análise combinatória ii

PRÉ-VESTIBULARLIVRO DO PROFESSOR

MATEMÁTICA

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Produção Projeto e Desenvolvimento Pedagógico

Disciplinas Autores

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I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]

660 p.

ISBN: 978-85-387-0571-0

1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.

CDD 370.71


1EM

_V_M

AT

_014

Análise Combinatória: Permutação, Combinação e Binômio de Newton

Permutações com repetições

Exemplo 1: `

Quantas arrumações podem ser feitas com as seis letras b, a, n, a, n, a?

Formaremos as arrumações escolhendo primeiro as três

posições em que os a’s ficarão, isto é

206

3= maneiras.

Agora, vamos escolher as suas posições (entre as três

remanescentes) em que os n’s ficarão, isto é

33

2 =

maneiras e, finalmente, na última posição fica o b. Dessa

maneira, existem 20 . 3 . 1 = 60 arrumações.

Teorema: se existem n objetos dos quais k1 são do tipo 1, k2 são do tipo 2, ..., e km são do tipo m, onde k1 +

k2 + ... + km = n, então o número de arrumações destes n objetos denotado por P(n; k1, k2, ..., km) é

=

2

1

1m21 k

k-n

3

2

kk-k1-n

m

m

kk-k1...-n...

kn

)k,...,k,k;n(P

!!...kk!kn!

m21

=

Demonstração: Além do argumento utilizado no exemplo acima, escolhendo as posições para um dos tipos dentre aquelas que restarão, podemos provar o teorema anterior da seguinte forma:

Suponhamos que para cada tipo dos ki objetos do tipo i sejam dados índices 1, 2, 3, ..., m, tornado-os distintos. Existem, nesse caso n! arrumações destes n objetos distintos. Enumeremos n! arrumações de objetos distintos, relacionando todas as P(n; k1, k2, ..., km) disposições (sem índices) dos objetos e, então, para cada disposição são colocados os índices de todos os modos possíveis. Por exemplo, da disposi-ção baanna os índices podem ser colocados nos a’s de 3! maneiras:

b a1 a2 n n a3b a2 a1 n n a3 b a3 a1 n n a2

b a3 a2 n n a1b a1 a3 n n a2 b a2 a3 n n a1


2 EM

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Para cada uma dessas 3! formas de indexar os a’s, existem 2! maneiras para indexar os n´s. Em geral, uma disposição qualquer terá k1! modos de indexar os k1 objetos do tipo 1, k2! modos para o tipo 2, ..., km modos para o tipo n. Então

ou!k!...k!k.)k...,,k,k;n(P!n m21m21=

!k...!k!k

!n)k...,,k,k;n(P

m21m21 =

Combinações com repetição

Exemplo 2: `

de quantas formas diferentes podemos comprar seis cachorros-quentes, escolhendo entre três variedades distintas?

Para resolver problemas de escolhas com repetição, precisamos fazer uma correspondência com um problema relacionado a uma escolha sem repetição. Suponhamos que as três variedades sejam sem mo-lho, com molho e completo, e que a atendente tenha anotado o seguinte pedido

sem molho com molho completo

x xxxx x

Se cada x representa um cachorro-quente, então o pedido acima significa um sem molho, quatro com molho e um completo. Uma vez que todos os aten-dentes saibam que esta é a sequência dos pedidos de cachorros-quentes (sem molho, com molho, com-pleto), podemos omitir os nomes das variedades es-crevendo apenas x | xxxx | x. Assim, qualquer pedido de k cachorros-quentes consiste numa sequência de k x’s e dois |’s. Reciprocamente, toda sequência de k x’s e dois |’s representa um pedido: os x’s antes do primeiro | representa o número de cachorros sem molho: os x’s entre os dois |’s representa o número de cachorros com molho e os x’s finais representam o número de cachorros completos. Deste modo, existe uma correspondência um a um entre pedidos e tais sequências, mas o número de encadeamento de seis x’s e dois |’s é simplesmente o número de escolhas de duas posições na ordem para os |’s. Por isso, a

