análise de freqüências no mercado financeiro

1

INSPER - IBMEC SÃO PAULO

Faculdade de Economia e Administração

Projeto de Iniciação Científica

Daniela Bertolla Rocha

Análise de Freqüências no Mercado Financeiro

São Paulo

2010

2

INSPER - IBMEC SÃO PAULO

Faculdade de Economia e Administração

Projeto de Iniciação Científica

Daniela Bertolla Rocha

Análise de Freqüências no Mercado Financeiro

Orientador:

Prof. Dr. Marco Antônio Leonel Caetano – Insper -

Ibmec SP

São Paulo

2010

3

Sumário

Capítulo 1 - Introdução.................................................................................................... 4 Capítulo 2 – Técnicas de Análise de Fourier .................................................................. 7 Capítulo 3 – Estudo das Freqüências ............................................................................ 12 Capítulo 4 – Programação e Automação de Planilhas para FFT ................................. 27 Capítulo 5 – Períodos ................................................................................................... 41 Capítulo 6 – Modelos com adição de Sazonalidades .................................................... 49 Capítulo 7 – Análise e Projeções de algumas Empresas ............................................... 54 Capítulo 8 – Análise de Wavelet ................................................................................... 62 Capítulo 9 – Técnicas para o uso da Wavelet ................................................................ 66 Capítulo 10 – Usando o Toolbox Wavelet no Matlab .................................................. 73 Capítulo 11 – IMA – Índice de Mudanças Abruptas .................................................... 77 Capítulo 12 – Conclusão ............................................................................................... 83 Bibliografia .................................................................................................................... 85

4

Capítulo 1 – Introdução

1.1 Objetivos

O objetivo básico da análise de Fourier é encontrar periodicidades em uma série

de dados em situções na qual as frequências são conhecidas e deseja-se estimar

amplitude e fases.

Esse trabalho abordará a técnica de Fourier para um entendimento sob o aspecto

das freqüências e harmônicos sobre eventos relacionados ao mercado financeiro,

sobretudo bolsa de valores. O objetivo do trabalho é:

(a) Estudo e compreensão da teoria de Fourier.

(b) Utilização da teoria de Fourier em dados financeiros coletados.

(c) Possível identificação de padrão de freqüências para eventos de mudança de

tendências.

1.2 Transformadas de Fourier

5

Transformada de Fourier é uma transformada integral que expressa uma função

em termos de funções de base sinusoidal, como soma ou integral de funções sinusoidais

multiplicadas por coeficientes.

A equação básica de ajuste de uma série de Fourier é:

...)()cos()( +++=∧∧∧

tsenctbatx (1.1)

As transformadas contínuas e discretas de Fourier têm muitas aplicações em

disciplinas científicas — em Física, Física e Química Quântica, Teoria dos números,

Análise combinatória, Processamento de sinal, Processamento de imagem, Teoria das

probabilidades, Estatística, Criptografia, Acústica, Oceanografia,Sísmica,Óptica,

Geometria e outras áreas. Nos campos relacionados com o processamento de sinal, a

transformada de Fourier é tipicamente utilizada para decompor um sinal nas suas

componentes em frequência e suas amplitudes. (Wikipédia, 2008)

A versão discreta da transformada de Fourier pode ser calculada rapidamente por

computadores, utilizando algoritmos baseados na transformada rápida de Fourier e para

isso é preciso ter valores kx discretos.

Um método utilizado para o calculo dessa função é o algoritmo FFT (Fast

Fourier Transform), que é uma ferramenta do Microsoft Excel.

Para iniciar esse calculo no Excel, temos uma série de dados distribuída no

tempo e desejamos conhecer as freqüências desse harmônico, para tanto é necessária a

aquisição de N pontos de x(t), com o tempo de amostragem t.

1.3 Jean-Baptiste Joseph Fourier

Jean-Baptiste Joseph Fourier foi um matemático e físico francês, celebrado

por iniciar a investigação sobre a decomposição de funções periódicas em séries

trigonométricas convergentes chamadas séries de Fourier e a sua aplicação aos

6

problemas da condução do calor. A Transformada de Fourier foi designada em sua

homenagem. (Wikipédia, 2008)

7

Capítulo 2 – Técnicas de Análise de

Fourier

2.1 Passos da Análise

A análise das empresas é feita a partir de sinais de freqüência em ciclos,

freqüência angular e por período. Escolhem –se empresas do Ibovespa para a utilização

dessa ferramenta.

Para descobrir a freqüência em ciclos utilizamos a seguinte fórmula:

tNff

∆+=

.

101

tNff

∆+=

.

112

...

8

obs: 00 =f

Como os tempos são: 1, 2, 3, ..., ou seja, um intervalo de 1 dia. Então nesse caso

1=∆t .

Cada freqüência calculada é colocada na coluna H, e será o eixo x do gráfico de

freqüência em ciclos.

Para encontrar a freqüência angular usamos: fπω 2= , sendo f a freqüência em

ciclos calculada anteriormente. O resultado é colocado na coluna I, e será o eixo x do

gráfico de freqüência angular.

Para descobrir o período com maior magnitude de FFT que é o período

dominante do evento utilizamos o gráfico de períodos. O período é obtido por:

fT /1=

f estando na coluna H já calculada. O resultado é colocado na coluna J e será o eixo x

do gráfico de períodos.

Como início de aplicação, utiliza-se de planilhas Excel, com o intuito de realizar

uma análise de freqüências para ações da Bovespa.

Inicialmente é feita a aquisição de n pontos da série de dados da ação que

desejamos analisar. A série de dados é colocada em coluna do Excel após as datas e o

tempo de amostragem que são colocados nas colunas A e B respectivamente.

Figura 1 – Tabela (Fechamentos VIVO3)

9

Após colocados os dados no Excel, deseja-se encontrar uma função f tal que

ii yxf ≈)( . Para isso, utiliza-se o método dos mínimos quadrados, que é uma técnica de

ajuste de coeficientes para um dado modelo no qual se procura estimar o melhor ajuste

para um conjunto de dados. Tenta-se minimizar a soma dos quadrados das diferenças

entre a curva ajustada e os dados adquiridos.

A fórmula utilizada para estimar uma reta (∧

y ) pelo método dos Mínimos

Quadrados é:

∧∧∧

+= bxay

onde,

( )∑ ∑∑ ∑∑

−

−=

∧

22ii

iiii

xxn

yxyxna (2.1)

( )∑ ∑∑∑∑∑

−

−=

∧

22

2

ii

iiiii

xxn

yxxxyb (2.2)

sendo x a coluna B e y a coluna C da planilha da Figura 1.

Para calcular as sazonalidades, subtraíram-se os valores estimados dos valores

reais. Os resultados dessa subtração encontram-se na coluna E da planilha da Figura 1.

Para fazer a FFT da coluna E utiliza-se a ferramenta do Excel, Análise de

Dados- Análise de Fourier conforme Figura 2.

10

Figura 2 – Análise de Fourier

No intervalo de entrada é colocada a coluna E, onde se encontram as

sazonalidades e no intervalo de saída é colocada a coluna F, onde serão colocados os

resultados na análise.

