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Prof. Fábio Amorim 1 de 26

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Aula 00

Curso: Estatística p/ ICMS PE

Professor: Fábio Amorim

Curso: Estatística p/ ICMS PE Teoria e Questões comentadas

Prof. Fábio Amorim - Aula 00



Olá pessoal!

Sejam bem-vindos ao Exponencial Concursos!

Oferecemos a vocês o curso de Estatística, direcionado para o concurso

público de Auditor Fiscal do Tesouro Estadual – AFTE. Este curso abordará

todo o conteúdo exigido pelo Edital, incluindo teoria e questões comentadas.

O objetivo é proporcionar um curso bastante objetivo e didático,

trazendo o conhecimento necessário para que vocês tenham condições de

fazer todas as questões que serão cobradas nesse novo concurso da

SEFAZ/PE. A disciplina de Estatística está contida em um grupo que inclui

Matemática Financeira e Raciocínio Lógico, as quais, juntas, serão

responsáveis por 10 questões da Prova 1.

Professor, mas eu nunca estudei Estatística, terei muita dificuldade em acompanhar o curso?

Pelo contrário, o curso foi elaborado em uma linguagem clara, de modo

que todos os alunos possam compreendê-lo, inclusive aqueles que possuem

menos afinidade com a disciplina, ou nunca a tenham estudado.

O curso será composto por sete aulas, cujos assuntos e datas em que

serão disponibilizadas são:

Aula Assunto Data

Aula 0 Técnicas de Contagem e Análise Combinatória. Combinações, Arranjos e Permutação.

disponível

Aula 1 Espaço amostral e probabilidades: conceito,

axiomas.

disponível

Aula 2 Estatística Descritiva: gráficos, tabelas, medidas de

posição e de variabilidade.

disponível

Aula 3 Distribuições de probabilidades discretas e contínuas

(Bernoulli, Binomial, Poisson, Normal, Qui-quadrado,

T-Student).

disponível

Aula 4 Amostragem: amostras casuais e não casuais.

Processos de amostragem, incluindo estimativas de

parâmetros. Inferência: intervalos de confiança.

disponível

Aula 5 Testes de hipóteses para médias e proporções. 20/07

Aula 6 Correlação e Regressão Linear simples 27/07





Agora que já apresentamos o curso, peço licença para me apresentar!

Meu nome é Fábio Amorim, sou formado em Engenharia Civil pelo

Instituto Militar de Engenharia (2003), pós-graduado em Docência do Ensino

Superior pela Universidade Castelo Branco (2007) e em Direito Administrativo

pela Universidade Estácio de Sá (2014).

Durante a minha trajetória profissional, depois de formado, trabalhei

por cinco anos no Exército Brasileiro, na minha área de formação. Já em 2009,

tomei posse no cargo de Especialista em Regulação de Serviços de

Transportes Terrestres, na Agência Nacional de Transportes Terrestres - ANTT.

Exerci minhas funções até o final de 2009, quando tomei posse no cargo de

Auditor Federal de Controle Externo, no Tribunal de Contas da União - TCU, onde estou até hoje.

Em termos de concursos públicos, obtive aprovação nos seguintes:

� ANTT (2008) – Especialista em Regulação;

� MPOG (2008) – Analista de Infraestrutura;

� TCU (2009) – Auditor Federal de Controle Externo.

Feitas as devidas apresentações, vale destacar que, ao longo deste

curso transmitirei a vocês diversas dicas de estudo para ajudá-los a conseguir

a tão sonhada aprovação.

Nesta aula, vamos trazer um Raio-X completo das provas de Estatística

aplicadas pela FCC para os diversos cargos semelhantes, de Auditor Fiscal, nos

órgãos fazendários estaduais e municipais.

APRESENTAÇÃO





O gráfico abaixo mostra a quantidade de questões por assunto. Por esse

gráfico vocês podem visualizar os assuntos mais importantes da nossa

disciplina, que deverá ter 4 preciosas questões na Prova 2.

Apesar de o tópico analise combinatória (assunto desta aula) não ter

sido contemplado no presente edital, vale destacar que é uma matéria

essencial para a compreensão da Aula 1, que abrangerá a teoria das

probabilidades.

Agora, vamos a nossa Aula 0, para que vocês possam conhecer a

metodologia que iremos aplicar neste curso.

Boa sorte a todos e vamos lá!

0 2 4 6 8 10 12

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES - AULA 3

TESTE DE HIPÓTESES - AULA 5

ESTATÍSTICA DESCRITIVA - AULA 2

AMOSTRAGEM E INFERÊNCIA ESTATÍSTICA - AULA 4

CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR SIMPLES - AULA 6

PROBABILIDADES - AULA 1

Quantidade de questões - FCC

Histórico e análise das provas Estatística





Assunto Página

1- Introdução 06

2- Princípio Fundamental da Contagem 06

3- Permutações 09

4- Arranjo 15

5- Combinação 17

6- Questões comentadas 19

7- Resumo da aula 24

8- Lista de exercícios 25

9- Gabarito 26

Aula 00 – Técnicas de Contagem e Análise Combinatória





A Análise Combinatória é um ramo da Matemática que tem como

objetivo estabelecer métodos que permitam contar o número de elementos que fazem parte de um conjunto. Esses métodos são as chamadas técnicas

de contagem.

