1. anÁlise combinatÓria - ufpr :: departamento de...
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MOTIVAÇÃO
A Estatística e Deming.
W. E. DEMINGNasceu em 14 de Outubro de 1900 em Sioux City, Iowa. Em 1921 licenciou-se em Física, na Universidade do Wyoming e, em 1928, doutorou-se em Matemática pela Yale University.
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O impacto das suas idéias foi de tal forma elevado que Deming é, hoje, considerado “o pai do milagre industrial japonês”. Morreu em 1993, com 93 anos. Em sua homenagem, a JUSE (Japan Union of Scientists and Engineers) instituiu o Deming Prize, que premia anualmente as melhores empresas no campo da qualidade. Deming foi condecorado pelo imperador do Japão com o mais elevado galardão atribuído a um estrangeiro: a Medalha de 2.ª Ordem do Sagrado Tesouro.
Os Estados Unidos só o descobriram na década de 80. Em 1986, Reagan atribuiu-lhe a National Medal of Technology e nesse ano foi lançado o livro Out of Crisis, a obra que consolidou de vez a sua fama como o grande mestre da qualidade.
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W.E. DEMINGW. E. DEMING
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ENGENHARIA: CEP, DOE, CONFIABILIDADE
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Allysson Paulinelli Ministro da Agric. 1974 linelli Coloca Eliseu Alves, na presidência da EMBRAPACria 14 Centros de Pesquisas em 14 regiões do país (exceto o café que tinha o IBC e o cacau que tinha a CEPLAC)Criou 4 Centros de Recursos Genéticos para o cerrado em Brasília.Com uma verba de US 200 milhões, escolheu nas melhores universidades brasileiras 1600 recém-formados e mandou-os fazer Mestrado e Doutorado nas melhores escolas agrícolas do mundo: California, Wisconsin, California, Wisconsin, França, Espanha, Índia, Japão, etc.
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1. ANÁLISE COMBINATÓRIA
As várias maneiras de se dispor os objetos de um conjunto em grupos denominados agrupamentos dependem basicamente de duas características:
1ª.) em cada agrupamento formado todos os elementos são distintos;
2ª.) em cada agrupamento pode haver repetição de elementos.
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Quando os agrupamentos têm a primeira característica (todos os elementos são distintos) são chamados de agrupamentos simples.
E, quando os agrupamentos têm a segunda característica (repetição de elementos) denominam-se agrupamentos com repetição.
Considerando o modo de formação dos grupos tem-se:
Arranjos, Permutações e Combinações
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Análise Combinatória Simples é o estudo da formação, contagem e propriedades dos agrupamentos simples.
Nos agrupamento simples os grupos diferem pela ordem ou pela natureza dos elementos que o compõem.
E, no caso de diferirem pela natureza, tem-se que pelo menos um dos elementos de um dos grupos formados não pertence ao outro.
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FATORIAL de um número inteiro n representado por n! é definido por:n! = n(n-1)(n-2)(n-3)........(n-n+2)(n-n+1)n! = n(n-1)(n-2)(n-3)........3.2.1
Especialmente, tem-se, por definição:0! = 11! = 1
ARRANJOS de n elementos tomados p a p
= = n(n-1).(n-2)......(n-p+2)(n-p+1)npA
)!pn(!n
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Permutação de n elementos é a denominação dada aos arranjos com n = p, ou seja, são os elementos de A com p = n. Fica fácil ver que Pn = = n(n-1)(n-2) ... (n-n+1) = n!
Combinação simples de n elementos tomados p a p é
representada por = Cn,p = =
Números Binomiais ou CombinatóriosOs números conhecidos como binomiais são aqueles da forma
e são representados por:
nnA
pn
!pAn
p
)!pn(!p!n
)!pn(!p!n
pn
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Exercícios: 1) Calcule o valor numérico de cada uma das expressões: a) 5! + 2! = 5.4.3.2.1 + 2.1 = 120 + 2 = 122 b) = =
5) Calcule o valor de x na equação (x+2)! = 2(x+1)! Solução:
(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)……1 = 2[(x+1)x(x-1)(x-2)...1] (x+2) = 2 x = 0
!0!1!2!3
111.21.2.3 7
1126
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8) Calcule o número de arranjos de 4 elementos tomados de 2 em 2.
Solução: A = = = 12
11) Calcule o valor da expressão Solução: + + = 1+ 120+ 1 = 122 2) Qual o número de permutações simples com objetos
repetidos que se pode obter com as letras da palavra matemática?
P =
np )!pn(
!n )!24(
!4
00
55
50 AAA
)!05(!5
)!55(!5
)!00(!0
,....,,n !!......!
!n
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Matemática tem: 2 letras m, 3 letras a, 2 letras t, 1 letra e, 1 letra i e 1 letra c. Logo, n = 10 letras.
!1!1!1!2!3!2!10P ...,,
n
1512001
5.6.7.8.9.10P 1,1,1,2,3,210
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4) Em certo ano, somente quatro times de futebol têm chances de ficar em dos três primeiros lugares do campeonato brasileiro. São eles Santos, Corinthians, Coritiba e Flamengo. Quantas são as possibilidades para cada um dos três primeiros lugares? R: 24
Solução:
Deve-se agrupar 4 elementos de 3 em 3. Como os agrupamentos são distintos pela ordem e pelos elementos tem-se Arranjo.
A =43
24124
)!34(!4
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7) Quantas diagonais tem o pentágono? Solução: É necessário agrupar os 5 vértices do pentágono de 2
em 2. Trocando a ordem o agrupamento é o mesmo, portanto tem-se combinação de 5 elementos tomados de 2 em 2, mas deve-se descontar os 5 lados.
Cn,p = - 5 = - 5 = 10 – 5 = 5)!pn(!p!n )!25(!2
!5
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9) Considere n objetos. Agrupando-os 4 a 4 de modo que cada grupo possua pelo menos um objeto diferente do outro obtém-se o mesmo número de grupos que o obtido quando se junta os objetos de 6 em 6. Qual o valor de n?
Solução:
Cn,p = Cn,4 =
Cn,6 =
Sabe-se que números binomiais com mesmo numerador (n) e módulos complementares (p) são iguais.
)!pn(!p!n )!4n(!4
!n
)!6n(!n!n
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Então,
são complementares
portanto 4 = p e 6 = n – p
6 = n - 4
n = 10
6n
e4n
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2. PROBABILIDADE E MODELOS DE PROBABILIDADE
Considere o experimento de jogar um dado equilibrado e observar o número da face superior. Observa-se no experimento que:a)Os “resultados possíveis” de ocorrer formam o conjunto = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
DEF. 1 ESPAÇO AMOSTRAL, , de um experimento realizado sob condições fixas, é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento, entendendo-se por resultado possível todo resultado elementar e indivisível do experimento.
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2.1.1) Considere, o experimento que consiste na escolha, ao acaso, de um ponto equidistante dos extremos do segmento de reta AB com comprimento de 2 cm, contido no eixo das abscissas de um Sistema Cartesiano e com A colocado na origem do sistema.
y m
A 1 1 B x
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a) Descreva o espaço amostral do experimento; = {(x,y) R2 | x = 1} b) Descreva o resultado 1 “distância entre o ponto
escolhido e o ponto médio do segmento é 2” na forma de subconjunto do espaço amostral;
1 = { (x,y) | y 2} c) Descreva o resultado 2 “distância entre o ponto
escolhido e a origem é ½”; 2 = { } = d) Descreva o resultado 3 “a 1a. coordenada do ponto
escolhido tem comprimento menor que a 2ª. ”.
{ (x,y) | x |y|}
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DEF. 2 RESULTADO COMPOSTO é todo resultado formado por mais de um resultado elementar e indivisível.
Ex.: O resultado “número par” NP = {2, 4, 6} não é elementar e indivisível, pois é composto por três resultados deste tipo {2}, {4} e {6}, logo “número par” é um resultado composto.
O resultado “número par” é o subconjunto NP = {2, 4, 6} . Assim, todo resultado do experimento é subconjunto do espaço amostral.
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DEF. 3 -ÁLGEBRA, A, de subconjuntos do conjunto não-vazio é a classe de subconjuntos de satisfazendo as propriedades:1a.) A2a.) Se A A Ac A3a.) Se A1, A2, A3, ..... A AA -ÁLGEBRA mais simples é o conjunto das partes de , ou seja, P() = {, {1}, ... , {6}, {1,2}, ... , {5,6},...., } no experimento do lançamento do dado, p.ex.
DEF. 4 Seja o espaço amostral do experimento. Todo subconjunto A será chamado de evento, o conjunto é evento certo, o subconjunto é o evento impossível e se o evento {} é dito elementar e indivisível.
1iiA
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DEF. 5 DEFINIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADE (quando é finito).Seja A um subconjunto do espaço amostral , AP(), então se todos os resultados elementares de são equiprováveis a medida da probabilidade de ocorrência do evento A é dada por P(A) = , A A.
#A#
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2.1.2) Um dado é lançado. Pergunta-se a probabilidade dos eventos:
a) A = sair um número ímpar. A = {1, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} P(A) = =
b) B = sair um número menor que 3. B = {1, 2} P(B) = = = 1/3
#A#
63
#B#
62
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c) C = sair um número maior que 10. C = { } P(C) = =
d) = sair um número inteiro maior ou igual a 1 e menor ou igual a 6.
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} P() = =
#C# 0
60
## 1
66
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2.2.5) Durante um período de 24 h, em algum momento X, uma chave é posta na posição “ligada”. Depois em algum momento futuro Y (dentro do período de 24h) a chave é virada para a posição “desligada”. Suponha que X e Y sejam medidas em horas, no eixo dos tempos, com o início do período na origem da escala. O resultado do experimento é constituído pelo par de números (X, Y).
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a) Descreva o espaço amostral. = {(x,y) R2 | 0 < x < y < 24}
b) Descreva e marque no plano XY os seguintes eventos: (i) O circuito está ligado por uma hora ou menos. A = {(x,y) | y – x < 1} y > x+1
y< x + 1
y = x
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(ii) O circuito está ligado no tempo Z, onde Z é algum instante no período de 24 h.
B = {(x,y) | 0 < x < z < y < 24}
y > x
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(iii) O circuito é ligado antes do tempo t1 e desligado depois do tempo t2 (onde t1< t2 são dois instantes durante o período especificado de 24 h).
C = {(x,y) | x < t1 < t2 < y < 24}
(iv) O circuito permanece ligado duas vezes mais tempo do que desligado.
y – x = 2(x+24-y)y – x = 2x+48-2y 0 x y 243y = 3x + 48 y = x + 16
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D = {(x,y) | y = x + 16}
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DEF. 7 DEF. GEOMÉTRICA DE PROBABILIDADE (Gnedenko)Suponha que um segmento seja parte de um outro maior Le que se tenha escolhido ao acaso um ponto de L. Se admitirmos que a probabilidade deste ponto pertencer a seja proporcional ao comprimento de e não depende do lugar que ocupa em L, então a probabilidade de que o ponto selecionado esteja em é: L P
compcompL
( ).
