero aquelas que perguntaro de quantas formas pode ocorrer um determinado evento. Vejamos alguns exemplos:

1) De quantas formas diferentes cinco pessoas podem se sentar em cinco cadeiras de uma fila de cinema?

2) Quantos nmeros de trs algarismos podem ser formados, dispondo-se dos algarismos (1, 2, 3, 4, 5)?

3) Quantos tipos de saladas, feita de trs tipos de frutas diferentes, podem ser formados com as seguintes frutas: banana, ma, pra, uva, laranja, mamo, melo?

Enfim! Situaes como essas acima sero resolvidas por meio de tcnicas que conheceremos a partir de agora. Ou seja, a Anlise Combinatria se presta ao seguinte: a descobrir o nmero de maneiras possveis de se realizar um determinado evento, sem que seja necessrio descrever todas essas maneiras!

Um exemplo melhor, para esclarecer o que foi dito: suponhamos que eu tenho uma moeda na mo e vou lan-la trs vezes para o ar. A pergunta : quantos so os resultados possveis para esses trs lanamentos da moeda? Ora, se fssemos tentar descrever todas as possibilidades, poderamos faz-lo por intermdio de um desenho, chamado diagrama da rvore. Da seguinte forma:

Nos resultados, chamamos cara de C, e coroa de k. E assim, por meio do desenho acima, percebemos que h oito diferentes possveis resultados para o lanamento de uma moeda trs vezes! Ocorre que seria muito custoso termos que, a cada novo problema, fazer o tal do diagrama da rvore! A entra a Anlise Combinatria! Usando tcnicas simples, podemos chegar ao resultado procurado, sem precisar desenhar as resultados possveis!

# Princpio Fundamental da Contagem:

Chamaremos essa primeira tcnica apenas de Princpio Fundamental. Ok?

Consiste em qu? Consistem em dividirmos o nosso evento em etapas. E para cada uma dessas etapas, individualmente analisadas, descobriremos qual o seu nmero de resultados possveis!

Tomemos o exemplo da moeda acima. O evento consiste em lanar uma moeda trs vezes. Da, fica bem fcil dividi-lo em etapas: cada etapa ser um lanamento. Confere?

Destarte, teremos:

1 etapa) 1 lanamento da moeda;

2 etapa) 2 lanamento da moeda;

3 etapa) 3 lanamento da moeda.

Pois bem! Conforme dissemos, temos que descobrir os resultados possveis individuais de cada etapa. Ou seja, ao lanarmos a moeda a primeira vez, quantos sero os resultados possveis para esse primeiro lanamento? Dois, obviamente! (Cara ou coroa!). O mesmo se dar com o segundo lanamento e com o terceiro.

Da, teremos:

1 etapa) 1 lanamento da moeda 2 resultados possveis

2 etapa) 2 lanamento da moeda 2 resultados possveis

3 etapa) 3 lanamento da moeda2 resultados possveis

Finalmente, o Princpio Fundamental vem nos dizer: agora, basta multiplicar os resultados parciais (de cada etapa), e teremos o resultado total (para todo o evento)!

Teremos: 2x2x2= 8 A mesma resposta do diagrama da rvore!

Sem precisarmos fazer desenho algum, conclumos que h oito possveis resultados para o lanamento de uma moeda trs vezes! Passemos a outro exemplo, igualmente simples:

Num hospital, existem 3 portas de entrada (P1, P2 e P3) que do para um saguo, no qual existem 4 elevadores (E1, E2, E3 e E4). Um visitante deve dirigir-se ao 5 andar, utilizando um dos elevadores. De quantas maneiras diferentes poder faz-lo?

Caso decidssemos tentar desenhar uma resoluo, mediante o diagrama da rvore,faramos o seguinte:

Em azul, esto as doze possibilidades distintas de, usando uma das trs portas e um dos quatro elevadores, chegarmos ao quinto andar!

Ocorre que j aprendemos que o tal desenho acima desnecessrio! Mais rpido e eficaz ser utilizar o princpio da contagem. Para tanto, dividiremos o evento (chegar ao 5andar do hospital) em duas etapas:

1 etapa) a escolha de uma porta de entrada;

2 etapa) a escolha de um elevador.

Feito isso, descobriremos o nmero de resultados possveis, individualmente, para cada etapa. Teremos:

1 etapa) a escolha de uma porta de entrada 3 resultados possveis;

2 etapa) a escolha de um elevador 4 resultados possveis.

Manda o princpio da contagem que multipliquemos os resultados parciais, e teremos:

3x4=12 A mesma resposta do diagrama da rvore!

A partir dos dois exemplos que acabamos de ver, j possvel apresentar formalmente o princpio fundamental da contagem. Vejamos:

Enunciado do Princpio da Contagem:

Se um acontecimento pode ocorrer por vrias etapas sucessivas e independentes de tal modo que:

P1 o nmero de possibilidades da 1 etapa;

P2 o nmero de possibilidades da 2 etapa;..Pk o nmero de possibilidades da k-sima etapa, ento:

(P1 x P2 x ... x Pk) o nmero total de possibilidades do acontecimento ocorrer!

Seguiremos apresentando e resolvendo alguns outros exemplos que podem ser resolvidos empregando-se o princpio fundamental da contagem:

01) Quatro atletas participam de uma corrida. Quantos resultados existem para o 1, 2 e 3 lugares?

Sol.:

Quais sero as etapas desse evento? Ora, a definio do 1 colocado, a do 2 e a do 3! Trs etapas, portanto. Teremos:

1 etapa) Definio do 1 colocado 4 resultados possveis;

2 etapa) Definio do 2 colocado 3 resultados possveis;

3 etapa) Definio do 3 colocado 2 resultados possveis.

Multiplicando-se os resultados parciais, teremos:

4x3x2 = 24 Resposta!

Ou seja, podem ser formados 24 diferentes resultados de 1, 2 e 3 colocados numa corrida, dispondo-se de 4 competidores

02) De quantos modos trs pessoas podem ficar em fila indiana?

Sol.:

Fila indiana, voc sabe, aquela em que uma pessoa fica atrs da outra.

Da, as etapas do evento sero: definir quem vai na cabea da fila, quem vai no meio e quem vai no fim.

Teremos:

1 etapa) definio do 1 da fila: 3 resultados possveis;

2 etapa) definio do 2 da fila: 2 resultados possveis;

3 etapa) definio do 3 da fila: 1 resultado possvel.

Da, multiplicando-se os resultados parciais, teremos:

3x2x1 = 6 Resposta!

Podem ser formadas seis diferentes filas indianas, com trs pessoas!

03)Joo vai a um restaurante disposto a comer um s prato de carne e uma s sobremesa. O cardpio oferece oito pratos distintos de carne e cinco pratos diferentes de sobremesa. De quantas formas pode o homem fazer sua refeio?

Sol.:

Qual o evento? Ora, fazer uma refeio! Pelos dados da questo, as etapas para a composio deste evento (e os resultados possveis para cada uma delas) sero as seguintes:

1 etapa) definio da carne 8 resultados possveis;

2 etapa) definio da sobremesa 5 resultados possveis.


8x5 = 40 Resposta!

Podem ser compostas 40 distintas refeies, dispondo-se de oito tipos de carne e 5 tipos de sobremesa!

04) Numa festa existem 80 homens e 90 mulheres. Quantos casais diferentes podem ser formados?

Sol.:

O objetivo formar um casal. Ora, um casal composto de um homem e uma mulher! Logo, para cumprir esse objetivo, dividiremos o evento em duas etapas:

1 etapa) escolha do homem 80 resultados possveis;

2 etapa) escolha da mulher 90 resultados possveis.

Pelo princpio da contagem, multiplicando-se os resultados parciais, teremos:

80x90 = 7200 Resposta!

05) O sistema telefnico de So Paulo utiliza sete dgitos para designar os diversos telefones. Supondo que o primeiro dgito seja sempre dois (2), e que o dgito zero (0) no seja utilizado para designar estaes (2 e 3 dgitos), quantos nmeros de telefones diferentes poderemos ter?

Sol.:

O evento agora compor um nmero de telefone, observando as restries previstas no enunciado! Como teremos 7 dgitos, trabalharemos tambm com 7 etapas! Cada etapa corresponde, naturalmente, escolha do respectivo dgito.

Este exemplo se diferencia dos anteriores, pois aqui teremos que redobrar nossa ateno, uma vez que o enunciado estabelece exigncias especficas para algumas das etapas do evento. Por exemplo, dito que o primeiro dgito ser sempre 2. dito tambm que na escolha do segundo e do terceiro dgitos no poderemos usar o algarismo zero! Essas restries tero que ser observadas quando formos fazer o clculo dos resultados parciais! Teremos:

1 etapa) Definio do 1 dgito 1 resultado possvel (s pode ser 2);

2 etapa) Definio do 2 dgito 9 resultados possveis.

Seno, vejamos: dispomos dos algarismos do sistema decimal, para escolher um deles que ocupar o 2 dgito. So eles: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9}. So dez algarismos! Ocorre que o enunciado amarra que o algarismo zero no pode ocupar essa segunda casa! Da, restam nove resultados possveis! Idntico raciocnio se repetir para a prxima etapa.


4 etapa) Definio do 4 dgito 10 resultados possveis!

Aqui no h nenhuma exigncia especfica, e nenhuma restrio! Ou seja, pode ser usado qualquer algarismo do sistema decimal (e so 10!). O mesmo raciocnio se repetir para as trs ltimas etapas.




Finalmente, multiplicando-se os resultados parciais, teremos:

1x9x9x10x10x10x10 = 810.000 Resposta!

# Arranjo e Combinao:

Duas outras tcnicas sero comumente usadas na resoluo de problemas de Anlise Combinatria. Estamos falando do Arranjo e da Combinao!

O importante sabermos que, para cada caso especfico de situao, haver um caminho de resoluo adequado. Se o diagnstico de uma questo Arranjo, ela ter que ser resolvida por Arranjo; se Combinao, ter que ser resolvida por combinao! Ou seja, se a questo de tal forma que a resoluo correta se faz por Arranjo e voc equivocadamente a resolve por Combinao, infelizmente a sua resposta estar errada, e voc acaba de perder um ponto precioso na prova!

Com isso, conclumos que a alma da Anlise Combinatria consiste em saber identificar qual o correto caminho de resoluo! isso, amigos, extremamente fcil! Traaremos um mtodo!

Vejamos:

Esse diagrama acima ser nosso guia! Por meio dele no h como errarmos na escolha do caminho de resoluo!

Distintos no subgrupo? Ora, sempre que formos pensar um problema de anlise combinatria, estaremos trabalhando com elementos de um conjunto universo e tentando construir conjuntos menores, chamados subgrupos. Vejamos os trs exemplos seguintes, que nos ajudaro a entender melhor:

Exemplo 1) Quantos nmeros de trs algarismos podem ser formados, dispondo dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?

Quem o conjunto universo? {1, 2, 3, 4, 5}

E quem ser o subgrupo? Ser um conjunto de apenas trs algarismos!

Formar esse subgrupo o nosso objetivo!

Neste exemplo, a questo especificou que os elementos do subgrupo tenham que ser distintos?

Ou podem ser iguais? Ora, se a questo no amarrou que o subgrupo tem que ter elementos diferentes, ento fica subentendido que eles podem ser repetidos! Da, j sabemos que o caminho de resoluo ser o Princpio da Contagem!

Exemplo 2) Quantos nmeros de trs algarismos distintos podem ser formados, dispondo dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?

Quem o conjunto universo? O mesmo do exemplo anterior: {1, 2, 3, 4, 5}

O subgrupo agora ter quantos elementos? Trs, da mesma forma!

Podem os elementos do subgrupo repetir-se? No! A questo estabeleceu que tero de ser elementos distintos!

Com isso, conclumos: o caminho de resoluo seguir pelo Arranjo ou pela Combinao! Mas qual dos dois? Arranjo ou Combinao? Genta a, que explicaremos j!

