Universidade de So Paulo (USP) Instituto de Cincias Matemticas e de Computao (ICMC)

Disciplina

Tpicos de Probabilidade e Estatstica I

Professores Responsveis Marinho Gomes De Andrade Filho Ricardo Sandes Ehlers

Estudo sobre Distribuies de Probabilidades Lagrangianas

Thiago Christiano Silva

So Carlos, 29 de junho de 2010

1

1. Distribuio de Borel

1.1. Definio

Uma varivel aleatria discreta X dita seguir a distribuio de Borel se sua funo massa de probabilidade dada por: , ! 0, = 1,2,3,

= onde 0

,

,

=

! 0, > , max 1,

0 , quando

menos cinco classes com probabilidades no-nulas quando

definiram, estudaram e discutiram algumas aplicaes da distribuio de Poisson Generalizada. Quando negativo, o modelo inclui um truncamento devido a a soma , , = 0 para todo , >

= 0, o modelo de Poisson Generalizado se reduz distribuio de Poisson. Consul e Jain

4 so impostos para assegurar que h pelo negativo. Perceba que, quando

1e

< 0 . Os parmetros

4 o maior inteiro e

so

e

, no caso geral e usualmente, menor que 1. Entretanto, esse erro de 4 e, portanto, este erro de truncamento no faz , por , onde:

truncamento menor que 0.5% quando

diferena em aplicaes prticas. A multiplicao de cada , =

,

(24)

foi sugerido para eliminao do erro de truncamento [4]. A mdia e a varincia so dadas por: = = , , 0 (25) 0

1 1

17

e, quando

distribuio de Poisson generalizada maior, igual ou menor do que a mdia levando em conta se Uma propriedade interessante desta distribuio reside no fato que de a convoluo de duas distribuies de Poisson generalizadas com parmetros + , , e , gera a mesma > 0, = 0 ou < 0, respectivamente.

= 0, = =

(caso de Poisson convencional). Perceba que a varincia da

distribuio com parmetros

. Consul caracterizou a distribuio pela propriedade

que, se a soma de duas variveis aleatrias independentes possui uma distribuio Lagrangiana de Poisson, ento cada uma em isolado tambm deve possui a distribuio Lagrangiana de Poisson. Outra propriedade interessante refere-se sua unimodalidade, caracterstica tambm apontada por Consul em suas pesquisas [9].

3.3. Funes Geradoras

A funo geradora de probabilidade parmetros ,

de uma distribuio de Poisson generalizada com

dada por uma expanso Lagrangiana com: G u = , =

(26)

A funo geradora de probabilidade pode tambm ser escrita na forma: G u = onde a funo definida pela relao: w u =

(27)

(28) = 1, e sua derivada dada por: (29)

A funo

equivale a zero em

= 0 e 1 em =

Fazendo =

e

seguindo a distribuio de Poisson generalizada como:

=

em (22), pode-se obter a funo geradora de momento para o modelo

18

=

,

=

+

1

(30)

3.4. Relaes de Recorrncias e Momentos < 1. Consul e

Todos os momentos existem da distribuio de Poisson generalizada para centrais, denotados por para o k-simo momento no central, vale: 1 E a relao = os + +

Shenton observaram e deduziram a seguinte relao de recorrncia para os momentos no-

, = 0, 1, 2, denotados

(31) por

entre

momentos

centrais,

, de uma distribuio de Poisson generalizada : = onde + 1 1 com e , = 1, 2, 3, substitudos por e

1

(32)

representa o momento central

,

respectivamente [4]. Alguns dos primeiros momentos so ilustrados abaixo (lembrando que o primeiro e segundo momentos centrais equivalem a mdia e a varincia. = =

=

3 1

=

1

1

+

1+2 1

1+8 +6 1

(33)

J, os ndices de obliquidade,representado por , e curtose, por , so dados por: 19

= =

1+8 +6 =3+ 1

=

1+2 1

(1)

Para qualquer valor de , a obliquidade de uma distribuio de Poisson generalizada reduz enquanto o valor de um dado valor de aumenta e atinge zero quando infinitamente alto. Alm disso, para

qualquer, a obliquidade infinitamente alta quando aproxima-se da e para todos os valores de entre 0 < < 1, a distribuio de 1 2 1 2 10 < < 10 6 3 6 3 < 1 2.

unidade. A obliquidade negativa para qualquer Para todos os valores de

Poisson generalizada leptocurtose se > 3. Quando:

(34)

que 3.

a distribuio de Poisson generalizada se torna platycurtose, uma vez que se torna menor