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Exercício
Suponha que a área de um estado seja de aproximadamente 200.000 km2. e que a área de uma região metropolitana seja de 2.500 km2. Então, sabendo-se que um raio caiu no estado, qual a probabilidade de ter caído nessa região metropolitana?
P(R) = = = 0,0125 = 1,25%estadodoáreaRMdaárea
2000002500
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DEF. 9 DEF. AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADE (Kolmogorov)Probabilidade ou medida de probabilidade na -álgebra A é a função P definida em A e que satisfaz os axiomas seguintes:A1) P(A) 0A2) P() = 1A3) Se A e BA e são disjuntos P(A B) = P(A) + P(B) Se A1, A2, A3, ... , An A e são disjuntos, então
A3’) Se A1, A2, A3, ... A e são disjuntos, então
P U A P Ai
n
i ii
n
( ) ( )
11
1iii1i)A(P)AU(P
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DEF.10 ESPAÇO DE PROBABILIDADEÉ o trio (, A, P), onde , A e P são definidas anteriormente.
Propriedades da ProbabilidadeAlém das propriedades enunciadas na definição axiomática, a função P goza, ainda, das seguintes:
P1) Se A é um evento aleatório, então a probabilidade de A não ocorrer é dada por: P(Ac) = 1 – P(A)P2) Se A é um evento aleatório, então 0 P(A) 1P3) Se A1 A2 P(A1) P(A2) e P(A2 - A1) = P(A2) - P(A1)P4) P(A1A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1A2)
P5)
P6)
P U A P Ai
n
i ii
n
( ) ( )
11
P U A P Ai i i
i
( ) ( )
11
38
P7) P A A A P U A S S S S Sn i
n
ir
rr
nr
n
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1
11 2 3
1
1
1 1
P8)
P9)
P10) Continuidade em Probabilidade: “Seja a seqüência {Ai} i = 1,2,3, ... onde Ai A i, então: a) se Ai A P(Ai) P(A) e b) se Ai A P(Ai) P(A).
P A P Ai
n
I iC
i
n
( ) ( )
1
1
1
P A P Ai
i iC
i
( ) ( )
1 1
1
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Exercício 1: Prove a propriedade P1.
Prova de: P(Ac) = 1 – P(A)
Seja o espaço amostral A
Ac
Considere a união de subconjuntos disjuntos AAc =
P(AAc) = P()
P(A) + P(Ac) = 1 pelos axiomas A2 e A3
P(Ac) = 1 – P(A)
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Exercício 2: Prove a propriedade P2.
Prova de: 0 < P(A) < 1
Do axioma A1 P(A) > 0
E da propriedade P1 P(A) = 1 – P(Ac)
para o menor valor de P(Ac) que é zero (axioma 1) tem-se o maior valor de P(A) que é 1. Portanto,
0 < P(A) < 1
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Exercício 3: Prove a propriedade P3 .Prova de: Se A1 A2
P(A1) < P(A2) e P(A2 – A1) = P(A2) – P(A1)
Seja a união de eventos disjuntos:
A2 = A1(A2A1c)
P(A2) = P[A1(A2A1c)]
P(A2) = P(A1) + P(A2A1c) axioma A3
P(A1) = P(A2) – P(A2A1c) P(A1) < P(A2)
E, P(A2 A1c) = P(A2 – A1)
P(A2 A1c) = P(A2) – P(A1)
Então, P(A2 – A1) = P(A2 A1c) = P(A2) – P(A1)
A1 A2
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Exercício 4: Prove a propriedade P4 .
Prova: P(A1A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1A2)
A1A2
A1 A2
Seja a união de eventos disjuntos A1A2 = A1 (A2 – A1 A2)
Então, P(A1A2) = P[A1 (A2 – A1 A2)]
P(A1A2) = P(A1) + P[A2 – A1 A2)]
P(A1A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 A2) por P3
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2.2.6) Sejam A, B, C três eventos associados a um experimento. Exprima em notação de conjunto as seguintes afirmações verbais:
• Veja que significa “ou” e associamos a adição (+).• E, significa “e” e associamos a multiplicação (x). a) Ao menos um dos eventos ocorre; ABCb) Exatamente um dos eventos ocorre; (ABc Cc) (AcBCc) (AcBc C) c) Exatamente dois dos eventos ocorrem; (AB Cc) (ABc C) (AcBC) d) Não mais de dois eventos ocorrem simultaneamente. (AB C)c
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Probabilidade CondicionalDEF. Seja o espaço de probabilidade (, A, P) e os eventos A, B A com P(B) > 0, a probabilidade condicional do evento A dado o evento B é definida por: P(AB) =
OBS:1ª.) Se P(B) = 0, P(AB) pode ser arbitrariamente definida. A maioria dos livros faz P(AB) = 0, mas é conveniente pela independência se fazer P(AB) = P(A). 2ª.) Como P(AB) é uma probabilidade, vale para ela todas as propriedades de probabilidade.
P A BP B
( )( )
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3ª.) Como P(AB) =
Então, a probabilidade da ocorrência simultânea de A e B é dada por: P(A
Teorema da Multiplicação ou da Prob. Composta “Seja o espaço de probabilidade (, A, P), então: I. P(A A,B AII. P( = P(A A1, A2, A3, ....., AnA”.
P A BP B
( )( )
)B|A(P).B(P)A|B(P).A(P)B
)A|B(P).A(P)B )A...AA n21
)A...AA|A(P)...AA|A(P).A|A(P). nn 121213121
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Prova:n = 2 P(A1A2) = P(A1)P(A2|A1) por definição
n = 3 P(A1 A2 A3) = P[(A1 A2) A3]
= P(A1 A2).P(A3|A1 A2) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2)
por indução, aceita-se a regra para n – 1
P(A1 ... An-1)=P(A1).P(A2|A1)...P(An-1|A1 A2 ... An-2)
E prova-se para n assumindo o resultado de n -1
P(A1 ... An)=P[(A1 ...An-1) An)
= P(A1 ... An-1)P(An|A1 ... An-1)
usando o resultado para n-1
= P(A1)P(A2|A1)...P(An-1|A1 ...An-2)P(An |A1 ... An-1)
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Independência de eventos
DEF.: Seja o espaço de probabilidade (, A, P). Os eventos aleatórios A e BA são estocasticamente independentes se:
P(A , ou seja, P(B|A) = P(B) e P(A|B)=P(A).
Eventos Mutuamente ExclusivosDEF.: Os eventos A e B, com A, B A são mutuamente exclusivos (disjuntos) se , ou seja, A .
B P A P B) ( ). ( )
0)BA(P B
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Propriedades de Eventos Independentes 1a.) O evento aleatório AA é independente de si mesmo
se e somente se P(A) = 0 ou P(A) = 1.
2a.) Se A e B são eventos aleatórios independentes pertencentes a A, então A e Bc, Ac e B, Ac e Bc também são independentes.
3a.) Se A e B são eventos aleatórios mutuamente exclusivos pertencentes a A, então A e B são independentes somente se P(A) = 0 ou P(B) = 0.
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Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes
PARTIÇÃO DO ESPAÇO AMOSTRAL
Sejam A1, A2, A3, ... eventos aleatórios mutuamente exclusivos e exaustivos, isto é, os Ai são disjuntos e Ai = . Então, os eventos Ai formam uma PARTIÇÃO DO ESPAÇO amostral .
A1
A2
A3.......
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É importante observar DUAS COISAS, admitindo-se que a seqüência A1, A2, A3, ... seja FINITA ou INFINITA ENUMERÁVEL:
1ª.) Ai e Aic formam uma PARTIÇÃO Ai A.
2ª.) evento B A tem-se pois os Ai são disjuntos e, então, os B Ai também são disjuntos e logo P(B) = P[ ]
B U A Bi i ( )
i i
iii )A|B(P)A(P)BA(P)B(P
i
i )BA(
51
A2
A5 B
A1
A4
A3
Seja o evento B , então a probabilidade do evento B ocorrer é dada por: que é o Teorema da Probabilidade Total
i
ii )A|B(P)A(P)B(P
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Com base no Teorema da Probabilidade Total é possível calcular a probabilidade do evento Aj dada a ocorrência do evento B, pela fórmula conhecida como,
Teorema de Bayes
i
ii
jjjjjj )A|B(P)A(P
)A|B(P)A(P)B(P
)A|B(P)A(P)B(P
)BA(P)B|A(P
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2.3.1) Dez fichas numeradas de 1 a 10 são misturadas em uma urna. Duas fichas, numeradas (x, y), são extraídas da urna sucessivamente e sem reposição. Qual é a probabilidade de x + y =10?
= {(1,2), (1,3), ...... ,(9,10)} # =
A = {(1,9), (2,8), (3,7), (4,6), (9,1), (8,2), (7,3), (6,4)} #A = 8
P(A) = 45/810x9/2
8
210
8#
A #
2
10
54
2.3.2) Um lote é formado de 10 artigos bons, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos graves. Um artigo é escolhido ao acaso. Ache a probabilidade de que:
a) Ele não tenha defeitos;
P(B) =
b) Ele não tenha defeitos graves;
P(DGc) =
8/51610
#B#
8/7811
1621
#DG#1
55
c) Ele, ou seja perfeito ou tenha defeitos graves; P(B DG) = P(B) + P(DG) – P(BDG) P(B DG) = + - 0 = = ¾ (mutuamente exclusivos)
d) Resolva os itens b e c aplicando a definição de probabilidade.
(b) P(DGc) =
(c) P(B DG) =
1610
162
1612
8/716
410#DG# C
4/38/616
210#
DG)(B#
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2.3.3) Se do lote de artigos do problema anterior, dois artigos forem escolhidos (sem reposição), ache a probabilidade de que:a) Ambos sejam perfeitos; P(B1 B2) = P(B1)P(B2|B1) = b) Ambos tenham defeitos graves; P(DG1 DG2) = P(DG1)P(DG2|DG1) = c) Ao menos 1 seja perfeito; P[(B1 B2
c ) (B1
c B2) (B1 B2) = = P[(B1 B2
c )+P(B1c B2) + P(B1 B2)
= P(B1)P(B2c|B1) + P(B1
c)P(B2| B1c) + P(B1)P(B2|B1)
8/3159x
1610
120/1151x
162
57
= = 7/8
d) No máximo 1 seja perfeito;
P[(B1c B2
c) (B1 B2c) (B1
c B2)] = = P(B1
c B2c) + P(B1 B2
c) + P(B1c B2) =
= P(B1c)P(B2
c|B1c) + P(B1)P(B2
c|B1) + P(B1c)P(B2|B1
c) = =
159.
1610
1510.
166
156.
1610
8/51510.
166
156.
1610
155.
166
58
2.5.2) A probabilidade de que um aluno saiba a resposta para certa questão, de um exame de múltipla escolha é p. Das opções de resposta para cada questão, somente uma é correta. Se o aluno não sabe a resposta para a questão, ele seleciona ao acaso uma resposta dentre as m opções. Se a probabilidade do aluno responder corretamente dado que ele sabe a resposta é 0,88 pergunta-se:
a) Se o aluno responder corretamente a questão, qual a probabilidade de que ele “chutou” a resposta?
