Download - Resumo - Análise Combinatória
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Anlise Combinatria e ProbabilidadesProf. Antonio Fernando Silveira Alves
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IntroduoOBJETIVOS: Estudar os problemas de Contagem Resolver problemas em que necessrio escolher ou arrumar os objetos de um conjunto.
Agrupamentos ordenados ou no ordenados, com ou sem repetio dos elementos.
ORIGENS : Jogos de azar, jogos de cartas Sc XVI
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IntroduoAPLICAO: Clculo de Probabilidades Problemas de transporte Estatstica Teoria da Informao Programao Linear IMPORTANTE: Leitura detalhada e atenta
Raciocnio
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IntroduoPrincipais tipos de agrupamentos:
Permutao
Arranjo
Combinao
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IntroduoExemplos:
1)Trs estradas A, B e C conduzem ao topo de um morro. De quantos modos diferentes uma pessoa pode subir e descer deste morro?
Soluo:
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IntroduoSoluo:
Importante: No h restrio no enunciado. PODE HAVER REPETIO
Se subir por A, poder descer por A, B ou C
(A, A) ; (A, B); (A,C)
Logo, teremos 3 modos diferentes.
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IntroduoSoluo:
Se subir por B, poder descer por A, B ou C
(B, A) ; (B, B); (B,C)
Logo, teremos 3 modos diferentes.
Se subir por C, poder descer por A, B ou C
(C, A) ; (C, B); (C,C)
Logo, teremos 3 modos diferentes.
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IntroduoSoluo:
Podemos ento generalizar:
3 3 = 9 percursos possveis subida descida de ida e volta
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Introduo2) E se no exemplo anterior, a pessoa no puder descer o morro, pela estrada que utilizou para subir?
Importante: H restrio no enunciado. NO PODE HAVER REPETIO
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IntroduoSoluo:
Se subir por A, poder descer por B ou C
(A, B) ; (A, C)
Logo, teremos 2 modos diferentes.
Se subir por B, poder descer por A ou C
(B, A) ; (B,C)
Logo, teremos 2 modos diferentes.
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IntroduoSoluo:
Se subir por C, poder descer por A ou B
(C, A) ; (C, B)
Logo, teremos 2 modos diferentes.
Podemos ento generalizar:
3 2 = 6 percursos possveis subida descida de ida e volta
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Introduo2) Num grupo de 4 rapazes e 3 moas, de quantos modos pode-se escolher um rapaz para presidente e uma moa para secretria de uma agremiao?
4 3 = 12 Presid. Secret.
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Princpio Multiplicativo
Se um acontecimento A pode ocorrer de m maneiras diferentes, e se para cada uma das m maneiras possveis de ocorrncias de A, um segundo acontecimento B pode ocorrer de n maneiras diferentes,
Ento, o nmero de maneiras de ocorrer o acontecimento A seguido do acontecimento B :
m . n
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Princpio Multiplicativo
Perceba que esta definio intuitiva, lgica e natural.
1) Se nos exemplos anteriores tivssemos10 estradas que levam ao topo do morro. De quantos modos diferentes pode-se subir e descer do morro?
A , B, C, D, E, F, G, H, I, J
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Princpio Multiplicativo
Se subir por A, temos:
(A , A) ; (A , B) ; (A , C) ; (A , D) ; (A , E)
(A , F) ; (A , G) ; (A , H) ; (A , I) ; (A , J)
Logo, temos 10 modos diferentes
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Princpio Multiplicativo
Se subir por B, temos:
(B , A) ; (B , B) ; (B , C) ; (B , D) ; (B , E)
(B , F) ; (B , G) ; (B , H) ; (B , I) ; (B , J)
Logo, temos 10 modos diferentes
E assim, sucessivamente ...
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Princpio Multiplicativo
Se subir por A, temos, 10 modos diferentespor B, temos: 10 modos diferentespor C, temos: 10 modos diferentespor D, temos: 10 modos diferentespor E, temos: 10 modos diferentespor F, temos: 10 modos diferentes por G, temos: 10 modos diferentes por H, temos: 10 modos diferentes por I, temos: 10 modos diferentes por J, temos: 10 modos diferentes
10 10 = 100 percursos subida descida de ida e volta
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Princpio Multiplicativo2) Quantos nmeros de 2 algarismos podem ser formados no sistema decimal?
Obs: Pode repetir ?
SIM!