3.5. Estimativa

Considere uma amostra aleatria de n itens tomada de uma distribuio de Poisson generalizada e sejam x1, x2, ..., xn seus valores correspondentes. Se os valores da amostra so classificados em classes de frequncias e ni denotar a frequncia da i-sima classe, a soma da amostra y pode ser escrita como:

y= onde k a maior das observaes, =

= e =

(35)

a mdia amostral. A varincia

amostral dada por:

20

s =

1 1

=

1 1

(36)

O estimador mais utilizado o de mxima verossimilhana que pode ser obtido resolvendo, para encontrar o estimador de : 1 +

H J, para o estimador de obtida por:

=

(37)

= 1 Consul e Shoukri provaram que as estimativas para mxima verossimilhana

(38) >0e > 0 so

nicos quando a varincia amostral maior que a mdia amostral [10]. Alm disso, Consul e >0e < 0 so tambm nicos [11].

Famoye provaram que se a varincia amostral for menor que a mdia amostral, ento os estimadores de ML

3.6. Aplicaes

A distribuio de Poisson generalizada se relaciona com um grande nmero de problemas cientficos e, portanto, pode ser utilizada para descrever muitos fenmenos do mundo real. Entre alguns deles, podem ser citados os seguintes:

Limite de uma Distribuio Binomial Negativa Generalizada. O modelo discreto de probabilidade de uma distribuio binomial negativa generalizada, a qual ser ainda discutida neste documento, dada, na sua forma geral, por: = = + 1 , para = 0, 1, 2, > 0.

e zero, caso contrrio, onde 0 s) x = x + 1; c = theta - lambda + lambda * x; p = w * c * (1 + lambda / c)^(x - 1) * p / x; s = s + p; end v = horzcat(v, x); i = i + 1; end end % Mtodo retirado e modificado de Springer, Lagrangian Probability % Distribution, pg. 324Script 5: Gerao de nmeros aleatrios seguindo uma distribuio de Poisson Generalizada.

Todas as simulaes nesta seo sero feitas com N fixado em 10000. A Figura 7 ilustra o resultado para =2e = 0. Note que este grfico se reduz a uma Poisson(2), devido ao = 0.2 . Este parmetro =2e

parmetro ser 0. J a Figura 8, demonstra o resultado para uma Poisson Generalizada de fato, com parmetros =2e demonstra a no-uniformidade dos

eventos com o transcorrer do tempo, conforme visto nas sees anteriores. A Figura 9, por sua vez, plota o resultado para parmetros = 0.5. Note que a distribuio de massa de

probabilidade fica cada vez mais esparsa. Em caso extremo, finalmente, a Figura 10 ilustra o 25

resultado da simulao para

at x = 50, mostrando a grande disperso que foi ocasionada pelo grande valor de , o qual equivale a 50% do valor de .

=2e

1. Note que h uma quantidade de massa significativa

Figura 7: Resultados da simulao para Poisson Generalizada(Theta = 2, Lambda = 0) com N = 10000.

Figura 8: Resultados da simulao para Poisson Generalizada(Theta = 2, Lambda = 0.2) com N = 10000.

26

Figura 9: Resultados da simulao para Poisson Generalizada(Theta = 2, Lambda = 0.5) com N = 10000.

Figura 10: Resultados da simulao para Poisson Generalizada(Theta = 2, Lambda = 1) com N = 10000.

27

4. Distribuio Binomial Negativa Generalizada

4.1. Definio e Introduo

Uma varivel aleatria parmetros ,

dita possuir a Distribuio Binomial Negativa Generalizada com

se sua funo de massa de probabilidade dada por: , , = + < 1, 1

para

Alm disso, quando

= 0, 1, 2, 3, e zero, caso contrrio, onde 0 < = 0, o parmetro

+

(43) > 0.

um inteiro positivo. O modelo de probabilidade

(43) se reduz para uma distribuio binomial quando binomial quando

momento de Distribuio Binomial Negativa Generalizada [17].