É possível observar que os coeficientes da transformada de Fourier aparecem

com números complexos na forma biay += . Para se descobrir a magnitude dos

coeficientes deve-se tomar o módulo do número complexo obtido por 22 bay +=

Para obter o módulo usa-se a função IMABS( ) do Excel. Essa função está em

inserir- função- engenharia:

Figura 3 – IMABS

11

O resultado do IMABS é colocado na coluna G, mostrando a magnitude dos

coeficientes.

2.2 Análise de Fourier

A análise dos gráficos é feita através dos picos observados, pois indicam

dominâncias de repetições dos eventos.

Um pico em 2, por exemplo no gráfico de Frequência em Ciclos indica que um

fenômeno se repete com essa freqüência, ou seja, 2 ciclos por dia.

No gráfico de Freqüência angular, o pico é medido em radianos, portanto, um

pico em 2 no gráfico de Freqüência Em Ciclos é equivalente a um pico em 12,56

(2.π .2) no gráfico de Freqüência Angular.

Por fim, os picos do gráfico de Período são utilizados para encontrar de quanto

em quanto tempo um ciclo é repetido, ou seja, uma freqüência de 2 ciclos/dia significa

que esse fenômeno se repete a cada 0,5 dia.

12

Capítulo 3 – Estudo das Freqüências

A análise citada no capítulo anterior foi realizada com ações das empresas Avon

Products, Vivo, Colgate- Palmolive e Marisa.

Inicialmente os fechamentos de cada uma das empresas foram retirados do site

Economática. Em seguida foi feita a estimação da reta pelo método dos mínimos

quadrados para o cálculo das Sazonalidades e então a análise de Fourier foi realizada.

Finalmente foram feitos os gráficos de Freqüência em ciclos, Freqüência angular

e Período. Foi realizada uma visualização ampliada dos períodos mais freqüentes em

todo o histórico dos dados obtidos das ações negociadas na Bovespa.

Os resultados encontram-se a seguir:

3.1 Caso 1 – Fechamentos da Avon Products, de 1/4/1999 à 11/08/2006

13

Fechamentos + Mínimos Quadrados

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 500 1000 1500 2000 2500

Figura 4 – Fechamentos e Mínimos Quadrados

Na Figura 4 encontram-se os fechamentos da empresa Avon Products de

1/4/1999 à 11/08/2006, na mesma figura estão também as estimativas encontradas pelo

Método dos Mínimos Quadrados explicado no Capítulo 2 e representado pelas fórmulas

(2.1) e (2.2).

Sazonalidades

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 500 1000 1500 2000 2500

Figura 5 – Sazonalidades

A Figura 5 é uma representação das Sazonalidades, que são encontradas a partir

da subtração entre os Fechamentos e as estimativas encontradas pelo Método do

Mínimos Quadrados.

14

Frequência em Ciclos

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

Figura 6 - Freqüência em ciclos

A Figura 6 é uma representação das Freqüências em Ciclos para o período todo.


0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16

Figura 7 - Freqüência em ciclos da área circulada

Para uma melhor visualização optou-se por uma ampliação da área circulada na

Figura 7, onde se observa um pico de maior freqüência em aproximadamente 0,01.

Essa freqüência encontrada indica que os valores dessa ação se repetem a cada

0,01 período de tempo. Caso um investidor desejasse a aquisição de tal ação, o mesmo

preço seria realizado em 0,01 dias a frente.

15

Frequência Angular

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 5 10 15 20 25 30

Figura 8 - Freqüência angular

A Figura 8 é uma representação das Freqüências Angulares para o período todo.

Frequência Angular

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Figura 9 - Freqüência Angular da área circulada



16

Período

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 100 200 300 400 500 600

Figura 10 - Período

3.2 Caso 2 – Fechamentos da Vivo, de 2/1/2001 à 3/12/2004


-20

0

20

40

60

80

100

120

0 500 1000 1500 2000 2500


Na Figura 11 encontram-se os fechamentos da empresa Vivo de 2/1/2001 à

3/12/2004. Também na Figura 11 estão as estimativas encontradas pelo Método dos

Mínimos Quadrados.

17

Sazonalidades

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

0 500 1000 1500 2000 2500




Mínimos Quadrados.

Frequência em ciclos

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5


A Figura 13 é uma representação das Freqüências em Ciclos para o período

todo.

18


0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12

Figura 14 - Freqüência em ciclos da área circulada



Caso um investidor desejasse a aquisição de tal ação, o mesmo preço seria realizado em

0,005 dias a frente.

Frequência Angular

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

0 5 10 15 20 25 30


A Figura 15 é uma representação das Freqüências Angulares para o período

todo.

19

Frequência Angular

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8




Período

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

0 100 200 300 400 500 600


3.3 Caso 3 – Fechamentos da Colgate- Palmolive, de 31/12/1999 à

11/06/2007

20


0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 500 1000 1500 2000 2500


Na Figura 18 encontram-se os fechamentos da empresa Colgate-Palmolive de

31/12/1999 à 11/06/2007. Também na Figura 18, estão as estimativas encontradas

pelo Método dos Mínimos Quadrados.

Sazonalidades

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 500 1000 1500 2000 2500

Figura 19 - Sazonalidades



Mínimos Quadrados.

21


-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5


A Figura 20 é uma representação das Freqüências em Ciclos para o período

todo.

Frequência Em Ciclos

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

Figura 21 – Freqüência em Ciclos da área circulada





22

Frequência Angular

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 5 10 15 20 25 30


A Figura 20 é uma representação das Freqüências Angulares para o período todo.

Frequência Angular

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4




23

Período

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 100 200 300 400 500 600


3.4 Caso 4 – Fechamentos da Marisa, de 2/1/2001 à 3/12/2004


0

5

10

15

20

0 200 400 600 800 1000 1200


Na Figura 25 encontram-se os fechamentos da empresa Marisa de 2/1/2001 à

3/12/2004. Também na Figura 25, estão as estimativas encontradas pelo Método dos

Mínimos Quadrados.

24

Sazonalidades

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 200 400 600 800 1000 1200




Mínimos Quadrados.


-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 0,5 1 1,5 2 2,5


A Figura 27 é uma representação das Freqüências em Ciclos para o

período todo.

25

Freqência em Ciclos

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

Figura 28 - Freqüência Em Ciclos da área circulada





Frequência Angular

-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 2 4 6 8 10 12 14


A Figura 29 é uma representação das Freqüências em Angulares para o período todo.

26

Freqência Angular

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4




Período

-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 100 200 300 400 500 600


27

Capítulo 4 – Programação e

Automação de Planilhas para FFT

Para fazer a análise de Fourier para qualquer série de dados, foi feito um

UserForm com todos os passos da construção dos gráficos, assim é possível analisá-los

automaticamente. Um UserForm é uma forma de interação entre o usuário e o

computador.

28

Figura 32 – User Form

4.1 Programação Botão tirar traços

Inicialmente, foi feito o botão “tirar traços” para que os dados da coluna dos

fechamentos fossem arrumados através de um VBA.

