capítulo 5 algumas distribuições de probabilidades...

Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 5-1

Capítulo 5

Algumas Distribuições de

Probabilidades Discretas Importantes


Objetivos:

Neste capítulo você aprenderá:

As propriedades de uma distribuição de probabilidades

A calcular o valor esperado e a variância de uma

distribuição de probabilidades

A calcular a covariância e a compreender o seu uso em

finanças

A calcular probabilidades a partir de distribuições

binomiais, hipergeométricas e de Poisson

A utilizar distribuições binomiais, hipergeométricas e de

Poisson para solucionar problemas ligados aos negócios


Definições

Variáveis Aleatórias

Uma variável aleatória representa um valor numérico possível de um evento incerto.

Variáveis aleatórias discretas produzemresultados que advém de um processo de contagem (ex.: no. de disciplinas que vocêcursa).

Variáveis aleatórias contínuas produzemresultados que advém de um processo de medição (ex.: seu salário anual ou seu peso).


Variáveis Aleatórias Discretas

Exemplos

Variáveis aleatórias discretas só podem assumir um número

contável de valores

Exemplos:

Jogar um dado duas vezes

Seja X o no. de vezes em que o 4 aparece (então X pode ser 0,

1, ou 2 vezes)

Lançar uma moeda 5 vezes.

Seja X o no. de caras (então X = 0, 1, 2, 3, 4, ou 5)


Definições

Variáveis Aleatórias

Variáveis

Aleatórias

Discreta

V. A.

Contínua

V. A.Cap. 5 Cap. 6


Definições

Distribuição de Probabilidades

Uma distribuição de probabilidades para uma variávelaleatória discreta é uma lista mutuamente excludente de todos os resultados numéricos possíveis para aquela variável, de modo a que uma determinada probabilidade de ocorrênciaesteja associada a cada resultado.

No. de disciplinas Probabilidade

2 0.2

3 0.4

4 0.24

5 0.16


Definições


Experimento: Duas jogadas de uma moeda.

Seja X = # caras.


Valor X Probabilidade

0 1/4 = .25

1 2/4 = .50

2 1/4 = .250 1 2 X

.50

.25

Pro

bab

ilit

y



Valor Esperado

Valor Esperado (ou média) de uma distribuição discreta(Média Ponderada)

Exemplo: 2 jogadas moeda, X = # de caras,

Calcule o valor esperado de X:

E(X) = (0)(.25) + (1)(.50) + (2)(.25)

= 1.0

N

i

ii XPX1

)( E(X)

Valor Probabilidade

0 1/4 = .25

1 2/4 = .50

2 1/4 = .25



Valor Esperado

Calcule o valor

esperado da

distribuição:

No. de

disciplinas

Probabilidade

2 0.2

3 0.4

4 0.24

5 0.16

E(X) = 2(.2) + 3(.4) + 4(.24) + 5(.16) = 3.36

Então, o no. médio de disciplinas por aluno é de

3.36.



Dispersão

Variância de uma variável aleatória discreta

Desvio Padrão de uma variável aleatória discreta

onde:

E(X) = Valor esperado da variável aleatória discreta X

Xi = o io. resultado de X

P(Xi) = Probabilidade do io. resultado de X ocorrer

N

1i

i

2

i

2 )P(XE(X)][Xσ

N

1i

i

2

i

2 )P(XE(X)][Xσσ



Dispersão

Exemplo: Duas jogadas de uma moeda, X = #

caras, calcule o desvio padrão (lembrar que E(X)

= 1)

N

1i

i

2

i

2 )P(XE(X)][Xσσ

.707.50(.25)1)(2(.50)1)(1(.25)1)(0σ 222

Nos. possíveis de caras = 0, 1, or 2


Covariância

A covariância é uma medida da força da

relação linear entre duas variáveis aleatórias

X e Y.

Uma covariância positiva indica uma relação

positiva.

Uma covariância negativa indica uma relação

negativa.


Covariância

Fórmula da Covariância:

)()]()][(([σ1

N

i

iiiiXY YXPYEYXEX

onde: X = variável aleatória discreta X

Xi = o i-ésimo resultado de X

Y = variável aleatória discreta Y

Yi = o i-ésimo resultado de Y

P(XiYi) = probabilidade de ocorrência do i-ésimo resultado de

X e do i-ésimo resultado de Y


Retornos de Investimentos

A MédiaConsidere o retorno de $1000 investidos em cada

um dos dois tipos de fundos de investimentos

abaixo.

Situação da Economia

P(XiYi)

Investimento

Fundo Passivo X Fundo Agressivo Y

0.2 Recessão - $25 - $200

0.5 Estabilidade + $50 + $60

0.3 Expansão + $100 + $350



A Média

E(X) = μX = (-25)(.2) +(50)(.5) + (100)(.3) = 50

E(Y) = μY = (-200)(.2) +(60)(.5) + (350)(.3) = 95

Interpretação: O fundo X tem um retorno médio de

$50.00 e o fundo Y um retorno médio de $95.00 para

cada $1000 investido.



Desvio Padrão

43.30

(.3)50)(100(.5)50)(50(.2)50)(-25σ 222

X

71.193

)3(.)95350()5(.)9560()2(.)95200-(σ 222

Y

Interpretação: Apesar do fundo Y ter um retorno

esperado maior, está sujeito a uma variabilidade de

resultados maior.



Covariância

8250

95)(.3)50)(350(100

95)(.5)50)(60(5095)(.2)200-50)((-25σXY

Interpretação: Como a covariância é alta e positiva,

há uma relação linear positiva entre os retornos dos

dois fundos, significando que provavelmente eles

terão seus movimentos de alta e queda nos mesmos

momentos.


A soma de duas variáveis aleatórias

Valor Espereado:

Variância:

Desvio-Padrão:

XYYXYXYX 2σσσσ)Var( 222

)()()( YEXEYXE

2σσ YXYX


Retorno Esperado de uma Carteira

de Títulos e Risco da Carteira

Carteiras de investimentos geralmente têm

diversos fundos (ou ações) diferentes

(variável aleatória)

O retorno esperado e o desvio padrão de dois

fundos pode agora ser calculado.

Objetivo do Investimento: Maximizar o

retorno (média) minimizando o risco (desvio

padrão).


Retorno Esperado da Carteira e

Risco da Carteira

Retorno Esperado da Carteira (média ponderada dos

retornos):

Risco da carteira (variabilidade ponderada)

onde w = proporção do valor da carteira investida no

ativo X

(1 - w) = proporção da carteira no ativoY

)()1()(E(P) YEwXEw

XY

2

Y

22

X

2

P w)σ-2w(1σ)w1(σwσ


Retorno Esperado da Carteira e

Risco da Carteira

Lembrar: Investment X: E(X) = 50 σX = 43.30

Investment Y: E(Y) = 95 σY = 193.21

σXY = 8250

Suponha que 40% do valor da carteira esteja investido no fundo X e 60% no fundo Y:

O retorno esperado fica entre os retornos individuais dos fundos X e Y individualmente considerados.