P(chutou|RC) = = )RC(P)RCchutou(P
)RC(P)chutou|RC(P)chutou(P
59
P(chutou|RC) =
(RC) = (AS RC) (ASc RC)
P(RC) = P[(AS RC) (ASc RC)]
P(RC) = P(AS)P(RC|AS)+P(ASc)P(RC|ASc]
P(RC) = p.0,88 + (1-p)
)RC(Pm/1).p1(
m1
m/)p1(p88,0m/1).p1(
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b) Se o aluno responder incorretamente a questão, qual a probabilidade de que ele não “chutou” a resposta?P(não chutou|RI) = =
RI = (ASRI)(ASc RI) P(RI) = P[(AS RI) + (ASc RI)]P(RI) = P(AS)P(RI|AS)+P(ASc)P(RI|ASc]P(RI) = p.(1-0,88) + (1-p)
P(não chutou|RI) = =
)RI(P)RIchutounão(P
)RI(P)chutounão|RI(P)chutounão(P
m1m
m1m)p1(p12,0
)88,01(p
m1m)p1(p12,0
p12,0
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2.5.4) Durante o mês de novembro a probabilidade de chuva é 0,3. O meu time ganha um jogo em dia de chuva com probabilidade 0,4 e em dia sem chuva com probabilidade 0,6. Se ganhou o jogo em novembro, qual a probabilidade de que tenha chovido no dia?
A1 A2 B A1: chove no dia e A2
: não chove
B : meu time ganha o jogo
P(A1|B) =
P(A1|B) = =
iii
11
)A|B(P)A(P)BA(P
)B(P)BA(P
i
ii
11
)A|B(P)A(P)A|B(P)A(P 222,0
6,0.7,04,0.3,04,0.3,0
62
P(A1|B) = 222,042,012,0
12,06,0.7,04,0.3,0
4,0.3,0
63
3. VARIÁVEL ALEATÓRIA DEF. Uma variável X em um espaço de probabilidade
(,A,P) é uma função real definida no espaço , tal que o evento [X x] é evento aleatório x R isto é, a função X: R é v. a. se o evento [ X x ] A, x R.
EXEMPLOSeja uma família com duas crianças.a) Escreva todas as situações possíveis de ocorrer quanto ao sexo das
crianças;R: = {(F1, F2), (F1, M2), (M1, F2), (M1, M2)}
64
b) Associe a cada situação possível um número real considerando a função que conta o número de meninos do evento;
O 1 2 R
1=(F1,F2)
2=(F1,M2)
2=(M1,F2)
2=(M1,M2)
X() = x
65
c) O campo de variação da variável aleatória X, ou contradomínio, é o conjunto {0, 1, 2}.
DEF. VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETAA v.a. X é chamada de DISCRETA quando o seu contradomínio é um conjunto finito ou infinito enumerável, ou melhor, se existe um conjunto finito ou infinito enumerável {x1, x2, x3, ... } R tal que X() {x1, x2, x3, ... } .
DEF. VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUAA v.a. X é chamada de CONTÍNUA quando o seu contradomínio é um conjunto infinito não enumerável.
66
DEF. FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO F(x): A função distribuição ou função distribuição acumulada da v.a. X é definida por F(x) = P(X x).
DEF. A f.p. da v.a. X, discreta, representada por P(X=xi) = p(xi) é uma função tal que para X() {x1, x2, x3, ...}
A P(X = xi) = p(xi) 0 e
DEF. A f.d.p. da v.a. X, contínua, representada por fX(x) é
uma função tal que fX(x) 0 e .
p xii
( )
11
f x dx( )
1
67
DETERMINAÇÃO da DISTRIBUIÇÃO de PROBABILIDADE da v.a. X
A distribuição de probabilidades de uma v.a. X fica determinada por qualquer das seguintes funções. Usa-se, geralmente, a mais apropriada.
A função distribuição, f.d., F(X);A função de probabilidade, f.p., P(X = x) = p(x);A função densidade de probabilidade, f.d.p., fx(x);A função característica X(x) = E(eitx).
68
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES
Distribuição de Bernoulli (v.a. discreta)Uma v.a. X tem uma distribuição de Bernoulli com parâmetro quando assume apenas os valores 1 e 0 com probabilidade e (1 - ), respectivamente, (1 em geral representa sucesso). EXEMPLOS1) Face de uma moeda: cara ou coroa.2) Sexo de uma criança: masculino ou feminino.3) Qualidade de uma peça: perfeita ou defeituosa.
69
A f.p. da v.a. Bernoulli é dada por:
P(X = x) = x(1 - )1-x x = 0, 1 0 < < 1
Os parâmetros de uma variável Bernoulli são:
•Média = E(X) =
•Variância 2 = V(X) = (1-) e o desvio padrão = = )X(V )1(
70
Prob. Sucesso0,4
Distribuição Bernoulli
x
P(X
=x)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
71
EXERCÍCIO3.2.1.1) Qual a esperança e a variância da v.a. X ~ b(1, 1/4)?Solução:= E(X) = = 1.P(X=1)+0.P(X=0) = P(X=1) =
= E(X) = ¼
2 = V(X) = =
= (0- )2.P(X=0)+(1- )2.P(X=1) = = 2(1- )+(1- )2 = (1- )[+(1- )]2 = V(X) = (1- )[+(1- )] = (1- ) = (1/4)(3/4) = 3/16
x
)xX(xP
x
2 )xX(P)x(
72
Distribuição Binomial (v.a. discreta) Uma v.a. Y tem distribuição binomial com parâmetros n e quando assume valores no conjunto {0, 1, 2, 3, ... , n} e a sua f.p. é dada pela expressão:
ynyY )1(
yn
)yY(P)y(P
y = 0, 1, ... , n
A esperança e a variância de Y são:
= E(Y) = n e 2 = V(Y) = n(1- )
A v.a. Binomial corresponde ao número de sucessos em n provas tipo Bernoulli independentes.
73
Exemplos de v.a. Binomial:
1) Número de peças defeituosas em um lote com n = 20 peças;
y = 0, 1, 2, ..... , 20 n = 20
2) Número de meninas em uma família com n = 5 crianças.
y = 0, 1, 2, .... , 5 n = 5
74
Prob. Sucesso0,4; n=10
Distribuição Binomial
x
P(Y
= y
)
0 2 4 6 8 100
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3 Prob. Sucesso nP(Y=1)=0,4 n = 10
Distribuição Binomial (f.p.)
y
P(Y
= y
)
0 2 4 6 8 100
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
75
3.2.1.3) De um lote que contém vinte e cinco peças das quais cinco são defeituosas, são escolhidas quatro ao acaso. Seja X o número de defeituosas encontradas na amostra tomada do lote. Escreva a distribuição de probabilidade de X, quando as peças forem escolhidas com reposição. P(D) = 5/25 = 1/5 = n = 4 – Binomial b(4, 1/5)
ynyYY )1(
yn
)yY(P)y(P
y4y )5/4()5/1(y4
)yY(P
76
3.2.1.3) De um lote que contém vinte e cinco peças das quais cinco são defeituosas, são escolhidas quatro ao acaso. Seja X o número de defeituosas encontradas na amostra tomada do lote. Escreva a distribuição de probabilidade de X, quando as peças forem escolhidas sem reposição.
P(Y = y) = Hipergeométrica
425
y420
y5
.card.def.card
25
20B....2B1B5D4D3D2D1D
77
Prob. evento0.2,10,100
Distribuição Hipergeométrica
x
P(X
= x
)
0 2 4 6 8 100
0.1
0.2
0.3
0.4
78
Exercícioa) Calcule a esperança matemática de Y no experimento do exercício 3.2.1.3 – primeira parte.
= E(Y) = n = 4x(1/5) = 4/5 b) Calcule o desvio padrão de Y no experimento do 3.2.1.3 – primeira parte.
= )1(n 5/4)5/4)(5/1(4
79
Distribuição de PoissonUma v.a. X tem distribuição de Poisson quando a sua f.p. é da forma:P(X = x) = x = 0,1,2,3,... e > 0
A esperança e a variância de X são dadas por: = E(X) = e 2 = V(X) =
Exemplos:1) Número de erros tipográficos em uma única página de um livro é P(); no exercício 3.2.1.9 = 1.2) Número erros de solda em uma placa de circuito impresso é P().
!xex
80
Média10
Distribuição de Poisson
x
P(X
= x
)
0 5 10 15 20 25 300
0.03
0.06
0.09
0.12
0.15
81
Distribuição Normal (Gaussiana) – v.a. contínuaUma v.a. X tem distribuição Normal ou Gaussiana quando a sua f.d.p. tem a forma:
f(x) = x , e +2
2
2)x(
e2
1
Mean,Std. dev.20,1
Distribuição Normal ou Gaussiana
x
f(x)
15 17 19 21 23 250
0.1
0.2
0.3
0.4
82
A fig. anterior mostra o gráfico da f.d.p. f(x) de uma N(20, 1), ou seja, Gaussiana com média = 20 e desvio padrão = 1.
A fig. adiante mostra o gráfico da f.d.p. f(x) de uma Normal Padrão, ou seja, N(0, 1).
Mean,Std. dev.0,1
Distribuição Normal Padrão
z
f(z)
-5 -3 -1 1 3 50
0.1
0.2
0.3
0.4
83
Como é difícil trabalhar-se com todos os membros da família Normal, prefere-se trabalhar com a Normal Reduzida ou Normal Padrão. Esta v.a. é representada por Z e tem a seguinte f.d.p.:
f(z) = z
P(X < x) = P( < ) = P(Z < z)
12
2
2
e
z
X
x
84
Na distribuição Normal a probabilidade da v.a. X assumir um valor entre a e b (a < b) é dado por:
P(a X b) =
A distribuição da v.a. Z tem média e variância iguais a, respectivamente, = 0 e 2 = 1 e essa v.a. é obtida da transformação de X em Z = (X - )/, onde X ~ N(, 2).
P(a<X<b) = P( < < ) = P(a< Z < b)
P(a< Z < b) =
f x dxa
b
( )
a
X
b
b
a)a(F)b(Fdz)z(f
85
VERIFICAÇÃO DA NORMALIDADE DE UMA AMOSTRA (dados)A Gaussianidade de dados, ou seja, o teste da hipótese de que as observações seguem uma distribuição Gaussiana, N(, 2), pode ser feito por meio dos métodos:Kolmogorov-Smirnov; Shapiro-Wilks; Qui-quadrado;e outros.O método de Kolmogorov-Smirnov é geral, usado para a Normal e para as outras distribuições. Já o método de Shapiro-Wilks é especifico para a distribuição Normal. O teste Qui-quadrado é aplicável, somente, quando a mostra tem um tamanho grande. Na prática estes métodos são aplicáveis com uso de programa estatístico (MINITAB, STATGRAPHICS, R, SPSS, etc.