= 1. Johnson, Kotz e Kemp entitularam o modelo objeto de estudo no

= 0 e para uma distribuio negativa

= 0 ou 1

e

O modelo de Distribuio Binomial Negativa Generalizada foi definido , estudado e aplicado por Jain e Consul [18], entretanto, na definio de domnio do parmetro possibilidade do mesmo assumir valores em 0, 1 , assim como para valores negativos. Para valores negativos de , a Distribuio Binomial Negativa Generalizada fica truncada e as probabilidades no somam a unidade. Em um estudo no publicado de Consul e Famoye, estes mostraram que para valores pequenos de , valores os quais a funo massa de probabilidade (43) ainda fique positiva, o erro de truncamento atinge, no mximo, 5%. O erro fica menor que o erro de truncamento devido ao processo de amostragem, exceto quando amostras de grande tamanho (mais de centenas) so tomadas [19]. A Distribuio Binomial Negativa Generalizada um membro da classe de distribuies lagrangiana ; ; e tambm um membro de todas as suas subclasses [16]. Pode-se , eles excluram a

mostrar que a mdia e a varincia de uma Distribuio Binomial Negativa Generalizada dada por: = 1 = 1 1

(44)

que existe para 1

. Alm disso, o modelo existe para

varincia no existem, neste caso. 28

= 1, mas a sua mdia e

4.2. Funes Geradoras

De acordo com os resultados demonstrados em [16], a funo geradora de probabilidade de uma Distribuio Binomial Negativa Generalizada dada por: = = 1 + , = 1 +

(45)

para todos os valores de parmetros. Outra funo geradora para uma Distribuio Binomial Negativa Generalizada : = onde: = 1 1 = 1 1

(46)

(47)

Portanto, a Distribuio Binomial Negativa Generalizada um dos poucos modelos de probabilidades que pode ser gerada a partir de dois conjuntos distintos de equaes.

4.3. Momentos, Cumulantes e Relaes de Recorrncia

Todos os momentos da Distribuio Binomial Negativa Generalizada em (43) existem para 1 . Jain e Consul obtiveram os primeiros quatro momentos no-centrais utilizando a

seguinte relao de recorrncia: 1 =

= para = 1, 2, 3, , e onde

+

1

+

1

+ , .

1

(48)

a funo de parmetros

O r-simo momento no-central de uma Distribuio Binomial Negativa Generalizada dado por:

29

=

+

+

1

(49)

Diferenciando a equao (49) com respeito ao parmetro , obtemos: = Portanto, 1 1 = 1 1 , ,

(50)

(51)

E, enfim, uma relao de recorrncia entre os momentos no-centrais dada por: = 1 1 +

(52)

Ali-Amidi mostrou que uma relao de recorrncia entre os momentos centrais de uma Distribuio Binomial Negativa Generalizada escrita por: 1

= para = 2, 3, 4, .

+

1

(53)

A relao de recorrncia em (53) tambm pode ser transcrita como: = 1 1 +

(54)

para

= 1, 2, 3, .

A partir das equaes de momento apresentadas, fica possvel realizar o clculo das medidas de obliquidade, , e curtose, , as quais so dadas por: 30

e =3+ 16 +6

= +2

12 + 1

1

2

(55)

49 +4 + 66 + 1 1

(56)

aproxima-se da unidade, do zero ou de 1

Alm disso, para pequenos valores de , a obliquidade infinitamente grande quando . A obliquidade se torna negativa quando: < 2 1 2

Para qualquer valor de , a obliquidade do modelo de Distribuio Binomial Negativa Generalizada reduz se o valor de aumentar e se torna zero quando infinitamente grande.

(57)

Uma vez que o segundo termo de (56) sempre positivo se > 0 , a curtose sempre maior que 3 e, portanto, o modelo de Distribuio Binomial Negativa Generalizada leptocurtose quando > 0.

4.4. Aplicaes

A Distribuio Binomial Negativa Generalizada um modelo verstil e foi derivado por vrios distintos pesquisadores sob diversas condies de pesquisa. Alguns deles modelos descobertos sero elencados a seguir.

Modelos de Caminhada Aleatria. Suponha que = 1

probabilidade 1 . Considere que a probabilidade que o tempo de primeira passagem atravs de passagem atravs de = 1, 2, . Se com ; , , . Mohanty mostrou que se = 0, ; , 0,

instante do processo, possa se mover ou para 1 com probabilidade

= 1. Considere uma caminhada aleatria onde a partcula, em qualquer ou para +1 com

seja um inteiro, por exemplo,

denotar a probabilidade do tempo de primeira uma

distribuio binomial negativa:

31

onde =

fim dado por:

de caminhos de 0, 0 para

, com exceo do fim. Mohanty tambm provou que para + , que no tocam a linha +

o nmero de caminhos de 0, 1 para

; , 0,

=

+

1

1

, = 0, 1, 2, ,

(58)

que no tocam a linha = 1, o nmero = + exceto no

+

(59)

Utilizando (59), a distribuio de probabilidade do tempo de primeira passagem dada por: ; , 1, = + 1

+

(60)

o que nada mais a Distribuio Binomial Negativa Generalizada.