77)95()6(.)50(4.E(P)

04.133

8250)2(.4)(.6)((193.21))6(.(43.30)(.4)σ 2222

P


Distribuições de Probabilidades

Distribuições de

Probabilidades

Contínuas

Binomial

Hipergeométrica

Poisson

Distribuições de

Probabilidades

Distribuições de

Probabilidades

Discretas

Normal

Uniforme

Exponencial

Cap. 5 Cap. 6


A Distribuição Binomial:

Propriedades

A amostra consiste em um no. fixo de observações, n

ex. 15 jogadas de uma moeda; 10 lâmpadas retiradas de um depósito

Duas categorias mutuamente exclusivas e coletivamente

exaustivas

ex. Cara ou coroa em cada jogada da moeda; defeituosa ounão defeituosa no caso das lâmpadas.

Geralmente chamadas de “sucesso” e “fracasso”

Probabilidade de sucesso é p, probabilidade de fracasso é 1 – p

Probabilidade constante para cada observação

ex. Probabilidade de tirar cara é a mesma em cada jogada da

moeda


A Distribuição Binomial:

Propriedades

As observações são independentes

O resultado de uma observação não afeta o resultadode outra observação

Dois métodos de amostragem

Sem reposição para populações infinitas

Com reposição para populações finitas


Aplicações da Distribuição Binomial

Uma fábrica classificando itens como defeituosos

ou aceitáveis

Uma firma submetendo propostas pode assinar ou

não um contrato

Uma pesquisa de marketing identificando intenções

de compra pode receber respostas “sim, eu

comprarei” ou “não, eu não comprarei”

Candidatos a um emprego podem ser ou não

contratados


A Distribuição Binomial

Técnicas de Contagem

Suponha que sucesso seja definido comoobter pelo menos duas caras em três jogadasde uma moeda equilibrada. De quantasmaneiras isso pode ocorrer?

Sucessos Possíveis: CCK, CKC, KCC, CCC, Portanto, há quatro maneiras possíveis.

Esta situação é extremamente simples. Precisamos de uma forma de contar sucessosem situações mais complicadas.



Combinações

O no. de formas de selecionar X objetos em

um conjunto de n objetos é:

X)!(nX!

n!

X

nCXn

onde:

n! =n(n - 1)(n - 2) . . . (2)(1)

X! = X(X - 1)(X - 2) . . . (2)(1)

0! = 1 (por definição)



Combinações

Quantas combinações diferentes de 3 sabores de

sorvete você pode criar a partir de um cardápio com

31 sabores?

44952953128!123

28!293031

3!28!

31!

3)!(313!

31!

3

31C331


Distribuição Binomial

Formula

XnX )(1X)!(nX!

n!P(X)

pp

P(X) = probabilidade de X sucessos em ntentativas, com probabilidade de sucessop em cada tentativa

X = no. de “sucessos” na amostra,

(X = 0, 1, 2, ..., n)

n = tamanho da amostra (no. de tentativas

ou observações)

p = probabilidade de “sucesso”

Exemplo: jogar uma moeda

4 vezes; seja x = # caras:

n = 4

p = 0.5

1 - p = (1 - .5) = .5

X = 0, 1, 2, 3, 4



Exemplo

.32805

)(5)(.1)(.9

.1)(1(.1)1)!(51!

5!

)(1X)!(nX!

n!1)P(X

4

151

XnX

pp

Qual a probabilidade de um sucesso em 5 observações

se a probabilidade de sucesso é .1?

X = 1, n = 5, e p = .1



Exemplo

Suponha que a probabilidade de comprar um

computador defeituoso seja de 0.02. Qual a

probabilidade de comprar 2 computadores defeituosos

em um lote de 10?

X = 2, n = 10, e p = .02

.01531

)(.8508)(45)(.0004

.02)(1(.02)2)!(102!

10!

)(1X)!(nX!

n!2)P(X

2102

XnX

pp



Formato

n = 5 p = 0.1

0

.2

.4

.6

0 1 2 3 4 5 X

P(X)

n = 5 p = 0.5

.2

.4

.6

0 1 2 3 4 5 X

P(X)

0

O formato da distribuiçãobinomial depende do valor p e n

Aqui, n = 5 e p = .1

Aqui, n = 5 e p = .5



Usando as Tabelas Binomiaisn = 10

x … p=.20 p=.25 p=.30 p=.35 p=.40 p=.45 p=.50

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

0.1074

0.2684

0.3020

0.2013

0.0881

0.0264

0.0055

0.0008

0.0001

0.0000

0.0000

0.0563

0.1877

0.2816

0.2503

0.1460

0.0584

0.0162

0.0031

0.0004

0.0000

0.0000

0.0282

0.1211

0.2335

0.2668

0.2001

0.1029

0.0368

0.0090

0.0014

0.0001

0.0000

0.0135

0.0725

0.1757

0.2522

0.2377

0.1536

0.0689

0.0212

0.0043

0.0005

0.0000

0.0060

0.0403

0.1209

0.2150

0.2508

0.2007

0.1115

0.0425

0.0106

0.0016

0.0001

0.0025

0.0207

0.0763

0.1665

0.2384

0.2340

0.1596

0.0746

0.0229

0.0042

0.0003

0.0010

0.0098

0.0439

0.1172

0.2051

0.2461

0.2051

0.1172

0.0439

0.0098

0.0010

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

… p=.80 p=.75 p=.70 p=.65 p=.60 p=.55 p=.50 x

Exemplos:

n = 10, p = .35, x = 3: P(x = 3|n =10, p = .35) = .2522

n = 10, p = .75, x = 2: P(x = 2|n =10, p = .75) = .0004



Características

Média

Variância e Desvio Padrão

pnE(x)μ

)-(1nσ2 pp )-(1nσ pp

onde n = tamanho da amostra

p = probabilidade de sucesso

(1 – p) = probabilidade de fracasso



Características

n = 5 p = 0.1

0

.2

.4

.6

0 1 2 3 4 5 X

P(X)

n = 5 p = 0.5

.2

.4

.6

0 1 2 3 4 5 X

P(X)

0

0.5(5)(.1)nμ p

0.6708

.1)(5)(.1)(1)-(1nσ

pp

2.5(5)(.5)nμ p

1.118

.5)(5)(.5)(1)-(1nσ

pp

Exemplos


Distribuição de Poisson

Definições

Uma área de oportunidade é uma unidade

contínua ou um intervalo de tempo, volume

ou área tal que nela possa acontecer mais de

uma ocorrência de um evento.

ex. No. de arranhões na pintura de um carro

ex. No. de picadas de mosquito em uma pessoa

ex. No. de falhas em um computador em um

dia



Propriedades

Aplique a Distribuição de Poisson quando:

Você deseja contar o no. de vezes que um evento ocorre em umadada área de oportunidade

A probabilidade que um evento ocorra em uma área de oportunidade é a mesma que ele ocorra em qualquer outra áreade oportunidade

O no. de ocorrências do evento em uma área de oportunidade é independente o no. de ocorrência nas outras áreas de oportunidade

A probabilidade de que dois ou mais eventos ocorram em umamesma área de oportunidade aproxima-se de zero à medida que a a área de oportunidade vai se tornando menor

O no. médio de eventos por unidade é (lambda)



Formula

X!