86
Exemplo 1Verifique usando os métodos de Kolmogorov-Smirnov e Shapiro-Wilks se a amostra aleatória segue a distribuição Gaussiana. Os dados estão em gramas e correspondem ao peso de determinado produto observado n = 20 vezes.49,6890 50,4332 49,1072 49,7983 49,9152 50,2821 50,0048 49,8834 49,7633 49,8403 49,9567 50,8553 49,5055 49,4060 50,3345 50,4099 49,3756 49,968149,2399 50,2500
MTB> STAT, BASIC STATISTICS, NORMALITY TEST (entre com peso, o teste K-S e depois o de R-J).
87
peso
Perc
enta
gem
51.050.550.049.549.0
99
9590
80706050403020
105
1
Mean
>0.150
49.90StDev 0.4442N 20KS 0.108P-Value
Teste de Gaussianidade - KS - do pesoNormal
88
O gráfico de probabilidade normal é apresentado adiante e mostra que o valor-p do teste é p > 0,150 indicando que os dados vêm de uma população (distribuição Gaussiana) conforme o teste de Kolmogorov-Smirnov. Já o teste de Ryan-Joiner similar ao de Shapiro-Wilks (disponível no programa) indicou um valor-p de p > 0,100 confirmando o apontado pelo teste de Kolmogorov-Smirnov.
89
Exemplo 2Escreva a expressão do modelo Gaussiano que pode ser ajustado adequadamente aos dados.
f(x) = = x R
Exemplo 3Verifique usando o método de K-S se a a.a. adiante segue a distribuição Exponencial de probabilidades. Os dados estão em mm e correspondem ao comprimento de determinado produto que foi observado n = 30 vezes.
2
21
21 )x(
e
2
444090149
21
244401 )
,,x(
e,
90
Usando o STATGRAPHICSSTATG> DESCRIBE, DISTRIBUTIONS, DITRIBUTION FITTING (entra com a coluna com os dados), BOTÃO DA DIREITA DO MOUSE, ANALYSIS OPTIONS (marcar Exponencial), BOTÃO AMARELO DAS OPÇÕES, GOODNESS OF FITTING.
0,451000 1,96945 7,13563 31,7629 6,64905 6,18010 9,09503 0,384300 0,951424 9,40156 9,51063 14,0222 3,94125 8,65843 6,12337 5,32622 9,42843 22,7070 8,62611 43,0589 14,4677 2,12289 4,74482 14,77300,120617 6,38820 2,80350 20,7474 7,38290 5,69364
91
RESULTADOS:
Estimated Kolmogorov statistic DPLUS = 0.133655Estimated Kolmogorov statistic DMINUS = 0.129582Estimated overall statistic DN = 0.133655Valor-p p = 0.657417Como o teste de Kolmogorov-Smirnov forneceu valor-p de p = 0,657417 > 0,05 aceitá-se a hipótese de que os dados tenham vindo de uma distribuição exponencial com parâmetro = 9,48758 (média amostral).
92
Exemplo 4Escreva a expressão do modelo exponencial que pode ser ajustado aos dados do exemplo 3 adequadamente.
f(x) = e-x = 9,48758e x > 0
EXERCÍCIOS3.2.1.12) Seja a v.a. X ~ N (10,4). Calcule: a) P(8<X<10).Solução:
P(8<X<10) = =
P(8<X<10) = 0,341345
x,487589
10
8dx)x(f
10
8
)210x(
21
dxe22
1 2
93
E, usando o MINITAB o caminho é:MTB> CALC/ PROBABILITY DISTRIBUTIONS/ NORMAL
Cumulative probability
Mean 10 Standard deviation 2
Input constant 10 (depois entra com 8)
As saídas são: 0,5 e 0,158655
P(8<X<10) = F(10) – F(8) = 0,5 – 0,158655 = 0,341345
94
ESPERANÇA E VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA - DefiniçõesDEF. Seja uma variável aleatória X, discreta, que assume valores no conjunto {x1, x2, x3, ... , }. Chamamos valor médio ou esperança matemática de X ao valor:
DEF. Chamamos VARIÂNCIA da v.a. X ao valor:
2 = V(X) =
E X x P x x P X xi X i i X iii
( ) ( ) ( )11
n
1ii
2i )xX(P)x(
95
DEF. A raiz quadrada da variância da v.a. X é denominada desvio-padrão da v.a. X, =
Uma relação muito importante é , onde
V X( )
V X E X E X( ) ( ) ( ) 2 2
E X x P X xi ii
n
( ) ( ).2 2
1
Se a v.a. é contínua tem-se a esperança de X dada por:
e a variância por E(x-)2 = 2 =
E X xf x dx( ) ( )
( ) ( )x f x dx
2
96
DEF. Se as v.a’s X e Y não são independentes existe uma diferença entre E(X.Y) e E(X).E(Y). Esta diferença é chamada de covariância e definida por:
cov(X,Y) = E[(X - E(X)).(Y - E(Y))] cov(X,Y) = E[(X - X).(Y - Y )]
e se cov(X,Y) = 0 as v.a’s são chamadas de não-correlacionadas.
DEF. A covariância entre as v.a’s X e Y padronizadas é chamada de coeficiente de correlação = E[( )]
yx
)Y(EY)()X(EX
97
Exemplo
Os dados adiante referem-se ao peso e ao comprimento de uma aste de seção constante. Calcule a correlação entre as variáveis.
Peso: 5 8 10 15 21 24 31 36
Comprimento: 10 15 20 30 40 50 60 75
O Diagrama de Dispersão (adiante) mostra a tendência da evolução dos dados, ou seja, a forma do relacionamento entre as duas variáveis Peso e Comprimento.
98
Comprimento
Peso
8070605040302010
40
35
30
25
20
15
10
5
Diagrama de Dispersão - Peso x ComprimentoPesoxComprimento
99
Esse gráfico foi obtido no MINITAB usando o caminho:
MTB> graphs/ scatterplots / with regression
E, o valor do coeficiente de correlação estimado é obtido aplicando-se a expressão do estimador de dada por:
onde é a média amostral da v.a. X
e é a média amostral da v.a. Y
n
1i
2i
2i
n
1iii
)yy()xx(
)yy)(xx(ˆ
x
y
100
O caminho do cálculo no MINITAB é o seguinte:
MTB> STAT/ BASIC STATISTICS/ CORRELATION
= 0,997 (correlação alta)
Quando se pretende modelar o relacionamento pode-se ajustar o modelo linear:
Yi = 0 + 1xi + i i = 1,2, ..., n
MTB> STAT / REGRESSION / REGRESSION – RESPONSE Y /PREDICTORS X
n
1i
2i
2i
n
1iii
)yy()xx(
)yy)(xx(ˆ
101
A equação de regression estimada é:y = 0,557 + 0,485x
Os resultados para os coeficientes são:Predictor Coef. E.P. t p 0.5574 0.4110 1.36 0.196
0.485135 0.009508 51.03 0.000
s = 0.817875 R2 = 99.5%
0
1
102
ESTATÍSTICA DESCRITIVAPopulação, Amostra e Descrição Numérica de Variáveis.POPULAÇÃOEm Estatística denomina-se população alvo a totalidade de elementos que estão sob discussão e dos quais se deseja informação.AMOSTRA ALEATÓRIAUma a.a. aleatória tomada de uma determinada população é aquela em que os elementos que compõem a população têm uma chance probabilística de pertencer à amostra. Uma amostra aleatória de tamanho n é geralmente representada por [X1, X2, ... , Xn], onde Xi i = 1,2, .. ,n são os valores obtidos para compor a amostra.
103
Na Ciência Estatística a população amostrada corresponde à distribuição de probabilidade correspondente a certa característica (física ou não) e a amostra corresponde a valores medidos dessa característica. Essa distribuição de probabilidade é definida por uma função que depende de parâmetros que são, em geral, desconhecidos. Esses parâmetros devem ser estimados com base nos valores amostrais usando-se seus estimadores.
104
Exemplo 1O diâmetro de um calibrador tampão liso cilíndrico foi medido em uma máquina de medição universal por meio de um método de medição direta e se obteve uma amostra de n = 10 leituras. A amostra está na tabela adiante. As n = 10 medidas obtidas correspondem à a.a. tomada da característica “diâmetro do calibrador”. A população amostrada corresponde à distribuição de probabilidade da característica X = diâmetro do calibrador. Uma medida física geralmente tem distribuição de probabilidade Gaussiana (Normal), então a população amostrada é a Distribuição de Probabilidade Gaussiana (Normal).
105
Número da Leitura Leitura em mm
1 10,0024 2 10,0027 3 10,00284 10,0027 5 10,0021 6 10,0026 7 10,0020 8 10,0026 9 10,0023 10 10,0026
106
Gaussianidade
Será que os dados vêm de uma distribuição Gaussiana?
Aplicação do Teste de Kolmogorov-Smirnov
CAMINHO:
MTB> STAT/BASIC STATISTICS/NORMALITY TEST/ KOLMOGOROV-SMIRNOV
RESULTADOS DO TESTE; valor-p p > 0,150
Os dados vem de distribuição Gaussiana (Normal).
107
diam_calib
Perc
entu
al
10.0032510.0030010.0027510.0025010.0022510.00200
99
9590
80706050403020
105
1
Mean
>0.150
10.00StDev 0.0002700N 10KS 0.172P-Value
Teste de Gaussianidade - KS - do Diâmetro do CalibradorNormal
108
Exemplo 2Seja a a.a. [X1, X2, ... , Xn] de uma característica populacional com f.d.p. Gaussiana com média e variância 2 e representada por N(, 2). A média amostral , a variância amostral s2 e o desvio padrão s são estatísticas. São funções de v.a’s observáveis e não dependem de qualquer parâmetro desconhecido. Veja as expressões das estatísticas citadas:
Média amostral = estima o parâmetro
Variância e amostral s2 = estima o parâmetro d.p. s = estima o parâmetro
X
n
1iix
n1
2n
1ii )xx(
1n1
2n
1ii )xx(
1n1
x
2
109
Exemplo 3• A função da média amostral é estimar a média
populacional (parâmetro desconhecido) ;
• A função da variância amostral s2 é estimar a variância populacional (parâmetro desconhecido) 2;
A função do desvio padrão amostral s é estimar o desvio padrão populacional (parâmetro desconhecido) ;
X
110
Exemplo 4Usando os dados da tabela 1 estime o parâmetro correspondente à verdadeira média do diâmetro do calibrador.
Caminho no MINITAB:MTB> STAT/BASIC STATISTICS/DISPLAY DESCRIPTIVE STATISTICS
= = (10,0024 + .... + 10,0026) = 10,0025x
10
1iix
101
101
111
Exemplo 5Usando os dados da tabela 1 estime o parâmetro correspondente à verdadeira variância 2 do diâmetro do calibrador.
s2 = =
s2 =
s2 = = 0,000000072889
22 )0025,100026,10(...)0025,100024,10[(91
2n
1ii )xx(
1n1
210
1ii )0025,10x(
1101
112
Exemplo 6Usando os dados da tabela 1 estime o parâmetro correspondente ao verdadeiro desvio padrão do diâmetro do calibrador.
s = = =
s = = 0,000270
2n
1ii )xx(
1n1
210
1ii )0025,10x(
1101
3330,00000334
113
Exemplo 7A figura adiante mostra a distribuição de probabilidade da v.a. correspondente ao diâmetro do calibrador da tabela 1.
