AGA 0505- Análise de Dados em Astronomia I

2. Probabilidades

Laerte Sodré Jr.

1o. semestre, 2018

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tópicos

1 probabilidades - cont.2 distribuições de probabilidades

1 binomial2 Poisson3 gaussiana4 lei de potência

3 combinação de distribuições de probabilidades

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probabilidades

o que são probabilidades

probabilidade: medida da plausibilidade de uma proposição quandonão se pode estabelecer com certeza se ela é verdadeira ou falsa

distribuições de probabilidade: função que descreve a frequência deuma ou mas variáveisas fdp podem ser contínuas ou discretas

2 regras fundamentais das probabilidades:regra da soma: P(x|H) + P(x̄|H) = 1

regra do produto: P(x, y|H) = P(x|y,H)× P(y|H)

teorema de Bayes:

P(x|y,H) =P(y|x,H)× P(x|H)

P(y|H)

a marginalização:quando se tem um conjunto yk de proposições mutuamente exclusivase exaustivas

P(x|H) =∑

k

P(x, yk|H) P(x|H) =

∫P(x, y)dy

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probabilidades

distribuições contínuas

se x é uma variável aleatória contínua, então f(x) é uma funçãodensidade de probabilidade ou função de distribuição deprobabilidades (FDP ou PDF- probability distribution function), se

P(a < x < b) =

∫ b

af(x)dx

∫ ∞−∞

f(x)dx = 1

f(x) ≥ 0 para qualquer x real

as FDPs podem ser multivariadas, i.e., funções de várias variáveis:f(x, y, z)

FDP cumulativa:F(x) =

∫ x

−∞f(x′)d(x′)

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probabilidades

valores esperados

o valor esperado de uma certa função Q(x) com respeito a uma distribuição deprobabilidade P(x) é

E[Q] =

∫Q(x)P(x)dx E[Q] =

1N

N∑i

Qi

o valor esperado permite determinar propriedades de Q e estatísticas para adistribuição de probabilidades P(x):

média:x̄ =

∫xP(x)dx

mediana: ∫ xmed

P(x)dx = 1/2 =

∫xmed

P(x)dx

desvio quadrático médio:

σ2 =

∫(x− x̄)2P(x)dx

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distribuições de probabilidades

distribuição binomial

Aplica-se quando há apenas dois resultados possíveis:sucesso/falha, detecção/não-detecção

essa distribuição dá a probabilidade de n sucessos em N tentativas:a probabilidade de êxito em cada tentativa é a mesma e designada por pas sucessivas tentativas são independentes entre sientão,

P(n) =N!

n!(N − n)!pn(1− p)N−n =

(Nn

)pn(1− p)N−n

n sucessos ocorrem com probabilidade pn e (N − n) falhas ocorrem comprobabilidade (1− p)N−n

contudo, os n sucessos podem ocorrer em qualquer lugar nas N tentativas, e onúmero de possibilidades de se distribuir n sucessos em N tentativas é

(Nn

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distribuições de probabilidades

distribuição binomial

probabilidade de n sucessos em N tentativas com probabilidade p:(q = 1− p)

media : n̄ =N∑

n=0

nP(n) = Np

variancia : σ2

=N∑

n=0

(n− n̄)2P(n) = Npq

n0 1 2 3

N

1 q p2 q2 2pq p2

3 q3 3pq2 3p2q p3

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distribuições de probabilidades

distribuição de Poisson

A distribuição de Poisson expressa a probabilidade de uma série deeventos ocorrer num certo intervalo de tempo, ou em certa região doespaço, se estes eventos ocorrem independentemente

A distribuição de Poisson deriva da distribuição binomial no caso limitede eventos (independentes) muito raros em um grande número detentativas, de modo que, embora p→ 0, Np tende a um valor finito:

P(n) =µn

n!e−µ

valor médio dos eventos:

n̄ =N∑

n=0

nP(n) = µ

variância:

σ2

=N∑

n=0

(n− n̄)2P(n) = Np(1− p) = µ

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distribuições de probabilidades

distribuição de Poisson

Exemplo: razão sinal-ruído em uma observação com CCD

em geral a probabilidade de um foton chegar ao detector é pequena e

os fotons são (mais ou menos) independentes, de modo que uma

distribuição poissoniana é uma boa aproximação

vamos supor que durante um intervalo de tempo t a taxa defotons que chega ao detector é λ

logo, a contagem média é µ = λt e o desvio padrão é µ1/2

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distribuições de probabilidades

distribuição de Poisson

Exemplo: razão sinal-ruído em uma observação com CCDcasos limites:

dominado pelos fotons (objeto brilhante; o fundo não é importante)nesse caso,

µ = λt σ = µ1/2 −→ S/N = µ/σ ∝ t1/2

dominado pelo fundo (objeto fraco; o ruído é determinado pelo céu(λceu � λ)

µ = λt σ = (λceut)1/2 −→ S/N ∝ t1/2

objetos muito brilhantes (dominado pelos fotons mas observado emexposições curtas)µ = λt, σ = σreadout (ruído de leitura do CCD)−→ S/N ∝ t

objetos em altos comprimentos de onda (sub-milimétrico, rádio)- hámuitos fotons e Poisson não se aplica

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distribuições de probabilidades

distribuição normal ou gaussiana

distribuição gaussiana:

P(x) =1

√2πσ

exp[−

(x− µ)2

2σ2

]

2 parâmetros: a média µ e o desvio padrão σ (ou variância σ2)

a área total sob a curva é 1

a área dentro de±1σ é 0,68

a área dentro de±2σ é 0.95

a área dentro de±3σ é 0.997

As distribuições binomial e a de Poisson tendem à gaussiana quandoN (binomial) ou µ (Poisson) tendem ao infinitoquando Np ou µ > 20, essas distribuições ficam indistinguíveis dagaussiana

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distribuições de probabilidades

distribuição normal ou gaussianaTeorema do Limite Central:

um exemplo: suponha que temos uma amostra com muitas observações, cada uma obtidaindependentemente das outras a partir de uma certa distribuição (arbitrária) e calculemos amédia dessas observações

se repetimos isso muitas vezes, estas médias apresentarão (em muitos casos!) umadistribuição gaussiana.

