31_analise combinatória

PRÉ-VESTIBULARLIVRO DO PROFESSOR

MATEMÁTICA

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Produção Projeto e Desenvolvimento Pedagógico

Disciplinas Autores

Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago Calixto Rita de Fátima BezerraLiteratura Fábio D’Ávila Danton Pedro dos SantosMatemática Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba CostaFísica Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. SaquetteQuímica Edson Costa P. da Cruz Fernanda BarbosaBiologia Fernando Pimentel Hélio Apostolo Rogério FernandesHistória Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa SilvaGeografia DuarteA.R.Vieira Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer

I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]

660 p.

ISBN: 978-85-387-0571-0

1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.

CDD 370.71


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AT

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Análise Combinatória:

Fatorial e Princípio

Multiplicativo

Frequentemente, no nosso dia-a-dia, precisamos enumerar eventos, tais como arrumação de objetos de certa maneira, separar coisas sob uma certa condição, distribuições para certos fins etc. Para fazermos isso, precisamos enunciar dois teoremas que são fundamentais em todos os problemas de contagem.

O princípio aditivo (AP)Suponha que existam

n1 maneiras para o evento E1 ocorrer,


.

.

.

nk maneiras para o evento Ek ocorrer,

onde k ≥ 1. Se essas maneiras para as ocorrên-cias dos eventos distintos forem disjuntas duas a duas, então o número de maneiras nas quais pelo me-nos um dos eventos E1, E2, ..., ou Ek pode ocorrer é:

Por exemplo, se podemos ir de uma cidade P a uma cidade Q por vias aérea, marítima e rodoviária, e supondo que existam duas companhias marítimas, três companhias aéreas e duas companhias rodovi-árias que fazem o trajeto entre P e Q, então pelo AP o número total para se fazer o trajeto de P a Q pelo mar, pelo ar ou por rodovia é 2 + 3 + 2 = 7.

Uma forma equivalente do AP, usando a termi-nologia dos conjuntos, onde X representa o número de elementos do conjunto X, é o seguinte:

Sejam A1, A2, ..., Ak conjuntos finitos quaisquer onde k ≥ 1.

Se os conjuntos dados são distintos dois a dois, isto é Ai ∩ Αj = ∅ para i, j =1, 2, ..., k, i ≠ j então

å åk k

i 1 2 k ii=1 i=1

A = A + A + ... + A = A


2 EM

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_013

O princípio multiplicativo (MP)

Supondo que um evento E possa ser decom-posto em r eventos ordenados E1, E2, ..., Er e que existam



.

.

.

nr maneiras para o evento Er ocorrer.

Então, o número de maneiras do evento E ocorrer é dado por

Por exemplo, para irmos de uma cidade A até uma cidade D devemos passar pelas cidades B e C, nesta ordem, e supondo que existam 2 maneiras distintas de ir de A até B, 5 maneiras diferentes de ir de B até C e 3 maneiras distintas de ir de C até D então, pelo MP, o número de maneiras de ir de A até D, passando por B e C, é dado por 2 x 5 x 3 = 30.

Uma forma equivalente do MP, utilizando a ter-minologia dos conjuntos, é enunciada abaixo:

Se,

∏ =×××==

r

1ir21i A...AAA

{ }r...,,2,1i,Aa|a...,,a,a( iir21 =∈=é o produto cartesiano dos conjuntos finitos A1,

A2, ..., An, então,

∏ ∏r r

1 2 r ii=1 i=1

= A x A x...x A = AiA

Mais uma vez, X significa o número de elemen-tos do conjunto X.

O método de definição indutiva

Seja INn o subconjunto {1, 2, ..., n} de IN, con-sistindo dos n primeiros números naturais não-nulos. Entretanto, se desejássemos que um computador imprimisse a coleção dos elementos de IN1989, terí-amos que lhe dizer exatamente o que fazer quando chegassem os pontinhos. Por outro lado, se definís-semos INn para cada n ∈ IN* por

IN1 = {1}, INn + 1= INn U {n + 1}

Supondo que o computador possa distinguir e lembrar símbolos, então as equações acima permitem-lhe calcular INn para todo n ∈ IN*, pois o conjunto A dos n para os quais ele pode calcular INn é o próprio IN*. Dizemos que as relações acima definem INn indutivamente, ou são uma definição indutiva de INn.

Quando a substituição dos pontinhos é algo ro-tineiro para seres humanos, os pontinhos são usados em lugar da definição indutiva que se espera que o leitor dê. O uso dos pontinhos torna as fórmulas mais fáceis de serem compreendidas, mas, novamente, só para leitores humanos. E em trabalhos mais avança-dos a definição formal por indução tem que ser dada especialmente quando essa definição acaba de ser criada por um autor.

FatorialFatorial de um número natural n, tradicional-

mente denotado por n!, ao número definido induti-vamente por: 0! = 1 e n! = n(n – 1)! decorre imediata-mente da definição que n! = n(n – 1)... 2 .1 e então tem-se que 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120; 3! = 3 . 2 . 1 =6; 8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40 320 etc...

Coeficientes binomiaisDados os naturais n e k, sendo n ≥ k ≥ 0 chama-

se coeficiente binomial n sobre k e se indica

k

n ao

número definido por: ( )

£ £-

n!

k! n k ! se 0 k n

Permutações simplesDado o conjunto A = {a1, a2, a3, ..., an} de n ele-

mentos (n N) chama-se de permutação simples dos n elementos de A (n e N), a qualquer conjunto ordenado com esses n elementos. Indica-se por Pn, o número de permutações com n elementos.

Cálculo do número de permutações simples (Pn)

Consideremos os n objetos x1, x2, x3, ..., xn e as n posições:

p1 p2 p3 pn...

Enumerando todas as permutações dos n ob-jetos x1, x2, x3, ..., xn, temos que o número de tais permutações é igual ao número de modos possíveis


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de se ocupar, com esses n objetos, as n posições p1, p2, p3, ..., pn. Para a posição P1 existem n escolhas na arrumação. Após o preenchimento de p1 existem n – 1 escolhas (os n – 1 objetos remanescentes) para a posição p2. Há n – 2 maneiras diferentes de ser preenchida a posição p3, após terem sido ocupadas as posições p1 e p2. E, finalmente, uma escolha para a última posição pn, após terem sido preenchidas as posições p1, p2, p3, ..., pn–1. Portanto, pelo princípio multiplicativo e utilizando a notação n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3) ... 3 . 2 . 1, temos que o número de modos de ordenar n objetos distintos é

n(n – 1)(n – 2)(n – 3) ... 3 . 2 . 1 = n!