Média10,00250,00027
Distribuição do Diâmetro do Calibrador
x
dens
ity
10001 10001.5 10002 10002.5 10003 10003.5 10004(X 0.001)
0
300
600
900
1200
1500
114
Exemplo 8As figuras adiante representam as distribuições (populações) correspondentes a uma característica X de um produto fabricado por três empresas. De qual das empresas você compraria o produto considerando que a característica X é fundamental ao funcionamento do produto? Considere que a característica X do produto está especificada por: alvo = 5,0 e tolerância de = 0,5, ou seja, 5,0 ± 0,5.
115
Média e D. Padrão5,00,1
Característica X - Fabricante 1
x
f(x)
4.5 4.7 4.9 5.1 5.3 5.50
1
2
3
4
116
Média e D. Padrão5,00,05
Característica X - Fabricante 2
x
f(x)
4.7 4.8 4.9 5 5.1 5.2 5.30
2
4
6
8
117
Média e D. Padrão5,00,4
Característica X - Fabricante 3
x
f(x)
3 4 5 6 70
0.2
0.4
0.6
0.8
1
118
119
Observe que você deve comprar do fabricante 2 porque o desvio padrão da característica X do produto desse fabricante é 0,05 e, portanto, a produção ficará mais concentrada dentro das especificações. De modo nenhum a compra deve ser feita do fabricante 3, pois a quantidade de defeituosos (fora das especificações) será inaceitavelmente grande. Observe as amplitudes de variação mostradas nos três gráficos.
120
DESCRIÇÃO NUMÉRICA DE VARIÁVEL
A descrição numérica dos dados (amostra) de uma variável aleatória é feita usando as estatísticas seguintes:
Estatísticas de Centralidade (Medidas de Tendência Central) e Separatrizes.
•média amostral (a média amostral estima a verdadeira média populacional ).
121
Exemplo 1:Duas máquinas produzem peças que estão especificadas com valor nominal = 2 mm e tolerância = 0.2 mm. Foi tomada da 1a. máquina uma amostra com tamanho n = 5 peças que forneceram as seguintes observações: 1,98 2,01 2,02 1,99 e 2,00. Já a 2a. máquina forneceu uma amostra do mesmo tamanho com as observações: 2,00 2,01 2,01 1,98 2,0. Você diria, com base nas amostras, que as duas máquinas estão centradas no alvo das especificações? Tome a sua decisão calculando as médias amostrais.
122
= 1,98+2,01+2,02+1,99+ 2,00) = 2,00
= 2,00+2,01+2,01+1,98+ 2,00) = 2,00
Sim, as máquinas estão centradas no alvo (valor nominal) das especificações.
1n
1ii
11 x
n1x (
51
2n
1ii
12 x
n1x (
51
123
• mediana (separa os dados ordenados em duas partes com igual número de termos)
Exemplo 3:Calcule a mediana amostral de cada uma das amostras
aleatórias seguintes. Lembre de primeiro ordenar as observações.
a) 20 30 40 20 25b) 1,5 2,0 1,0 2,5 3,0
50,0)X(P)X(P
124
Solução:
a) Ordenando os termos: 20, 20, 25, 30, 40
b) Ordenando os termos: 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
c)
25
0,2
xi fi
20 325 430 2
25
125
EXERCÍCIOS1) A mediana é uma separatriz, além de uma medida
de centralidade. Então, o que faz a separatriz?R: Separa as observações ordenadas em duas partes com
igual número de termos.2) Os quartis são medidas de posição (ordem), ou ainda,
separatrizes. Quantos são os quartis e o qual a sua função?
R: Os quartis são três: Q1 é o quartil inferior, Q2 é a mediana e Q3 é o quartil superior. A função dos três quartis é separar os dados ordenados em quatro partes com igual número de termos; deste modo 25% das observações são inferiores a Q1, 50% são nferiores a Q2 = e 75% são inferiores a Q3.
126
3) A descrição dos dados de uma amostra forneceu os seguintes valores para os quartis: Q1 = 7, Q2 = 10 e Q3 = 13. Interprete o significado de cada um dos quartis quanto à população de onde vieram os dados.
4) Os percentís são medidas de posição (ordem), ou ainda, separatrizes. Qual a sua função?
R: Os percentís são em número de 99 e têm por função separar os dados ordenados em 100 partes com igual número de termos.
127
Exercício
Descreva os dados do diâmetro do calibrador que estão na tabela 1 do exemplo 1.Solução: usa-se um pacote estatístico (MINITAB p.ex.)Descriptive Statistics: diam_calib
Variável Média E.P. D.P. Variância Min. Q1diam_calib 10.0025 0.0000854 0.000270 7.28889E-08 10.002 10.0020
Variable Mediana Q3 Max. Amplitudediam_calib 10.0026 10.003 10.0028 0.000800
128
Q1= 10.0023
Média = 10,0025
Mediana = 10,0026
Q3 = 10,0027
Máximo = 10,0028
Amplitude = 0,0220
Desvio padrão = 0,000270
Caminho no Minitab:
STAT BASIC STATISCS DISPLAY DESCRIPTIVES ...
129
Exercício 3:Os dados abaixo correspondem a uma amostra aleatória do diâmetro do furo (em mm) para fixação de certo equipamento aeronáutico. Descreva os dados numericamente e graficamente.
120,5 120,9 120,3 121,3 120,4 120,2 120,1 120,5 120,7 121,1120,9 120,8 120,3 120,2 120,3 120,4 120,5 120,2 120,8 120,9120,5 120,6 120,4 120,7 120,5 120,6 120,5 120,7 120,6 120,5
130
Solução:
Caminho no Minitab:STAT > BASIC STATISCS >DISPLAY > DESCRIPTIVES ...
Descrição numérica consiste em calcular as estatísticas descritivas: média, desvio padrão, variância, etc.
Variable Mean SE Mean StDev Variance CoefVar Minimum Q1 Mediandiam_furo 120,56 0,0511 0,280 0,0783 0,0023 120,10 120,38 120,50
Variable Q3 Maximum Rangediam_furo 120,73 121,30 1,20
131
Média = 120,56
Desvio padrão s = = 0,280
Erro padrão da média EP =
Variância = s2 = = 0,0783
n
1iix
n1x
2n
1ii )xx(
1n1
0,051130280,0
ns
2n
1ii )xx(
1n1
132
Coef. de variação = = 0,23%
Então, o desvio padrão é 0,23% da média.
O valor mínimo x(1) = 120,10
O primeiro quartil Q1 = 120,38
Significa que 25% dos termos são inferiores a 120,38
Posição de Q1 é = , então Q1 está entre o 70.
e o 80. termos ordenados.
xs
0023,0120,56
0,280
4Ni 5,7
4301
133
A mediana = 120,5
Posição da mediana n/2
• Se n é impar a mediana é o termo central (termos ordenados).
• Se n é par a mediana é a média aritmética dos dois termos centrais (termos ordenados).
• O segundo quartil Q2 = = 120,5
O terceiro quartil Q3 = 120,73
A posição de Q3 é
Então Q3 situa-se entre o 220. e o 230. termos.
5,224
3034n3
134
O valor máximo é x(n) = 121,30
A amplitude dos dados é R = x(n) - x(1) = 121,30 – 120,10
R = 1,20
135
Descrição gráfica consiste em construir o histograma dos dados.
Caminho no MINITAB: GRAPH HISTOGRAM
diam_furo
Freq
uênc
ia
121.4121.2121.0120.8120.6120.4120.2120.0
10
8
6
4
2
0
Mean 120.6StDev 0.2798N 30
Normal Histograma de diam_ furo
136
2) O tempo de vida até falhar, em horas, de um componente eletrônico sujeito a um teste de durabilidade acelerado é mostrado abaixo para uma amostra com tamanho n = 40. Para acelerar a falha no teste, as unidades experimentais são testadas sob uma temperatura elevada.
127 125 131 124 129 121 142 151 160 125 124 123 120 119 128 133 137 124 142123 121 136 140 137 125 124 128 129 130 122 118 131 125 133 141 125 140 132 129 126
137
a) Calcule a média amostral.b) Calcule a variância amostral.c) Calcule o desvio padrão amostral.d) O erro padrão da média.e) Calcule a variância.f) Calcule o coeficiente de variação.g) Calcule a mediana e os quartis. h) Calcule a amplitude dos dados.i) Qual a finalidade das estatísticas que você calculou nos
itens anteriores.j) Construa o histograma. E ajuste a curva normal aos
dados, use qualquer programa estatístico.
138
Solução:
Usando o MINITAB com o caminho:
MTB> STAT>BASIC STATISTICS>DISPLAY DESCRIP. ......
Resultados:Variable Mean SE Mean StDev Var. CoefVar Minimum Q1 MediantempoVIDA 130,00 1,41 8,92 79,54 6,86% 118,00 124,00 128,00
Variable Q3 Maximum RangetempoVIDA 135,25 160,00 42,00
139
Média = (127+125+ … +126) = 130,00
Desvio padrão s = = 8,92
Erro padrão da média EP = =
Variância s2 = = 79,54
Coef. de Variação cv = = = 6,86%
n
1iix
n1x
2n
1ii )130x(
1401
xs
00,13092,8
1,414092,8
ns
401
2n
1ii )130x(
1401
xs
140
Mediana = 128 (N = 40, então a mediana é a media aritmética dos dois termos centrais: 190 e 200);
10. Quartil Q1 = 124 (25% dos termos são inferiores a 124)
30. Quartil Q3 = 135,25 (25% dos termos são superiores a 135,25)
Amplitude R = x(n) – x(1) = 160 – 118 = 42
i) A finalidade das estatísticas calculadas é estimar (avaliar) os verdadeiros parâmetros.
141
f) Histograma e ajuste a curva normal
Solução: usando o MINITAB com o caminho:
STAT BASIC STATISTICS NORMALITY TEST
tempoVIDA
Perc
entu
al
160150140130120110
99
9590
80706050403020
105
1
Mean
0.115
130StDev 8.918N 40KS 0.125P-Value
Teste de Gaussianidade - KS - do Tempo de VidaNormal
142
O ajuste da Curva Normal foi aceito pois no teste de Kolmogorov-Smirnov o valor-p foi p = 0,115 > 0,05.
tempoVIDA
Freq
uenc
ia
160150140130120110
14
12
10
8
6
4
2
0
Mean 130StDev 8.918N 40
HISTOGRAMA DOS DADOS tempVIDA
Ajuste da Distribuição NormalNormal
143
3) Os dados adiante são leituras do rendimento de um processo químico em dias sucessivos (leia da esquerda para a direita). Faça o histograma dos dados, comente o aspecto do histograma e verifique se o histograma lembra alguma distribuição de probabilidade conhecida. E, ainda, descreva numericamente os dados, calculando as estatísticas listadas adiante.
a) Calcule a media amostral.b) Calcule a variância amostral.c) Calcule o desvio padrão amostral.d) Calcule a mediana e os quartis. e) Qual a finalidade das estatísticas que você calculou nos
itens anteriores. Escreva para que serve cada uma delas.
