análise combinatória i

PRÉ-VESTIBULARLIVRO DO PROFESSOR

MATEMÁTICA

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Produção Projeto e Desenvolvimento Pedagógico

Disciplinas Autores

Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago Calixto Rita de Fátima BezerraLiteratura Fábio D’Ávila Danton Pedro dos SantosMatemática Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba CostaFísica Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. SaquetteQuímica Edson Costa P. da Cruz Fernanda BarbosaBiologia Fernando Pimentel Hélio Apostolo Rogério FernandesHistória Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa SilvaGeografia DuarteA.R.Vieira Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer

I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]

660 p.

ISBN: 978-85-387-0571-0

1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.

CDD 370.71


1EM

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AT

_013

Análise Combinatória:

Fatorial e Princípio

Multiplicativo

Frequentemente, no nosso dia-a-dia, precisamos enumerar eventos, tais como arrumação de objetos de certa maneira, separar coisas sob uma certa condição, distribuições para certos fins etc. Para fazermos isso, precisamos enunciar dois teoremas que são fundamentais em todos os problemas de contagem.

O princípio aditivo (AP)Suponha que existam

n1 maneiras para o evento E1 ocorrer,


.

.

.

nk maneiras para o evento Ek ocorrer,

onde k ≥ 1. Se essas maneiras para as ocorrên-cias dos eventos distintos forem disjuntas duas a duas, então o número de maneiras nas quais pelo me-nos um dos eventos E1, E2, ..., ou Ek pode ocorrer é:

Por exemplo, se podemos ir de uma cidade P a uma cidade Q por vias aérea, marítima e rodoviária, e supondo que existam duas companhias marítimas, três companhias aéreas e duas companhias rodovi-árias que fazem o trajeto entre P e Q, então pelo AP o número total para se fazer o trajeto de P a Q pelo mar, pelo ar ou por rodovia é 2 + 3 + 2 = 7.

Uma forma equivalente do AP, usando a termi-nologia dos conjuntos, onde X representa o número de elementos do conjunto X, é o seguinte:

Sejam A1, A2, ..., Ak conjuntos finitos quaisquer onde k ≥ 1.

Se os conjuntos dados são distintos dois a dois, isto é Ai ∩ Αj = ∅ para i, j =1, 2, ..., k, i ≠ j então

å åk k

i 1 2 k ii=1 i=1

A = A + A + ... + A = A


2 EM

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_013

O princípio multiplicativo (MP)

Supondo que um evento E possa ser decom-posto em r eventos ordenados E1, E2, ..., Er e que existam



.

.

.

nr maneiras para o evento Er ocorrer.

Então, o número de maneiras do evento E ocorrer é dado por

Por exemplo, para irmos de uma cidade A até uma cidade D devemos passar pelas cidades B e C, nesta ordem, e supondo que existam 2 maneiras distintas de ir de A até B, 5 maneiras diferentes de ir de B até C e 3 maneiras distintas de ir de C até D então, pelo MP, o número de maneiras de ir de A até D, passando por B e C, é dado por 2 x 5 x 3 = 30.

Uma forma equivalente do MP, utilizando a ter-minologia dos conjuntos, é enunciada abaixo:

Se,

∏ =×××==

r

1ir21i A...AAA

{ }r...,,2,1i,Aa|a...,,a,a( iir21 =∈=é o produto cartesiano dos conjuntos finitos A1,

A2, ..., An, então,

∏ ∏r r

1 2 r ii=1 i=1

= A x A x...x A = AiA

Mais uma vez, X significa o número de elemen-tos do conjunto X.

O método de definição indutiva

Seja INn o subconjunto {1, 2, ..., n} de IN, con-sistindo dos n primeiros números naturais não-nulos. Entretanto, se desejássemos que um computador imprimisse a coleção dos elementos de IN1989, terí-amos que lhe dizer exatamente o que fazer quando chegassem os pontinhos. Por outro lado, se definís-semos INn para cada n ∈ IN* por

IN1 = {1}, INn + 1= INn U {n + 1}

Supondo que o computador possa distinguir e lembrar símbolos, então as equações acima permitem-lhe calcular INn para todo n ∈ IN*, pois o conjunto A dos n para os quais ele pode calcular INn é o próprio IN*. Dizemos que as relações acima definem INn indutivamente, ou são uma definição indutiva de INn.

Quando a substituição dos pontinhos é algo ro-tineiro para seres humanos, os pontinhos são usados em lugar da definição indutiva que se espera que o leitor dê. O uso dos pontinhos torna as fórmulas mais fáceis de serem compreendidas, mas, novamente, só para leitores humanos. E em trabalhos mais avança-dos a definição formal por indução tem que ser dada especialmente quando essa definição acaba de ser criada por um autor.

FatorialFatorial de um número natural n, tradicional-

mente denotado por n!, ao número definido induti-vamente por: 0! = 1 e n! = n(n – 1)! decorre imediata-mente da definição que n! = n(n – 1)... 2 .1 e então tem-se que 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120; 3! = 3 . 2 . 1 =6; 8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40 320 etc...

Coeficientes binomiaisDados os naturais n e k, sendo n ≥ k ≥ 0 chama-

se coeficiente binomial n sobre k e se indica

k

n ao

número definido por: ( )

£ £-

n!

k! n k ! se 0 k n

Permutações simplesDado o conjunto A = {a1, a2, a3, ..., an} de n ele-

mentos (n N) chama-se de permutação simples dos n elementos de A (n e N), a qualquer conjunto ordenado com esses n elementos. Indica-se por Pn, o número de permutações com n elementos.

Cálculo do número de permutações simples (Pn)

Consideremos os n objetos x1, x2, x3, ..., xn e as n posições:

p1 p2 p3 pn...

Enumerando todas as permutações dos n ob-jetos x1, x2, x3, ..., xn, temos que o número de tais permutações é igual ao número de modos possíveis


3EM

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de se ocupar, com esses n objetos, as n posições p1, p2, p3, ..., pn. Para a posição P1 existem n escolhas na arrumação. Após o preenchimento de p1 existem n – 1 escolhas (os n – 1 objetos remanescentes) para a posição p2. Há n – 2 maneiras diferentes de ser preenchida a posição p3, após terem sido ocupadas as posições p1 e p2. E, finalmente, uma escolha para a última posição pn, após terem sido preenchidas as posições p1, p2, p3, ..., pn–1. Portanto, pelo princípio multiplicativo e utilizando a notação n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3) ... 3 . 2 . 1, temos que o número de modos de ordenar n objetos distintos é

n(n – 1)(n – 2)(n – 3) ... 3 . 2 . 1 = n!

Assim, Pn = n!

Por extensão, define-se P0 = 0! = 1 e P1 =1! = 1

Arranjos simplesSão dados o conjunto A = {a1, a2, a3, ..., an}

de n elementos (n N) e o número natural n.N/pp ≤∈ Chama-se arranjo simples os n elementos tomados p a p, a qualquer conjunto ordenado com p elementos (sem repetição) escolhidos entre os n elementos de A. Indica-se An, p, o número de arranjos simples de n elementos p a p.

Cálculo do número de arranjos simples de n elementos, p a p (An, p)

Seja A = {a1, a2, a3, ..., an} conjuntos ordenados com p elementos

F1

, F2

, ..., Fp

F1 F2 F3 Fp

An, p = n . (n – 1) . (n – 2) ... [n – (p – 1)]

An, p = n . (n – 1) . (n – 2) ... (n – p + 1)

An, p = n.(n – 1).(n – 2) ... (n – p + 1)(n – p)(n – p – 1) ... 3 . 2 . 1

(n – p)(n – p – 1) ... 3 . 2 . 1

An, p = n!

(n – p)!

e, portanto,

(n, p ∈ N e p ≤ n)

que é fórmula para se calcular o número de arran-jos simples (sem repetição) de n elementos p a p.

Observações:

1.ª) É importante notar que, quando p = n, temos:

nPn!1n!

0!n!

n)!–(nn!

pn,A ===== ou seja, as permutações

simples com n elementos são um caso particular dos arranjos simples quando p = n.

2.ª) Note que, em particular, definimos:

( )n! n!

A = = = 1, tambémn,0 n - 0 ! n!

0! 1A = = = 10,0 0! 1

Exemplo: `

Considere dois conjuntos: A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5}

Quantas são as funções injetoras ƒ: A → B?

Uma função é injetora quando

x1 ≠ x2 ⇒ ƒ (x1) ≠ ƒ (x2).

Logo, pelo princípio multiplicativo, temos:

Decisão N.º de casos

D1: Escolha de f(1) 5



Total de casos = 5 x 4 x 3 = 60

Nesse problema temos um arranjo de 5 elementos tomados

3 a 3. Isto é, 3) !–(5

5!2.1

5.4.3.2.1A35 ==

= 60.

Combinação simples

Sempre que pegamos um subconjunto e troca-mos a ordem de seus elementos, nós não estamos modificando-o. Agrupamentos desse tipo, em que a ordem dos elementos não é importante, são chamados de combinações e serão tratados nesse módulo.

Uma k-combinação ou uma combinação de classe k, de n objetos distintos, é uma escolha não -ordenada ou um subconjunto de k dos objetos.

Representaremos o número de combinações de n objetos distintos, de classe k ou tomados k a k, por um dos símbolos

C (n, k) ou n

C(n,k) ouk

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø

É padronizado ler qualquer um dos dois símbo-los como “n escolhe k”. (Outra notação comumente

utilizada é knC ).

Teorema: se 0 ≤ k ≤ n, então o número de sub-conjuntos de k elementos de um conjunto com n


4 EM

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elementos ou o número de combinações de n objetos distintos de classe k é dado por

)!kn(!k

!nnk −

=(Em n elementos

escolhe-se k elementos)

Demontração: o conjunto de todas as permuta-ções simples de k elementos selecionados de um con-junto com n elementos contém

)!kn(

!n

− permutações.

Entretanto, cada subconjunto de k elementos pode ser ordenado de k! maneiras, dessa forma, o número de ma-neiras de primeiro escolher um subconjunto e depois ordenar os elementos desse subconjunto é pelo prin-cípio multiplicativo igual a

k . k

n

!

Entretanto, cada uma dessas ordenações é uma diferente permutação de k elementos selecionados dentre todos os n elementos, e cada permutação de k elementos distintos surge da escolha de um sub-conjunto, que produz:

(cqd) ( ) n,k

n n!k! A

k n k !

