introduÇÃo À anÁlise combinatÓria. o que É a anÁlise combinatÓria? a análise combinatória...

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INTRODUÇÃO À ANÁLISE INTRODUÇÃO À ANÁLISE COMBINATÓRIA COMBINATÓRIA

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Page 1: INTRODUÇÃO À ANÁLISE COMBINATÓRIA. O QUE É A ANÁLISE COMBINATÓRIA? A análise combinatória corresponde ao ramo da matemática que procura elaborar métodos

INTRODUÇÃO À ANÁLISE INTRODUÇÃO À ANÁLISE COMBINATÓRIACOMBINATÓRIA

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O QUE É A ANÁLISE O QUE É A ANÁLISE COMBINATÓRIA?COMBINATÓRIA?

A análise combinatória corresponde A análise combinatória corresponde ao ramo da matemática que procura ao ramo da matemática que procura elaborar métodos que nos permitam elaborar métodos que nos permitam encontrar o número de possibilidades encontrar o número de possibilidades que um evento pode ocorrer, sem a que um evento pode ocorrer, sem a obrigatoriedade de descrevermos obrigatoriedade de descrevermos todos os eventos possíveis. todos os eventos possíveis.

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Trata-se de uma parte da Trata-se de uma parte da matemática extremamente prática, matemática extremamente prática, onde a teoria é apenas uma pequena onde a teoria é apenas uma pequena fração do conhecimento exigido.fração do conhecimento exigido.

Isso significa que, mais que fórmulas Isso significa que, mais que fórmulas e conceitos, devemos ter muita e conceitos, devemos ter muita criatividade e uma boa dose de criatividade e uma boa dose de interpretação na hora de resolver os interpretação na hora de resolver os problema.problema.

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POR QUE É IMPORTANTE CONHECER POR QUE É IMPORTANTE CONHECER UM PROCESO DE CONTAGEM?UM PROCESO DE CONTAGEM?

É importante conhecermos tais É importante conhecermos tais métodos, pois nem sempre temos métodos, pois nem sempre temos condições de descrever todas as condições de descrever todas as formas sob as quais uma situação formas sob as quais uma situação pode ocorrer, principalmente em pode ocorrer, principalmente em situações onde a resposta é um situações onde a resposta é um número muito elevado.número muito elevado.

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O PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA O PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEMCONTAGEM

Corresponde ao mais importante princípio da Corresponde ao mais importante princípio da análise combinatória. Uma boa parte dos análise combinatória. Uma boa parte dos exercícios de contagem podem ser resolvidos exercícios de contagem podem ser resolvidos usando-se esse princípio simples.usando-se esse princípio simples.

Tal princípio procura estabelecer qual o Tal princípio procura estabelecer qual o número de maneira que um determinado número de maneira que um determinado evento pode ocorrer, quando a ordem de evento pode ocorrer, quando a ordem de seus elementos é importante e quando seus elementos é importante e quando este evento é segmentado em diversas este evento é segmentado em diversas etapas. etapas.

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PODEMOS ENUNCIAR O PFC DA PODEMOS ENUNCIAR O PFC DA SEGUINTE MANEIRA:SEGUINTE MANEIRA:

Se um evento pode ocorrer por várias etapas Se um evento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes, de tal modo que:sucessivas e independentes, de tal modo que:

P1 é o número de possibilidades da etapa 1;P1 é o número de possibilidades da etapa 1;

P2 é o número de possibilidades da etapa 2;P2 é o número de possibilidades da etapa 2;

Pn é o número de possibilidades da etapa n.Pn é o número de possibilidades da etapa n.

O número de maneiras que o evento O número de maneiras que o evento pode ocorrer é dado por: pode ocorrer é dado por: p1.p2.p3...pn.p1.p2.p3...pn.

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EXEMPLO 1EXEMPLO 1

Uma fábrica produz automóveis, cujos modelos Uma fábrica produz automóveis, cujos modelos podem ser escolhidos de acordo com alguns podem ser escolhidos de acordo com alguns opcionais. Os clientes podem decidir entre as opcionais. Os clientes podem decidir entre as seguintes opções:seguintes opções:

Modelo: conversível ou não conversívelModelo: conversível ou não conversível Combustível: gasolina, bicombustível ou gás.Combustível: gasolina, bicombustível ou gás.

De quantas formas se pode escolher um carro com De quantas formas se pode escolher um carro com essas opções?essas opções?

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RESOLUÇÃORESOLUÇÃO

Sabemos que existem duas opções quanto ao Sabemos que existem duas opções quanto ao modelo (conversível ou não conversível) e três modelo (conversível ou não conversível) e três opções para o combustível (gasolina, opções para o combustível (gasolina, bicombustível ou gás).bicombustível ou gás).

De acordo com o princípio fundamental da De acordo com o princípio fundamental da contagem, o número de possibilidades que temos contagem, o número de possibilidades que temos ao todo é dado pelo produto das possibilidades ao todo é dado pelo produto das possibilidades de cada evento individual.de cada evento individual.