Modelo de Filas. Suponha que j existam

clientes esperando por servio em um

servidor de filas nico, o qual suposto acabar de iniciar. Considere tambm que o processo de os clientes chegarem durante o perodo de servio dos k clientes iniciais siga uma distribuio binomial com parmetros e, adicionalmente, a poltica de

ingresso obedea condio de FCFS (First come, first served). O primeiro perodo de congestionamento terminar quando o servidor ficar ocioso. Alm disso, suponha que o nmero uma varivel aleatria binomial com parmetros . Consul e Shenton

mostraram que a distribuio de probabilidade , o nmero de clientes servidos no

primeiro perodo de congestionamento, uma distribuio dupla-binomial, conforme a equao: P Y = 0, i. e. quandooperododecongestionamentoterminar = 1 e:

(61)

32

P Y=y = para

1

1 = min ,

binomial em (62) obtida utilizando

= 1, 2, 3, , onde

1 1

1 1

(62)

Generalizada como um modelo de filas [21].

= . Isto produz a Distribuio Binomial Negativa

. Um caso especial para a distribuio dupla-

Modelo de Urna. Sejam duas urnas, demarcadas com A e B. A urna A contm um nmero fixo de bolas brancas e um nmero fixo de bolas pretas, de tal forma que a pegar uma bola branca, 1 . A urna B deixada inicialmente vazia. Quando uma bola probabilidade de pegar uma bola preta, com reposio, seja e a probabilidade de

escolhida aleatoriamente da urna A, ou seja, sem ter sido vista pelo jogador, outra bola da mesma cor colocada na urna B. O jogador observa as seguintes 3 condies: (i) O jogador escolhe uma estratgia, escolhendo um nmero inteiro positivo um outro nmero no-negativo . (ii)

e

Ao jogador permitido retirar bolas da urna A uma a uma, d-las, sem as ver, para o juiz, o qual, por sua vez, as retorna toda vez para a urna A e coloca uma outra bola da mesma cor na urna B. O jogador continua neste processo de retirada de bolas at que o nmero de bolas brancas na urna B exceda 1

vezes o nmero de bolas pretas na urna B. O jogador perde o jogo to logo que esta condio seja violada. (iii)

O jogador ser declarado vitorioso no jogo se ele parar quando o nmero de bolas pretas e o nmero de bolas brancas na urna B sejam exatamente igual a e + 1 , respectivamente.

A probabilidade de realizar a condio (iii) dada por: P X = x = f x, y onde = + , 1 1 (63)

o nmero de sequncias em que a quantidade de bolas brancas na urna B sempre excede 1 + 1 . Por meio da utilizao destas , > 1

condies no jogo, Famoye e Consul obteram o seguinte resultado: f x, y = +

(64)

33

Usando

o jogo dada por:

=

+

em (64), chegamos que a probabilidade de um jogador ganhar +

P X=x =

+

1

(65)

o que nada mais que a Distribuio Binomial Negativa Generalizada [22]. Distribuio do peso molecular em polmeros. A Distribuio Binomial Negativa Generalizada tem um importante uso na qumica no que tange reaes de polimeralizao onde as substncias formadas so, de modo geral, classificadas em cadeias lineares singulares ou no-singulares. A distribuio de peso molecular pode ser convenientemente representada por uma Distribuio Binomial Negativa Generalizada. Gordon derivou uma distribuio de polmeros singulares por meio da utilizao de teorias de cascatas aplicadas em processos estocsticos [23]. Yan tambm usou a teoria de cascatas para processos estocsticos para obter uma distribuio Stockmayer univariada, com o intuito de descrever a condensao das cadeias de polmeros com uma distribuio de tamanho inicial qualquer. Os polmeros primrios so chamados cadeias e os agregados so formados depois de haver um cross-linking, os quais denominam-se moleculas [24].