æ ö÷ç ÷× = =ç ÷ç ÷ç -è ø

Corolário: o número de maneiras de rotularmos n objetos com k rótulos de um tipo e (n– k) rótulos de

um segundo tipo é k

n

.

−

=

kn

n

k

n

O saguão do prédio sede de uma multinacional possui 1. quatro portas em cada uma das direções norte, sul, leste e oeste. De quantas maneiras distintas uma pessoa dispõe para entrar e sair do prédio por uma dessas portas?

Solução: `

Existem 16 portas no total, logo há 16 maneiras de esco-lher a porta para entrar. Depois disso, há 16 alternativas para sair logo, existem 16 x 16 = 256 maneiras de entrar e sair do prédio.

A ligação entre as cidades do Rio de Janeiro e Salvador 2. pode ser feita por vias ferroviária, marítima, rodoviária e aérea. De quantas maneiras distintas uma pessoa pode fazer a viagem Rio de Janeiro - Salvador - Rio de Janeiro, sem utilizar na volta o mesmo meio de transporte utilizado na ida?

Solução: `

Há quatro modos de escolher o meio de transporte de ida. Depois disto, há três alternativas para a volta, logo, existem 4 x 3 = 12 maneiras distintas de fazer a viagem.

Dispondo das cores verde, amarelo, azul e branco, de 3. quantos modos distintos podemos pintar sete casas enfileiradas, de modo que cada casa seja pintada de uma só cor e duas casas vizinhas não sejam pintadas com a mesma cor?

Solução: `

A primeira casa pode ser pintada de quatro maneiras, a segunda de três maneiras (não podemos usar a cor utilizada na primeira casa), a terceira de três maneiras (não podemos usar a cor utilizada na segunda casa), e assim sucessivamente, cada casa subsequente pode ser pintada de três maneiras (não podendo ser pintada da cor utilizada na casa anterior) logo, as sete casas podem ser pintadas de 4 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 2 916 modos distintos.

As antigas placas para automóveis, formadas 4. por duas letras seguidas de quatro algarismos, como, por exemplo MY – 7406, foram substituí-das por placas com três letras seguidas de qua-tro algarismos, como, por exemplo DKI – 3665. Utilizando um alfabeto de 26 letras e supondo que qualquer sequência de letras e algarismos seja permitida (na realidade algumas sequências não são permitidas) quantos veículos a mais podem ser emplacados?

Solução: `

Como existem 26 escolhas para cada letra e 10 escolhas para cada algarismo, o número total de placas antigas era 262 x 104. O novo número de placas é igual a 263 x 104 e daí podem ser emplacados a mais 263 x 104 – 262 x 104 = 169 x 106 veículos.

Calcule n, sabendo-se que 5. 7n!

1)!(n=

+ .

Solução: `

Temos que n!.1)(n1.2.3.....1)(n.n.1)(n1)!(n +=−+=+

Logo, 6n71n7n!

1)(nn!=⇒=+⇒=

+


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Simplifique: 6. )!1n()!2n(

)!1n()!2n(

+−++++

Solução: `

Temos

(n + 2)! = (n + 2) . (n + 1) . n . (n – 1) . ... . 3 . 2 . 1 =

= (n + 2) . (n + 1)!

Assim,

(n + 2)! + (n + 1)!(n + 2)! – (n + 1)! =

(n + 2) . (n + 1)! + (n + 1)!(n + 2) . (n + 1)! – (n + 1)! =

(n + 1)! (n + 2 + 1)(n + 1)! (n + 2 – 1) =

n + 3n + 1

Expresse cada um dos produtos como quociente de 7. dois fatoriais:

9 . 8 . 7a)

(n – 3) . (n – 4) . (n – 5)b)

Solução: `

==1.2.3.4.5.61.2.3.4.5.6

.7.8.97.8.9

6!9!

1.2.3.4.5.61.2.3.4.5.6.7.8.9

==

a)

× ×× × × × ×

× × ×× × × × ×

× × × × × × × ×× × × × ×

(n - 3) (n - 4) (n - 5) =

(n - 6) (n - 7) ... 3 2 1(n - 3) (n - 4) (n - 5)

(n - 6) (n - 7) ... 3 2 1(n - 3) (n - 4) (n - 5) (n - 6) (n - 7) ... 3 2 1

=(n - 6) (n - 7) ... 3 2 1

(n - 3)!=

(n - 6)!

b)

Quantos são os anagramas da palavra PERNAMBUCO?9.

Solução: `

Chama-se anagrama de uma palavra qualquer permutação que se possa formar com todas as letras desta palavra. Cada anagrama de PERNAMBUCO nada mais é que uma orde-nação das letras, P, E, R, N, A, M, B, U, C, O e, portanto, o número de anagramas de PERNAMBUCO é P10 = 10! = 3 628 800 anagramas.

Com relação aos anagramas com as letras da palavra 10. VESTIBULAR, pergunta-se:

Quantos começam e terminam por consoante?a)

Quantos começam por consoante e terminam por b) vogal?

Quantos apresentam as vogais juntas?c)

Quantos apresentam o vocábulo LUTA?d)

Quantos apresentam as vogais em ordem alfabética?e)

Quantos apresentam a sílaba LU e não apresenta f) a sílaba TA?

Solução: `

A escolha da consoante inicial pode ser feita de seis a) modos e, depois disso, a consoante final pode ser escolhida de cinco modos. As restantes oito letras podem ser arrumadas entre essas consoantes sele-cionadas de P8 = 8! = 40 320 modos.

A resposta é 6 x 5 x 40 320 = 1 209 600.

A escolha da consoante inicial pode ser feita de seis mo-b) dos e, depois disso, a vogal final pode ser escolhida de quatro modos. As restantes oito letras podem ser arru-madas entre essa consoante e essa vogal selecionadas de P8 = 8! = 40 320 modos.

A resposta é 6 x 4 x 40 320 = 967 680.

Uma vez feita a ordem das letras A, E, O, U, que pode c) ser feito de 4! = 24 modos. O bloco formado por estas letras se passa como se fosse uma letra só, portanto devemos arrumar sete objetos, o bloco formado pelas vogais e as seis letras V, S, T, B, L, R.

A resposta é 24 x 7! = 24 x 5 040 = 120 960.

O vocábulo LUTA se comporta como uma única letra. d) Daí, devemos arrumar sete objetos, o bloco LUTA e as seis letras restantes. A resposta é 7! = 5 040.

João comprou uma calculadora e apertou um dígito 8. e, em seguida, apertou a tecla “!”, encontrando como resultado 40 320. Qual o dígito teclado por João?

7 a)

8 b)

9 c)

10 d)

11e)

Solução: ` B

Fazendo a decomposição de 40 320 em fatores primos, encontra-se :

40 320 = 27 . 32 . 5 . 7 = 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 = 8!


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Há 4! = 24 ordens possíveis para as vogais. A respos-e)

ta é 241 do total de anagramas,

241 de 10! que é igual

a 151 200.

O número de anagramas que apresentam a sílaba f) LU é igual ao número de anagramas das nove letras LU (a sílaba LU se comporta como se fosse uma letra só), V, E, S, T, I, B, A, R, isto é, 9! = 362 880. Analogamente, o número de anagramas que apre-sentam a sílaba LU e a sílaba TA é igual ao número de anagramas das oito letras LU, TA, V, E, S, I, B, R, ou seja,

8! = 40 320. A resposta é 362 880 – 40 320 = 322 560.

De quantos modos se pode pintar um cubo, usando seis 11. cores diferentes, sendo cada face uma cor?

Solução: `

Suponhamos o cubo pendurado pelos quatro vértices de uma mesma face, de modo que duas de suas faces fiquem horizontais, e consideremos um observador fixo, em frente a uma de suas faces verticais, conforme a figura abaixo.

A

E

H

F

CDB

G

Vejamos, inicialmente, de quantos modos diferentes o observador pode ver o cubo pintado.

Para pintar a face superior, há seis escolhas de cores; para a face inferior, 5, e para as verticais, respectivamente 4, 3, 2 e 1 escolhas.

Logo, pelo princípio multiplicativo o observador pode ver o cubo pintado de 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 6! modos diferentes.

Entretanto, o número de modos de pintar o cubo nas condições do problema, isto é, sendo cada face com uma cor, não é 6!, pois, como veremos a seguir, o observador pode ver de 24 modos diferentes uma mesma pintura do cubo.

De fato, suponhamos que o cubo tenha sido pintado de uma determinada maneira, e que a face AEFB, voltada para o observador, esteja pintada de azul de quatro modos diferentes; basta notar que o mesmo pode ser pendurado pelos vértices ABCD, BCGF, GFEH e AEHD, e que em cada uma dessas posições a face AEFB (azul) permanece voltada para o observador.

Fazendo igual raciocínio para as seis faces, segue-se, pelo princípio multiplicativo que o observador pode ver a mes-ma pintura do cubo de 6 . 4 = 24 modos diferentes.

Seja, então, x o número de pinturas distintas do cubo, nas condições exigidas, isto é, sendo cada face com uma cor. Como cada pintura pode ser vista de 24 modos diferentes pelo observador, as x pinturas podem ser vistas de x . 24 modos diferentes.

Porém, como vimos no início, esse número é 6!; logo:

x . 24 = 6! x = 6!24 = 30

Este problema pode ser generalizado para um poliedro regular com F faces, tendo cada n lados. O número de modos de pintar esse poliedro com F cores, sendo cada face com uma cor, é:

x = F!F.n =

(F – 1)!n

(ENEM 2002) O código de barras, contido 12. na maior parte dos produtos industrializados, consiste num conjunto de várias barras que podem estar preenchidas com cor escura ou não. Quando um leitor óptico passa sobre essas barras, a leitura de uma barra clara é convertida no número 0 e a de uma barra escura, no número 1. Observe, a seguir, um exemplo simplificado de um sistema de código com 20 barras.

Se o leitor óptico for passado da esquerda para a direita irá ler: 01011010111010110001

Se o leitor óptico for passado da direita para a esquerda irá ler: 10001101011101011010

No sistema de código de barras, para se organizar o processo de leitura óptica de cada código, deve-se


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Solução: `

O número de modos de distribuirmos cinco cartas a) é igual ao número de escolhermos um subconjunto com cinco elementos.

Portanto, existem 259896047!5!52!

5

52==

distribui-

ções distintas.

