estatística, medidas descritivas para as distribuições de frequência

UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA

PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO

CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL

EDNELSON OLIVEIRA SANTOS

NELSON POERSCHKE

SATURNO CÍCERO DE SOUZA

MEDIDAS DESCRITIVAS PARA AS DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA

MEDIDAS DE POSIÇÃO

EXERCÍCIOS

Boa Vista

2011

EDNELSON OLIVEIRA SANTOS

NELSON POERSCHKE

SATURNO CÍCERO DE SOUZA

MEDIDAS DESCRITIVAS PARA AS DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA

MEDIDAS DE POSIÇÃO

EXERCÍCIOS

31 Ago 2011

Trabalho apresentado como exigência da

disciplina de Introdução à Estatística do

Curso de Bacharelado em Engenharia Civil

da Universidade Federal de Roraima.

Prof.: Josué Gomes da Silva

Boa Vista

2011

SUMÁRIO

I. EXERCÍCIOS – SÉRIE 01.................................................................................... 03

II. EXERCÍCIOS – SÉRIE 02.................................................................................... 03

I. EXERCÍCIOS – SÉRIE 01

01. Determine a média aritmética das seguintes séries:

a) 3, 4, 1, 3, 6, 5, 6

�̅� =∑ 𝑥

𝑛⇒

3+4+1+3+6+5+6

7⇒

28

7 = 4

R: �̅� = 4

b) 7, 8, 8, 10, 12

�̅� =∑ 𝑥

𝑛⇒

7+8+8+10+12

5⇒

45

5 = 9

R: �̅� = 9

c) 3,2; 4; 0,75; 5; 2,13; 4,75

�̅� =∑ 𝑥

𝑛⇒

3,2+4+0,75+5+2,13+4,75

6⇒

19,83

6 = 3,305

R: �̅� = 3,305

d) 70, 75, 76, 80, 82, 83, 90

�̅� =∑ 𝑥

𝑛⇒

70+75+76+80+82+83+90

7⇒

556

7 = 79,42857143

R: �̅� = 79,429

02. A média mínima para aprovação em determinada disciplina é 5,0. Se um estudante

obtém as notas 7,5; 8,0; 3,5; 6,0; 2,5; 2,0; 5,5; 4,0 nos trabalhos mensais da disciplina em

questão, pergunta-se se ele foi ou não aprovado.

�̅� =∑ 𝑥

𝑛⇒

7,5+8,0+3,5+6,0+2,5+2,0+5,5+4,0

8⇒

39

8 = 4,875

R: 𝑂 𝑎𝑙𝑢𝑛𝑜 𝑛ã𝑜 𝑓𝑜𝑖 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑣𝑎𝑑𝑜.

03. Calcule para cada uma das distribuições abaixo sua respectiva média amostral.

a)

b)

c)

d)

xi Fi xiFi

�̅� =∑ 𝑥𝑖𝐹𝑖

𝑛⇒

150

22 = 6,818181

R: �̅� = 6,82

3 2 6

4 5 20

7 8 56

8 4 32

12 3 36

Ʃ 22 150

xi Fi xiFi

�̅� =∑ 𝑥𝑖𝐹𝑖

𝑛⇒

336

29 = 11,5862069

R: �̅� = 11,59

10 5 50

11 8 88

12 10 120

13 6 78

Ʃ 29 336

xi Fi xiFi Fac

�̅� =∑ 𝑥𝑖𝐹𝑖

𝑛⇒

112

28 = 4

R: �̅� = 4

2 3 6 3

3 6 18 9

4 10 40 19

5 6 30 25

6 3 18 28

Ʃ 28 112

xi Fi xiFi

�̅� =∑ 𝑥𝑖𝐹𝑖

𝑛⇒

9,03

1 = 9,03

R: �̅� = 9,03

7 1/16 0,44

8 5/18 2,22

9 1/3 3

10 2/9 2,22

11 5/48 1,15

Ʃ 1 9,03

e)

04. Dadas as estaturas de 140 alunos, conseguiu-se a distribuição abaixo. Calcular a

média.

05. Abaixo temos a distribuição dos aluguéis de 65 casas. Determine pelo processo

abreviado sua média.

xi Fi xiFi

�̅� =∑ 𝑥𝑖𝐹𝑖

𝑛⇒

2109

24 = 87,875

R: �̅� = 87,88

85 5 425

87 1 87

88 10 880

89 3 267

90 5 450

Ʃ 24 2109

Classes Fi xi xiFi

�̅� =∑ 𝑥𝑖𝐹𝑖

𝑛⇒

23090

140 = 164,9285714

R: �̅� = 164,93

145 150 2 147,5 295

150 155 10 152,5 1525

155 160 27 157,5 4252,5

160 165 38 162,5 6175

165 170 27 167,5 4522,5

170 175 21 172,5 3622,5

175 180 8 177,5 1420

180 185 7 182,5 1277,5

Ʃ 140 23090

Classes Fi xi(PM) Zi ZiFi x0 = 6,5 h = 2

𝑧𝑖 =𝑥𝑖−𝑥0

ℎ=

2,5−6,5

2=

−4

2= −2

𝑧̅ =∑ 𝑧𝑖𝐹𝑖

𝑛=

−22

65 = - 0,34

�̅� = ℎ�̃� + 𝑥0 ⇒ 2(-0,34)+6,5 = 5,82

R: �̅� = 5,82

1,5 3,5 12 2,5 -2 -24

3,5 5,5 18 4,5 -1 -18

5,5 7,5 20 6,5 0 0

7,5 9,5 10 8,5 1 10

9,5 11,5 5 10,5 2 10

Ʃ 65 -22

06. Dada a distribuição, determinar a média pelo processo abreviado

07. Dados os seguintes números:

1 3 5 7 9 2 4 6 8 10 15 20 25 0 1

2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 8 6 5 4

3 2 1 0 10 15 20 25 12 11 8 6 4 2 1

3 5 7 9 11

a) Construa a distribuição de freqüência do Tipo “A”

xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 20 25 Ʃ

Fi 2 4 4 4 4 4 4 4 5 4 2 2 1 2 2 2 50

xiFi 0 4 8 12 16 20 24 28 40 36 20 22 12 30 40 50 362

b) Determine a média

�̅� =∑ 𝑥𝑖𝐹𝑖

𝑛⇒

362

50 = 7,24

R: �̅� = 7,24

Classes Fi Fac xi(PM) Zi ZiFi x0 = 78 h = 4


ℎ=

70−78

4=

−8

4= −2


𝑛=

−23

40 = - 0,58

�̅� = ℎ�̃� + 𝑥0 ⇒ 4(-0,58)+78 = 75,68

R: �̅� = 75,68

68 72 8 8 70 -2 -16

72 76 12 20 74 -1 -12

76 80 15 35 78 0

80 84 5 40 82 1 5

Ʃ 40 -23

08. Turmas que possuem determinada disciplina em comum apresentam, nessa

disciplina:

Turma A (40 alunos) – média 6,5

Turma B (35 alunos) – média 6,0

Turma C (35 alunos) – média 4,0

Turma D (20 alunos) – média 7,5

Determine a média geral.

�̅�𝐺 =𝑛1�̅�1+𝑛2�̅�2+...+𝑛𝑘 �̅�𝑘

𝑛1+𝑛2+...+𝑛𝑘=

∑ 𝑛𝑖 �̅�𝑖𝑘𝑖=1

∑ 𝑛𝑖𝑘𝑖=1

�̅�𝐺 =40.6,5 + 35.6,0 + 35.4,0 + 20.7,5

40 + 35 + 35 + 20⇒

260 + 210 + 140 + 150

130⇒

760

130= 5,84615

R: �̅� = 5,85

9. Dada a amostra:

28 33 27 30 31 30 33 30 33 29

27 33 31 27 31 28 27 29 31 24

31 33 30 32 30 33 27 33 31 33

23 29 30 24 28 34 30 30 18 17

18 15 16 17 17 18 19 19 20 29

a) Agrupar os elementos em classes (inicie pelo 15) e use h=5.

b) Construir a tabela de distribuição de freqüência do tipo “B”.

c) Determinar a média pelo processo abreviado.

Classes Fi xi(PM) Zi ZiFi x0 = 27,5 h = 5


ℎ=

17,5−27 ,5

5=

−10

5= −2


𝑛=

0

50 = 0

�̅� = ℎ�̃� + 𝑥0 ⇒ 2(0)+27,5 = 27,5

R: �̅� = 27,5

15 20 10 17,5 -2 -20

20 25 4 22,5 -1 -4

25 30 12 27,5 0 0

30 35 24 32,5 1 24

Ʃ 50 0

10. Calcule a média geométrica para as séries.

a) 8, 15, 10, 12

𝑀𝑔 = √∏ 𝑋𝑖

𝐹𝑖𝑛𝑖=1 = √𝑋1

𝐹1 . 𝑋2𝐹2 … 𝑋𝑛

𝐹𝑛𝑛

⇒

𝑀𝑔 = √8 .15 .10 . 124

= 81

4 .151

4 .101

4 .121

4 = 10,954451

R: �̅� = 10,95

b) 3, 4, 5, 6, 7, 8



𝐹1 . 𝑋2𝐹2 … 𝑋𝑛

𝐹𝑛𝑛

⇒

𝑀𝑔 = √3 .4 . 5 .6. 7 .86 = 31

6 .41

6 .51

6 .61

6 .71

6 .81

6 = 5,216931

R: 𝑀𝑔 = 5,22

c)



𝐹1 . 𝑋2𝐹2 … 𝑋𝑛

𝐹𝑛𝑛

⇒

𝑀𝑔 = √812. 910. 107. 115. 12337= 8

1237 .9

1037 . 10

737 .11

537 . 12

337 = 9,294296

R: 𝑀𝑔 = 9,29

Ou

𝑙𝑜𝑔𝑀𝑔 =𝐹1 𝑙𝑜𝑔𝑥1+𝐹2 𝑙𝑜𝑔𝑥2+𝐹3 𝑙𝑜𝑔𝑥3+𝐹4 𝑙𝑜𝑔𝑥4+𝐹5 𝑙𝑜𝑔𝑥5

𝑛⇒

𝑙𝑜𝑔𝑀𝑔 =12𝑙𝑜𝑔8+10𝑙𝑜𝑔9+7𝑙𝑜𝑔10+5𝑙𝑜𝑔11+3𝑙𝑜𝑔12

37⇒

𝑙𝑜𝑔𝑀𝑔 =12.𝑙𝑜𝑔8+10𝑙𝑜𝑔9+7𝑙𝑜𝑔10+5𝑙𝑜𝑔11+3𝑙𝑜𝑔12

37⇒

𝑙𝑜𝑔𝑀𝑔 =35,82401

37= 0,968216486 ⇒ 𝑀𝑔 = 9,29429571

R: 𝑀𝑔 = 9,29

xi 8 9 10 11 12

Fi 12 10 7 5 3

11. Encontre a média harmônica para as séries.

a) 5, 7, 12, 15

𝑀ℎ =𝑛

𝐹1𝑋1

+𝐹2𝑋2

+𝐹3𝑋3

+...+𝐹𝑛𝑋𝑛

= 𝑛

∑ 𝐹1𝑋1

𝑛𝑖=1

𝑀ℎ =4

1

5+

1

7+

1

12+

1

15

⇒4

84+60+35+28

420

⇒4(420)

207 ⇒ 8,1159

R: 𝑀ℎ = 8,12

b)

𝑀ℎ =𝑛

𝐹1𝑋1

+𝐹2𝑋2

+𝐹3𝑋3


𝑀ℎ =3+4+6+5+23

2+

4

3+

6

4+

5

5+

2

6

⇒20

90+80+90+60+20

60

⇒20(60)

340⇒ 3,529411765

R: 𝑀ℎ = 3,53

12. A evolução das vendas dos últimos três meses apresentou os seguintes índices:

122,31; 132,42; 115,32. Determinar qual foi o aumento médio percentual verificado.