Para que a contagem seja viável, entretanto, é necessário que o

conjunto possua um número limitado de elementos e uma determinada

característica específica. Vejam alguns exemplos de aplicação:

� De quantas maneiras podem ser confeccionadas as placas de

identificação dos veículos, que contém três letras e quatro números?

� Quantos números telefônicos com oito dígitos podem ser formados,

utilizando-se os números de 0 a 9?

� Um homem possui 4 ternos, 8 gravatas, 10 camisas e 4 pares de

sapatos. De quantas formas ele poderá se vestir?

� Uma corrida de carros possui 20 pilotos. Quantos resultados diferentes

pode ter essa corrida para o 1º, 2º e 3º lugares?

Quando o número de elementos desse conjunto é pequeno,

intuitivamente, ou a partir de contas simples, nós conseguimos facilmente

obter a resposta. Entretanto, essa tarefa se torna mais difícil se tivermos um

conjunto mais “populoso” de elementos. A partir dessa dificuldade é que

surgiram, na matemática, as técnicas de contagem.

Esse princípio, também chamado de princípio multiplicativo, é uma

técnica de contagem que serve como base de toda a análise combinatória. Por

isso, precisamos compreendê-lo bem.

Suponhamos que existam “N” resultados possíveis ao se realizar uma tarefa

T1 e “M” resultados possíveis ao se realizar uma tarefa T2. Então, o número

de resultados possíveis ao se realizar a tarefa T1 seguida da tarefa T2 é obtido

pela multiplicação N × M.

Vamos aos exemplos:

� Um dado comum é lançado duas vezes em sequência. O conjunto

formado pelos resultados possíveis desses lançamentos é

formado por quantos elementos?

Resolução:

2- Princípio Fundamental da Contagem

1- Introdução





Pessoal, ao lançarmos o dado na primeira vez (tarefa T1), quantos

resultados “N” são possíveis? Logicamente, 6 resultados. Ao lançarmos o dado

pela segunda vez (tarefa T2), o número de resultados possíveis “M” também

será 6, correto?

Assim, segundo o princípio fundamental da contagem, o número de

resultados possíveis ao fazermos os dois lançamentos em sequência será

obtido pela multiplicação N × M, ou seja, 6 × 6 = 36.

Portanto, o número de resultados possíveis será 36. São eles: (1,1), (1,2),

(1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2),

(3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2),

(5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5) e (6,6).

� Um restaurante possui em seu cardápio 4 tipos de pratos

principais e 3 tipos de sobremesas diferentes. Uma pessoa

deseja almoçar nesse restaurante e, para isso, pedirá um prato

principal e uma sobremesa. De quantas maneiras diferentes esse

pedido poderá ser feito?

Resolução:

O pedido será composto por um prato principal (tarefa T1) e uma

sobremesa (tarefa T2). O número de resultados possíveis “N” do prato

principal é 4. E o número de resultados possíveis “M” para a sobremesa é 3.

Segundo o princípio fundamental da contagem, o pedido poderá ser feito de N

× M maneiras diferentes, ou seja, 4 × 3 = 12 maneiras.

Uma das formas de visualizarmos isso é por meio do chamado diagrama

sequencial ou diagrama de árvore:

Tarefa T1 tem 'N'

resultados possíveis

Tarefa T2 tem 'M'


Ao se executar T1 e depois T2, existem 'N x M'






*Diagrama de Árvore

Fácil, não é pessoal? Agora, se o número de tarefas for superior a 2?

Se uma tarefa T1 pode ter N1 resultados diferentes, uma tarefa T2 pode ter

N2 resultados diferentes, e assim sucessivamente, então, ao se realizar em

sequência as tarefas T1, T2, até Tk, o número de resultados possíveis será N1

x N2 x ... x Nk.

Para esclarecer esse conceito, vamos retomar o exemplo do início da

aula.

� De quantas maneiras podem ser confeccionadas as placas de

identificação dos veículos, que contém três letras e quatro

números?

Prato Principal 1

Sobremesa 1

Sobremesa 2

Sobremesa 3

Prato Principal 2

Sobremesa 1

Sobremesa 2

Sobremesa 3

Prato Principal 3

Sobremesa 1

Sobremesa 2

Sobremesa 3

Prato Principal 4

Sobremesa 1

Sobremesa 2

Sobremesa 3

12 possibilidades





Resolução:

Vamos chamar a primeira letra de tarefa T1, a segunda letra de T2, a

terceira letra de T3, o primeiro dígito de T4, o segundo dígito de T5, o terceiro

dígito de T6, e o quarto dígito de T7. O número de letras possíveis de serem

colocadas na tarefa T1 é igual a 26 (chamamos de N1). O mesmo número se

aplica a “N2” e a “N3”, correto? No caso de N4, temos dez possibilidades (0, 1,

2, ..., 9), o mesmo número se aplica a N5, N6, e N7.