Como existem quatro naipes, o número de esco-b) lhas de um subconjunto com cinco das 13 cartas de

cada naipe pode ser obtido de 12875!8!13!

5

13==

maneiras para cada naipe.

Então, o número total de subconjuntos de 5 cartas do mesmo naipe é 4 x 1 287 = 5 148.

Para escolhermos o número de distribuições com c) exatamente três ases, devemos escolher três dos quatro ases e então completar as cinco cartas com

outras duas que não sejam ases e que podem ser

escolhidas de

11282

48=

maneiras. Deste modo,

existem 4 1128 = 4 512 maneiras de se distribuir cinco cartas com somente três ases.

Uma comissão de k pessoas será escolhida de um gru-14. po de sete mulheres e quatro homens, dentre os quais figuram João e Maria. De quantas maneiras isto pode ser feito, de modo que:

a comissão tenha cinco pessoas sendo três mulhe-a) res e dois homens;

a comissão tenha o mesmo número de homens e b) mulheres;

a comissão tenha quatro pessoas, de modo que c) pelo menos duas sejam mulheres;

a comissão tenha quatro pessoas, sendo João uma d) dessas pessoas;

a comissão tenha quatro pessoas, sendo duas de e) cada sexo e de modo que João e Maria não este-jam simultaneamente na comissão.

Solução: `

O número de maneiras de escolhermos três dentre a)

sete mulheres é

3

7 e o número de maneiras de es-

colhermos dois dentre quatro homens é

2

4 assim,

temos no total 2106.352

4.

3

7==

maneiras.

Para contar os possíveisb) subconjuntos com o mes-mo número de homens e mulheres, devemos defi-nir o número de elementos de cada um deles, isto

levar em consideração que alguns códigos podem ter leitura da esquerda para a direita igual à da direita para a esquerda, como o código 00000000111100000000, no sistema descrito acima.

Em um sistema de códigos que utilize apenas cinco barras, a quantidade de códigos com leitura da esquerda para a direita igual à da direita para a esquerda, desconsiderando-se todas as barras claras ou todas as escuras, é:

14a)

12b)

8c)

6d)

4e)

Solução: ` D

Temos cinco posições que devem ser preenchi-das com o número 1 ou 0. Como a leitura deve ser igual da direita para a esquerda, temos as seguintes possibilidades:

Para 1.ª posição → 2 valores possíveis.



Para 4.ª posição →1 valor igual a da 2.ª posição.

Para 5.ª posição →1 valor igual a da 1.ª posição.

Logo, temos um total de 2 x 2 x 2 x 1 x 1 possi-bilidades = 8 possibilidades.

Entretanto, não podemos considerar tudo claro ou escuro, torna-se então:

= 8 –2 = 6 possibilidades.

São elas

10101

11011

10001

01010

00100

01110

Dispondo de um baralho comum de 52 cartas, de quan-13. tos modos distintos podem ser distribuídas:

5 cartas quaisquer?a)

5 cartas do mesmo naipe?b)

5 cartas das quais somente 3 são ases?c)


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é, devemos dividir o problema em quatro casos disjuntos, a saber: uma mulher e um homem; dois de cada sexo; três de cada sexo; e quatro de cada sexo (pois existem quatro homens). Deste modo, o número total é a soma das possibilidades para esses quatro subcasos ou seja,

+

+

+

4

4.

4

7

3

4.

3

7

2

4.

2

7

1

4.

1

7

3291.354.356.217 =+++= = 7 . 4 + 21 . 6 + 35 . 4 + 35 . 1 = 329

Uma abordagem é escolher primeiro duas mulhe-c)

res, o que pode ser feito de 212

7=

maneiras e,

então, escolher duas quaisquer das nove pessoas restantes (cinco mulheres e quatro homens). En-tretanto, contar todas as comissões dessa manei-ra não é correto, uma vez que alguma mulher em uma dessas comissões pode estar entre as duas primeiras ou entre as duas pessoas, por exemplo, se denotarmos por Hi o i-ésimo homem e por Mi a i-ésima mulher então, se escolhermos primeiro as mulheres M1 e M2 a comissão composta por M1 e M2 com as duas outras pessoas M3 e H3 dentre as restantes fornece a mesma comissão que se forma-ria caso tivéssemos escolhido primeiramente M1 e M3 e a seguir M2 e H3. Uma solução correta para este problema utiliza a abordagem feita no item (b), isto é, dividamos o problema em três subcasos: duas mulheres e dois homens, três mulheres e um homem e finalmente, quatro mulheres. A resposta é então:

301354.356.21

4

7

1

4.

3

7

2

4.

2

7=++=

+

+

Se João deve estar na comissão, isto significa sim-d) plesmente que o problema se reduz a escolher três outras pessoas entre as 10 remanescentes (sete mulheres e três homens). Assim, a resposta

é 1203

10=

.

Existem três sube) casos nos quais João e Maria, não estão ambos na comissão. Se Maria está na co-missão e João não está, então, mais uma mulher deve ser escolhida dentre as seis remanescentes e mais dois homens devem ser escolhidos dentre os três homens remanescentes (João está excluído).

Isto pode ser feito de 18 3 . 6 23

. 16

==

maneiras.

Se João está na comissão, então Maria não está e o mesmo argumento utilizado anteriormente

nos dá 453.151

3.

2

6==

maneiras. Finalmen-

te, se nenhum dos dois está na comissão, temos

453.152

3.

2

6==

maneiras. A resposta é, 18 +

45 + 45 = 108.

Há cinco pontos sobre uma reta R e oito pontos sobre 15. uma reta R’ paralela a R. Quantos são os triângulos e os quadriláteros convexos com vértices nesses pontos?

Solução: `

Para formar um triângulo, ou você toma um ponto em R e dois pontos em R’, ou toma um ponto em R’ e dois pontos em R. O número de triângulos é

220801402

5.8

2

8.5 =+=

+

.

Também poderíamos tomar três dos 12 pontos e excluir dessa contagem as escolhas de pontos colineares, o que daria.

22010562863

5

3

8

3

13=−−=

−

−

Para formar um quadrilátero convexo, devemos tomar dois pontos em R e dois pontos em R’, o que pode ser

feito de 28028.102

8.

2

5==

= 10 . 28 = 280 modos.

(FUVEST) A escrita Braille para cegos é um sistema 16. de símbolos em que cada caractere é formado por uma matriz de seis pontos, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos outros. Assim, por exemplo:

A• .. .. .

b• . • .. .

Qual o número máximo de caracteres distintos que podem ser representados neste sistema de escrita?

63a)

89b)

26c)

720d)

36e)


9EM

_V_M

AT

_013

Solução: ` A

1 ponto – 61

6=

(de 6 escolho 1)

2 pontos – 152

6=

(de 6 escolho 2)

3 pontos – 203

6=

(de 6 escolho 3)

4 pontos – 154

6=

(de 6 escolho 4)

5 pontos – 65

6=

(de 6 escolho 5)

6 pontos – 16

6=

(de 6 escolho 6)

Temos um total máximo de 63 caracteres.

(FUVEST-GV) As atuais placas de licenciamento de 1. automóveis constam de sete símbolos sendo três letras, dentre as 26 do alfabeto, seguidas de quatro algarismos.

Quantas placas distintas podemos ter sem o algarismo a) zero na primeira posição reservada aos algarismos?

No conjunto de todas as placas distintas possíveis, b) qual a porcentagem daquelas que têm as duas pri-meiras letras iguais?

(ELITE) Com relação aos números de cinco algarismos 2. do sistema de numeração decimal, pergunta-se:

Quantos são?a)

Quantos são ímpares e de algarismos distintos?b)

Quantos são pares e de algarismos distintos?c)

Quantos apresentam exatamente um algarismo d) igual a 3?

Quantos permanecem os mesmos quando a or-e) dem dos seus algarismos é invertida (por exemplo 16261)?

(CESGRANRIO) Durante a Copa do Mundo, que foi 3. disputada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo: 1.° lugar, Brasil; 2.° lugar, Nigéria; 3.° lugar, Holanda).

Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir?

69a)

2 024b)

9 562c)

12 144d)

13 824e)

(IME) Ligando as cidades A e B existem duas estradas 4. principais. Dez estradas secundárias, de mão dupla, ligam as duas estradas principais, como mostra a figura.

A B

Quantos caminhos, sem autointerseções existem de A até B.

Obs.: Caminho sem autointerseções é um caminho que não passa por um ponto duas ou mais vezes.

(UFRJ) Dispondo das cores verde, amarelo, azul e 5. branco, de quantos modos distintos podemos pintar sete casas enfileiradas de modo que cada casa seja pintada de uma só cor e duas casas vizinhas não sejam pintadas com a mesma cor?

(FGV) Uma pessoa vai retirar dinheiro num caixa ele-6. trônico de um banco mas, na hora de digitar a senha, esquece-se do número. Ela lembra que o número tem cinco algarismos, começa com seis, não tem algarismos repetidos e tem o algarismo sete em alguma posição. O número máximo de tentativas para acertar a senha é:

1 680a)

1 344b)

720c)

224d)

136e)

Define-se como anagrama qualquer sequência de 7. letras do alfabeto latino, com as letras a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k,! Quantos anagramas de sete letras podem ser feitos se:

é permitida a repetição de letras.a)

não é permitida a repetição de letras.b)

a letra c) e figura no anagrama e não há repetição de letras.

a letra d) e figura no anagrama e pode haver repetição de letras.

o anagrama é um PALÍNDROME, isto é, não se altera e) quando lido de trás pra frente ou de frente para trás.


10 EM

_V_M

AT

_013

(CESGRANRIO) Em um tabuleiro com seis linhas e 8. nove colunas, 32 casas estão ocupadas. Podemos afirmar que:

todas as colunas têm pelo menos três casas ocu-a) padas;

nenhuma coluna tem mais de três casas ocupadas;b)

alguma coluna não tem casas ocupadas;c)

alguma linha tem pelo menos seis casas ocupadas;d)

todas as linhas têm pelo menos quatro casas ocu-e) padas.

(ELITE) Qual é, aproximadamente, o número de sequên-9. cias distintas de caras e coroas que podemos obter ao lançarmos uma moeda 100 vezes? (Considere 210 103)

Se (n – 6)!=720 , calcule n .10.

Resolver a equação (m+2)!=72.m!11.

Prove que12.