λeP(X)

xλ

onde:

X = no. de eventos em uma área de oportunidade

= no. esperado de eventos

e = constante matemática aproximada por 2.71828…



Exemplo

Suponha que, em média, 5 carros entram em um

estacionamento por minuto. Qual a probabilidade

de que em um dado minuto, 7 carros entrem?

Então, X = 7 e λ = 5

0.1047!

5e

X!

λeP(7)

75xλ

Então, há uma chance de 10.4% de que 7 carros

entrem no estacionamento em um dado minuto.



Usando as Tabelas de Poisson

X

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90

0

1

2

3

4

5

6

7

0.9048

0.0905

0.0045

0.0002

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0.8187

0.1637

0.0164

0.0011

0.0001

0.0000

0.0000

0.0000

0.7408

0.2222

0.0333

0.0033

0.0003

0.0000

0.0000

0.0000

0.6703

0.2681

0.0536

0.0072

0.0007

0.0001

0.0000

0.0000

0.6065

0.3033

0.0758

0.0126

0.0016

0.0002

0.0000

0.0000

0.5488

0.3293

0.0988

0.0198

0.0030

0.0004

0.0000

0.0000

0.4966

0.3476

0.1217

0.0284

0.0050

0.0007

0.0001

0.0000

0.4493

0.3595

0.1438

0.0383

0.0077

0.0012

0.0002

0.0000

0.4066

0.3659

0.1647

0.0494

0.0111

0.0020

0.0003

0.0000

Exemple: Encontre P(X = 2) se = .50

.07582!

(0.50)e

X!

λe2)P(X

20.50Xλ



Formato

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0 1 2 3 4 5 6 7

x

P(x

)

P(X = 2) = .0758

X P(X)

0

1

2

3

4

5

6

7

0.6065

0.3033

0.0758

0.0126

0.0016

0.0002

0.0000

0.0000

= .50



Formato

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x

P(x

)

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0 1 2 3 4 5 6 7

x

P(x

)

= 0.50 = 3.00

O formato da Distribuição de Poisson depende

do parâmetro :


Distribuição Hipergeométrica

A distribuição binomial é aplicável quando

a seleção é feita em uma população finita

com reposição ou sem reposição em uma

população infinita.

A distribuição hipergeométrica é aplicável

quando a seleção é feita sem reposição em

uma população finita.



“n” tentativas em uma amostra retirada de uma

população finita de tamanho N

Amostragem feita sem reposição

O resultado de uma observação é dependente

dos resultados das observações anteriores

Permite encontrar a probabilidade de “X”

sucessos em uma amostra retirada de uma

população onde há “A” sucessos



n

N

Xn

AN

X

A

XP )(

Onde:

N = tamanho da população

A = número de sucessos na população

N – A = número de fracassos na população

n = tamanho da amostra

X = número de sucessos na amostra

n – X = número de fracassos na amostra

Para entender a fórmula...

Uma floricultura envia limoeiros de três anos em lotes de 24 e, quando eles

chegam ao destino, um inspetor seleciona ao acaso três de cada lote. Se essas

três árvores são saudáveis, todo o lote é aceito; caso contrário, as outras 21

árvores do lote também são inspecionadas. Como um lote pode ser aceito sem

inspeção adicional, mesmo que haja muitas árvores em más condições, esse

procedimento de inspeção envolve um risco considerável. Para ilustrar a

magnitude do risco, vamos supor que, na realidade 6 das 24 árvores estejam

em más condições e determinemos a probabilidade de que um lote inteiro seja,

mesmo assim, aceito sem inspeção adicional. Isso significa que devemos

encontrar a probabilidade de três sucessos (árvores saudáveis) em três provas

(árvores inspecionadas) e poderíamos ser tentados a argumentar que, como 18

das 24 árvores no lote estão saudáveis, a probabilidade é de 18/24=3/4 que

alguma delas esteja saudável...


... e portanto a probabilidade procurada é

Esse resultado, obtido com a fórmula da distribuição binomial, seria correto se a amostragem fosse com reposição, mas não é isso que ocorre em problemas reais de inspeção por amostragem. Para obtermos a resposta correta de nosso problema quando a amostragem é sem reposição, devemos raciocinar como segue: há um total de

maneiras de escolher três das 24 árvores, e todas elas são equiprováveis em virtude da hipótese de que a seleção é aleatória. Entre estas, há maneiras de selecionar 3

das 18 árvores saudáveis e decorre, portanto, que a probabilidade procurada é 816/2.024=0,40.

42,04

1

4

3

3

3)3(

03

XP

024.23

24

8163

18


A expressão da Distribuição Hipergeométrica é uma generalização do

método que usamos no caso das árvores.

Suponha que devamos escolher n objetos em um conjunto de N objetos e

que neste conjunto de N objetos haja A que são de um tipo (sucesso) e N-

A que sejam de outro tipo (fracasso), que a amostragem seja sem

reposição e que estejamos interessados na probabilidade de obter X

sucessos e n-X fracassos.


Argumentando como anteriormente, vemos que é possível escolher n

objetos de um conjunto total de N objetos de

maneiras, e que X dos A sucessos e n-X dos N-A fracassos podem ser

escolhidos de maneiras. Decorre que,

na amostragem sem reposição, a probabilidade de “x sucessos em n

provas” é

n

N

Xn

AN

X

A

n

N

Xn

AN

X

A

XP )(



Características

A média, ou valor esperado, da distribuição

hipergeométrica é :

N

nAE(x)μ

O desvio padrão é :

1- N

n-N

N

A)-nA(Nσ

2

1- N

n-NOnde é conhecido como “Fator de Correção para

Populações Finitas”, para amostras sem reposição extraídas de

populações finitas.



Exemplo

Computadores são checados em um departamento com 10 computadores. 4 dos 10 computadores tem software ilegalinstalado. Qual é a probabilidade de que ao selecionar trêspara checagem, 2 deles tenham softwares ilegaisinstalados?

Então, N = 10, n = 3, A = 4, X = 2

0.3120

(6)(6)

3

10

1

6

2

4

n

N

Xn

AN

X

A

2)P(X

A probabilidade de que 2 dos 3 computadores selecionados

tenham software ilegal é de 0,30 ou 30%.


Capítulo 6

A Distribuição Normal e Outras

Distribuições Contínuas


Objetivos:

Neste capítulo, você aprenderá:

Calcular probabilidades a partir da distribuição

normal

Utilizar o gráfico da probabilidade normal para

determinar se um conjunto de dados está distribuído

aproximadamente nos moldes da distribuição normal

Calcular probabilidades a partir da distribuição

uniforme

Calcular probabilidades a partir da ditribuição

exponencial


Distribuições de Probabilidades

Contínuas

Uma variável aleatória contínua é uma variável que

pode assumir qualquer valor em um continuum (pode

assumir um no. incontável de valores)

Espessura de um item

Tempo necessário para concluir uma tarefa

Temperatura de uma solução

Peso

As variáveis acima pode assumir qualquer valor,

dependendo apenas do nível de precisão com que serão

medidas.