NO H RESTRIO NO ENUNCIADO
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Princpio Multiplicativo2) Quantos nmeros de 2 algarismos podem ser formados no sistema decimal?
____ ____ D U
Alg. das Dez : {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9}Alg. das Unid : {0 , 1 , 2, 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9}
Logo temos: 9 10 = 90 D U
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Princpio Multiplicativo3) Quantos nmeros de 2 algarismos distintos podem ser formados no sistema decimal?
Obs: Pode repetir ?
No!
H restrio bem clara no enunciado.
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Princpio Multiplicativo3) Quantos nmeros de 2 algarismos distintos podem ser formados no sistema decimal?
9 . D U {1 , 2, 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9} {0 , 1 , 2, 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9}
9 possibilidades 9 possibilidades
No algarismo das unidades teremos os 8 algarismos no utilizados no algarismo das dezenas, mais o zero, que no podia entrar nas dezenas, mas agora pode aparecer nas unidades.
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Princpio Multiplicativo3) Quantos nmeros de 2 algarismos distintos podem ser formados no sistema decimal?
9 9 = 81 D U {1 , 2, 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9} {0 , 1 , 2, 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9}
9 possibilidades 9 possibilidades
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Princpio Multiplicativo4) Quantos nmeros pares de 2 algarismos podem ser formados no sistema decimal?
Restries: nmero par ltimo dgito (alg. das unidades): pode repetir: no pode iniciar c/ zero
OBESRVAO IMPORTANTE
Se existe uma restrio no enunciado causando dificuldades, ento devemos satisfaz-la em primeiro lugar
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Princpio Multiplicativo 5 . D U {0 , 2 , 4 , 6 , 8}
5 possibilidades
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Princpio Multiplicativo 9 5 .= 45 D U {1 , 2, 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9} {0 , 2 , 4 , 6 , 8}
9 possibilidades 5 possibilidades
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Princpio Multiplicativo5) Quantos nmeros pares de 2 algarismos distintos podem ser formados no sistema decimal?
Restries: nmero par ltimo dgito (alg. das unidades): NO pode repetir: NO pode iniciar c/ zero
OBESRVAO IMPORTANTE
Se em certa posio um objeto causa dificuldade para a escolha de ocorrncias de objetos em outras posies, ento devemos dividir o problema em duas etapas, conforme o objeto ocupe ou no a posio considerada
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Princpio MultiplicativoObserve que devemos desmembrar a resoluo nesse caso em duas possibilidades:
1)Casa das dezenas formado por algarismos mpares:
Inic. com 1: 10, 12, 14, 16 , 18 5 possibil.Inic. com 3: 30, 32, 34, 36 , 38 5 possibil.Inic. com 5: 50, 52, 54, 56 , 58 5 possibil.Inic. com 7: 70, 72, 74, 76 , 78 5 possibil.Inic. com 9: 90, 92, 94, 96 , 98 5 possibil.
25 possibilidades
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Princpio Multiplicativo2)Casa das dezenas formado por algarismos pares:
Inic. com 2: 20 , 24 , 26 , 28 4 possibil.Inic. com 4: 40 , 42 , 46 , 48 4 possibil.Inic. com 6: 60 , 62 , 64 , 68 4 possibil.Inic. com 8: 80 , 82 , 84 , 86 4 possibil.
16 possibilidades
Temos ento um total de:
25 + 16 = 41 possibilidades
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Princpio MultiplicativoGeneralizando:
1) Casa das Dezenas com alg. mpares: 5 5 = 25 D U {1 , 3 , 5 , 7 , 9} {0 , 2 , 4 , 6 , 8}
Aqui no h problemas com a repetio dos algarismos, pois um ser mpar e outro par.
A ateno a esse fato deve ser observada no 2 caso!
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Princpio MultiplicativoGeneralizando:
1) Casa das Dezenas com alg. mpares: 5 5 = 25 D U {1 , 3 , 5 , 7 , 9} {0 , 2 , 4 , 6 , 8}
2) Casa das Dezenas com alg. pares: 4 D {2 , 4 , 6 , 8} No pode iniciar com o zero !
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Princpio MultiplicativoGeneralizando:
1) Casa das Dezenas com alg. mpares: 5 5 = 25 D U {1 , 3 , 5 , 7 , 9} {0 , 2 , 4 , 6 , 8}
2) Casa das Dezenas com alg. pares: 4 4 . D U {2 , 4 , 6 , 8} {0 , 2 , 4 , 6 , 8} No algarismo das unidades, temos 3 algarismos no utilizados no algarismo das dezenas, mais o zero que no poderia aparecer nas dezenas.
