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MATEMÁTICA II AULA 05: ANÁLISE COMBINATÓRIA V – FÓRMULA DO BINÔMIO DE NEWTON EXERCÍCIOS PROPOSTOS Semestral VOLUME 2 OSG.: 099444/15 01. 153 4 153 3 6 153 3 4 153 3 3 153 3 150 15 10 4 3 2 2 3 4 4 4 4 4 - + - + = = - = = ( ) . Resposta: E 02. O termo geral do binômio é T p x x p p x p p p p p + - - - = = - 1 8 8 2 8 8 2 8 8 2 ! ! ( )! . O termo independente de x, se existir, é o natural p que torna o expoente de x igual a zero, ou seja, 2 8 0 4 p p - = = . Em consequência, o termo independente de x existe e é igual a T 5 8 4 4 8 4 8 4 2 8765 432 2 1120 = - = = - ! !( )! . Portanto, segue-se que o resultado é 1 + 1 + 2 + 0 = 4. Resposta: B 03. O termo de y 4 no desenvolvimento de ((1 + x) + y) 10 é 10 4 1 6 4 + ( ) x y O termo de x 4 no desenvolvimento de (1 + x) 6 é 10 4 1 6 4 x Portanto, o coeficiente de x 6 no desenvolvimento de (1 + x + y) 10 é 10 4 6 4 210 15 3150 = = . Resposta: A 04. fx n n x fx x fx x n n n () ! ! ! () () = + - ( ) = + + ( ) - = + ( ) = 1 10 10 1 1 1 1 1 10 10 10 Então, [I] f(0) = (1 + 0) 10 = 1 [II] f(1) = (1 + 1) 10 = 1024 [III] f(–1) = (1 + (–1)) 10 = 0 Portanto, [III] é correta e [I] e [II] são incorretas. Resposta: D 05. C 2,0 (2x) 2 y 0 + C 2,1 (2x) 1 y 1 + C 2,2 (2x) 0 y 2 = (2x + y) 2 = 4x 2 + 4xy + y 2 Resposta: E 06. O termo Geral do Binômio de Newton será dado por: 12 12 12 3 124 p x x p x p p p ( ) = - - - Para que que T seja o termo independente do desenvolvimento de x x + 1 3 12 , devemos admitir 12 – 4p = 0 p = 3 Logo, T = = = 12 3 12 3 9 220 ! ! ! Resposta: C

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MATEMÁTICA IIAULA 05: ANÁLISE COMBINATÓRIA V –

FÓRMULA DO BINÔMIO DE NEWTONEXERCÍCIOS PROPOSTOSSemestral

VOLUME 2

OSG.: 099444/15

01. 153 4 153 3 6 153 3 4 153 3 3

153 3 150 15 10

4 3 2 2 3 4

4 4 4 4

− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + == − = = ⋅( ) ..

Resposta: E

02. O termo geral do binômio é

Tp x

x

p px

p

pp

p p

+

− −

=

=⋅ −

⋅ ⋅

1

8

8 2 8

8 2

8

82

!

! ( )!.

O termo independente de x, se existir, é o natural p que torna o expoente de x igual a zero,ou seja,2 8 0 4p p− = ⇔ = .

Em consequência, o termo independente de x existe e é igual a

T58 4

4

8

4 8 42

8 7 6 5

4 3 22

1120

=⋅ −

=⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅⋅

=

−!

! ( )!

.

Portanto, segue-se que o resultado é 1 + 1 + 2 + 0 = 4.

Resposta: B

03. O termo de y4 no desenvolvimento de ((1 + x) + y)10 é 10

41

6 4

+( ) ⋅x y

O termo de x4 no desenvolvimento de (1 + x)6 é 10

416 4

⋅ x

Portanto, o coefi ciente de x6 no desenvolvimento de (1 + x + y)10 é 10

4

6

4210 15 3150

= ⋅ = .

Resposta: A

04. f xn n

x

f x x

f x x

n

n

n

( )!

! !