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distribuições de probabilidades

distribuição normal ou gaussiana

o Teorema do Limite Central mostra porque a distribuição gaussiana é importante:quando algumas condições são obedecidas (e elas o são a maioria das vezes), fazermédias produz como resultado uma distribuição gaussiana, não importando qual é aforma da distribuição a partir da qual a distribuição é geradaisso significa que os erros de médias de dados vão tender a ser ’gaussianos’isso também é o responsável por descrevermos resultados em termos de ‘sigmas’:um resultado de 2σ teria apenas 5% de chance de ocorrer apenas por acasoum outro ponto (raramente levado em consideração) é que outra propriedadeimportante do TLC é que a convergência ocorre rapidamente no centro mas muitomais lentamente nas asas.

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distribuições de probabilidades

distribuição em lei de potência

distribuição em lei de potência: muito comum em Astronomiaexemplos: contagens de galáxias, a função de massa inicial de Salpeter, etctambém muito comum em outras áreas: flutuações no mercado econômico, taxa decrescimento de empresas, distribuição de salários, distribuições de tamanhos,incluindo avalanches, terremotos e incêndios florestaisN(> L): número de objetos ou eventos com uma dada propriedade medida (e.g. aluminosidade) maior do que maior do que um certo valor Lse a distribuição for uma lei de potência com expoente γ, temos:

N(> L) = KLγ+1 (forma integral)

oudN = (γ + 1)KLγdL (forma diferencial)

essa é uma distribuição independente de escala, pois se f (x) = xγ , entãof (ax) = aγxγ = cte xγ = cte f (x), que é a definição de independência de escala

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distribuições de probabilidades

distribuição em lei de potência

essa distribuição difere grandemente das vistas anteriormente:suas média e variância são infinitas, a menos que limites sejam determinados e issoé o que ocorre na maioria dos casos concretos, pois sempre existem limitaçõesfísicas em ambos os ‘lados’ da distribuição.de modo geral o expoente é negativo: tomando luminosidades (ou salários) comoexemplo, há muito mais galáxias de baixa luminosidade (e pessoas com baixossalários) do que com com altas luminosidades

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distribuições de probabilidades

a função de massa inicialA função de massa inicial (IMF) das estrelas na vizinhança solar foi determinada por Salpeter em1955:

ξ(M) = ξ0M−2.35

onde ξ(M)dM é o número de estrelas nascidas com massas entre M e M + dM

normalização- N, número de estrelas, ou M, massa total:

N =

∫ M2

M1

ξ(M)dM =ξ0

1.35(M−1.35

1 −M−1.352 ) MT =

∫ M2

M1

Mξ(M)dM

Figura: (Mattsson 2010)

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combinando distribuições de probabilidades

combinando distribuições

muitas vezes conhecemos a distribuição de uma variável masprecisamos saber a distribuição de uma quantidade derivada

o caso mais simples é a transformação de uma variável x, com umadistribuição de probabilidades g em uma quantidade derivada f(x),com distribuição h

como a densidade de probabilidade é conservada, h(f)df = g(x)dx(tomar cuidado com casos onde f não é monotônica!)

exemplo: suponha que g(x) = exp(−x), (x > 0), e f(x) = log(x)como x = exp(f), a distribuição de f será

h(f) = g(x)/(df/dx) = x exp(−x) = exp(f − exp(f))

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combinando distribuições de probabilidades

combinando distribuições

esta técnica se torna difícil de aplicar para mais de uma variável; seguem algunsresultados úteisauto-correlação:suponha que tenhamos duas variáveis x e y, iid (independentes e identicamentedistribuídas), ambas com a mesma fdp g: qual é a distribuição de sua soma,z = x + y?

para cada x temos que somar as probabilidades de todos os números y = z− xassociados ao z de interesseassim,

h(z) =

∫g(y)g(x)dx =

∫g(z− x)g(x)dx

onde as probabilidades são multiplicadas devido à condição de independênciah é denominada auto-correlação de g

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combinando distribuições de probabilidades

combinando distribuições

exemplo: z = xy:

h(z) =

∫1|x|

g(x)g(z/x)dx

(na maioria dos casos de interesseessas integrais são difíceis de seremcalculadas analiticamente)se x e y são distribuídos comogaussianas de média 0 e largura σ:

h(z) =2πσ2 K0

[|z|σ2

]onde K0(x) é uma função de Besselmodificada de segunda espécie

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combinando distribuições de probabilidades

combinando distribuições

exemplo: z = x/y:

h(z) =

∫|x|g(x)g(zx)dx

se x e y são distribuídos comogaussianas de média 0 e largura σ:

h(z) =1π

11 + z2

distribuição de Cauchy:tanto o valor esperado como avariância são indefinidos!variância infinitanão depende de σ

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