122,31 – 100 = 22,31%

132,42 – 100 = 32,42%

115,32 – 100 = 15,32%

�̅� =∑ 𝑥

𝑛⇒

122,31+132,42+115,32

3⇒

370,05

3 = 123,25

Base = 100% 123,25 - 100 = 23,25

R: �̅� = 23,25%

xi 2 3 4 5 6

Fi 3 4 6 5 2

Xi Fi

122,31 1

132,42 1

115,32 1

Ʃ 3

13. A contagem de bactérias, em certa cultura, aumentou de 500 para 2000 em três dias.

Qual foi a percentagem média de acréscimo por dia?

500,𝑎2, 2000 (3 dias)



𝐹1 . 𝑋2𝐹2 … 𝑋𝑛

𝐹𝑛𝑛

⇒

√1500 ∙ … ∙ 320003

𝑀𝑔 = √2000

500

3

𝑀𝑔 = √43

⇒ 𝑀𝑔 = 1,5874

1 = 100%; então 1,5874-100% = 58,74%

R: 58,74% 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑎

14. Em 1950 e 1980 a população do Brasil era 51,944 milhões e 119,071 milhões,

respectivamente. Qual foi o acréscimo médio percentual por ano?

30 anos

1950 = 51944000

1980 = 119071000

1950,𝑎2, 𝑎3, … ,1980



𝐹1 . 𝑋2𝐹2 … 𝑋𝑛

𝐹𝑛𝑛

⇒

√151,944

∙ … ∙ 30119,07130

𝑀𝑔 = √119,071

51,944

30 ⇒ 𝑀𝑔 = √2,292295530 ⇒ 𝑀𝑔 = 1,0280

1 = 100%; então 1,0280-100% =2,80%

R: 2,8% 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑎𝑛𝑜

15. Tem-se $2000,00, disponíveis, mensalmente, para a compra de determinado artigo

que custou, nos meses de junho, julho e agosto, respectivamente, $200,00; $500,00 e $700,00.

Qual foi o custo médio do artigo para este período.

16. Uma empresa possui um estoque de geladeiras em quatro cidades diferentes (A, B, C

e D). Na cidade A ela esgota-se em 8 meses; na cidade B, em 15 meses; na cidade C, em 6

meses; e na cidade D, em 20 meses. Calcular o tempo médio de escoamento de todos os

estoques da empresa.

𝑀ℎ =𝑛

𝐹1𝑋1

+𝐹2𝑋2

+𝐹3𝑋3


𝑀ℎ =1 +1+1+1

1

8+

1

15+

1

6+

1

20

⇒4

15+8+20+6

120

⇒4(120)

49⇒ 9,795918367

80

𝑥.

100

30⇒

80.30

100⇒

240

100⇒ 𝑥 = 24

R: 𝑀ℎ = 9,80 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 ou 9 meses e 24 dias

17. Gastamos, em janeiro, $ 10.000,00 para comprar um produto que custou $ 100,00 a

unidade. Em fevereiro, gastamos $ 24.000,00 para comprar o mesmo produto ao preço

unitário de $ 120,00. Determinar qual o custo médio com o artigo nesses dois meses.

xi Fi xiFi �̅� =

∑ 𝑥𝑖𝐹𝑖

𝑛⇒

6000

16,8571 = 355,9331

R: �̅� = 355,93

200 10 2000

500 4 2000

700 2,857 2000

Ʃ 16,8571 6000

xi 8 15 6 20

Fi 1 1 1 1

xi Fi xiFi �̅� =∑ 𝑥𝑖𝐹𝑖

𝑛⇒

34.000,00

300 = 113,333333

R: �̅� = $ 113,33

100,00 100 10,000,00

120,00 200 24.000,00

Ʃ 300 34.000,00

18. A nota média de uma turma mista de 50 alunos foi 5,3; sendo 5,0 a média dos

meninos e 8,0 das meninas. Quantos meninos e meninas haviam na turma?

Meninos: n1; média 5,0

Meninas: n2; média 8,0

Media geral = 5,3

Total da turma = 50 alunos

�̅�𝐺 =𝑛1�̅�1+𝑛2�̅�2+...+𝑛𝑘 �̅�𝑘

𝑛1+𝑛2+...+𝑛𝑘=

∑ 𝑛𝑖 �̅�𝑖𝑘𝑖=1


𝑛1 .5+𝑛2 .8

50= 5,3

5𝑛1 = 5,3 ∙ 50 − 8𝑛2 ⇒ 5𝑛1 = 265 − 8𝑛2

𝑛1 =265−40

5=

225

5= 45

𝑛2 = 50 − 45 = 5

R = haviam 45 meninos e 5 meninas.

19. O salário médio pago aos empregados da firma é $ 7.100,00. Os salários médios

pagos aos empregados especializados e não especializados são, respectivamente, $ 8.000,00 e

$ 5.000,00. Determinar a porcentagem dos empregados especializados e não especializados da

firma.

Especializados: n1; média $ 8000,00

Não-especializados: n2; média $ 5000,00

Media geral = $ 7100,00

Total de funcionários = 100%

�̅�𝐺 =𝑛1�̅�1+𝑛2�̅�2+...+𝑛𝑘 �̅�𝑘

𝑛1+𝑛2+...+𝑛𝑘=

∑ 𝑛𝑖 �̅�𝑖𝑘𝑖=1


𝑛1 .8000+𝑛2 .5000

100= 7100

8000𝑛1 = 7100 ∙ 100 − 5000𝑛2 ⇒ 8000𝑛1 = 710000 − 5000𝑛2

𝑛1 =710000−80000

8000=

640000

8000= 80,00%

𝑛2 = 100 − 80,00 = 20%

R = Há 80% de empregados especializados e 20% de empregados não

especializados.

