Estatística GeralEstatística GeralEstatística Descritiva 1: Estatística Descritiva 1: - Medidas de Posição - Medidas de Posição

(Medidas de tendência central)(Medidas de tendência central)

ICET/CUA/UFMTICET/CUA/UFMT

Profº: Glauco Vieira de OliveiraProfº: Glauco Vieira de Oliveira

Cap. 8 – Martins, G. A. & Donaire, D. Princípios de Estatística. 1990.Cap. 29 –Dante, L. R. Matemática: contexto e aplicações . Vol. Único, 2009.Cap. 3.- Barbetta et al, Estatística para Cursos de Engenharia e Informática, 2004

Medidas de posição ou medidas de tendência centralIntrodução

Objetivo da estatística:– Encontrar leis do comportamento para todo o conjunto, sem se preocupar com cada um dos dados elementos em particular.

Medidas de posição ou medidas de tendência central:– Valores médios (exemplos)

a partir da idade das pessoas de um grupo, podemos estabelecer uma única idade que caracteriza o grupo todo;

Considerando a temperatura de vários momentos em um mês qualquer, podemos determinar uma só temperatura que fornece uma idéia aproximada de todo o período.

Nota de vários trabalhos em um semestre: sintetizado em uma só nota

USO MAIS COMUM: MÉDIA ARITMÉTICA– OUTRAS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL: MEDIANA e MODA

Nota: o uso da média, moda ou mediana é mais ou menos conveniente conforme a situação

MÉDIA ARITMÉTICA – DADOS NÃO-AGRUPADOS

Ex 1: Considerando um grupo de pessoas com 22, 20, 21, 24 e 20 anos, observamos que:

MA = 22 + 20 + 21 + 24 + 20 = 107 = 21,4 anos

5 5

Ex 2: registro de temperaturas em um determinado local:

14°C às 6h, 15º as 7h, 15ºC às 8h, 18º às 9h, 20º às 10h e 23º às 11h, observamos que:

MA = 14 + 15 + 15 + 18 + 20 + 23 = 105 = 17,5ºC

6 6

Ex 3: um aluno realizou diversos trabalhos durante um bimestre e obteve as notas: 7,5; 8,5; 10,0; 7,0– Generalizando:

MA = x1 + x2 + x3 + ...+xn = x n n n

xx

n

1ii

MÉDIA ARITMÉTICA – DADOS AGRUPADOS(média aritmética ponderada)

Ocorre Quando:– Os dados possuem “pesos” diferentes– Os dados estiverem agrupados numa distribuição de freqüências

Ex 1: média aritmética ponderada. Um aluno recebeu a seguinte pontuação no semestre: Prova: 6,5 (peso 2); Trabalho Individual: 7,0 (peso 3); debate: 6,0 (peso 1) e 7,0 no trabalho de equipe (peso 2). Sua média será:

Quando calculado a média aritmética de nº que se repetem (dados por sua frequencia absoluta):

Ex 2: calcule a média aritmética de 7, 7, 7, 9, 9, 9, 9, 9, 11, e 11

n

Fxx

i

n

1ii

MA = 2 . 6,5 + 3 . 7,0 + 1 . 6,0 + 2 . 7,0 = 54 = 6,752 + 3 + 1 + 2 8

MA = 3 . 7 + 5 . 9 + 2 . 11 = 88 = 8,83 + 5 + 2 10 iFn

MÉDIA ARITMÉTICA – DADOS AGRUPADOS(média aritmética ponderada)

Exemplo dada a seguinte distribuição amostral: Determine a média

Dispositivo Prático:

6,210

26

n

Fxx

i

n

1ii

Xi 1 2 3 4

Fi 1 3 5 1

Xi Fi xiFi

1 1 1

2 3 6

3 5 15

4 1 4

10 26

Exemplo: Determine o peso médio de um grupo de pessoas (média de uma distribuição populacional)

Peso(kg)

40 a 44

44 a 48

48 a 52

52 a 56

56 a 60

Fi 1 3 7 6 3

Classes FiXi

(PM)

40 |--- 44 1 42

44 |--- 48 3 46

48 |--- 52 7 50

52 |--- 56 6 54

56 |--- 60 3 58

Total 20

xiFi

42

138

350

324

174

1028

Transformação de dadosA transformação de dados é um método utilizado para facilitar e padronizar um conjunto de dados em vários tipos de procedimentos estatísticos. Um método utilizado abaixo é utilizado quando a amplitude dos dados é constante.

fórmula:

xi 17 19 21 23 25

Fi 8 12 15 7 5

h

x- xz 0ii

Onde:Xi = valores da variávelX0 = constante arbitrária tomada convenientementeH = amplitude entre os valores ou intervalo de classesZi = “valores transformados”

Exemplo: Dada a distribuição abaixo calcule os zi correspondentes aos xi considerando x0 = 21, (h=2) .