Dessa forma temos:

Tarefa Número de resultados possíveis

T1 (letra) N1 = 26

T2 (letra) N2 = 26

T3 (letra) N3 = 26

T4 (número) N4 = 10

T5 (número) N5= 10



Segundo o princípio fundamental da contagem, o número de resultados

possíveis é:

�1 × �2 × �3 × �4 × �5 × �6 × �7 = 26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = � �. ��. ��. Dessa forma, podemos confeccionar as placas de veículos de

175.760.000 maneiras diferentes!

Pessoal, como dissemos inicialmente, o princípio fundamental da

contagem é uma técnica de contagem que serve como base para as demais

técnicas. A partir de agora, vamos explorar outras três técnicas derivadas

desta: a permutação, o arranjo e a combinação.

Suponhamos que um determinado conjunto possua “n” elementos. A

permutação permite contar o número de maneiras diferentes que esses

elementos podem estar ordenados dentro desse conjunto.

Vamos trazer um exemplo para esclarecer melhor.

� João, Pedro e Marcos são três amigos que resolvem andar de

kart. De quantas maneiras diferentes o resultado dessa corrida

pode acontecer?

Resolução:

3 - Permutações





Neste caso, temos um conjunto composto por três elementos (João,

Pedro, Marcos), ou seja, � = 3.

Podemos resolver esse problema utilizando o diagrama de árvore. Nesse

caso, temos:

Assim, de acordo com o diagrama de árvore, temos 6 resultados possíveis.

Podemos, também, resolver esse problema a partir do princípio

fundamental da contagem, vamos ver como?

Inicialmente, precisamos pensar quantos corredores podem ocupar a

posição de 1º lugar. Pelo nosso exemplo, se temos três corredores, João,

Pedro e Marcos, então, qualquer um dos três pode ocupar essa posição.

Assim, temos três possibilidades.

Considerando que um dos corredores ocupou o 1º lugar, quantos

corredores podem ocupar o 2º lugar? Já que restaram dois corredores, o

número de possibilidades é igual 2.

Dado que um corredor ocupou o 1º lugar, outro ocupou o 2º lugar,

quantos corredores podem ocupar o 3º lugar? Já que restou apenas um

corredor, temos apenas uma possibilidade de que isso ocorra.

João

Pedro Marcos

Marcos Pedro

Pedro

João Marcos

Marcos João

MarcosPedro João

João Pedro

3º Lugar

________

_

2º Lugar

________

_

1º Lugar

________

_

1º Lugar 2º Lugar 3º Lugar

6 resultados

possíveis





Sendo assim, o número de resultados possíveis para essa corrida é

obtido, de acordo com o princípio fundamental da contagem, pela

multiplicação das possibilidades:

Outra forma de resolvermos esse problema é por meio da técnica de

contagem chamada de permutação, que representa o número de maneiras diferentes de ordenar um conjunto.

Para calcularmos o número de permutações no nosso problema,

utilizamos a seguinte fórmula:

Permutação de 3 elementos:

�3 = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 ��çõ��.

Portanto, o número de permutações possíveis em um conjunto de 3

elementos é representado pelo fatorial do número 3, o que representa um

total de 6 permutações.

Agora, se nosso conjunto for formado por um número maior de

elementos? Nesse caso, resolver o problema pelo princípio fundamental da

contagem ou por meio do diagrama de árvore torna-se bastante trabalhoso.

Nesses casos, podemos obter o resultado facilmente aplicando a fórmula da

permutação.

Dado um conjunto de “n” elementos, o número de permutações

possíveis nesse conjunto é representado pela expressão:

! = !! Onde �! é o fatorial do número “n”, representado pela expressão:

�! = � × "� − 1$ × "� − 2$ × "� − 3$ × … × 1

Vamos acompanhar mais alguns exemplos para fixar bem o conteúdo?

� De quantas formas 6 pessoas podem ser ordenadas em fila

indiana?

Resolução:

1º Lugar 2º lugar 3º lugar

3 x 2 x 1 = 6 possibilidades _________ _________ _________

(fatorial do número 3)





Neste caso, temos um conjunto com 6 elementos e desejamos saber de

quantas formas esses 6 elementos podem ficar ordenados. Como o número de

elementos coincide com o número de posições, temos uma permutação.

Assim, precisamos calcular quantas permutações podem ser feitas com 6

elementos. Aplicando a fórmula �& = �!, temos:

�' = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 ()�� *+(��.

� Agora, suponha que dentre essas 6 pessoas do exemplo

anterior, tenhamos três homens e três mulheres. Considerando

que a primeira posição seja ocupada por uma mulher, de

quantas formas essas 6 pessoas podem se ordenar em fila

indiana?

Resolução:

Neste problema, temos uma condicionante: que a primeira posição da

fila indiana seja ocupada por uma mulher. Sendo assim, para ocuparmos esse

lugar, temos três possibilidades, concordam? Para as cinco demais posições,

temos que permutar as cinco pessoas restantes.