Exemplo 3) Dispondo das seguintes espcies de frutas {ma, mamo, melo, banana, pra, uva, laranja e melancia}, quantos tipos de saladas podem ser formadas, contendo trs tipos de frutas?

Quem o conjunto universo? o das frutas disponveis:

{ma, mamo, melo, banana, pra, uva, laranja e melancia}

E o subgrupo, qual ser? Ser aquela salada que formaremos, com apenas trs tipos de frutas! A pergunta: o subgrupo ter que ter elementos diferentes? Obviamente que sim! No d para formar uma salada com banana, banana e banana. Concordam? Embora o enunciado no tenha dito isso expressamente, fica entendido, por evidente, que a salada tem que ser formada por trs tipos distintos de frutas! Assim sendo, conclumos: o caminho de resoluo o do Arranjo ou da Combinao! Mas qual desses dois? Arranjo ou Combinao?

# Decidindo entre o Arranjo e a Combinao:

Uma vez superado o primeiro momento, e considerando que j sabemos que a questo ser resolvida por Arranjo ou Combinao, seguiremos os passos seguintes, a fim de nosdefinirmos por uma ou por outra tcnica de resoluo.

Vejamos:

1 Passo) Criaremos um resultado possvel para o subgrupo;

2 Passo) Inverteremos a ordem do resultado que acabamos de criar (no 1 passo);

3 Passo) Compararemos os dois resultados que esto diante de ns (1 e 2 passos):

Se forem resultados diferentes: resolveremos a questo por Arranjo!

Se forem resultados iguais: resolveremos a questo por Combinao!

Retornemos aos dois ltimos exemplos, para os quais j havamos decidido que seriam resolvidos por Arranjo ou por Combinao. Teremos:


E agora, Arranjo ou Combinao?

1 Passo) Criando um resultado possvel, podemos ter: (1 2 3) O nmero cento e vinte e trs. Pode ser? Claro!

2 Passo) Invertendo a ordem do resultado criado: (3 2 1) Chegamos ao nmero trezentos e vinte e um.

3 Passo) A comparao! So iguais ou diferentes os dois resultados acima?

Ora, tratando-se de nmeros, claro que so distintos!

Concluso: resolveremos a questo por Arranjo!


Ser Arranjo ou ser Combinao?

1 Passo) Criando um resultado possvel: (mamo, melo e ma)

Gostaram da minha salada? Se no gostaram, vai ela mesma!

2 Passo) Invertamos a ordem! Teremos: (ma, melo e mamo)

3 Passo) Comparemos: A salada do primeiro passo igual ou diferente da salada do segundo passo? O sabor o mesmo? Claro que sim! Os resultados so iguais!

Concluso: a questo sai por Combinao!

somente isso! Se vocs se lembrarem destes trs exemplos simples acima, sero capazes de identificar o caminho de resoluo de qualquer questo de Anlise Combinatria!

# Resolvendo questes por Arranjo:

Uma vez sabendo identificar quais as questes que se resolvem por Arranjo, resta saber como se d tal resoluo! A frmula do Arranjo a seguinte:

An,p = n!/(n-p)! ou An,p = fatorial de n com p fatores

Onde:

n o nmero de elementos do conjunto universo; e

p o nmero de elementos do subgrupo

Para quem anda mais esquecido, esse sinal de interrogao (!) significa a operao fatorial. Trata-se, to-somente, de um produto que se inicia com o prprio valor (que antecede o sinal !) e vai se reduzindo at chegar a um.

Exemplos:

8!=8x7x6x5x4x3x2x1

5!=5x4x3x2x1

E assim por diante!

Observem que, sempre que formos fazer uma diviso entre fatoriais, repetiremos o menor deles, e desenvolveremos o maior at que se iguale ao menor.

Exemplo:

Viram? E agora? Ora, agora resta cortarmos o 5! do numerador com o do denominador. E teremos apenas que:

Fcil, no? Mais fcil que roubar doce de criana! Pois bem, voltemos ao exemplo dois da pgina anterior:


Sol.:

Primeira anlise: os elementos do subgrupo podem ser iguais ou tm que ser distintos?Distintos, pois assim estabelece o enunciado. Da, resolveremos por Arranjo ou Combinao!

Segunda anlise: sair por Arranjo ou Combinao?

1 Passo) Criando um resultado possvel, podemos ter: (1 2 3)

2 Passo) Invertendo a ordem do resultado criado: (3 2 1)

3 Passo) A comparao: os resultados so distintos! Arranjo!

Arranjo de quantos em quantos? De 5 em subgrupos de 3. Teremos:

Ou seja, podemos formar 60 nmeros com 3 algarismos distintos, dispondo dosalgarismos 1, 2, 3, 4 e 5.

Uma pergunta deveras oportuna seria: no dava para resolver essa questo peloPrincpio da Contagem? Vejamos: nosso evento formar um nmero de trs algarismos distintos. Podemos dividi-lo em trs etapas: definio do primeiro algarismo, definio do segundo e definio do terceiro. Teremos:

1 etapa) definio do primeiro algarismo: 5 resultados possveis;

2 etapa) definio do segundo algarismo: 4 resultados possveis;

3 etapa) definio do terceiro algarismo: 3 resultados possveis.


5x4x3= 60 Resposta!

Mesma resposta que chegamos pelo Arranjo!

Olhemos de novo, e com mais calma, o diagrama dos caminhos de resoluo:

Repare bem na seta PONTILHADA! Reparou?

O que ela quer indicar? O seguinte: se voc descobrir que a questo deve ser resolvida por Arranjo, ento poder tambm resolv-la pelo Princpio da Contagem!

Observe que se trata de uma seta com sentido nico! De Arranjo para Princpio daContagem! Apenas isso! O caminho de volta Princpio da Contagem para Arranjo nem sempre ser possvel!

E de Combinao para Princpio da Contagem? D certo? De jeito nenhum! Bastaolhar para o desenho acima, e no tem erro! Ok?

Prxima pergunta recorrente: ora, se questo de Arranjo sai pelo Princpio daContagem, ento eu preciso mesmo saber esse tal de Arranjo? A resposta SIM, voc precisa! Mais adiante, veremos o porqu!

# Resolvendo questes por Combinao:

A frmula da Combinao a seguinte:

Onde:

n o nmero de elementos do conjunto universo; e

p o nmero de elementos do subgrupo.

Retornemos ao exemplo 03, apresentado anteriormente:


Primeira anlise: os elementos do subgrupo podem ser iguais ou tm que ser distintos?

Distintos, pois, embora no dito isso expressamente pelo enunciado, fica claro que no podemos formar saladas com frutas iguais! Uma salada j , por si, uma mistura de frutas de tipos diferentes! Da, usaremos Arranjo ou Combinao!

Segunda anlise: sair por Arranjo ou Combinao?

1 Passo) Criando um resultado possvel, podemos ter: (mac, pra e uva)

2 Passo) Invertendo a ordem do resultado criado: (uva, pra e ma)

3 Passo) A comparao: os resultados so iguais! Combinao!

Combinao de quantos em quantos? De 8 (tipos de frutas do conjunto universo) em subgrupos de 3 (tipos de frutas da salada que formaremos!). Teremos:

Ou seja: podem ser formados 56 tipos de saladas, com trs espcies de frutas, dispondo daquelas oito espcies relacionadas!

# Permutao:

A Permutao, meus amigos, to-somente um caso particular do Arranjo!

Caso nos omitssemos de falar em Permutao, vocs acertariam a questo do mesmo jeito, aplicando o Arranjo! Mas no o caso! Melhor conhec-la! Quando estivermos em uma questo de Arranjo (j sabemos como identific-la!) e observarmos que o n (nmero de elementos do conjunto universo) igual ao p (nmero de elementos dos subgrupos), ento estaremos diante de uma questo de Permutao! Consideremos os exemplos abaixo, os quais so meras variaes dos que vimos no Arranjo.

Exemplo 1) Dispondo dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos nmeros de cinco dgitos distintos podero ser formados?

Sol.: A questo de Arranjo, conforme j havamos verificado. Arranjo de quanto em quanto?

O grupo maior tem cinco elementos, ou seja: n=5.

E os subgrupos tero tambm cinco elementos, ou seja: p=5.

Ora, quando a questo de Arranjo, e temos que n = p, dizemos ento que estamos em um caso de Permutao.

Em outras palavras: A5,5 = P5 (leia-se: permutao de cinco)

O bom que o clculo da Permutao at mais fcil.

Frmula da Permutao:

Pn = n!

Onde: n o nmero de elementos do conjunto universo, que tambm o mesmo nmero de elementos dos subgrupos que sero formados!

Voltando ao nosso exemplo, teremos que:

A5,5 = P5 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 Resposta!

Exemplo 02) Quatro carros (C1, C2, C3 e C4) disputam uma corrida. Quantas so as possibilidades de chegada para os quatro primeiros lugares?

Sol.:

Tambm j sabemos que uma questo de Arranjo! Agora, o grupo maior tem 4 elementos (n=4) e os subgrupos que sero formados tambm tero esse mesmo nmero de elementos (p=4). Da, camos no caso particular da Permutao!

Teremos, pois, que:

A4,4 = P4 = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 Resposta!

Agora, passemos a estudar um tipo de questo que bastante abordado em concursos.Explanaremos este tema em seis situaes possveis. Adiante!

# Seis Amigos no Cinema:

SITUAO 1) Seis amigos vo ao cinema. So 3 rapazes e 3 moas. De quantas formas poderemos coloc-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas?

Sol.:

Iniciemos nossa anlise do princpio!

1 Indagao: na hora de formar os subgrupos, poderemos usar elementos iguais? Ou tero que ser distintos?

Ora, os elementos do subgrupo sero pessoas! Logo, no h como formar um subgrupo com vrias pessoas iguais! Obviamente, os elementos tero de ser diferentes! Primeira concluso: o caminho de resoluo o do Arranjo ou da Combinao!

2 Indagao: Arranjo ou Combinao?

Da, seguimos aquele procedimento j nosso conhecido:

1 Passo) criamos um resultado possvel. (Chamemos as pessoas de A, B, C, D, E e F).

Teremos, pois, que um resultado possvel seria esse mesmo:

A-B-C-D-E-F

(Com a pessoa A na ponta da esquerda e a pessoa F na da direita!)

2 Passo) Invertemos a ordem dos elementos do resultado acima. Teremos:

F-E-D-C-B-A

3 Passo) Comparamos os resultados!

Ateno pergunta seguinte: as pessoas dos dois resultados so as mesmas?

A resposta sim! Mas, e as duas filas, so as mesmas?

No! So diferentes! E o que interessa neste caso so as filas formadas!

Temos, portanto, resultados distintos! Concluso: Trabalharemos com Arranjo!

Arranjo de quantos em quantos? So 6 pessoas no conjunto universo, e so seis elementos na fila (no subgrupo). Logo, Arranjo de 6 em 6: A6,6, que igual a Permutao de 6. Ou seja:

A6,6 = P6

Ento, para esse enunciado, faremos:

P6 = 6! = 6x5x4x3x2x1 = 720Resposta!

SITUAO 2) Seis amigos vo ao cinema. So 3 rapazes e 3 moas. De quantas formas poderemos coloc-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que as trs moas fiquem sempre juntas?

Sol.:

Este enunciado difere do anterior por um breve detalhe! exigido aqui que as trs moas permaneam juntas! Ora, j nos possvel concluir, seguindo o mesmssimo raciocnio do exemplo anterior, que esta questo ser resolvida pelo caminho da Permutao!

Em face da exigncia anunciada, lanaremos mo de um artifcio: passaremos a considerar as pessoas que tm de estar sempre juntas como sendo uma nica pessoa!