Variável Aleatória Contínua

Para v.a. contínua não faz sentido estabeler um par entre xi e p(xi)

A probabilidade de ocorrer um xi específico é zero

A distribuição de probabilidades é denominada função densidade de probabilidade que é uma função não negativa

A probabilidade de ocorrer valores entre a e b é definida pela área sob a curva entre os valores a e b.

a b

f(X)

(Note que a

probabilidade de

qualquer valor individual

é zero)

P(a ≤ X ≤ b)


Distribuição Normal

Propriedades

tem o formato de “sino”

Simétrica

Média, Mediana e Moda são iguais

a posição é caracterizada pela média, μ

a dispersão é caracterizada pelo desvio-padrão, σ

a variável aleatória possui amplitude infinita: - a +

caso limite para diversas outrasdistribuições

fundamental para a inferência estatística

definida por dois parâmetros (μ , σ)

Média

= Mediana

= Moda

f(X)

μ

σ



Função Densidade

2μ)(X

2

1

e2π

1f(X)

• A fórmula para a função densidade de probabilidade da

distribuição Normal é

Onde e = constante matemática aproximada para 2,71828

π = constante matemática aproximada para 3,14159

μ = média da população

σ = desvio padrão da população

X = qualquer valor da variável contínua, em que

- < X < +



Forma

Variando os parâmetros μ e σ, obtemos diferentes

distribuições normais

X

f(X)

CA

B



Forma

X

f(X)

μ

σ

Mudando μ a

distribuição move-se

para a direita ou

esquerda.

Mudando σ a dispersão é

aumentada ou diminuída.


Distribuição Normal Padrão

• Qualquer distribuição normal (com qualquercombinação de média e desvio padrão) podeser transformada em uma distribuição normal padrão (Z).

• Necessário transformar X unidades em Zunidades.

• A distribuição normal padrão tem média 0 e desvio padrão igual a 1.



σ

μXZ

Para converter qualquer variável aleatória normal,

X, em uma variável aleatória normal padronizada,

Z, subtrai-se a média de X e divide-se pelo desvio

padrão:


Distribuição Normal Padrão: Função

Densidade de Probabilidade

2

Z2

e2π

1f(Z)

A fórmula da função densidade de probabilidade normal

padrão é:

Onde: e = constante matemática aproximada para 2,71828

π = constante matemática aproximada para 3,14159

Z = qualquer valor da distribuição normal padrão



Forma

Z

f(Z)

0

1

• Também conhecida como distribuição “Z”

• Media é 0

• Desvio Padrão é 1

Valores acima da média têm valores-Z positivos, valores

abaixo da média têm valores-Z negativos



Exemplo

2.050

100200

σ

μXZ

• Se X é uma variável aleatória normalmente distribuída

com média 100 e desvio padrão igual a 50, o valor-Z

para um valor X = 200 é

• Isto quer dizer que X = 200 está dois desvios-padrão (2

incrementos de 50 unidades) acima da média 100.



Exemplo

Z

100

2.00

200 X (μ = 100, σ = 50)

(μ = 0, σ = 1)

Observe que a distribuição é a mesma, somente a

escala é diferente. Nós podemos expressar o

problema na unidade original (X) ou em unidades

padronizadas (Z)


Probabilidades na Distribuição

Normal

a b

f(X)

(Observe que a

probabilidade de

ocorrência de qualquer

valor individual é zero)

A probabilidade, como em qualquer distribuição

contínua, é medida pela área sob a curva

P(a ≤ X ≤ b)


Normal Probabilities

A área total sob a curva é 1,0, e a curva é simétrica,

então, metade está acima da média e metade está

abaixo da média.

f(X)

0.50.5

1.0)XP(

0.5)XP(μ 0.5μ)XP(


Tabelas da Distribuição Normal

Exemplo:

P(Z < 2.00) = .9772

A tabela da Normal Padronizada no livro texto

(Apêndice E.2) dá a probabilidade de valores

menores do que Z (ou seja, do negativo infinito

até Z)

Z0 2.00

.9772


Tabelas da Distribuição Normal

O valor da tabela dá a probabilidade de que Z esteja entre Z = e Z igual ao valor desejado.

.9772

2.0P(Z < 2.00) = .9772

A linha mostra o

valor de Z para a

primeira casa

decimal

A coluna dá o valor de Z na segunda

casa decimal

2.0

.

.

.

Z 0.00 0.01 0.02 …

0.0

0.1


Encontrando Probabilidades Normais

Procedimento

• Especifique a distribuição normal do seu problema em

termos da variável X.

• Transforme os valores-X em valores-Z.

• Use as tabelas da distribuição Normal padrão.

Para encontrar a P(a < X < b) quando

X é distribuído normalmente:



Exemplo

Seja X uma variável aleatória que represente o tempo (em segundos) para fazer o download de um arquivo na internet.

Suponha que X tenha distribuição normal com média 8,0 e desvio-padrão 5,0

Encontre P(X < 8,6)

X

8.6

8.0



Exemplo

0.125.0

8.08.6

σ

μXZ

Supondo que X seja normal com média 8,0 e desvio-

padrão 5,0. Encontre a P(X < 8,6).

Z0.120

X8.68

μ = 8

σ = 10

μ = 0

σ = 1

P(X < 8.6) P(Z < 0.12)



Exemplo

Z .00 .01 .02

0.0 .5000 .5040 .5080

0.1 .5398 .5438 .5478

0.2 .5793 .5832 .5871

0.3 .6179 .6217 .6255

Tabela da Distribuição Normal

Padronizada (Extrato)

Z0.120

μ = 0

σ = 1

.5478

= P(Z < 0.12)

P(X < 8.6)



Exemplo

Encontrando P(X > 8.6)…

P(X > 8.6) = P(Z > 0.12) = 1.0 - P(Z ≤ 0.12)

= 1.0 - .5478 = .4522

Z

0.12

0

.5478

1.0 - .5478 = .4522



Entre dois valores

• Suponha X uma v.a. com distribuição normal com média

8,0 e desvio padrão 5,0. Encontre P(8 < X < 8,6)

P(8 < X < 8.6)

= P(0 < Z < 0.12)

05

88

σ

μXZ

0.125

88.6

σ

μXZ

Calcule os valores Z:

Z0.120

X8.68



Entre dois valores

Z .00 .01 .02

0.0 .5000 .5040 .5080

0.1 .5398 .5438 .5478

0.2 .5793 .5832 .5871

0.3 .6179 .6217 .6255

Tabela da Distribuição Normal

Padronizada (Extrato)

Z

0.12

.0478

0.00

= P(0 < Z < 0.12)

P(8 < X < 8.6)

= P(Z < 0.12) – P(Z ≤ 0)

= .5478 - .5000 = .0478

.5000


Dada a Probabilidade Normal,

Encontrar o valor X

Seja X uma v.a. que represente o tempo (em segundos) para fazer o download de um arquivo na Internet.

Suponha que X siga uma distribuição Normal com média8,0 e desvio padrão 5,0

Encontre X tal que 20% dos tempos para download sejaminferiores a X.