2

4 -

2

21 - 17

h

x- xz 01

1

Xi Fi Zi

17 8 -2

19 12 -1

21 15 0

23 7 1

25 5 2

47

ziFi

-16

-12

0

7

10

-11

Transformação de dadosExercício 2: Recalcule o valor de zi e ziFi, considerando

x0 = Média aritmética do conjunto de dados do exemplo anterior.

Utilize:

h

x - xz 0ii

Xi Fi

17 8

19 12

21 15

23 7

25 5

47

Propriedade da média aritmética “o somatório dos desvios em relação a sua média é igual a zero” considerando n elementos de

uma População ou Amostra

Zi ziFi

-1,77 -14,13

-0,77 -9,19

0,234 3,51

1,234 8,64

2,234 11,17

1,17 0

XiFi

136

228

315

161

125

965

n

Fxx

i

n

1ii

...53,2047

965

2

20,53 - 17

h

x - xz 01

1

Transformação de dadosExercício 3: Recalcule o valor de zi e ziFi, considerando x0 = Média aritmética do conjunto de dados do exemplo anterior.

Utilize:

Propriedade da média aritmética “o somatório dos desvios em relação a sua média é igual a zero” considerando n elementos de

uma População ou Amostra

0i x - xz i

Xi Fi xiFi Zi ziFi

17 8 136 -3,53 -28,26

19 12 228 -1,53 -18,38

21 15 315 0,47 7,02

23 7 161 2,47 17,28

25 5 125 4,47 22,34

47 965 2,34 0

Desvio em relação a média

Média Geral

FórmulaEm que:

XG = Média geral

nj = nºs de termos de cada série

Xj = médias aritméticas de k séries

A média aritmética de várias séries estatísticas diferentes chama-se de Média Geral

j

j

n

1jj

k21

kk2211G n

Xn

n ... n n

xn...xnxnX

ExemploSejam as séries: (Obs: MA = Média Aritmética)

1) 4, 5, 6, 7, 8 onde n1 = 5 e MA = 6

2) 1, 2, 3 onde n2 = 3 e MA = 2

3) 9, 10, 11, 12, 13 onde n3 = 5 e MA = 11

A média Geral será:

75 3 5

1152365XG

Média Geométrica

Fórmula Em que:

Mg = Média geométrica

n = Fi

x1, x2, x3, ..., xn = valores de X, associados às frequencias absolutas (F1, F2, ...Fn)

A média geométrica é muito utilizada para resolver problemas de que envolvem calculo de áreas ou quando os dados se

desenvolvem segundo uma progressão geométrica.

n Fn

FFFFii

n

i

nxxxxx

...M ou X 321321

1gg

Quando F1 = F2 = F3 = ... = Fn = 1, temos: nn

ni

n

ixxxxx

...M 321

1g

Exemplo 1Calcular a média geométrica dos valores 3, 6, 12, 24, 48.

.

1248241263M 5g

Média GeométricaExemplo 2

Calcular a média geométrica para a distribuição:

Solução 1 (aplicando a fórmula direta)

Solução 2 (uso de logaritmos)

Aplicando log de Mg temos:

Assim:

Xi 1 2 3 5

Fi 8 6 5 3

22/322/522/622/822 3568

1g 53215321M n Fi

i

n

ix

Obs. A aplicação direta da fórmula

acarreta um grande nº de operações

n

xFxFxFxF nn log...logloglogM log 332211

g

3568

5log33log52log61log8M log g

log Mg = 0,2858 → utilizando a função 10x da calculadoraMg = 1,9311

Média GeométricaExemplo 3

Apresentado os dados de determinado produto e seu respectivo consumo em um período inflacionário, calcule o preço médio por trimestre do artigo durante o ano.

Solução 1 (aplicando a fórmula direta)

Solução 2 (faça o cálculo de Mg aplicando a forma logarítimica)

Consumo Preço

1º Trimestre 200 caixas $ 30,00

2º Trimestre 100 caixas $ 100,00

3º Trimestre 200 caixas $ 200,00

4º Trimestre 100 caixas $ 500,00

167,0333,0167,0333,0600 100200100200

1g 5002001003050020010030M

n Fi

i

n

ix

26,110817,2848,5154,2107,3Mg

Média Harmônica

FórmulaEm que:

Mh = Média Harmônica

nj = nºs de termos de cada série

Xi = valores de X (x1, x2, ...xn), associados às frequencias absolutas (F1, F2, ...Fn)

A média Harmônica é particularmente recomendada para série de valores que são inversamente proporcionais, como por exemplo: velocidade média, tempo médio de escoamento de estoques, custo médio de bens comprados com uma quantia fixa etc

n

1i i

i

n

n

2

2

1

1hh

xF

xF

... xF

xF

MXnn

ou

Exemplo 1

Calcular a média harmônica para 2, 5, 8. Então:

.