Assim, pelo princípio fundamental da contagem, o número total de

possibilidade é dado por pela multiplicação:

� = 3 × 5! = 3 × "5 × 4 × 3 × 2 × 1$ = 360 �)��+,+-+*�*��

3.1 – Permutações com elementos repetidos

Pessoal, agora vamos estudar um tipo específico de permutação, onde

existem elementos repetidos no conjunto que queremos permutar.

Suponhamos um conjunto com os seguintes elementos {1, 2, 3, 3, 4,

5}. Se quisermos calcular o número de permutações que são possíveis neste

conjunto, teremos um problema, já que o número “3” repete-se duas vezes

nesse conjunto.

3 possibilidades P5 = 5! possibilidades

Mulher





Para esses problemas com repetição, o número de permutações deve

ser calculado pela expressão:

!".,0,… $ = !!.! 0! … Onde “n” é o número total de elementos, “a” representa o número de

repetições que possui um determinado elemento, e “b” o número de

repetições de outro elemento, e, assim, sucessivamente.

Para praticar, vamos resolver o problema inicialmente proposto.

� Dado o conjunto {1, 2, 3, 3, 4, 5}, de quantas formas podemos

ordená-los de maneira diferente?

Resolução:

O número de elementos do conjunto é 6. Então � = 6. Existe apenas um

elemento repetido, o elemento “3”, o qual se repete duas vezes, então � = 1.

Aplicando-se a fórmula da permutação com repetição:

�&"2$ = �'"3$ = 6!2! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 12 × 1 = 360 �)��+,+-+*�*�� Agora, o mesmo problema, com um conjunto maior:

� Dado o conjunto {X, P, P, R, R, R, W, W, W, G}, de quantas

formas podemos ordená-los de maneira diferente?

Resolução:

Neste problema, o número de elementos do conjunto é igual a 10.

Então, � = 10. Existem três elementos que se repetem: as letras “P”, “R” e

“W”. Assim, o número de repetições (a, b, c) de cada um desses elementos é

representado por:

4� = 2, = 35 = 3 Conhecidos os valores de “n”, e do número de repetições, podemos aplicar a

fórmula:

�&"2,6,7$ = �89"3,:,:$ = 10!2! 3! 3! =

= 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1"2 × 1$ × "3 × 2 × 1$ × "3 × 2 × 1$ = 50.400

Portanto, podemos ordenar esse conjunto de 50.400 maneiras diferentes.





(FGV-SEFAZ/RJ–2008) Os jogadores A e B se encontram

para jogar uma partida de tênis em no máximo cinco sets, na qual será

vencedor aquele que primeiro ganhar três sets. Por exemplo, partidas

terminadas poderão ter como resultado: AAA, AABA, BABAB, etc. Então, o

número de possíveis resultados para uma partida terminada é:

(A) 4 (B) 10 (C) 6 (D) 20 (E) 8

Resolução:

Pessoal, se o vencedor é aquele que primeiro ganha três sets, e, a

partida pode ter, no máximo, cinco sets. Então, a partida pode terminar com

três, quatro ou cinco sets, tendo como vencedor o jogador A ou o jogador B,

concordam?

Estabelecidas essas premissas, podemos considerar, por simetria, que o

número de resultados possíveis para que A vença é o mesmo para que B saia

vencedor.

Sendo assim, calcularemos o número de possíveis resultados em que o

jogador A seja o vencedor e multiplicaremos por dois, para considerar,

também, o número de possíveis resultados em que B seja o vencedor. Como

devemos contabilizar apenas as partidas terminadas, não importa quem

vença, devemos considerar o caso de um ou outro vencer.

Considerando o jogador A vencedor:

Para a partida terminada em três sets, temos apenas uma possibilidade:

AAA, onde o jogador A ganha os três sets.

Para uma partida terminada em quatro sets, a condição é que o último

set tenha o jogador A como vencedor, e, nos três primeiros sets, o jogador A

tenha vencido dois. Dessa forma, temos que permutar os três primeiros sets

com os elementos {A, A, B}.

Aplicando a fórmula da permutação com repetição, em que � = 3 e � =2, temos:

�&"2$ = �:"3$ = 3!2! = 3 × 2 × 12 × 1 = 3 �)��+,+-+*�*�� Para uma partida terminada em cinco sets, a condição é que o último

set tenha o jogador A como vencedor, e, nos quatro primeiros sets, o jogador

A tenha vencido dois. Dessa forma, temos que permutar os quatro primeiros

sets com os elementos {A, A, B, B}.

Aplicando a fórmula da permutação com repetição, em que � = 4, � = 2, e , =2, temos:

P>"?,@$ = PA"3,3$ = 4!2! × 2! = 4 × 3 × 2 × 1"2 × 1$ × "2 × 1$ = 6 possibilidades





Dessa maneira, para o jogador A sair vencedor:

Três sets 1 possibilidade

Quatro sets 3 possibilidades

Cinco sets 6 possibilidades

Total 10 possibilidades

Considerando a possibilidade de vitória do jogador B, então, temos

também, mais 10 possibilidades. Portanto, o número total de possíveis

resultados para uma partida terminada é igual a 20.