144
94,1 87,3 94,1 92,4 84,6 85,4 93,2 84,1 92,1 90,683,6 86,6 90,6 90,1 96,4 89,1 85,4 91,7 91,4 95,288,2 88,8 89,7 87,5 88,2 86,1 86,4 86,4 87,6 84,286,1 94,3 85,0 85,1 85,1 85,1 95,1 93,2 84,9 84,089,6 90,5 90,0 86,7 87,3 93,7 90,0 95,6 92,4 83,089,6 87,7 90,1 88,3 87,3 95,3 90,3 90,6 94,3 84,1 86,6 94,1 93,1 89,4 97,3 83,7 91,2 97,8 94,6 88,696,8 82,9 86,1 93,1 96,3 84,1 94,4 87,3 90,4 86,494,7 82,6 96,1 86,4 89,1 87,6 91,1 83,1 98,0 84,5
145
Solução: Usando o MINITAB no caminhoMTB> STAT> BASIC STATISTICS> DISPLAY DESCR..
Variable Mean SE Mean StDev Variance CoefVar Minimum Q1 MedianRENDpq 89,476 0,438 4,158 17,287 4,65 82,6 86,1 89,250
Variable Q3 Maximum RangeRENDpq 93,1 98,000 15,400
A finalidade dessas estatísticas é estimar os verdadeiros parâmetros.
146
Média amostral = 89,476 A verdadeira média do rendimento médio é um parâmetro desconhecido e estimado pela média amostral em 89,476.
Variância amostral s2 = = 17,287.
A verdadeira variância do rendimento médio é um parâmetro desconhecido e estimado pela variância amostral em 17,287.
Desvio padrão amostral s = = 4,158
1n
1ii
1
xn1x
2n
1ii )xx(
1n1
2n
1ii )xx(
1n1
158,4287,17)x(Vs
147
O verdadeiro desvio padrão do rendimento é um parâmetro desconhecido, mas estimado pelo desvio padrão amostral
s = 4,158.
A mediana amostral é 89,250
A verdadeira mediana do rendimento é um parâmetro desconhecido, mas estimado pela mediana amostral 89,250.
Então, entende-se que 50% dos valores do rendimento são inferiores ao rendimento de 89,250.
148
O primeiro quartil é Q1 = 86,1
O valor de Q1 é determinado a partir da posição dessa
separatriz . Então, o primeiro quartil está
entre o 220. termo (86,1) e o 230. termo (86,1) ordenados.
Logo, ele é 86,1. Isto significa que 25% dos termos são inferiores a 86,1 e, consequentemente, 75% são superiores.
5,224
9014ni
149
O terceiro quartil é Q3 = 93,1
O valor de Q3 é determinado a partir da posição dessa
separatriz . Então, o terceiro quartil está
entre o 670. termo (93,1) e o 680. termo (93,1) ordenados.Logo, ele é 93,1. Isto significa que 25% dos termos são superiores a 93,1 e, consequentemente, 75% dos termos são inferiores.A finalidade de cada estatística calculada é avaliar (estimar) o parâmetro verdadeiro (populacional) desconhecido.
5,674
9034Ni
150
Ajustamento de Um modelo Probabilístico aos Dados
Seja agora o problema de se ajustar um modelo de probabilidade aos dados adiante. Isto deve ser feito por programa estatístico computacional. Usando o MINITAB o caminho é: GRAPH PROBABILITY PLOT
Dados: (Amostra de uma distribuição log-normal)
3,94026 1,94644 2,83870 2,173362,65617 2,21181 2,18587 3,198173,56792 1,48382 2,41691 2,064463,86631 4,69082 1,76695 2,626913,60134 1,57235 2,91195 2,94858
151
Vamos examinar o histograma dos dados:
x
Freq
uenc
ia
4.54.03.53.02.52.01.5
6
5
4
3
2
1
0
Histograma
152
Ajuste do Modelo Normal p = 0,597 > 0,05 (aceito)
x
Perc
entu
al
6543210
99
9590
80706050403020
105
1
Mean
0.597
2.733StDev 0.8657N 20AD 0.283P-Value
Ajuste da Distribuição Normal
Dados xNormal - 95% CI
153
Modelo Lognormal p = 0,962 > 0,05 (melhor modelo)
x
Perc
entu
al
8.07.06.05.04.03.02.01.51.00.9
99
9590
80706050403020
105
1
Loc
0.962
0.9582Scale 0.3172N 20AD 0.145P-Value
Ajuste da Distribuição Lognormal
Dados xLognormal - 95% CI
154
5. Estimação de ParâmetrosIntroduçãoSeja a a.a. [X1, X2, ... , Xn] obtida de uma distribuição de probabilidade que corresponde a população amostrada. Então, essa amostra trás informações sobre os parâmetros da distribuição (população) e é possível estimar esses parâmetros usando as informações da amostra.
ESTIMADORUm estimador é uma estatística (função conhecida de v.a’s observáveis que também é uma v.a.) cujos valores são usados para estimar alguma função do parâmetro .
155
Exemplo 1A estimação da média populacional (parâmetro) é feita usando-se o estimador mais adequado, que é a média amostral
Este estimador (estatística) tem propriedades excelentes, tais como: é suficiente, é consistente, é eficiente e é não-viciado, ou seja, ele é UMVU.
1n
1ii
1
xn1x
156
Pergunta importante:
Precisão e acurácia significa a mesma coisa?
Seja a a.a. [x1, x2, ... , xn] obtida de uma distribuição de probabilidade que corresponde a população amostrada. Então, essa amostra trás informações sobre os parâmetros da distribuição (população) e é possível estimar esses parâmetros usando as informações da amostra.
Precisão mede a diferença entre a estimativa que avalia o parâmetro e a média da amostra, ou seja, . Precisão tem a ver com dispersão dos dados.
Acurácia mede a diferença entre a estimativa que avalia o parâmetro e o próprio parâmetro estimado, ou seja, -
x
157
Um estimador suficiente resume todas as informações que a a.a. trás, este resumo pode ser observado na estatística que agrega todas as informações;
Já um estimador consistente é aquele que à medida que o tamanho da amostra (n) aumenta, a estimativa obtida se aproxima do verdadeiro parâmetro populacional ;
Um estimador eficiente significa que as estimativas fornecidas por ele possuem a menor variância entre as de todos os possíveis estimadores do parâmetro;
E, finalmente, um estimador não-viciado é tal que a esperança matemática (média) dele é o próprio parâmetro que ele está estimando, ou seja, E(T) = .
158
ESTIMATIVAÉ o valor numérico obtido para o estimador com os dados da amostra.
TIPOS ESTIMAÇÃOExistem dois tipos de estimação. O que fornece uma estimativa PONTUAL, e que nesse caso corresponde a um único valor para a estimativa. E o que fornece uma estimativa por INTERVALO, nesse caso tem-se um limite inferior e um limite superior para a variação do parâmetro com certo nível de confiança.
ESTIMAÇÃO PONTUALSeja a abordagem desse tema por meio de um exemplo:
159
Exemplo 2Seja a a.a. das cinco leituras do diâmetro do calibrador listada
na tabela adiante. a) A estimativa pontual do verdadeiro diâmetro médio do
calibrador é obtida usando-se o estimador: = 10,0028
que forneceu a estimativa pontual de 10,0028.
b) A estimativa pontual da variância 2 é dada pelo estimador:
s2 = = 5.9E-7
n
xx
n
1ii
2n
1ii )xx(
1n1
160
que forneceu com os valores da amostra a estimativa pontual de s2 = 5.9E-7.
c) A estimativa pontual do desvio padrão é dada pelo estimador:
s = = 0,00768115
que forneceu com os valores da amostra a estimativa pontual s = 0,00768115.
1n
)xx( 2n
1ii
161
Os dados analisados são:
Medidas do Diâmetro do Calibrador
Número da leitura Medidas do Diâmetro do Calibrador
1 10,0024
2 10,0027
3 10,0041
4 10,0027
5 10,0021
...................
.........................................................
162
ESTIMAÇÃO POR INTERVALO:A estimação por intervalo consiste na construção de um intervalo de confiança em torno da estimativa pontual, de modo que esse tenha uma probabilidade fixada do intervalo cobrir o verdadeiro valor do parâmetro.
Geralmente, o que se faz na construção do intervalo é somar e subtrair à estimativa pontual um múltiplo do erro padrão da estatística usada na estimação, de modo que se tenha certa probabilidade de cobrir o intervalo.
163
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA POPULACIONAL
Quando os dados vêm de uma distribuição Normal, ou ainda, quando n > 30 e se for conhecido tem-se a seguinte expressão para o intervalo de confiança de nível (1 - ) para a média :
onde
122 X/X/ .zx.zxP
nx
164
Este intervalo é construído com base na estatística:
A v.a. z tem uma distribuição de probabilidade Normal Padrão, ou seja, N(0, 1). Sua f.d.p. é:
f(z) =
z~n/
x
Rze21 2z
21
165
Distribuição Normal PadrãoN(0, 1)
f(z)
Média e D.Padrão0 e 1
z-5 -3 -1 1 3 5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
166
Quando os dados vêm de uma distribuição Normal (Gaussiana) e for desconhecido, tem-se a seguinte expressão para o intervalo de confiança de nível (1 - ) para a média :
onde
Este intervalo é construído com base na estatística:
12121 X/,nX/,n s.txs.txP
nssx
1nt~n/s
x
167
A f.d.p. da distribuição “t” de Student tem o seguinte gráfico no caso do número de G.L. ser n – 1 = 5 – 1 = 4
Distribuição "t" de StudentG.L. = 4
f(t)
t
G.L.4
-8 -4 0 4 80
0.1
0.2
0.3
0.4
168
Exercícios
1) Seja a amostra aleatória dos diâmetros de esferas de rolamento com tamanho n = 5, [2,0; 2,1; 2,0; 2,2; 2,1]. Os diâmetros estão em milímetros. Estime por ponto a média do processo de produção desse item.
= = = 2,08
n
xxˆ
n
1ii
5
x5
1ii
5
2,1 ..... 2,0
169
2) Estime por ponto o desvio padrão da amostra do ex. 1. s = =
s = = 0,0837
1n
)xx( 2n
1ii
15
)08,2x( 25
1ii
15)08,21,2(...)08,20,2( 22
170
3) Estime o erro padrão da estimativa do exercício 1.
EP = = = = 0,0374
4) Estime por intervalo a média do processo de produção do diâmetro considerando o nível de confiança de 95%.
=
ns
50,0837
12121 X/,nX/,n s.txs.txP
0,0374.t08,2 2/,1n 0,0374.t08,2 025,0;4
xs
171
12121 X/,nX/,n s.txs.txP
Mas, será que os dados vêm de uma distribuição Gaussiana?