resposta é

.28

82

=

Teorema: o número de escolhas com repetição

de k objetos dentre n tipos de objetos é

−+k

1nk

Demonstração: Como fizemos anteriormente, os x’s antes do primeiro | conta o número de objetos do primeiro tipo, os x’s entre o primeiro e o segundo |’s conta o número de objetos do segundo tipo, ..., e os x’s após o (n – 1) – ésimo| conta o número de objetos do n-ésimo tipo ( n – 1 traços são necessários para separar

n tipos). O número de sequências com k x’s e (n – 1) |’s

é

−+k

1)(nk

DistribuiçõesGeralmente um problema de distribuição é

equivalente a um problema de arrumação ou de escolha com repetição. Problemas especializados de distribuição devem ser divididos em subcasos que possam ser contados por intermédio de permutações e combinações simples. Um roteiro geral para modelar problemas de distribuição é: distribuições de objetos distintos correspondem a arrumações e distribuições de objetos idênticos correspondem a escolhas.

Dessa maneira, distribuir k objetos distintos em n urnas diferentes é equivalente a colocar os objetos em linha e atribuir o nome de cada uma das n diferentes urnas em cada objeto. Assim, existem

k vezesn . n . n . ... n = nk distribuições. Se ki objetos devem ir

para a urna i, existem P(n; k1, k2, ..., kn) distribuições.

Por outro lado, o processo de distribuir k objetos idênticos em n urnas distintas é equivalente a escolher um subconjunto (não-ordenado) de k nomes de urnas, com repetição, entre as n escolhas de urnas. Assim,

existem 1)!(nk!1)!n(k

k

1nk

−−+

=

−+

distribuições.

Os problemas de escolhas com repetição podem ser formulados de três formas equivalentes, a saber:

O número de maneiras de escolhermos k ob-1) jetos com repetição dentre n tipos de objetos diferentes.

O número de formas de distribuir k objetos 2) idênticos em n urnas distintas.

O número de soluções inteiras não-negativas 3) da equação x1 + x2 + ... + xn = k.

É importante que sejamos capazes de rees-crever um dado problema enunciado em uma das


3EM

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formas acima sob as outras duas. Muitos acham a versão 2 o meio conveniente de olhar para tais pro-blemas em virtude de sua distribuição ser mais fácil de visualizar (na cabeça de alguém). Além disso, o argumento original com pedido de cachorros- -quentes, que utilizamos para deduzir fórmula para escolhas com repetição, foi na realidade um modelo de distribuição. A versão 3 é a mais geral (e mais abstrata) do problema.

Permutações circularesConsideremos n objetos distintos e disponha-

mos esses n objetos em torno de um círculo.

Se n > 3, podemos imaginar esses objetos situ-ados nos vértices de um polígono, por exemplo um polígono regular.

O quadro abaixo apresenta as disposições dos objetos A, B, C, D em torno de um círculo.

A

D

C

B A C

B

D

B

A

C

D

B

A

D

C

A

D

B

C

D

A

C

B

B

D

A

C

C

B

D

A

A

C

D

B

B

A

C

D

D

B

A

C

C

D

B

A

A

A

A

B

B

B

C

C

C

D

D

D

C

C

C

A

A

A

D

D

D

BB

D

D

D

A

A

B

A

B

B

B

C

C

C

A

A

A

B

B

B

C

C

C

D

D

D

Observamos, então, que:

A 1.ª coluna do quadro foi obtida fixando-se o objeto A e permutando-se os objetos B, C, D de todos os modos possíveis, isto é, 3!=6 modos. Em cada linha uma disposição pode ser obtida de outra por uma rotação conveniente e dadas duas disposições em linhas diferentes, nenhuma pode ser obtida da outra por qualquer rotação.

Assim, chama-se permutação circular de n obje-tos distintos qualquer disposição desses objetos em torno de um círculo e duas permutações circulares são indistinguíveis se, e somente se, uma pode ser obtida a partir da outra por uma rotação convenien-

te, como por exemplo duas permutações quaisquer de uma mesma linha do quadro. Diremos ainda que duas permutações circulares são distinguíveis se, e somente se, uma não pode ser obtida da outra por qualquer rotação como, por exemplo, duas permuta-ções quaisquer em linhas diferentes do quadro.