Resposta, letra D.

Essa maneira é bem mais rápida do que a confecção do diagrama de

árvore:

*Os retângulos em verde representam o término da partida, ou seja, 20 possibilidades.

O Arranjo é outra técnica de contagem, por meio da qual conseguimos

contar o número de maneiras diferentes de selecionar “r” elementos, em uma

determinada ordem, pertencentes a um conjunto com “n” elementos. Neste

caso � ≥ � (“n” representa todo o conjunto e “r” uma parte dele).

Vamos trazer uma situação prática para poder esclarecer essa definição.

A

AA

BA

BA

B

B

AA

BA

B

BA

A

BB

B

A

AA

BA

B

BA

A

BB

BA

AA

BB

B

4 - Arranjo





� Suponhamos que os moradores de um condomínio devam eleger

um síndico e um subsíndico. Há 6 candidatos para esses cargos.

Quantos são os resultados possíveis dessa eleição?

Resolução:

Podemos resolver esse problema pelo princípio fundamental da

contagem.

Se há 6 candidatos, estes seis podem ser eleitos para o cargo de

síndico, correto? Então, para a nossa tarefa T1, temos 6 possibilidades.

Considerando que um dos candidatos ocupará o cargo de síndico, quantos

candidatos podem ocupar o cargo de subsíndico? Já que restaram cinco

candidatos, o número possibilidades é igual a 5 (tarefa T2). Desse modo, pelo

princípio fundamental da contagem, o número total de possibilidades pode ser

obtido pela multiplicação das duas tarefas:

Podemos resolver esse problema também pela técnica de contagem

chamada arranjo. Por essa técnica, ao selecionarmos “r” elementos em uma

determinada ordem, pertencentes a um conjunto com “n” elementos, o

número de possibilidades, ou, arranjos possíveis, é dado pela fórmula:

L!, M = !!"! − M$! Em que a expressão N&, O significa: arranjo de “n” elementos, tomados

“r” a “r”.

Aplicando essa fórmula para o nosso problema, temos:

N&, O = N', 3 = 6!"6 − 2$! = 6!4! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 14 × 3 × 2 × 1 = 30 �)��+,+-+*�*��

Pessoal, é importante destacar que, para utilizar a fórmula do arranjo,

é necessário que a ordem dos elementos faça diferença para a

Síndico Subsíndico

6 x 5 = 30 possibilidades _________ _________

Subsíndico (T2)

_________

Síndico (T1)

_________





contagem. Em outras palavras, a situação em que o candidato “A” seja eleito

síndico, e o candidato “B”, subsíndico, é diferente da situação em que o

candidato “B” seja eleito síndico, e o candidato “A”, o subsíndico. Assim, a ordem dos elementos altera o resultado!

(FGV-SEFAZ/RJ-2011) Quantas combinações existem para

determinar o primeiro e o segundo lugares de um concurso com 10 pessoas?

(O primeiro e o segundo lugares não podem ser a mesma pessoa).

(A) 18.000 (B) 90 (C) 19 (D) 680 (E) 18.000

Resolução:

O conjunto é formado por 10 pessoas, então, � = 10. Além disso, é

importante observar que a ordem dos elementos importa, pois o resultado em

que um candidato “A” fique em primeiro, e um candidato “B” fique em

segundo, é diferente do resultado em que “B” fique em primeiro, e “A” em

segundo. Neste caso, como a ordem dos elementos altera o resultado,

podemos aplicar rapidamente a fórmula do arranjo, para contar o número de

arranjos que podemos fazer com os dois primeiros lugares "r = 2$: N&, O = N89, 3 = 10!"10 − 2$! = 10!8! = 10 × 9 × 8!8! = 90 �)��+,+-+*�*��

Resposta, letra B.

Este problema também pode ser resolvido pelo princípio fundamental da

contagem:

A combinação é outra técnica de contagem, por meio da qual é possível

obter o número de possibilidades de se retirar “r” elementos de um conjunto

com “n” elementos (� ≤ �$. Percebam que esta definição é semelhante a do

Arranjo, no entanto, a diferença é que, para a combinação, não importa a ordem de retirada dos elementos.

5 - Combinação

1º Lugar 2º Lugar

10 x 9 = 90 possibilidades _________ _________





Vamos a um exemplo para ajudar no entendimento:

� Deseja-se formar uma comissão com três pessoas e dispõe-se de cinco funcionários. Quantas comissões podem ser formadas?

Resolução:

Pretende-se formar uma comissão, escolhendo três pessoas (� = 3)

dentro de um conjunto de cinco pessoas (� = 5). Percebam que não importa a

ordem que essas pessoas serão escolhidas. Esse é um caso, portanto, de

utilizar a técnica da combinação.