Figura 33 – Botão Tirar traços

Em feriados os fechamentos não são contabilizados, assim esses dias são

representados por um traço como mostrado a seguir:

31,45034

31,58018

-

31,75995

Para eliminar esses traços através de um VBA, foi feita a programação mostrada

a seguir:

29

Sub tirartraços()

Dim i As Integer

Dim n As Integer

i = 2

n = Cells(65536, 1).End(xlUp).Row - 1

Do While i <= n

If Cells(i, 3) = "-" Then

Cells(i, 3) = Cells(i + 1, 3)

ElseIf Cells(i + 1, 2) = "-" Then

Cells(i + 1, 3) = Cells(i + 2, 3)

End If

i = i + 1

Loop

End Sub

4.2 Programação Botão Mínimos Quadrados

Após arrumar a coluna onde se encontram os fechamentos, na coluna 4, foi

calculada uma reta estimada (∧

y ) pelo método dos Mínimos Quadrados. A fórmula

utilizada está representada no capítulo 2 pelos números 2.1 e 2.2.

Figura 34 – Botão Mínimos Quadrados

30

As somatórias das fórmulas foram feitas separadamente. Inicialmente, a

somatória de x (somax) foi feita percorrendo todas as linhas da coluna x, e somando-as.

Do mesmo modo foi feita a somatórias da coluna y (somay), porém, nesse caso

percorrendo os valores da coluna dos fechamentos.

As outras somatórias foram feitas seguindo o mesmo raciocínio, percorrendo as

2 colunas e quando necessário elevando-as ao quadrado ou multiplicando-as.

Por fim, após o calculo de todas as somatórias necessárias para as fórmulas foi

possível encontrar a e b e conseqüentemente ∧

y .

A seguir encontra-se o VBA feito para o calculo das estimativas:

Sub ab()

Dim i As Integer

Dim n As Integer

Dim w As Single

Dim somax As Single

Dim somay As Single

Dim multxy As Single

Dim xy1 As Single

Dim X As Single

Dim y As Single

Dim xy As Single

Dim quadx As Single

Dim quady As Single

Dim xx As Single

Dim yy As Single

Dim g As Single

Cells(1, 4) = "Mínimos Quadrados"


somax = 0

31

For i = 1 To n

w = Cells(i + 1, 2)

somax = somax + w

Next i

X = somax

somay = 0

For i = 1 To n

w = Cells(i + 1, 3)

somay = somay + w

Next i

y = somay

multxy = 0

For i = 1 To n

w = Cells(i + 1, 2)

g = Cells(i + 1, 3)

multxy = multxy + (w * g)

Next i

xy = multxy

quadx = 0

For i = 1 To n

w = Cells(i + 1, 2)

quadx = quadx + w ^ 2

Next i

xx = quadx

a = (n * xy - X * y) / (n * xx - X ^ 2)

b = ((y * xx) - (X * xy)) / (n * xx - (X ^ 2))

For i = 1 To n

t = Cells(i + 1, 2)

Cells(i + 1, 4) = a * t + b

32

Next i

End Sub

4.3 Programação Botão Arrumar Linhas

Para que a análise de Fourier possa ser realizada é necessário que o número de

dados seja igual a m2 , ou seja, n deve ser uma potência de 2.

Figura 35 – Botão Arrumar Linhas

O botão “Arrumar Linhas” foi feito com uma programação em VBA para que n

seja sempre igual a uma potência de 2.

Sub arrumar_linhas()

Dim i As Integer

Dim n As Integer

Dim l As Double

Dim intl As Integer


l = Log(n) / Log(2)

o = Int(l)

m = 2 ^ o

For i = m + 2 To n + 1

Cells(i, 1) = " "

Cells(i, 2) = " "

33

Cells(i, 3) = " "

Cells(i, 4) = " "

Next i

End Sub

4.4 Programação Botão Sazonalidades

O botão “Sazonalidades” foi feito para automatizar o cálculo da subtração dos

pontos estimados pelo método dos mínimos quadrados dos pontos originais.

Figura 36 –Botão Sazonalidades

Para isso foi feita uma subtração dos números da coluna 4 e os números da

coluna 3 de modo que o resultado fosse colocado na coluna 5, que é a coluna onde se

encontram as sazonalidades.

Sub sazonalidade()

Dim n As Integer

Dim i As Integer

Cells(1, 5) = "Sazonalidades"


For i = 2 To n

Cells(i, 5) = Cells(i, 4) - Cells(i, 3)

Next i

End Sub

34

4.5 Programação Botão FFT

O botão criado com o nome “FFT” é utilizado na programação para a realização

da transformada de Fourier. Essa transformada está previamente programada no Excel

através do comando apresentado abaixo. Optou-se por transportar esse comando para

dentro da área de programação em VBA.

Figura 37 - Botão FFT

A análise de Fourier das sazonalidades foi encontrada de acordo com a

programação a seguir:

Cells(1, 6) = "FFT"

Range("E1").Select

Range("E2:E1025").Select

Application.Run "ATPVBAEN.XLA!Fourier", ActiveSheet.Range("$E$2:$E$1025"), _

ActiveSheet.Range("$F$2:$F$1025"), False, False

4.6 Programação Botão Imabs

O botão “Imabs”, foi criado para que o uso da função do Excel com esse nome

fosse automatizado.

Figura 38 – Botão Imabs

Para usarmos a função IMABS( ) do Excel, foi construída a seguinte

programação:

35

Cells(1, 7) = "IMABS"


ActiveCell.FormulaR1C1 = "=IMABS(RC[-1])"

Range("G2").Select

Selection.AutoFill Destination:=Range("G2:G1025")

Range("G2:G1025").Select

4.7 Programação Botão Freqüência em Ciclos

O botão de “Freqüência em Ciclos” foi criado para que a análise das empresas

através dos sinais de freqüência em ciclos pudesse ser feita.

Figura 39 – Botão Freqüência em ciclos

A coluna de freqüência em ciclos foi programada em VBA como mostrado a

seguir:

Sub frequencia_em_ciclos()

Dim i As Integer

Dim n As Integer

Cells(1, 8) = "Frequência em ciclos"


Cells(2, 8) = 0

For i = 3 To n - 1

36

Cells(i, 8) = Cells(i - 1, 8) + 1 / (512 * (Cells(i, 2) - Cells(i - 1, 2)))

Next i

End Sub

4.8 Programação Botão Freqüência Angular

A partir da coluna de freqüências em ciclos, foi feito um botão para o cálculo

das freqüências angulares.

Figura 40 – Botão Freqüência Angular

A coluna de freqüências angulares foi programada em VBA como mostrado a

seguir:

Sub frequencia_angular()

Dim i As Integer

Dim n As Integer

Cells(1, 9) = "Frequência Angular"


For i = 2 To n

Cells(i, 9) = 2 * 3.14159265358979 * Cells(i, 8)

Next i

End Sub

37

4.9 Programação Botão Período

O botão de períodos foi criado também através da coluna de freqüências em

ciclos.

Figura 41 – Botão Período

A coluna de períodos foi programada em VBA como mostrado a seguir:

Sub Período()

Dim i As Integer

Dim n As Integer

Cells(1, 10) = "Período"

Cells(2, 10) = 0


For i = 3 To n - 1

Cells(i, 10) = 1 / Cells(i, 8)

Next i

End Sub

4.10 Programação Botão para a construção dos gráficos de Freqüência

em ciclos

O botão a seguir foi feito para automatizar o desenho do gráfico de Freqüência

em Ciclos.