Portanto, no cálculo das permutações circula-res interessa apenas a posição relativa dos objetos entre si, isto é, o número de permutações circulares distinguíveis.

O número de permutações circulares de n obje-tos, denotado por (PCn), é igual a n!/n, isto é

)!1n(n

!n)PC( n −==

Consideremos o produto indicado:

(a + b + c)(m + n)(x + y + z + w)

Para se formar um termo do produto indicado acima, devemos escolher uma parcela em cada um dos polinômios e efetuar o produto das mesmas.

Assim, por exemplo, escolhendo a parcela b no primeiro polinômio, n no segundo e z no terceiro, for-mando o termo bnz, do desenvolvimento do produto.

Alguns outros termos do desenvolvimento do produto acima são:

amx, anw, cmy etc.

Desenvolvimento de (x + a)n; n IN

Consideremos a igualdade:

(x + a)n = (x + a)(x + a) ... (x +a) (1)

Para se formar um termo do produto (x + a).(x + a) ... (x +a) devemos escolher uma parcela em cada um dos n fatores x +a e efetuar o produto das mesmas.

Por exemplo, se escolhermos p letras a em p dos n binômios, e n – p letras x dos n – p binômios restantes, então um termo genérico do desenvolvi-mento de (x + a)n é da forma:

n

p n-p

n pp

a a ...a x x ... x a x com p 0,1,2,..., n (2)-

= =6447448

123123

O número de termo da forma (2) é, então, igual ao número de modos de escolhermos p letras a n binômios, x +a, isto é, p

nC .

Por conseguinte, reduzindo todos os termos da forma apxn–p, encontramos um único termo, a saber:

pnC apxn–p (3)

Finalmente, fazendo em (3) p variar de 0 até n, encontramos todos os termos (reduzidos) do desen-volvimento de (x + a)n.


4 EM

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Então,

pnppn

n

0p

n xaC)ax( −

=∑=+

Expandindo o somatório acima, temos:

++++

++=+−−−

−−− ...

xCxaC

xaCxaCxaC)ax(1nn

n11n1n

n

2n22n

1n11n

0n00n

n

ou ainda,n n 1 n 1 2 2 n 2 n 1 n 1 n

n n n(x a) x C a x C a x ... C a x a- - - -+ = + + + + + (I)

que é denominada Fórmula de Newton.

Termo geral do desenvolvimento de (x + a)n

Todos os termos do desenvolvimento de (x + a)n são obtidos de p–npp

n xaC quando fazemos neste termo, p variar de 0 a n.

Por esse motivo, p–nppn xaC é chamado de termo

geral.

Designado o 1.º, 2.º, 3.º, ... termos do desenvol-vimento de (x + a)n respectivamente por T1, T2, T3, ..., podemos observar que:

para p = 0 obtemos n00n1 xaCT =

para p = 1 obtemos 1n11n2 xaCT −=



Isto é, a ordem de cada termo é igual à taxa da com- binação correspondente mais 1. Como a taxa da combinação do termo geral é p, segue-se que este termo é de ordem p + 1. Isto é,

pnppn1p xaCT −

+ = (II)

Desenvolvimento de (x – a)n, n IN

Substituindo-se, em (I), a por (–a), temos:n n 1 n 1 2 2 n 2 n 1 n 1 n

n n n(x a) x C ( a) x C ( a) x ... C ( a) x ( a)- - - -- = + - + - + + - + -

Mas, tendo em vista que:

(–a)P = (–1 . a)P = (–1)PaP

n n 1 n 1 2 2 n 2 n 1 n 1 nn n n(x a) x C ( a) x C ( a) x ... C ( a) x ( a)- - - -- = + - + - + + - + -

obtemos finalmente:nn1n

n1n2n22

n1n1

nnn a)1(xC)1(...xaCaxCx)ax( −+−+−+−=− −−−−

(III)

Termo geral da (III)Para se obter o termo geral da (III), substituímos,

em (II), a por –a, obtendo:

Tp+1 = (–1)p CPn a

p xn-P (IV)

Propriedades do desenvolvimento de (x + a)n

1.ª PropriedadeO desenvolvimento de (x + a)n tem n+1 ter-

mos, pois é um polinômio cujos coeficientes são:nn

2n

1n

0n C...,,C,C,C

2.ª PropriedadeOs coeficientes de dois termos equidistantes

dos extremos são iguais.De fato. Sejam Tp+1 e Tq+1 termos equidistantes

dos extremos, onde q deve ser determinado a partir de n e p.