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Princpio MultiplicativoGeneralizando:
1) Casa das Dezenas com alg. mpares: 5 5 = 25 D U {1 , 3 , 5 , 7 , 9} {0 , 2 , 4 , 6 , 8}
2) Casa das Dezenas com alg. pares: 4 4 = 16 D U {2 , 4 , 6 , 8} {0 , 2 , 4 , 6 , 8} Total: 25 + 16 = 41 possibilidades
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Princpio Multiplicativo6) De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em 7 cadeiras enfileiradas?
7 6 5 = 210 1 pessoa 2 pessoa 3 pessoa
Logo temos 7 . 6 . 5 = 210 modos
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Princpio Multiplicativo7) Um dado lanado 3 vezes. Quantos resultados possveis?
Raciocnio precipitado
3 6 = 18
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Princpio Multiplicativo7) Um dado lanado 3 vezes. Quantos resultados possveis?
6 6 6 = 63 = 216 result. 1 Lcto 2 Lcto 3 Lcto
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Princpio Multiplicativo8)Um dado lanado 4 vezes. Ache o nmero de maneiras nas quais o 6 pode aparecer em sequncia, precisamente duas vezes.
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Princpio MultiplicativoVamos examinar os seguintes casos:1) A sequncia 66 ocorre nos dois primeiros lanamentos __6___ ___6__ ______ ______ 1 Lcto 2 Lcto 3 Lcto 4 Lcto
2) A sequncia 66 ocorre no 2 e 3 lanamentos ______ __6___ __6____ ______ 1 Lcto 2 Lcto 3 Lcto 4 Lcto
3) A sequncia 66 ocorre nos dois ltimos lanamentos ______ ______ __6____ __6___ 1 Lcto 2 Lcto 3 Lcto 4 Lcto
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Princpio MultiplicativoNo 1 caso temos:1) Sequncia 66 - nos dois primeiros lctos __6___ __6___ _____ ______ 1 Lcto 2 Lcto 3 Lcto 4 LctoNo 1 e 2 lcto uma nica opo: Resultado 6
No 3 lcto 5 opes (1,2,3,4 e 5) No pode sair 6, pois o enunciado impe a restrio: 6 s pode ocorrer duas vezes consecutivas.
No 4 lcto temos 6 opes (1,2,3,4,5 e 6)
__1___ . __1___ . __5___ . __6___ = 30 1 Lcto 2 Lcto 3 Lcto 4 Lcto (6) (6) (1,2,3,4 e 5) (1,2,3,4,5 e 6)
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Princpio MultiplicativoNo 2 caso temos:2) Sequncia 66 - nos 2 e 3 lanamentos _____ __6___ __6___ ______ 1 Lcto 2 Lcto 3 Lcto 4 LctoNo 2 e 3 lcto uma nica opo: Resultado 6
No 1 lanamento 5 opes (1,2,3,4 e 5) No pode sair 6 , pois temos a restrio: 6 s pode ocorrer duas vezes consecutivas.
No 4 lanamento 5 opes (1,2,3,4 e 5)
__5___ . __1__ . __1___ . __5___ = 251 Lcto 2 Lcto 3 Lcto 4 Lcto(1,2,3,4 e 5) (6) (6) (1,2,3,4 e 5)
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Princpio MultiplicativoNo 3 caso um raciocnio anlogo ao 1 caso1) Sequncia 66 nos dois ltimos lctos _____ _____ __6___ __6___ 1 Lcto 2 Lcto 3 Lcto 4 Lcto
No 1 lcto temos 6 opes: (1,2,3,4,5 e 6)
No 2 lcto 5 opes (1,2,3,4 e 5) No pode sair 6 , pois temos a restrio: 6 s pode ocorrer duas vezes consecutivas.