X? 8.0

.2000

Z? 0



Encontrar o valor X

Primeiro, encontre o valor-Z correspondente

à probabilidade conhecida usando a tabela.

Z …. .03 .04 .05

-0.9 …. .1762 .1736 .1711

-0.8 …. .2033 .2005 .1977

-0.7 …. .2327 .2296 .2266

X? 8.0

.2000

Z-0.84 0



Encontrar o valor X

A seguir, converta o valor-Z em valor-X

usando a fórmula.

Então 20% dos tempos para fazer o download são

menores do que 3,80 segundos.

80,3

0,5)84,0(0,8

ZσμX

-X

-XZ

Z


Avaliando a Normalidade

É importante saber avaliar o quão bem a distribuição dos dados pode ser aproximada poruma distribuição normal.

Dados normalmente distribuídos deveriamseguir as propriedades teóricas da distribuiçãoNormal: A distribuição Normal é em forma de sino

(simétrica) sendo a média igual à mediana.

As regras empíricas aplicam-se à distribuiçãonormal.

A amplitude interquartil é igual a 1,33 desvios-padrão.



Construa gráficos

Para conjuntos de dados de tamanho pequeno oumoderado, construa uma disposição ramo e folha e um box-plot. Eles parecem simétricos?

Para conjuntos grandes de dados, construa um histograma. Ele tem a forma de sino?

Calcule as estatísticas descritivas

A média, mediana e moda têm valores semelhantes?

A amplitude interquartil é aproximadamente igual a 1.33 σ?

A amplitude é aproximadamente igual a 6 σ?



Observe a distribuição do conjunto de dados

Aproximadamente 2/3 dos valores se posicionamentre a média aritmética e ± 1 desvio-padrão?

Aproximadamente 80% dos valores se posicionamentre a média aritmética e ± 1.28 desvio-padrão?

Aproximadamente 95% dos valores se posicionamentre a média aritmética e ± 2 desvios-padrão?

Avalie o gráfico da probabilidade normal

O gráfico da probabilidade normal é aproximadamente linear com inclinação positiva?


O Gráfico da Probabilidade Normal

Gráfico da Probabilidade Normal (etapas):

Organize os dados em uma sequência ordenada

Transforme cada valor ordenado em um valor de Z

Disponha em um gráfico os pares de valores. Os valores

observados da variável X no eixo vertical e no eixo

horizontal os valores de Z calculados com base na

ordem de cada valor observado.

Verifique visualmente se há evidências de linearidade.



30

60

90

-2 -1 0 1 2 Z

X

O gráfico da probabilidade normal para um conjunto de

dados com distribuição aproximadamente normal terá a

seguinte aparência:



Assimetria à esquerda Assimetria à direita

Retangular

30

60

90

-2 -1 0 1 2 Z

X

30

60

90

-2 -1 0 1 2 Z

X

30

60

90

-2 -1 0 1 2 Z

X Gráficos não lineares

indicam um afastamento

do modelo de

distribuição normal.


Distribuição Uniforme

A distribuição uniforme é uma distribuição de

probabilidade que tem probabilidades iguais

para todos os possíveis resultados da variável

aleatória. Todos os valores do espaço amostral

têm a mesma probabilidade de ocorrer.

Por causa disso ela é também chamada de

distribuição retangular



A função densidade de probabilidade da Distribuição Uniforme :

contrário caso 0

bXaseab

1

Onde:

f(X) = valor da função densidade para qualquer valor de X

a = valor mínimo de X

b = valor máximo de X

f(X) =



2

baμ

12

a)-(bσ

2

A média, ou valor esperado, de uma variável

que segue a distribuição uniforme é :

O desvio-padrão é :



Exemplo: encontre os parâmetros (média e desvio

padrão) de uma v.a. que segue a distribuição

uniforme e assume valores entre 2 ≤ X ≤ 6 :

42

62

2

baμ

1547.112

2)-(6

12

a)-(bσ

22

f(X) = = .25 for 2 ≤ X ≤ 66 - 21

2 6

.25

X

f(X)


Distribuição Exponencial

Usada para modelar o tempo entre duas ocorrências

de um evento

Muito utilizada em Teoria das Filas para estudar o

tempo entre duas chegadas

Exemplos:

Tempo entre a chegada de clientes a um supermercado

Tempo entre chamadas telefônicas

Tempo entre transações em um terminal ATM

É uma distribuição assimétrica à direita que se

extende de zero até o infinito positivo



Xe1X)chegada próxima da antes P(tempo λ

Definida por um único parâmetro, sua média λ

(lambda)

A probabilidade de que o tempo de chegada seja

menor que um tempo especificado X é

onde e = constante matemática aproximadamente igual a

2.71828

λ = a média aritmética do número de chegadas por

unidade

X = qualquer valor da variável contínua, em que

0 < X <



Exemplo: Clientes chegam a um balcão de atendimento a

uma taxa de 15 por hora. Qual a probabilidade de que o

tempo de chegada entre dois clientes consecutivos seja

menor do que 3 minutos?

A média do número de chegadas por hora é 15, então λ = 15

3 minutos é igual a 0,05 horas

P(tempo entre chegadas < .05) = 1 – e-λX = 1 – e-(15)(0,05) =

0,5276

Então há 52,76% de probabilidade de que o tempo entre

chegadas sucessivas de clientes seja menor do que 3 minutos


Capítulo 7

Amostragem e Distribuições de

Amostragens


Objetivos

Neste capítulo, você aprenderá:

A distinguir entre diferentes métodos de

amostragem

O conceito de distribuição de amostragens

A calcular probabilidades relacionadas à

média aritmética da amostra e à proporção da

amostra

A importância do Teorema do Limite Central

População

População: é o “todo”

Também designado universo

Podem ser indivíduos, firmas, produtos manufaturados,

inventários, escolas, notas de aula, preços ou qualquer coisa que

possa ser mensurada, contada ou ordenada por postos;

Podem ser finitas ou infinitas;

Finitas: os produtos de um supermercado, os livros de uma biblioteca

Infinitas: produção futura de uma fábrica, nascimentos de insetos,

extrações com reposição de bolas de uma urna. Consistem

tipicamente em um processo que gera itens.

Refere-se a um conjunto específico de circunstâncias;

Ex: os alunos de uma sala de aula podem representar uma população

da qual extrairemos amostras para análise; em outra situação os

alunos da mesma sala de aula podem ser uma amostra de todos os

alunos do colégio, ou de toda a universidade.