20. Encontrar dois números cuja média aritmética é 50 e a média harmônica é 32.

�̅� =∑ 𝑥

𝑛= 50

x + y = 100

𝑀ℎ =𝑛

𝐹1𝑋1

+𝐹2𝑋2

+𝐹3𝑋3


= 32

𝑀ℎ =2

𝑥+𝑦

𝑋1𝑥𝑦

= 32 ⇒ 2𝑥𝑦

𝑥+𝑦= 32 ⇒

𝑥𝑦

𝑥+𝑦= 16 ⇒ xy = 16(x + y)

xy = 16 . 100 ⇒ xy = 1600

{𝑥 + 𝑦 = 100𝑥𝑦 = 1600

x (100 - x) = 1600 ⇒ 100x – x2 = 1600

x2 – 100x – 1600 = 0

𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎⇒ 𝑥 =

100 ±√1002 −4.(−100) .(−1600)

2⇒

𝑥 =100±√10000 −6400)

2⇒ 𝑥 =

100 ±√3600

2⇒ 𝑥 =

100 ±60

2⇒

x' = 80; x'' = 20 ⇒ y' = 20; y'' = 80

R = {20, 80}

21. A média geométrica dos preços de dois produtos, A e B, é $ 7,20, enquanto a média

aritmética é $9,00. Determinar os preços dos produtos A e B.

𝑀𝑔 = √𝑋1𝐹1 . 𝑋2

𝐹2 … 𝑋𝑛𝐹𝑛

𝑛 ⇒ 𝑀𝑔 = √𝐴 + 𝐵 = 7,2

�̅� =∑𝑥𝑖𝐹𝑖

𝑛 ⇒

𝐴+𝐵

2= 9 ⇒ 𝐵 = 18 − 𝐴

{𝐵 = 18 − 𝐴 𝐴𝐵 = 51,84

A (18 - A) = 51,84

-A2 + 18A - 51,84 = 0

𝐴 =18±√116 ,64

2⇒ 𝐴 =

18+10,8

2 ⇒ 𝐴 = 14,40

𝐴𝐵 = 51,84 ⇒ 𝐵 =51 ,84

14 ,40 ⇒ 𝐵 = 3,60

R = A = $ 14,40 e B = $ 3,60

22. Utilizando a série de dados: 2, 7, 8 e 15, comprove as seguintes propriedades da

média aritmética:

a) A soma dos desvios em torno da média é zero. Isto é Ʃ (𝑥𝑖 − �̅�) = 0.

�̅� =∑ 𝑥

𝑛⇒

2+7+8+15

4⇒

32

4 = 8

Ʃ (𝑥𝑖 − �̅�) = 0.

b) Somando ou subtraindo uma mesma quantidade arbitrária de todos os valores da

série, a média ficará aumentada ou diminuída dessa mesma quantidade.

𝑥1̅̅̅ =∑ 𝑥

𝑛⇒

2+7+8+15

4⇒

32

4 = 8

Somando o valor 2 a cada termo:

𝑥2̅̅ ̅ =∑ 𝑥

𝑛⇒

(2+2)+(7+2)+(8+2)+(15+2)

4⇒

4+9+10+17

4=

40

4 = 10

𝑥1̅̅̅ = 8 ⇒ 𝑥1̅̅̅ = 10

c) Multiplicando ou dividindo cada termo de uma série por uma constante, a média

ficará multiplicada ou dividida pela constante.

𝑥1̅̅̅ =∑ 𝑥

𝑛⇒

2+7+8+15

4⇒

32

4 = 8

Multiplicando cada termo por 2:

𝑥2̅̅ ̅ =∑ 𝑥

𝑛⇒

(2.2)+(7.2)+(8.2)+(15.2)

4⇒

4+14+16+30

4=

64

4= 16

𝑥1̅̅̅ = 8 ⇒ 𝑥1̅̅̅ = 16

xi �̅� xi-�̅�

2 8 -6

7 8 -1

8 8 0

15 8 7

Ʃ 0

d) A soma dos quadrados dos desvios medidos em relação à média é um mínimo, ou

seja, é sempre menor que a soma dos quadrados dos desvios medidos em relação a outro valor

qualquer. Isto é, Ʃ (𝑥𝑖 − �̅�)2 é mínima.

�̅� =∑ 𝑥

𝑛⇒

2+7+8+15

4⇒

32

4 = 8

Ʃ (xi-�̅�)2 < Ʃ (xi)2

xi �̅� xi-�̅� (xi-�̅�)2 (xi)2

2 8 -6 36 4

7 8 -1 1 49

8 8 0 0 64

15 8 7 49 225

Ʃ 86 342

I. EXERCÍCIOS – SÉRIE 01

1. Para cada série determine a mediana:

a) 1, 3, 3, 4 , 5, 6, 6

n = 07 (ímpar)

𝑛+1

2=

7+1

2=

8

2= 𝟒º, corresponde a 4.

R: �̃� = 4

b) 1, 3, 3, 4, 6 , 8, 8, 9

n = 08 (par)

𝑛

2⇒

8

2= 𝟒º, corresponde a 4

𝑛

2+ 1 ⇒

8

2+ 1 = 𝟓º, corresponde a 6

�̃� =4+6

2=

10

2= 5

R: �̃� = 5

c) 12, 7, 10, 8, 8 ⇒ 7, 8, 8 , 10, 12

n = 05 (ímpar)

𝑛+1

2=

5+1

2=

6

2= 3º, corresponde a 8.

