quantidade análise combinatória
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Aula de Matemática – Prof. Wander Medeiros – 09/02/2021
EXERCÍCIOS DE REVISÃO
1. Os polígonos de k lados (k múltiplos de 3), que podemos obter com vértices nos 9 pontos da figura, são em número de: a) 83 b) 169 c) 85 d) 168 Polígonos de 3 lados:
𝐶9,3 =9 ∗ 8 ∗ 7
3 ∗ 2 ∗ 1= 84
Polígonos de 6 lados:
𝐶9,6 = 𝐶9,3 =9 ∗ 8 ∗ 7
3 ∗ 2 ∗ 1= 84
Polígonos de 9 lados: 𝐶9,9 = 1
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 84 + 84 + 1 = 169
Quantidade Análise Combinatória
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Fatorial: 𝑛! = 𝑛 ∗ (𝑛 − 1) ∗ (𝑛 − 2) ∗ (𝑛 − 3) ∗ … ∗ 1 Exemplo: 5! = 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = 120
𝑛 = 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠
𝑝 = 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠
Quantos
A ordem dos elementos importa?
Sim
"Tracim"
Tenho que escolher?
Sim
Arranjo
𝐴𝑛,𝑝 =𝑛!
𝑛 − 𝑝 !
Não
Permutação
𝑃𝑛 = 𝑛!
Não
Combinação
𝐶𝑛,𝑝 =𝑛!
𝑛 − 𝑝 ! ∗ 𝑝!
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Exemplo 1: No início do BBB, tínhamos 20 participantes. O “paredão” inicial deveria ser formado por 3 deles. Se não tivermos restrições, quantos tipos diferentes de “paredões” poderiam ser formados?
A ordem importa? NÃO Combinação
𝐶20,3 =20 ∗ 19 ∗ 18
3 ∗ 2 ∗ 1= 1140
Exemplo 2: No BBB, temos 20 participantes. O 1º colocado ganhará 1,5 milhões de reais, o 2º, 500 mil reais e o 3º, 100 mil reais. De quantos modos diferentes pode ser montado o resultado final?
A ordem importa? SIM Tracim
Temos que escolher? SIM Arranjo
𝐴20,3 =20!
(20 − 3)!=
20!
17!=
20 ∗ 19 ∗ 18 ∗ 17!
17!= 20 ∗ 19 ∗ 18 = 6840
𝐴20,3 = 20 ∗ 19 ∗ 18 = 6840
Exemplo 3: No final da prova do líder do BBB, restaram 6 participantes. Para a próxima fase, eles devem se organizar numa fila indiana. De quantos modos diferentes a fila pode ser formada?
A ordem importa? SIM Tracim
Temos que escolher? NÃO Permutação 𝑃6 = 6! = 6 ∗ 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = 720 Sempre que utilizarmos TODOS os elementos, o problema será de PERMUTAÇÃO. Combinações complementares são IGUAIS: 𝐶𝑚,𝑛 = 𝐶𝑚,𝑝 𝑛 + 𝑝 = 𝑚
Exemplo: 𝐶20,12 = 𝐶20,8
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2. Sabendo-se que a probabilidade de que um animal adquira certa enfermidade, no decurso de cada mês, é igual a 30%, a probabilidade de que um animal sadio venha a contrair a doença só no 3° mês é igual a: a) 21% b) 49% c) 6,3% d) 14,7% Probabilidade Binomial: 𝐷𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒: 𝐷 = 30% = 0,3 𝑆𝑎𝑑𝑖𝑜: 𝑆 = 70% = 0,7 𝑆 𝑆 𝐷 0,7 ∗ 0,7 ∗ 0,3 = 0,147 = 14,7% 3. Após um tratamento, a probabilidade de um casal ter filho homem passou a ser de 40%. Sabendo-se que esse casal planeja ter 4 filhos, qual a probabilidade de terem exatamente 3 homens? 4. Considere as seguintes matrizes:
Sendo “a” um número real, para que tenhamos A . B = C, o valor da variável “a” deverá ser: a) um número inteiro, ímpar e primo. b) um número inteiro, par, maior que 1 e menor que 5. c) um número racional, par, maior que 5 e menor que 10. d) um número natural, impar, maior que 1 e menor que 5.
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4. Uma família comprou água mineral em embalagens de 20 L, de 10 L e de 2 L. Ao todo, foram comprados 94 L de água, com o custo total de . Veja na tabela os preços da água por embalagem:
Volume da embalagem (L) Preço (R$)
20 10,00
10 6,00
2 3,00
Nessa compra, o número de embalagens de 10 L corresponde ao dobro do número de embalagens de 20 L, e a quantidade de embalagens de 2 L corresponde a n. O valor de n é um divisor de: a) 32 b) 65 c) 77 d) 81