Exprimir mediante fatoriais:13.

1x3x5...x(2n – 1)

Qual o menor inteiro que divide 16! mas não divide 14! ?14.

Expresse cada um dos produtos abaixo como quociente 15. de dois fatoriais:

9.8.7a)

(n-3).(n-4).(n-5)b)

Se n! = 1.2.3...(n – 1).n para todo inteiro n > 1, o valor 16.

de é:

700a)

720b)

740c)

760d)

780e)

O algarismo das unidades do número N = 1 + 2! + 3! 17. + ... + 99! é igual a:

1a)

3b)

5c)

7d)

9e)

(UNITAU) O número de anagramas da palavra BIOCIÊN-18. CIAS que terminam com as letras AS, nesta ordem, é:

9!a)

11!b)

9!/(3! 2!)c)

11!/2!d)

11!/3!e)

(FUVEST) Num programa transmitido diariamente, uma 19. emissora de rádio toca sempre as mesmas 10 músicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as possíveis sequências dessas músicas serão necessários, aproximadamente:

100 dias;a)

10 anos;b)

1 século;c)

10 séculos;d)

100 séculos.e)

(ITA) Calcule a soma de todos os números de cinco 20. algarismos distintos formados com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5.

(UFF) Escrevendo-se todos os números de seis al-21. garismos distintos em ordem crescente, utilizando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, qual é o lugar que ocupará o número 432 651?

(ELITE) Permutam-se de todas as formas possíveis os 22. algarismos 1, 2, 4, 6, 7 e escrevem-se os números for-mados em ordem crescente. Que número ocupa o 66º lugar e qual o 166º algarismo escrito?

(UFF) Com as letras da palavra PROVA podem ser escri-23. tos x anagramas que começam por vogal e y anagramas que começam e terminam por consoante.

Os valores de x e y são, respectivamente:

48 e 36.a)

48 e 72.b)

72 e 36.c)

24 e 36.d)

72 e 24.e)

(FUVEST) Com as 6 letras da palavra FUVEST podem 24. ser formadas 6!=720 “palavras” (anagramas) de seis letras distintas cada uma. Se essas “palavras” forem colocadas em ordem alfabética, como num dicionário, a 250ª “palavra” começa com:

EVa)

FUb)

FVc)

SEd)

SFe)


11EM

_V_M

AT

_013

(CESGRANRIO) Um fiscal do Ministério do Trabalho 25. faz uma visita mensal a cada uma das cinco empresas de construção civil existentes no município. Para evitar que os donos dessas empresas saibam quando o fiscal as inspecionará, ele varia a ordem de suas visitas. De quantas formas diferentes esse fiscal pode organizar o calendário de visita mensal a essas empresas?

180a)

120b)

100c)

48d)

24e)

(UFRJ) Um campeonato de futebol foi disputado por 26. 10 equipes em um único turno, de modo que cada time enfrentou cada um dos outros apenas uma vez.

O vencedor de uma partida ganha três pontos e o perdedor não ganha ponto algum; em caso de empate, cada equipe ganha um ponto.

Ao final do campeonato, tivemos a seguinte pontuação:

Equipe 1 - 20 pontos



Equipe 4 - 9 pontos



Equipe 7 - 9 pontos


Equipe 9 - 4 pontos


Determine quantos jogos desse campeonato terminaram empatados.

De um baralho de pôquer (7, 8, 9, 10, valete, dama, rei 27. e ás, cada um desses grupos aparecendo em quatro naipes: copas, ouros, paus, espadas), sacam-se simul-taneamente cinco cartas. Quantas são as extrações:

possíveis?a)

nas quais se forma um par (duas cartas em um b) mesmo grupo e as outras três, em três grupos di-ferentes)?

nas quais se formam dois pares (duas cartas em um c) grupo, duas em outro grupo e uma em um terceiro grupo)?

nas quais se forma uma trinca (três cartas em um d) grupo e as outras duas em dois outros grupos di-ferentes)?

nas quais se forma um “four” (quatro cartas em um e) grupo e uma em outro grupo)?

nas quais se forma um “full hand” (três cartas em f) um grupo e duas em outro grupo)?

nas quais se forma uma sequência (cinco cartas de g) grupos consecutivos, não sendo todas do mesmo naipe)?

nas quais se forma um “flush” (cinco cartas do h) mesmo naipe, não sendo elas de cinco grupos consecutivos)?

nas quais se forma um “straight flush (cinco cartas i) de grupos consecutivos, todas do mesmo naipe)?

nas quais se forma um “Royal straight flush” (10, j) valete, dama, rei e ás de um mesmo naipe)?

Uma faculdade realiza seu vestibular em dois dias de 28. provas, com provas de quatro matérias em cada dia. Este ano a divisão foi: Matemática, Português, Biologia, Inglês no primeiro dia, e Geografia, História, Física e Química no segundo dia. De quantos modos pode ser feito o calendário de provas?

Sejam I29. m = {1, 2, ..., m} e In = {1, 2, ..., n}, com m n. Quantos são as funções f: Im → In estritamente cres-centes?

(MACKENZIE) A partir de um grupo de 12 professores, 30. quer se formar uma comissão com um presidente, um relator e cinco outros membros. O número de formas de se compor a comissão é:

12 772a)

13 024b)

25 940c)

33 264d)

27 764e)

Quantos são os números naturais de sete dígitos nos 31. quais o dígito 4 figura exatamente três vezes e o dígito 8 exatamente duas vezes?

(UNIRIO) Um grupo de nove pessoas, dentre elas os 32. irmãos João e Pedro, foi acampar. Na hora de dormir montaram três barracas diferentes, sendo que, na primei-ra, dormiram duas pessoas; na segunda, três pessoas; e, na terceira, as quatro restantes. De quantos modos diferentes eles se podem organizar, sabendo que a única restrição é a de que os irmãos João e Pedro NÃO podem dormir na mesma barraca?

1 260a)

1 225b)

1 155c)

1 050d)

910e)


12 EM

_V_M

AT

_013

(Escola Naval) Considere um conjunto C de 20 pontos 33. no espaço que tem um subconjunto C1 formado por oito pontos coplanares. Sabe-se que toda vez que quatro pontos de C são coplanares, então eles são pontos de C1. Quantos são os planos que contêm pelo menos três pontos de C?

(UFMG) Um teste é composto por 15 afirmações. Para 34. cada uma delas, deve-se assinalar, na folha de respostas, uma das letras V ou F, caso a afirmação seja, respecti-vamente, verdadeira ou falsa.

A fim de se obter, pelo menos, 80% de acertos, o número de maneiras diferentes de se marcar a folha de respostas é:

455a)

576b)

560c)

620d)

(CESGRANRIO) As retas t e s são paralelas. Sobre t são 35. marcados quatro pontos distintos, enquanto que sobre s são marcados n pontos distintos. Escolhendo-se ale-atoriamente um dentre todos os triângulos que podem ser formados com três desses pontos, a probabilidade de que este tenha um de seus lados contido em s é de 40%. O total de pontos marcados sobre estas retas é:

15a)

12b)

9c)

8d)

7e)

O conjunto A possui p elementos e o conjunto B possui 36. n elementos. Determine o número de funções f: A B sobrejetivas para:

p = n;a)

p = n + 1;b)

p = n + 2..c)

De quantos modos podemos selecionar p elementos 37. do conjunto {1, 2, ..., n} sem selecionar dois números consecutivos?

(IME) Cinco rapazes e cinco moças devem posar para 1. fotografia, ocupando cinco degraus de uma escadaria, de forma que em cada degrau fique um rapaz e uma moça. De quantas maneiras distintas podemos arrumar este grupo?

(FUVEST) Um vagão de metrô possui 10 bancos in-2. dividuais, sendo cinco de frente e cinco de costas. De 10 passageiros, quatro preferem sentar de frente, três preferem sentar de costas e os demais não tem prefe-rência. De quantos modos os passageiros podem se sentar, respeitando-se as preferências?

(UFRJ) De quantos modos podemos organizar a tabela 3. da 1.ª rodada de um campeonato de futebol com 12 clubes?

(ELITE) De quantos modos podemos colocar dois reis 4. diferentes em casas não-adjacentes de um tabuleiro 8 x 8?

(AMAN) O número de múltiplos de três, com quatro 5. algarismos distintos, escolhidos entre 3, 4, 6, 8 e 9 é:

24a)

36b)

48c)

72d)

96e)

Ao escrevermos todos os números inteiros de 1 até 6. 2 222, quantas vezes escrevemos o algarismo zero?

(UFRJ) Quantos números de quatro algarismos po-7. demos formar nos quais o algarismo 2 aparece ao menos uma vez?

(UNICAMP) Um torneio de futebol foi disputado por 8. quatro equipes em dois turnos, isto é, cada equipe jogou duas vezes com cada uma das outras. Pelo regulamento do torneio, para cada vitória são atribuídos três pontos ao vencedor e nenhum ponto ao perdedor. No caso de empate, um ponto para cada equipe. A classificação final no torneio foi a seguinte:

Classificação Equipe Número de pontos1.o lugar A 13

2.o lugar B 11

3.o lugar C 5

4.o lugar D 3

Quantas partidas foram disputadas em todo o tor-a) neio?

Quantos foram os empates?b)

Construa uma tabela que mostre o número de vi-c) tórias, de empates e de derrotas de cada uma das quatro equipes.

(ELITE) De um baralho comum de 52 cartas, extrai- 9. -se, sucessiva mente e sem reposição, duas cartas. De quantos modos isto pode ser feito se:


13EM

_V_M

AT

_013

a primeira carta é uma dama e a segunda carta não é a) um rei?

a primeira carta é uma dama e a segunda carta não b) é de espadas?

a primeira carta é de espadas e a segunda carta c) não é uma dama?

Um curso de línguas oferece aulas de Inglês, Espanhol 10. e Francês, cada uma dessas línguas com duas aulas semanais, cada uma destas duas aulas em dias dis-tintos, escolhidos dentre segunda-feira, quarta-feira e sexta-feira. De quantos modos distintos podemos fazer o horário semanal?

Escrevem-se números de cinco dígitos (inclusive os 11. começados por zero) em cartões. Como 0, 1 e 8 não se alteram de cabeça para baixo, e como 6 de cabeça para baixo se transforma em 9, um só cartão pode representar dois números (por exemplo 06198 e 86190). Qual o número mínimo de cartões para representar todos os números de cinco dígitos?

