MATEMÁTICA IIAULA 04:ANÁLISE COMBINATÓRIA IV –

FATORIAL, NÚMERO BINOMIAL E TRIÂNGULO PASCAL

EXERCÍCIOS PROPOSTOSSemestral

VOLUME 2

OSG.: 099444/15

01. Desenvolvendo os fatoriais indicados, temos:

! !

! !

n n n n

n n nn n n

+( ) ⋅ +( ) ⋅ ⋅ −( )⋅ +( ) ⋅ −( ) = ⇔ ⋅ +( ) = ⇔ +

2 1 1

1 135 2 35

2 2

22 22 35 0n − =

Resolvendo a equação, temos n = –7 (não convém) ou n = 5.

⇒ n = 5.

Resposta: C

02. Algarismo de controle 3 (2000-3)

03. Veja que: (a – b)4 = a4 – 4a3b1 + 6a2b2 – 4a1b3 + b4

Com desenvolvimento análogo, temos a expressão:

E = 1034 – 4 · 1033 · 31 + 6 · 1032 · 32 – 4 · 1031 · 33 + 34

E = (103 – 3)4 → E = (100)4 → E = (102)4

E = 108

Resposta: D

04. (V) (x + 3)! + (x + 2)! = 8 · (x + 1)!

(x + 3) · (x + 2) · (x + 1)! + (x + 2) · (x + 1)! = 8 · (x + 1)!

(x + 3) · (x + 2) + (x + 2) = 8

(x + 2) · (x + 3 + 1) = 8

(x + 2) · (x + 4) = 8��� ���0 0

Se x = 0, temos a única solução.

(V) Ax, 3

= 4 · Ax, 2

→ x · (x – 1) · (x – 2) = 4 · x · (x – 1)

x – 2 = 6.

Logo, x = 6.

(V) (2x – 1)6. De fato, o último termo será (–1)6, ou seja, 1.

(V) Do enunciado, temos: 1 4 3 2 1 1

24B L

= .

(F) C8 5

8

5 3

8 7 6 5

5 3 2 156,

!

! !

!

!= → ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅= .

Resposta: V – V – V – V – F

05. ��� Como a soma dos elementos da linha n é 2n

Como a soma dos elementos da linha n + 1 é 2n+1

a soma das duas fi ca 2n + 2n+1 → 2n + 21 · 2n → 2n · (1 + 2) = 3 · 2n

Resposta: C

OSG.: 099444/15

Resolução – Matemática II

06. Temos que:

n n n n nn n

n

n vezes

! ! ! !+ + + +

+ + + + +( ) = +

⋅

…� ���� ���� …1 2 349

2

2

nnn n n n

n

nn n

n n n

n

!

! !

!

++( ) =

+( ) ÷( )

++( ) = + → + + = +

=

1

2

49

21

2

49

22 1 49

2 48 →→ = → =n n! 24 24

Resposta: D

07. n n n n

n n n

n n n

n

−( ) +( ) − =

−( ) + −( ) =

−( ) =

1 1 7

1 1 1 7

1 7

! ! ! !

! ! !

! ! !

−−( ) ==

( ) = ⇒ = ⇒ =

1 7

7

7 7 72

! ! !

! ! !

! ! n! !

n

n n

n n

Então: 2n = 27 = 128

Resposta: C

08. Sabemos que:

Então, temos:S

S

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ == ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −

2 2 3 3 4 4 5 5 6 6

3 2 2 4 3 3 5 4 4 6 5 5

! ! ! ! !

! ! ! ! ! ! !! ! !

! ! ! ! ! ! ! ! ! !

!

+ ⋅ −= − + − + − + − + −= − ⋅ + = − + =

7 6 6

3 2 4 3 5 4 6 5 7 6

2 7 2 5040

S

S 55038

Resposta: D

09. En

n

En

nE

=⋅ ⋅

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅

→ =

log...

!

log( ) ( ) ( )...( )

!

2

2

2 4 6 2

2 1 2 2 2 3 2llog

!

!

log log

2

22

22

2n n

n

E E n E nn

⋅

→

→ = → = ⋅ → =

Resposta: C

10. 2n! –n(n–1)! = 2n! –n! = n!

Resposta: A

Raul_Cl@udi@: 29/01/16 – Rev.: TP099444/15-pro-Aula 04 - Análise Combinatória IV – Fatorial, Número Binomial e Triângulo Pascal