Análise

Combinatória

O estudo da análise combinatória nos permite

descobrir quais são as diferentes possibilidades de uma

combinação de variáveis. Por exemplo, quantas placas

de carro são possíveis de existir no sistema atual de

placas brasileiro. É uma matéria bastante cobrada em

vestibulares e concursos públicos, pois envolve um

pensamento mais abstrato, pois na maioria das

vezes, não enxergamos todas as possibilidades.

A explicação dessa matéria é muito mais fácil

quando utilizamos exemplos. Então, supondo que um

restaurante “À la carte” tenha disponível 2 tipos de

bifes, 2 tipos de arroz, 2 tipos de feijão e 3 tipos de

bebidas. O dono do restaurante queira servir pratos

contendo 1 elemento de cada tipo de comida. Nomeando

os tipos de comida da forma “bife 1, arroz 1, arroz 2 …

bebida 1, bebida 2, etc”, montamos o esquema:

Se formos seguir os caminhos descritos pelas

linhas, encontraremos 24 caminhos, que são o total de

possibilidades de pratos diferentes. Perceba que

quanto mais opções de comidas, maior e mais

complexo fica o esquema. Então, imagine como seria

descobrir as possibilidades das placas de carro no

sistema brasileiro? (três letras, 4 algarismos).

- Princípio fundamental da contagem

- Fatorial

- Arranjos simples

- Permutação simples

- Combinação

- Permutação com elementos repetidos

Para efetuar os cálculos desses problemas

devemos estudar algumas propriedades da análise

combinatória:

Fatorial e o

Principio

Fundamental

da Contagem

Fatorial

Considerando n um número natural maior que 1

(um), podemos definir como fatorial desse número n

(n!) o número:

n! = n(n – 1).(n – 2).(n – 3) * ...* 3 * 2 * 1

Lê-se n! como n fatorial ou fatorial de n.

Veja alguns exemplos:

5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120

8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40320

6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720

10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3.628.800

Princípio Fundamental da Contagem

Quando um evento é composto por n etapas sucessivas e

independentes, de tal forma que as possibilidades da primeira etapa é

m e as possibilidades da segunda etapa é n, consideramos então que o

número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo

produto m*n.

Exemplo

Ao lançarmos uma moeda e um dado temos as seguintes

possibilidades:

Moeda: cara ou coroa (duas possibilidades)

Dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (seis possibilidades)

Observando o ocorrido, vemos que o evento tem duas

etapas com 2 possibilidades em uma e 6 em outra,

totalizando 2*6 = 12 possibilidades.

Arranjo

Simples

A análise combinatória estuda dois tipos de agrupamentos: Arranjos e

combinações. Sendo que diferem em arranjos simples, combinações

simples.

Arranjos são agrupamentos em que a ordem dos seus elementos faz a

diferença, por exemplo, os números de três algarismos formados pelos

elementos {1,2 e 3} são:

312, 321, 132, 123, 213, 231

Esse agrupamento é um arranjo, pois a ordem dos elementos 1, 2 e 3

diferem. E é considerado simples, pois os elementos não se repetem.

Para que tenhamos arranjos simples é preciso ter um conjunto de

elementos distintos com uma quantidade qualquer de elementos,

sendo que os arranjos simples formados irão possuir n elementos,

sendo que essa quantidade será igual ou menor que a quantidade de

elementos do conjunto.

Veja o exemplo o exemplo a seguir:

Dado o conjunto B = {5,6,7}, veja os possíveis agrupamentos formados

com 2 elementos de B.

Então, os agrupamentos formados com 2 elementos do conjunto b

são: 56,57,65,67,75,76. Esse agrupamento é formado por arranjos simples

pelos elementos do conjunto B.Nesse exemplo percebemos que é possível formar 6 arranjos,

essa quantidade pode ser representada da seguinte forma: A3,2 (arranjo

simples de três elementos distintos tomados de dois a dois). Utilizando

o processo do princípio fundamenta l da contagem, calculamos

a quantidade de elementos:A3,2 = 3 . 2 . 1 = 6

Se em um agrupamento compararmos os arranjos simples

formados perceberemos que eles se diferem de duas maneiras diferentes:

pela ordem de seus elementos ou pela natureza de seus elementos. Por

exemplo: Se compararmos os arranjos 56 e 65 do exemplo anterior, perceberemos que

eles são diferentes pela ordem dos seus elementos.

Se compararmos os arranjos 75 e 76 do exemplo anterior, perceberemos que

eles são diferentes pela natureza de seus elementos, pois são diferentes.Considerando n a quantidade de elementos de um conjunto qualquer e p um

número natural menor ou igual a n. p será a classe ou a ordem do arranjo.

Indicado da seguinte forma: An, p

A fórmula geral utilizada no cálculo da quantidade de arranjos simples é:

Permutação

Simples

Podemos considerar a permutação simples como um caso particular de

arranjo, onde os elementos formarão agrupamentos que se diferenciarão

somente pela ordem.

Para determinarmos o número de agrupamentos de uma permutação

simples utilizamos a seguinte expressão P = n!.

Exemplo

Quantos anagramas podemos formar com a palavra GATO?

Resolução:

Podemos variar as letras de lugar e formar vários anagramas, formulando

um caso de permutação simples.

P = 4! = 24

Todas as possibilidades:

Permutação

com elementos

repetidos

Permutação de elementos repetidos deve seguir uma forma

diferente da permutação, pois elementos repetidos permutam entre

si. Para compreender como isso acontece veja o exemplo abaixo:

A permutação da palavra MATEMÁTICA ficaria da seguinte forma:

Sem levar em consideração as letras (elementos) repetidas, a

permutação ficaria assim:

P10

= 10! = 3.628.800

Agora, como a palavra MATEMÁTICA possui elementos que

repetem, como a letra A que repete 3 vezes, a letra T repete 2 vezes e a

letra M repete 2 vezes, assim a permutação entre si dessas repetições

seria 3! . 2! . 2!. Portanto, a permutação da palavra MATEMÁTICA

será:

Portanto, com a palavra MATEMÁTICA podemos montar 151200

anagramas.

Seguindo esse raciocínio podemos concluir que, de uma maneira

geral, a permutação com elementos repetidos é calculada utilizando a

seguinte fórmula:

Dada a permutação de um conjunto com n elementos, alguns

elementos repetem α vezes, β vezes e γ vezes. Então, a permutação é

calculada:

Combinação

Simples

Na combinação simples, a ordem dos elementos no agrupamento

não interfere. São arranjos que se diferenciam somente pela

natureza de seus elementos. Portanto, se temos um conjunto A

formado por n elementos tomados p a p, qualquer subconjunto de

A formado por p elementos será uma combinação, dada pela

seguinte expressão:

Uma importante aplicação de combinação simples é nas

loterias, megassena, quina entre outras. A megassena consiste

em uma cartela de 60 números dentre os quais devemos

acertar 6 (prêmio principal), portanto temos uma combinação

onde n = 60 e p = 6, sessenta números tomados seis a seis.

Na megassena existem

50.063.860

combinações, caso sejam

tomadas seis a seis.

Matemática aplicada

Prof. Léo Moreira

Referencias:

• Site Brasil Escola

http://www.brasilescola.com/matematica/

• Matemática Completa; Giovanni & Bonjorno;

Editora FTD