UNIVERSIDADE FEDERAL DO MATO GROSSO UFMTCAMPUS UNIVERSITRIO DO ARAGUAIA INSTITUTO DE CINCIAS EXATAS E DA TERRA - ICET

Estatstica geralAnlise Combinatria

Prof Fares Frades Coelho

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A verdadeira eloquncia zomba da eloquncia, a verdadeira moral zomba da moral; quer dizer que a moral do juzo zomba da moral do esprito, que no tem regras. Pois ao juzo que pertence o sentimento, como as cincias pertencem ao esprito. A finura a parte do juzo, a geometria, a do esprito. Zombar da filosofia, , em verdade, filosofar.

Blaise Pascal ( 1623 1662), matemtico francs

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INTRODUO ANLISE - Exame de cada parte de um todo para conhecer-lhe a natureza, as funes, etc. COMBINATRIA - Relativo s combinaes possveis dos elementos de um conjunto em diferentes subconjuntos deste . (Dicionrio Aurlio)

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Definio: A anlise combinatria um ramo da matemtica que tem por objetivo resolver problemas que consistem, basicamente, em escolher e agrupar os elementos de um conjunto. Obs: possui aplicao direta no clculo das probabilidades.4

Analise a seguinte situao-problema: Em quantas ordens diferentes 4 pessoas podem se sentar num sof de 4 lugares?

P1

P2

P3

P45

P2 P3 P1 P4 P1 P2 P3 P4 P3 P1 P2 P4 P4 P1 P2 P3

P3 P4P2 P4

P2 P3P3 P4

P1 P4P1 P3

P2 P4P1 P4

P1 P2P2 P3

P1 P3P1 P2

P4 P3 P4 P2 P3 P2 P4 P3 P4 P1 P3 P1 P4 P2 P4 P1 P2 P1 P3 P2 P3 P1 P2 P1

Vamos descrever o procedimento

4 . 3

. 2 . 1 = 24

Ao esquema damos o nome de rvore de possibilidades ou diagrama de rvore. Ao procedimento : Princpio fundamental da contagem ou Princpio da Multiplicao

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O princpio fundamental da contagem diz que um acontecimento ocorre em duas situaes sucessivas e independentes, sendo que a 1

situao ocorre de a maneiras e a 2 situao ocorre de b maneiras, ento o nmero total de possibilidades de ocorrncia desse acontecimento dado pelo produto a.b.

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Combinao Simples Chamam - se combinao simples todos os agrupamentos simples de p elementos que podemos formar com n elementos distintos, sendo p n. Cada um desses conjuntos se

diferencia do outro apenas pela natureza de seus elementos.8

Combinao Simples Considerando o conjunto A ={a1, a2, a3, ... ,an} e uma combinao de p elementos de A, podemos fazer as permutaes desses elementos, e encontrar p! sequncias, ou seja, os arranjos dos n elementos de A tomados p a p. Portanto temos o produto: p!Cn ,p = An,p , ou seja Cn,p = An,p / p!

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Portanto:

, sendo p n

Obs: Fatorial: considerando um nmero n, sendo e n 2, temos : n! = n.(n - 1). (n - 2). ... . 1, onde: A leitura do smbolo n! : n fatorial ; n! o produto de todos os nmeros naturais de 1 at n; Estendendo a definio: 0! = 1 e 1! = 110

Ex: numa escola tem 9 professores de Ed. Fsica dentre os quais 4 iro a um congresso, calcular quantos grupos sero possveis.

126 grupos possveis11

Binmio de Newton Supondo um nmero natural n, podemos considerar a seguinte expresso:

Com o emprego do somatrio, a formula fica reduzida a: Para (p = 0,1,2,3,...,n)12

O Tringulo de Pascal (x+y)0 = 1 (x+y)1 =1x + 1y (x+y)2 =1x2 + 2xy + 1y2 (x+y)3 =1x3 + 3x2 y +3xy2 +1y3 (x+y)4 =1x4 + 4x3 y +6x2y2 +4xy3 +1y4 (x+y)5 =1x5 + 5x4 y +10x3y2 + 10x2y3 +5xy4 +1y5 ...13

Podem ser colocados nas seguintes formas triangulares1 1 1 1 1 1 5 4 10 3 6 10 2 3 4 5 1 1 1 1 1

De modo geral temos: Triangulo de Pascal14

(x+y)0 (x+y)1 (x+y)2 (x+y)3 (x+y)4 (x+y)5

.... (x+y)n

...

...

...

...

...

...

...

...15

A determinao de nmeros binomiais pode ser obtida por meio de um dispositivo prtico chamado tringulo de Pascal, que constitudo com base na teoria e propriedades dos nmeros binomiais.No triangulo de Pascal so validas as seguintes propriedades: Em cada linha os termos eqidistantes dos extremos so iguais.16

A soma de dois elementos consecutivos de uma linha igual ao elemento da linha seguinte, imediatamente abaixo da seguinte parcela da soma.1 1 1 1 1 1 5 4 10 3----2 --6----3----10 4 5 1 1 --1 1 1

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A soma dos elementos de cada linha do triangulo uma potncia de 2, cujo expoente o nmero da linha. Ex: ; ;

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Exerccios1) De quantas maneiras podemos colocar 10 bolas em 3 urnas, de modo que fiquem 2 bolas na primeira urna, 3 bolas na segunda urna e 5 bolas na terceira? 2) Consideremos as letras a, b, c e d. Quais e quantos agrupamentos ordenados diferentes de 2 letras distintas possvel formar com elas? Sol: 4.3= 12, fazer espao amostral19

1) H C10, 2 maneiras de escolher as 2 bolas que ficaro na primeira urna.Para cada maneira h C8, 3 possibilidades de escolher as trs bolas que ficaro na segunda urna. Pelo principio fundamental da contagem h, ento, C10, 2 . C8, 3 maneiras de distribuir as 2 bolas na primeira urna e as 3 bolas na segunda urna. Para cada uma dessas possibilidades, h C5, 5 maneiras de colocar as 5 bolas na terceira urna. Portanto, novamente pelo princpio fundamental da contagem, h C10, 2 . C8, 3 . C5, 5 maneiras diferentes de colocar 2 bolas na primeira urna, 3 bolas na segunda urna e 5 bolas na terceira urna.20

Soluo

1 urna 2 bolas em 10 C10, 2

2 urna 3 bolas em 8

3 urna 5 bolas em 5 C5, 5 .

.

C8, 3

.

=

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Exerccios1) Quais e quantos agrupamentos diferentes podemos formar ao lanar uma moeda e um dado? Sol: 2.6= 12, fazer o espao amostral

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