Alm disso, neste presente exemplo, em vez de trabalharmos apenas com uma permutao, teremos que trabalhar com duas:

1 Permutao) Para todo o conjunto de pessoas (atentando para o fato de que as trs moas que so inseparveis sero consideradas uma s);

Da, com trs homens e uma mulher (trs inseparveis = uma apenas!), somamos um total de quatro pessoas! Permutando-as, teremos: P4 = 4! = 24 formaes.

2 Permutao) Para o conjunto dos elementos inseparveis (as trs moas):

Permutando as trs mulheres, teremos: P3 = 3! = 6 formaes

Vejamos a ilustrao abaixo:

P3 = 3x2x1 = 6

P4 = 4! = 4x3x2x1 = 24

Esses dois resultados parciais (24 e 6), referentes ao conjunto inteiro e aos elementos inseparveis, tero que ser agora multiplicados, para chegarmos ao resultado final. Teremos:

6x24= 144 Resposta

SITUAO 3) Seis amigos vo ao cinema. So 3 rapazes e 3 moas. De quantas formas poderemos coloc-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que os trs rapazes fiquem sempre juntos e as trs moas fiquem sempre juntas?

Sol.:

Agora a exigncia especfica cria dois subgrupos de elementos inseparveis. J sabemos como proceder com eles.

Teremos:

P2 = 2! = 2x1 = 2

Observemos que a permutao para o conjunto completo foi apenas P2. Claro! Uma vez que os trs rapazes so considerados um s, e as trs moas idem! o nosso artifcio dos elementos inseparveis! No podemos esquecer dele! Da, compondo nosso resultado, teremos:

6x6x2= 72 Resposta

SITUAO 4) Seis amigos vo ao cinema. So 3 rapazes e 3 moas. De quantas formas poderemos coloc-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que as trs moas fiquem separadas?

Sol.: O enunciado agora no exige mais que alguns elementos fiquem juntos, mas separados! Ora, se do total de formas possveis de organizar os amigos (resposta da situao 1) subtrairmos o nmero de formas pelas quais as moas ficaro sempre juntas (resposta da situao 2), o resultado que encontraremos exatamente o que pede neste exemplo. Ou seja:

Da, faremos: 720 144 = 576 Resposta

SITUAO 5) Seis amigos vo ao cinema. So 3 rapazes e 3 moas. De quantas formaspoderemos coloc-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que rapazes e moas fiquem sempre alternados?

Sol.:

Agora o seguinte: rapaz sempre ao lado de moa, e vice-versa! Teremos duas situaes possveis:

1a) a fila comeando com um rapaz na esquerda;

e 2a) a fila comeando com uma moa na esquerda. Trabalhando a primeira situao possvel, teremos:

Neste caso, teremos os trs rapazes permutando entre si, enquanto que o mesmo se d em relao s moas!

Permutao dos rapazes: P3 = 3! = 3x2x1 = 6

Permutao das moas: P3 = 3! = 3x2x1 = 6

Compondo nosso resultado, para esta primeira situao, teremos:

6x6= 36

Ocorre que a questo no acaba a, uma vez que j havamos constatado que h uma outra possibilidade: a de que a fila comece com uma moa esquerda (ao invs de um rapaz)!

Teremos:

Aqui novamente as trs moas permutaro entre si, enquanto que os trs rapazes tambm permutaro entre si! Faremos:



Compondo nosso resultado, para esta segunda situao, teremos igualmente: 6x6= 36

Finalmente, somando os resultados parciais (rapaz esquerda e moa esquerda),teremos:

36+36= 72 Resposta!

SITUAO 6) Seis amigos vo ao cinema. So 3 rapazes e 3 moas De quantas formas poderemos coloc-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que somente as moas fiquem todas juntas?

Sol.:

O que se pede nesta questo (por conta da palavra somente) o nmero de maneiras diferentes em que as 3 moas fiquem sempre juntas enquanto que os 3 rapazes no fiquem todos juntos.

1 Soluo:

Assim, para que os trs homens no fiquem todos juntos necessrio que as moas fiquem juntas no meio da fila. Reparem que as moas no podem estar juntas nas pontas, pois assim os trs homens ficariam juntos! H duas situaes possveis para o posicionamento das moas:

1 situao:

2 situao:

Na primeira situao teremos os trs rapazes permutando entre si, enquanto que o mesmo se d em relao s moas!



Compondo nosso resultado, para esta primeira situao, teremos:

6x6= 36

Da mesma forma, na segunda situao teremos os trs rapazes permutando entre si, enquanto que o mesmo se d em relao s moas!



Compondo nosso resultado, para esta segunda situao, teremos:

6x6= 36

Finalmente, somando os resultados parciais teremos:

36+36= 72 Resposta!

2 soluo:

Se do total de formas possveis em que as mulheres ficam juntas (resposta da situao 2) subtrairmos o nmero de formas pelas quais os trs rapazes fiquem sempre juntos e as trs moas fiquem sempre juntas (resposta da situao 3), o resultado que encontraremos exatamente o que se pede neste exemplo. Ou seja:

Da, faremos: 144 72 = 72 Resposta!

Pois bem, meus amigos! A essncia do assunto j foi vista!

De aqui em diante, trabalharemos com questes e mais questes, mesclando resolues de Arranjo, Permutao e de Combinao, at nos familiarizarmos definitivamente com essa tal de Anlise Combinatria! Conceitos incidentais surgiro, possivelmente, ao longo das prximas resolues, conforme veremos! Mas a essncia do assunto, insistimos, j do conhecimento de todos!

# Exerccios Diversos:

01) Um edifcio tem 8 (oito) portas. De quantas formas uma pessoa poder entrar no edifcio e sair por uma porta diferente da que usou para entrar?

Sol.:

Iniciemos nossa anlise. Qual o objetivo da questo? Fazer com que uma pessoa entre e saia de um edifcio. Para tanto, dispor a pessoa de um total de oito portas! Ocorre que o enunciado determina que a porta de sada dever ser diferente da de entrada. Em suma: precisamos escolher uma porta para entrar e uma para sair, de um total de oito portas! Da:

Conjunto Universo: {Porta1, Porta2, Porta3, Porta4, Porta5, Porta6, Porta7, Porta8}

Subgrupo:

1 Pergunta) Os elementos do subgrupo podem ser iguais? No! O enunciado estabelece que tm que ser diferentes! Concluso: seguiremos pelo Arranjo ou Combinao!

2 Pergunta) Arranjo ou Combinao?

Criemos um resultado possvel: Entrada: Porta 1 Sada: Porta 2

Invertamos a ordem do resultado criado: Entrada: Porta 2 Sada: Porta 1

Comparemos os resultados acima: Iguais ou diferentes? Diferentes Logo, resolveremos por Arranjo!

D na mesma resolver pelo Princpio da Contagem? Claro! (No esqueamos da seta pontilhada do caminho das pedras!)

Da, teremos:

1 etapa) Escolha da porta de entrada: 8 resultados possveis;

2 etapa) Escolha da porta de sada: 7 resultados possveis.

Multiplicando-se os resultados individuais, teremos:

8 x 7 = 56 Resposta!

Obs.: Voc pode (e deve!) conferir que esse resultado o mesmo ao qual chegaramos caso tivssemos resolvido por Arranjo! (A8,2=56).

02) Quantos so os anagramas possveis com as letras: ABCDEFGHI?

Sol.:

A primeira coisa a se fazer aqui explicar o conceito de anagrama.

Anagrama apenas uma formao qualquer que se possa criar com um determinado grupo de letras. Essa formao qualquer no precisa ser uma palavra, um vocbulo que conste no dicionrio! Pode ser algo mesmo ininteligvel. Contanto que seja formado por aquelas letras. Da, se eu tenho as letras da palavra SAPO, so exemplos de anagramas os seguintes:

(S O P A) , (A S P O) , (A S O P), (P S O A), (O P S A) etc.

Perceba que, no anagrama, cada letra utilizada uma s vez! Ou seja, se vou criar anagramas com as letras da palavra sapo (4 letras!), ento meus anagramas tero tambm 4 letras!

Ficou claro?

Pois bem! Da, nosso conjunto universo o seguinte: {A, B, C, D, E, F, G, H, I}

E o subgrupo ser o prprio anagrama, ou seja, um conjunto que ter o mesmo nmero de letras do conjunto universo!

1 Pergunta) Poderemos repetir os elementos do conjunto universo no subgrupo?

No!

Se o fizssemos, estaramos fugindo do conceito de anagrama. Concluso: Arranjo ou Combinao!

2 Pergunta) Arranjo ou Combinao?

Criando um resultado possvel, teremos: {A B C D E F G H I}

Invertendo-se a ordem, teremos: {I H G F E D C B A}

So anagramas iguais? No! So diferentes! Logo, trabalharemos com Arranjo!

Arranjo de quantos em quantos? De 9 (nmero de elementos do conjunto universo) em 9 (nmero de elementos do subgrupo)!

Ora, estamos diante de uma Permutao! Uma vez que: A9,9=P9.

Da, podemos at generalizar: se a questo de anagrama, sair sempre por Arranjo!

Teremos, pois, que:

A9,9= 9! Resposta!

03) Temos 5 homens e 6 mulheres. De quantas formas podemos formar uma comisso de 3 pessoas?

Sol.:

Conjunto universo: {5 homens, 6 mulheres}

Subgrupo: 3 pessoas.

Elementos do subgrupo podem ser iguais? No! So pessoas, logo, tm que ser diferentes! Da, Arranjo ou Combinao!

Um resultado possvel: {Joo, Maria, Jos}

Invertendo: {Jos, Maria, Joo}

Pergunta: a comisso formada por Joo, Maria e Jos diferente da formada por Jos, Maria e Joo? Claro que no! So a mesmssima comisso! Da:Combinao!

De quantos em quantos? De 11 (total de elementos do conjunto universo) em 3 (total de elementos do subgrupo). Teremos:

04) Quantos so os anagramas possveis com as letras: ABCDEFGHI, comeando por uma vogal e terminando por uma consoante?

Sol.:

Vimos agora h pouco (questo 2), que anagrama se resolve por permutao! E o que h de novo neste enunciado? Ora, aqui so feitas duas exigncias, referentes aos elementos que ocuparo a primeira e a ltima posio do anagrama!

Perceberam? Foi amarrado pelo enunciado que o nosso anagrama tem que comear por vogal e que terminar por uma consoante. Da, trabalharemos em separado as posies contempladas por essas exigncias.

Vejamos nosso conjunto universo: {A B C D E F G H I}

E nosso subgrupo:

O artifcio consistir sempre nisso: trabalhar em separado as posies para as quais foi feita alguma exigncia especfica. Teremos:

E quanto aos elementos do meio do anagrama? Permutao neles! Teremos:

Finalmente, para chegarmos ao resultado final, multiplicaremos os resultados parciais!Teremos:

6x3xP7 = 6x3x7! = Resposta!

05) Temos 7 cadeiras numeradas de 1 a 7, e desejamos escolher 4 lugares entre osexistentes. De quantas formas isso pode ser feito?

Sol.:

Nosso conjunto universo uma seqncia de sete cadeiras:

O objetivo formar subgrupos com quarto dessas cadeiras!

Tem que ser cadeiras distintas? Claro! Obviamente que sim! Da, o caminho de resoluo segue o Arranjo ou a Combinao! Qual deles?

Criando um resultado possvel: {cadeira 1, cadeira 2, cadeira 3, cadeira 4}

Invertendo o resultado: {cadeira 4, cadeira 3, cadeira 2, cadeira 1}

Pergunta: o primeiro conjunto de cadeiras diferente do segundo?

No! So exatamente iguais! Concluso: trabalharemos com a Combinao!

Teremos:

06) Em um campeonato de futebol, participam 20 times. Quantos resultados so possveis para os trs primeiros lugares?

Sol.:

Conjunto universo: {20 times}

Objetivo da questo: formar subgrupos de 3 times os 3 primeiros colocados.

Tem que ser times distintos? Claro! No d (infelizmente) para termos o Corinthians como primeiro, segundo e terceiro colocado do campeonato... Da, os elementos do subgrupo tero que ser distintos! Concluso: usaremos Arranjo ou Combinao para resolver o problema! Qual deles?