R: �̃� = 8

d) 82, 86, 88, 84, 91, 93 ⇒ 82, 84, 86, 88 , 91, 93

n = 06 (par)

𝑛

2⇒

6

2= 𝟑º, corresponde a 86

𝑛

2+ 1 ⇒

6

2+ 1 = 𝟒º, corresponde a 88

�̃� =86+88

2=

174

2= 87

R: �̃� = 87

2. Para cada distribuição, determine a mediana.

I)

II)

III)

xi 2 3 4 5 7

Fi 3 5 8 4 2

xi Fi Fac n = 22 (par)

𝑛

2⇒

22

2= 𝟏𝟏º, corresponde a 4

𝑛

2+ 1 ⇒

22

2+ 1 = 𝟏𝟐º, corresponde a 4

�̃� =4+4

2=

8

2= 4

R: �̃� = 4

2 3 3

3 5 8

4 8 16

5 4 20

7 2 22

Ʃ 22

xi 173 275 77 279 181

Fi 2 10 12 5 2

xi Fi Fac

n = 31 (impar)

𝑛+1

2=

31+1

2=

32


R: �̃� = 181

77 12 12

173 2 14

181 2 16

275 10 26

279 5 31

Ʃ 31

xi 12 13 15 17

Fac 5 10 18 20


𝑛

2⇒

20

2= 𝟏𝟎º, corresponde a 13

𝑛

2+ 1 ⇒

20

2+ 1 = 𝟏𝟏º, corresponde a 15

�̃� =13+15

2=

28

2= 14

R: �̃� = 14

12 5 5

13 5 10

15 8 18

17 2 20

Ʃ 20

IV)

3. Para cada distribuição, determine a mediana.

I)

�̃� = 𝑙𝑀𝐷 +(

𝑛

2−∑ 𝑓).ℎ

𝐹𝑀𝐷=

�̃� = 5 +(14,5−8) .2

8 ⇒ 5 +

(6,5) .2

8 ⇒ 5 +

13

8 ⇒ 5 + 1,625 = 6,625

R: �̃� = 6,63

xi 232 235 237 240

Fac 15 40 55 61

xi Fi Fac n = 61 (impar)

𝑛+1

2=

61+1

2=

62


R: �̃� = 235

232 15 15

235 25 40

237 15 55

240 6 61

Ʃ 61

Classes 1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13

Fi 3 5 8 6 4 3

xi Fi Fac n = 29 𝑛+1

2⇒

29+1

2= 15, corresponde a 6

𝑙𝑀𝐷 = 5

∑ 𝑓 = 8

h = 2 𝐹𝑀𝐷 = 8

1 3 3 3

3 5 5 8

5 7 8 16

7 9 6 22

9 11 4 26

11 13 3 29

Ʃ 29

II)

�̃� = 𝑙𝑀𝐷 +(

𝑛

2−∑ 𝑓).ℎ

𝐹𝑀𝐷=

�̃� = 28 +(46,5−43) .3

30 ⇒ 28 +

(3,5).3

30 ⇒ 28 +

10,5

30 ⇒ 28 + 0,35 = 28,35

R: �̃� = 28,35

4. Para cada série determine a moda.

I) 3, 4, 7, 7, 7, 8, 9, 10

A identificação da moda, neste caso, se dá pela simples observação do elemento que

aparece com maior freqüência.

Mo = 7

I) 43, 40, 42, 43, 47, 45, 45, 43, 44, 48 ⇒ 40, 42, 43, 43, 43, 44, 45, 45, 47, 48



Mo = 43

5. Para cada distribuição, determine a moda.

I)

Classes 22 25 25 28 28 31 31 34

Fi 18 25 30 20

xi Fi Fac n = 93 𝑛+1

2⇒

93+1

2= 47

𝑙𝑀𝐷 = 28

∑ 𝑓 = 43

h = 3

𝐹𝑀𝐷 = 30

22 25 18 18

25 28 25 43

28 31 30 73

31 34 20 93

Ʃ 93

xi 72 75 78 80

Fi 8 18 28 38

Também neste caso a identificação da moda se dá pela simples observação do

elemento que aparece com maior freqüência.

Mo = 80

II)

Também neste caso a identificação da moda se dá pela simples observação do

elemento que aparece com maior freqüência.

Mo = 3,5

6. Para cada distribuição, determine a moda pelos dois processos.

I)

1º processo – fórmula de Czuber

𝑀𝑜 = 𝑙 +Δ1

Δ1+Δ2∙ ℎ

𝑀𝑜 = 13 +5

5+5∙ 3 ⇒ 13 +

5

10∙ 3

𝑀𝑜 = 13 + 0,5 ∙ 3 ⇒ 13 + 1,5 = 14,5

Mo = 14,5

𝑙 = 13

Δ1 = 5

Δ2 = 5

h = 3

2º processo – determinação gráfica

xi 2,5 3,5 4,5 6,5

Fi 7 17 10 5

Classes 7 10 10 13 13 16 16 19 19 21

Fi 6 10 15 10 5

II)



Δ1+Δ2∙ ℎ

𝑀𝑜 = 20 +5

5+3∙ 10 ⇒ 20 +

5

8∙ 10

𝑀𝑜 = 20 + 0,625 ∙ 10 ⇒ 20 + 6,25 = 26,25

Mo = 26,25

𝑙 = 20

Δ1 = 5

Δ2 = 3

h = 10


III)



Δ1+Δ2∙ ℎ

𝑀𝑜 = 0 +0,5

0,5+0,3∙ 10 ⇒ 0 +

0,5

0,8∙ 10

𝑀𝑜 = 0 + 0,625 ∙ 10 ⇒ 0 + 6,25 = 6,25

Mo = 6,25

𝑙 = 0

Δ1 = 0,5

Δ2 = 0,3

h = 10

Classes 10 20 20 30 30 40 40 50

Fi 7 12 9 4

Fac 7 19 28 32

Classes 0 10 10 30 30 70 70 100 100 120

Fi 5 4 4 6 5

Fi /h 0,5 0,2 0,1 0,2 0,25


7. Para as distribuições:

I)

Calcule D6, P65 e Q1, interpretando os resultados.

