distribuições geométrica, pascal e hipergeométrica

8/16/2019 Distribuições Geométrica, Pascal e Hipergeométrica

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Distribuição Geométrica

Aplicada em experimentos que satisfazem a todas ascondições de experimentos binomiais, exceto por não ter umnúmero finito de provas e sim infinito.

A distribuição geométrica recebe esta denominação porqueseus valores sucessivos constituem uma progressão geométrica.Para esta distribuição há uma infinidade enumerável depossibilidades; os eventos são independentes e com probabilidadede sucesso p.

A variável X corresponde ao número de experimentos antes daocorrência do primeiro sucesso.Assim, em teoria das probabilidades e estatística, a distribuiçãogeométrica é constituída por duas funções de probabilidade

discretas: a distribuição de probabilidade Binomial do nº X de

tentativas necessárias p/ alcançar um sucesso, conjunto { 1,2, 3, ... }, ou

a distribuição de probabilidade do número Y = X − 1 deinsucessos antes do primeiro sucesso, suportadas pelo

conjunto { 0, 1, 2, 3, ... }.

Obs.: Lembre que p + q =1 e assim, q= 1-p.

Se X é o número de tentativas até aparecer o 1 o sucesso .Assim, X assume os valores:X = 1 , corresponde ao sucesso (S) e P(X=1) = p

http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_das_probabilidadeshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Estat%C3%ADsticahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Estat%C3%ADsticahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_das_probabilidades


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Exemplo 2Uma empresa produz componentes computacionais. Suponha que aprobabilidade de um componente ser defeituoso é 0,2. Numamesa de testes, uma grande quantidade destes componentes éposta à prova, um a um. Determine a probabilidade do primeirodefeito encontrado ocorrer no sétimo componente testado.

Distribuição de Pascal ou

A distribuição de Pascal (ou distribuição Binomial negativa) éuma distribuição de probabilidade para variáveis aleatóriasdiscretas.A distribuição de Pascal é fortemente relacionada com a Geométrica (vistano caso anterior). Na Geométrica queremos o nº de tentativas X paraobter o 1º sucesso, ou seja, o tempo de espera até que se tenha o eventode importância ou sucesso. Na de Pascal queremos o nº de tentativas Xpara obter r sucessos.

Assim, esta distribuição indica o nº de tentativas necessárias (eindependentes) para obter r sucessos de igual probabilidade pao fim de x experiências, sendo a última tentativa um sucesso.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_de_probabilidadehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_de_probabilidade


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em que x = r, r+1, r+2, ...

Exemplo 1: Numa linha de montagem, 10% das peças são defeituosas. A probabilidade de a quinta peça que se analisa ser a segunda defeituosa é


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Distribuição Multinomial

Como se sabe, a Distribuição Binomial se aplica apenas nos casosque envolvem 2 tipos de resultados (sucesso e fracasso) em umacategoria. A Multinomial é uma generalização da Binomial poisenvolve mais que duas categorias. Por exemplo, para trêscategorias a f.p. é expressa pela fórmula:

Valor esperado (esperança) e variância:

O valor esperado do número de vezes em que o índice i éobservado e a variância são dados por

( )i i E X np e ( ) ( )i i iV X np 1 p

Exemplo 1: Os seguintes eventos podem ocorrer com um pacoteenviado pelo correio: chegar em perfeito estado, chegardanificado ou perder-se pelo caminho. As probabilidades desseseventos são, respectivamente 0,7, 0,2 e 0,1. Foram enviadosrecentemente 10 pacotes pelo correio. Qual a probabilidade de 6chegarem corretamente ao destino, 2 serem perdidos e os outros2 danificados?

Defina as seguintes variáveis aleatórias:

X1: número de pacotes que chegaram corretamente e sem danos;X2: número de pacotes que chegaram danificados;


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X3: número de pacotes que se perderam pelo caminho.Então X1+X2+X3 = n= 10 e p1+p2+p3 = 0,7+0,2+0,1 = 1. Logo,

Exemplo 2: Uma caixa contendo 12 bolas, das quais 5 sãovermelhas, 4 brancas e 3 azuis. Suponha que seja retirada 5bolas ao acaso e com reposição. Qual a probabilidade de quesejam retiradas 2 bolas vermelhas, 2 brancas e 1 azul ?

Primeiramente temos que calcular a probabilidade de retirarmosuma bola branca:

a probabilidade de retirarmos uma bola vermelha:

e a probabilidade de retirarmos uma bola azul:

Assim usando a formula da multinomial temos que

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