Criando um resultado possvel: {1)Corinthians, 2 Flamengo), 3) Fortaleza }

Invertendo: {1) Fortaleza, 2)Flamengo, 3)Corinthians}

So resultados iguais? Claro que no! Da, trabalharemos com o Arranjo! Teremos:

07) Uma prova consta de 15 questes, das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poder escolher as 10 questes?

Sol.:

Conjunto universo: {15 questes}

O objetivo selecionar um subgrupo de 10 questes!

Obviamente que tem ser questes diferentes! Logo, arranjo ou combinao!

Um resultado possvel: {Q1, Q2, Q3, Q4, Q5, Q6, Q7, Q8, Q9, Q10}

Invertendo-se a ordem:{Q10, Q9, Q8, Q7, Q6, Q5, Q4, Q3, Q2, Q1}

So provas diferentes? No! So perfeitamente iguais! Logo, Combinao! Teremos:

08) Uma linha ferroviria tem 16 estaes. Quantos tipos de bilhetes devem ser impressos, se cada tipo deve assinalar a estao de partida e de chegada, respectivamente?

Sol.:

O conjunto universo um grupo de 16 estaes.

O objetivo formar um bilhete, que defina uma partida e uma chegada.

Estao de partida e estao de chegada podem ser iguais? No! Tem que ser distintas!

Logo, trabalharemos com Arranjo ou Combinao!

Criando um resultado possvel:

So bilhetes iguais? Obviamente que no! So distintos! Da, conclumos: vamos trabalhar com Arranjo! Teremos:

09) Em uma reunio social, cada pessoa cumprimentou todas as outras, havendo ao todo 45 apertos de mo. Quantas pessoas havia na reunio?

Sol.:

Primeiramente, vamos descobrir do que se trata. H um conjunto maior (conjunto universo), formado pelas pessoas que esto participando de uma reunio. Dispondo desse conjunto de pessoas, formaremos grupos menores (subgrupos) de duas pessoas cada. Sero as pessoas que trocaro apertos de mo. ( de se supor que esses apertos de mo esto sendo trocados entre duas pessoas, obviamente)! Da, se os subgrupos so formados por duas pessoas que vo trocar um aperto de mo, tambm se depreende que essas pessoas tm que ser distintas. (No se imagina ningum cumprimentando a si mesmo com um aperto de mo, certo? Estamos numa reunio social, no num hospcio!)

E chegamos primeira concluso: se os elementos dos subgrupos sero necessariamente distintos, trabalharemos ou com Arranjo ou com Combinao! Criemos um resultado possvel: um aperto de mo entre o JOO e o JOS. Invertamos esse resultado: um aperto de mo entre o JOS e o JOO. o mesmo resultado ou outro diferente? Claro que o mesmo resultado. Da, conclumos: trabalharemos com Combinao. Sabemos que os subgrupos so formados por dois elementos (p=2), mas e o conjunto universo? Conhecemos quantos elementos tem? No! isso o que a questo quer saber. Chamaremos esse nmero de X. E quanto a esse valor 45, fornecido pelo enunciado? Ser o resultado da Combinao. Ou seja, o nmero de duplas que podero ser formadas, combinando as pessoas que esto naquela reunio. Da, teremos:

Cx,2 = 45 .

Desenvolvendo nossos clculos, teremos:

Sabendo que: Cx,2 = 45 , teremos:

X2 X 90 = 0 (Equao do 2 grau)

Para os mais esquecidos, uma equao do 2 grau, ou seja, uma equao do tipo Ax2+bx+c=0 ser resolvida da seguinte forma:

Resolvendo a equao acima, teremos:

Haver duas razes (dois resultados) para nossa equao, quais sejam:

Como X representa um nmero de pessoas, jamais poderia ser um valor negativo.

Desprezamos, portanto, o resultado X=-9, e conclumos que nossa resposta ser X=10.

X=10 Resposta

10) Um cofre possui um disco marcado com os dgitos 0, 1, 2, ..., 9. O segredo do cofre formado por uma seqncia de 3 dgitos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas dever fazer (no mximo) para conseguir abri-lo? (Suponha que a pessoa sabe que o segredo formado por dgitos distintos.)

Sol.:

Nosso conjunto universo formado pelos algarismos do sistema decimal: {0, 1, 2,...,9} O objetivo criar uma senha com trs dgitos distintos!Ora, se o subgrupo ser composto por elementos distintos, ento trabalharemos com Arranjo ou Combinao!

Para definir o caminho de resoluo aplicvel a este problema, criamos um resultado possvel: a senha {1 2 3}

Invertendo os elementos desta senha, teremos: {3 2 1}.

So senhas iguais? No! So distintas! Logo, trabalharemos com Arranjo. Teremos:

01.Maria vai sair com suas amigas e, para escolher a roupa que usar, separou 2 saias e 4 blusas. De quantas maneiras ela pode se arrumar?

Soluo: O chamado Princpio Fundamental da Contagem (PFC) diz, se alguma escolha pode ser feita de M diferentes maneiras e alguma escolha subseqente pode ser feita de N diferentes maneiras, h MN diferentes maneiras pelas quais essas escolhas podem ser feitas sucessivamente. Observe a tabela abaixo:

blusa 1blusa 2blusa 3blusa 4

saia 1saia 1 e blusa 1saia 1 e blusa 2saia 1 e blusa 3saia 1 e blusa 4

saia 2saia 2 e blusa 1saia 2 e blusa 2saia 2 e blusa 3saia 2 e blusa 4

Contando as possibilidades, vemos que Maria pode se arrumar de 8 maneiras distintas. De fato, a ao constituda de duas etapas sucessivas. A primeira (vestir a saia) pode ser realizada de 2 maneiras distintas. Para cada uma dessas possibilidades, a segunda (vestir a blusa) pode ser realizada de 4 maneiras distintas. Assim, pelo princpio fundamental da contagem (PFC), o nmero de efetuar a ao completa 2 4 = 8.

02.H quatro estradas ligando as cidades A e B, e trs estradas ligando as cidades B e C. De quantas maneiras distintas pode-se ir de A a C, passando por B?

Soluo: A ao constituda de duas etapas sucessivas. A primeira (ir de A at B) pode ser realizada de 3 maneiras. Para cada uma dessas possibilidades, a segunda (ir de B at C) pode ser realizada de 4 maneiras. Ento, pelo PFC, o nmero de maneiras de ir de A at C :3 4 = 12.

03.Uma prova de Matemtica consta de 10 questes do tipo V ou F. Se todas as questes forem respondidas ao acaso, qual o nmero de maneiras de preencher a folha de resposta?

Soluo: O PFC tambm conhecido como PRINCPIO MULTIPLICATIVO e pode ser generalizado para aces constitudas de mais de duas etapas sucessivas.

Resolver uma prova de 10 questes do tipo V ou F representa uma ao constituda de 10 etapas sucessivas, que correspondem resoluo das 10 questes propostas. Para cada questo, h duas possibilidades de escolha de resposta: V ou F. Logo, pelo PFC, o resultado procurado :

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 210 = 1024.

04.De quantas maneiras podemos arrumar 5 pessoas em fila indiana?

Soluo: Ao escolher uma pessoa para ocupar a primeira posio na fila temos 5 possibilidades; para o segundo lugar, como uma pessoa j foi escolhida, temos 4 possibilidades; para o terceiro lugar sobram 3 pessoas a serem escolhidas; para o quarto lugar 2 pessoas, e para o ltimo lugar na fila sobra apenas a pessoa ainda no escolhida. Ento, pelo PFC temos: 5 4 3 2 1 = 120. Assim, calculamos o nmero de modos de ordenar ("embaralhar") 5 elementos distintos. Em outras palavras , calculamos o nmero de permutaes simples de 5 elementos, ou seja, P5 = 120.

05.Uma multiplicao do tipo N (N - 1) (N - 2) ... 1 chamada Fatorial do nmero N (N natural e N > 1) e representada por N! ( lemos N fatorial ). Definimos ainda 1! = 1 e 0! = 1. O nmero de permutaes simples de N elementos N! (por exemplo, o nmero de permutaes de 5 elementos 5! = 120). Calcule 10! / (6!4!).

Soluo:

06.Para a eleio do corpo dirigente de uma empresa candidatam-se oito pessoas. De quantas maneiras podero ser escolhidos presidente e vice-presidente?

Soluo: Para escolher o presidente temos 8 possibilidades; para escolher o vice-presidente, como uma pessoa j foi escolhida, temos 7 possibilidades. Assim pelo PFC temos: 8 7 = 56 maneiras.Por outro lado, poderamos usar a frmula:

Este procedimento chamado de clculo do nmero de arranjos simples de 2 elementos escolhidos entre 8 elementos, ou seja A8,2 = 56

07.Em uma obra havia trs vagas para pedreiro. Cinco candidatos se apresentaram para preencher as vagas. De quantas formas o encarregado da obra pode escolher os trs de que precisa?

Soluo: Note que ele no vai usar todos os candidatos, de 5 escolher apenas 3. Alm disso, a ordem em que ele vai escolh-los no faz diferena (se escolher primeiro Mrio, depois Jos e por ltimo Pedro, ou primeiro Jos, depois Pedro e por ltimo Mrio, o grupo escolhido o mesmo). Se a ordem de escolha dos candidatos importasse, poderamos usar o PFC. Nesse caso, teramos 5 candidatos para a primeira vaga, 4 candidatos para a segunda e 3 candidatos para a ltima. A soluo seria 5 4 3 = 60. No entanto, usando o PFC, contamos vrias vezes o mesmo grupo de trs candidatos. Para "tirar" as repeties, vamos ter que dividir o resultado pelo nmero de vezes que eles se repetem na contagem. Os grupos repetidos so as formas de "embaralhar" trs candidatos escolhidos. Sabemos que "embaralhar" trs objetos o mesmo que fazer permutaes de trs objetos. Logo, basta dividir 60 por 3!, ou seja, dividir 60 por 6 para no contarmos as repeties dentro de cada grupo formado. Isso significa que h 10 maneiras de escolher os trs novos pedreiros, entre os 5 candidatos. De outra maneira, podemos usar a frmula do nmero binomial:

Assim, calculamos o nmero de combinaes simples de 5 objetos (os 5 candidatos) tomados 3 a 3 (apenas 3 sero escolhidos), isto , C5,3 = 10

08.Quantos veculos podem ser emplacados num sistema em que cada placa formada por 2 letras (de um total de 26) e 4 algarismos (de 0 a 9)?

Soluo: Pelo PFC temos: 26 26 10 10 10 10 = 6760000 veculos.

09.Quantos veculos podem ser emplacados num sistema em que cada placa formada por 3 letras (de um total de 26) e 4 algarismos (de 0 a 9)?

Soluo: Pelo PFC temos: 26 26 26 10 10 10 10 = 175760000 veculos

10.ANAGRAMA uma palavra formada pela transposio (troca, ou permutao, ou "embaralhamento") de letras de outra palavra, podendo ou no ter significado na lingua de origem. Por exemplo: ROMA, MARO, OMAR, RAMO, MORA, RAOM, so alguns dos 24 anagramas da palavra AMOR . Quantos so os anagramas da palavra MARTELO?

Soluo: Pelo PFC temos: 7654321 = 7! = 5040 anagramas.

11.A senha de um carto eletrnico formada por duas letras distintas seguidas por uma sequncia de trs algarismos distintos. Quantas senhas poderiam ser "confeccionadas"?

Soluo: Pelo PFC temos: 26251098 = 468000 senhas.

12.O quadrangular final de um torneio mundial de basquete disputado por quatro selees: Brasil, Cuba, Rssia e EUA. De quantas maneiras distintas podemos ter os trs primeiros colocados?