Amostra

É a parcela do grupo que é examinada

População

Amostra

Estatística: Prof. André Carvalhal

Censo x Amostra

Censo: envolve estudar TODOS os elementos da população

Quando a amostragem é mais vantajosa:

Quando a população é infinita (processos que nunca

terminam)

A amostra pode ser mais atualizada que o censo

Quando a população tende a se modificar com o tempo

Quando a população tende a se deteriorar (ex: frutas

perecíveis, pesquisa em propagação de doenças)

Testes destrutivos (lâmpadas, munição, resistência de

concreto)

Quando o custo do censo é proibitivo

Quando o censo puder ter problemas de precisão (vários

agentes coletores aumentam a chance de erros)

Censo x Amostra

Quando o censo é mais vantajoso:

Quando a população é pequena

Quando o tamanho da amostra é grande em

relação ao da população. Ex: quando há grande

variabilidade na população a amostra terá que

ser grande para ser representativa, neste caso o

custo adicional para realizar o censo pode ser

pequeno

Se é necessário precisão completa Ex:

contagem de dinheiro em guichês de bancos

Tipos de Métodos de Amostragens

Amostra não-probabilística (ou não aleatória):

Os itens ou indivíduos são selecionados sem conhecer suas

respectivas probabilidades de seleção

As teorias da estatística inferencial não se aplicam

Exemplos de métodos: amostragem por conveniência e

amostragem por julgamento

Podem trazer problema de viés

Amostra probabilística (ou aleatória):

Itens selecionados com base em probabilidades conhecidas

Permite que se faça inferências isentas de viés

Na prática é difícil ou quase impossível obtê-la...

... mas você deve tentar e reconhecer eventuais vieses da

sua seleção.

Vantagens e Desvantagens

Vantagens Desvantagens

Aleatória

• a subjetividade do investigador não

interfere na escolha da amostra

• dificuldade de obter listagens

completas da população

• possibilidade de definir o tamanho da

amostra a partir da precisão e grau de

confiança desejado

• a seleção aleatória pode gerar amostra

dispersa geograficamente aumentando

os custos do estudo

Não aleatória

• menor custo • há unidades no universo que não tem

possibilidade de serem escolhidos

• menor necessidade de pessoal • pode ocorrer viés de opinião pessoal

• menor tempo de estudo • não se sabe com que grau de

confiança as conclusões obtidas podem

ser inferidas da população

Principais técnicas de amostragem

Técnicas de Amostragem

Probabilística ou

Aleatória

Não Probabilística ou

Não Aleatória

Simples

Estratificada

Sistemática

Conglomerado

Por conveniência

Por julgamento

Por quotas

Bola de neve

Amostragem aleatória de uma

população finita

Quantas amostras de tamanho n diferentes podem ser extraídas de uma

população finita de tamanho N, se:

(a) n = 2 e N = 12;

(b) n = 3 e N = 50?

Resposta: Combinação de N elementos tomados n a n

)!(!

!),(

nNn

N

n

NnNC

Uma amostra de tamanho n extraída de uma população finita de tamanho N é aleatória se é escolhida de tal modo que cada uma das

n

N amostras possíveis tem a mesma probabilidade

n

N

1 de serem

escolhidas.

Amostragem aleatória de uma

população finita

Como escolher as amostras?

Listando todas as amostras possíveis em pedacinhos de

papel, misturá-los e retirar “sem olhar”?

Listar os N elementos da população finita em

pedacinhos de papel e extrair n deles, um de cada vez,

sem reposição.

Exemplo: extrair n=12 de N=138 locais de escavação

arqueológica

No excel: função aleatórioentre(x;y)

Importante: todas as amostras extraídas devem ter a

mesma probabilidade de serem escolhidas/sorteadas

n

N

1

Amostragem aleatória de uma população

infinita

Uma amostra de tamanho n de uma população infinita é

aleatória se consiste em valores de variáveis aleatórias

independentes que têm a mesma distribuição.

O que é distribuição? normal, binomial etc..

Como assim independentes? A probabilidade de que cada variável

ocorra é a mesma e não depende das ocorrências anteriores.

Exemplo: resultado de doze jogadas de um dado {2, 5, 1, 3, 6, 4, 4, 5,

2, 4, 1, 2} são uma amostra aleatória se as variáveis são independentes

e têm a mesma distribuição de probabilidade

6,5,4,3,2,16

1)( ouxparaxf

Amostragem Sistemática

Conveniente quando a população está ordenada sob algum critério:

fichas de um fichário, lista telefônica

Calcula-se o intervalo de amostragem N/n aproximando-se para o

inteiro mais próximo: a.

Sorteia-se um no. aleatório x entre 1 e a.

A amostra será composta dos elementos x; x+a; x+2a;...

Exemplo: N=1000, n=200. Logo: a=1000/200=5

se 3 for o no. sorteado entre 1 e 5 os elementos da população

numerados por 3, 8, 13, ..., 998 irão compor a amostra

Frequentemente utilizada em pesquisas de opinião, realizadas em

locais públicos

Vantagens: amostras mais dispersas, fácil de ser conduzida

Desvantagem: a presença de periodicidades ocultas pode produzir

resultados tendenciosos

Amostragem aleatória estratificada

A população é dividida em subgrupos e a

amostragem aleatória é feita em cada subgrupo

Muito aplicada em populações com subgrupos

homogêneos internamente, mas diferentes entre si

Tamanhos de amostra para alocação proporcional População de tamanho N

k estratos de tamanhos N1, N2,..., Nk

Amostras de tamanhos n1, n2, ..., nk

keiparanN

Nn i

i ,...2,1

Amostragem por conglomerado

A população é subdividida em várias partes,

e algumas dessas subdivisões ou

conglomerados são selecionados

aleatoriamente para integrar a amostra

global.

Dentro de cada conglomerado pode-se

selecionar todos ou alguns elementos.

Principais técnicas de amostragemTécnicas de Amostragem

Probabilística ou

Aleatória

Não Probabilística ou

Não Aleatória

Simples

Estratificada

Sistemática

Conglomerado

Por conveniência

Por julgamento

Por quotas

Bola de neve

Amostragem por Conveniência

Quando a participação é voluntária

Quando os elementos da amostra são escolhidos por uma

questão de conveniência ou simplicidade

A amostra não é representativa da população

Deve ser empregada somente em casos especiais

Exemplo: um pesquisador deseja estudar o comportamento

dos preços de imóveis residenciais em lançamento em

Florianópolis e desenvolve sua amostragem coletando dados

em dois jornais da cidade

Amostragem por Julgamento

A amostra é escolhida segundo opinião de

um especialista

Não deve ser considerada representativa da

população

Exemplo: em uma pesquisa sobre os livros

mais relevantes para o mestrado e doutorado

em Contábeis um especialista elaborou a lista

dos alunos a serem entrevistados.

Amostragem por Quotas

Difere da amostragem estratificada pelo fato da seleção dos

elementos da população não ser aleatória

As vantagens do método estão na rapidez, economia e

facilidade de administração.

Exemplo: uma empresa deseja lançar um novo produto

de emagrecimento e o público-alvo são mulheres entre

15 e 40 anos das classes sociais A e B. A população é

dividida em categorias de acordo com as variáveis de

controle (idade e classe social). Uma amostra de 5% da

população recebe uma amostra grátis do produto.

Amostragem Bola de Neve

Identificam-se um ou mais indivíduos da população alvo,

e estes identificam outras observações que pertencem à

mesma população.

Bastante utilizado quando os elementos da população são

raros ou de difícil acesso.

Pode causar viés em função da indicação de amigos ou

especialistas

Exemplo: em uma pesquisa sobre potenciais novos

alunos uma escola de idiomas pretende atrair novos

alunos e, para cada aluno matriculado, oferece-se um

desconto na mensalidade se ele trouxer um novo aluno

para a escola.