38

Figura 42 –Botão Gráfico de Freqüência em ciclos

O gráfico de freqüência em ciclos foi desenhado a partir da programação de

VBA a seguir:

Dim i As Integer

Dim n As Integer


For i = 2 To n

Cells(i, 15) = Cells(i, 8)


Next i

Charts.Add

ActiveChart.ChartType = xlXYScatterSmoothNoMarkers

ActiveChart.SetSourceData Source:=Sheets("Plan1").Range("O2:P513")

ActiveChart.Location Where:=xlLocationAsObject, Name:="Plan1"

With ActiveChart

.HasTitle = True

.ChartTitle.Characters.Text = "Frequência Em Ciclos"

End With

4.11 Programação Botão para a construção dos gráficos de Freqüência

Angular

O botão a seguir foi feito para automatizar o desenho do gráfico de Freqüência

Angular.

39

Figura 43 – Botão Gráfico de Freqüência Angular

O gráfico de freqüência angular foi desenhado a partir da programação de VBA

a seguir:

Dim i As Integer

Dim n As Integer


For i = 2 To n



Next i

Charts.Add


ActiveChart.SetSourceData Source:=Sheets("Plan1").Range("Q2:R513")


With ActiveChart

.HasTitle = True

.ChartTitle.Characters.Text = "Frequência Angular"

End With

4.12 Programação Botão a construção dos gráficos de Período

O botão a seguir foi feito para automatizar o desenho do gráfico de Períodos.

Figura 44 –Botão Gráfico de Período

40

O gráfico de Períodos foi desenhado a partir da programação de VBA a seguir:

Dim i As Integer

Dim n As Integer


For i = 2 To n



Next i

Charts.Add


ActiveChart.SetSourceData Source:=Sheets("Plan1").Range("S2:T513")


With ActiveChart

.HasTitle = True

.ChartTitle.Characters.Text = "Período"

End With

41

Capítulo 5 – Períodos

Os picos nos gráficos de períodos são aqueles pontos que se destacam com

relação aos outros.

A ocorrência de picos nos gráficos de períodos expressa a existência de

fenômenos que são repetidos com certa freqüência.

O eixo x dos gráficos do período reproduz o período que mais se repete e o eixo

y quantas vezes aquele período aconteceu na amostragem

Ao analisar o gráfico de períodos ao longo de um período de aproximadamente

30 dias é possível identificar alguns picos. Esses picos estão destacados nas ações

analisadas a seguir:

42

5.1 Vivo

Figura 45 – Gráfico de Períodos Vivo

Período mais Freqüente (dias)

15,51

18,96

A cada aproximadamente 15 dias, o preço da ação da Vivo é igual a R$ 731,95 e

a cada aproximadamente 19 dias, o preço da ação da Vivo é igual a R$ 1008,82.

5.2 Colgate - Palmolive

Figura 46 – Gráfico de Períodos Palmolive

43

Período mais Frequente

(dias)

18,96

24,38

30,11

A cada aproximadamente 19, 24 e 30 dias, os períodos que mais se repetem na

amostragem acontecem.

5.3 Avon Products

Figura 47 – Gráfico de Períodos Avon Products

Período mais freqüente (dias)

10,89

12,19

19,69

24,38

30,11

A cada aproximadamente 11, 12, 20, 24 e 30 dias, os períodos que mais se

repetem na amostragem acontecem.

44

5.4 Marisa

Figura 48 – Gráfico de Períodos Marisa

Período mais freqüente (dias)

11,66

14,22

18,96

21,33

24,38

26,94

A cada aproximadamente 12, 14, 19, 21, 24 e 27 dias, os períodos que mais se

repetem na amostragem acontecem.

45

5.5 Petrobrás

Figura 49 – Gráfico de Períodos Petrobrás

Período mais freqüente

17,06

21,33

24,38

28,44

A cada aproximadamente 17, 21, 24 e 28 dias, os períodos que mais se repetem

na amostragem acontecem.

5.6 Usiminas

Figura 50 – Gráfico de Períodos Usiminas

46


17,06

21,33

28,44



5.7 Lojas Americanas

Período

0

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15 20 25 30

Figura 51 – Gráfico de Períodos Lojas Americanas

Não é possível observas picos no gráfico de Período dos fechamentos das Lojas

Americanas.

5.8 Vale

47

Figura 52 – Gráfico de Períodos Vale


(dias)

18,96

24,38

26,94



5.9 Tabela de Períodos

Para sintetizar os dias que houve a ocorrência de picos, foi feita a seguinte

tabela:

Tabela 1 – Empresas conforme o período de oscilação via FFT

Empresa Dias

Vivo 15,51; 18,96

Colgate - Palmolive 18,96; 24,38; 30,11

Avon Products 10,89; 12,19; 19,69; 24,38; 30,11

Marisa 11,66; 14,22; 18,96; 21,33; 24,38; 26,94

Petrobrás 17,06; 21,33; 24,38; 28,44

Usiminas 17,06; 21,33; 28,44

Lojas Americanas -

Vale 18,96; 24,38; 26,94

A tabela acima resume a cada quantos dias os períodos que mais se repetem na

amostragem de cada empresa acontecem.

48

Abaixo estão representados os dias em que houve o maior pico para cada

empresa.

0

5

10

15

20

25

30

35

Vivo Colgate Avon Marisa Petrobrás Usiminas Vale

Empresa

Dia

s

Figura 53 – Períodos FFT

Segundo a figura 53, o período que mais se repete na amostragem da empresa

Vivo se repete a cada 19 dias, já os da Colgate e da Avon atingem o maior valor a cada

aproximadamente 30 dias.

49

Capítulo 6 – Modelos com adição de

Sazonalidades

Na análise de séries temporais o objetivo básico é o de aproximar uma função do

tempo por uma combinação de harmônicos, os coeficientes dos quais são as

transformadas de Fourier discretas da série.

Os modelos iniciais foram ajustados através das matrizes a seguir:

=

∧

∧

4

3

2

1

4

3

2

1

cos1

cos1

cos1

cos1

y

y

y

y

b

a

x

x

x

x

onde x é a coluna B da planilha do Excel exemplificada na Figura1 e y é a

coluna C. Como foram feitos modelos com mais do que apenas dois coeficientes

50

( ...,,∧∧∧

cba ) as matrizes mudam aumentando o número de colunas da primeira (variando

entre senos e cossenos) e o número de linhas da segunda

O ajuste de um modelo para todas as freqüências de Fourier das ações da

Bovespa citadas no capítulo anterior foi realizado por meio do programa Matlab, no

qual, utilizando os fechamentos das ações foi possível encontrá-los.

Para automatizar o programa e encontrar as séries de senos e cossenos de Fourier

para as ações com mais facilidade, foi utilizado o Window Editor do Matlab: (Desktop-

Editor)

Figura 53 – Window Editor

A programação realizada encontra-se abaixo:

clear all

load teste.txt

n=length(teste(:,1));

q1=ones(n,1)

x=teste(:,1);

q2=cos(x);

a=[q1 q2];

b=teste(:,2);

coef=inv(a'*a)*a'*b

51

Nesse caso o argumento teste.txt é a série que está sendo utilizada, coef é a

matriz de coeficientes encontrados após a rotação do programa e seu tamanho depende

da quantidade de q (q1, q2, q3 ...) que o modelo possuí.