Consideremos o esquema:+

+ = + + + + ++ +

64444444744444448n 1

n n n(x a) x ... T ... T ...ap 1 q 1

Então,q +1 +p = n + 1 q = n – p Tq+1 = T’n–p+1

Por conseguinte, temos:

coeficiente de pnC 1pT =+

coeficiente de n –pnC n – p + 1T =

Mas, pnCp– n

nC = (combinações complementares) e, portanto, os coeficientes de dois termos equidis-tantes dos extremos são iguais.

Quando n é ímpar, n +1 é par e o desenvolvi-mento de (x +a)n tem n +1

2 pares de dois termos

com coeficientes iguais.


5EM

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3.ª PropriedadeA soma dos coeficientes de (x + a)n é 2n.

De fato, fazendo em

,nax1–na1–nnC...2–nx2

nC1–nax1nCnxna)(x +++++=+

x = a = 1, temos:1C...CC11)(1 1n–

n2n

1n

n +++++=+ oun2n

nC1–nnC...2

nC1nC0

nC =+++++

4.ª PropriedadeNo desenvolvimento de (x + a)n a soma dos

coeficientes dos termos de ordem ímpar é igual à soma dos coeficientes dos termos de ordem par.

De fato, fazendo em

++++++=+ −−−−− 22n2nn

3n33n

2n22n

1n1n

nn xaC...xaCxaCaxCx)ax(n1n1n

n axaC ++ −−

x = 1 e a = –1, temos:n1n

n1n2n

n2n3

n2n

1n

n )1(C)1(C)1(...CCC1)11(0 −+−+−++−+−=−= −−−−

...CCC...CCC 5n

3n

1n

4n

2n

0n ++++++= )(−

Corolário

A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (x – a)n é 0.

A figura abaixo representa o mapa de uma cidade, na 1. qual há sete avenidas na direção norte-sul e seis aveni-das na direção leste-oeste.

A

B

C

Quantos são os trajetos de comprimento mínimo, a) ligando o ponto A ao ponto B?

Quantos desses trajetos passam por b) C?

Solução: `

Para ir de A até B, deve-se andar para a direita seis a) vezes e para cima cinco vezes. O número de ordens

em que isso pode ser feito é 462.6!5!11!

P 6,511 ==

Outra Resposta:

Para ir de A até B, deve-se andar para a direita seis vezes e para cima cinco vezes, num total de 11 “passos”. O número de ordens em que isso pode ser feito é o número de modos de escolher quais seis dos 11 “passos” serão dados para a direita,

462

6!5!11!

C611 == .

Para ir de A até C, deve-se andar para a direita qua-b) tro vezes e para cima quatro vezes. O número de ordens em que isso pode ser feito é 4,4

8P . Para ir de C até B, deve-se andar para a direita duas vezes e para cima uma vez. O número de ordens em que isso pode ser feito é 2,1

3P .

A resposta é 4,48P .

2,13P = 70 x 3 = 210.

Outra Resposta:

Para ir de A até C, deve-se andar para a direi-ta quatro vezes e para cima quatro vezes. O nú-mero de ordens em que isso pode ser feito é o número de modos de escolher quais quatro dos oito “passos” serão dados para a direita, 4

8C . Para ir de C até B, deve-se andar para a direita duas ve-zes e para cima uma vez. O número de ordens em que isso pode ser feito é o número de modos de escolher quais dois dos três “passos” serão dados para a direita, 2

3C .

A resposta é 48C . 2

3C = 70 x 3 = 210.

Quantos números de sete dígitos, maiores que 2. 6 000 000, podem ser formados usando apenas os algarismos 1,3,6,6,6,8,8?

Solução: `

1802!2!1!1!