No 3 e 4 lctos uma nica opo: Resultado 6
__6___ . __5___ . __1__ . __1__ = 30 1 Lcto 2 Lcto 3 Lcto 4 Lcto(1,2,3,4,5 e 6) (1,2,3,4 e 5) (6) (6)
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Princpio MultiplicativoTemos ento, um total de
30 + 25 + 30 = 85 possibilidades
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FatorialChama-se fatorial de n e indica-se n! (L-se: n fatorial) com n , ao produto:
n! = n . (n-1) . (n-2) . ... . 3 . 2 . 1
Exemplos:
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 1206! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
Por definio temos:0! = 11! = 1
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FatorialExerccios:
Simplificar a expresso:
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FatorialExerccios:
Simplificar a expresso:
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FatorialExerccios:
Simplificar a expresso:
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Diagrama de rvore
Um homem possui duas calas (azul e cinza), trs camisas (branca, xadrez e listrada) e dois pares de sapatos (preto e marrom). De quantas maneiras diferentes ele poder se vestir?
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Diagrama de rvore
2 . 3 . 2 = 12 maneiras distintas
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Permutao SimplesPermutar = trocar
Permutao um tipo de agrupamento ordenado onde se utilizam todos os elementos do conjunto
Exemplo:
De quantas maneiras 5 pessoas podem ser dispostas em fila indiana?
__5___ __4__ __3___ __2___ __1___ 1 posio 2 posio 3 posio 4 posio 5 posio
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
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Exemplo:
Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ROMA?
ROMAOARMMAORAORMROAMOAMRMAROAOMRRAMOOMRAMROAAMORRAOMOMARMRAOAMRORMOAORMAMOARAROMRMAOORAMMORAARMO
__4___ __3__ __2___ __1___1 posio 2 posio 3 posio 4 posio 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24Permutao Simples
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Conforme os exemplos anteriores, podemos concluir que:
A permutao de n elementos distintos dada por:
Pn = n!Permutao Simples
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Exemplo:Considere a palavra CADERNO e determine:a) O nmero total de anagramas
b) O nmero de anagramas que comeam com a letra D
c) O nmero de anagramas que comeam com a letra A e terminam com a letra O
d) O nmero de anagramas que comeam por vogal e terminam com consoante.Permutao Simples
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Exemplo:Considere a palavra CADERNO e determine:a) O nmero total de anagramas
P7 = 7 ! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040
b) O nmero de anagramas que comeam com a letra D
_1_ ___ ___ ___ ___ ___ ___ D P6 = 6 ! = 720Permutao Simples
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Exemplo:Considere a palavra CADERNO e determine:c) O nmero de anagramas que comeam com a letra A e terminam com a letra O_1_ ___ ___ ___ ___ ___ _1_ A O P5 = 5 ! = 120d) O nmero de anagramas que comeam por vogal e terminam com consoante._3_ ___ ___ ___ ___ ___ _4_ V C 3 . 4 . P5 = 12 . 5 ! = 12. 120 = 1440Permutao Simples
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Permutao com elementos repetidosExemplo:
Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ASA?
A S AA S AA A SA A SS A AS A A
Observe que quando tivermos elementos repetidos, o clculo da permutao no ser igual a permutao simples, vista anteriormente.
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Permutao com elementos repetidosExemplo:
Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ASA?
Na palavra ASA temos um total de 3 letras, porem 1 letra aparece 2 vezes, e consequentemente, cada uma dessas letras repetidas, gera anagramas repetidos!
Como eliminar na contagem esses anagramas repetidos?
Efetuando a diviso!
Portanto teremos:
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Permutao com elementos repetidosExemplo:
Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ASA?
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Permutao com elementos repetidosExemplo:
Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ARARA?
E nesta situao?
Basta dividir por 2 novamente?
Ou por 3 ?
Ou por 6?
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Permutao com elementos repetidosExemplo:
Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ARARA?
A R A R AA R A R AA R A R A A R A R AA R A R AA R A R A A R A R A A R A R AA R A R A A R A R AA R A R AA R A R A
Verifique que somente com um dos possveis anagramas a serem formados, teremos 12 situaes repetidas!
Cada anagrama ir ter 12 repetidos!
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Permutao com elementos repetidosExemplo:
Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ARARA?
O total de anagramas ser dado por
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Permutao com elementos repetidosPodemos concluir ento que cada elemento repetido gera n! de anagramas repetidos!
Portanto o nmero de permutao com elementos repetidos ser dado por:
Onde:N: nmero total de elementosn1, n2, n3 ... o nmero de vezes que cada elemento se repete
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Permutao com elementos repetidosExemplo:
Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ARARA?
Temos que: A 3 R 2
Portanto:n = 5n1 = 3n2 = 2
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Permutao com elementos repetidosExemplo:
Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ARARA?
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Anlise Combinatria e Probabilidades