Assim, Pn = n!

Por extensão, define-se P0 = 0! = 1 e P1 =1! = 1

Arranjos simplesSão dados o conjunto A = {a1, a2, a3, ..., an}

de n elementos (n N) e o número natural n.N/pp ≤∈ Chama-se arranjo simples os n elementos tomados p a p, a qualquer conjunto ordenado com p elementos (sem repetição) escolhidos entre os n elementos de A. Indica-se An, p, o número de arranjos simples de n elementos p a p.

Cálculo do número de arranjos simples de n elementos, p a p (An, p)

Seja A = {a1, a2, a3, ..., an} conjuntos ordenados com p elementos

F1

, F2

, ..., Fp

F1 F2 F3 Fp

An, p = n . (n – 1) . (n – 2) ... [n – (p – 1)]

An, p = n . (n – 1) . (n – 2) ... (n – p + 1)

An, p = n.(n – 1).(n – 2) ... (n – p + 1)(n – p)(n – p – 1) ... 3 . 2 . 1

(n – p)(n – p – 1) ... 3 . 2 . 1

An, p = n!

(n – p)!

e, portanto,

(n, p ∈ N e p ≤ n)

que é fórmula para se calcular o número de arran-jos simples (sem repetição) de n elementos p a p.

Observações:

1.ª) É importante notar que, quando p = n, temos:

nPn!1n!

0!n!

n)!–(nn!

pn,A ===== ou seja, as permutações

simples com n elementos são um caso particular dos arranjos simples quando p = n.

2.ª) Note que, em particular, definimos:

( )n! n!

A = = = 1, tambémn,0 n - 0 ! n!

0! 1A = = = 10,0 0! 1

Exemplo: `

Considere dois conjuntos: A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5}

Quantas são as funções injetoras ƒ: A → B?

Uma função é injetora quando

x1 ≠ x2 ⇒ ƒ (x1) ≠ ƒ (x2).

Logo, pelo princípio multiplicativo, temos:

Decisão N.º de casos

D1: Escolha de f(1) 5



Total de casos = 5 x 4 x 3 = 60

Nesse problema temos um arranjo de 5 elementos tomados

3 a 3. Isto é, 3) !–(5

5!2.1

5.4.3.2.1A35 ==

= 60.

Combinação simples

Sempre que pegamos um subconjunto e troca-mos a ordem de seus elementos, nós não estamos modificando-o. Agrupamentos desse tipo, em que a ordem dos elementos não é importante, são chamados de combinações e serão tratados nesse módulo.

Uma k-combinação ou uma combinação de classe k, de n objetos distintos, é uma escolha não -ordenada ou um subconjunto de k dos objetos.

Representaremos o número de combinações de n objetos distintos, de classe k ou tomados k a k, por um dos símbolos

C (n, k) ou n

C(n,k) ouk

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø

É padronizado ler qualquer um dos dois símbo-los como “n escolhe k”. (Outra notação comumente

utilizada é knC ).

Teorema: se 0 ≤ k ≤ n, então o número de sub-conjuntos de k elementos de um conjunto com n


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elementos ou o número de combinações de n objetos distintos de classe k é dado por

)!kn(!k

!nnk −

=(Em n elementos

escolhe-se k elementos)

Demontração: o conjunto de todas as permuta-ções simples de k elementos selecionados de um con-junto com n elementos contém

)!kn(

!n

− permutações.

Entretanto, cada subconjunto de k elementos pode ser ordenado de k! maneiras, dessa forma, o número de ma-neiras de primeiro escolher um subconjunto e depois ordenar os elementos desse subconjunto é pelo prin-cípio multiplicativo igual a

k . k

n

!

Entretanto, cada uma dessas ordenações é uma diferente permutação de k elementos selecionados dentre todos os n elementos, e cada permutação de k elementos distintos surge da escolha de um sub-conjunto, que produz:

(cqd) ( ) n,k

n n!k! A

k n k !

æ ö÷ç ÷× = =ç ÷ç ÷ç -è ø

Corolário: o número de maneiras de rotularmos n objetos com k rótulos de um tipo e (n– k) rótulos de

um segundo tipo é k

n

.

−

=

kn

n

k

n

O saguão do prédio sede de uma multinacional possui 1. quatro portas em cada uma das direções norte, sul, leste e oeste. De quantas maneiras distintas uma pessoa dispõe para entrar e sair do prédio por uma dessas portas?

Solução: `

Existem 16 portas no total, logo há 16 maneiras de esco-lher a porta para entrar. Depois disso, há 16 alternativas para sair logo, existem 16 x 16 = 256 maneiras de entrar e sair do prédio.

A ligação entre as cidades do Rio de Janeiro e Salvador 2. pode ser feita por vias ferroviária, marítima, rodoviária e aérea. De quantas maneiras distintas uma pessoa pode fazer a viagem Rio de Janeiro - Salvador - Rio de Janeiro, sem utilizar na volta o mesmo meio de transporte utilizado na ida?

Solução: `

Há quatro modos de escolher o meio de transporte de ida. Depois disto, há três alternativas para a volta, logo, existem 4 x 3 = 12 maneiras distintas de fazer a viagem.

Dispondo das cores verde, amarelo, azul e branco, de 3. quantos modos distintos podemos pintar sete casas enfileiradas, de modo que cada casa seja pintada de uma só cor e duas casas vizinhas não sejam pintadas com a mesma cor?

Solução: `

A primeira casa pode ser pintada de quatro maneiras, a segunda de três maneiras (não podemos usar a cor utilizada na primeira casa), a terceira de três maneiras (não podemos usar a cor utilizada na segunda casa), e assim sucessivamente, cada casa subsequente pode ser pintada de três maneiras (não podendo ser pintada da cor utilizada na casa anterior) logo, as sete casas podem ser pintadas de 4 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 2 916 modos distintos.

As antigas placas para automóveis, formadas 4. por duas letras seguidas de quatro algarismos, como, por exemplo MY – 7406, foram substituí-das por placas com três letras seguidas de qua-tro algarismos, como, por exemplo DKI – 3665. Utilizando um alfabeto de 26 letras e supondo que qualquer sequência de letras e algarismos seja permitida (na realidade algumas sequências não são permitidas) quantos veículos a mais podem ser emplacados?