MT> STAT>BASIC STATISTICS> NORMALITY TEST
diamESFF
Perc
entu
al
2.32.22.12.01.9
99
9590
80706050403020
105
1
Mean
>0.150
2.08StDev 0.08367N 5KS 0.131P-Value
Teste de Gaussianidade - da EsferaNormal Valor-p p > 0,150
Aceito a hipotese nula dos Dados serem Gaussianos
172
O cálculo do escore da distribuição “t” de Student com = n – 1 = 4 graus de liberdade é:
MTB> CALC> PROBABILITY DISTRIBUTIONS> t > Inverse Cumulative Probability P( T <= t ) t 0,025 -2,77645
Então, faz-se as contas: P(2,08-2,77645.0,0374< < 2,08 + 2,77645.0,0374) = 0,95
P(1,97607 < < 2,18389) = 0,95
Então, IC de nível 95% é: [1,976607 ; 2,18389]
173
Intervalo de Confiança Usando o MINITAB:
MTB> STAT> BASIC STATISTICS> 1-Sample t
One-Sample T: diamESFF
Test of mu = 2 vs not = 2
Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI T pdiamESFF 5 2,080 0,08367 0,03742 (1,97611; 2,18389) 2,14 0,099
Este comando faz também o teste de H0 : = 0 = 2
Decisão: Aceita-se H0 pois o valor-p é p = 0,099 > 0,05.
174
5) A amostra adiante corresponde a n = 20 observações da espessura de chapas metálicas. Este produto está especificado pelo valor nominal = 5 mm e tolerância de 0,5 mm e toda chapa produzida deve ficar dentro dos limites de especificação, ou seja, entre LIE = 4,5 e LSE = 5,5 mm.
4.836295.10238 5.09497 4.966084.93144 5.06309 4.90608 4.890915.06783 5.07828 4.96388 4.944154.93216 4.83297 5.13654 4.867225.10440 4.97626 5.01899 4.81916
175
a) Verifique se os dados vêm de uma distribuição Normal.
Usando o MINITAB no caminho:MTB> STAT> BASIC STATISTICS> NORMALITY TEST
ESP_CHAPA
Perc
entu
al
5.25.15.04.94.84.7
99
9590
80706050403020
105
1
Mean
>0.150
4.977StDev 0.1012N 20KS 0.154P-Value
Gráfico de Probabilidade NormalNormal
176
Como o valor-p é p > 0,150 aceita-se a Gaussianidade.
b) Determine o intervalo de confiança de nível 1 - = 0,95 para a média e verifique se ele está contido no intervalo da especificação.
One-Sample T: ESP_CHAPA Test of mu = 5 vs not = 5
Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI t pESP_CHAPA 20 4,97665 0,10115 0,02262 (4,92931; 5,02400) -1,03 0,315
LIE = 4,5 e LSE = 5,5 logo o IC não está dentro da amplitude de especificação, existe uma parcela de não-conformes abaixo de 4,5.
12121 X/,nX/,n s.txs.txP
177
c) Teste a hipótese de que a espessura média das chapas seja igual ao alvo das especificações.
Solução:
H0 = = 0 = 5 (hipótese nula)
H1 = 5
Estatística do teste: t = ~ tn-1
Então, t = = -1,03 ~ t19
Então, determina-se o valor-p dessa estatística.
n/sx 0
20/10115,05976,4
178
No MINITAB com o caminho:
MTB> CALC>PROBABILITY DISTRIBUTIONS> t
Valor-p p = 2x0,151084 = 0,315 > 0,05
Aceitá-se H0 e o processo de produção da chapa tem média estatisticamente igual ao alvo do processo.
Verifique o desempenho do processo de produção
analisando a capacidade do processo no MINITAB
CAMINHO:
MTB> STAT>QUALITY TOOLS>CAPABILITY ANALYSIS> NORMAL
179
5.405.255.104.954.804.654.50
LSL Target USLProcess Data
Sample N 20StDev(Within) 0.11098
LSL 4.50000Target 5.00000USL 5.50000Sample Mean 4.97665
Potential (Within) Capability
CCpk 1.50
Cp 1.50CPL 1.43CPU 1.57Cpk 1.43
Observed PerformancePPM < LSL 0.00PPM > USL 0.00PPM Total 0.00
Exp. Within PerformancePPM < LSL 8.74PPM > USL 1.21PPM Total 9.95
Capacidade do Processo da ESP_CHAPA
180
Analisando os números da capacidade do processo:
= 1,50 Razão entre as amplitudes de especificação e do processo.
( é 4,976)
s6LIELSECp
43,1}C,Cmin{C pspipk
43,1s3LIExCpi
57,1s3
xLSECps
X
Com esta capacidade (capability) de 1,50 o número de defeituosos esperado é de: 9,95 10 ppm
181
6) Suponha que outra empresa produz a mesma chapa e uma descrição de uma a.a. de n = 20 dessas chapas
produziu: = 4,8 e s = 0,1021. Verifique se os dois processos são equivalentes na média.
Hipótese nula a ser testada H0 : X = y Û X - y = 0
Estatística do teste: t = ~ tn1+n2-2
onde sp =
y
21p
yx
n1
n1s
)()yx(
2nns)1n(s)1n(
21
2y2
2x1
182
Cálculo da estatística do teste:
t = = = 5,476 ~ t38
Sp = = 0,101626
Valor-p p = 0,0000 < 0,05 Rejeita-se a hipótese H0.
21p
yx
n1
n1s
)()yx(
201
201101626,0
0)8,4976,4(
220201021,0)120(10115,0)120( 22
183
E, se queremos fazer direto no MINITAB?
Usa-se o comando:
MTB> STAT> BASIC STATISTICS> 2-sample t
E, entra-se com os valores das médias e desvios padrões ou com os dados, conforme o caso. Resultados:Two-Sample T-Test and CI
Sample N Mean StDev SE Mean 1 20 4.976 0.101 0.023 2 20 4.800 0.102 0.023Difference = mu (1) - mu (2)Estimate for difference: 0.17600095% CI for difference: (0.110942; 0.241058)T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 5.48 P-Value = 0.000 DF = 38Both use Pooled StDev = 0.1016 – REJEITA-SE H0
184
ANÁLISE DA VARIÂNCIA
Quando se faz um experimento que envolve amostras de mais de dois grupos (populações) e se necessita testar a hipótese nula:
H0: 1 = 2 = .... = k = contra
H1: pelo menos uma das médias é diferente das demais,
aplica-se o método conhecido como Análise da Variância, detalhado a seguir.
185
EXEMPLOOs dados adiante correspondem aos resultados de um experimento onde 4 tratamentos de plasma são comparados quanto ao tempo de coagulação. Amostras de plasma de 32 indivíduos foram alocadas aos 4 tratamentos numa ordem aleatória (experimento completamente casualizado). Faça uma análise estatística com a finalidade de verificar se existe diferença estatisticamente significativa entre os tratamentos.
186
T1
T2 T3 T4
8.412.8 9.6 9.8 8.4 8.6 8.9 7.9
9.415.2 9.1 8.8 8.2 9.9 9.0 8.1
9.812.911.2 9.9 8.5 9.8 9.2 8.2
12.214.4 9.812.0 8.5 10.910.410.0
187
SOLUÇÃO:
MTB> STAT>ANOVA>ONEWAY ANOVA
Resultados:One-way ANOVA: REPOSTA versus TRAT
Source DF SS MS F pTRAT 3 13.02 4.34 1.31 0.291Error 28 92.76 3.31Total 31 105.78
S = 1.820 R-Sq = 12.31% R-Sq(adj) = 2.91%H0: 1 = 2 = 3 = 4
Conclusão: Não existe diferença entre as médias, aceitá-se H0, ou seja os tratamentos produzem a mesma média.
188
EXEMPLO
Uma fábrica de papel usado para fazer sacolas de papel está interessada em melhorar a resistência do papel à tensão. A engenharia de produto da empresa imagina que a resistência à tensão depende da concentração da madeira de lei na polpa e que a faixa prática de interesse dessa concentração está entre 5% e 20%. Foi feito então um experimento nos seguintes níveis de concentração: 5%, 10%, 15% e 20% e mediu-se a resistência à tensão em seis sacolas de prova em cada nível. Os resultados estão adiante. Faça uma Análise da Variância.
189
5% 10% 15% 20%
7 12 14 19
8 17 18 25
15 13 19 22
11 18 17 23
9 19 16 18
10 15 18 20
Resistência à Tensão (psi)
190
1. A aplicação da ANOVA exige Gaussianidade dos dados.
Isto é verificado com base nos resíduos do ajuste do moedelo para a resposta (resistência):
yij = + i + ij
onde: yij é a resposta medida;
é a média geral;
i é o efeito do nível i fator (conc. da madeira de lei);
ij é o erro aleatório -componente estocástica do mod.
ij ~ N(0, 2) (suposições do modelo – verificar)
191
Testando a hipótese nula H0: 1 = 2 = 2 = 4
One-way ANOVA: concentração versus nível
Source DF SS MS F Pnível 3 382.79 127.60 19.61 0.000Error 20 130.17 6.51Total 23 512.96
S = 2.551 R-Sq = 74.62% R-Sq(adj) = 70.82%
Rejeitá-se a hipótese nula, pois p = 0,000 < 0,05.
192
Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDevLevel N Mean StDev +---------+---------+---------+---------5% 6 10.000 2.828 (----*----)10% 6 15.667 2.805 (----*-----)15% 6 17.000 1.789 (----*-----)20% 6 21.167 2.639 (-----*----) +---------+---------+---------+--------- 8.0 12.0 16.0 20.0
Pooled StDev = 2.551Tukey 95% Simultaneous Confidence IntervalsAll Pairwise Comparisons
Observa-se que 10%, 15% e 20% praticamente estão empatados. O nível de 5%é diferente dos demais.
193
Data
20%15%10%5%
25
20
15
10
5
Gráfico dos Valores Individuais: 5% ; 10% ; 15% ; 20%
194
Verificando as suposições: Gaussianidade, homogeneidade da variância e independência dos resíduos.
Gaussianidade
MTB> STAT> BASIC STATISTICS> NORMALITY TEST
RESI1
Perc
ent
5.02.50.0-2.5-5.0
99
9590
80706050403020
105
1
Mean
>0.150
2.960595E-16StDev 2.379N 24KS 0.095P-Value
Teste de Gaussianidade - Resíduos ConcentraçãoNormal
195
Como o valor-p foi de p > 0,150 > 0,05 aceitá-se a hipótese de Gaussianidade para os resíduos.
Homogeneidade de variância:Test for Equal Variances: RESI1 versus nível
Bartlett's Test (normal distribution)Test statistic = 1.14; p-value = 0.769
Levene's Test (any continuous distribution)Test statistic = 0.60; p-value = 0.623
Aceitá-se a hipótese de homogeneidade na variância
H0: 12 = 2
2 = 32 = 4
2 pois p > 0,05
196
6. AMOSTRAGEM
Suponha que você deseja estimar a verdadeira média da espessura de uma chapa metálica. Qual será o tamanho adequado, n, da amostra?