D6

𝐷𝑖 = 𝑙𝐷𝑖+

(𝑖𝑛−∑ 𝑓

10)∙ℎ

𝐹𝐷𝑖

𝑖𝑛

10=

6∙35

10⇒

210

10= 21

𝐷6 = 8 +(21−15)∙2

15⇒ 8 +

6∙2

15⇒ 8 +

12

15⇒ 8 + 0,8 = 8,8

D6 = 8,8

i = 6 n = 35

l𝐷𝑖 = 8

F𝐷𝑖 = 15

h = 2

∑ 𝑓 = 15

P65

𝑃𝑖 = 𝑙𝑃𝑖+

(𝑖𝑛 −∑ 𝑓

100)∙ℎ

𝐹𝑃𝑖

𝑖𝑛

100=

65∙35

100⇒

2275

100= 22,75

𝑃65 = 8 +(22,75−15)∙2

15⇒ 8 +

7,75∙2

15⇒ 8 +

15,5

15⇒ 8 + 1,03 = 9,03

P65 = 9,03

i = 65 n = 35

l𝑃𝑖 = 8

F𝑃𝑖 = 15

h = 2

∑ 𝑓 = 15

Classes 4 6 6 8 8 10 10 12

Fi 4 11 15 5

Fac 4 15 30 35

Q1

𝑄𝑖 = 𝑙𝑄𝑖+


4)∙ℎ

𝐹 𝑄𝑖

𝑖𝑛

4=

1∙35

4⇒

35

4= 8,75

𝑄1 = 6 +(8,75−4)∙2

11⇒ 6 +

4,75∙2

11⇒ 6 +

9,5

11⇒ 6 + 0,864 = 6,864

Q1 = 6,86

i = 1 n = 35

l𝑄𝑖 = 6

F𝑄𝑖 = 11

h = 2

∑ 𝑓 = 4

II)

Calcule D2, P43 e Q3, interpretando os resultados.

D2



10)∙ℎ

𝐹𝐷𝑖

𝑖𝑛

10=

2∙24

10⇒

48

10= 4,8

𝐷2 = 30 +(4,8−3)∙10

5⇒ 30 +

1,8∙10

5⇒ 30 +

18

5⇒ 30 + 3,6 = 36,6

D2 = 36,6

i = 2 n = 24

l𝐷𝑖 = 30

F𝐷𝑖 = 5

h = 10

∑ 𝑓 = 3

P43


(𝑖𝑛 −∑ 𝑓

100)∙ℎ

𝐹𝑃𝑖

𝑖𝑛

100=

43∙24

100⇒

1032

100= 10,32

𝑃43 = 40 +(10,32−8)∙10

10⇒ 40 +

2,32∙10

10⇒ 40 +

23,2

10⇒ 40 + 2,32 = 42,32

P43 = 42,32

i = 43 n = 24

l𝑃𝑖 = 40

F𝑃𝑖 = 10

h = 10

∑ 𝑓 = 8

Q3



4)∙ℎ

𝐹 𝑄𝑖

𝑖𝑛

4=

3∙24

4⇒

72

4= 18

𝑄1 = 40 +(18−8)∙10

10⇒ 40 +

10∙10

10⇒ 40 +

100

10⇒ 40 + 10 = 50

Q3 = 50

i = 3 n = 24

l𝑄𝑖 = 40

F𝑄𝑖 = 10

h = 10

∑ 𝑓 = 8

Classes 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70

Fi 3 5 10 4 2

Fac 3 8 18 22 24

III)

a) Abaixo de que salário estão os 30% mais mal remunerados?

P30


(𝑖𝑛 −∑ 𝑓

100)∙ℎ

𝐹𝑃𝑖

𝑖𝑛

100=

30∙250

100⇒

7500

100= 75

𝑃30 = 1000 +(75−64)∙200

58⇒ 1000 +

11∙200

58⇒

𝑃30 = 1000 +2200

58⇒ 1000 + 37,93 = 1037,93

P30 = 1037,93

i = 30 n = 250

l𝑃𝑖 = 1000

F𝑃𝑖 = 58

h = 200

∑ 𝑓 = 64

Os 30% mais mal remunerados ganham abaixo de $ 1037,93.

b) Acima de que salário encontram-se os 15% mais bem remunerados.

P85


(𝑖𝑛 −∑ 𝑓

100)∙ℎ

𝐹𝑃𝑖

𝑖𝑛

100=

85∙250

100⇒

21250

100= 212,5

𝑃85 = 1400 +(212,5−194)∙200

43⇒ 1400 +

18,5∙200

43⇒

𝑃85 = 1400 +3700

43⇒ 1400 + 86,046 = 1486,05

P85 = 1486,05

i = 85 n = 250

l𝑃𝑖 = 1400

F𝑃𝑖 = 43

h = 200

∑ 𝑓 = 194

Os 15% mais bem remunerados ganham acima de $ 1486,05.

c) Acima de que salário ficam os 20 operários mais bem pagos.

250

20∙

100

𝑥= 0 ⇒ 𝑥 =

20 ∙100

250⇒ 𝑥 = 0,8 = 8%

Salários 600 800 800 1000 1000 1200 1200 1400 1400 1600 1600 1800

Nº de operários

28 36 58 72 43 13

Fac 28 64 122 194 237 250

P92


(𝑖𝑛 −∑ 𝑓

100)∙ℎ

𝐹𝑃𝑖

𝑖𝑛

100=

92∙250

100⇒

23000

100= 230

𝑃92 = 1400 +(230−194)∙200

43⇒ 1400 +

36∙200

43⇒

𝑃92 = 1400 +7200

43⇒ 1400 + 167,44 = 1567,44

P92 = 1567,44

i = 92 n = 250

l𝑃𝑖 = 1400

F𝑃𝑖 = 43

h = 200

∑ 𝑓 = 194

Os 20 operários mais bem remunerados ganham acima de $ 1567,44.

d) Abaixo de que salário ficam os 25 operários mais mal remunerados.

250

25∙

100

𝑥= 0 ⇒ 𝑥 =

25 ∙100

250⇒ 𝑥 = 1 = 10%

P10


(𝑖𝑛 −∑ 𝑓

100)∙ℎ

𝐹𝑃𝑖

𝑖𝑛

100=

10∙250

100⇒

2500

100= 25

𝑃10 = 600 +(25−0)∙200

28⇒ 600 +

25∙200

28⇒

𝑃10 = 600 +5000

28⇒ 600 + 178,57 = 778,57

P10 = 778,57

i = 10 n = 250

l𝑃𝑖 = 600

F𝑃𝑖 = 28

h = 200

∑ 𝑓 = 0

Os 25 operários mais mal remunerados ganham abaixo de $ 778,57.