A combinação de “r” elementos a partir de um conjunto com “n”

elementos é dado pela expressão:

R&, O1 = �!"� − �$! �! Em que a expressão R&, O significa: combinação de “n” elementos,

tomados “r” a “r”.

Aplicando a fórmula, encontramos a resposta para o problema proposto:

R&, O = RS, : = 5!"5 − 3$! 3! = 5!2! 3! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1"2 × 1$ × "3 × 2 × 1$ = 10 �)��+,+-+*�*��

Desse modo, podem ser formadas 10 comissões diferentes. Supondo-se

um conjunto com os cinco funcionários da forma {A, B, C, D, E}, as

combinações possíveis são:

{A, B, C}, {A, B, D}, {A, B, E}, {A, C, D}, {A, C, E}, {A, D, E}, {B, C, D},

{B, C, E}, {B, D, E}, {C, D, E}.

1 Pode ser escrito, também, como RO& ou T��U.





1. (FCC-SEPLAG-2012) Um condomínio de 25 casas terá seu sistema de

comunicação por interfone substituído. A empresa contratada informa que usa

como identificação de cada residência um código de três dígitos formado pelos

algarismos 1, 2 e 3 (distintos ou não). Alguns moradores desconfiaram e

alegaram que a quantia de códigos não era suficiente para identificar todas as

casas. O representante da empresa apresentou cálculos que comprovavam

que o total de possibilidades era suficiente para identificar

(A) 25 casas. (B) 27 casas. (C) 30 casas. (D) 32 casas.

Resolução:

Considerando que o código terá três dígitos, e que cada dígito pode ser formado pelos números 1, 2 e 3 (distintos ou não), podemos calcular o número total de dígitos pelo princípio fundamental da contagem.

Para o primeiro dígito, podemos ter três possibilidades (1, 2 e 3), o mesmo se aplicando aos 2º e 3º dígitos, o número total deve se calculado pela multiplicação dessas possibilidades.

Resposta, letra B.

2. (FCC-SEPLAG-2012) Dona Quitéria oferece chá da tarde em sua

lanchonete. Ela serve:

− cinco variedades de chás;

− três sabores de pãezinhos;

− quatro qualidades de geleias;

Os clientes podem optar por um tipo de chá, um sabor de pão e uma geleia.

Mariana toma lanche todos os dias no estabelecimento de Dona Quitéria. O

número de vezes que Mariana pode tomar lanche sem repetir sua opção é

(A) 60. (B) 50. (C) 45. (D) 40.

Resolução:

1º Dígito 2º Dígito 3º Dígito

3 x 3 x 3 = 27 casas _________ _________ _________

6- Questões Comentadas





Esse problema pode ser resolvido rapidamente aplicando-se o princípio fundamental da contagem. Se Mariana toma lanche todos os dias no estabelecimento e se ela pode pedir um tipo de chá, um sabor de pão e uma geleia, o número de possibilidades pode ser obtido pela multiplicação das possibilidades de cada item, assim:

Resposta, letra A.

3. (FCC-SABESP-2012) Uma escola de Ensino Médio possui quatro

turmas de 1ª série. As aulas de História dessas turmas serão distribuídas

entre três professores, de modo que um deles assuma duas turmas e os

outros dois assumam uma turma cada um. O número de maneiras diferentes

de distribuir essas aulas, respeitando tais condições, é igual a

(A) 18. (B) 24. (C) 36. (D) 48. (E) 72.

Resolução:

Vamos chamar os professores de A, B e C.

Um deles irá assumir duas turmas e, os outros dois, apenas uma turma. Nessas condições, vamos supor que o professor A assuma essas duas turmas, desse modo, teríamos o conjunto {A, A, B, C}, onde a 1ª posição se refere à 1ª turma, a 2ª posição à 2ª turma, e, assim, sucessivamente.

A partir desse conjunto, calculamos o número de maneiras diferentes que esses professores podem se ordenar no conjunto, ou seja, se distribuir entre as turmas.

Sendo assim, precisamos calcular o número de permutações, com repetição do professor A:

��çã) *� “�” �-��)� = �&"2,6,… $ = �!�! ,! …

��çã) *� 4 �-��)� = �A"3$ = 4!2! = 12 �)��+,+-+*�*��

Desse modo, se o professor A for contemplado com duas turmas, o número de maneiras diferentes de distribuir essas salas é igual a 12. O

Chá Pão Geleia

5 x 3 x 4 = 60 possibilidades ________ _________ _________





mesmo número se aplica caso um dos professores B e C sejam contemplados com duas turmas. Portanto, o número total de possibilidades é igual a 12 +12 + 12 = 36.

Resposta, letra C.

4. (FCC-SEE/SP-2011) Leonardo e mais três amigos decidem ir ao

cinema. Resolvem sentar-se numa fila que tem seis lugares seguidos

disponíveis. De quantas maneiras diferentes podem ocupar os lugares

disponíveis?

(A) 24. (B) 120. (C) 180. (D) 360. (E) 720.

Resolução:

Pessoal, temos um conjunto com seis lugares distintos e, destes lugares, quatro serão ocupados pelos amigos. Assim, supondo que o conjunto seja representado pelas cadeiras {1, 2, 3, 4, 5, 6}, devem ser escolhidas quatro delas.