64,3

81

51

21

3Mh

Média HarmônicaExemplo 2

Um vendedor viaja da cidade A para a cidade B a 50 km/h e volta a 90 km/h. Determinar a velocidade de toda a viagem.

hkm /28,64 59

)450(2

901

501

2Mh

Para pensar: e quando as

distancias percorridas não são iguais?

Exemplo 3Em uma pesquisa sobre a duração de certa pasta dental junto a 50 famílias

do mesmo tamanho e classe social os resultados foram os abaixos descritos. Calcular a duração média da pasta dental. (PM = Ponto médio)

Dias Nº de famílias Xj (PM)

10/12 8 11

12/14 12 13

14/16 50 15

16/18 10 17

dias99,13

1710

1520

1312

118

1020128Mh

Média HarmônicaExemplo 4

Uma pessoa comprou em três trimestres consecutivos combustível aos seguintes preços: $ 5,00, $ 6,00 e $ 8,00 o litro respectivamente. Determinar o custo médio (CM) em todo o período considerado.

Para pensar: A pergunta acima não oferece alguns dados importantes para o calculo da média, qual ou quais seriam eles?

Hipótese 1: Considerando o mesmo consumo em litros (ex: 40 litros de combustível) temos:

Este valor corresponde a média aritmética dos preços dos litros:

33,6$ 201

)8($40)6($40)5($40C

M

33,6$ 3

8$6$5$

X

Hipótese 2: Considerando o mesmo consumo monetário (ex: $240/trimestre) temos:

Este valor corresponde a média harmônica dos preços dos litros:

10,6$

8$240$

6$240$

5$240$

720$C

M

10,6$

81

61

51

3

HM

Mediana Colocados os dados em ordem crescente ou decrescente, é o

elemento que ocupa a posição central. A mediana será:a) O elemento que ocupar a posição central se n for impar;b) A média aritmética dos dois elementos que estiverem no centro se n for par Exemplo 1

Numa classe, foram anotadas as faltas durante um período de 15 dias: 3, 5, 2, 0, 2, 1, 3, 4, 5, 7, 0, 2, 3, 4 e 7

Em ordem crescente temos:

0, 0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7, 7

(7 elementos) Me (7 elementos)

Como 15 é impar, o termo médio é o 8º

Generalizando:

- Quando n é impar a mediana será o elemento de ordem (n + 1)/2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 posição das variáveis ordenadas

Mediana

Exemplo 2

As idades dos alunos de uma equipe são 12, 16, 14, 12, 13, 16, 16 e 17 anos

Em ordem crescente temos:

12, 12, 13, 14, 16, 16, 16, 17

(duas posições centrais)

Como temos um nº par de valores (8), fazemos a média aritmética entre os dois centrais, que são o 4º e o 5º termos.

Logo a mediana é dada por: Me = (14 + 16)/2 = 30/2 = 15

Generalizando:

- Quando n é par a mediana será a média entre os elementos centrais de ordem n/2 e (n/2 + 1).

Moda A moda (Mo) é a medida de tendência central definida como

valor mais frequente de um grupo de valores observados

Exemplos

Pessoas com idades de 2, 3, 2, 1, 2 e 50 anos. Mo = 2

Notas obtidas: 6,0; 7,5; 7,5; 5,0 e 6,0. Neste caso dizemos que a moda é 6,0 e 7,5, e que a distribuição é bimodal.

Observação: Quando não há repetição de números, como por exemplo, para os números 7, 9, 4, 5 e 8, não há Moda.

Mediana e Moda a partir das tabelas de frequencias e dados agrupados em classes

Exemplo Anterior: Pesquisa sobre o “peso” (kg) de um grupo de pessoas

MA = 1028/20 = 51,4 kg

Moda: A maior frequencia, 7, indica que o intervalo 48 |--- 52, representado pelo ponto médio (PM = 50) logo Mo = 50

Classes Fi

40 |--- 44 1

44 |--- 48 3

48 |--- 52 7

52 |--- 56 6

56 |--- 60 3

Total 20

Xi (PM) xiFi

42 42

46 138

50 350

54 324

58 174

1028

Mediana:- Total das freqüências é par

(20);- Valores centrais estão na 10ª

e 11ª posição- Com auxílio da tabela abaixo

- Me = 50 + 50 = 50 kg

2Fac: freq. acum. crescente

PM Fac

42 1

46 4

50 11

54 17

58 20