Foram encontrados 4 séries para cada ação analisada, pois dependendo da série,

haverá um modelo diferente que será melhor adaptado. Todos as séries são combinações

de senos e cossenos:

1. )()cos()( tsenctbaty∧∧∧

++=

2. )()cos()( tsenctbaty∧∧∧

++=

3. )cos()()cos()( tdtsenctbaty∧∧∧∧

+++=

4. )()cos()()cos()( tsenetdtsenctbaty∧∧∧∧∧

++++=

A seguir encontram-se os resultados para as diferentes séries.

Tabela 2 – Comparação de Séries de Senos e Cossenos de Fourier para as Empresas

Empresa Modelo1 Modelo 2 Modelo 3 Modelo 4

Vivo

=∧

a 20.4744

=∧

b -0.0418

=∧

a 20.4744

=∧

b -0.0418

=∧

c 0.0419

=∧

a 20.4744

=∧

b 0.0000

=∧

c 0.0419

=∧

d -0.0664

=∧

a 20.4744

=∧

b 0.0066

=∧

c 0.0171

=∧

d -0.1400

=∧

e 0.1109

Colgate -

Palmolive

=∧

a 52.3501

=∧

b -0.0237

=∧

a 52.3501

=∧

b -0.0237

=∧

c 0.0077

=∧

a 52.3501

=∧

b -0.0001

=∧

c 0.0077

=∧

d -0.0346

=∧

a 52.3501

=∧

b -0.0126

=∧

c 0.0481

=∧

d -0.1491

=∧

e 0.1704

Avon Products =∧

a 25.5613 =∧

a 25.5613 =∧

a 25.5613 =∧

a 25.5613

52

=∧

b 0.0071

=∧

b 0.0071

=∧

c -0.0042

=∧

b -0.0000

=∧

c -0.0042

=∧

d 0.0075

=∧

b -0.0081

=∧

c 0.0244

=∧

d -0.0358

=∧

e 0.0755

Marisa

=∧

a 10.8247

=∧

b -0.0004

=∧

a 10.8247

=∧

b -0.0004

=∧

c -0.0130

=∧

a 10.8247

=∧

b -0.0000

=∧

c -0.0130

=∧

d -0.1682

=∧

a 10.8247

=∧

b -0.0499

=∧

c 0.0028

=∧

d 0.0849

=∧

e -0.0216

Petrobrás

=∧

a 5.3608

=∧

b 0.0053

=∧

a 5.3608

=∧

b 0.0053

=∧

c -0.0051

=∧

a 5.3608

=∧

b -0.0000

=∧

c -0.0051

=∧

d 0.0076

=∧

a 5.3608

=∧

b -0.0012

=∧

c 0.0046

=∧

d -0.0034

=∧

e 0.0106

Usiminas

=∧

a 5.4998

=∧

b 0.0082

=∧

a 5.4998

=∧

b 0.0082

=∧

c -0.0110

=∧

a 5.4998

=∧

b -0.0000

=∧

c -0.0110

=∧

d 0.0104

=∧

a 5.4998

=∧

b -0.0017

=∧

c 0.0047

=∧

d -0.0011

=∧

e 0.0041

Lojas

Americanas

=∧

a 1.1489

=∧

b 0.0028

=∧

a 1.1489

=∧

b 0.0028

=∧

c -0.0050

=∧

a 1.1489

=∧

b -0.0000

=∧

c -0.0050

=∧

d 0.0037

=∧

a 1.1489

=∧

b -0.0003

=∧

c 0.0010

=∧

d 0.0005

=∧

e -0.0020

53

Vale

=∧

a 5.7613

=∧

b 0.0137

=∧

a 5.7613

=∧

b 0.0137

=∧

c -0.0181

=∧

a 5.7613

=∧

b -0.0000

=∧

c -0.0181

=∧

d 0.0150

=∧

a 5.7613

=∧

b -0.0022

=∧

c 0.0050

=∧

d 0.0062

=∧

e -0.0009

Depois de encontrados os valores dos coeficientes das séries para as diferentes

empresas, foram desenhados os gráficos para que o melhor modelo fosse encontrado. O

melhor modelo encontrado foi o da empresa Avon Products.

Os gráficos foram construídos inicialmente com os fechamentos de cada uma

das empresas encontrados anteriormente. Em seguida foi colocada no gráfico a série de

senos e cossenos de Fourier encontrado como segue abaixo:

)(0001,0)cos(0,0038-)(0011,0)cos(0.00080028,0)( tsenttsentty ++−=

Fechamentos e Modelo

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 500 1000 1500 2000 2500

Figura 54 – Avon Products

A figura 54 é uma representação dos Fechamentos com a Série de senos e

cossenos de Fourier da Avon Products encontrado através do Matlab. O modelo

aproxima o que acontece no período de tempo especificado.

54

Capítulo 7 – Análise e Projeções de

algumas Empresas

Nesse capítulo, foram feitas análises, projeções e cenários otimistas e

pessimistas de alguns índices como: Dow Jones, Ibovespa e Hang Seng. Inicialmente os

fechamentos de cada um dos índices foram retirados do site Economática. Em seguida

colocados na coluna C do Excel, seguidos das datas (coluna A) e x, que seriam os

valores indo de 1 ao número de dados colocados na coluna B.

Ao fazer o gráfico dos fechamentos é possível encontrar a reta de tendência e

sua equação no gráfico, e assim encontrar todos os seus pontos, que foram colocados na

coluna D do Excel. Depois foi feita a subtração dos fechamentos (coluna C) com os

pontos encontrados a partir da equação da reta de tendência, esse resultado foi colocado

na coluna E. Dessa subtração foram estimados os coeficientes para o ajuste de uma série

de senos e cossenos de Fourier, a partir do programa Matlab, como especificado no

capítulo 6.

55

Por fim o ruído é encontrado a partir da subtração da série de Fourier com os

resultados da coluna E o seu desvio padrão é calculado para que os cenários pessimistas

e otimistas sejam montados.

Os cenários otimistas e pessimistas são montados através dos intervalos de

confiança com 68% de confiança. Assim, somam-se os dados da reta de tendência para

cada dia com a série de senos e cossenos de Fourier e desse resultado soma um desvio-

padrão que foi calculado do ruído para encontrar o cenário otimista. Depois é feita a

mesma coisa subtraindo um desvio-padrão, que será o cenário pessimista.

O mesmo calculo também pode ser realizado somando e subtraindo (para

cenário otimista e pessimista respectivamente) dois desvios- padrão, para ter uma

confiança de 95 %.

7.1 Caso 1 - Dow Jones (2003 a 2008)

Os fechamentos do índice Dow Jones foram retirados do Economática e a figura

55 mostra os fechamentos e a reta de tendência encontrada.

Fechamentos e Reta de Tendência

y = 1,6857x + 7171,3

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

1800 2000 2200 2400 2600 2800 3000 3200 3400

Figura 55 – Fechamentos e Reta de Tendência, Dow Jones

A equação da Reta de tendência encontra-se na Figura 55 e foi utilizada para que

a série de Fourier e em seguida o Ruído (Figura 56) fossem encontrados.