Amostragem com ou sem reposição?

Questão relevante quando tratamos de populações finitas.

Se o tamanho da amostra é pequeno em relação à

população a questão torna-se irrelevante.

Uma regra prática é fazer a reposição quando o

tamanho da amostra excede 5% do tamanho da

população.

A extração de toda uma amostra de uma só vez equivale à

amostragem sem reposição.

Na amostragem com reposição é possível extrair um

mesmo item mais de uma vez.

Amostragem com ou sem reposição?

Há várias razões que justificam a amostragem sem reposição:

Os efeitos podem ser desprezíveis, e ela pode ser mais conveniente;

Se o teste for destrutivo é impossível repor os itens;

Na amostragem industrial pode ser difícil convencer os técnicos a

repor na população itens defeituosos;

Quando o exame de um item é custoso, a chance de examinar o

mesmo item mais de uma vez pode não ser desejável.

Quando a amostragem sem reposição é necessária e o tamanho da

amostra é relativamente grande em relação ao tamanho da população, o

cálculo das probabilidades relevantes se faz pela distribuição

hipergeométrica.

Avaliando a validade da pesquisa

Erros em pesquisas:

Erro de cobertura: quando certos grupos (ou extratos) da população

não foram identificados e portanto não estarão representados na

amostra. Causam viés de seleção.

Erro por falta de resposta: por exemplo quando pessoas não

respondem a questionários enviados. Causa viés por falta de

resposta.

Erro de amostragem: quando uma amostra é selecionada porque é

mais simples, menos dispendiosa e mais eficaz.

Erro de medição: pode ocorrer por deficiências na formulação da

pergunta; por influência do entrevistador sobre o entrevistado; e

por erro do respondente.

Antes de tudo...

... vocês lembram que:

Estatística Parâmetro

PopulaçãoAmostra

E usamos estatíticas das amostras

para estimar parâmetros da população

Finalidade da amostragem

Obter uma indicação do valor de um ou mais

parâmetros de uma população, tais como

média, o desvio padrão populacional, ou a

proporção de itens que possuem

determinadas característica.

Variabilidade Amostral

Mas você pode retirar várias amostras

diferentes de uma mesma população!!

Cada amostra pode te dar diferentes valores

para a média, desvio-padrão ou proporção.

Como saber então qual o valor do parâmetro

na população?

É preciso conhecer como a estatística varia

de amostra para amostra...

Exemplo

Vamos supor uma população finita com 5 elementos, que são os

números 3, 5, 7, 9, 11.

Neste caso, é fácil calcular os parâmetros média e desvio padrão

da população:

A média dessa população é

E seu desvio padrão é

Vamos supor que eu não pudesse calcular diretamente a média

da população e tivesse que fazê-lo através de estimativas com

base em amostras de 2 elementos...

75

119753

83,28

5

7117977757322222

Exemplo

Quantas amostras diferentes seria possível montar?

Vamos listar as amostras e suas médias:

Cada amostra tem uma probabilidade de ser escolhida

igual a 1/10.

10!32

!345

!3!2

!5

2

5

x

xx

Amostras 3 e 5 3 e 7 3 e 9 3 e 11 5 e 7 5 e 9 5 e 11 7 e 9 7 e 11 9 e 11

Médias 4 5 6 7 6 7 8 8 9 10

Exemplo

Posso calcular a probabilidade de encontrar cada um dos diferentes valores de

média nas amostras, que será:

Prob.

4 1/10

5 1/10

6 2/10

7 2/10

8 2/10

9 1/10

10 1/10

x

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

4 5 6 7 8 9 10

O que acabamos de

construir foi uma

distribuição de

probabilidades da

média da amostra

Mas isso nada mais é

do que uma

Distribuição Amostral!!

Distribuição Amostral

Uma distribuição amostral é uma distribuição de probabilidades

que indica até que ponto uma estatística amostral tende a variar

devido a variações casuais na amostragem aleatória.

Voltando ao Exemplo

No nosso exemplo qual a média das médias nas amostras? E

qual o desvio-padrão dessas médias?

Prob.

4 1/10

5 1/10

6 2/10

7 2/10

8 2/10

9 1/10

10 1/10

710

110

10

19

10

28

10

27

10

26

10

15

10

14 x

3

310

1710

10

179

10

278

10

277

10

276

10

175

10

174

22222222

x

x

x

É igual a média

da população

É menor que o

desvio padrão da

população

Vamos ver outro exemplo, agora fazendo a

amostragem com reposição...

Exemplo 2

Suponha uma população (simplificada) de quatro

pessoas de seu departamento.

Tamanho da população N=4

Variável aleatória, X, é a idade dos indivíduos

Valores de X: 18, 20, 22, 24 (anos)

Exemplo 2

Parâmetros da distribuição da População:

214

24222018

N

Xμ i

2.236N

μ)(Xσ

2

i

.3

.2

.1

018 20 22 24

A B C D

P(x)

x


Exemplo 2

1o.

Obs.

2o. Observação

18 20 22 24

18 18,18 18,20 18,22 18,24

20 20,18 20,20 20,22 20,24

22 22,18 22,20 22,22 22,24

24 24,18 24,20 24,22 24,24

Agora, considere todas as amostras possíveis de

tamanho n=2

1o.

Obs.

2o. Observação

18 20 22 24

18 18 19 20 21

20 19 20 21 22

22 20 21 22 23

24 21 22 23 24

16 médias

amostrais

16 amostras possíveis

(amostragem com

reposição)

Exemplo 2

Distribuição Amostral de todas as médias

amostrais

1o.

Obs

2o. Observação

18 20 22 24

18 18 19 20 21

20 19 20 21 22

22 20 21 22 23

24 21 22 23 24

16 médias

amostrais

18 19 20 21 22 23 240

.1

.2

.3

P(X)

X

(não é mais uniforme)

Distribuição das

médias amostrais

_

Exemplo 2

2116

24211918

N

Xμ i

X

1.5816

21)-(2421)-(1921)-(18

N

)μX(σ

222

2

Xi

X

Parâmetros da distribuição amostral da média

Exemplo 2

População

N = 4

1.58σ 21μX

X2.236σ 21μ

Distribuição Amostral da Médian = 2

18 20 22 24

A B C D

0

.1

.2

.3

P(X)

X 18 19 20 21 22 23 240

.1

.2

.3 P(X)

X_

_

Por enquanto... pelo menos em nossos

exemplos...

x , a média da distribuição amostral de x , é igual a , a

média da população; x , o desvio padrão da distribuição

amostral de x , é menor do que

, o desvio padrão

populacional.

Observem a notação!!!!

x , a média da distribuição amostral de x , é igual a , a

média da população; x , o desvio padrão da distribuição

amostral de x , é menor do que

, o desvio padrão

populacional.

Observem a notação!!!!

Mas... será que sempre podemos enumerar todas as amostras

possíveis para então analisar a média amostral e quanto ela

está próxima da média da população?

Não!!

Alguns teoremas solucionam a questão...