8. Abaixo temos a distribuição do número de acidentes por dia, durante 53 dias, em

certa rodovia.

Pede-se:

a) Determinar a média.

Nº de acidentes 0 1 2 3 4

Nº de dias 20 15 10 5 3

b) Determinar a mediana.

c) Calcular a moda.



Mo = 0

d) Qual é a porcentagem de dias que tivemos dois ou mais acidentes por dia.

Total de acidentes = 53

Dias com 2 ou mais por dia = 18

53

18∙

100

𝑥⇒ 𝑥 =

18 ∙ 100

53⇒ 𝑥 = 33,96

34%

xi Fi xiFi

�̅� =∑ 𝑥𝑖𝐹𝑖

𝑛⇒

62

53 = 1,17

R: �̅� = 1,17 𝑎𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑎

0 20 0

1 15 15

2 10 20

3 5 15

4 3 12

Ʃ 53 62

xi Fi Fac

n = 53 (ímpar)

𝑛+1

2=

53+1

2=

54

2= 27 corresponde a 1

R: �̃� = 1

0 20 20

1 15 35

2 10 45

3 5 50

4 3 53

Ʃ 53

Nº de acidentes 0 1 2 3 4

Nº de dias 20 15 10 5 3

9. O número de operários acidentados por mês, numa fábrica, nos últimos dois anos foi:

Mês

Ano Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez

1975 4 8 3 6 7 7 3 8 2 4 3 3

1976 7 4 6 5 10 5 4 3 5 4 4 1

Faça X, o número de operários acidentados por mês.

a) Construa a distribuição de freqüência (tipo A).

b) Calcule a média, mediana e moda.

Média

Mediana

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 10

Fi 1 1 5 6 3 2 3 2 1

xi Fi xiFi

�̅� =∑ 𝑥𝑖𝐹𝑖

𝑛⇒

116

24 = 4,83

R: �̅� = 4,83 𝑎𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑚ê𝑠

1 1 1

2 1 2

3 5 15

4 6 24

5 3 15

6 2 12

7 3 21

8 2 16

10 1 10

Ʃ 24 116

xi Fi xiFi

n = 24 (par)

𝑛

2⇒

24

2= 𝟏𝟐º, corresponde a 4

𝑛

2+ 1 ⇒

24

2+ 1 = 𝟏𝟑º, corresponde a 4

�̃� =4+4

2=

8

2= 4

R: �̃� = 4

1 1 1

2 1 2

3 5 7

4 6 13

5 3 16

6 2 18

7 3 21

8 2 23

10 1 24

Ʃ 24

Moda



Mo = 4

10. Sendo:

a) Determinar a média pelo processo abreviado.

b) Calcular a medida que deixa 50% dos elementos.

P50


(𝑖𝑛 −∑ 𝑓

100)∙ℎ

𝐹𝑃𝑖

𝑖𝑛

100=

50∙163

100⇒

8150

100= 81,5

𝑃50 = 18 +(81,5−43)∙4

40⇒ 18 +

38,5∙4

40⇒

𝑃50 = 18 +154

40⇒ 18 + 3,85 = 21,85

P50 = 21,85

i = 50 n = 163

l𝑃𝑖 = 18

F𝑃𝑖 = 40

h = 4 ∑ 𝑓 = 43

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 10

Fi 1 1 5 6 3 2 3 2 1

Idade

(anos) 10 14 14 18 18 22 22 26 26 30 30 34 34 38 38 42

Nº de

pessoas 15 28 40 30 20 15 10 5

Classes Fi xi(PM) Zi ZiFi Fac

x0 = 28 h = 4


ℎ=

12−28

4=

−16

4= −4


𝑛=

−204

163 = - -1,252

�̅� = ℎ�̃� + 𝑥0 ⇒ 4(-1,252)+28 = 22,99

R: �̅� = 22,99

10 14 15 12 -4 -60 15

14 18 28 16 -3 -84 43

18 22 40 20 -2 -80 83

22 26 30 24 -1 -30 113

26 30 20 28 0 0 133

30 34 15 32 1 15 148

34 38 10 36 2 20 158

38 42 5 40 3 15 163

Ʃ 163 -204

c) Determinar a moda (fórmula de Czuber).


Δ1+Δ2∙ ℎ

𝑀𝑜 = 18 +12

12+10∙ 4 ⇒ 18 +

12

22∙ 4

𝑀𝑜 = 18 + 0,55 ∙ 4 ⇒ 18 + 2,18 = 20,18

Mo = 20,18

𝑙 = 18

Δ1 = 12

Δ2 = 10

h = 4

d) Calcular o 3º decil.

D3



10)∙ℎ

𝐹𝐷𝑖

𝑖𝑛

10=

3∙163

10⇒

489

10= 48,9

𝐷3 = 18 +(48,9−43)∙4

40⇒ 18 +

5,9∙4

40⇒ 18 +

23,6

40⇒ 18 + 0,59 = 18,59

D3 = 18,59

i = 3 n = 163

l𝐷𝑖 = 18

F𝐷𝑖 = 40

h = 4

∑ 𝑓 = 43

e) Determinar a medida que deixa um quarto dos elementos.

Q1



4)∙ℎ

𝐹 𝑄𝑖

𝑖𝑛

4=

1∙163

4⇒

163

4= 40,75

𝑄1 = 14 +(40,75−15)∙4

28⇒ 14 +

25,75∙4

28⇒ 14 +

103

28⇒ 14 + 3,678 =

17,678

Q1 = 17,68

i = 1 n = 163

l𝑄𝑖 = 14

F𝑄𝑖 = 28

h = 4

∑ 𝑓 = 15

f) Calcular o percentil 80.