56

Ruído

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

1800 2000 2200 2400 2600 2800 3000 3200 3400

Figura 56 – Ruído, Dow Jones

Após encontrar os ruídos, foi calculado o seu desvio padrão, para então montar

os intervalos de confiança como mostrado na figura 57.

Fechamentos e Cenários

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

20000

1800 2000 2200 2400 2600 2800 3000 3200 3400

Figura 57 – Fechamentos e Cenários pessimistas e otimistas, Dow Jones

A curva do meio é a soma da reta de tendência com a série de senos e cossenos

de Fourier, acima e abaixo desta curva estão os cenários otimistas e pessimistas,

respectivamente. Os intervalos com 68% de confiança são os mais próximos da

curva do meio e os com 95% de confiança são os mais distantes.

57

Fechamentos, Cenários e Previsões

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

20000

1800 2300 2800 3300 3800

Figura 58 – Previsões, Dow Jones

A Figura 58 mostra os possíveis cenários para 160 dias (aproximadamente 5

meses) com 68% e 95% de confiança.

7.2 Caso 2 - Ibovespa (1996 a 2008)

Na figura 59 estão os Fechamentos do índice Ibovespa de 1996 a 2008, a Reta de

Tendência linear e sua equação.

Fechamentos + reta de tendênciay = 15,464x - 2510,4

-10000

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

Figura 59 – Fechamentos e Reta de Tendência, Ibovespa

58

A Reta foi encontrada para ser possível a realização da análise de Fourier e em

seguida o Ruído (Figura 60).

Ruído

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

40000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

Figura 60 – Ruído, Ibovespa




-40000

-20000

0

20000

40000

60000

80000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

Figura 61 – Fechamentos e Cenários pessimistas e otimistas, Ibovespa





59


-40000

-20000

0

20000

40000

60000

80000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

Figura 62 – Previsões, Ibovespa


meses) com 68% e 95% de confiança.

7.3 Caso 3 – Hang Seng (1996 a 2008)

Na figura 63 estão os Fechamentos do índice Hang Seng de 1996 a 2008 e a

Reta de Tendência linear.

Fechamentos e Reta de Tendência

y = 2,306x + 9415,1

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

Figura 63 – Fechamentos e Reta de Tendência, Hang Seng

60

A equação da Reta de tendência encontra-se na Figura 55 e foi utilizada para que

a série de Fourier e em seguida o Ruído (Figura 56) fossem encontrados.

Ruído

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

Figura 64 – Ruído, Hang Seng




-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

Figura 65 – Fechamentos e Cenários pessimistas e otimistas, Hang Seng

61






-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

Figura 66 – Previsões, Hang Seng


meses e meio) com 68% e 95% de confiança.

62

Capítulo 8 – Análise de Wavelet

8.1. Introdução

Na análise de Fourier podemos extrair apenas informações sobre o domínio da

freqüência. Já a análise de Wavelet tem a capacidade de decompor as funções tanto no

domínio da freqüência quanto no domínio do tempo, assim é possível analisar estas

funções em diferentes escalas de freqüência e de tempo.

Ao plotar os coeficientes da Fourier, o resultado são dois picos representando

uma única freqüência, já os coeficientes Wavelet mostram claramente a localização

exata no momento da descontinuidade.

Figura 67 – FFT x Frequência Figura 68 – Wavelet x Frequência x Tempo

A análise de Wavelet é capaz de revelar aspectos em dados como: tendências,

descontinuidades e similaridades.

Na história da matemática, a análise Wavelet mostra diferentes origens. Muitos

dos trabalhos foram realizados por volta de 1930.

63

Antes de 1930, Joseph Fourier (1807) iniciou o estudo de Wavelet com suas

teorias de análise de freqüência.

Depois de 1807, os matemáticos analisando o sentido das funções, da

convergência da série de Fourier e sistemas ortogonais, migraram da noção de análise

de freqüência para a noção de análise de escala. Isto é, analisando f(x) criando estruturas

matemáticas que variam em escala. A análise de escala é menos sensível a ruídos

porque ela mede a flutuação média do sinal em diferentes escalas.

A primeira vez que o termo Wavelet foi mencionado foi em um apêndice da tese

de Alfred Haar (1909). As Wavelets Haar não são continuamente diferenciáveis, o que

de certo modo limita suas aplicações.

Figura 69 - Alfred Haar

Após 1980, Y. Meyer construiu a primeira Wavelet não trivial. Diferente das

Wavelets de Haar, elas são continuamente diferenciáveis.

Alguns anos depois, Ingrid Daubechies construiu um conjunto de funções base

Wavelet ortonormais, que são, talvez, as mais elegantes e se tornaram um marco nas

aplicações de Wavelets.

8.2. As famílias de funções Wavelet

Além da análise de imagens, as Wavelets possuem um vasto campo de

aplicações. A compressão de imagens pode ser considerada a mais conhecida das

aplicações, mas existem ainda aplicações no processamento de sinais, astronomia,

acústica, engenharia nuclear, neurofisiologia, música, ótica, fractais e em aplicações

matemáticas puras, como na resolução de equações diferenciais parciais.

Existem algumas famílias de Wavelets, são elas:

64

• Haar: É a primeira e a mais simples de todas. É descontínua e equivale a

Daubechies 1 (db1).

Figura 70 - Haar

• Daubechies: Compactly-supported orthonormal Wavelets.

• Biortogonal: Apresenta a propriedade de fase linear, que é necessária na

reconstrução de sinais e imagens. Utiliza duas Wavelets, uma para

decomposição e outra para reconstrução, o que gera propriedades interessantes.

• Coiflets: A função Wavelet possui 2N momentos iguais a zero e a função escala

tem 2N-1 momentos iguais a zero.

• Symlets: São Wavelets simétricas. Foi proposta como uma modificação da

família Daubechies pela própria, possuindo caracterísitcas similares as desta

família.

• Morlet: Não possui função escala e é explícita.

Figura 71 - Morlet

• Mexican Hat: Também não possui função escala mas não é explícita.

65

Figura 72 – Mexican Hatr

• Meyer: A Wavelet e a função escala estão definidas no domínio de freqüência.

Figura 73 – Meyer

66

Capítulo 9 – Técnicas para o uso da

Wavelet

9.1 Introdução

Esse capítulo tem o propósito de demonstrar as técnicas para o uso da análise de

Wavelet, por meio de um exemplo dos dados do Ibovespa. Para isso, serão descritos

todos os passos necessários para que os dados estejam prontos para a análise.

A análise de Wavelet é realizada com o ruído da série de fechamentos que será

analisada. Para encontrá-lo é necessário passar por quatro passos, que serão descritos a

seguir.

9.2 Fechamentos do preço da ação

Inicialmente é feita a aquisição de n pontos da série de dados da ação que

desejamos analisar. Esses pontos são os fechamentos do preço de uma determinada ação

em um período de tempo.

Para aumentar a eficiência do algoritmo, o tempo de amostragem inicia em 1,

assim, os tempos são: 1, 2, 3, ..., ou seja, um intervalo de 1 dia.

A seguir, um exemplo dos Fechamentos do Ibovespa de novembro de 2008 a

julho de 2009, retirados do Economática.