Soluo: Em um conjunto de 4 equipes de basquete temos que escolher uma seqncia (arranjo) de 3 equipes (a ordem tem importncia). Pelo PFC temos: 432 = 24 maneiras distintas (nmero de arranjos de trs selees escolhidos entre 4 selees).

13.Um colgio Estadual da cidade do Rio de Janeiro quer organizar um torneio de futebol com 8 equipes, da forma que cada equipe jogue exatamente uma vez com cada uma das outras (octogonal). Quantos jogos ter o torneio?

Soluo: Em um conjunto de 8 equipes, cada jogo um subconjunto (combinao) de 2 equipes (a ordem no tem importncia). Assim, o nmero de jogos o nmero de combinaes de 2 equipes escolhidos entre 8 equipes, ou seja, C8,2 = (87) / 2! = 56/2 = 28 jogos.

14.Considere a palavra ARARA. Se todas as 5 letras (elementos) fossem distintas, teramos 5! = 120 anagramas (permutaes). Entretanto, devemos dividir esse nmero por 3! (que o nmero de permutaes das letras A, A e A, porque elas no so distintas) e por 2! (nmero de permutaes das letras R e R, porque elas no so distintas). Assim. a palavra ARARA tem 10 anagramas. Quantos anagramas podemos formar com a palavra CARRETA?

Soluo: O nmero de anagramas : 7!/(2!2!) = 7!/4 = 5040/4 =1260 anagramas.

15.De quantas formas 12 pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular?

Soluo: O nmeros de maneiras de colocar 12 pessoas em uma fila o nmero de permutaes simples de 12 elementos, isto , 12!. Ao colocarmos estas 12 pessoas sentadas ao redor de uma mesa circular teremos 12 permutaes correspondendo a uma nica permutao, pois, agora o primeiro da "fila" vizinho do ltimo. Na verdade no existe mais o primeiro e nem o ltimo. Agora temos uma "fila" sem incio e sem fim. Ento, no nmero de permutaes de 12 elementos, existem 12 permutaes repetidas.

Logo, temos que "tirar" estas 12 permutaes do clculo dividindo 12! por 12. Assim, o nmero de permutaes pedido 12! / 12 = 11! = 39916800.

Este procedimento freqentemente chamado de clculo do nmero de permutaes circulares ou cclicas. De um modo geral, o nmero de permutaes circulares de n elementos (n natural e n > 0) n! / n .

16.Um edifcio tem 16 portas. De quantas formas uma pessoa poder entrar no edifcio e sair por uma porta diferente de que usou para entrar?

Soluo: Para entrar existem 16 possibilidades, em seguida, para sair existem 15 possibilidades. Ento pelo PFC, existem 1615 = 240 possibilidades.

17.Ao final de uma reunio com 16 pessoas, cada um dos presentes cumprimentou os demais com um aperto de mo uma nica vez. Quantos apertos de mo foram trocados?

Soluo: Temos um grupo de 16 pessoas. Uma pessoa qualquer desse grupo deve ter apertado a mo de 16-1 = 15 pessoas, e isso verdade para cada uma das 16 pessoas presentes. Mas para no contarmos duas vezes (2!) o aperto de mo dado por duas pessoas quaisquer, temos que contar o nmero total de apertos de mo como o nmero de combinaes de 2 pessoas escolhidas entre 16 pessoas, ou seja, C16,2 = (1615) / 2! = 120 apertos de mo.

18.Quantos divisores positivos tem o nmero 3888?

Soluo: Decompondo em fatores primos, vem que: 3888 = 2435. Ento, cada divisor de 3888 da forma 2a 3b onde a pode ser 0, 1, 2, 3, 4, e b pode ser 0, 1, 2, 3, 4, 5. Portanto, existem 5 possibilidades para a e 6 possibilidades para b. Logo, pelo PFC, o nmero de divisores 56 = 30 divisores.

19.Em um baralho de 52 cartas, trs so escolhidas sucessivamente. Quantas so as seqncias de resultados possveis se a escolha for feita com reposio?

Soluo: Pelo PFC temos: 525252 = 140608 seqncias.

20.Em um baralho de 52 cartas, trs so escolhidas sucessivamente. Quantas so as seqncias de resultados possveis se a escolha for feita sem reposio?

Soluo: Pelo PFC temos: 525150 = 132600 seqncias.

21.So sorteados na mega-sena seis nmeros escolhidos entre os nmeros de 1 a 60. Quantos so os resultados possveis para o sorteio da mega-sena?

Soluo: No jogo da mega-sena, a ordem com que os seis nmeros so escolhidos no tem importncia, portanto, o resultado deste jogo no uma seqncia.

Como o resultado um subconjunto, ento o nmero de resultados possveis neste tipo de loteria o nmero de combinaes de 6 nmeros escolhidos entre 60 nmeros, ou seja,

C60,6 = (60 59 58 57 56 55) / 6! = 10 59 29 19 14 11 =

50063860 resultados possveis.

Nota: Observe que a probabilidade (nmero de chances) que uma pessoa tem de acertar nesta loteria fazendo uma nica aposta de seis nmeros de 1 em 50063860 (aproximadamente 0,000002%).

22.Uma prova de vestibular contm dez questes do tipo mltipla escolha, tendo cada questo cinco alternativas. Se todas as questes forem respondidas ao acaso, qual o nmero de maneiras de preencher a folha de resposta?

Soluo: Resolver a prova representa uma ao constituda de 10 etapas sucessivas, que correspondem resoluo das 10 questes propostas. Para cada questo, h 5 possibilidades de escolha de resposta. Ento, pelo PFC temos: 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 = 510 = 9765625 maneiras.

23.Sobre uma circunferncia, tomam-se 10 pontos. Quantos tringulos podem ser construdos com vrtices nesses pontos?

Soluo: Para construir um tringulo precisamos escolher 3 pontos (vrtices) dentre os 10 pontos disponveis, e mais, a ordem com que esta escolha feita no tem importncia. Logo, o nmero de tringulos o nmero de combinaes de 3 vrtices escolhidos entre 10 pontos, ou seja, C10,3 = (10 9 8) / 3! = 720 / 6 = 120 tringulos.

24.Uma famlia composta por seis pessoas: o pai, a me e quatro filhos. Num restaurante, essa famlia vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposies diferentres essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a me fiquem juntos? Soluo:Sabendo que pai e me devem ficar juntos, vamos amarrar os dois e trat-los como se fossem um nico elemento. Veja a figura 1 abaixo:

Ao tratar o pai e me como um nico elemento, passamos a ter somente 5 elementos. Portanto, utilizando a permutao circular de 5 elementos, calculamos o nmero de possibilidades desta famlia sentar-se ao redor da mesa com pai e me juntos sendo que o pai est esquerda da me.Permutao circular (Pc) de 5 elementos calcula-se:

Pc5 = (5-1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24Portanto, para o pai a esquerda da me, temos 24 posies diferentes. Mas o pai pode estar a direita da me, como na figura 2, e ento teremos mais 24 posies diferentes para contar (novamente Pc5).Portanto, o nmero total de disposies 48.25. Dois meninos e trs meninas formaro uma roda dando-se as mos. De quantos modos diferentes podero formar a roda de modo que os dois meninos no fiquem juntos?Soluo:No total temos 5 elementos para dispor em crculo, ou seja, novamente utilizaremos Permutao Circular. Mas agora a restrio diferente, os dois meninos NO podem ficar juntos. Para esta situao, iremos calcular o nmero total de disposies (sem restrio) e diminuir deste resultado o nmero de disposies em que os meninos esto juntos (para calcular o nmero de disposies deles juntos, fazemos como no exerccio 24).O nmero total de disposies Pc5 = (5 - 1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24.Agora, para calcular o nmero de disposies com os meninos juntos, devemos amarr-los e trat-los como um nico elemento, lembrando que podemos ter duas situaes:

O nmero total de disposies com os meninos juntos 2.Pc4 (4 elementos pois os meninos esto juntos e valem por 1). Calculando este valor:2.Pc4 = 2.(4-1)! = 2.3! = 2.3.2.1 = 12Portanto, o nmero de disposies em que os meninos no esto juntos 24-12=12.

PROBABILIDADES

Suponhamos que em uma urna existam cinco bolas vermelhas e uma bola branca. Extraindo-se, ao acaso, uma das bolas, mais provvel que esta seja vermelha. Isso no significa que no saia a bola branca, mas que mais fcil a extrao de uma vermelha. Os casos possveis so seis:

E = { V,V,V,V,V,B }

E cinco so favorveis extrao da bola vermelha.

Dizemos que a probabilidade da extrao de uma bola vermelha 5/6 e o da bola branca, 1/6.

Se as bolas da urna fossem todas vermelhas, a extrao de uma vermelha seria certa e de probabilidade igual a 1. Conseqentemente, a extrao de uma bola branca seria impossvel e de probabilidade igual a zero.

ESPAO AMOSTRAL

Dado um fenmeno aleatrio, isto , sujeito s leis do acaso, chamamos espao amostral ao conjunto de todos os resultados possveis de ocorrerem. Vamos indic-lo pela letra E.

Exemplos: Lanamento de um dado e observao da face voltada para cima:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Lanamento de uma moeda e observao da face voltada para cima:

E = {C. R}, onde C indica cara e R coroa.

Lanamento de duas moedas diferentes e observao das faces voltadas para cima:

E = {(C, C), (C, R), (R, C), (R, R)}

EVENTO

Chama-se evento a qualquer subconjunto do espao amostral.

Tomemos, por exemplo, o lanamento de um dado:

ocorrncia do resultado 3 : {3}

ocorrncia do resultado par: {2, 4, 6}

ocorrncia de resultado 1 at 6: E (evento certo)

ocorrncia de resultado maior que 6 : (evento impossvel)

Como evento um conjunto, podemos aplicar-lhe as operaes entre conjuntos apresentadas as seguir.

Unio de dois eventos

Dados os eventos A e B, chama-se unio A e B ao evento formado pelos resultados de A ou de B.

Indica-se por A B

Interseco de dois eventos

Dados os eventos A e B, chama-se interseco de A e B ao evento formado pelos resultados de A e de B.

Indica-se por A B

Se A B = , dizemos que os eventos A e B so mutuamente exclusivos (disjuntos) , isto , a ocorrncia de um deles elimina a possibilidade de ocorrncia do outro.

Evento complementar

Chama-se evento complementar do evento A quele formado pelos resultados que no so de A.

Indica-se por

APLICAES

01.Considere o experimento registrar as faces voltadas para cima, em trs lanamentos de uma moeda.

a)Quantos elementos tem o espao amostral?

Sol.:

O espao amostral tem 8 elementos, pois para cada lanamento temos duas possibilidades, e, assim: .

b)Escreva o espao amostral.

Sol.:

E = {(C, C, C), (C, C, R), (C, R, C), (R, C, C), (R, R, C), (R, C, R), (C, R, R), (R, R, R)}

02.Descreva o evento obter pelo menos uma cara no lanamento de duas moedas.

Sol.:

Cada elemento do evento ser representado por um par ordenado. Indicando o evento pela letra A, temos: A = {(C, R), (R, C), (C, C)}

03.Obtenha o nmero de elementos do evento soma de pontos maior que 9 no lanamento de dois dados.

Sol.:O evento pode ser tomado por pares ordenados com soma 10, soma 11 ou soma 12. indicando o evento pela letra S, temos:

Sol.:

S = {(4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)} n(S) = 6 elementos

04.Lanando-se um dado duas vezes, obtenha o nmero de elementos do evento nmero par no primeiro lanamento e soma dos pontos iguais a 7.Sol.:Indicando o evento pela letra B, temos:

B = {(2, 5), (4, 3), (6, 1)} n(B) = 3 elementos.

Sendo n(A) o nmero de elementos do evento A, e n(E) o nmero de elementos do espao amostral E (A C), a probabilidade de ocorrncia do evento A, que se indica por P(A), o nmero real:

Observaes:

1)Dizemos que n(A) o nmero de casos favorveis ao evento A, e n(E) o nmero de casos possveis.