Tamanho da Amostra com Erro Especificado e Conhecido
• Deve ser fixado o nível de confiança: 1 -
• Deve ser fixado o erro de | | = e
n = onde é o escore da N(0, 1)
correspondente a
x
22/ )e
z( 2/z
2/
197
Exemplo
Suponha que no caso da espessura da chapa foi fixado um erro de e = 0,05 e um nível de confiança de 95%. Então:
• Com 1 - = 0,95 tem-se /2 = 0,025 e z0,025 = 1,96
MTB> CALC>PROBABILITY DISTRIBUTIONS> NORMAL>INVERSE CUMULATIVE PROBABILITY
Normal with mean = 0 and standard deviation = 1P( X <= x ) x 0.025 -1.95996
n = = = 15,675 = 16 22/ )
ez(
2
05,01010.0)95996.1(
198
Tamanho da Amostra com Erro Especificado e Desconhecido
•Neste caso há necessidade de se estimar o desvio padrão .
•Assim, toma-se uma amostra piloto de tamanho n0 e estima-se o desvio padrão s0.
• Usa-se a expressão para o tamanho n =
• Então, se n > n0 tudo bem e recalcula-se o erro e;
• se n < n0 toma-se mais n0 – n observações adicionais.
201n
est
0
199
Exemplo
Suponha que se deseja testar a hipótese de que o diâmetro médio de um pino tem média de 10 mm. Qual o tamanho da amostra, supondo que o desvio padrão é desconhecido, o nível de confiança é 95% e a precisão de 0,01.
Solução:
Como o desvio padrão é desconhecido toma-se uma amostra piloto de tamanho n0 = 5. Os valores são: 10,1; 10,05; 9,98; 9,95 10.06.
A descrição da amostra piloto forneceu:
MTB> STAT> BASIC STATISTICS> DISPLAY .. Variable N Mean SE Mean StDevpino 5 10.010 0.0207 0.0464
200
Dimensionando o tamanho da amostra com base nas informações da amostra piloto:
n =
s0 = 0,0678
Escore tn0;/2
MTB> CALC> PROBABILITY DISTRIBUTIONS> t Inverse Cumulative Distribution Function
Student's t distribution with 4 DF
P( X <= x ) x 0.025 -2.77645
201n
est
0
201
n = = = 166 2
01n
est
0
2
01,00464,0x777645,2
Então, como tomamos n0 = 5, devemos tomar outras 161 observações adicionais.
Por que deu um tamanho de amostra tão grande? Devido o nível de confiança de 95% (poderia ser menor – 90%) e devido a precisão de 0,01.
202
PLANOS DE AMOSTRAGEMUma das maiores aplicações da estatística no
controle de qualidade de produtos está na amostragem para aceitação de lotes. Muitas vezes as empresas recebem carregamentos ou lotes de bens (produtos) e fazem amostragem desses carregamentos com a finalidade de aceitar ou rejeitar o carregamento ou lote todo. Essa decisão é conhecida como sentenciamento do lote. No início da aplicação do controle estatístico, de qualidade, nas décadas de 30 e 40, a amostragem de aceitação era usada, principalmente, para inspeção de entrada (recebimento) de produtos.
203
Nos últimos anos passou-se a trabalhar com os fornecedores a fim de fazer com que melhorassem os seus processos de produção. Este aperfeiçoamento dos processos poderia ser alcançado por meio de CEP, DOE e outras técnicas estatísticas. Assim, conseguir uma qualidade assegurada pareceu ser melhor do que a amostragem de aceitação. Contudo, estas técnicas continuam sendo necessárias e usadas.
204
6.3- Plano de Amostragem de Aceitação por VariávelExistem dois tipos de planos por variável:
1.) Planos que controlam a fração de defeituosos (ou não conformes) do lote ou do processo;2.) Planos que controlam um parâmetro do lote ou do processo, em geral a média.
Suponha um plano de amostragem de variáveis para controlar a fração de não-conformes do lote ou do processo. A característica de qualidade é uma variável, então existem limites de especificação: LIE e LSE, os dois ou apenas um deles. Esses limites definem os valores aceitáveis do parâmetro.
205
A fração p de não-conformes do lote corresponde a P(X < LIE) = p,
no caso de especificação unilateral, e evidentemente P(X < LIE) + P(X > LSE) = p no caso de especificação bilateral. É claro que p depende da média e do desvio padrão do processo.
Suponha, agora, que o desvio padrão seja conhecido. Então, pode-se tomar uma amostra do lote para determinar se o valor da média é, ou não, tal que a fração de defeituosos p seja aceitável. O que se faz é o seguinte:
206
1. Plano com a distância crítica k. Toma-se a a.a. de tamanho n do lote, [x1, x2, .... ,xn] e calcula-se a estatística:
ZLIE =
Observe que quanto maior o valor de ZLIE mais afastada está a média amostral do limite de especificação inferior LIE e, conseqüentemente, menor será a fração p de defeituosos do lote. Pode ser fixado um valor crítico, ou melhor, uma distância crítica k, tal que ZLIE > k (no caso unilateral). Dessa forma, se ZLIE > k o lote é aceito. E, em caso contrário o lote será rejeitado.
LIEX
207
2. Plano com a área crítica M. Este procedimento propõe selecionar uma a.a. de n itens do lote e, então, calcula-se a estatística:
ZLIE =
A seguir usa-se ZLIE para se estimar a fração de defeituosos, p, do lote ou do processo como a área sob a curva da normal padrão abaixo de ZLIE. Uma melhor estimativa ocorre quando se usa a estatística
QLIE = ZLIE
ao invés de ZLIE, como o escore padronizado.
LIEX
1nn
208
Então, seja o valor estimado de p que se obtém. Se exceder um valor máximo especificado M (área crítica) rejeita-se o lote, em caso contrário o aceite.
209
Elaboração de um Plano de Amostragem para Variáveis com uma Curva Característica de Operação Especificada
A elaboração do plano de amostragem que tenha uma curva CO específica e o escore de interesse k (distância crítica) é feita tomando-se dois pontos da curva (p1, 1 - ) e (p2, ). É claro que p1 e p2 podem ser níveis da fração de não-conformes do lote ou do processo correspondentes a níveis ACEITÁVEL e REJEITÁVEL de qualidade, respectivamente. O nomograma, em anexo, permite que o engenheiro (ou outro profissional da qualidade) encontre o tamanho da amostra n exigido e o valor crítico k que satisfaçam as condições dadas p1, 1 - , p2 e para os casos onde é conhecido e desconhecido.
210
EXEMPLO 1Seja o problema em que se pretende obter um plano com a distância crítica k. Uma fábrica de refrigerantes compra garrafas descartáveis de um fornecedor. A fábrica estabeleceu um limite de especificação inferior (LIE) de LIE = 225 psi. Se até 1% das garrafas do lote de fato se rompem abaixo desse limite a fábrica quer aceitar o lote com uma probabilidade de 1 - = 0,95. Assim, tem-se p1 = 0,01 e 1 - = 0,95. Mas, se 6% ou mais das garrafas do lote se rompem abaixo de LIE = 225, a fábrica deseja rejeitar o lote com probabilidade 0,90. Dessa vez tem-se p2 = 0,06 e = 0,10.
211
Solução:Trace no nomograma, as linhas: uma de p1 a 1 - e outra de p2 a , ou melhor, da fração de defeituosos p1 = 0,01 a probabilidade de aceitação 1 - = 0,95 (em cada escala respectiva), depois a outra linha da fração de defeituosos p2 = 0,06 a = 0,10. A intersecção das linhas fornece k = 1,9.
Se é desconhecido o tamanho da amostra é obtido seguindo-se a curva até a escala superior que fornecerá n = 40. Então, o procedimento é tomar uma amostra de tamanho n = 40 garrafas do lote, medir a força de ruptura de cada uma, calcular a média e o desvio padrão s e, em seguida, calcular: ZLIE = e aceitar o lote se ZLIE > k = 1,9. s
LIEX
212
Mas, se é conhecido deve-se descer verticalmente até a escala inferior conhecido resultando em n = 15. Portanto, se o desvio padrão é conhecido obtém-se uma amostra com tamanho sensivelmente reduzido.
213
214
EXEMPLO 2Seja o problema do exemplo 1 e o plano com o procedimento da área crítica M. Pretende-se determinar a fração de defeituosos crítica (permissível) M. Solução:Neste caso segue-se o procedimento anterior e acrescenta-se um passo adicional, ou seja, converte-se os valores de ZLIE ou ZLSE em uma fração de defeituosos estimada. É sabido que n = 40 ( desconhecido) e k = 1,9. Então, determina-se a abscissa : = = 0,35
21nnk1
2140
409,11
215
Então, com o valor 0,35 encontra-se diretamente no nomograma adiante o valor de M = 0,030. Portanto, tomando-se a amostra definida de n = 40 e calculando-se a média amostral = 255 e o desvio padrão s = 15, tem-se:
ZLIE = = = 2 sLIEX
15225255
216
217
Então, entrando no 30. nomograma com ZLIE = 2 encontra-se = 0,02. E, como = 0,02 < M = 0,03 aceitá-se o lote.p p
218
Então, com o valor 0,35 encontra-se diretamente no nomograma (em anexo) o valor de M = 0,030. Portanto, tomando-se a amostra definida de n = 40 e calculando-se a média amostral = 255 e o desvio padrão s = 15, tem-se:ZLIE = = = 2
219
7. REGRESSÃO
Suponha que se deseja estabelecer a relação entre duas variáveis por meio de um modelo.
EXEMPLO:Foram tomadas n = 9 amostras de um solo (canteiros) que foram
tratadas com diferentes quantidades X de fósforo. Seja Y a quantidade de fósforo presente em sementes de plantas, de 38 dias, crescidas nos diferentes canteiros. Os dados estão adiante.
• De início se faz um Diagrama de Dispersão para se visualizar o tipo de função.
X 1 4 5 9 11 13 23 23 28
Y 64 71 54 81 76 93 77 95109
220
X
Y
302520151050
110
100
90
80
70
60
50
Gráfico de Dispersão Y vs X
Observa-se na forma do gráfico que a função é uma reta.
221
Ajusta-se então o modelo linear:
Yi = 0 + 1Xi + i
Onde 0 e 1 são os parâmetros do modelo;
Y é a variável resposta;
Xi é a variável explicativa;
i é o erro, supõe-se que i ~ N(o, 2)
O modelo é ajustado por Mínimos Quadrados Ordinários
222
O ajuste pelo MINITAB
MTB> STAT> REGRESSION> REGRESSIONRegression Analysis: Y versus X
The regression equation isY = 61.6 + 1.42 X
Predictor Coef SE Coef T PConstant 61.580 6.248 9.86 0.000X 1.4169 0.3947 3.59 0.009
S = 10.6933 R-Sq = 64.8%
223
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 1473.6 1473.6 12.89 0.009Residual Error 7 800.4 114.3Total 8 2274.0
Conclui-se que:
• O modelo é estatísticamente significativo p = 0,009 <0,05
• A qualidade do modelo é razoável R2 = 0,648.