67

0 1000 2000 3000 4000 5000 60003

3.5

4

4.5

5

5.5

6x 10

4

Figura 74 – Fechamento dos preços do Ibovespa

Como foi explicado anteriormente, no eixo x está o tempo de amostragem no

intervalo de 0 a 6000 e no eixo y estão os fechamentos dos preços do Ibovespa.

9.3 Reta de tendência

Após escolher a série a ser analisada, é estimada a reta de tendência a partir de

seus coeficientes, sendo possível, portanto encontrar todos os seus pontos. A reta de

tendência é calculada a partir de uma aproximação dos pontos do fechamento por uma

reta.

68

0 1000 2000 3000 4000 5000 60003

3.5

4

4.5

5

5.5

6x 10

4

Figura 75 – Fechamentos Ibovespa e Reta de Tendência

Na Figura 75 estão representadas a série de fechamentos do Ibovespa da Figura

67 e a Reta de Tendência encontrada a partir desses dados.

Em seguida, é feita a subtração dos pontos Reta de Tendência pelos pontos da

série analisada. E do resultado dessa subtração foram estimados os coeficientes para o

ajuste de uma série de senos e cossenos.

69

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

Figura 76 – Série de senos e Cossenos

A série de cossenos foi encontrada como explicado no capítulo 6. A Figura 76

mostra não só a série, mas também os pontos resultantes da subtração da Reta de

Tendência pelos fechamentos, pois a série foi encontrada de modo a estimar essa

subtração.

9.3 Ruído

Finalmente, para preparar os dados para que a análise de Wavelet possa ser

realizada, é feita a subtração da série de senos e cossenos pela série resultante da

subtração da reta de tendência pelos fechamentos. O resultado dessa subtração é

chamado de ruído.

70

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

Figura 77 – Ruído, Ibovespa

A Figura 77 mostra o resultado da subtração realizada, ou seja, o ruído dos

fechamentos do Ibovespa de novembro de 2008 a julho de 2009. Agora será possível, a

partir desses dados, realizar a análise de Wavelet.

9.4 Preparação para a análise de Wavelet no Matlab

Os itens anteriores mostraram como preparar os dados para que a análise de

Wavelet seja possível. Para tornar mais a prática a realização de tais subtrações e

encontrar o ruído final, foi feita uma programação no Matlab

Após salvar a série dos fechamentos retirada do Economática no Excel, é

necessário importá-los para o Matlab.Isso é feito em File- Import Data, como descrito a

seguir.

71

Figura 78 – File- Import Data

Em seguida, a programação é realizada no WindowEditor:

Na programação descrita acima, n é o tamanho da série a ser analisada; x é o

tempo de amostragem; y é a própria série; p são os coeficientes da reta de tendência; w

72

é a reta de tendência; z é a subtração de w por y; q1, q2,q3,q4 e q5 são o coeficientes da

série de senos e cossenos; d é a série de senos e cossenos; e é a subtração de d por z.

Com essa programação é possível realizar os passos para a preparação da

análise de Wavelet de modo automático e prático.

73

Capítulo 10 - Usando o Toolbox

Wavelet no Matlab

10.1 Introdução

Após encontrar o ruído dos dados, como descrito no capítulo anterior, é possível

realizar a análise de Wavelet. Esse capítulo descreve como essa análise é realizado no

Matlab.

Para realizar a análise de Wavelet no Matlab, é necessário, após preparar os

dados, abrir a janela de análise de Wavelet, escrevendo wavemenu na Command

Window do Matlab, como mostrado a seguir:

Figura 79- Window Editor

74

Ao clicar enter abrirá a seguinte janela, que contém os diversos tipos de

transformada de Wavelet.

Figura 80 – Walvelet Toolbox Main Menu

A transformada utilizada nesse trabalho será a contínua, pois em geral, esta

transformada é usada na análise de sinais, enquanto que sua versão discreta é usada na

compressão de dados.

Ao clicar em Continuous Wavelet 1-D, abrirá a seguinte janela:

75

Figura 81 – Continuous Wavelet 1-D

Em seguida, é necessário importar os dados já preparados para a análise como

descrito anteriormente. Essa importação é feita em File- Import from Workspace,

abrindo assim a seguinte janela:

Figura 82 – Import from Workspace

Esses dados foram salvos em um vetor chamado “e”. Portanto esse será o vetor

importado para a análise.

76

Por fim, para realizar a análise de Wavelet, basta mudar o tipo de Wavelet para

mex-h e clicar em Analyse. A análise é um espectro de frequências do dados, no qual é

possível encontrar os momentos de alta e de baixa frequência.

O Resultado para o exemplo mostrado no capítulo anterior, do Ibovespa de

novembro de 2008 a janeiro de 2009 é o seguinte:

Figura 83 – Espectro de frequências Ibovespa

Dessa análise pode-se perceber que quando há alguma mudança abrupta nos

dados, aparece mais branco e quando os dados ficam mais estáveis, o resultado da

análise são pontos mais escuros.

77

Capítulo 11 – IMA - Índice de

mudanças abruptas

11.1 Índice de mudanças abruptas

O índice de mudanças abruptas foi construído a partir do espectro encontrado

com a realização da análise de Wavelet, como descrito no capítulo anterior. O índice é a

relação entre a quantidade de pontos brancos e pretos do espectro, esse índice varia de 0

a 1 e quanto mais próximo de 1 é essa correlação, mais indica uma mudança na

trajetória dos dados. Isso porque quanto mais pontos brancos no espectro maior é a

indicação de uma mudança na trajetória dos dados.

Figura 84 – Espectro Ibovespa

78

Um exemplo do uso desse índice segue nas figuras abaixo, onde a primeira

figura é de 10 dias de fechamentos do Ibovespa de1 de outubro de 2007 a 11 de outubro

de 2007 e a seguinte representa os índices desse período.

Figura 85 – Fechamentos Ibovespa

Figura 86 – IMA Ibovespa

Com a comparação dos gráficos, pode-se perceber que uma mudança abrupta na

trajetória dos dados é sinalizada pela variação do índice, que vai de aproximadamente 1

a 0 ou de 0 a 1. Ao observar as figuras 77 e 78 no tempo t=2630, é possível perceber

que logo em seguida ocorreu uma baixa.

79

11.2 Análise estatística dos Eventos

O IMA foi usado para encontrar, em uma base de dados, os momentos que o

índice aponta uma queda no preço de opções. Inicialmente, foram coletados dados dos

preços de opções do mercado em um intervalo de 15 segundos. Esses dados são das

opções: petrc28, petrd30, petrb24 (dias: 03/02/2009, 23/01/2009, 26/01/2009,

27/01/2009, 28/01/2009, 29/01/2009).

A partir desses dados, foram encontrados os Índices de Mudanças Abruptas para

todos os momentos observados. Esses valores foram guardados em planilhas do Excel,

de modo que na primeira coluna foi colocada a contagem de momentos (t, que varia de

acordo com a quantidade de dados), na segunda estão os preços das opções e na terceira,

o IMA. Segue, na figura 87, exemplo da disposição dos dados:

Figura 87- dados da opção petrb24

Após coletados os dados, e dispostos nas planilhas do Excel, foi criada uma

macro, em VBA, para encontrar todos os momentos que o índice tem uma forte queda.