P80


(𝑖𝑛 −∑ 𝑓

100)∙ℎ

𝐹𝑃𝑖

𝑖𝑛

100=

80∙163

100⇒

13040

100= 130,4

𝑃80 = 26 +(130,4−113)∙4

20⇒ 26 +

17,4∙4

20⇒

𝑃80 = 26 +69,6

20⇒ 26 + 3,48 = 29,48

P80 = 29,48

i = 80 n = 163

l𝑃𝑖 = 26

F𝑃𝑖 = 20

h = 4

∑ 𝑓 = 113

g) Qual a porcentagem das pessoas maiores de idade?

- menores de idade = 43

- total = 163

- maiores de idade = 120

163

120∙

100

𝑥⇒ 𝑥 =

120∙100

163⇒ 𝑥 = 73,62

P = 73,62%

11. Foi pedido aos alunos de uma classe de 40 alunos que escolhessem um dentre os

números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Obteve-se os seguintes resultados.

8 0 2 3 3 5 7 7 7 9

8 4 1 9 6 6 6 8 3 3

7 7 6 0 1 3 3 3 7 7

6 5 5 1 2 5 2 5 3 2

a) Montar a distribuição de freqüência tipo A.

b) Determinar a média.

xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Fi 2 3 4 8 1 5 5 7 3 2

xi Fi xiFi

�̅� =∑ 𝑥𝑖𝐹𝑖

𝑛⇒

185

40 = 4,63

R: �̅� = 4,63

0 2 0

1 3 3

2 4 8

3 8 24

4 1 4

5 5 25

6 5 30

7 7 49

8 3 24

9 2 18

Ʃ 40 185

c) Qual foi o número mais escolhido? O que ele representa?.

Foi o número 3. Representa a moda.

d) Calcule a mediana.

12. Entre 100 números, vinte são 4, trinta são 5, quarenta são 6 e o restante são 7.

Calcular o valor da mediana.

13. Na distribuição de salários abaixo descrita, determinar:

a) qual o salário acima do qual estão situados os 10% mais bem remunerados?

xi Fi Fac

n = 40 (par)

𝑛

2⇒

40

2= 𝟐𝟎º, corresponde a 5

𝑛

2+ 1 ⇒

40

2+ 1 = 𝟐𝟏º, corresponde a 5

�̃� =5+5

2=

10

2= 5

R: �̃� = 5

0 2 2

1 3 5

2 4 9

3 8 17

4 1 18

5 5 23

6 5 28

7 7 35

8 3 38

9 2 40

Ʃ 40


𝑛

2⇒

100

2= 𝟓𝟎º, corresponde a 5

𝑛

2+ 1 ⇒

100

2+ 1 = 𝟓𝟏º, corresponde a 6

�̃� =5+6

2=

11

2= 5,5 R: �̃� = 5,5

4 20 20

5 30 50

6 40 90

7 10 100

Ʃ 100

Salário

(em $ 1000) 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10

Operários 28 32 20 6 4

xi Fi Fac

5 6 28 28

6 7 32 60

7 8 20 80

8 9 6 86

9 10 4 90

Ʃ 90

Os 10% mais bem remunerados têm um salário acima de $8166,67.

b) qual o salário abaixo do qual se encontram os 15% mais mal remunerados?

Os 15% mais mal remunerados têm um salário abaixo de $4582,14.

c) acima de que salário estão os 18 operários mais bem pagos?

90

18∙

100

𝑥⇒ 𝑥 =

18∙100

90⇒ 𝑥 = 20


(𝑖𝑛 −∑ 𝑓

100)∙ℎ

𝐹𝑃𝑖

𝑖𝑛

100=

80∙90

100⇒

7200

100= 72

𝑃80 = 7 +(72−60)∙1

20⇒ 7 +

12∙1

20⇒

𝑃80 = 7 +12

20⇒ 7 + 0,6 = 7600,00

P80 = 7600,00

i = 80 n = 90

l𝑃𝑖 = 7

F𝑃𝑖 = 20

h = 1 ∑ 𝑓 = 60

Os 18 operários mais bem remunerados têm um salário acima de $7600,00.


(𝑖𝑛 −∑ 𝑓

100)∙ℎ

𝐹𝑃𝑖

𝑖𝑛

100=

90.90

100⇒

8100

100= 81

𝑃90 = 8 +(81−80)∙1

6⇒ 8 +

1∙1

6⇒

𝑃90 = 8 +1

6⇒ 8 + 0,16667 = 8,166667

P90 = 8166,67

i = 90 n = 90

l𝑃𝑖 = 8

F𝑃𝑖 = 6

h = 1

∑ 𝑓 = 80


(𝑖𝑛 −∑ 𝑓

100)∙ℎ

𝐹𝑃𝑖

𝑖𝑛

100=

15.90

100⇒

1350

100= 13,5

𝑃15 = 5 +(13,5−0)∙1

28⇒ 5 +

13,5∙1

28⇒

𝑃15 = 5 +13,5

28⇒ 5 + 0,48214 = 5,48214

P15 = 5482,14

i = 15 n = 90

l𝑃𝑖 = 5

F𝑃𝑖 = 28

h = 1

∑ 𝑓 = 0

d) abaixo de que salário encontram-se os 36 operários mais mal remunerados?

90

36∙

100

𝑥⇒ 𝑥 =

36∙100

90⇒ 𝑥 = 40


(𝑖𝑛 −∑ 𝑓

100)∙ℎ

𝐹𝑃𝑖

𝑖𝑛

100=

40∙90

100⇒

3600

100= 36

𝑃40 = 6 +(36−28)∙1

32⇒ 6 +

8∙1

32⇒

𝑃40 = 6 +8

32⇒ 6 + 0,25 = 6,25

P40 = 6250,00

i = 40 n = 90

l𝑃𝑖 = 6

F𝑃𝑖 = 32

h = 1 ∑ 𝑓 = 28

Os 36 operários mais mal remunerados têm um salário abaixo de $6250,00.

estatística, medidas descritivas para as distribuições de frequência

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