Dessa forma, o número de possibilidades é igual a Dessa forma, o número de possibilidades é igual a 2.3 = 6 possibilidades. 2.3 = 6 possibilidades.

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Observe que esse resultado condiz com a Observe que esse resultado condiz com a realidade. Observe o diagrama abaixo.realidade. Observe o diagrama abaixo.

De acordo com o diagrama as opções são: De acordo com o diagrama as opções são: {conversível e gasolina; conversível e gás; {conversível e gasolina; conversível e gás; conversível e bicombustível; não conversível e conversível e bicombustível; não conversível e gasolina; não conversível e gás; não conversível e gasolina; não conversível e gás; não conversível e bicombustível} bicombustível}

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EXEMPLO 2EXEMPLO 2

Uma secretária devia enviar cinco cartas a Uma secretária devia enviar cinco cartas a cada um dos clientes de uma empresa. cada um dos clientes de uma empresa. Apesar de saber os endereços dos Apesar de saber os endereços dos clientes, ela não sabia qual deveria ser o clientes, ela não sabia qual deveria ser o destino de cada carta. Se os conteúdos destino de cada carta. Se os conteúdos das cartas são distintos e cada cliente das cartas são distintos e cada cliente receberá uma cata diferente, de quantas receberá uma cata diferente, de quantas maneiras ela poderá enviar as cinco maneiras ela poderá enviar as cinco cartas?cartas?

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RESOLUÇÃORESOLUÇÃO

Vamos chamar os clientes de A, B, C, D e E. Dessa Vamos chamar os clientes de A, B, C, D e E. Dessa forma, o cliente A poderá receber qualquer uma forma, o cliente A poderá receber qualquer uma das cinco cartas. Escolhida a carta de A, o cliente das cinco cartas. Escolhida a carta de A, o cliente B poderá receber qualquer uma das quatro cartas B poderá receber qualquer uma das quatro cartas que sobraram. Seguindo esse raciocínio temos que sobraram. Seguindo esse raciocínio temos que o cliente C pode receber 3 cartas, o D duas e que o cliente C pode receber 3 cartas, o D duas e o E apenas uma.o E apenas uma.

Pelo princípio fundamental da contagem, o número Pelo princípio fundamental da contagem, o número total de possibilidades é: 5.4.3.2.1 = 120 total de possibilidades é: 5.4.3.2.1 = 120 possibilidadespossibilidades

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EXEMPLO 3EXEMPLO 3

Um determinado site utiliza uma senha de acesso Um determinado site utiliza uma senha de acesso composta por cinco caracteres, sendo os dois composta por cinco caracteres, sendo os dois primeiros alfabéticos (26 letras) e os três últimos primeiros alfabéticos (26 letras) e os três últimos numéricos (10 algarismos). Para tornar ainda numéricos (10 algarismos). Para tornar ainda mais seguro ao acesso ao site, a direção resolveu mais seguro ao acesso ao site, a direção resolveu instituir uma nova senha composta por seis instituir uma nova senha composta por seis caracteres, sendo os três primeiros alfabéticos e caracteres, sendo os três primeiros alfabéticos e os três últimos numéricos. Com essa nova os três últimos numéricos. Com essa nova decisão, quantas senhas adicionais e distintas decisão, quantas senhas adicionais e distintas poderão ser cadastradas?poderão ser cadastradas?

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RESOLUÇÃORESOLUÇÃO

A quantidade de senhas que o site oferecia antes A quantidade de senhas que o site oferecia antes do aumento era dada por:do aumento era dada por:

26.26.10.10.10 = 67600026.26.10.10.10 = 676000

Após o aumento, o número de senhas passou a ser:Após o aumento, o número de senhas passou a ser:26.26.26.10.10.10 = 1757600026.26.26.10.10.10 = 17576000

O aumento no número de senhas é dado pela O aumento no número de senhas é dado pela diferença entre esses dois valores.diferença entre esses dois valores.

n= 17576000 – 676000 = 16900000 novas senhasn= 17576000 – 676000 = 16900000 novas senhas

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O PRINCÍPIO ADITIVOO PRINCÍPIO ADITIVO

Tal princípio trabalha com eventos independentes. Tal princípio trabalha com eventos independentes. Em outras palavras quanto temos a opção de Em outras palavras quanto temos a opção de escolher uma coisa ou outra.escolher uma coisa ou outra.

De maneira geral temos que: Se existem x De maneira geral temos que: Se existem x maneiras de se tomar uma decisão A e y maneiras de se tomar uma decisão A e y maneiras de se tomar uma decisão B, o número maneiras de se tomar uma decisão B, o número de opções de se tomar a decisão A ou a B será de opções de se tomar a decisão A ou a B será dada por x + y.dada por x + y.

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Observe que quanto usamos o termo Observe que quanto usamos o termo “ou” em Análise Combinatória, “ou” em Análise Combinatória, devemos somar as possibilidades dos devemos somar as possibilidades dos eventos e quando usamos o termo eventos e quando usamos o termo “e”, devemos multiplicar o número “e”, devemos multiplicar o número de possibilidades.de possibilidades.

