resumo - análise combinatória

Anlise Combinatria e ProbabilidadesProf. Antonio Fernando Silveira Alves

IntroduoOBJETIVOS: Estudar os problemas de Contagem Resolver problemas em que necessrio escolher ou arrumar os objetos de um conjunto.

Agrupamentos ordenados ou no ordenados, com ou sem repetio dos elementos.

ORIGENS : Jogos de azar, jogos de cartas Sc XVI

IntroduoAPLICAO: Clculo de Probabilidades Problemas de transporte Estatstica Teoria da Informao Programao Linear IMPORTANTE: Leitura detalhada e atenta

Raciocnio

IntroduoPrincipais tipos de agrupamentos:

Permutao

Arranjo

Combinao

IntroduoExemplos:

1)Trs estradas A, B e C conduzem ao topo de um morro. De quantos modos diferentes uma pessoa pode subir e descer deste morro?

Soluo:

IntroduoSoluo:

Importante: No h restrio no enunciado. PODE HAVER REPETIO

Se subir por A, poder descer por A, B ou C

(A, A) ; (A, B); (A,C)

Logo, teremos 3 modos diferentes.

IntroduoSoluo:

Se subir por B, poder descer por A, B ou C

(B, A) ; (B, B); (B,C)


Se subir por C, poder descer por A, B ou C

(C, A) ; (C, B); (C,C)


IntroduoSoluo:

Podemos ento generalizar:

3 3 = 9 percursos possveis subida descida de ida e volta

Introduo2) E se no exemplo anterior, a pessoa no puder descer o morro, pela estrada que utilizou para subir?

Importante: H restrio no enunciado. NO PODE HAVER REPETIO

IntroduoSoluo:

Se subir por A, poder descer por B ou C

(A, B) ; (A, C)


Se subir por B, poder descer por A ou C

(B, A) ; (B,C)


IntroduoSoluo:

Se subir por C, poder descer por A ou B

(C, A) ; (C, B)


Podemos ento generalizar:

3 2 = 6 percursos possveis subida descida de ida e volta

Introduo2) Num grupo de 4 rapazes e 3 moas, de quantos modos pode-se escolher um rapaz para presidente e uma moa para secretria de uma agremiao?

4 3 = 12 Presid. Secret.

Princpio Multiplicativo

Se um acontecimento A pode ocorrer de m maneiras diferentes, e se para cada uma das m maneiras possveis de ocorrncias de A, um segundo acontecimento B pode ocorrer de n maneiras diferentes,

Ento, o nmero de maneiras de ocorrer o acontecimento A seguido do acontecimento B :

m . n


Perceba que esta definio intuitiva, lgica e natural.

1) Se nos exemplos anteriores tivssemos10 estradas que levam ao topo do morro. De quantos modos diferentes pode-se subir e descer do morro?

A , B, C, D, E, F, G, H, I, J


Se subir por A, temos:

(A , A) ; (A , B) ; (A , C) ; (A , D) ; (A , E)

(A , F) ; (A , G) ; (A , H) ; (A , I) ; (A , J)

Logo, temos 10 modos diferentes


Se subir por B, temos:

(B , A) ; (B , B) ; (B , C) ; (B , D) ; (B , E)

(B , F) ; (B , G) ; (B , H) ; (B , I) ; (B , J)

Logo, temos 10 modos diferentes

E assim, sucessivamente ...


Se subir por A, temos, 10 modos diferentespor B, temos: 10 modos diferentespor C, temos: 10 modos diferentespor D, temos: 10 modos diferentespor E, temos: 10 modos diferentespor F, temos: 10 modos diferentes por G, temos: 10 modos diferentes por H, temos: 10 modos diferentes por I, temos: 10 modos diferentes por J, temos: 10 modos diferentes

10 10 = 100 percursos subida descida de ida e volta

Princpio Multiplicativo2) Quantos nmeros de 2 algarismos podem ser formados no sistema decimal?