Solução: `

Como existem 26 escolhas para cada letra e 10 escolhas para cada algarismo, o número total de placas antigas era 262 x 104. O novo número de placas é igual a 263 x 104 e daí podem ser emplacados a mais 263 x 104 – 262 x 104 = 169 x 106 veículos.

Calcule n, sabendo-se que 5. 7n!

1)!(n=

+ .

Solução: `

Temos que n!.1)(n1.2.3.....1)(n.n.1)(n1)!(n +=−+=+

Logo, 6n71n7n!

1)(nn!=⇒=+⇒=

+


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Simplifique: 6. )!1n()!2n(

)!1n()!2n(

+−++++

Solução: `

Temos

(n + 2)! = (n + 2) . (n + 1) . n . (n – 1) . ... . 3 . 2 . 1 =

= (n + 2) . (n + 1)!

Assim,

(n + 2)! + (n + 1)!(n + 2)! – (n + 1)! =

(n + 2) . (n + 1)! + (n + 1)!(n + 2) . (n + 1)! – (n + 1)! =

(n + 1)! (n + 2 + 1)(n + 1)! (n + 2 – 1) =

n + 3n + 1

Expresse cada um dos produtos como quociente de 7. dois fatoriais:

9 . 8 . 7a)

(n – 3) . (n – 4) . (n – 5)b)

Solução: `

==1.2.3.4.5.61.2.3.4.5.6

.7.8.97.8.9

6!9!

1.2.3.4.5.61.2.3.4.5.6.7.8.9

==

a)

× ×× × × × ×

× × ×× × × × ×

× × × × × × × ×× × × × ×

(n - 3) (n - 4) (n - 5) =

(n - 6) (n - 7) ... 3 2 1(n - 3) (n - 4) (n - 5)

(n - 6) (n - 7) ... 3 2 1(n - 3) (n - 4) (n - 5) (n - 6) (n - 7) ... 3 2 1

=(n - 6) (n - 7) ... 3 2 1

(n - 3)!=

(n - 6)!

b)

Quantos são os anagramas da palavra PERNAMBUCO?9.

Solução: `

Chama-se anagrama de uma palavra qualquer permutação que se possa formar com todas as letras desta palavra. Cada anagrama de PERNAMBUCO nada mais é que uma orde-nação das letras, P, E, R, N, A, M, B, U, C, O e, portanto, o número de anagramas de PERNAMBUCO é P10 = 10! = 3 628 800 anagramas.

Com relação aos anagramas com as letras da palavra 10. VESTIBULAR, pergunta-se:

Quantos começam e terminam por consoante?a)

Quantos começam por consoante e terminam por b) vogal?

Quantos apresentam as vogais juntas?c)

Quantos apresentam o vocábulo LUTA?d)

Quantos apresentam as vogais em ordem alfabética?e)

Quantos apresentam a sílaba LU e não apresenta f) a sílaba TA?

Solução: `

A escolha da consoante inicial pode ser feita de seis a) modos e, depois disso, a consoante final pode ser escolhida de cinco modos. As restantes oito letras podem ser arrumadas entre essas consoantes sele-cionadas de P8 = 8! = 40 320 modos.

A resposta é 6 x 5 x 40 320 = 1 209 600.

A escolha da consoante inicial pode ser feita de seis mo-b) dos e, depois disso, a vogal final pode ser escolhida de quatro modos. As restantes oito letras podem ser arru-madas entre essa consoante e essa vogal selecionadas de P8 = 8! = 40 320 modos.

A resposta é 6 x 4 x 40 320 = 967 680.

Uma vez feita a ordem das letras A, E, O, U, que pode c) ser feito de 4! = 24 modos. O bloco formado por estas letras se passa como se fosse uma letra só, portanto devemos arrumar sete objetos, o bloco formado pelas vogais e as seis letras V, S, T, B, L, R.

A resposta é 24 x 7! = 24 x 5 040 = 120 960.

O vocábulo LUTA se comporta como uma única letra. d) Daí, devemos arrumar sete objetos, o bloco LUTA e as seis letras restantes. A resposta é 7! = 5 040.

João comprou uma calculadora e apertou um dígito 8. e, em seguida, apertou a tecla “!”, encontrando como resultado 40 320. Qual o dígito teclado por João?

7 a)

8 b)

9 c)

10 d)

11e)

Solução: ` B

Fazendo a decomposição de 40 320 em fatores primos, encontra-se :

40 320 = 27 . 32 . 5 . 7 = 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 = 8!


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Há 4! = 24 ordens possíveis para as vogais. A respos-e)

ta é 241 do total de anagramas,

241 de 10! que é igual

a 151 200.

O número de anagramas que apresentam a sílaba f) LU é igual ao número de anagramas das nove letras LU (a sílaba LU se comporta como se fosse uma letra só), V, E, S, T, I, B, A, R, isto é, 9! = 362 880. Analogamente, o número de anagramas que apre-sentam a sílaba LU e a sílaba TA é igual ao número de anagramas das oito letras LU, TA, V, E, S, I, B, R, ou seja,

8! = 40 320. A resposta é 362 880 – 40 320 = 322 560.

De quantos modos se pode pintar um cubo, usando seis 11. cores diferentes, sendo cada face uma cor?

Solução: `

Suponhamos o cubo pendurado pelos quatro vértices de uma mesma face, de modo que duas de suas faces fiquem horizontais, e consideremos um observador fixo, em frente a uma de suas faces verticais, conforme a figura abaixo.

A

E

H

F

CDB

G

Vejamos, inicialmente, de quantos modos diferentes o observador pode ver o cubo pintado.

Para pintar a face superior, há seis escolhas de cores; para a face inferior, 5, e para as verticais, respectivamente 4, 3, 2 e 1 escolhas.

Logo, pelo princípio multiplicativo o observador pode ver o cubo pintado de 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 6! modos diferentes.

Entretanto, o número de modos de pintar o cubo nas condições do problema, isto é, sendo cada face com uma cor, não é 6!, pois, como veremos a seguir, o observador pode ver de 24 modos diferentes uma mesma pintura do cubo.

De fato, suponhamos que o cubo tenha sido pintado de uma determinada maneira, e que a face AEFB, voltada para o observador, esteja pintada de azul de quatro modos diferentes; basta notar que o mesmo pode ser pendurado pelos vértices ABCD, BCGF, GFEH e AEHD, e que em cada uma dessas posições a face AEFB (azul) permanece voltada para o observador.