2)Esta definio s vale se todos os elementos do espao amostral tiverem a mesma probabilidade.

3) o complementar do evento A.

Propriedades

APLICAES

05.No lanamento de duas moedas, qual a probabilidade de obtermos cara em ambas?

Sol.:

Espao amostral: E = {(C. C), (C,R), (R, C), (R, R)}

n(E) = 4

Evento A: A = {(C, C)} n(A) = a

Assim: =

06.Jogando-se uma moeda trs vezes, qual a probabilidade de se obter cara pelo menos uma vez?

Sol.:

E = {(C, C, C), (C, C, R), (C, R, C), (R, C, C), (R, R, C), (R, C, R), (C, R, R), (R, R, R)} n(E) = 8

A = {(C, C, C), (C, C, R), (C, R, C), (R, C, C), (R, R, C), (R, C, R), (C, R, R)} n(A = 7

P(A) =

07.(Cesgranrio) Um prdio de trs andares, com dois apartamentos por andar, tem apenas trs apartamentos ocupados. A probabilidade de que cada um dos trs andares tenha exatamente um apartamento ocupado :

a) 2/5 b) 3/5 c) 1/2 d) 1/3e) 2/3

Sol.:

O nmero de elementos do espao amostral dado por:

n(E) =

O nmero de casos favorveis dado por , pois em cada andar temos duas possibilidades para ocup-lo. Portanto, a probabilidade pedida :

= (alt. A)

08.Numa experincia , existem somente duas possibilidades para o resultado. Se a probabilidade de um resultado 1/3, calcule a probabilidade do outro, sabendo que eles so complementares.

Sol.:

Indicando por A o evento que tem probabilidade 1/3, vamos indicar por o outro evento. Se eles so complementares, devemos ter:

09.No lanamento de um dado qual a probabilidade de obtermos na face voltada para cima um nmero primo?

Sol.:

Espao amostral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(E) = 6

Evento A: A = {2, 3, 5} n(A) = 3

Assim: =

10.No lanamento de dois dados qual a probabilidade de se obter soma dos pontos igual a 10?

Sol.:

Considere a tabela abaixo indicando a soma dos pontos:

Da tabela: n(E) = 36 e n(A) = 3

Assim: =

ADIO DE PROBABILIDADES

Sendo A e B eventos do mesmo espao amostral E, tem-se que:

P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)

A probabilidade da unio de dois eventos A e B igual soma das probabilidades de A e B, menos a probabilidade da interseco de A com B.

JUSTIFICATIVA

Sendo n(A B) e n(A B) o nmero de elementos dos eventos A B e A B, temos que:

Observao:

Se A e B so eventos mutuamente exclusivos, isto , , ento, .

APLICAES

11.Uma urna contm 2 bolas brancas, 3 verdes e 4 azuis. Retirando-se uma bola da urna, qual a probabilidade de que ela seja branca ou verde?

Sol.:

Nmero de bolas brancas: n(B) = 2

Nmero de bolas verdes: n(V) = 3

Nmero de bolas azuis: n(A) = 4

A probabilidade de obtermos uma bola branca ou uma bola verde dada por:

Porm, , pois o evento bola branca e o evento bola verde so mutuamente exclusivos.

Logo: , ou seja:

12.Jogando-se um dado, qual a probabilidade de se obter o nmero 4 ou um nmero par?

Sol.:

O nmero de elementos do evento nmero 4 n(A) = 1.

O nmero de elementos do evento nmero par e n(B) = 3.

Observando que , temos:

13.(FUVEST) A probabilidade de que a populao atual de um pas seja de 110 milhes ou mais de 95%. A probabilidade de ser 110 milhes ou menos 8%. Calcule a probabilidade de ser 110 milhes.

Sol.:Temos: P(A) = 95% e P(B) = 8%.

A probabilidade de ser 110 milhes . Observando que , temos:

PROBABILIDADE CONDICIONAL

Muitas vezes, o fato de sabermos que certo evento ocorreu, modifica a probabilidade que atribumos a outro evento. Indicaremos por P(B/A) probabilidade do evento B, tendo ocorrido o evento A (probabilidade condicional de B em relao a A). Podemos escrever:

MULTIPLICAO DE PROBABILIDADE

A probabilidade da interseco de dois eventos A e B igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro em relao ao primeiro.

Em smbolos:

justificativa:

analogamente:

EVENTOS INDEPENDENTES

Dois eventos A e B so independentes se, e somente se:

P(A/B) = P(A) ou P(B/A) = P(B)

Da relao , e se A e B forem independentes, temos:

APLICAES

14.Escolhida uma carta de baralho de 52 cartas e sabendo-se que esta carta de ouros, qual a probabilidade de ser dama?

Sol.:

Um baralho com 52 cartas tem 13 cartas de ouro, 13 de copas, 13 de paus e 13 de espada, tendo uma dama de cada naipe.

Observe que queremos a probabilidade da carta ser uma dama de ouros num novo espao amostral modificado, que o das cartas de ouros. Chamando de:

evento A; cartas de ouros

evento B: dama

evento A B: dama de ouros

temos:

15.Jogam-se um dado e uma moeda. D a probabilidade de se obter cara na moeda e o nmero 5 no dado.

Sol.:Evento A: A = {C} n(A) = a

Evento B: B = {5} n(B) = a

Sendo A e B eventos independentes, temos:

16.(Cesgranrio) Um juiz de futebol possui trs cartes no bolso. Um todo amarelo, outro todo vermelho, e o terceiro vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado lance, o juiz retira, ao acaso, um carto do bolso e mostra a um jogador. A probabilidade de a face que o juiz v ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela :

a)1/2 b) 2/5 c) 1/5 d) 2/3 e) 1/6

Sol.:

Evento A: carto com as duas cores

Evento B: face para o juiz vermelha e face para o jogador amarela, tendo sado o carto de duas cores Temos:

, isto :

(alternativa e)

17.Uma urna contm 3 bolas brancas e 6 bolas pretas. Retiramos, ao acaso, uma bola da urna e registramos sua cor. Repomos a bola na urna e, em seguida, retiramos ao acaso outra bola da urna. Qual a probabilidade de que as duas boas retiras sejam brancas?

Sol.:

O nmero de elementos do espao amostral n(E) = 9. Na primeira retira, a probabilidade de que a bola seja branca :

na segunda retirada, com reposio da primeira, a probabilidade de ser branca novamente:

como os dois eventos so independentes, a probabilidade pedida :

, ou seja,

01.Quando lanamos, ao acaso, um dado, h seis possibilidades quanto a face que ficar voltada para cima: A probabilidade de sair o nmero 5 de 1 em 6, ou seja, 1/6 = 16,6%. A probabilidade de sair um nmero mpar de 3 em 6, isto , 3/6 = 1/2 = 50%. a) Qual a probabilidade de sair um nmero primo? b) Qual a probabilidade de sair um nmero maior que 6? c) Qual a probabilidade de sair um nmero menor que 7? d) Qual a probabilidade de sair um nmero maior ou igual a 3?

Soluo:

O nmero de casos (resultados) possveis (espao amostral) o nmero de elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}, isto , 6. a) Nmero natural primo aquele que possui apenas dois divisores: ele mesmo e o um. O nmero de casos favorveis 3, pois, o nmero de elementos do conjunto dos primos {2, 3, 5}. Logo, a probabilidade 3/6 = = 0,5 = 50%. b) O conjunto de resultados favorveis um conjunto vazio. Assim, a probabilidade 0/6 = 0 = 0% (evento impossvel). c) O conjunto de resultados favorveis um conjunto de 6 elementos (todos os resultados possveis). Ento, a probabilidade procurada 6/6 = 1 = 100% (evento certo). d) O conjunto de resultados favorveis o conjunto {3, 4, 5, 6}, com 4 elementos. A probabilidade vale 4/6 = 2/3 = 0,666... = 66,6%. 02.(UNIRIO) Num grupo de 100 pessoas, 70 tm sangue com RH positivo e 45 tm sangue tipo O. Escolhendo-se, ao acaso, uma pessoa desse grupo, qual a probabilidade de o sangue dessa pessoa ser de tipo diferente de O?

Soluo:

Seja x o nmero de pessoas que tm sangue RH positivo e tm tambm sangue tipo O. Representando os conjuntos por meios de diagramas de Venn-Euler, vem que: 70 - x + x + 45 - x = 100.

Da, vem que, 70 + 45 - x = 100. Ento, x = 115 - 100 = 15. Assim, o nmero de pessoas que tm sangue do tipo diferente de O : 70 - 15 = 55. Logo, num total de 100 pessoas, temos 55 possibilidades (chances) de escolha. Ento, podemos dizer que a probabilidade do sangue dessa pessoa ser de tipo diferente de O 55/100 = 55%. De uma outra maneira mais rpida: Como 45 tm sangue tipo O, ento, o nmero de pessoas que tm sangue do tipo diferente de O : 100 - 45 = 55. Logo, a probabilidade de 55 possibilidades num total de 100, isto , 55%.

03.(UFJF) Ao lanarmos dois dados a probabilidade de obtermos resultados cuja soma sete :

(A) 1/2 (B) 1/3 (C) 1/4 (D) 1/5 (E) 1/6

Soluo:

Para cada dado lancado ao acaso temos 6 possibilidades de resultado. Ento, pelo PFC o nmero de casos possveis 66 = 36.

1+11+21+31+41+51+6

2+12+22+32+42+52+6

3+13+23+33+43+53+6

4+14+24+34+44+54+6

5+15+25+35+45+55+6

6+16+26+36+46+56+6

O nmero de casos favorveis o nmero de elementos do conjuntos de pares ordenados {(1,6) , (2,5) , (3,4) , (4,3), (5,2), (6,1)}, ou seja, 6. Assim, a probabilidade P = 6/36 = 1/6 = 0,16666... = 16,6%. Logo, a alternativa correta a (E).

04.(PUC) Uma prova de mltipla de escolha tem 10 questes, com trs respostas em cada questo. Um aluno que nada sabe da matria vai responder a todas as questes ao acaso, e a probabilidade que ele tem de no tirar zero :

(A) maior do que 96%(B) entre 94% e 96%(C) entre 92% e 94%(D) entre 90% e 92%(E) menor do que 90%

Soluo:

Pelo princpio fundamental da contagem (PFC), o nmero de maneiras distintas de resolver esta prova

3333333333 = 310= 59049.

Dizemos, assim, que 310 = 59049 o nmero de elementos do espao amostral, ou seja, o nmero de casos possveis.

Pelo PFC, para tirar zero, o nmero de maneiras :

2222222222 = 210 = 1024.

Logo, para NO tirar zero o nmero de maneiras de resolver esta prova

310 - 210 = 59049 - 1024 = 58025.

Dizemos, ento, que 58025 o nmero de casos favorveis. A expresso que utilizamos para o clculo da probabilidade (definio clssica) o nmero de casos favorveis dividido pelo nmero de casos possveis.

Sendo P a probabilidade do aluno no tirar zero, segue que,

P = 58025 / 59049 = 0,98265847 98%. Como 98% > 96%, concluimos que (A) a alternativa correta.

05.Num baralho normal de 52 cartas h 13 cartas (s, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama, rei) de cada um dos 4 naipes (copas, ouro, paus e espadas). De um baralho normal de 52 cartas e mais 2 coringas retirada uma carta ao acaso. a) Qual a probabilidade de ser um valete? b) Qual a probabilidade de ser um coringa, em jogos que tambm consideram o 2 como coringa?

Soluo:

a) O nmero de casos possveis 52 + 2 = 54. Como existem 4 valetes, ento, o nmero de casos favorveis 4. Sendo, P(valete) a probabilidade de a carta ser um valete, vem que ,

P(valete) = 4 / 54 = 0,074 = 7,4%. b) Como as 4 cartas com nmero 2 tambm so consideradas coringas, o nmero de casos favorveis 4 + 2 = 6. Assim a probabilidade de tirar um coringa P(coringa) = 6 / 54 = 0,11 = 11%.