6!P 2,2,1,1

6 == números começados por 6 e

1203!1!1!1!

6!P 3,1,1,1

6 == números começados por 8.

A resposta é 180 + 120 = 300.

Dada a equação x3. 1 + x2 + x3 = 7, calcule:

o número de soluções inteiras positivas.a)

o número de soluções inteiras não-negativas.b)


6 EM

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Solução: `

Podemos identificar o problema do cálculo do nú-a) mero de soluções inteiras positivas dessa equação com o seguinte problema:

Escrevendo-se em fila sete algarismos iguais a 1, de quantos modos podemos separar esses algarismos em três grupos, onde cada grupo contém pelo me-nos um algarismo?

1 1 1 1 1 1 1

Observemos que entre os sete algarismos há seis espaços; se colocarmos elementos de separação (como barras verticais) em dois desses espaços, obteremos uma disposição correspondente a uma solução da equação dada. Assim, por exemplo, a disposição:

1 | 1 1 1 1 | 1 1

corresponde à solução (1, 4, 2).

Reciprocamente, cada solução inteira positiva da equação corresponde a um modo de se colocar as duas barras em dois dos seis espaços.

Por exemplo, a solução (2, 3, 2) corresponde à dis-posição:

1 1 | 1 1 1 | 1 1

Então, o número de soluções inteiras positiva da equação

x1 + x2 + x3 = 7

é igual ao número de modos de se escolher dois dos seis espaços, para se colocar as duas barras, isto é:

152

6=

Um raciocínio análogo para a equação

x1 + x2+ ... + xn = k(k natural)

nos fornece o número de soluções inteiras positi-vas:

−−1n

1k

Com efeito, supondo escritos em fila n algarismos iguais a 1, devemos separá-los em n-grupos, tendo cada grupo pelo menos um algarismo.

1 1 1 1 1 1 ... 1

Basta, então, escolher n-1 dos k-1 espaços entre os algarismos para se colocar as n-1 barras, o que pode

ser feito de

−−1n

1k

modos.

Se n = k, a equação x1 + x2+ ... + xn = k possui uma única solução, e se n > k a equação não possui so-lução inteira positiva.

Seja ainda a equação xb) 1 + x2+ x3 = 7 e determi-nemos, agora, o número de soluções inteiras não-negativas, Isto é, soluções como

(7, 0, 0), (5, 1, 1), (4, 2, 1), (0, 2, 5) etc.

Suponhamos escritas todas estas soluções em uma mesma coluna, e somente uma unidade a cada in-teiro dessas soluções, obtendo soluções inteiras po-sitivas de uma nova equação.

x1 + x2+ x3 = 10

Quantos anagramas da palavra ARATACA começam 4. por consoante?

Solução: `

Seja o esquema:

7651 PPPPPP 432P

Acontecimentos N.º de ocorrênciasA1: escolha de umaconsoante para ocupar a posição P1

3

A2: ocupação das seis posições restantes pelas seis letras restantes, após ter ocorrido A1.

1.1.46P

Pelo princípio multiplicativo o número pedido é:

904!1!1!

6!3P3 114

6 =⋅

=⋅ ⋅⋅

De quantos modos cinco meninos e cinco meninas po-5. dem formar uma roda de ciranda de modo que pessoas de mesmo sexo não fiquem juntas?

Solução: `

Há (PC)5 = 4! modos de formar uma roda com as me-ninas. Depois disso, os cinco meninos devem ser postos nos cinco lugares entre as meninas, o que pode ser feito de 5! modos.

A resposta é 4! x 5! = 24 x 120 = 2 880


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Uma pulseira deve ser cravejada com um rubi, uma 7. esmeralda, um topázio, uma água-marinha, uma turma-lina e uma ametista. De quantos modos isso pode ser feito, supondo:

que a pulseira tem fecho e um relógio engasta-a) do no fecho;

que a pulseira tem fecho;b)

que a pulseira não tem fecho e o braço só pode c) entrar na pulseira em um sentido;

que a pulseira não tem fecho e o braço pode d) entrar na pulseira nos dois sentidos.

