estatística descritiva gráficos; distribuições de freqüências; estimação de parâmetros...

Estatística Descritiva

• Gráficos;

• Distribuições de freqüências;

• Estimação de parâmetros

associados a essas distribuições

(medidas descritivas).

Gráficos Distribuição de Freqüências

O método mais útil para descrever resultados obtidos com respeito a uma variável é, sem sombra de dúvida, a distribuição de freqüência.

160156 178 162 137

154139 162 156 142

182138 172 162 144

154162 156 155 157

165168 147 152 142

148156 155 166 142

152148 186 128 141

150142 147 148 153

Tab.: Altura de uma amostra de pessoas

(em cm.)

Distribuição de Freqüências

Primeiro passo:

Determinar a

amplitude:

186-128+1=59

160156 178 162 137

154139 162 156 142

182186 172 162 144

154162 156 155 157

165168 147 152 142

148156 155 166 142

152148 138 128 141

150142 147 148 153

Tab.: Altura de uma amostra de pessoas

(em cm.)


Segundo passo:

utilizamos de 5 a

20 intervalos de

tamanho igual.

• poucos intervalos: os grupos se tornam muito abrangentes, impedindo uma maior precisão.

• muitos intervalos: risco de não realçar os aspectos relevantes.


Int Contagem f

185 - 189 / 1

180 - 184 / 1

175 - 179 / 1

170 - 174 / 1

165 - 169 /// 3

160 - 164 ///// 5

155 - 159 /////// 7

150 - 154 ////// 6

145 - 149 ///// 5

140 - 144 ////// 6

135 - 139 /// 3

130 - 134 0

125 - 129 / 1

Tab. 2: Obtenção das freqüências

f

012345678

f

Fig.: Polígono de Freqüências

127 132 137 142 147 152 157 162 167 172 177 182 187

Fig.: Polígono de Freqüência

Polígono de Freqüências Acumuladas

• 75% das pessoas

medidas tem menos

de 1,61m• 75% de 40 = 30

• facum(x) = 30; x=?

Fig. 3: Polígono de Freqüências

f . acum.

0

10

20

30

40

50

f. acum.

127 132 137 142 147 152 157 162 167 172 177 182 187

Fig.: Polígono de Freqüências Acumuladas

Histogramas

• histogramas podem ser usados tanto para dados discretos como para dados contínuos.

f

0

1

2

3

4

5

6

7

8

122 127 132 137 142 147 152 157 162 167 172 177 182 187 192

f

Fig.: Histograma de Freqüências

Gráfico de Barras

DEPART. N

CUSTOD. 3

ENGIN. 12

SALES 15

ADMIN. 28

PRODUCT. 42

BAR GRAPH

0 10 20 30 40 50

CUSTOD.

ENGIN.

SALES

ADMIN.

PRODUCT.

DE

PA

RT.

EMPLOYERS

Fig.: Gráfico de Barras

Considerações

• As barras horizontais podem vir unidas (para enfatizar a diferença entre classes) ou separadas;

• Com dados de nível ordinal os gráficos podem ter as barras apresentadas em posição vertical, como nos histogramas;

• Pode-se ter, ainda, gráfico de barras múltiplas, onde cada categoria apresenta várias barras unidas (correspondendo a observações realizadas em vários períodos sucessivos, por exemplo); entre as categorias as barras não se apresentam unidas.

Gráficos Tipo Torta

DEPART. N

CUSTOD. 3

ENGIN. 12

SALES 15

ADMIN. 28

PRODUCT. 42Fig.: Gráfico Tipo Torta 3D

PIE CHART

CUSTOD. ENGIN.

SALES

ADMIN.

PRODUCT.

Considerações

• Vários são os modelos de gráficos tipo torta: – em duas dimensões;

– em três dimensões;

– com fatias destacadas;

• Eles permitem uma visualização das partes em função do todo. Servem para enfatizar a importância de um setor (grupo, produto, etc.) frente a outros.

Diagramas de Dispersão

Um diagrama de dispersão serve para saber se existe alguma correlação (forte, fraca, moderada, positiva, negativa, etc.) entre duas variáveis.

Fig.: Diagrama de Dispersão

Gráficos de Controle

Usados em processos para se acompanhar a evolução de uma variável em relação a um ou mais limites existentes.

Turbidez no Rio Capivari

0

20

40

60

80

100

4/1

20/2

12/4

29/5 5/

728

/8

16/1

05/

12

Dia/95

Tu

rbid

ez (

UN

T) Turbidez antes da

bacia

Turbidez depois dabacia

Limite legislação

Fig.: Gráfico de Controle

Considerações Gerais

• Dados nominais a variável é na maioria das vezes qualitativa melhor visualização com diagramas de barras ou circulares (tipo torta);

• Variáveis discretas (tipo número de filhos por casal) é comum que utilizemos medidas intervalares para melhor codificá-las diagrama de colunas (com enumeração natural) ou gráficos de freqüências e freqüências acumuladas;

• Variáveis contínuas (quantitativas) gráficos em forma de histograma e polígonos de freqüência.