Supondo que sejam escolhidas as cadeiras 1, 2, 3 e 4, percebam que a ordem de escolha irá interferir no número de resultados possíveis, já que a configuração:

Cadeira 1

Cadeira 2

Cadeira 3

Cadeira 4

Leonardo Amigo A Amigo B Amigo C

É diferente, por exemplo, da configuração:

Cadeira 1

Cadeira 2

Cadeira 3

Cadeira 4

Amigo A Leonardo Amigo B Amigo C

Portanto, podemos aplicar a técnica de contagem de Arranjo, onde o conjunto com 6 cadeiras “n=6” será arranjado em 4 posições “r=4”, por meio da seguinte expressão:

A>, [ = A', A = 6!"6 − 4$! = 6!2! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 12 × 1 = 360 possibilidades Resposta, letra D.

5. (FCC-PM/BA-2010) Certo dia, um automóvel passou em alta

velocidade por uma avenida, excedendo o limite ali permitido. Um policial de





plantão no local tentou anotar o número da placa do carro do infrator, mas

não conseguiu fazê-lo por completo: memorizou apenas o prefixo (CSA) e, da

parte numérica, lembrava somente que o algarismo da esquerda era ímpar e o

da direita era par. Com base nessas informações, o total de possibilidades

para o número da placa de tal automóvel é

(A) 2500. (B) 2000. (C) 1000. (D) 250. (E) 100.

Resolução:

Podemos resolver esse problema pelo princípio fundamental da contagem. A nossa tarefa T1 consiste em preencher o primeiro dígito dos numerais com um número ímpar. Neste caso, temos 5 possibilidades (1, 3, 5, 7, 9). O segundo dígito (T2) não há restrições, portanto, 10 possibilidades (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0). O mesmo se aplica ao terceiro dígito (T3). Para o quarto dígito (T4), temos que preencher com um número par, sendo assim, temos 5 possibilidades (0, 2, 4, 6, 8).

Assim, pelo princípio fundamental da contagem, o número total de possibilidades pode ser obtido a partir da multiplicação das possibilidades de cada tarefa. Deste modo:

Resposta, letra A.

6. (FCC-BACEN-2006) Os clientes de um banco contam com um cartão

magnético e uma senha pessoal de quatro algarismos distintos entre 1 000 e 9

999. A quantidade dessas senhas, em que a diferença positiva entre o

primeiro algarismo e o último algarismo é 3, é igual a

(A) 936. (B) 896. (C) 784. (D) 768. (E) 728.

Resolução:

Se a diferença positiva entre o primeiro e o último algarismo é igual a 3, nos interessam as seguintes situações: (3,_,_,0), (4,_,_,1), (5,_,_,2), (6,_,_,3), (7,_,_,4), (8,_,_,5), (9,_,_,6), (1,_,_,4), (2,_,_,5), (3,_,_,6), (4,_,_,7), (5,_,_,8), (6,_,_,9), ou seja, são 13 possibilidades. Repare que (0, _,_,3) não é uma possibilidade, pois a senha deve estar no intervalo de 1000 a 9999.

1º Dígito 2º Dígito 3º Dígito 4º Dígito

5 x 10 x 10 x 5 = 2500 possibilidades

________ ________ _______ _______





Como o dígito não pode se repetir, e considerando que o primeiro e o último dígito já estão preenchidos de acordo com as possibilidades elencadas, portanto, para o segundo algarismo temos 8 possibilidades. Consequentemente, para o terceiro algarismo, restam 7 possibilidades.

Sendo assim, aplicando-se o princípio fundamental da contagem:

Resposta, letra E.

7. (FCC-SEED/SE-2003) Uma prova consta de 6 questões de Matemática

e 7 de Física. Cada aluno deve escolher 4 questões de Matemática e 2 de

Física para responder. Quantas opções diferentes de escolha tem cada aluno?

(A) 21. (B) 45. (C) 250. (D) 315. (E) 1680.

Resolução:

Cada aluno deve escolher 4 questões de matemática em um conjunto com 6 questões. Nesse caso, não importa a ordem de escolha, sendo assim, podemos aplicar a técnica da combinação para calcular o número de maneiras diferentes de se escolher as questões da prova de matemática.

R&, O ⇒ R', A = 6!"6 − 4$! 4! = 6!2! 4! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1"2 × 1$ × "4 × 3 × 2 × 1$ = 15 �)��+,+-+*�*��

Cada aluno deve escolher 2 questões de Física em um conjunto de 7 questões. Aplicamos, também, a fórmula da combinação para calcular o número de maneiras diferentes de se escolher as questões da prova de física.

R&, O ⇒ R], 3 = 7!"7 − 2$! 2! = 7!5! 2! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1"5 × 4 × 3 × 2 × 1$ × "2 × 1$ = 21 �)��+,+-+*�*��

Aplicando-se o princípio fundamental da contagem, o número total de possibilidades é obtido pela multiplicação das possibilidades de cada tarefa.