Fazendo igual raciocínio para as seis faces, segue-se, pelo princípio multiplicativo que o observador pode ver a mes-ma pintura do cubo de 6 . 4 = 24 modos diferentes.

Seja, então, x o número de pinturas distintas do cubo, nas condições exigidas, isto é, sendo cada face com uma cor. Como cada pintura pode ser vista de 24 modos diferentes pelo observador, as x pinturas podem ser vistas de x . 24 modos diferentes.

Porém, como vimos no início, esse número é 6!; logo:

x . 24 = 6! x = 6!24 = 30

Este problema pode ser generalizado para um poliedro regular com F faces, tendo cada n lados. O número de modos de pintar esse poliedro com F cores, sendo cada face com uma cor, é:

x = F!F.n =

(F – 1)!n

(ENEM 2002) O código de barras, contido 12. na maior parte dos produtos industrializados, consiste num conjunto de várias barras que podem estar preenchidas com cor escura ou não. Quando um leitor óptico passa sobre essas barras, a leitura de uma barra clara é convertida no número 0 e a de uma barra escura, no número 1. Observe, a seguir, um exemplo simplificado de um sistema de código com 20 barras.

Se o leitor óptico for passado da esquerda para a direita irá ler: 01011010111010110001

Se o leitor óptico for passado da direita para a esquerda irá ler: 10001101011101011010

No sistema de código de barras, para se organizar o processo de leitura óptica de cada código, deve-se


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Solução: `

O número de modos de distribuirmos cinco cartas a) é igual ao número de escolhermos um subconjunto com cinco elementos.

Portanto, existem 259896047!5!52!

5

52==

distribui-

ções distintas.

Como existem quatro naipes, o número de esco-b) lhas de um subconjunto com cinco das 13 cartas de

cada naipe pode ser obtido de 12875!8!13!

5

13==

maneiras para cada naipe.

Então, o número total de subconjuntos de 5 cartas do mesmo naipe é 4 x 1 287 = 5 148.

Para escolhermos o número de distribuições com c) exatamente três ases, devemos escolher três dos quatro ases e então completar as cinco cartas com

outras duas que não sejam ases e que podem ser

escolhidas de

11282

48=

maneiras. Deste modo,

existem 4 1128 = 4 512 maneiras de se distribuir cinco cartas com somente três ases.

Uma comissão de k pessoas será escolhida de um gru-14. po de sete mulheres e quatro homens, dentre os quais figuram João e Maria. De quantas maneiras isto pode ser feito, de modo que:

a comissão tenha cinco pessoas sendo três mulhe-a) res e dois homens;

a comissão tenha o mesmo número de homens e b) mulheres;

a comissão tenha quatro pessoas, de modo que c) pelo menos duas sejam mulheres;

a comissão tenha quatro pessoas, sendo João uma d) dessas pessoas;

a comissão tenha quatro pessoas, sendo duas de e) cada sexo e de modo que João e Maria não este-jam simultaneamente na comissão.

Solução: `

O número de maneiras de escolhermos três dentre a)

sete mulheres é

3

7 e o número de maneiras de es-

colhermos dois dentre quatro homens é

2

4 assim,

temos no total 2106.352

4.

3

7==

maneiras.

Para contar os possíveisb) subconjuntos com o mes-mo número de homens e mulheres, devemos defi-nir o número de elementos de cada um deles, isto

levar em consideração que alguns códigos podem ter leitura da esquerda para a direita igual à da direita para a esquerda, como o código 00000000111100000000, no sistema descrito acima.

Em um sistema de códigos que utilize apenas cinco barras, a quantidade de códigos com leitura da esquerda para a direita igual à da direita para a esquerda, desconsiderando-se todas as barras claras ou todas as escuras, é:

14a)

12b)

8c)

6d)

4e)

Solução: ` D

Temos cinco posições que devem ser preenchi-das com o número 1 ou 0. Como a leitura deve ser igual da direita para a esquerda, temos as seguintes possibilidades:

Para 1.ª posição → 2 valores possíveis.



Para 4.ª posição →1 valor igual a da 2.ª posição.

Para 5.ª posição →1 valor igual a da 1.ª posição.

Logo, temos um total de 2 x 2 x 2 x 1 x 1 possi-bilidades = 8 possibilidades.

Entretanto, não podemos considerar tudo claro ou escuro, torna-se então:

= 8 –2 = 6 possibilidades.

São elas

10101

11011

10001

01010

00100

01110

Dispondo de um baralho comum de 52 cartas, de quan-13. tos modos distintos podem ser distribuídas:

5 cartas quaisquer?a)

5 cartas do mesmo naipe?b)

5 cartas das quais somente 3 são ases?c)


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é, devemos dividir o problema em quatro casos disjuntos, a saber: uma mulher e um homem; dois de cada sexo; três de cada sexo; e quatro de cada sexo (pois existem quatro homens). Deste modo, o número total é a soma das possibilidades para esses quatro subcasos ou seja,

+

+

+

4

4.

4

7

3

4.

3

7

2

4.

2

7

1

4.

1

7

3291.354.356.217 =+++= = 7 . 4 + 21 . 6 + 35 . 4 + 35 . 1 = 329

Uma abordagem é escolher primeiro duas mulhe-c)

res, o que pode ser feito de 212

7=

maneiras e,

então, escolher duas quaisquer das nove pessoas restantes (cinco mulheres e quatro homens). En-tretanto, contar todas as comissões dessa manei-ra não é correto, uma vez que alguma mulher em uma dessas comissões pode estar entre as duas primeiras ou entre as duas pessoas, por exemplo, se denotarmos por Hi o i-ésimo homem e por Mi a i-ésima mulher então, se escolhermos primeiro as mulheres M1 e M2 a comissão composta por M1 e M2 com as duas outras pessoas M3 e H3 dentre as restantes fornece a mesma comissão que se forma-ria caso tivéssemos escolhido primeiramente M1 e M3 e a seguir M2 e H3. Uma solução correta para este problema utiliza a abordagem feita no item (b), isto é, dividamos o problema em três subcasos: duas mulheres e dois homens, três mulheres e um homem e finalmente, quatro mulheres. A resposta é então:

301354.356.21

4

7

1

4.

3

7

2

4.