Considerações Gerais

• Muitas vezes precisamos relacionar as variáveis em estudo diagramas de dispersão são aconselháveis;

• Gráficos setoriais, particularmente úteis para visualizar diferenças entre classes não acomodam grandes quantidades de categorias reagrupar as menos importantes em um grupo chamado outros ou, utilizar um gráfico de barras, sendo que estas devem vir separadas;

• O uso de polígonos de freqüência induz o leitor a aceitar a continuidade da variável apresentada.


• Gráficos;





Distribuições de Freqüência

• Os elementos de uma população se distribuem, geralmente de modo normal, ou seja, a grande maioria se encontra em torno da média enquanto um grupo menos representativo está distante (acima ou abaixo) desta média;

• Essa distância (desvio), maior ou menor, vai influenciar nas características desta população.


• Alguns exemplos desta normalidade podem ser:– a altura das pessoas (a grande maioria está entre 1,50m e

1,80m, sendo que um grupo menor tem mais que 1,80m ou menos que 1,50m);

– o QI das pessoas; – o tamanho do calçado.

• Existem algumas variáveis que não se distribuem desta forma, ex:– o salário dos funcionários de uma grande empresa: alguns

poucos office-boys ganham pouco, muitos funcionários atingem 2 ou 3 salários mínimos enquanto poucos elementos do alto escalão têm altos salários.


Principais Modelos Probabilísticos que regem

as distribuições de freqüência:

• Variáveis Contínuas Funções uniformes, exponenciais e normais (em forma de sino);

• Variáveis Discretas distribuições de Bernoulli, de Pascal, Geométricas, Binomiais, Polinomiais ou Hipergeométricas.

Distribuição Binomial

Binomial: Quando os resultados de uma variável

podem ser de dois tipos (masc/fem; sim/não).

• Consideremos que de uma população escolhe-se aleatoriamente n elementos, onde cada um tem a probabilidade p de ser escolhido a cada etapa.

• Qual a probabilidade de que, dos n elementos sorteados, m sejam de um tipo esperado?


Qual a probabilidade de, ao entrar em um berçário de uma maternidade com 10 bebês, encontrarmos exatamente 2 meninos?

Neste caso, n é o total de bebês (n=10), m é o valor esperado (m=2) e p é a probabilidade de cada criança ser do sexo masculino (p=50%=0,5).


%4.4044.0004.025.045)5.01.(5.0.)2( 2102210 Cp

mnmmn ppCmp )1.(.)(

Existem tabelas para a busca dos valores adequados, sem necessidade de se realizar os cálculos acima. Essas tabelas tem como entrada as três variáveis em jogo: m, n e p.

Distribuição de Poisson

É útil para descrever as probabilidades do número de ocorrências de um evento em um intervalo contínuo (de tempo, de espaço), ex:– Acidentes por dia;

– clientes por hora;

– chamadas telefônicas por minuto

– número de pessoas na fila.

Note-se que a unidade de medida é contínua mas a variável é discreta (número de...)

Outras Distribuições Discretas

• Quando existem mais que dois resultados possíveis (mutuamente excludentes);

• Quando a probabilidade varia de uma prova à outra (ex: tirar bolas de uma urna sem reposição: quando uma bola sai as probabilidades se alteram);

Distribuição Normal

O enorme valor da curva normal na estatística se suporta em dois fatores:

• a curva normal pode ser descrita matematicamente de forma precisa;

• representa a distribuição de muitos traços físicos e psicológicos para populações muito grandes.

N(0,1)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-3

-2,6

-2,2

-1,7

-1,3

-0,9

-0,5

-0,1

0,36

0,78 1,

2

1,62

2,04

2,46

2,88

N(0,1)

Fig.: Curva Normal

Distribuição Normal

Para podermos trabalhar com esta curva na resolução de problemas precisamos utilizar a noção de que a área sob a curva considera 100% dos dados levados em conta. Assim, ao limitarmos uma área sob a curva normal estaremos tratando apenas uma parte da população.

N(0,1)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-3

-2,6

-2,2

-1,7

-1,3

-0,9

-0,5

-0,1

0,36

0,78 1,

2

1,62

2,04

2,46

2,88

N(0,1)

Fig.: Curva Normal

Distribuição Exponencial

Envolve probabilidades ao longo do tempo ou da distância entre ocorrências num intervalo contínuo.

Exemplo

• Tempo médio entre:– chamadas telefônicas;

– entre a chegada de clientes a um supermercado.

Fig.: Função Exponencial


• Gráficos;





Medidas Descritivas

Os principais parâmetros que podem fornecer informações sobre uma dada população são as medidas :

• de tendência central;• separatrizes;• de dispersão.

Medidas de Tendência Central

Uma forma de descrever um grupo como um todo, utilizando uma única representação deste grupo é se servir de um valor em torno do qual os elementos do grupo se encontrem.

Outra maneira de realizar esta tarefa é escolher o elemento que mais se repete neste grupo.

Pode-se também organizar de forma crescente os elementos de grupo em questão e utilizar o elemento central como representante típico.


