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Resumo de Analise Matematica I,2 TesteUniversidade de Aveiro 2011/2012Jos Manuel Miranda Ferro

IV-Derivadas10.DerivaoConsiderando-se a funo:f:ABx y=f(x)

e um ponto interior p, pertencente a A,designa-se por derivada de fno ponto p,ao limite,se existir:

f'(p):=lim xpf x -f p

x-p =limh0f p+h -f p

hdfdx p ,Df(p),

dydx x=p e

dfdx x=p

Se f'(p) existir e for nito, diremos que a funo f diferencivel no ponto p.

Quando f diferencivel num ponto p, a equao da recta tangente ao grco de fno ponto (p, f(p)):y=f(p)+f'(p)(x-p)

Designa-se por derivada esquerda de fno ponto p ao limite,se existir:

f'e(p):= limxp _f x -f p

x-pe por derivada direita se existir:

f'e(p):= limxp+f x -f p

x-pAderivada de fno ponto p existe se e s se derivada esquerda e direita no ponto p so iguais.

Se f:A uma funo diferencivel em todos os pontos de BA, podemos denir a funo quea cada x de B faz corresponder f'(x). Surge, assim, uma nova funo, de domnio B,querepresentamos por f' e a que chamamos funo derivada de fem B;Considerando f' diferenciavel em CB definimos f''=(f')' :C como a segunda derivada de femC.;Considerando f'' diferenciavel em DC definimos f'''=(f'')' :D como a terceira derivada de femD.

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Se n e f(n) for continua em y, diz-se que f de class Cn em y e reprensenta-se por fCn(y);Se fCn(z)n , diz-se que f de classe C

em z e representa-se por fC(z).

Teorema: Seja f:D e p um elemento do interior de D. Se f diferenciavel no ponto p, ento f continua em p.

Teorema: Se f e g so funes diferenciaveis em a, ento fg e fg so igualmente funes diferenciaveisem a e:(fg)'(a)= f'(a)g'(a)(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)

Se, alem disso, g(a)0, ento fg diferenciavel em a e:

fg '(a)=f' a g a -f a g' a

g a 2

Corolrio: Se f1, f2, ... ,fn so funes diferenciveis no ponto a, a sua soma e o seu produto tambm oso e vericam-se as seguintes igualdades:(f1+f2+...+fn)'(a)=f'1(a)+f'2(a)+...+f'n(a)(f1f2...fn)'(a)=f'1(a)f2(a)...fn(a)+f1(a)f'2(a)f3(a)...fn(a)+...+f1(a)f2(a)...f'n(a)

Corolrio: Se k e f diferenciavel em p, ento tambem diferenciavel em p a funo h, dada porh(x)=(f(x))k e tem-se:h'(p)=k(f(p))k-1f'(p)

Regra da Cadeia: Se g:A diferencivel no ponto a, f:B diferenciavel no ponto b:=g(a) eg(a)B, ento fg diferenciavel em a e:(fg)'(a)=f'(b)g'(a)=f'(g(a))g'(a).

Regra da Derivao da funo inversa: Seja I um intervalo, f:I uma funo estritamente monotona econtinua e f-1:J=f(I) a sua inversa. Se f diferenciavel no ponto a e f'(a)0, ento f-1 diferenciavel emb=f(a) e:

(f-1)'(b)= 1f' a =1

f' f-1 b

Extremos Relativos:

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Diz-se que uma determinada funo f:D tem um minimo local (ou relativo) em aD se existir umavizinhaa de a tal que f(x)f(a), xD. Neste caso a diz-se minimizante(relativo).Diz-se que uma determinada funo f:D tem um maximo local (ou relativo) em aD se existir umavizinhaa de a tal que f(x)f(a), xD. Neste caso a diz-se maximizante(relativo).Os maximos e os minimos designam-se por extremos relativos.

Teorema de Fermat: Considere-se a funo f:]a,b[ e um ponto p]a,b[ tal que f(p) e extremo local de f.Se f'(p) existe (finito ou infinito), ento f(p)=0.

Um ponto p do domnio de f, diz-se ponto crtico de f se f'(p)=0.Diz-se que f(a) o mximo absoluto de f se f(x)f(a) para todo xD. Se f(a) mximo absoluto de f, adiz-se maximizante absoluto de f.Diz-se que f(a) o minimo absoluto de f se f(x)f(a) para todo xD. Se f(a) minimo absoluto de f, adiz-se minimizante absoluto de f.