2

7=++=

+

+

Se João deve estar na comissão, isto significa sim-d) plesmente que o problema se reduz a escolher três outras pessoas entre as 10 remanescentes (sete mulheres e três homens). Assim, a resposta

é 1203

10=

.

Existem três sube) casos nos quais João e Maria, não estão ambos na comissão. Se Maria está na co-missão e João não está, então, mais uma mulher deve ser escolhida dentre as seis remanescentes e mais dois homens devem ser escolhidos dentre os três homens remanescentes (João está excluído).

Isto pode ser feito de 18 3 . 6 23

. 16

==

maneiras.

Se João está na comissão, então Maria não está e o mesmo argumento utilizado anteriormente

nos dá 453.151

3.

2

6==

maneiras. Finalmen-

te, se nenhum dos dois está na comissão, temos

453.152

3.

2

6==

maneiras. A resposta é, 18 +

45 + 45 = 108.

Há cinco pontos sobre uma reta R e oito pontos sobre 15. uma reta R’ paralela a R. Quantos são os triângulos e os quadriláteros convexos com vértices nesses pontos?

Solução: `

Para formar um triângulo, ou você toma um ponto em R e dois pontos em R’, ou toma um ponto em R’ e dois pontos em R. O número de triângulos é

220801402

5.8

2

8.5 =+=

+

.

Também poderíamos tomar três dos 12 pontos e excluir dessa contagem as escolhas de pontos colineares, o que daria.

22010562863

5

3

8

3

13=−−=

−

−

Para formar um quadrilátero convexo, devemos tomar dois pontos em R e dois pontos em R’, o que pode ser

feito de 28028.102

8.

2

5==

= 10 . 28 = 280 modos.

(FUVEST) A escrita Braille para cegos é um sistema 16. de símbolos em que cada caractere é formado por uma matriz de seis pontos, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos outros. Assim, por exemplo:

A• .. .. .

b• . • .. .

Qual o número máximo de caracteres distintos que podem ser representados neste sistema de escrita?

63a)

89b)

26c)

720d)

36e)


9EM

_V_M

AT

_013

Solução: ` A

1 ponto – 61

6=

(de 6 escolho 1)

2 pontos – 152

6=

(de 6 escolho 2)

3 pontos – 203

6=

(de 6 escolho 3)

4 pontos – 154

6=

(de 6 escolho 4)

5 pontos – 65

6=

(de 6 escolho 5)

6 pontos – 16

6=

(de 6 escolho 6)

Temos um total máximo de 63 caracteres.

(FUVEST-GV) As atuais placas de licenciamento de 1. automóveis constam de sete símbolos sendo três letras, dentre as 26 do alfabeto, seguidas de quatro algarismos.

Quantas placas distintas podemos ter sem o algarismo a) zero na primeira posição reservada aos algarismos?

No conjunto de todas as placas distintas possíveis, b) qual a porcentagem daquelas que têm as duas pri-meiras letras iguais?

(ELITE) Com relação aos números de cinco algarismos 2. do sistema de numeração decimal, pergunta-se:

Quantos são?a)

Quantos são ímpares e de algarismos distintos?b)

Quantos são pares e de algarismos distintos?c)

Quantos apresentam exatamente um algarismo d) igual a 3?

Quantos permanecem os mesmos quando a or-e) dem dos seus algarismos é invertida (por exemplo 16261)?

(CESGRANRIO) Durante a Copa do Mundo, que foi 3. disputada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo: 1.° lugar, Brasil; 2.° lugar, Nigéria; 3.° lugar, Holanda).

Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir?

69a)

2 024b)

9 562c)

12 144d)

13 824e)

(IME) Ligando as cidades A e B existem duas estradas 4. principais. Dez estradas secundárias, de mão dupla, ligam as duas estradas principais, como mostra a figura.

A B

Quantos caminhos, sem autointerseções existem de A até B.

Obs.: Caminho sem autointerseções é um caminho que não passa por um ponto duas ou mais vezes.

(UFRJ) Dispondo das cores verde, amarelo, azul e 5. branco, de quantos modos distintos podemos pintar sete casas enfileiradas de modo que cada casa seja pintada de uma só cor e duas casas vizinhas não sejam pintadas com a mesma cor?

(FGV) Uma pessoa vai retirar dinheiro num caixa ele-6. trônico de um banco mas, na hora de digitar a senha, esquece-se do número. Ela lembra que o número tem cinco algarismos, começa com seis, não tem algarismos repetidos e tem o algarismo sete em alguma posição. O número máximo de tentativas para acertar a senha é:

1 680a)

1 344b)

720c)

224d)

136e)

Define-se como anagrama qualquer sequência de 7. letras do alfabeto latino, com as letras a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k,! Quantos anagramas de sete letras podem ser feitos se:

é permitida a repetição de letras.a)

não é permitida a repetição de letras.b)

a letra c) e figura no anagrama e não há repetição de letras.

a letra d) e figura no anagrama e pode haver repetição de letras.

o anagrama é um PALÍNDROME, isto é, não se altera e) quando lido de trás pra frente ou de frente para trás.


10 EM

_V_M

AT

_013

(CESGRANRIO) Em um tabuleiro com seis linhas e 8. nove colunas, 32 casas estão ocupadas. Podemos afirmar que:

todas as colunas têm pelo menos três casas ocu-a) padas;

nenhuma coluna tem mais de três casas ocupadas;b)

alguma coluna não tem casas ocupadas;c)

alguma linha tem pelo menos seis casas ocupadas;d)

todas as linhas têm pelo menos quatro casas ocu-e) padas.

(ELITE) Qual é, aproximadamente, o número de sequên-9. cias distintas de caras e coroas que podemos obter ao lançarmos uma moeda 100 vezes? (Considere 210 103)

Se (n – 6)!=720 , calcule n .10.

Resolver a equação (m+2)!=72.m!11.

Prove que12.

Exprimir mediante fatoriais:13.

1x3x5...x(2n – 1)

Qual o menor inteiro que divide 16! mas não divide 14! ?14.