Média aritmética:

• somam-se os n valores e divide-se o resultado por n;• só pode ser usada para dados quantitativos;• pode ser sempre calculada e é única;• é sensível a todos os valores do conjunto;• representa um ponto de equilíbrio/centro de gravidade:

a soma dos desvios dos números, a contar da média é 0.• tem-se também as médias ponderada, geométrica e

harmônica.

Média Geométrica

• É a raiz n-ésima do produto de todos eles.

• Média Geométrica Simples:

ou

Média Geométrica

• Exemplo - Calcular a média geométrica dos seguintes conjuntos de números:

a) { 10, 60, 360 }: (10*60*360)^(1/3) = 60

b) { 2, 2, 2 }: (2*2*2)^(1/3) = 2

c) { 1, 4, 16, 64 }: (1*4*16*64)^(1/4) = 8

Média Geométrica Ponderada

ou • Exemplo - Calcular a média geométrica dos

valores da tabela abaixo:

• (1^2*3^4*9^2*27^1)^(1/9) = 3,8296

Xi Fi

1 2

3 4

9 2

27 1

Total: 9

Média Harmônica

• É o inverso da média aritmética dos inversos:

• Exemplo: Calcular a média harmônica simples dos seguintes conjuntos de números:a) { 10, 60, 360 } 3/(1/10+1/60+1/360) = 25,12

b) { 2, 2, 2, 2 } 4/(1/2+1/2+1/2+1/2) = 2


Mediana:

• divide um conjunto ordenado de dados em dois grupos de igual quantidade: de um lado, valores maiores, de outro, menores;

• pode ser sempre calculada e é única;

• é insensível aos valores extremos do conjunto;

• para número par de dados a mediana é a média entre os dois valores centrais.


Moda: • é o valor de maior freqüência/que mais se

repete;• existem distribuições bimodais, com 3 modas,

etc.;• nem sempre é única;• quando todos os valores ocorrem com

freqüências semelhantes, a moda nada acrescenta à descrição;

Medidas Separatrizes

Usam-se quartis, centis ou percentis e decis. Um centil é definido como um ponto específico da distribuição que tem, abaixo, a percentagem especificada de casos.

A mediana é um caso particular, correspondendo ao centil 50%. Outros pontos especiais são o centil 25% (primeiro quartil) e o centil 75% (terceiro quartil).

A forma de cálculo para esses pontos é similar àquela empregada para o cálculo da mediana.

Medidas de Dispersão

Uma única medida de tendência central nos fala pouco sobre uma distribuição. Localiza um centro mas não traz nenhuma informação sobre como os dados se localizam em relação a esse centro.

As medidas mais comuns de variabilidade são: – o range (amplitude);

– o desvio entre quartis;

– o desvio médio;

– a variância e o desvio padrão.


Range: A amplitude é dada pela diferença entre o maior e o menor resultado mais um. O problema desta medida é que ela depende unicamente de dois valores da distribuição.

186-128+1=59

160 156 178 162 137154 139 162 156 142182 186 172 162 144154 162 156 155 157165 168 147 152 142148 156 155 166 142152 148 138 128 141 150 142 147 148 153

Tab.: Altura de uma amostra de pessoas (em cm.)


O desvio entre quartis é a metade da distância entre Q3 (C75) e Q1 (C25). Este valor é mais adequado que a amplitude pois toma em conta valores mais próximos à média. Teremos:

Q = (Q3-Q1)/2

Ex: 1,3,4,5,5,7,3,4,9 1,3,3,4,4,5,5,7,9

(6-3)/2=1,5=Q


O desvio médio é simplesmente a média dos módulos das diferenças entre os dados e a média desses dados.

Ex: 1, 3 e 8 Média = (1+3+8)/3 = 4

Desvios |1-4| = 3 |3-4| = 1 |8-4| = 4

Média dos desvios = (3+1+4)/3 = 2,67 = DM


O desvio médio exige o uso da operação módulo, o que gera dificuldades em cálculos informáticos avançados. Uma possível solução é elevar as diferenças ao quadrado, gerando a variância.

Ex: 1, 3 e 8 Média=(1+3+8)/3=4

Desvios: (1-4)2=32 = 9

(3-4)2=12 = 1

(8-4)2=42 =16

Variância=(9+1+16)/3=8,67


A variância não está na mesma unidade dos dados por ter-se trabalhado com valores elevados ao quadrado. Para normalizar isso, extrai-se a raiz quadrada da soma das diferenças, obtendo assim o desvio padrão.

Ex: 1, 3 e 8 Média=(1+3+8)/3=4

Desvios: (1-4)2=32 = 9

(3-4)2=12 = 1

(8-4)2=42 =16

Desvio Padrão= 8,67 = 2,94


Outra medida útil é o coeficiente de variação, dado pelo desvio padrão dividido pela média. No exemplo, teríamos:

Ex: 1, 3 e 8 CV= DP / Média

= 2,94 / 4 = 0,73

Isso caracteriza uma dispersão altíssima dos

dados: 73%

estatística descritiva gráficos; distribuições de freqüências; estimação de parâmetros...

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