O número de pares de inteiros positivos (m,n) para os 12. quais 1 + 2! + 3! + ... + n! = m2 é igual a :

1a)

2b)

3c)

4d)

5e)

O algarismo das dezenas do número N = 1 + 2! + 3! + 13. ... + 1 999! é igual a :

1a)

3b)

5c)

7d)

9e)

O valor de n tal que 14. é :

10a)

12b)

14c)

16d)

18e)

A solução da equação 15. é :

6a)

7b)

9c)

10d)

11e)

Considere as afirmativas :16.

1) 1. O número é múltiplo de 7 .

2) 2. O número 999! é maior que 500999.

3) 3. O número 2 0002000 é menor que (2 000!)2.

Assinale :

Se somente a primeira for verdadeira.a)

Se somente a segunda for verdadeira.b)

Se somente a terceira for verdadeira.c)

Se todas forem verdadeiras.d)

Se todas forem falsas.e)

Um casal queria ter seis filhos.17.

De quantas maneiras eles podem ter dois meninos e quatro meninas?

A soma 18. pode ser colocada

sob a forma onde a e b são inteiros positivos. O valor

de a + b é igual a:

11a)

13b)

15c)

17d)

19e)

(IME) De quantos modos podemos decompor 12 obje-19. tos distintos em três grupos de quatro objetos?

(ELITE) De quantos modos podemos decompor 15 20. objetos distintos em cinco grupos, sendo dois grupos com dois objetos, dois grupos com três objetos, e um grupo com cinco objetos?

(ELITE) Sobre uma circunferência existem n pontos 21. distintos. Quantos polígonos, não necessariamente convexos, podemos construir tendo para vértices esses n pontos?

(UFRJ) Sejam os conjuntos E = {x22. 1, x2, ..., xn} e F = {y1, y2, ..., yn}. Quantas aplicações bijetoras podem ser definidas de E em F?

(ELITE) De quantos modos é possível dividir 15 “pernas 23. de pau” em três times de cinco deles?

(ITA) O número de anagramas da palavra VESTIBULAN-24. DO, que não apresentam as cinco vogais juntas, é:


14 EM

_V_M

AT

_013

12!a)

(8!) (5!)b)

12! – (8!) (5!)c)

12! – 8!d)

12! – (7!) (5!)e)

(VUNESP) Quatro amigos vão ocupar as poltronas a, b, 25. c, d de um ônibus, dispostas na mesma fila horizontal, mas em lados diferentes em relação ao corredor, con-forme a ilustração.

a b c d

CORREDOR

Dois deles desejam sentar-se juntos, seja do mesmo lado do corredor, seja em lados diferentes. Nessas condições, de quantas maneiras distintas os quatro podem ocupar as poltronas referidas, considerando-se distintas as posições em que pelo menos dois dos amigos ocupem poltronas diferentes?

24.a)

18.b)

16.c)

12.d)

6.e)

(FGV) Um processo industrial deve passar pelas etapas 26. A, B, C, D e E.

Quantas sequências de etapas podem ser delinea-a) das se A e B devem ficar juntas no início do processo e A deve anteceder B?

Quantas sequências de etapas podem ser delinea-b) das se A e B devem ficar juntas, em qualquer ordem, e não necessariamente no início do processo?

(ENEM) Em um concurso de televisão, apresentam-se 27. ao participante três fichas voltadas para baixo, estando representadas em cada uma delas as letras T, V e E. As fichas encontram-se alinhadas em uma ordem qualquer. O participante deve ordenar as fichas a seu gosto, mantendo as letras voltadas para baixo, tentando obter a sigla TVE. Ao desvirá-las, para cada letra que esteja na posição correta ganhará um prêmio de R$200,00.

A probabilidade de o PARTICIPANTE não ganhar qualquer prêmio é igual a:

0a)

1

3b)

1

4c)

1

2d)

1

6e)

De quantas maneiras podemos distribuir n objetos dife-28. rentes em duas caixas diferentes, de modo que nenhuma caixa fique vazia?

Onze cientistas trabalham num projeto sigiloso. Por 29. questões de segurança, os planos são guardados em um cofre protegido por muitos cadeados de modo que só é possível abri-los, todos, se houver pelo menos cinco cientistas presentes.

Qual é o número mínimo possível de cadeados?a)

Na situação do item a), quantas chaves cada cien-b) tistas deve ter?

Em uma escola os professores se distribuem em oito 30. bancas examinadoras de modo que cada professor par-ticipa de exatamente duas bancas e cada duas bancas têm exatamente um professor em comum.

Calcule quantos professores há em cada banca.

(IME) De quantas maneiras se pode escolher três nú-31. meros distintos do conjunto A = {1,2,3,...,50} de modo que sua soma seja um múltiplo de 3?

De quantas maneiras se pode escolher três números 32. naturais distintos de 1 a 30, de modo que a soma dos números escolhidos seja par?

Uma fila tem 20 cadeiras, nas quais devem sentar-se oito 33. meninas e 12 meninos. De quantos modos isso pode ser feito se duas meninas não devem ficar em cadeiras contíguas?

Convenciona-se transmitir sinais luminosos de uma ilha 34. para a costa por meio de seis lâmpadas brancas e seis vermelhas, colocadas nos vértices de um hexágono regular, de tal modo que:

em cada vértice haja duas lâmpadas de cores di-a) ferentes;

em cada vértice não haja mais do que uma lâm-b) pada acesa;

o número mínimo de vértices iluminados seja 3.c)

Determinar o número total de sinais que podem ser transmitidos.

Quantos são os números do conjunto {100, 101, 102, ..., 35. 999} que possuem três algarismos distintos em ordem crescente ou decrescente?


15EM

_V_M

AT

_013

120a)

168b)

204c)

216d)

240e)

(VUNESP) Nove times de futebol vão ser divididos em 36. três chaves, todas com o mesmo número de times, para a disputa da primeira fase de um torneio. Cada uma das chaves já tem um cabeça-de-chave definido. Nessas condições, o número de maneiras possíveis e diferentes de se completarem as chaves é:

21a)

30b)

60c)

90d)

120e)

Um novo tipo de cadeado com dez botões está sendo 37. comercializado, onde para abri-lo devemos pressionar – em qualquer ordem – os cinco botões corretos. O exem-plo abaixo mostra um cadeado com a combinação {1, 2, 3, 6, 9}. Supondo que novos cadeados sejam criados de modo que suas combinações incluam desde um até nove botões pressionados, o número de combinações adicionais que isto permite é:

710a)

730b)

750c)

770d)

790e)


16 EM

_V_M

AT

_013

1.

158 184 000a)

1/26 = 3,85 %b)

2.

90 000a)

13 440b)

13 776c)

29 889d)

900e)

D3.

2 0484.

2 916.5.

B6.

7.

3 831 808 com repetição de letras.a)

3 991 680 anagramas de sete letras distintas, dentre b) as doze, sem repetição.

2 328 480 sequências de sete letras que con-c) cluem a letra e.

12d) 6 + 11 x 125 + 112 x 124 + 113 x 123 + 114 x 122 + 115 x 12 + 116

20 736.e)

D8.

29. 100 = (210)10 (103)10 = 1030

1210.

711.

1n! -

1(n+1)! = n + 1 - 1

(n+1).n! = n

(n+1)!12.

13.

114. 25


17EM

_V_M

AT

_013

15. a)

b)

E16.

B17.

C18.

E19.

3 999 96020.

42021.

46 721 e 2.22.

A23.

D24.

B25.

1726.

27.

a) = 201 376.

10b) 7 520.

48 384.c)

10 752.d)

224.e)

1 344.f)

4 080.g)

208.h)

16.i)

4.j)

70.28.

29. .

D30.

12 960.31.

E32.

1 085.33.

B34.

E35.

36.

n!.a)

b) .

c)

37. .

10 x 8 x 6 x 4 x 2 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 460 8001.

43 200.2.

10 395. (ou 665 280 se considerarmos A x B 3. ≠ B x A)

240 + 1 392 + 1 980 = 3 612.4.

D5.

222+ 220 + 200 = 642.6.

3.168 números7.

8.

12a)

4b)

Observe a figura a seguirc)

Equipe Vitórias Empates DerrotasA 4 1 1

B 3 2 1

C 1 2 3

D 0 3 3

9.

4 x 47 = 188.a)

1 x 39 + 3 x 38 = 153.b)

1 x 48 + 12 x 47 = 612.c)

3 x 2 x 2 x 2 x 1 x 2 x 1 = 4810.

1011. 5 – 55 + 55 – 752

+ 75 = 98 475.

B {(12. 1;1) ; (3;3)}

A13.

A14.

B15.


18 EM

_V_M

AT

_013

C16.

1517.

E18.

19.

20.

21. .

n!22.

23. .

C24.

D25.

26.

6 sequênciasa)

48 sequênciasb)

B27.

228. n – 2

29.

a) .

b) .

30. , professores no total.

Cada banca possui sete professores.

6 54431.

2 030 maneiras32.

33. .

25634.

C 35. 93

+ 103

= 204

crescentes decrescentes

D36.

[1 022 - 105

] = 77037.


19EM

_V_M

AT

_013


20 EM

_V_M

AT

_013


1EM

_V_M

AT

_014

Análise Combinatória: Permutação, Combinação e Binômio de Newton

Permutações com repetições

Exemplo 1: `

Quantas arrumações podem ser feitas com as seis letras b, a, n, a, n, a?

Formaremos as arrumações escolhendo primeiro as três

posições em que os a’s ficarão, isto é

206

3= maneiras.

Agora, vamos escolher as suas posições (entre as três

remanescentes) em que os n’s ficarão, isto é

33

2 =

maneiras e, finalmente, na última posição fica o b. Dessa

maneira, existem 20 . 3 . 1 = 60 arrumações.

