Matemática

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Professor Dudan

Análise Combinatória

Permutação Simples É caracterizada por envolver todos os elementos , nunca deixando nenhum de fora.Muito comum em questões que envolvem anagramas de palavras. Fórmula: Pn = n! Dica: A PERMUTAÇÃO embaralha TUDO!

Análise Combinatória

Exemplo Resolvido Quantos anagramas possui a palavra AMOR. Um anagrama formado com A, M, O, R corresponde a qualquer permutação dessas letras, de modo a formar ou não palavras. Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda posição, 2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a quarta posição. Pelo princípio fundamental da contagem temos 4 . 3 . 2 . 1 = 24 possibilidades ou 24 anagramas. Pela própria fórmula faremos P4 = 4! = 4.3.2.1= 24 anagramas. Alguns anagramas: ROMA, AMRO, MARO, ARMO, MORA . . .

Análise Combinatória

Exemplo Quantos são os anagramas da palavra APROVEI com as vogais juntas?

Análise Combinatória

Exemplo Quantos são os anagramas da palavra APROVEI com as vogais juntas e nessa ordem?

Análise Combinatória

E se houver elementos repetidos?

Assim temos a Permutação com Repetição na qual deveremos “descontar “ os elementos repetidos pois a troca de posição entre dois elementos repetidos não evidencia uma nova estrutura.

Análise Combinatória

Exemplo Calcule a quantidade de anagramas da palavra BANANA.

Análise Combinatória

Arranjo É uma seleção (não se usam todos ao mesmo tempo) onde a ordem FAZ diferença. Muito comum em questões de criação de senhas, números, telefones, placas de carro, competições, disputas, onde houver hierarquia. Fórmula: Dica: O ARRANJO ordena !

Dica: pode ser resolvido usando o P. F da Contagem

Análise Combinatória

Exemplo Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo: primeiro lugar, Brasil; segundo lugar, Nigéria; terceiro lugar, Holanda). Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir? (A) 69 (B) 2024 (C) 9562 (D) 12144 (E) 13824

Análise Combinatória

Combinação É uma seleção (até pode usar todos ao mesmo tempo) onde a ordem NÃO faz diferença. Muito comum em questões de criação de grupos, comissões, agrupamentos onde não há distinção pela ordem dos elementos escolhidos. Fórmula: Dica: A COMBINAÇÃO agrupa !

Análise Combinatória

Exemplo Resolvido Uma prova consta de 5 questões das quais o aluno deve resolver 2. De quantas formas ele poderá escolher essas questões? Solução: Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que se trata de um problema de combinação. Aplicando a fórmula chegaremos a: C5,2 = 5! / [(5-2)! . 2!] = 5! / (3! . 2!) = 5.4.3.2.1. / 3.2.1.2! = 20/2 = 10 E não tem um atalho?

Análise Combinatória

Método Prático Esse método agilizará a resolução das questões. Para isso basta usar a regra: rebobinar o “n” até o total de “p” itens e divide pelo “p” fatorial. Exemplos: C5, 2 = C10, 4 = C8, 1 = C7, 5 =

Análise Combinatória

Exemplo Uma lanchonete dispõe de seis frutas tropicais diferentes para a venda de sucos. No cardápio é possível escolher sucos com três ou quatro frutas misturadas. O número máximo de sucos distintos que essa lanchonete poderá vender é de: (A) 720 (B) 70 (C) 150 (D) 300 (E) 35

Análise Combinatória

ANÁLISE COMBINATÓRIA

COMO A FEPESE

COBRA ISSO?

Uma mulher deve escolher um par de sapatos, uma saia e uma blusa dentre os 7 pares de sapato,13 saias e 12 blusas que dispõe em seu armário.

Quantas escolhas diferentes ela tem? a) 628 b) 848 c) 1092 d) 1128 e) 1426

CELESC- 2013

Em um colégio os alunos irão eleger o diretor, vice-diretor e tesoureiro entre os 20 professores do colégio. De quantas maneiras esta escolha pode ser feita?

a) 6980 b) 6840 c) 6720 d) 6660 e) 6220

CELESC - 2016

Um pintor dispõe de tinta em 7 cores diferentes para pintar 3 paredes. Sabendo-se que cada parede deve ser pintada de uma única cor e as 3 paredes devem ser pintadas de cores diferentes, de quantas maneiras diferentes o pintor pode pintar as paredes?

a. 180 b. 200 c. 210 d. 220 e.240

CAU - 2013

Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 5 vagões distintos, sendo um deles restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão-restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de maneiras diferentes de montar a composição é:

a) 24 b) 96 c) 120 d) 360 e) 720

FATMA- 2012

Um restaurante oferece 20 tipos de pizza, 10 tipos de salada e 5 tipos de sobremesa.Considere que uma pessoa pretende se servir de:

- 1 tipo de pizza - 1 tipo de salada - 2 tipos de sobremesa Quantas opções tem essa pessoa? a) 1000 b) 1200 c) 2400 d) 3600 e) 4800

UDESC - 2010

De quantas maneiras podemos colocar seis pessoas em fila. Sabendo se que duas pessoas se recusam a ficar juntas.

a. 120 b. 280 c. 480 d. 560 e. 720

CASAN- 2011

Em uma empresa, 7 funcionários disputam os cargos de presidente, vice-presidente e tesoureiro.

De quantos modos os cargos podem ser preenchidos? a) 120 b) 186 c) 210 d) 294 e) 343

CELESC - 2013

Em um edifício residencial, os moradores foram convocados para uma reunião, com a finalidade de escolher um síndico e quatro membros do conselho fiscal, sendo proibida a acumulação de cargos. A escolha deverá ser feita entre dez moradores. De quantas maneiras diferentes será possível fazer estas escolhas?

a. 64 b. 126 c. 252 d. 640 e. 1260

TRT/SC - 2014

Pretende-se distribuir 8 canetas azuis, 10 vermelhas e 14 pretas entre dois atendentes de uma empresa. Cada atendente deve receber no mínimo 3 canetas de cada cor.

De quanta maneiras diferentes pode ser feita a distribuição (note que a distinção entre as canetas é feita somente pela sua cor)?

a) 135 b) 153 c) 247 d) 315 e) 351

CELESC - 2013

Em uma empresa com 14 funcionários, 4 serão escolhidos para realizar uma viagem de trabalho.De quantas maneiras esta escolha pode ser feita?

a. 999 b. 1001 c. 1009 d. 1011 e. 1013

CAU - 2013

GABARITOS Questões FEPESE : C-B-C-B-*-C-C-E-A-B