( )

( )

= +−( )

= + +( ) −

= +( )

=∑1

10

10

1 1 1

1

1

10

10

10

Então,[I] f(0) = (1 + 0)10 = 1[II] f(1) = (1 + 1)10 = 1024[III] f(–1) = (1 + (–1))10 = 0

Portanto, [III] é correta e [I] e [II] são incorretas.

Resposta: D

05. C2,0

(2x)2y0 + C2,1

(2x)1y1 + C2,2

(2x)0y2 = (2x + y)2 = 4x2 + 4xy + y2

Resposta: E

06. O termo Geral do Binômio de Newton será dado por: 12 1212 3 12 4

px x

pxp p p

⋅ ( ) =

⋅− − −

Para que que T seja o termo independente do desenvolvimento de xx

+

13

12

, devemos admitir12 – 4p = 0 ⇒ p = 3

Logo, T =

=⋅

=12

3

12

3 9220

!

! !

Resposta: C

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OSG.: 099444/15

Resolução – Matemática II

07. O termo geral do binômio é dado por

Tn

p xx

n

p xx

n

p

p

n pp

n p

n pp

+

=

=

⋅ ⋅

=

1 2

2 2

2

2

⋅ ⋅− −2 3 2n p p nx

Sabendo que o termo independente de x é o sétimo, segue que p = 6 e, assim,

Tn

xn n6 1

6 18 2

62+

− −=

⋅ ⋅

Daí, impondo 18 – 2n = 0, concluímos que n = 9 e, portanto,

T79 6 39

62

9

6 32

9 8 7

3 28 672=

⋅ =⋅

⋅ =⋅ ⋅

⋅⋅ =− !

! !.

Resposta: B

08. Sabendo que 0! = 1 e 1! = 1 , vem

x xx

−( ) −( )= ⇔ =

1 5 7

30 1 ou x =

7

5

ou

x xx x

−( ) −( )= ⇔ − + =

1 5 7

30 5 12 4 02

⇔ =x 2 ou x =2

5.

Onde concluímos que m = 1.

Assim, como o termo geral de y z−( )312

é

121

123 12 12 2 36 3

py z

py z

p p pp

p

( ) −( ) = −( )

− − − ,

e o termo médio é tal que

p p+ = + ⇔ =112

21 6,

concluímos que o termo médio é igual a

( )!

! !.−

=− − ⋅112

6

12

6 612 6

6

2 36 3 6 3 18y z y z

Resposta: E

09. Reescrevendo o polinômio, obtemos

( )!

! ! !( ) ( )

!

! ! !

2 34

2 3

4

2 4

1 2 3

2

1 2 3

1 2 3+ + =⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

=⋅ ⋅

∑x x x xα α α

α α α

α α α

∑∑ ⋅ ⋅2 31 2 2 32α α α αx .

Para que o expoente de x seja 7, devemos ter α1 + α

2 + α

3 = 4 e α

2 + 2α

3 = 7. Desse modo, como (α

1, α

2 , α

3) = (0,1, 3) é a única terna

coordenada que satisfaz essas condições, temos que o coeficiente de x7 é dado por:

4

0 1 32 3 120 1!

! ! !⋅ ⋅⋅ ⋅ =

Resposta: D

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OSG.: 099444/15

Resolução – Matemática II

10. O termo geral do binômio x é Tnp

xx

n

p

n pp

21

23

2

3+

=

⋅ ( ) ⋅

+

Se os coefi cientes binominais do quarto e do décimo terceiro termos são iguais, então

n nn

3 123 12 15

=

⇔ = + =

Logo,

Tp

xx

p

pp

+−

=

⋅ ( ) ⋅

1

2 1515 3

=

⋅ ⋅

=

⋅ ⋅

15 3

153

30 2

30 3

px

x

px

pp

p p

p

Como o desenvolvimento do binômio apresenta um termo independente de x, deve-se ter 30 – 3p = 0 ⇔ p = 10.

Portanto, o termo pedido é o décimo primeiro.

Resposta: B

Raul: 29/01/16 – Rev.: TP09944415-pro-Aula 05 - Análise Combinatória V – Fórmula do Binômio de Newton