Foi considerada como uma forte queda o período que o índice inicia entre 1 e 0.9 e cai

para 0. Segue macro utilizada em todas as bases de dados:

Sub ima()

Dim i As Integer

Dim n As Integer


For i = 1 To n

If Cells(i, 3) >= Cells(i + 1, 3) And Cells(i + 1, 3) >= Cells(i + 2, 3) And Cells(i, 3) <> 0 And Cells(i + 1, 3) <> 0 And

Cells(i + 2, 3) <> 0 And Cells(i, 3) > 0.9 Then

Cells(i, 5) = 1

Cells(i + 1, 5) = 1

End If

Next i

80

For i = 1 To n

If Cells(i, 5) = 0 And Cells(i + 1, 5) = 1 Then

For j = i To n

If Cells(j, 5) = 1 And Cells(j + 1, 5) = 0 Then

Cells(j, 11) = Cells(i + 1, 3)

Cells(j, 12) = Cells(i + 1, 2)

Cells(j, 13) = Cells(j + 1, 3)

Cells(j, 14) = Cells(j + 1, 2)

i = j

j = n

End If

Next j

End If

Next i

j = 1

For i = 1 To n

If Cells(i, 3) > 0 And Cells(i + 1, 3) = 0 Then

Cells(i + 1, 6) = 1

End If

Next i

i = 1

Do While i <= n

If Cells(i, 5) = 1 Then

For j = i To n

If Cells(j, 6) = 1 Then

Cells(j, 7) = Cells(i, 3)

Cells(j, 8) = Cells(i, 2)

x = j

j = n + 1

End If

Next j

i = x

End If

i = i + 1

Loop

For i = 1 To n

If Cells(i, 6) = 1 And Cells(i, 8) <> 0 Then



End If

Next i

End Sub

Esse programa encontra, em uma série de dados dispostos nas colunas do Excel,

todos os momentos que o índice inicia entre 0.9 e 1 e caí, continuamente, até atingir o

valor zero.

81

Com esse programa é mais fácil analisar o índice para todos os dados coletados e

estimar a quantidade de eventos que a queda aconteceu. Segue abaixo um resumo dos

dados estudados.

petrc28 petrd30 ptrb24 ptrb24 - 2009

03/02/2009 23/01 26/01 27/01 28/01 29/01

Minutos de

Observação 1003 1003 1235 186 154 446 660 812

Eventos

(sinais de

alerta de

Crash) 32 22 25 7 3 15 20 21

Queda média -2,3% -2,25% -2,22% -2,07% -1,8% -2,66% -2,33% -2,42%

Queda

máxima -14,7% -7,59% -5,73% -4,76% -2,17% -5,73% -5,73% -5,73%

Queda

mínima -0,57% -0,88% -0,37% -0,66% -1,11% -0,55% -0,4% -0,4%

Tempo da

queda

máxima (em

minutos) 3 89,75 5,75 3 23 5,75 5,75 5,75

Inicio da

queda

máxima R$1,72 R$0,79 R$1,92 R$1,89 R$1,84 R$1,92 R$1,92 R$1,92

Fim da

queda

máxima R$1,34 R$0,33 R$1,81 R$1,8 R$1,8 R$1,81 R$1,81 R$1,81

Tabela 1 – Resumo dos eventos de queda

A tabela 1 mostra o tempo de observação dos dados em minutos, a quantidade de

eventos encontrada para cada opção, ou seja, quantas vezes houve uma queda do índice

iniciado entre 0.9 e 1 e indo até zero. As médias, máximas e mínimas quedas entre os

82

eventos encontrados. Por fim, das quedas máximas encontradas, foram detalhadas as

durações dessas quedas em minutos, e os preços iniciais e finais durante esse período.

Por exemplo, para a opção petrc28, a maior queda encontrada foi de 1,72 a 1,34 e teve

duração de 3 minutos.

Segue uma média de todos os dados analisados:

Média

Minutos de Observação 5499

Eventos (sinais de alerta de Crash) 145

Queda média 1,69

Queda máxima 4,69

Queda mínima 0,54

Tempo da queda máxima (em

minutos) 17,71

Inicio da queda máxima 1,74

Fim da queda máxima 1,56

Tabela 2 – Média dos eventos de queda

Os itens “Minutos de Observação” e Eventos são as somas de todos os dados

utilizados no estudo. Todos os outros índices são médias dos valores encontrados para

as opções descritas anteriormente.

83

Capítulo 12 - Conclusão

O projeto foi desenvolvido de modo a analisar dados do mercado financeiro e

estudar possíveis padrões de freqüências para eventos de mudanças de tendências.

Para realizar a análise, foram utilizados métodos matemáticos como a Análise de

Fourier e Análise de Wavelet.

Inicialmente, foram realizados estudos para o entendimento das séries e

transformadas de Fourier e, em seguida, foram realizados estudos com o uso da

análise de Wavelet. Com isso, notaram-se as diferenças, vantagens e desvantagens

das duas ferramentas. Além disso, foi possível rever os conceitos de programação

em VBA no Excel e programação e geração de exemplos numéricos no Matlab

aprendidos em Sistemas de Informação.

A utilização da teoria de Fourier em dados financeiros possibilita o estudo das

freqüências, análises, projeções e criação de cenários otimistas e pessimistas dos

índices do mercado financeiro. Com essa ferramenta, foi realizada a análise de

algumas séries do mercado e projeções com certo grau de confiança de possíveis

cenários para essas séries.

Como na análise de Fourier podemos extrair apenas informações sobre o

domínio da freqüência das séries analisadas, foi estudada também a análise de

Wavelet, que tem a capacidade de decompor as funções tanto no domínio da

freqüência quanto no domínio do tempo e assim foi possível analisar estas funções

em diferentes escalas de freqüência e de tempo.

Os resultados dos estudos realizados com coeficientes de Fourier são dois picos

representando uma única freqüência, já os estudos realizados com coeficientes

Wavelet mostraram claramente a localização exata no momento da descontinuidade.

A programação em VBA e Matlab permitiu que as análises feitas com o uso das

teorias de Fourier e Wavelet se tornassem mais rápidas e eficientes devido a

automação dos passos das análises. Além disso, com o uso do Matlab, foi possível

estudar o índice de mudanças abruptas apresentado por Marco Antonio Leonel

84

Caetano, pesquisador e professor do Insper, que criou o índice em parceria com

Takashi Yoneyama, do Instituto Tecnológico da Aeronáutica (ITA), já que o

espectro utilizado para a criação desse índice é formado através desse programa.

O índice foi utilizado para verificar mudanças abruptas nas trajetórias dos dados

de opções coletados. Com a ajuda de um programa realizado no VBA foi possível

analisar o índice para todos os dados coletados e estimar a quantidade de eventos

que a queda aconteceu.

85

Bibliografia ECONOMÁTICA. Acessado em: agosto de 2008

<pt.wikipedia.org>. Acessado em: junho 2002

MORETTIN, Pedro. Análise de Séries Temporais. Edgard Blücher, 2006.

<http://www.inf.ufsc.br/~visao/2000/Wavelets/index.html#3^>. Acessado em julho

de 2009

<http://pt.wikipedia.org/wiki/Wavelet>. Acessado em setembro de 2009

análise de freqüências no mercado financeiro

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