Teorema: se existem n objetos dos quais k1 são do tipo 1, k2 são do tipo 2, ..., e km são do tipo m, onde k1 +

k2 + ... + km = n, então o número de arrumações destes n objetos denotado por P(n; k1, k2, ..., km) é

=

2

1

1m21 k

k-n

3

2

kk-k1-n

m

m

kk-k1...-n...

kn

)k,...,k,k;n(P

!!...kk!kn!

m21

=

Demonstração: Além do argumento utilizado no exemplo acima, escolhendo as posições para um dos tipos dentre aquelas que restarão, podemos provar o teorema anterior da seguinte forma:

Suponhamos que para cada tipo dos ki objetos do tipo i sejam dados índices 1, 2, 3, ..., m, tornado-os distintos. Existem, nesse caso n! arrumações destes n objetos distintos. Enumeremos n! arrumações de objetos distintos, relacionando todas as P(n; k1, k2, ..., km) disposições (sem índices) dos objetos e, então, para cada disposição são colocados os índices de todos os modos possíveis. Por exemplo, da disposi-ção baanna os índices podem ser colocados nos a’s de 3! maneiras:

b a1 a2 n n a3b a2 a1 n n a3 b a3 a1 n n a2

b a3 a2 n n a1b a1 a3 n n a2 b a2 a3 n n a1


2 EM

_V_M

AT

_014

Para cada uma dessas 3! formas de indexar os a’s, existem 2! maneiras para indexar os n´s. Em geral, uma disposição qualquer terá k1! modos de indexar os k1 objetos do tipo 1, k2! modos para o tipo 2, ..., km modos para o tipo n. Então

ou!k!...k!k.)k...,,k,k;n(P!n m21m21=

!k...!k!k

!n)k...,,k,k;n(P

m21m21 =

Combinações com repetição

Exemplo 2: `

de quantas formas diferentes podemos comprar seis cachorros-quentes, escolhendo entre três variedades distintas?

Para resolver problemas de escolhas com repetição, precisamos fazer uma correspondência com um problema relacionado a uma escolha sem repetição. Suponhamos que as três variedades sejam sem mo-lho, com molho e completo, e que a atendente tenha anotado o seguinte pedido

sem molho com molho completo

x xxxx x

Se cada x representa um cachorro-quente, então o pedido acima significa um sem molho, quatro com molho e um completo. Uma vez que todos os aten-dentes saibam que esta é a sequência dos pedidos de cachorros-quentes (sem molho, com molho, com-pleto), podemos omitir os nomes das variedades es-crevendo apenas x | xxxx | x. Assim, qualquer pedido de k cachorros-quentes consiste numa sequência de k x’s e dois |’s. Reciprocamente, toda sequência de k x’s e dois |’s representa um pedido: os x’s antes do primeiro | representa o número de cachorros sem molho: os x’s entre os dois |’s representa o número de cachorros com molho e os x’s finais representam o número de cachorros completos. Deste modo, existe uma correspondência um a um entre pedidos e tais sequências, mas o número de encadeamento de seis x’s e dois |’s é simplesmente o número de escolhas de duas posições na ordem para os |’s. Por isso, a

resposta é

.28

82

=

Teorema: o número de escolhas com repetição

de k objetos dentre n tipos de objetos é

−+k

1nk

Demonstração: Como fizemos anteriormente, os x’s antes do primeiro | conta o número de objetos do primeiro tipo, os x’s entre o primeiro e o segundo |’s conta o número de objetos do segundo tipo, ..., e os x’s após o (n – 1) – ésimo| conta o número de objetos do n-ésimo tipo ( n – 1 traços são necessários para separar

n tipos). O número de sequências com k x’s e (n – 1) |’s

é

−+k

1)(nk

DistribuiçõesGeralmente um problema de distribuição é

equivalente a um problema de arrumação ou de escolha com repetição. Problemas especializados de distribuição devem ser divididos em subcasos que possam ser contados por intermédio de permutações e combinações simples. Um roteiro geral para modelar problemas de distribuição é: distribuições de objetos distintos correspondem a arrumações e distribuições de objetos idênticos correspondem a escolhas.

Dessa maneira, distribuir k objetos distintos em n urnas diferentes é equivalente a colocar os objetos em linha e atribuir o nome de cada uma das n diferentes urnas em cada objeto. Assim, existem

k vezesn . n . n . ... n = nk distribuições. Se ki objetos devem ir

para a urna i, existem P(n; k1, k2, ..., kn) distribuições.

Por outro lado, o processo de distribuir k objetos idênticos em n urnas distintas é equivalente a escolher um subconjunto (não-ordenado) de k nomes de urnas, com repetição, entre as n escolhas de urnas. Assim,

existem 1)!(nk!1)!n(k

k

1nk

−−+

=

−+

distribuições.

Os problemas de escolhas com repetição podem ser formulados de três formas equivalentes, a saber:

O número de maneiras de escolhermos k ob-1) jetos com repetição dentre n tipos de objetos diferentes.

O número de formas de distribuir k objetos 2) idênticos em n urnas distintas.

O número de soluções inteiras não-negativas 3) da equação x1 + x2 + ... + xn = k.

É importante que sejamos capazes de rees-crever um dado problema enunciado em uma das


3EM

_V_M

AT

_014

formas acima sob as outras duas. Muitos acham a versão 2 o meio conveniente de olhar para tais pro-blemas em virtude de sua distribuição ser mais fácil de visualizar (na cabeça de alguém). Além disso, o argumento original com pedido de cachorros- -quentes, que utilizamos para deduzir fórmula para escolhas com repetição, foi na realidade um modelo de distribuição. A versão 3 é a mais geral (e mais abstrata) do problema.

Permutações circularesConsideremos n objetos distintos e disponha-

mos esses n objetos em torno de um círculo.

Se n > 3, podemos imaginar esses objetos situ-ados nos vértices de um polígono, por exemplo um polígono regular.

O quadro abaixo apresenta as disposições dos objetos A, B, C, D em torno de um círculo.

A

D

C

B A C

B

D

B

A

C

D

B

A

D

C

A

D

B

C

D

A

C

B

B

D

A

C

C

B

D

A

A

C

D

B

B

A

C

D

D

B

A

C

C

D

B

A

A

A

A

B

B

B

C

C

C

D

D

D

C

C

C

A

A

A

D

D

D

BB

D

D

D

A

A

B

A

B

B

B

C

C

C

A

A

A

B

B

B

C

C

C

D

D

D

Observamos, então, que:

A 1.ª coluna do quadro foi obtida fixando-se o objeto A e permutando-se os objetos B, C, D de todos os modos possíveis, isto é, 3!=6 modos. Em cada linha uma disposição pode ser obtida de outra por uma rotação conveniente e dadas duas disposições em linhas diferentes, nenhuma pode ser obtida da outra por qualquer rotação.

Assim, chama-se permutação circular de n obje-tos distintos qualquer disposição desses objetos em torno de um círculo e duas permutações circulares são indistinguíveis se, e somente se, uma pode ser obtida a partir da outra por uma rotação convenien-

te, como por exemplo duas permutações quaisquer de uma mesma linha do quadro. Diremos ainda que duas permutações circulares são distinguíveis se, e somente se, uma não pode ser obtida da outra por qualquer rotação como, por exemplo, duas permuta-ções quaisquer em linhas diferentes do quadro.

Portanto, no cálculo das permutações circula-res interessa apenas a posição relativa dos objetos entre si, isto é, o número de permutações circulares distinguíveis.

O número de permutações circulares de n obje-tos, denotado por (PCn), é igual a n!/n, isto é

)!1n(n

!n)PC( n −==

Consideremos o produto indicado:

(a + b + c)(m + n)(x + y + z + w)

Para se formar um termo do produto indicado acima, devemos escolher uma parcela em cada um dos polinômios e efetuar o produto das mesmas.

Assim, por exemplo, escolhendo a parcela b no primeiro polinômio, n no segundo e z no terceiro, for-mando o termo bnz, do desenvolvimento do produto.

Alguns outros termos do desenvolvimento do produto acima são:

amx, anw, cmy etc.

Desenvolvimento de (x + a)n; n IN

Consideremos a igualdade:

(x + a)n = (x + a)(x + a) ... (x +a) (1)

Para se formar um termo do produto (x + a).(x + a) ... (x +a) devemos escolher uma parcela em cada um dos n fatores x +a e efetuar o produto das mesmas.

Por exemplo, se escolhermos p letras a em p dos n binômios, e n – p letras x dos n – p binômios restantes, então um termo genérico do desenvolvi-mento de (x + a)n é da forma:

n

p n-p

n pp

a a ...a x x ... x a x com p 0,1,2,..., n (2)-

= =6447448

123123

O número de termo da forma (2) é, então, igual ao número de modos de escolhermos p letras a n binômios, x +a, isto é, p

nC .

Por conseguinte, reduzindo todos os termos da forma apxn–p, encontramos um único termo, a saber:

pnC apxn–p (3)

Finalmente, fazendo em (3) p variar de 0 até n, encontramos todos os termos (reduzidos) do desen-volvimento de (x + a)n.


4 EM

_V_M

AT

_014

Então,

pnppn

n

0p

n xaC)ax( −

=∑=+

Expandindo o somatório acima, temos:

++++

++=+−−−

−−− ...

xCxaC

xaCxaCxaC)ax(1nn

n11n1n

n

2n22n

1n11n

0n00n

n

ou ainda,n n 1 n 1 2 2 n 2 n 1 n 1 n

n n n(x a) x C a x C a x ... C a x a- - - -+ = + + + + + (I)

que é denominada Fórmula de Newton.

Termo geral do desenvolvimento de (x + a)n

Todos os termos do desenvolvimento de (x + a)n são obtidos de p–npp

n xaC quando fazemos neste termo, p variar de 0 a n.

Por esse motivo, p–nppn xaC é chamado de termo

geral.

Designado o 1.º, 2.º, 3.º, ... termos do desenvol-vimento de (x + a)n respectivamente por T1, T2, T3, ..., podemos observar que:

para p = 0 obtemos n00n1 xaCT =

para p = 1 obtemos 1n11n2 xaCT −=



Isto é, a ordem de cada termo é igual à taxa da com- binação correspondente mais 1. Como a taxa da combinação do termo geral é p, segue-se que este termo é de ordem p + 1. Isto é,

pnppn1p xaCT −

+ = (II)

Desenvolvimento de (x – a)n, n IN

Substituindo-se, em (I), a por (–a), temos:n n 1 n 1 2 2 n 2 n 1 n 1 n

n n n(x a) x C ( a) x C ( a) x ... C ( a) x ( a)- - - -- = + - + - + + - + -

Mas, tendo em vista que:

(–a)P = (–1 . a)P = (–1)PaP

n n 1 n 1 2 2 n 2 n 1 n 1 nn n n(x a) x C ( a) x C ( a) x ... C ( a) x ( a)- - - -- = + - + - + + - + -

obtemos finalmente:nn1n

n1n2n22

n1n1

nnn a)1(xC)1(...xaCaxCx)ax( −+−+−+−=− −−−−

(III)

Termo geral da (III)Para se obter o termo geral da (III), substituímos,

em (II), a por –a, obtendo:

Tp+1 = (–1)p CPn a

p xn-P (IV)

Propriedades do desenvolvimento de (x + a)n

1.ª PropriedadeO desenvolvimento de (x + a)n tem n+1 ter-

mos, pois é um polinômio cujos coeficientes são:nn

2n

1n

0n C...,,C,C,C

2.ª PropriedadeOs coeficientes de dois termos equidistantes

dos extremos são iguais.De fato. Sejam Tp+1 e Tq+1 termos equidistantes

dos extremos, onde q deve ser determinado a partir de n e p.