Obs: Pode repetir ?

SIM!

NO H RESTRIO NO ENUNCIADO

Princpio Multiplicativo2) Quantos nmeros de 2 algarismos podem ser formados no sistema decimal?

____ ____ D U

Alg. das Dez : {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9}Alg. das Unid : {0 , 1 , 2, 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9}

Logo temos: 9 10 = 90 D U

Princpio Multiplicativo3) Quantos nmeros de 2 algarismos distintos podem ser formados no sistema decimal?

Obs: Pode repetir ?

No!

H restrio bem clara no enunciado.


9 . D U {1 , 2, 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9} {0 , 1 , 2, 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9}

9 possibilidades 9 possibilidades

No algarismo das unidades teremos os 8 algarismos no utilizados no algarismo das dezenas, mais o zero, que no podia entrar nas dezenas, mas agora pode aparecer nas unidades.


9 9 = 81 D U {1 , 2, 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9} {0 , 1 , 2, 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9}


Princpio Multiplicativo4) Quantos nmeros pares de 2 algarismos podem ser formados no sistema decimal?

Restries: nmero par ltimo dgito (alg. das unidades): pode repetir: no pode iniciar c/ zero

OBESRVAO IMPORTANTE

Se existe uma restrio no enunciado causando dificuldades, ento devemos satisfaz-la em primeiro lugar

Princpio Multiplicativo 5 . D U {0 , 2 , 4 , 6 , 8}

5 possibilidades

Princpio Multiplicativo 9 5 .= 45 D U {1 , 2, 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9} {0 , 2 , 4 , 6 , 8}


Princpio Multiplicativo5) Quantos nmeros pares de 2 algarismos distintos podem ser formados no sistema decimal?

Restries: nmero par ltimo dgito (alg. das unidades): NO pode repetir: NO pode iniciar c/ zero

OBESRVAO IMPORTANTE

Se em certa posio um objeto causa dificuldade para a escolha de ocorrncias de objetos em outras posies, ento devemos dividir o problema em duas etapas, conforme o objeto ocupe ou no a posio considerada

Princpio MultiplicativoObserve que devemos desmembrar a resoluo nesse caso em duas possibilidades:

1)Casa das dezenas formado por algarismos mpares:

Inic. com 1: 10, 12, 14, 16 , 18 5 possibil.Inic. com 3: 30, 32, 34, 36 , 38 5 possibil.Inic. com 5: 50, 52, 54, 56 , 58 5 possibil.Inic. com 7: 70, 72, 74, 76 , 78 5 possibil.Inic. com 9: 90, 92, 94, 96 , 98 5 possibil.

25 possibilidades

Princpio Multiplicativo2)Casa das dezenas formado por algarismos pares:

Inic. com 2: 20 , 24 , 26 , 28 4 possibil.Inic. com 4: 40 , 42 , 46 , 48 4 possibil.Inic. com 6: 60 , 62 , 64 , 68 4 possibil.Inic. com 8: 80 , 82 , 84 , 86 4 possibil.

16 possibilidades

Temos ento um total de:

25 + 16 = 41 possibilidades

Princpio MultiplicativoGeneralizando:

1) Casa das Dezenas com alg. mpares: 5 5 = 25 D U {1 , 3 , 5 , 7 , 9} {0 , 2 , 4 , 6 , 8}

Aqui no h problemas com a repetio dos algarismos, pois um ser mpar e outro par.

A ateno a esse fato deve ser observada no 2 caso!



2) Casa das Dezenas com alg. pares: 4 D {2 , 4 , 6 , 8} No pode iniciar com o zero !



2) Casa das Dezenas com alg. pares: 4 4 . D U {2 , 4 , 6 , 8} {0 , 2 , 4 , 6 , 8} No algarismo das unidades, temos 3 algarismos no utilizados no algarismo das dezenas, mais o zero que no poderia aparecer nas dezenas.