Solução: `

As seis pedras devem ser postas em 6 lugares.a)

A resposta é P6 = 6! = 720.

Agora, a pulseira pode entrar no braço de dois b) modos dife rentes, de modo que uma mesma pulseira pode, colocada no braço, apresentar pedras na ordem ABCDEF ou FEDCBA.

A resposta é 720/2 = 360.

Sem o fecho, a pulseira pode rodar no braço.c)

A resposta é (PC)6 = 5! = 120.

Agora, a pulseira pode entrar no braço de dois d) modos dife rentes, de modo que uma mesma pulseira pode, colocada no braço, apresentar pedras na ordem ABCDEF ou FEDCBA.

A resposta é 120/2 = 60.

Solução: `

Pela fórmula (III), temos:

2 5 2 5 1 2 4 2 2 2 3 3 3 2 25 5 5

4 4 2 55

10 8 6 2 4 3 2 4 5

(2x - y) = (2x ) - C y(2x ) + C y (2x ) - C y (2x ) +

C y (2x )- y =

32x -80x y +80x y - 40x y +10x y - y

Calcule o 5.º teb) rmo do desenvolvimento de 8

2

x1

yx21

−

Solução: `

Neste caso, n = 8 e p + 1 = 5 . ⋅ . p = 4.

Termo geral: pnppn

p1p xaC1)(T −+ −=

Por conseguinte,

444

24

48

45 yx

835

yx21

x1

C(–1)T =

=

Calcule, sem desenvolver, o termo independente de x 9.

de 14

3x

2–43x

Solução: `

Termo geral:

7p–56.xp–14.3p.2p14Cp(–1)

3p–4p–56.xp–14.3p.2p14Cp(–1)

p–14)4(3xp

3x

2p14Cp(–1)

p–nxpapnCn(–1)1pT

=

=

=

=+

Para que o termo seja independente de x, deve-se ter:

8p07p–56 =∴=

Logo, o termo pedido é:

68814

68814

89 3.2.C3.2.C1)(T =−=

De quantos modos n casais podem formar uma roda 6. de ciranda de modo que cada homem permaneça ao lado de sua mulher?

Solução: `

Há (PC)n = (n – 1)! modos de formar uma roda com as n mulheres. Depois disso, para cada um dos n maridos há dois modos de entrar na roda: à direita ou à esquerda de sua mulher.

A resposta é (n – 1)!2n.

8.

Desenvolver (2xa) 2 –y)5

(UFES-2001) Uma agência bancária cadastra as con-10. tas de seus clientes usando um número N de quatro algarismos, seguido de um dígito de controle, o qual é definido como o resto da divisão de N11 por 7. Por exemplo, na conta 2001-6, o algarismo de controle 6 é o resto da divisão de (2001)11 por 7; isso pode ser comprovado escrevendo-se


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2001 = 7 x 286 - 1

e, a seguir, utilizando o binômio de Newton para desenvolver a potência (7 x 286-1)11.

Por esse raciocínio, ou equivalente, o algarismo de controle da conta número 2003 é igual a:

1a)

2b)

3c)

4d)

5e)

Solução: ` A

2003 = 7 x 286 + 1

Pelo desenvolvimento do binômio de Newton o único que não é fator de 7 é o último, ou seja, 1.

De quantos modos n casais podem formar uma roda 13. de ciranda de modo que cada homem permaneça ao lado de sua mulher e que pessoas de mesmo sexo não fiquem juntas?

Usando as fórmulas, calcule os desenvolvimentos das 14. seguintes potências:

(x + a)a) 3

(x – a)b) 3

(x + a)c) 6

(x – a)d) 7

(3a + 2b)e) 5

(x – 2y)f) 7

Usando as fórmulas (II) ou (IV), calcule:15.

O 5.º termo de (x + 2y)a) 11

O 4.º termo de (1 – 2x)b) 12

O 3.º tc) ermo de

O 5.º termo de d)

O 6.º termo de e)

O 5.º termo de f)

Aplicando a Lei16. de formação dos termos, calcule o desenvolvimento dos seguintes binômios:

a)

(3x + 2y)b) 5

c)

d)

e)

(3af) 2 + 1)5

Determine o termo independente do desenvolvimento 17.

de

Determine os termos médios do desenvolvimento de 18.