1º Dígito e 4º Dígito 2º Dígito 3º Dígito

13 x 8 x 7 = 728 possibilidades

________________ ________ _______





Resposta, letra D.

Vimos nesta aula 0 as seguintes técnicas de contagem:

� Princípio Fundamental da Contagem;

� Permutação;

� Permutação com repetição;

� Arranjo;

� Combinação.

Constatamos que, por meio delas, é possível contar o número de elementos que fazem parte de um conjunto. Em resumo, as principais

características dessas técnicas são:

Princípio Fundamental da Contagem

O número de maneiras de se realizar uma tarefa T1, seguida da tarefa T2, é obtido pela multiplicação do número de maneiras de se

fazer cada uma dessas tarefas.

Permutação

Permite contar o número de maneiras diferentes que os elementos de um conjunto

podem estar ordenados.

Pn=n! (simples)

Pna,b,... = n! /(a! b!...) (com repetição)

Arranjo

Permite contar, em uma determinada ordem, o número de maneiras diferentes de

selecionar “r” elementos dentro de um conjunto com “n” elementos.

An, r=n!/(n-r)!

Combinação

Permite contar, independente da ordem, o número de maneiras diferentes de selecionar

“r” elementos dentro de um conjunto com “n” elementos.

Cn, r=n!/(n-r)!r!

7- Resumo da aula

Matemática Física

15 x 21 = 315 possibilidades ________ ________





Pois bem, pessoal, com este resumo encerramos a Aula 0. Na próxima aula conversaremos sobre o estudo das probabilidades. Bons estudos a todos e até a próxima!

1. (FCC / SEPLAG / 2012) Um condomínio de 25 casas terá seu sistema de

comunicação por interfone substituído. A empresa contratada informa que usa

como identificação de cada residência um código de três dígitos formado pelos

algarismos 1, 2 e 3 (distintos ou não). Alguns moradores desconfiaram e

alegaram que a quantia de códigos não era suficiente para identificar todas as

casas. O representante da empresa apresentou cálculos que comprovavam

que o total de possibilidades era suficiente para identificar

(B) 25 casas. (B) 27 casas. (C) 30 casas. (D) 32 casas.

2. (FCC / SEPLAG / 2012) Dona Quitéria oferece chá da tarde em sua

lanchonete. Ela serve:

− cinco variedades de chás;

− três sabores de pãezinhos;

− quatro qualidades de geleias;

Os clientes podem optar por um tipo de chá, um sabor de pão e uma geleia.

Mariana toma lanche todos os dias no estabelecimento de Dona Quitéria. O

número de vezes que Mariana pode tomar lanche sem repetir sua opção é

(B) 60. (B) 50. (C) 45. (D) 40.

3. (FCC-SABESP/2012) Uma escola de Ensino Médio possui quatro turmas

de 1ª série. As aulas de História dessas turmas serão distribuídas entre três

professores, de modo que um deles assuma duas turmas e os outros dois

assumam uma turma cada um. O número de maneiras diferentes de distribuir

essas aulas, respeitando tais condições, é igual a

(B) 18. (B) 24. (C) 36. (D) 48. (E) 72.

4. (FCC-SEE/SP-2011) Leonardo e mais três amigos decidem ir ao cinema.

Resolvem sentar-se numa fila que tem seis lugares seguidos disponíveis. De

quantas maneiras diferentes podem ocupar os lugares disponíveis?

(B) 24. (B) 120. (C) 180. (D) 360. (E) 720.

8- Lista de Exercícios





5. (FCC-PM/BA-2010) Certo dia, um automóvel passou em alta velocidade

por uma avenida, excedendo o limite ali permitido. Um policial de plantão no

local tentou anotar o número da placa do carro do infrator, mas não conseguiu

fazê-lo por completo: memorizou apenas o prefixo (CSA) e, da parte

numérica, lembrava somente que o algarismo da esquerda era ímpar e o da

direita era par. Com base nessas informações, o total de possibilidades para o

número da placa de tal automóvel é

(B) 2500. (B) 2000. (C) 1000. (D) 250. (E) 100.

6. (FCC-BACEN/2006) Os clientes de um banco contam com um cartão

magnético e uma senha pessoal de quatro algarismos distintos entre 1 000 e 9

999. A quantidade dessas senhas, em que a diferença positiva entre o

primeiro algarismo e o último algarismo é 3, é igual a

(B) 936. (B) 896. (C) 784. (D) 768. (E) 728.

7. (FCC-SEED/SE-2003) Uma prova consta de 6 questões de Matemática e 7

de Física. Cada aluno deve escolher 4 questões de Matemática e 2 de Física

para responder. Quantas opções diferentes de escolha tem cada aluno?

(B) 21. (B) 45. (C) 250. (D) 315. (E) 1680.

1 B 3 C 5 A 7 D

2 A 4 D 6 E

9- Gabarito

aula 00 curso: estatística p/ icms pe · aula 2 estatística descritiva: gráficos, tabelas,...

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