2) Casa das Dezenas com alg. pares: 4 4 = 16 D U {2 , 4 , 6 , 8} {0 , 2 , 4 , 6 , 8} Total: 25 + 16 = 41 possibilidades

Princpio Multiplicativo6) De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em 7 cadeiras enfileiradas?

7 6 5 = 210 1 pessoa 2 pessoa 3 pessoa

Logo temos 7 . 6 . 5 = 210 modos

Princpio Multiplicativo7) Um dado lanado 3 vezes. Quantos resultados possveis?

Raciocnio precipitado

3 6 = 18

Princpio Multiplicativo7) Um dado lanado 3 vezes. Quantos resultados possveis?

6 6 6 = 63 = 216 result. 1 Lcto 2 Lcto 3 Lcto

Princpio Multiplicativo8)Um dado lanado 4 vezes. Ache o nmero de maneiras nas quais o 6 pode aparecer em sequncia, precisamente duas vezes.

Princpio MultiplicativoVamos examinar os seguintes casos:1) A sequncia 66 ocorre nos dois primeiros lanamentos __6___ ___6__ ______ ______ 1 Lcto 2 Lcto 3 Lcto 4 Lcto

2) A sequncia 66 ocorre no 2 e 3 lanamentos ______ __6___ __6____ ______ 1 Lcto 2 Lcto 3 Lcto 4 Lcto

3) A sequncia 66 ocorre nos dois ltimos lanamentos ______ ______ __6____ __6___ 1 Lcto 2 Lcto 3 Lcto 4 Lcto

Princpio MultiplicativoNo 1 caso temos:1) Sequncia 66 - nos dois primeiros lctos __6___ __6___ _____ ______ 1 Lcto 2 Lcto 3 Lcto 4 LctoNo 1 e 2 lcto uma nica opo: Resultado 6

No 3 lcto 5 opes (1,2,3,4 e 5) No pode sair 6, pois o enunciado impe a restrio: 6 s pode ocorrer duas vezes consecutivas.

No 4 lcto temos 6 opes (1,2,3,4,5 e 6)

__1___ . __1___ . __5___ . __6___ = 30 1 Lcto 2 Lcto 3 Lcto 4 Lcto (6) (6) (1,2,3,4 e 5) (1,2,3,4,5 e 6)

Princpio MultiplicativoNo 2 caso temos:2) Sequncia 66 - nos 2 e 3 lanamentos _____ __6___ __6___ ______ 1 Lcto 2 Lcto 3 Lcto 4 LctoNo 2 e 3 lcto uma nica opo: Resultado 6

No 1 lanamento 5 opes (1,2,3,4 e 5) No pode sair 6 , pois temos a restrio: 6 s pode ocorrer duas vezes consecutivas.

No 4 lanamento 5 opes (1,2,3,4 e 5)

__5___ . __1__ . __1___ . __5___ = 251 Lcto 2 Lcto 3 Lcto 4 Lcto(1,2,3,4 e 5) (6) (6) (1,2,3,4 e 5)

Princpio MultiplicativoNo 3 caso um raciocnio anlogo ao 1 caso1) Sequncia 66 nos dois ltimos lctos _____ _____ __6___ __6___ 1 Lcto 2 Lcto 3 Lcto 4 Lcto

No 1 lcto temos 6 opes: (1,2,3,4,5 e 6)

No 2 lcto 5 opes (1,2,3,4 e 5) No pode sair 6 , pois temos a restrio: 6 s pode ocorrer duas vezes consecutivas.