Calcule sem desenvolver, o termo independente de x 19.

de .

Quantas são as soluções inteiras não-negativas de 1. x + y + z + w = 3?

Quantas são as soluções inteiras não-negativas de 2. x + y + z + w < 6?

Quantas são as soluções inteiras positivas de 3. x + y + z = 10?

Quantas são as soluções inteiras positivas de 4. x + y + z < 10?

Quantas são as peças de um dominó comum?5.

I6. m = {1, 2, ..., m} e In = {1, 2, ..., n}. Quantas são as funções f: Im In não decrescentes?

De quantos modos podemos colocar em fila sete letras 7. A, seis letras B e cinco letras C de modo que não haja duas letras B juntas?

Qual é o número máximo de termos de um polinômio 8. homogêneo do grau p com n variáveis?

Qual é o número máximo de termos de um polinômio 9. do grau p com n variáveis?

A fábrica X produz oito tipos de bombons, que são vendidos 10. em caixas de 30 bombons (de um mesmo tipo ou sortidos). Quantas caixas diferentes podem ser formadas?

De quantos modos podem ser pintados seis objetos 11. iguais usando três cores diferentes?

De quantos modos n crianças podem formar uma roda 12. de ciranda de modo que duas dessas crianças perma-neçam juntas? E de modo que p(p < n) dessas crianças permaneçam juntas?


9EM

_V_M

AT

_014

Calcule, sem desenvolver, o termo máximo de 20. .

Calcule, sem desenvolver, o termo 21. máximo de .

Quantos números inteiros entre 1 e 100 000 têm soma 1. dos algarismos igual a 6?

Quantas são as soluções inteiras não-negativas de 2. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 20 nas quais exatamente três incógnitas são nulas? Em quantas, pelo menos três são nulas?

Os números inteiros compreendidos entre 100 000 e 3. 999 999 são divididos em classes de modo que dois números diferentes estão na mesma classe se, e só se, eles têm os mesmos algarismos, diferindo apenas na ordem. Assim, por exemplo, 552 221 e 125 252 estão na mesma classe. Quantas classes são assim formadas?

Quantas são as soluções inteiras não-negativas de x + 4. y + z + w = 20 nas quais x > y?

Quantos inteiros entre 1 e 100 000, inclusive, têm a 5. propriedade: “cada dígito é menor ou igual ao seu sucessor”?

Uma urna contém n bolas, das quais devem ser esco-6. lhidas p bolas. Determine:

O número Aa) Pn de seleções ordenadas, se repetições

não são permitidas (essas seleções são denomina-das arranjos simples de classe p das n bolas);

O número de seleções desordenadas (isto é, sele-b) ções que só diferem pela ordem são consideradas iguais), se repetições não são permitidas;

O número ARc) Pn de seleções ordenadas, se repeti-

ções são permitidas (essas seleções são chama-das de arranjos completos de classe p das n bolas. Também são usados os nomes arranjos com repo-sição ou arranjos com repetição);

O número de seleções desordenadas, se repeti-d) ções são permitidas.

Sejam A e B conjuntos de números naturais com 7. #A = p e #B = n

Quantas são as funções f: A a) B?

Quantas são as funções injetoras f: A b) B?

Quantas são as funções f: A c) B estritamente cres-centes?

Quantas são as funções f: A d) B não-decrescentes?

Sugira uma definição formal para Ce) Pn, CRP

n, APn, ARP

n.

Seja A um conjunto com #A = n.8.

Quantas são as funções f: A a) A bijetoras?

Sugira uma definição formal para Pb) n.

De quantos modos podemos escolher três números, não 9. necessariamente distintos, no conjunto {1, 2, ..., 150} de modo que a soma dos números escolhidos seja divisível por 3? E se os números devessem ser distintos?

Quantas permutações de sete letras A e sete letras B, 10. nas quais não há três letras A adjacentes, existem?

De quantas maneiras é possível colocar seis anéis dife-11. rentes em quatro dedos?