Expresse cada um dos produtos abaixo como quociente 15. de dois fatoriais:

9.8.7a)

(n-3).(n-4).(n-5)b)

Se n! = 1.2.3...(n – 1).n para todo inteiro n > 1, o valor 16.

de é:

700a)

720b)

740c)

760d)

780e)

O algarismo das unidades do número N = 1 + 2! + 3! 17. + ... + 99! é igual a:

1a)

3b)

5c)

7d)

9e)

(UNITAU) O número de anagramas da palavra BIOCIÊN-18. CIAS que terminam com as letras AS, nesta ordem, é:

9!a)

11!b)

9!/(3! 2!)c)

11!/2!d)

11!/3!e)

(FUVEST) Num programa transmitido diariamente, uma 19. emissora de rádio toca sempre as mesmas 10 músicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as possíveis sequências dessas músicas serão necessários, aproximadamente:

100 dias;a)

10 anos;b)

1 século;c)

10 séculos;d)

100 séculos.e)

(ITA) Calcule a soma de todos os números de cinco 20. algarismos distintos formados com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5.

(UFF) Escrevendo-se todos os números de seis al-21. garismos distintos em ordem crescente, utilizando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, qual é o lugar que ocupará o número 432 651?

(ELITE) Permutam-se de todas as formas possíveis os 22. algarismos 1, 2, 4, 6, 7 e escrevem-se os números for-mados em ordem crescente. Que número ocupa o 66º lugar e qual o 166º algarismo escrito?

(UFF) Com as letras da palavra PROVA podem ser escri-23. tos x anagramas que começam por vogal e y anagramas que começam e terminam por consoante.

Os valores de x e y são, respectivamente:

48 e 36.a)

48 e 72.b)

72 e 36.c)

24 e 36.d)

72 e 24.e)

(FUVEST) Com as 6 letras da palavra FUVEST podem 24. ser formadas 6!=720 “palavras” (anagramas) de seis letras distintas cada uma. Se essas “palavras” forem colocadas em ordem alfabética, como num dicionário, a 250ª “palavra” começa com:

EVa)

FUb)

FVc)

SEd)

SFe)


11EM

_V_M

AT

_013

(CESGRANRIO) Um fiscal do Ministério do Trabalho 25. faz uma visita mensal a cada uma das cinco empresas de construção civil existentes no município. Para evitar que os donos dessas empresas saibam quando o fiscal as inspecionará, ele varia a ordem de suas visitas. De quantas formas diferentes esse fiscal pode organizar o calendário de visita mensal a essas empresas?

180a)

120b)

100c)

48d)

24e)

(UFRJ) Um campeonato de futebol foi disputado por 26. 10 equipes em um único turno, de modo que cada time enfrentou cada um dos outros apenas uma vez.

O vencedor de uma partida ganha três pontos e o perdedor não ganha ponto algum; em caso de empate, cada equipe ganha um ponto.

Ao final do campeonato, tivemos a seguinte pontuação:

Equipe 1 - 20 pontos



Equipe 4 - 9 pontos



Equipe 7 - 9 pontos


Equipe 9 - 4 pontos


Determine quantos jogos desse campeonato terminaram empatados.

De um baralho de pôquer (7, 8, 9, 10, valete, dama, rei 27. e ás, cada um desses grupos aparecendo em quatro naipes: copas, ouros, paus, espadas), sacam-se simul-taneamente cinco cartas. Quantas são as extrações:

possíveis?a)

nas quais se forma um par (duas cartas em um b) mesmo grupo e as outras três, em três grupos di-ferentes)?

nas quais se formam dois pares (duas cartas em um c) grupo, duas em outro grupo e uma em um terceiro grupo)?

nas quais se forma uma trinca (três cartas em um d) grupo e as outras duas em dois outros grupos di-ferentes)?

nas quais se forma um “four” (quatro cartas em um e) grupo e uma em outro grupo)?

nas quais se forma um “full hand” (três cartas em f) um grupo e duas em outro grupo)?

nas quais se forma uma sequência (cinco cartas de g) grupos consecutivos, não sendo todas do mesmo naipe)?

nas quais se forma um “flush” (cinco cartas do h) mesmo naipe, não sendo elas de cinco grupos consecutivos)?

nas quais se forma um “straight flush (cinco cartas i) de grupos consecutivos, todas do mesmo naipe)?

nas quais se forma um “Royal straight flush” (10, j) valete, dama, rei e ás de um mesmo naipe)?

Uma faculdade realiza seu vestibular em dois dias de 28. provas, com provas de quatro matérias em cada dia. Este ano a divisão foi: Matemática, Português, Biologia, Inglês no primeiro dia, e Geografia, História, Física e Química no segundo dia. De quantos modos pode ser feito o calendário de provas?

Sejam I29. m = {1, 2, ..., m} e In = {1, 2, ..., n}, com m n. Quantos são as funções f: Im → In estritamente cres-centes?

(MACKENZIE) A partir de um grupo de 12 professores, 30. quer se formar uma comissão com um presidente, um relator e cinco outros membros. O número de formas de se compor a comissão é:

12 772a)

13 024b)

25 940c)

33 264d)

27 764e)

Quantos são os números naturais de sete dígitos nos 31. quais o dígito 4 figura exatamente três vezes e o dígito 8 exatamente duas vezes?

(UNIRIO) Um grupo de nove pessoas, dentre elas os 32. irmãos João e Pedro, foi acampar. Na hora de dormir montaram três barracas diferentes, sendo que, na primei-ra, dormiram duas pessoas; na segunda, três pessoas; e, na terceira, as quatro restantes. De quantos modos diferentes eles se podem organizar, sabendo que a única restrição é a de que os irmãos João e Pedro NÃO podem dormir na mesma barraca?

1 260a)

1 225b)

1 155c)

1 050d)

910e)


12 EM

_V_M

AT

_013

(Escola Naval) Considere um conjunto C de 20 pontos 33. no espaço que tem um subconjunto C1 formado por oito pontos coplanares. Sabe-se que toda vez que quatro pontos de C são coplanares, então eles são pontos de C1. Quantos são os planos que contêm pelo menos três pontos de C?

(UFMG) Um teste é composto por 15 afirmações. Para 34. cada uma delas, deve-se assinalar, na folha de respostas, uma das letras V ou F, caso a afirmação seja, respecti-vamente, verdadeira ou falsa.

A fim de se obter, pelo menos, 80% de acertos, o número de maneiras diferentes de se marcar a folha de respostas é:

455a)

576b)

560c)

620d)

(CESGRANRIO) As retas t e s são paralelas. Sobre t são 35. marcados quatro pontos distintos, enquanto que sobre s são marcados n pontos distintos. Escolhendo-se ale-atoriamente um dentre todos os triângulos que podem ser formados com três desses pontos, a probabilidade de que este tenha um de seus lados contido em s é de 40%. O total de pontos marcados sobre estas retas é:

15a)

12b)

9c)

8d)

7e)

O conjunto A possui p elementos e o conjunto B possui 36. n elementos. Determine o número de funções f: A B sobrejetivas para:

p = n;a)

p = n + 1;b)

p = n + 2..c)

De quantos modos podemos selecionar p elementos 37. do conjunto {1, 2, ..., n} sem selecionar dois números consecutivos?