Teorema 1:

Para amostras aleatórias de tamanho n extraídas de uma

população com média e o desvio padrão

, a distribuição

amostral de x tem média x .

Erro Padrão

Desvio padrão da estimativa

Erro padrão: quanto menor, melhor!

Erro padrão da média para populações infinitas e finitas:

1

N

nN

nou

nxx

O que acontece se o erro padrão é pequeno? E se ele for grande?

O que determina o tamanho do erro padrão?

Você lembra?

Fator de

correção

para populações

finitas!!

Veja que interessante...

No primeiro exemplo dessa aula tínhamos uma população com 5 elementos:

3, 5, 7, 9, 11

A média e o desvio padrão da população eram:

Aí, listamos todas as amostras possíveis e calculamos a média e o desvio-

padrão (erro padrão) das médias das amostras:

Mas, se calcularmos o erro-padrão pela expressão do slide anterior, teremos:

87 e

37 xx e

342

38

15

25

2

8

1

N

nN

nx

As expressões nos dão o erro padrão sem que seja necessário listar todas as

amostras possíveis, calcular suas médias e então obter o erro padrão da média

das amostras!!

Efeito do tamanho da amostra sobre uma

distribuição amostral

À medida que aumenta o tamanho da amostra, há

variabilidade cada vez menor entre as médias das

amostras;

A média da distribuição amostral é igual ao

parâmetro da população, ou seja, é igual à média da

população;

Na medida em que o tamanho da amostra aumenta, a

distribuição dos resultados amostrais tende para a

forma da distribuição.

Distribuição Amostral da Média

Erro Padrão: População Normal

μμX

n

σσ

X

Se a população é normal com média μ e desvio-padrão σ, a

distribuição amostral da média é também distribuída

normalmente com

e

(Assume-se que a amostragem é feita com reposição ou sem

reposição em uma população infinita)


Valor Z: População Normal

n

σ

μ)X(

σ

)μX(Z

X

X

• Valor-Z para a distribuição amostral da média:

onde: = média da amostra

= média da população

= desvio padrão da população

n = tamanho da amostra

Xμ

σ


Propriedades: População Normal

(i.e. é nãoviesada )

População segue


Distribuição Amostral da

média segue Distribuição

Normal

(com a mesma média)

μμx

xx

x

μ

xμ


Propriedades: População Normal

Para amostragem com reposição:

À medida que n aumenta,

diminuixσMaior tamanho

de amostra

Menor tamanho

de amostra

xμ

Teorema do Limite Central

Para grandes amostras, a distribuição amostral da média pode

ser muito bem aproximada por uma distribuição normal,

lembrando que para populações infinitas:

Podemos então dizer formalmente que:n

e xx

Se x é a média de uma amostra aleatória de tamanho n de uma população

infinita com a média μ e o desvio padrão σ e se n é grande então

n

xz

/

tem aproximadamente a distribuição normal padrão.


Se aplica a populações infinitas...

... e a populações finitas em que n é grande mas representa

uma porção pequena da população, ou seja, n/N é pequeno

Para a maioria das distribuições, n > 30 dará uma

distribuição amostral próxima da normal

Para distribuições aproximadamente simétricas, n > 15, a

distribuição amostral também estará próxima da normal

Quando sabemos que a população tem distribuição normal, a

distribuição amostral da média pode ser aproximada pela

normal, independentemente do tamanho de n.

X


À medida

em que o

tamanho

da

amostra

aumenta

(n 30) ...


X


A distribuição

amostral torna-

se praticamente

normal.

À medida

em que o

tamanho

da

amostra

aumenta

(n 30) ...


X


A distribuição

amostral torna-

se praticamente

normal.

À medida

em que o

tamanho

da

amostra

aumenta

(n 30) ...

xn

x



Distribuições de Amostragens

População não-normal

Distribuição da População

Distribuição das amostras

(aproxima-se da normal quando n cresce)

x

x

Amostra

grandeAmostra pequena

xμ

μ


Exemplo

Suponha uma população com média μ = 8 e desvio-padrão σ = 3.

Suponha uma amostra aleatória de tamanho n = 36 é selecionada.

Qual a probabilidade de que a média amostral esteja entre 7.75 e

8.25?

Mesmo que a população não seja normalmente distribuída, o

Teorema do Limite Central pode ser usado (n > 30).

Então, a distribuição amostral da média é aproximadamente normal

com

8μx 0.536

3

n

σσx


Exemplo

5.0

363

8-8.25

5.0

363

8-7.75

Z

Z

Primeiro, vamos calcular os valores-Z para 7.75

e 8.25.

0.38300.5)ZP(-0.5 8.25) μ P(7.75X

Agora, usando uma tabela de probabilidades da

Distribuição Normal teremos:


Exemplo

= 2(.5000-.3085)

= 2(.1915)

= 0.3830

Z-0.5 0.5


Padrão

0μz 7.75 8.25

Distribuição

Amostral

Amostra

8μX x

Distribuição da

População

8μ X

Distribuição Amostral da Proporção

amostra da tamanho

interesse de ticacaracterís a com amostra na de número

n

X itensp

• A proporção da população com determinada

característica é denotada por π.

• A proporção da amostra ( p ) com esta característica dá

uma estimativa de π:

– 0 ≤ p ≤ 1

– p segue uma Distribuição Binomial

(Assume-se que a amostragem é feita com reposição ou sem reposição em uma

população infinita)


Erro padrão para a proporção:

n

)(1σp

n

)(1σZ

p

pp

• Valor-Z para a proporção:


Exemplo

Se em um plebiscito a proporção de votantes à favor

da Proposta A é π = .4, qual a probabilidade de que

em uma amostra de 200 pessoas a proporção de

votantes a favor esteja entre .40 and .45?

• Em outras palavras, se π = .4 e n = 200, qual a

P(.40 ≤ p ≤ .45) ?


Exemplo

.03464200

.4).4(1

n

)(1σ

p

1.44)ZP(0

.03464

.40.45Z

.03464

.40.40P.45)P(.40

p

Encontre :

Converta para

a Normal

Padronizada:

pσ


Exemplo

Use a tabela de probabilidade Normal acumulada:

P(0 ≤ Z ≤ 1.44) = P(Z ≤ 1.44) – 0.5 = .4251

Z.45 1.44

.4251

Padronize

Distribuição AmostralDistribuição Normal

Padronizada

.40 0p


Resumo da AulaHoje vimos:

Probabilidades de variáveis aleatórias discretas

Definimos covariância e sua aplicação em finanças

Discutimos as distribuições Binomial, de Poisson e Hipergeométrica

Estudamos as distribuições contínuas: normal, uniforme e exponencial

Calculamos probabilidades usando fórmulas e tabelas

Identificamos como avaliar a normalidade

Descrevemos as diferentes formas de amostragem

Itroduzimos as distribuições de amostragens

Descrevemos a distribuição amostral da média

Para populações normais Usando o Teorema do Limite Central

Descrevemos a distribuição amostral da proporção

Calculamos probabilidades usando as distribuições amostrais

capítulo 5 algumas distribuições de probabilidades...

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