São dados n pontos em círculo. Quantos n-ágonos 12. (não ne cessariamente convexos) existem com vértices nesses pontos?

De quantos modos cinco mulheres e seis homens podem 13. formar uma roda de ciranda de modo que as mulheres permaneçam juntas?

Quantos dados diferentes existem se a soma das faces 14. opostas deve ser 7?

Calcule, sem desenvolver, a soma dos coeficientes dos 15. termos de (2x - 3x2y2)17.

Determine o coeficiente de x16. 3 no desenvolvimento de: (2x – 3)4(x + 2)5

(CICE-70)17.

Sejam, a = 10150, b = 9950 + 10050. Pode-se afirmar que:

a > ba)

a < bb)

a = bc)

a = bd) 50

N.R.A.e)

Calcule a soma dos coeficientes dos termos de or-18. dem ímpar e a soma dos coeficientes dos termos de ordem par do desenvolvimento de: (2x – 3y)n.

Calcular o valor da seguinte soma:19.

Calcular o valor da seguinte soma:20.

Sendo n par, calcule o valor da seguinte soma:21.

Se k é par, calcule a soma: 22. .


10 EM

_V_M

AT

_014

Calcule a soma:23.

Prove que:24.

a)

b)

Calcule a soma: 25. n

p = 0

(–1)p 1p + 1

C pn

Calcul26. e a soma: n

p = 0

(–1)p–1 1p + 1

Cpn

Cal27. cule a soma: n

p = 0

2p+1C p

n

p + 1


11EM

_V_M

AT

_014

201.

1262.

363.

844.

285.

6.

1 7. 359 072

8.

9.

10 295 47210.

2811.

12.

2 . (n – 2)! e

p! . (n–p)!, respectivamente.

2 . (n–1)!.13.

14.

xa) 3 + 3ax2 + 3a2x + a3

xb) 3 - 3ax2 + 3a2x - a3

xc) 6 + 6ax5 + 15a2x4 + 20a3x3 + 15a4x2 + 6a5x + a6

xd) 7 – 7ax6 + 21a2x2 – 35a3x4 + 35a4x3 – 21a6x2 + 7a6x – a7

(3a)e) 5 + 5(2b)(3a)4 + 10(2b)2(3a)3 + 10(2b)3(3a)2 + 5(2b)4(3a) + (2b)5

xf) 7 - 7(2y)x6 + 21(2y)2x5 - 35(2y)3x4 + 35(2y)4x3 –

– 21(2y)g) 5x2 + 7(2y)6x - (2y)7

15.

5 280xa) 7y4

–1 760xb) 3

c)

d)

e)

f)


12 EM

_V_M

AT

_014

16.

a)

243xb) 5 + 810x4y + 1 080x3y2 + 720x2y3 + 240xy4 + 32y5

c)

d)

e)

f)

7017.

– 56027

18. x12 y4 e 28081

x9 y3

19.

20.

21.

2101.

2.

3 420a)

3 711b)

5 0043.

8254.

2 0015.

6.

a)

b)

ARc) pn = np

d)

7.

na) p.

b) n p

c) , n p

d)

Sejam A e B conjuntos ordenados com #A = p e e) #B = n. C p

n é o número de funções f : A B estri-tamente crescentes.

CRpn é o número de funções f : A B não-decres-

centes.

Apn é o número de funções f : A –+ B injetivas.

ARpn é o número de funções f : A B.

8.

n!.a)

é o número de funções bijetivas de um conjunto, b) cujo número de elementos é n, em si mesmo.

191 300 e9.

183 800, respectivamente.

1 01610.

1 29611.

n!/(2n) = 12. (n – 1)!

286 400.13.

214.

–115.

168 x16. 3

A17.

18.

19.

20.

21. , se n par.

Observação:

Se n é ímpar,

pois o número de termos é par e as parcelas equidistantes dos extremos são simétricas.

22.

23.

ou

(demonstração)24.

1n + 125.


13EM

_V_M

AT

_014

nn + 1

26.

1n + 1

27. . (2n+1–1)


14 EM

_V_M

AT

_014


15EM

_V_M

AT

_014


16 EM

_V_M

AT

_014


análise combinatória ii

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