(IME) Cinco rapazes e cinco moças devem posar para 1. fotografia, ocupando cinco degraus de uma escadaria, de forma que em cada degrau fique um rapaz e uma moça. De quantas maneiras distintas podemos arrumar este grupo?

(FUVEST) Um vagão de metrô possui 10 bancos in-2. dividuais, sendo cinco de frente e cinco de costas. De 10 passageiros, quatro preferem sentar de frente, três preferem sentar de costas e os demais não tem prefe-rência. De quantos modos os passageiros podem se sentar, respeitando-se as preferências?

(UFRJ) De quantos modos podemos organizar a tabela 3. da 1.ª rodada de um campeonato de futebol com 12 clubes?

(ELITE) De quantos modos podemos colocar dois reis 4. diferentes em casas não-adjacentes de um tabuleiro 8 x 8?

(AMAN) O número de múltiplos de três, com quatro 5. algarismos distintos, escolhidos entre 3, 4, 6, 8 e 9 é:

24a)

36b)

48c)

72d)

96e)

Ao escrevermos todos os números inteiros de 1 até 6. 2 222, quantas vezes escrevemos o algarismo zero?

(UFRJ) Quantos números de quatro algarismos po-7. demos formar nos quais o algarismo 2 aparece ao menos uma vez?

(UNICAMP) Um torneio de futebol foi disputado por 8. quatro equipes em dois turnos, isto é, cada equipe jogou duas vezes com cada uma das outras. Pelo regulamento do torneio, para cada vitória são atribuídos três pontos ao vencedor e nenhum ponto ao perdedor. No caso de empate, um ponto para cada equipe. A classificação final no torneio foi a seguinte:

Classificação Equipe Número de pontos1.o lugar A 13

2.o lugar B 11

3.o lugar C 5

4.o lugar D 3

Quantas partidas foram disputadas em todo o tor-a) neio?

Quantos foram os empates?b)

Construa uma tabela que mostre o número de vi-c) tórias, de empates e de derrotas de cada uma das quatro equipes.

(ELITE) De um baralho comum de 52 cartas, extrai- 9. -se, sucessiva mente e sem reposição, duas cartas. De quantos modos isto pode ser feito se:


13EM

_V_M

AT

_013

a primeira carta é uma dama e a segunda carta não é a) um rei?

a primeira carta é uma dama e a segunda carta não b) é de espadas?

a primeira carta é de espadas e a segunda carta c) não é uma dama?

Um curso de línguas oferece aulas de Inglês, Espanhol 10. e Francês, cada uma dessas línguas com duas aulas semanais, cada uma destas duas aulas em dias dis-tintos, escolhidos dentre segunda-feira, quarta-feira e sexta-feira. De quantos modos distintos podemos fazer o horário semanal?

Escrevem-se números de cinco dígitos (inclusive os 11. começados por zero) em cartões. Como 0, 1 e 8 não se alteram de cabeça para baixo, e como 6 de cabeça para baixo se transforma em 9, um só cartão pode representar dois números (por exemplo 06198 e 86190). Qual o número mínimo de cartões para representar todos os números de cinco dígitos?

O número de pares de inteiros positivos (m,n) para os 12. quais 1 + 2! + 3! + ... + n! = m2 é igual a :

1a)

2b)

3c)

4d)

5e)

O algarismo das dezenas do número N = 1 + 2! + 3! + 13. ... + 1 999! é igual a :

1a)

3b)

5c)

7d)

9e)

O valor de n tal que 14. é :

10a)

12b)

14c)

16d)

18e)

A solução da equação 15. é :

6a)

7b)

9c)

10d)

11e)

Considere as afirmativas :16.

1) 1. O número é múltiplo de 7 .

2) 2. O número 999! é maior que 500999.

3) 3. O número 2 0002000 é menor que (2 000!)2.

Assinale :

Se somente a primeira for verdadeira.a)

Se somente a segunda for verdadeira.b)

Se somente a terceira for verdadeira.c)

Se todas forem verdadeiras.d)

Se todas forem falsas.e)

Um casal queria ter seis filhos.17.

De quantas maneiras eles podem ter dois meninos e quatro meninas?

A soma 18. pode ser colocada

sob a forma onde a e b são inteiros positivos. O valor

de a + b é igual a:

11a)

13b)

15c)

17d)

19e)

(IME) De quantos modos podemos decompor 12 obje-19. tos distintos em três grupos de quatro objetos?

(ELITE) De quantos modos podemos decompor 15 20. objetos distintos em cinco grupos, sendo dois grupos com dois objetos, dois grupos com três objetos, e um grupo com cinco objetos?

(ELITE) Sobre uma circunferência existem n pontos 21. distintos. Quantos polígonos, não necessariamente convexos, podemos construir tendo para vértices esses n pontos?

(UFRJ) Sejam os conjuntos E = {x22. 1, x2, ..., xn} e F = {y1, y2, ..., yn}. Quantas aplicações bijetoras podem ser definidas de E em F?

(ELITE) De quantos modos é possível dividir 15 “pernas 23. de pau” em três times de cinco deles?

(ITA) O número de anagramas da palavra VESTIBULAN-24. DO, que não apresentam as cinco vogais juntas, é:


14 EM

_V_M

AT

_013

12!a)

(8!) (5!)b)

12! – (8!) (5!)c)

12! – 8!d)

12! – (7!) (5!)e)

(VUNESP) Quatro amigos vão ocupar as poltronas a, b, 25. c, d de um ônibus, dispostas na mesma fila horizontal, mas em lados diferentes em relação ao corredor, con-forme a ilustração.

a b c d

CORREDOR

Dois deles desejam sentar-se juntos, seja do mesmo lado do corredor, seja em lados diferentes. Nessas condições, de quantas maneiras distintas os quatro podem ocupar as poltronas referidas, considerando-se distintas as posições em que pelo menos dois dos amigos ocupem poltronas diferentes?

24.a)

18.b)

16.c)

12.d)

6.e)

(FGV) Um processo industrial deve passar pelas etapas 26. A, B, C, D e E.