06.(UFRJ) Dispomos de quatro urnas, cada uma contendo dez bolas numeradas de 0 a 9. Sorteando ao acaso uma bola de cada uma, formamos um nmero entre 0 e 9.999. Lembrando que zero multiplo de qualquer nmero inteiro, determine a probabilidade de o nmero sorteado ser mltiplo de 8.

Soluo:

Considere o evento A = {o nmero sorteado multiplo de 8}. A probabilidade da ocorrncia do evento A , a razo entre o nmero de casos favorveis ocorrncia do evento A e o nmero de resultados possveis para o experimento. Como de 0 a 9.999 podemos formar 10.000 nmeros, o nmero de resultados possveis 10.000.

Sendo o conjunto dos mltiplos de 8 uma PA, onde o primeiro termo a1 = 0 e a razo r = 8, vem que o ltimo termo dessa PA an = 9.992.

Ento, 9.992 = 0 + (n-1)8, onde n o nmero de termos. Assim,

n = (9.992 / 8) + 1 = 1.249 + 1 = 1.250 que o nmero de casos favorveis. Portanto, a probabilidade do sorteado ser mltiplo de 8 : 1.250 / 10.000 = 1/8 = 0,125 = 12,5%.

07.(MESP) Em Estatstica, o desvio de cada valor observado a diferena entre o valor e a mdia (aritmtica) dos valores observados. A varincia a mdia dos quadrados dos desvios. A raiz quadrada positiva da varincia denominada desvio padro. As idades dos 5 professores de Matemtica de uma escola so 32, 35, 41, 43 e 49. Calcule a mdia e o desvio padro das idades.

Soluo:

Calculando a mdia , encontramos

= (32 + 35 + 41 + 43 + 49) / 5 = 200 / 5 = 40. Calculando a varincia , segue que, =[(32 - 40)2 + (35 - 40)2 + (41 - 40)2 + (43 - 40)2+ (49 - 40)2] / 5 . Ento, = [64 + 25 + 1 + 9 + 81] / 5 = 180 / 5 = 36. Como o desvio padro a raiz quadrada de , concluimos que = 6.

08.(FGV) Uma companhia de seguros coletou uma amostra de 2000 motoristas de uma cidade a fim determinar a relao entre o nmero de acidentes (y) em certo perodo e a idade em anos (x) dos motoristas. Os resultados esto na tabela abaixo:

y = 0 y = 1 y = 2 y > 2

x < 20 200 50 20 10

20 x < 30 390 120 50 10

30 x < 40 385 80 10 5

x > 40 54010520 5

Adotando a freqncia relativa observada como probabilidade de cada evento,obtenha: a) a probabilidade de um motorista escolhido ao acaso ter exatamente um acidente no perodo considerado. b) a probabilidade de um motorista ter exatamente 2 acidentes no perodo considerado, dado que ele tem menos de 20 anos.

Soluo:

Freqncia relativa de um dado a taxa percentual obtida pela diviso da freqncia com que o dado aparece pelo nmero total de dados. Em Estatstica usual estimar a probabilidade pela freqncia relativa (interpretao frequencista das probabilidades). Assim, utilizando os dados da tabela, temos as solues dos itens a) e b): a) Somando a coluna correspondente a y = 1 (exatamente 1 acidente), encontramos: 50 + 120 + 80 + 105 = 355 casos favorveis num total de 2000 motoristas. Logo a probabilidade pedida : 355 / 2000 = 71 / 400 = 0,1775 = 17,75%. b) Somando a linha correspondente a x menor que 20 (ele tem menos que 20 anos) encontramos um total de 200 + 50 + 20 + 10 = 280 motoristas.

Na coluna correspondente a y = 2 (exatamente 2 acidentes) temos apenas 20 motoristas com idade inferior a 20 anos.

Logo, temos 20 casos favorveis num total de 280 casos possveis, ou seja, a probabilidade pedida : 20 / 280 = 1 / 14. O que corresponde ao percentual de 7,14% aproximadamente.

09.(ENEM) As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Mdio h 10 anos se encontraram em uma reunio comemorativa. Vrias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuio das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, mostrada no grfico abaixo.

Um prmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a criana premiada tenha sido um(a) filho(a) nico(a) :

(A) 1/3.(B) 1/4.(C) 7/15.(D) 7/23.(E) 7/25. Soluo:

O grfico de barras acima mostra que 8 pessoas no tm filhos, 7 pessoas tm 1 filho cada, 6 pessoas tm 2 filhos cada e 2 pessoas tm 3 filhos cada. Ento, o nmero total de filhos

08 + 17 + 26 + 32= 25

J o nmero de filhos nicos 17 = 7. Ento, o nmero de casos favorveis 7 e o nmero de casos possveis 25. Logo, existe 7 possibilidades (chances) em um total de 25, isto , a probabilidade P P = 7 / 25 = 0,28 = 28%.

Assim, a alternativa correta a opo (E). 10.(ESAF) Num sorteio concorreram 50 bilhetes com nmeros de 1 a 50. Sabe-se que o bilhete sorteado mltiplo de 5. A probabilidade de o nmero sorteado ser 25 : a) 15% b) 5% c) 10% d) 30% e) 20% Soluo:

Como os nmeros mltiplos de cinco (5, 10, 15, ..., 50) formam uma PA de razo r = 5, a1 = 5 e an = 50, temos que:

50 = 5 + 5(n-1). Ento

n = 45/5 + 1 = 9 + 1 = 10.

Sendo 1 o nmero de casos favorveis e 10 o nmero de casos possveis, segue que a probabilidade procurada

1/10 = 0,1 = 10% (resp c).

11.Um casal decidiu que vai ter 5 filhos. Qual seria a probabilidade de que tivesse pelo menos 2 meninos?

Soluo:

A ao constituda de 5 etapas. Para cada etapa existem 2 possibilidades (menino ou menina). Pelo PFC, o nmero de casos possveis

22222 = 32. O nmero de casos favorveis o nmero de maneiras de ter pelo menos 2 meninos (dois meninos ou mais), ou seja, de ter 2 meninos e 3 meninas, ou, 3 meninos e 2 meninas, ou, 4 meninos e 1 menina, ou, 5 meninos e 0 meninas. Observe que estamos contando permutaes com repeties, ento o nmero de casos favorveis : 5!/(2!3!) + 5!/(3!2!) + 5!/(4!1!) + 5!/(5!0!) = 10 + 10 + 5 + 1 = 26 Em outras palavras, dos 5 filhos, sem importar a ordem de escolha, temos que escolher 2 meninos, ou, 3 meninos, ou, 4 meninos, ou 5 meninos, isto , o nmero de casos favorveis : C5,2 + C5,3 + C5,4 + C5,5 = 10 +10 + 5 + 1 = 26 Logo, a probabilidade de que tivesse pelo menos 2 meninos P = 26/32 = 13/16 = 81,25%12.No jogo da mega-sena so sorteados seis nmeros distintos de 1 a 60. No importa a ordem em que os nmeros so sorteados, mas apenas quais deles foram sorteados. Podemos apostar em uma sena (escolhermos seis nmeros apenas), mas pode-se apostar em mais de seis nmeros em um mesmo jogo. Podemos marcar sete, oito, nove ou dez nmeros num mesmo carto, o que vai custar mais caro, proporcionalmente ao aumento de nossa chance de acertar. Qual a probabilidade que uma pessoa tem de acertar nesta loteria fazendo uma nica aposta de oito nmeros?

Soluo: O nmero de resultados possveis para o sorteio a quantidade de combinaesque podemos formar com os 60 nmeros, agrupados seis a seis, ou seja,

C60,6 = (605958575655) / 6! = 50063860. O nmero de quantidade de senas com as quais estamos concorrendo (resultados favorveis) o nmero de combinaes que podemos formar com os 8 nmeros, agrupados seis a seis, isto ,

C8,6 = 8 7 / 2! = 28. Logo, a probabilidade de acertar 28 / 50063860 , o que significa que a chance de acertar de 28 em um total de 50.063.860 casos, ou seja, 0,000056% aproximadamente. 13.Um grupo de 50 moas classificado de acordo com a cor dos cabelos, e dos olhos de cada moa, segundo a tabela:

olhos azuisolhos castanhostotais

loira 179 26

morena 4 1418

ruiva 3 3 6

totais242650

a) Se voc marca um encontro com uma dessas garotas, escolhidas ao acaso, qual a probabilidade dela ser: I) Morena? II) loira de olhos azuis? III) loira ou ter olhos azuis? b) Est chovendo quando voc encontra a garota. Seus cabelos esto completamente cobertos, mas voc percebe que ela tem olhos azuis. Qual a probabilidade de que ela seja loira? Soluo: Com base na tabela, podemos responder todas as perguntas, observando que: Se existe interseo, o conectivo "ou" est associado unio de conjuntos, e o conectivo "e" est associado interseo de conjuntos.

Se no existe interseo (caso de eventos mutuamente exclusivos), o conectivo "ou" est associado soma.

No caso de eventos sucessivos e independentes o conectivo "e" est associado a multiplicao (consequncia do Princpio Fundamental da Contagem). a) O nmero de casos possveis o total de 50 moas. I) O nmero de casos favorveis a menina escolhida ser morena o total de 18 morenas. Portanto, a probabilidadede ser morena P = 18 / 50 = 9 / 25 = 0,36 = 36% II) Cruzando os dados na tabela, vemos que o nmero de casos favorveis a menina escolhida ser loira e ter olhos azuis (interseo de conjuntos) 17. Ento, a probabilidade de ser loira de olhos azuis P = 17 / 50 = 0,34 = 34%. III) O nmero de casos favorveis a menina escolhida ser loira ou ter olhos azuis o nmero de elementos da unio do conjunto da loiras com o conjunto das moas com olhos azuis.

Pelo diagrama construido, temos que o nmero de casos favorveis 7 + 17 + 9 = 33. Ou, usando n(AB) = n(A) + n(B) n(AB) = 24 + 26 - 17 = 33. Logo, a probabilidade procurada P = 33 / 50 = 0,66 = 66%. b) O fato de voc perceber que a garota tem olhos azuis, significa que o nmero de garotas escolhidas ao acaso no mais 50 (eventos dependentes). O nmero de casos possveis agora o total de moas de olhos azuis, ou seja, 24 moas . Ento o nmero de casos favorveis a menina escolhida ser loira 17. Logo a probabilidade procurada P = 17 / 24 = 0,708333... = 70,8% Este procedimento chamado de clculo da probabilidade da ocorrncia do evento A sabendo-se que j ocorreu o evento B (probabilidade condicional), ou seja, P(A | B) = n(A B) / n(B) = 17 / 24 = 0,708333... = 70,8% 14.Um congresso mdico rene 48 psiquiatras, dos quais 18 so mulheres; 72 psiclogos, dos quais 53 so mulheres; e 27 neurologistas, dos quais 10 so mulheres. Um dos participantes foi escolhido ao acaso para coordenar os trabalhos. Sabendo-se que a pessoa sorteada mulher, qual a probabilidade de que ela seja psiquiatra? Soluo: Construindo uma tabela para visualizar melhor o problema, temos: PsiquiatrasPsiclogosNeurologistasTotal

Mulheres18531081

Homens30191766

Total487227147

Como a pessoa sorteada mulher, o nmero de elementos do espao amostral (nmero de resultados possveis) passa a ser o total de mulheres que 81. O nmero de resultados favorveis a quantidade de mulheres psiquiatras, ou seja, 18. Ento a probabilidade procurada P = 18 / 81 = 2 / 9 = 0,222... = 22,22 %. Observe que poderamos ter usado a probabilidade da ocorrncia do evento A sabendo-se que j ocorreu o evento B (probabilidade condicional), ou seja, P(A | B) = n(A B) / n(B) = 18 / 81 = 2 / 9 = 0,222... = 22,22 %. 15.Quando Joo vai a um restaurante, a probabilidade de ele consumir alguma sobremesa igual a 0,58, a probabilidade de ele consumir caf expresso igual a 0,22, e a probabilidade de ele consumir alguma sobremesa e caf expresso igual a 0,16. Sendo assim, a probabilidade de Joo ir a um restaurante e no consumir nenhuma sobremesa nem caf expresso est entre:

(A) 0,10 e 0,20. (B) 0,21 e 0,30. (C) 0,31 e 0,40. (D) 0,41 e 0,50. (E) 0,51 e 0,60.