Consideremos o esquema:+

+ = + + + + ++ +

64444444744444448n 1

n n n(x a) x ... T ... T ...ap 1 q 1

Então,q +1 +p = n + 1 q = n – p Tq+1 = T’n–p+1

Por conseguinte, temos:

coeficiente de pnC 1pT =+

coeficiente de n –pnC n – p + 1T =

Mas, pnCp– n

nC = (combinações complementares) e, portanto, os coeficientes de dois termos equidis-tantes dos extremos são iguais.

Quando n é ímpar, n +1 é par e o desenvolvi-mento de (x +a)n tem n +1

2 pares de dois termos

com coeficientes iguais.


5EM

_V_M

AT

_014

3.ª PropriedadeA soma dos coeficientes de (x + a)n é 2n.

De fato, fazendo em

,nax1–na1–nnC...2–nx2

nC1–nax1nCnxna)(x +++++=+

x = a = 1, temos:1C...CC11)(1 1n–

n2n

1n

n +++++=+ oun2n

nC1–nnC...2

nC1nC0

nC =+++++

4.ª PropriedadeNo desenvolvimento de (x + a)n a soma dos

coeficientes dos termos de ordem ímpar é igual à soma dos coeficientes dos termos de ordem par.

De fato, fazendo em

++++++=+ −−−−− 22n2nn

3n33n

2n22n

1n1n

nn xaC...xaCxaCaxCx)ax(n1n1n

n axaC ++ −−

x = 1 e a = –1, temos:n1n

n1n2n

n2n3

n2n

1n

n )1(C)1(C)1(...CCC1)11(0 −+−+−++−+−=−= −−−−

...CCC...CCC 5n

3n

1n

4n

2n

0n ++++++= )(−

Corolário

A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (x – a)n é 0.

A figura abaixo representa o mapa de uma cidade, na 1. qual há sete avenidas na direção norte-sul e seis aveni-das na direção leste-oeste.

A

B

C

Quantos são os trajetos de comprimento mínimo, a) ligando o ponto A ao ponto B?

Quantos desses trajetos passam por b) C?

Solução: `

Para ir de A até B, deve-se andar para a direita seis a) vezes e para cima cinco vezes. O número de ordens

em que isso pode ser feito é 462.6!5!11!

P 6,511 ==

Outra Resposta:

Para ir de A até B, deve-se andar para a direita seis vezes e para cima cinco vezes, num total de 11 “passos”. O número de ordens em que isso pode ser feito é o número de modos de escolher quais seis dos 11 “passos” serão dados para a direita,

462

6!5!11!

C611 == .

Para ir de A até C, deve-se andar para a direita qua-b) tro vezes e para cima quatro vezes. O número de ordens em que isso pode ser feito é 4,4

8P . Para ir de C até B, deve-se andar para a direita duas vezes e para cima uma vez. O número de ordens em que isso pode ser feito é 2,1

3P .

A resposta é 4,48P .

2,13P = 70 x 3 = 210.

Outra Resposta:

Para ir de A até C, deve-se andar para a direi-ta quatro vezes e para cima quatro vezes. O nú-mero de ordens em que isso pode ser feito é o número de modos de escolher quais quatro dos oito “passos” serão dados para a direita, 4

8C . Para ir de C até B, deve-se andar para a direita duas ve-zes e para cima uma vez. O número de ordens em que isso pode ser feito é o número de modos de escolher quais dois dos três “passos” serão dados para a direita, 2

3C .

A resposta é 48C . 2

3C = 70 x 3 = 210.

Quantos números de sete dígitos, maiores que 2. 6 000 000, podem ser formados usando apenas os algarismos 1,3,6,6,6,8,8?

Solução: `

1802!2!1!1!

6!P 2,2,1,1

6 == números começados por 6 e

1203!1!1!1!

6!P 3,1,1,1

6 == números começados por 8.

A resposta é 180 + 120 = 300.

Dada a equação x3. 1 + x2 + x3 = 7, calcule:

o número de soluções inteiras positivas.a)

o número de soluções inteiras não-negativas.b)


6 EM

_V_M

AT

_014

Solução: `

Podemos identificar o problema do cálculo do nú-a) mero de soluções inteiras positivas dessa equação com o seguinte problema:

Escrevendo-se em fila sete algarismos iguais a 1, de quantos modos podemos separar esses algarismos em três grupos, onde cada grupo contém pelo me-nos um algarismo?

1 1 1 1 1 1 1

Observemos que entre os sete algarismos há seis espaços; se colocarmos elementos de separação (como barras verticais) em dois desses espaços, obteremos uma disposição correspondente a uma solução da equação dada. Assim, por exemplo, a disposição:

1 | 1 1 1 1 | 1 1

corresponde à solução (1, 4, 2).

Reciprocamente, cada solução inteira positiva da equação corresponde a um modo de se colocar as duas barras em dois dos seis espaços.

Por exemplo, a solução (2, 3, 2) corresponde à dis-posição:

1 1 | 1 1 1 | 1 1

Então, o número de soluções inteiras positiva da equação

x1 + x2 + x3 = 7

é igual ao número de modos de se escolher dois dos seis espaços, para se colocar as duas barras, isto é:

152

6=

Um raciocínio análogo para a equação

x1 + x2+ ... + xn = k(k natural)

nos fornece o número de soluções inteiras positi-vas:

−−1n

1k

Com efeito, supondo escritos em fila n algarismos iguais a 1, devemos separá-los em n-grupos, tendo cada grupo pelo menos um algarismo.

1 1 1 1 1 1 ... 1

Basta, então, escolher n-1 dos k-1 espaços entre os algarismos para se colocar as n-1 barras, o que pode

ser feito de

−−1n

1k

modos.

Se n = k, a equação x1 + x2+ ... + xn = k possui uma única solução, e se n > k a equação não possui so-lução inteira positiva.

Seja ainda a equação xb) 1 + x2+ x3 = 7 e determi-nemos, agora, o número de soluções inteiras não-negativas, Isto é, soluções como

(7, 0, 0), (5, 1, 1), (4, 2, 1), (0, 2, 5) etc.

Suponhamos escritas todas estas soluções em uma mesma coluna, e somente uma unidade a cada in-teiro dessas soluções, obtendo soluções inteiras po-sitivas de uma nova equação.

x1 + x2+ x3 = 10

Quantos anagramas da palavra ARATACA começam 4. por consoante?

Solução: `

Seja o esquema:

7651 PPPPPP 432P

Acontecimentos N.º de ocorrênciasA1: escolha de umaconsoante para ocupar a posição P1

3

A2: ocupação das seis posições restantes pelas seis letras restantes, após ter ocorrido A1.

1.1.46P

Pelo princípio multiplicativo o número pedido é:

904!1!1!

6!3P3 114

6 =⋅

=⋅ ⋅⋅

De quantos modos cinco meninos e cinco meninas po-5. dem formar uma roda de ciranda de modo que pessoas de mesmo sexo não fiquem juntas?

Solução: `

Há (PC)5 = 4! modos de formar uma roda com as me-ninas. Depois disso, os cinco meninos devem ser postos nos cinco lugares entre as meninas, o que pode ser feito de 5! modos.

A resposta é 4! x 5! = 24 x 120 = 2 880


7EM

_V_M

AT

_014

Uma pulseira deve ser cravejada com um rubi, uma 7. esmeralda, um topázio, uma água-marinha, uma turma-lina e uma ametista. De quantos modos isso pode ser feito, supondo:

que a pulseira tem fecho e um relógio engasta-a) do no fecho;

que a pulseira tem fecho;b)

que a pulseira não tem fecho e o braço só pode c) entrar na pulseira em um sentido;

que a pulseira não tem fecho e o braço pode d) entrar na pulseira nos dois sentidos.

Solução: `

As seis pedras devem ser postas em 6 lugares.a)

A resposta é P6 = 6! = 720.

Agora, a pulseira pode entrar no braço de dois b) modos dife rentes, de modo que uma mesma pulseira pode, colocada no braço, apresentar pedras na ordem ABCDEF ou FEDCBA.

A resposta é 720/2 = 360.

Sem o fecho, a pulseira pode rodar no braço.c)

A resposta é (PC)6 = 5! = 120.

Agora, a pulseira pode entrar no braço de dois d) modos dife rentes, de modo que uma mesma pulseira pode, colocada no braço, apresentar pedras na ordem ABCDEF ou FEDCBA.

A resposta é 120/2 = 60.

Solução: `

Pela fórmula (III), temos:

2 5 2 5 1 2 4 2 2 2 3 3 3 2 25 5 5

4 4 2 55

10 8 6 2 4 3 2 4 5

(2x - y) = (2x ) - C y(2x ) + C y (2x ) - C y (2x ) +

C y (2x )- y =

32x -80x y +80x y - 40x y +10x y - y

Calcule o 5.º teb) rmo do desenvolvimento de 8

2

x1

yx21

−

Solução: `

Neste caso, n = 8 e p + 1 = 5 . ⋅ . p = 4.

Termo geral: pnppn

p1p xaC1)(T −+ −=

Por conseguinte,

444

24

48

45 yx

835

yx21

x1

C(–1)T =

=

Calcule, sem desenvolver, o termo independente de x 9.

de 14

3x

2–43x

Solução: `

Termo geral:

7p–56.xp–14.3p.2p14Cp(–1)

3p–4p–56.xp–14.3p.2p14Cp(–1)

p–14)4(3xp

3x

2p14Cp(–1)

p–nxpapnCn(–1)1pT

=

=

=

=+

Para que o termo seja independente de x, deve-se ter:

8p07p–56 =∴=

Logo, o termo pedido é:

68814

68814

89 3.2.C3.2.C1)(T =−=

De quantos modos n casais podem formar uma roda 6. de ciranda de modo que cada homem permaneça ao lado de sua mulher?