Teorema de Fermat-Weierstrass: Seja f:[a,b] continua. Sejam C o conjunto dos pontos criticos de f em]a,b[ e N o subconjunto de ]a,b[ onde f no diferenciavel. Seja A:={a,b}CN. Ento o maximo absoluto def o maximo de f(A) e o minimo absoluto de f o minimo def(A).

11.Teoremas de Rolle, Lagrange e CauchyTeorema de Roole: Seja f uma funo continua no intervalo [a,b] (com a

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f'(c)= f b -f ab-a

Corolario:Se uma funo f continua direita (resp. esquerda) num ponto a, do seu dominio, diferenciavel em]a,a+[ (resp. em ]a-,a[), para algum >0, e existe limxa+f'(x) (resp. limxa+f-'(x)), ento existetambem f'd(a) (resp f'e(a)) e verfica-se:f'd(a)=limxa+f'(x) (resp. f'e(a)=limxa-f'(x)).Se f tem derivada nula em todos os pontos de um intervalo, ento constante nesse intervalo.Se f e g so duas funes diferenciaveis num intervalo I e se f'(x)=g'(x), xI, ento a funo f-g constante em I.

Corolario:Se I um intervalo e f'(x)0, xI, ento f crescente em I.Se I um intervalo e f'(x)>0, xI, ento f estritamente crescente em I.Se I um intervalo e f'(x)0, xI, ento f decrescente em I.Se I um intervalo e f'(x)

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Se existe >0 tal que, em V(a), as rectas tangentes ao grco de f esto por cima do grco de f, ento afuno f diz-se cncava no ponto a ou ento diz-se que o seu grco tem a concavidade voltada para baixoem a.Se num dos intervalos ]a-,a[ ou ]a, a+[ (para >0) o grco de f est por cima da recta tangente, e nooutro intervalo a recta tangente est por cima do grco de f, ento diz-se que a um ponto de inexo def.

Teorema(Segunda derivada e concavidade):Seja f uma funo com derivadas continuas num intervalo Iat ordem 2 e aint(I). Nestas condies:Se f''(a)>0, ento f convexa no ponto a;Se f''(a)

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13&14.PrimitivaoA primitivao a funo inversa da derivao, que se indica pelo simbolo .

Teorema: Funes que admitem a mesma derivada diferem por uma constante.

Proposiao: Se f e uma funao continua num intervalo, entao f e primitivavel nesse intervalo.

Metodos de primitivaao:

Primitivas

Imediatas

MetodosDecomposioPartesSubstituioFraces Racionais

Primitivas Imediatas:

log(x) 1x +c

xn xn+1n+1 +c, n1, x>0

1x log|x|+c

ex ex +c

ax ax

log a +c

uvv'log u +vuv-1v' u v+c cos(x) sen(x)+c sen(x) -cos(x)+c sec2 (x) tg(x)+c cosec2 (x) -cotg(x)+c sec(x)tan(x) sec(x)+c cosec ucotg uu'-cosec u +c

11+x2

arctag(x)+c

11 - x2

arsen(x)+c

1 arsec(x)+c

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x x2-1

arsec(x)+c

ch uu' sh u+c sh uu' ch u+c sec2h uu' tgh u +c cosec2h uu' -cotgh u +c sech u tgh uu' -sech u +c cosech u cotg uu' -cosech u +c

11 - x2

artgh x +c

11 + x2

arsh x +c

1x2-1

arch x +c

1x 1 - x2

-arsech x +c

1x 1 + x2

-arcosech x +c

sen(x) cos x - cos x12

Primitivaao por decomposiao:Soma:A primitiva da soma e igual a soma das primitivas: (u'+v')=(u')+(v')

Primitivaao por partes:O metodo de derivaao por partes esta baseado na derivada do producto: uv'=uv-u'vDeve-se tentar este metodo quando a funao dada se pode decompor num produto de 2 factores.

Formulas de recorrencia:So formulas que permitem a promitivaao de funoes que funcionam como termos gerais;De forma geral deduzem-se aplicando a primitivaao por partes.

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Potencias de funoes trigonometricas:

senn x = - senn-1 x cos x

n +n-1n sen

n-2 x

cosn x = cosn-1 x sen x

n +n-1n cos

n-2 x

tagn x = tagn-1 xn-1 -tag

n-2 x

Primitivaa (ou integraao) por substituiao:1-Substitui-se a variavel dada por outra variavel2- Multiplica-se pela derivada x'=g'(t)3-Primitiva-se a funao em ordem a nova variavel t4-Substitui-se t por x a partir de x=g(t)t=g-1 (t)