4.5. Simulaes

Nesta seo, sero realizadas vrias simulaes por meio da troca dos 3 parmetros da funo de Distribuio Binomial Negativa Generalizada. Iniciamos, pois, com o script gerador de nmeros aleatrios que seguem este tipo de distribuio. O Script 6 ilustra isto.% Gerao de nmeros aleatrios seguindo a distribuio de Borel % Parmetros de entrada: %% lambda representa o primeiro hiper-parmetro da distribuio %% beta representa o segundo hiper-parmetro da distribuio %% m representa o terceiro hiper-parmetro da distribuio %% N representa a quantidade de nmeros aleatrios no vetor de sada v function [v] = gerarVetorAleatorioBorel(lambda, beta, m, N) v = []; i = 0; while(i < N)

34

w = theta * (1 - theta)^(beta - 1); x = 0; s = (1 - theta)^(m); p = s; u = unifrnd(0, 1, 1); if(u 0. Alm disso, quando = 0.5, = 1.5 = 0, o parmetro

Figura 11. Adicionalmente, como segunda simulao, sabemos que para = 0.5, = 1.5

= 10. O resultado da simulao dado na

um inteiro positivo. Como

< 1,

= 0 ou

reduz ao modelo binomial. Iremos verificar isto por meio de uma simulao, tomando

que o modelo realmente segue a distribuio binomial. Analiticamente, a mdia dos valores aleatrios produzidos dado por 5.108 e a varincia, 2.5027, valores os quais se assemelham muito aos valores tericos da binomial convencional, as quais, a ttulo de exemplificao, valem = = 10 0.5 = 5 e = 1 = 10 0.5 0.5 = 2.5 . Como terceira e ltima

= 10, a qual mostrada na Figura 12. De fato, pela simetria podemos ver

= 0, o modelo se

simulao mostraremos a reduo deste modelo para a binomial negativa, a qual pode ser gerada se tomarmos = 1. De fato, como mostrado na Figura 13, ele realmente se assemelha 35

muito a uma binomial negativa. Analiticamente, temos que a mdia da amostra aleatria gerada equivale a 10.0631, enquanto que a varincia, 20.2709. Mister se faz destacar que o valor terico exato destas duas quantidades so dados por: 0.5 1 0.5

e:

m

1

10

10

(66)

m

1

10

1

0.5 0.5

20

(67)

Pelos resultados prticos expostos e pelos valores tericos calculados, ambos bem prximos, evidente que a veracidade do algoritmo criado no Script 6 procede.

Figura 11: Resultado da simulao para gerao de 10000 nmeros aleatrios seguindo a distribuio binomial negativa generalizada com parmetros . , . .

36

Figura 12: Resultado da simulao para gerao de 10000 nmeros aleatrios seguindo a distribuio binomial negativa generalizada com parmetros =0.5,=0 e m=10. Note que o modelo se reduz para a distribuio Binomial convencional.

Figura 13: Resultado da simulao para gerao de 10000 nmeros aleatrios seguindo a distribuio binomial negativa generalizada com parmetros =0.5,=1 e m=10. Note que o modelo se reduz para a distribuio Binomial Negativa convencional.

37

5. Srie Logartmica Generalizada

5.1. Introduo e Definio

Uma varivel aleatria discreta

dita seguir a Distribuio da Srie Logartmica Generalizada

se sua funo de probabilidade dada por: 1 , = 1, 2, 3, ln 1 0, 1

, onde 0 < s) x = x + 1; c = 1; for(j = 1 : 1 : x - 1) c = c * (1 + beta / (beta * x - beta - j)); end p = w * c * (beta - 1) * (x - 1) * p / x; s = s + p; end v = horzcat(v, x); i = i + 1; end end % Mtodo retirado de Springer, Lagrangian Probability Distribution, pg. 332Script 7: Sequncia de passos para gerao de nmeros aleatrios seguindo a distribuio da Srie Logartmica Generalizada.

Para todas as simulaes que aqui sero realizadas, fixaremos satisfazer 0 < s) x = x + 1; c = (1 + phi / (w + x * phi))^(x - 1) * (1 - phi / (1 - w x * phi))^(m - x); p = c * (m - x + 1) * (w + x * phi) * p / (x * (1 - w - x * phi)); s = s + p; end v = horzcat(v, x); i = i + 1; end end % Mtodo retirado de Springer, Lagrangian Probability Distribution, pg. 334Script 8: Sequncia de passos para gerao de nmeros aleatrios seguindo a distribuio da Quasi-Binomial.

TOMA N = 100000 pra d certo

Figura 19: Resultado da simulao realizada da distribuio de Srie Logartmica Generalizada com os parmetros p = 0.4, = 0.01 e m = 10.

45

Figura 20: Resultado da simulao realizada da distribuio de Srie Logartmica Generalizada com os parmetros p = 0.4, = 0.02 e m = 10.

Figura 21: Resultado da simulao realizada da distribuio de Srie Logartmica Generalizada com os parmetros p = 0.4, = 0.03 e m = 10.

46

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