Quantas sequências de etapas podem ser delinea-a) das se A e B devem ficar juntas no início do processo e A deve anteceder B?

Quantas sequências de etapas podem ser delinea-b) das se A e B devem ficar juntas, em qualquer ordem, e não necessariamente no início do processo?

(ENEM) Em um concurso de televisão, apresentam-se 27. ao participante três fichas voltadas para baixo, estando representadas em cada uma delas as letras T, V e E. As fichas encontram-se alinhadas em uma ordem qualquer. O participante deve ordenar as fichas a seu gosto, mantendo as letras voltadas para baixo, tentando obter a sigla TVE. Ao desvirá-las, para cada letra que esteja na posição correta ganhará um prêmio de R$200,00.

A probabilidade de o PARTICIPANTE não ganhar qualquer prêmio é igual a:

0a)

1

3b)

1

4c)

1

2d)

1

6e)

De quantas maneiras podemos distribuir n objetos dife-28. rentes em duas caixas diferentes, de modo que nenhuma caixa fique vazia?

Onze cientistas trabalham num projeto sigiloso. Por 29. questões de segurança, os planos são guardados em um cofre protegido por muitos cadeados de modo que só é possível abri-los, todos, se houver pelo menos cinco cientistas presentes.

Qual é o número mínimo possível de cadeados?a)

Na situação do item a), quantas chaves cada cien-b) tistas deve ter?

Em uma escola os professores se distribuem em oito 30. bancas examinadoras de modo que cada professor par-ticipa de exatamente duas bancas e cada duas bancas têm exatamente um professor em comum.

Calcule quantos professores há em cada banca.

(IME) De quantas maneiras se pode escolher três nú-31. meros distintos do conjunto A = {1,2,3,...,50} de modo que sua soma seja um múltiplo de 3?

De quantas maneiras se pode escolher três números 32. naturais distintos de 1 a 30, de modo que a soma dos números escolhidos seja par?

Uma fila tem 20 cadeiras, nas quais devem sentar-se oito 33. meninas e 12 meninos. De quantos modos isso pode ser feito se duas meninas não devem ficar em cadeiras contíguas?

Convenciona-se transmitir sinais luminosos de uma ilha 34. para a costa por meio de seis lâmpadas brancas e seis vermelhas, colocadas nos vértices de um hexágono regular, de tal modo que:

em cada vértice haja duas lâmpadas de cores di-a) ferentes;

em cada vértice não haja mais do que uma lâm-b) pada acesa;

o número mínimo de vértices iluminados seja 3.c)

Determinar o número total de sinais que podem ser transmitidos.

Quantos são os números do conjunto {100, 101, 102, ..., 35. 999} que possuem três algarismos distintos em ordem crescente ou decrescente?


15EM

_V_M

AT

_013

120a)

168b)

204c)

216d)

240e)

(VUNESP) Nove times de futebol vão ser divididos em 36. três chaves, todas com o mesmo número de times, para a disputa da primeira fase de um torneio. Cada uma das chaves já tem um cabeça-de-chave definido. Nessas condições, o número de maneiras possíveis e diferentes de se completarem as chaves é:

21a)

30b)

60c)

90d)

120e)

Um novo tipo de cadeado com dez botões está sendo 37. comercializado, onde para abri-lo devemos pressionar – em qualquer ordem – os cinco botões corretos. O exem-plo abaixo mostra um cadeado com a combinação {1, 2, 3, 6, 9}. Supondo que novos cadeados sejam criados de modo que suas combinações incluam desde um até nove botões pressionados, o número de combinações adicionais que isto permite é:

710a)

730b)

750c)

770d)

790e)


16 EM

_V_M

AT

_013

1.

158 184 000a)

1/26 = 3,85 %b)

2.

90 000a)

13 440b)

13 776c)

29 889d)

900e)

D3.

2 0484.

2 916.5.

B6.

7.

3 831 808 com repetição de letras.a)

3 991 680 anagramas de sete letras distintas, dentre b) as doze, sem repetição.

2 328 480 sequências de sete letras que con-c) cluem a letra e.

12d) 6 + 11 x 125 + 112 x 124 + 113 x 123 + 114 x 122 + 115 x 12 + 116

20 736.e)

D8.

29. 100 = (210)10 (103)10 = 1030

1210.

711.

1n! -

1(n+1)! = n + 1 - 1

(n+1).n! = n

(n+1)!12.

13.

114. 25


17EM

_V_M

AT

_013

15. a)

b)

E16.

B17.

C18.

E19.

3 999 96020.

42021.

46 721 e 2.22.

A23.

D24.

B25.

1726.

27.

a) = 201 376.

10b) 7 520.

48 384.c)

10 752.d)

224.e)

1 344.f)

4 080.g)

208.h)

16.i)

4.j)

70.28.

29. .

D30.

12 960.31.

E32.

1 085.33.

B34.

E35.

36.

n!.a)

b) .

c)

37. .

10 x 8 x 6 x 4 x 2 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 460 8001.

43 200.2.

10 395. (ou 665 280 se considerarmos A x B 3. ≠ B x A)

240 + 1 392 + 1 980 = 3 612.4.

D5.

222+ 220 + 200 = 642.6.

3.168 números7.

8.

12a)

4b)

Observe a figura a seguirc)

Equipe Vitórias Empates DerrotasA 4 1 1

B 3 2 1

C 1 2 3

D 0 3 3

9.

4 x 47 = 188.a)

1 x 39 + 3 x 38 = 153.b)

1 x 48 + 12 x 47 = 612.c)

3 x 2 x 2 x 2 x 1 x 2 x 1 = 4810.

1011. 5 – 55 + 55 – 752

+ 75 = 98 475.

B {(12. 1;1) ; (3;3)}

A13.

A14.

B15.


18 EM

_V_M

AT

_013

C16.

1517.

E18.

19.

20.

21. .

n!22.

23. .

C24.

D25.

26.

6 sequênciasa)

48 sequênciasb)

B27.

228. n – 2

29.

a) .

b) .

30. , professores no total.

Cada banca possui sete professores.

6 54431.

2 030 maneiras32.

33. .

25634.

C 35. 93

+ 103

= 204

crescentes decrescentes

D36.

[1 022 - 105

] = 77037.


19EM

_V_M

AT

_013


20 EM

_V_M

AT

_013


31_analise combinatória

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