Soluo:

Temos que:

P(sobremesa) = 0,58 = 58% ;

P(caf) = 0,22 = 22% ;

P(sobremesa e caf) = 0,16 = 16%. Construindo o diagrama, encontramos:

Assim, 42%+ 16% + 6% + x = 100% 64% + x = 100% x = 36% = 36 / 100 = 0,36 (alternativa C). De outra maneira: P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) = 0,58 + 0,22 - 0,16 = 0,8 - 0,16 = 0,64 = 64% A resposta procurada a probabilidade complementar de P(AB) , ou seja, 1 - 0,64 = 0,36 = 36%, que est na alternativa (C).

01. Um grupo de 4 alunos (Alice, Bernardo, Carolina e Daniel) tem que escolher um lder e um vice-lder para um debate.

a) Faa uma lista de todas as possveis escolhas (use a inicial de cada nome, para facilitar). Organize a sua lista do seguinte modo: primeiro, escreva todas as possibilidades em que Alice a presidente, depois aquelas em que Bernardo presidente, e assim por diante.

b) Usando agora o princpio multiplicativo, ache quantas so as escolhas possveis de lder e vice-lder em que os alunos tm sexos diferentes.

02. De quantos modos possvel colocar 8 pessoas em fila de modo que duas dessas pessoas, Vera e Paulo, no fiquem juntas e duas outras, Helena e Pedro, permaneam juntas?

03. Permutam-se de todas as formas possveis os algarismos 1,2,4,6,7 e escrevem-se os nmeros assim formados em ordem crescente. Determine:

a) que lugar ocupa o nmero 62 417?

b) que nmero que ocupa o 660 lugar?

c) qual o 1660 algarismo escrito?

04. De um baralho comum de 52 cartas, sacam-se, sucessivamente e sem reposio, duas cartas. De quantos modos isso pode ser feito se a primeira carta deve ser de copas e a segunda no deve ser um rei?

05. Uma turma tem aulas as segundas, quartas e sextas, de 13h s 14h e de 14h s 15h. As matrias so Matemtica, Fsica e Qumica, cada uma com duas aulas semanais em dias diferentes. De quantos modos pode ser feito o horrio dessa turma?

06. De quantos modos podemos colocar uma torre branca e outra preta em um tabuleiro de xadrez, sem que uma ameace a outra? (Ou seja, as duas torres no devem estar na mesma linha ou coluna).

07. Um anagrama de uma palavra uma nova palavra obtida reordenando suas letras (esta nova palavra pode no fazer sentido).

a) Quantos so os anagramas da palavra SAVEIRO?

b) Quantos deles comeam com S?

c) Quantos deles terminam com vogal?

d) Quantos apresentam o pedao VEIR?

08. Em uma festa h 5 homens e 5 mulheres, que vo formar 5 casais para uma dana de quadrilha. Quantas so as maneiras de formar esses casais? E se houvesse 5 homens e 8 mulheres?

09. De quantos modos 5 homens e 5 mulheres podem se sentar em 5 bancos de 2 lugares, se em cada banco deve haver um homem e uma mulher?

10. Para pintar a bandeira abaixo esto disponveis as seis cores dadas, sendo que regies adjacentes devem ser pintadas de cores diferentes.

a) Qual o nmero mnimo de cores a serem usadas?

b) De quantos modos a bandeira pode ser pintada?

11. Supondo que as mesmas 6 cores estejam disponveis, de quantos modos pode-se pintar o smbolo abaixo de modo que quadrantes adjacentes no tenham a mesma cor (quadrantes opostos podem ter a mesma cor)?

12. Quantos dados diferentes possvel formar gravando nmeros de 1 a 6 sobre as faces de um cubo?

a) Suponha uma face de cada cor.

b) Suponha as faces iguais.

c) Suponha que as faces so iguais e que a soma dos pontos de faces opostas deva ser igual a 7.

13. Um estacionamento, inicialmente vazio, tem 10 vagas adjacentes. O primeiro carro pode parar em qualquer vaga. A partir do segundo carro, porm, cada carro deve parar em uma vaga vizinha a uma vaga j ocupada. De quantos modos diferentes as vagas podem ser preenchidas? [Sugesto: passe o filme aocontrrio; de onde sai o ltimo carro? E o penltimo?].

14. Para sortear uma vaga em uma reunio de condomnio, da qual participaram 12 pessoas, foram colocados 12 pedaos de papel idnticos, todos em branco, exceto um, no qual foi escrita a palavra vaga. Cada pessoa retira, na sua vez, um papel da urna. O que melhor: ser o primeiro ou o ltimo a sortear seu papel?

15. Considere uma turma de 20 alunos.

a) Quantas so as maneiras de escolher um representante, um secretrio e um tesoureiro?

b) Considere agora que desejemos escolher trs dos alunos para formar uma comisso. Por que a resposta no a mesma do item anterior?

c) O que necessrio fazer com a resposta do item a para obter a resposta do item b?

16. Um casal decidiu que vai ter 4 filhos. Qual a probabilidade de que:

a) tenham pelo menos um menino?

b) tenham filhos de ambos os sexos?

c) tenham dois filhos de cada sexo?

17. Os alunos de um certo curso fazem 4 matrias, entre as quais Clculo e lgebra Linear. As provas finais sero realizadas em uma nica semana (de segunda a sexta). Admitindo que cada professor escolha o dia da sua prova ao acaso, qual a probabilidade de que:

a) as provas de lgebra Linear e Probabilidade sejam marcadas para o mesmo dia?

b) no haja mais do que uma prova em cada dia?

18. 24 times so divididos em dois grupos de 12 times cada. Qual a probabilidade de dois desses times ficarem no mesmo grupo?

19. Em um armrio h 6 pares de sapatos. Escolhem-se 2 ps de sapatos. Qual a probabilidade de se formar um par de sapatos?

20. Em uma turma h 12 rapazes e 15 moas. Quantos so os modos de escolher uma comisso de 4 pessoas:

a) sem restries?

b) que incluam Jos (que um dos alunos)?

c) que no incluam Mrcia (que uma das alunas)?

d) com 2 rapazes e 2 moas?

e) que tenham pelo menos um rapaz e uma moa?

21. No jogo da Mega-Sena so sorteados, a cada extrao, 6 dos nmeros de 1 a 60.

a) Quantos so os resultados possveis da Mega-Sena?

b) Um apostador aposta nos nmeros 2, 7, 21, 34, 41 e 52. Qual a sua chance de ganhar? E se ele tivesse apostado nos nmeros 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

c) Quantas vezes maiores so as chances de ganhar de quem aposta em 8 nmeros?

d) Suponha que o nmero 17 no sorteado h muito tempo. Isto modifica as chances de ele ser sorteado da prxima vez?

22. Cinco dados so jogados simultaneamente. Determine a probabilidade de se obter:

a) um par;

b) dois pares;

c) uma trinca;

d) uma quadra;

e) uma quina;

f) uma seqncia;

g) um "full hand", isto , uma trinca e um par.

23. Em um grupo de 4 pessoas, qual a probabilidade de:

a) haver alguma coincidncia de signos zodiacais?

b) haver exatamente trs pessoas com um mesmo signo e uma pessoa com outro signo?

c) as quatro pessoas terem o mesmo signo?d) haver duas pessoas com um mesmo signo e duas outras pessoas com outro signo?

24. Em um torneio h 16 jogadores de habilidades diferentes. Eles so sorteados em grupos de 2, que jogam entre si. Os perdedores so eliminados e os

Vencedores jogam entre si, novamente divididos em grupos de 2, at restar s um jogador, que declarado campeo. Suponha que no haja zebras(ou seja, o jogador de habilidade superior sempre vence.

a) Qual a probabilidade de o segundo melhor jogador ser vice-campeo do torneio?

b) Qual a probabilidade de o quarto melhor jogador ser vice-campeo do torneio?

c) Qual o nmero mximo de partidas que o dcimo melhor jogador consegue disputar?

d) Qual a probabilidade de ele disputar esse nmero mximo de partidas?

25. Um dado honesto tem duas de suas faces pintadas de vermelho e as demais de azul. O dado lanado trs vezes, anotando-se a cor da face obtida.

a) Qual a probabilidade de que a cor obtida no 1o lanamento seja igual obtida no 3o?

b) Dado que a mesma cor foi obtida no 1o e 2o lanamentos, qual a probabilidade de que no 3o lanamento saia esta mesma cor?

26. Sejam Im = {1, 2, ..., m} e In = {1, 2, ..., n}, com m n. Quantas so as funes f: Im In estritamente crescentes? E no-decrescentes?

27. Quantos so os nmeros naturais de 7 dgitos nos quais o dgito 4 figura exatamente 3 vezes e o dgito 8 exatamente 2 vezes?

28. O conjunto A possui p elementos e o conjunto B possui n elementos. Determine o nmero de funes f: A B sobrejetivas para:

a) p = n; b) p = n+1; c) p = n+2.

29. Considere um conjunto C de 20 pontos do espao que tem um subconjunto C1 formado por 8 pontos coplanares. Sabe-se que toda vez que 4 pontos de C so coplanares, ento eles so pontos de C1. Quantos so os planos que contm pelo menos trs pontos de C?

30. Onze cientistas trabalham num projeto sigiloso. Por questes de segurana, os planos so guardados em um cofre protegido por muitos cadeados de modo que s possvel abri-los todos se houver pelo menos 5 cientistas presentes.

a) Qual o nmero mnimo possvel de cadeados?

b) Na situao do item a, quantas chaves cada cientista deve ter?

01.

a) AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC

b) O lder pode ser escolhido de 4 modos; uma vez escolhido o lder, o vice-lder pode ser escolhido de 3 modos. O nmero total de possibilidades 4 3 = 12.

02.

As filas em que Helena e Pedro esto juntos so 2!x7! = 10 080. As filas em que Helena e Pedro esto juntos e Vera e Paulo tambm esto juntos so em nmero de 2!x2!x6! = 2 880. A resposta 10 0802 880 = 7 200.

03. a) Para descobrir o lugar do 62 417 voc tem que contar quantos so os nmeros que o antecedem. Antecedem-no todos os nmeros comeados em 1 (4! = 24 nmeros), em 2 (4! = 24 nmeros), em 4 (4! = 24 nmeros), em 61(3! = 6 nmeros) e em 621 (2! = 2 nmeros), num total de 24+24+24+6+2 = 80 nmeros. Ele ocupa o 810 lugar.

b) Ao escrever os nmeros comeados por 1, escrevemos 4! = 24 nmeros; incluindo agora os comeados por 2 teremos mais 4! = 24 nmeros, acumulando um total de 48 nmeros; incluindo agora os comeados por 41, 42 e 46, teremos mais 3!+3!+3! = 18 nmeros, acumulando um total de 66 nmeros. O 660 nmero o ltimo dos comeados por 46, ou seja, 46 721.

c) Como em cada nmero h 5 algarismos e 166 = 5x33+1, o 1660 algarismo escrito o 10 algarismo do 340 nmero. Ao escrever os nmeros comeados por 1, escrevemos 4! = 24 nmeros; incluindo agora os comeados por 2 teremos mais 4! = 24 nmeros, acumulando um total de 48 nmeros. Logo, todos os nmeros do 250 ao 480, inclusive, comeam

análise combinatória #

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