Solução: `

Há (PC)n = (n – 1)! modos de formar uma roda com as n mulheres. Depois disso, para cada um dos n maridos há dois modos de entrar na roda: à direita ou à esquerda de sua mulher.

A resposta é (n – 1)!2n.

8.

Desenvolver (2xa) 2 –y)5

(UFES-2001) Uma agência bancária cadastra as con-10. tas de seus clientes usando um número N de quatro algarismos, seguido de um dígito de controle, o qual é definido como o resto da divisão de N11 por 7. Por exemplo, na conta 2001-6, o algarismo de controle 6 é o resto da divisão de (2001)11 por 7; isso pode ser comprovado escrevendo-se


8 EM

_V_M

AT

_014

2001 = 7 x 286 - 1

e, a seguir, utilizando o binômio de Newton para desenvolver a potência (7 x 286-1)11.

Por esse raciocínio, ou equivalente, o algarismo de controle da conta número 2003 é igual a:

1a)

2b)

3c)

4d)

5e)

Solução: ` A

2003 = 7 x 286 + 1

Pelo desenvolvimento do binômio de Newton o único que não é fator de 7 é o último, ou seja, 1.

De quantos modos n casais podem formar uma roda 13. de ciranda de modo que cada homem permaneça ao lado de sua mulher e que pessoas de mesmo sexo não fiquem juntas?

Usando as fórmulas, calcule os desenvolvimentos das 14. seguintes potências:

(x + a)a) 3

(x – a)b) 3

(x + a)c) 6

(x – a)d) 7

(3a + 2b)e) 5

(x – 2y)f) 7

Usando as fórmulas (II) ou (IV), calcule:15.

O 5.º termo de (x + 2y)a) 11

O 4.º termo de (1 – 2x)b) 12

O 3.º tc) ermo de

O 5.º termo de d)

O 6.º termo de e)

O 5.º termo de f)

Aplicando a Lei16. de formação dos termos, calcule o desenvolvimento dos seguintes binômios:

a)

(3x + 2y)b) 5

c)

d)

e)

(3af) 2 + 1)5

Determine o termo independente do desenvolvimento 17.

de

Determine os termos médios do desenvolvimento de 18.

Calcule sem desenvolver, o termo independente de x 19.

de .

Quantas são as soluções inteiras não-negativas de 1. x + y + z + w = 3?

Quantas são as soluções inteiras não-negativas de 2. x + y + z + w < 6?

Quantas são as soluções inteiras positivas de 3. x + y + z = 10?

Quantas são as soluções inteiras positivas de 4. x + y + z < 10?

Quantas são as peças de um dominó comum?5.

I6. m = {1, 2, ..., m} e In = {1, 2, ..., n}. Quantas são as funções f: Im In não decrescentes?

De quantos modos podemos colocar em fila sete letras 7. A, seis letras B e cinco letras C de modo que não haja duas letras B juntas?

Qual é o número máximo de termos de um polinômio 8. homogêneo do grau p com n variáveis?

Qual é o número máximo de termos de um polinômio 9. do grau p com n variáveis?

A fábrica X produz oito tipos de bombons, que são vendidos 10. em caixas de 30 bombons (de um mesmo tipo ou sortidos). Quantas caixas diferentes podem ser formadas?

De quantos modos podem ser pintados seis objetos 11. iguais usando três cores diferentes?

De quantos modos n crianças podem formar uma roda 12. de ciranda de modo que duas dessas crianças perma-neçam juntas? E de modo que p(p < n) dessas crianças permaneçam juntas?


9EM

_V_M

AT

_014

Calcule, sem desenvolver, o termo máximo de 20. .

Calcule, sem desenvolver, o termo 21. máximo de .

Quantos números inteiros entre 1 e 100 000 têm soma 1. dos algarismos igual a 6?

Quantas são as soluções inteiras não-negativas de 2. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 20 nas quais exatamente três incógnitas são nulas? Em quantas, pelo menos três são nulas?

Os números inteiros compreendidos entre 100 000 e 3. 999 999 são divididos em classes de modo que dois números diferentes estão na mesma classe se, e só se, eles têm os mesmos algarismos, diferindo apenas na ordem. Assim, por exemplo, 552 221 e 125 252 estão na mesma classe. Quantas classes são assim formadas?

Quantas são as soluções inteiras não-negativas de x + 4. y + z + w = 20 nas quais x > y?

Quantos inteiros entre 1 e 100 000, inclusive, têm a 5. propriedade: “cada dígito é menor ou igual ao seu sucessor”?

Uma urna contém n bolas, das quais devem ser esco-6. lhidas p bolas. Determine:

O número Aa) Pn de seleções ordenadas, se repetições

não são permitidas (essas seleções são denomina-das arranjos simples de classe p das n bolas);

O número de seleções desordenadas (isto é, sele-b) ções que só diferem pela ordem são consideradas iguais), se repetições não são permitidas;

O número ARc) Pn de seleções ordenadas, se repeti-

ções são permitidas (essas seleções são chama-das de arranjos completos de classe p das n bolas. Também são usados os nomes arranjos com repo-sição ou arranjos com repetição);

O número de seleções desordenadas, se repeti-d) ções são permitidas.

Sejam A e B conjuntos de números naturais com 7. #A = p e #B = n

Quantas são as funções f: A a) B?

Quantas são as funções injetoras f: A b) B?

Quantas são as funções f: A c) B estritamente cres-centes?

Quantas são as funções f: A d) B não-decrescentes?

Sugira uma definição formal para Ce) Pn, CRP

n, APn, ARP

n.

Seja A um conjunto com #A = n.8.

Quantas são as funções f: A a) A bijetoras?

Sugira uma definição formal para Pb) n.

De quantos modos podemos escolher três números, não 9. necessariamente distintos, no conjunto {1, 2, ..., 150} de modo que a soma dos números escolhidos seja divisível por 3? E se os números devessem ser distintos?

Quantas permutações de sete letras A e sete letras B, 10. nas quais não há três letras A adjacentes, existem?

De quantas maneiras é possível colocar seis anéis dife-11. rentes em quatro dedos?

São dados n pontos em círculo. Quantos n-ágonos 12. (não ne cessariamente convexos) existem com vértices nesses pontos?

De quantos modos cinco mulheres e seis homens podem 13. formar uma roda de ciranda de modo que as mulheres permaneçam juntas?

Quantos dados diferentes existem se a soma das faces 14. opostas deve ser 7?

Calcule, sem desenvolver, a soma dos coeficientes dos 15. termos de (2x - 3x2y2)17.

Determine o coeficiente de x16. 3 no desenvolvimento de: (2x – 3)4(x + 2)5

(CICE-70)17.

Sejam, a = 10150, b = 9950 + 10050. Pode-se afirmar que:

a > ba)

a < bb)

a = bc)

a = bd) 50

N.R.A.e)

Calcule a soma dos coeficientes dos termos de or-18. dem ímpar e a soma dos coeficientes dos termos de ordem par do desenvolvimento de: (2x – 3y)n.

Calcular o valor da seguinte soma:19.

Calcular o valor da seguinte soma:20.

Sendo n par, calcule o valor da seguinte soma:21.

Se k é par, calcule a soma: 22. .


10 EM

_V_M

AT

_014

Calcule a soma:23.

Prove que:24.

a)

b)

Calcule a soma: 25. n

p = 0

(–1)p 1p + 1

C pn

Calcul26. e a soma: n

p = 0

(–1)p–1 1p + 1

Cpn

Cal27. cule a soma: n

p = 0

2p+1C p

n

p + 1


11EM

_V_M

AT

_014

201.

1262.

363.

844.

285.

6.

1 7. 359 072

8.

9.

10 295 47210.

2811.

12.

2 . (n – 2)! e

p! . (n–p)!, respectivamente.

2 . (n–1)!.13.

14.

xa) 3 + 3ax2 + 3a2x + a3

xb) 3 - 3ax2 + 3a2x - a3

xc) 6 + 6ax5 + 15a2x4 + 20a3x3 + 15a4x2 + 6a5x + a6

xd) 7 – 7ax6 + 21a2x2 – 35a3x4 + 35a4x3 – 21a6x2 + 7a6x – a7

(3a)e) 5 + 5(2b)(3a)4 + 10(2b)2(3a)3 + 10(2b)3(3a)2 + 5(2b)4(3a) + (2b)5

xf) 7 - 7(2y)x6 + 21(2y)2x5 - 35(2y)3x4 + 35(2y)4x3 –

– 21(2y)g) 5x2 + 7(2y)6x - (2y)7

15.

5 280xa) 7y4

–1 760xb) 3

c)

d)

e)

f)


12 EM

_V_M

AT

_014

16.

a)

243xb) 5 + 810x4y + 1 080x3y2 + 720x2y3 + 240xy4 + 32y5

c)

d)

e)

f)

7017.

– 56027

18. x12 y4 e 28081

x9 y3

19.

20.

21.

2101.

2.

3 420a)

3 711b)

5 0043.

8254.

2 0015.

6.

a)

b)

ARc) pn = np

d)

7.

na) p.

b) n p

c) , n p

d)

Sejam A e B conjuntos ordenados com #A = p e e) #B = n. C p

n é o número de funções f : A B estri-tamente crescentes.

CRpn é o número de funções f : A B não-decres-

centes.

Apn é o número de funções f : A –+ B injetivas.

ARpn é o número de funções f : A B.

8.

n!.a)

é o número de funções bijetivas de um conjunto, b) cujo número de elementos é n, em si mesmo.

191 300 e9.

183 800, respectivamente.

1 01610.

1 29611.

n!/(2n) = 12. (n – 1)!

286 400.13.

214.

–115.

168 x16. 3

A17.

18.

19.

20.

21. , se n par.

Observação:

Se n é ímpar,

pois o número de termos é par e as parcelas equidistantes dos extremos são simétricas.

22.

23.

ou

(demonstração)24.

1n + 125.


13EM

_V_M

AT

_014

nn + 1

26.

1n + 1

27. . (2n+1–1)


14 EM

_V_M

AT

_014


15EM

_V_M

AT

_014


16 EM

_V_M

AT

_014


análise combinatória i

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