No 3 e 4 lctos uma nica opo: Resultado 6

__6___ . __5___ . __1__ . __1__ = 30 1 Lcto 2 Lcto 3 Lcto 4 Lcto(1,2,3,4,5 e 6) (1,2,3,4 e 5) (6) (6)

Princpio MultiplicativoTemos ento, um total de

30 + 25 + 30 = 85 possibilidades

FatorialChama-se fatorial de n e indica-se n! (L-se: n fatorial) com n , ao produto:

n! = n . (n-1) . (n-2) . ... . 3 . 2 . 1

Exemplos:

5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 1206! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720

Por definio temos:0! = 11! = 1

FatorialExerccios:

Simplificar a expresso:

Diagrama de rvore

Um homem possui duas calas (azul e cinza), trs camisas (branca, xadrez e listrada) e dois pares de sapatos (preto e marrom). De quantas maneiras diferentes ele poder se vestir?

Diagrama de rvore

2 . 3 . 2 = 12 maneiras distintas

Permutao SimplesPermutar = trocar

Permutao um tipo de agrupamento ordenado onde se utilizam todos os elementos do conjunto

Exemplo:

De quantas maneiras 5 pessoas podem ser dispostas em fila indiana?

__5___ __4__ __3___ __2___ __1___ 1 posio 2 posio 3 posio 4 posio 5 posio

5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

Exemplo:

Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ROMA?

ROMAOARMMAORAORMROAMOAMRMAROAOMRRAMOOMRAMROAAMORRAOMOMARMRAOAMRORMOAORMAMOARAROMRMAOORAMMORAARMO

__4___ __3__ __2___ __1___1 posio 2 posio 3 posio 4 posio 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24Permutao Simples

Conforme os exemplos anteriores, podemos concluir que:

A permutao de n elementos distintos dada por:

Pn = n!Permutao Simples

Exemplo:Considere a palavra CADERNO e determine:a) O nmero total de anagramas

b) O nmero de anagramas que comeam com a letra D

c) O nmero de anagramas que comeam com a letra A e terminam com a letra O

d) O nmero de anagramas que comeam por vogal e terminam com consoante.Permutao Simples

Exemplo:Considere a palavra CADERNO e determine:a) O nmero total de anagramas

P7 = 7 ! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040

b) O nmero de anagramas que comeam com a letra D

_1_ ___ ___ ___ ___ ___ ___ D P6 = 6 ! = 720Permutao Simples

Exemplo:Considere a palavra CADERNO e determine:c) O nmero de anagramas que comeam com a letra A e terminam com a letra O_1_ ___ ___ ___ ___ ___ _1_ A O P5 = 5 ! = 120d) O nmero de anagramas que comeam por vogal e terminam com consoante._3_ ___ ___ ___ ___ ___ _4_ V C 3 . 4 . P5 = 12 . 5 ! = 12. 120 = 1440Permutao Simples

Permutao com elementos repetidosExemplo:

Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ASA?

A S AA S AA A SA A SS A AS A A

Observe que quando tivermos elementos repetidos, o clculo da permutao no ser igual a permutao simples, vista anteriormente.



Na palavra ASA temos um total de 3 letras, porem 1 letra aparece 2 vezes, e consequentemente, cada uma dessas letras repetidas, gera anagramas repetidos!

Como eliminar na contagem esses anagramas repetidos?

Efetuando a diviso!

Portanto teremos:


Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ARARA?

E nesta situao?

Basta dividir por 2 novamente?

Ou por 3 ?

Ou por 6?



A R A R AA R A R AA R A R A A R A R AA R A R AA R A R A A R A R A A R A R AA R A R A A R A R AA R A R AA R A R A

Verifique que somente com um dos possveis anagramas a serem formados, teremos 12 situaes repetidas!

Cada anagrama ir ter 12 repetidos!



O total de anagramas ser dado por

Permutao com elementos repetidosPodemos concluir ento que cada elemento repetido gera n! de anagramas repetidos!

Portanto o nmero de permutao com elementos repetidos ser dado por:

Onde:N: nmero total de elementosn1, n2, n3 ... o nmero de vezes que cada elemento se repete



Temos que: A 3 R 2

Portanto:n = 5n1 = 3n2 = 2

Anlise Combinatria e Probabilidades

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