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EXEMPLO:EXEMPLO:

José quer instalar a internet em sua José quer instalar a internet em sua casa. Após uma análise de possíveis casa. Após uma análise de possíveis provedores, verificou que existem 10 provedores, verificou que existem 10 opções de acesso à internet do tipo opções de acesso à internet do tipo banda-larga e duas opções de acesso banda-larga e duas opções de acesso do tipo discada. Se ele escolher uma do tipo discada. Se ele escolher uma delas, quantas opções de escolha delas, quantas opções de escolha são possíveis?são possíveis?

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RESOLUÇÃORESOLUÇÃO

José escolherá apenas uma das opções de José escolherá apenas uma das opções de internet, ou seja, uma das opções de internet, ou seja, uma das opções de banda larga ou uma das opções de banda larga ou uma das opções de internet discada.internet discada.

Seu assim, o número de opções de José será Seu assim, o número de opções de José será 10 + 2 = 12 opções de escolha.10 + 2 = 12 opções de escolha.

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EXEMPLO 2EXEMPLO 2

Um certo tipo de código usa apenas dois Um certo tipo de código usa apenas dois símbolos, o número zero (0) e o número símbolos, o número zero (0) e o número um (1) e, considerando esses símbolos um (1) e, considerando esses símbolos como letras, podem-se formar palavras. como letras, podem-se formar palavras. Por exemplo: 0, 01, 00, 001 e 110 são Por exemplo: 0, 01, 00, 001 e 110 são algumas palavras de uma, duas e três algumas palavras de uma, duas e três letras desse código. Qual o número letras desse código. Qual o número máximo de palavras, com três letras ou máximo de palavras, com três letras ou menos, que podem ser formadas com esse menos, que podem ser formadas com esse código?código?

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RESOLUÇÃORESOLUÇÃO As palavras formadas podem possuir uma, duas As palavras formadas podem possuir uma, duas

ou até três letras. Logo para achar o total de ou até três letras. Logo para achar o total de possibilidades devemos considerar as palavras possibilidades devemos considerar as palavras que possuem uma ou duas ou três letras.que possuem uma ou duas ou três letras.

Palavras com uma letra: 2 possibilidadesPalavras com uma letra: 2 possibilidades Palavras com duas letras: são duas possibilidades Palavras com duas letras: são duas possibilidades

para a primeira letra e duas para segunda, ao para a primeira letra e duas para segunda, ao todo são 2.2 = 4 possibilidades.todo são 2.2 = 4 possibilidades.

Palavras com três letras: temos duas Palavras com três letras: temos duas possibilidades para a primeira letra, duas para a possibilidades para a primeira letra, duas para a segunda e duas para a terceira, totalizando 2.2.2 segunda e duas para a terceira, totalizando 2.2.2 = 8 possibilidades.= 8 possibilidades.

Ao todo temos 2 + 4 + 8 = 14 possibilidades Ao todo temos 2 + 4 + 8 = 14 possibilidades

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OBSERVAÇÃO IMPORTANTEOBSERVAÇÃO IMPORTANTE

Muitos problemas de análise Muitos problemas de análise combinatória apresentam algum tipo de combinatória apresentam algum tipo de restrição, ou seja, uma condição prévia restrição, ou seja, uma condição prévia que deve ser satisfeita para a resolução que deve ser satisfeita para a resolução do problema. Nos problemas em que do problema. Nos problemas em que tais restrições aparecem, devemos tais restrições aparecem, devemos iniciar a resolução do problema por tal iniciar a resolução do problema por tal restrição e depois resolvemos o resto restrição e depois resolvemos o resto do problema.do problema.

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EXEMPLOEXEMPLO

(Unicamp-SP) Sabendo que os (Unicamp-SP) Sabendo que os números de telefone não começam números de telefone não começam com 0 nem com 1, calcule quantos com 0 nem com 1, calcule quantos diferentes números de telefone diferentes números de telefone podem ser formados com 7 podem ser formados com 7 algarismos.algarismos.

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RESOLUÇÃORESOLUÇÃO

Se o número de telefone não pode ter o primeiro Se o número de telefone não pode ter o primeiro algarismo igual a zero ou um, sobram 8 algarismo igual a zero ou um, sobram 8 algarismos que podem ocupar essa primeira algarismos que podem ocupar essa primeira posição. As demais posições podem ser ocupadas posição. As demais posições podem ser ocupadas por quaisquer algarismos. Isso quer dizer que por quaisquer algarismos. Isso quer dizer que para o segundo algarismo temos 10 para o segundo algarismo temos 10 possibilidades, para o terceiro 10, para o quarto possibilidades, para o terceiro 10, para o quarto 10, para o quinto 10, para o sexto 10 e para o 10, para o quinto 10, para o sexto 10 e para o sétimo 10.sétimo 10.

Logo, o total de possibilidades será:Logo, o total de possibilidades será:

8.10.10.10.10.10.10 = 8 000 000 de possibilidades 8.10.10.10.10.10.10 = 8 000 000 de possibilidades