licenciatura em matemtica - geometria i

Geometria I

Manaus 2006

FICHA TÉCNICA

GovernadorEduardo Braga

Vice–GovernadorOmar Aziz

ReitorLourenço dos Santos Pereira Braga

Vice–ReitorCarlos Eduardo S. Gonçalves

Pró–Reitor de Planej. e Administração Antônio Dias Couto

Pró–Reitor de Extensão e Assuntos ComunitáriosAdemar R. M. Teixeira

Pró–Reitor de Ensino de GraduaçãoCarlos Eduardo S. Gonçalves

Pró–Reitor de Pós–Graduação e PesquisaWalmir de Albuquerque Barbosa

Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado)Carlos Alberto Farias Jennings

NUPROMNúcleo de Produção de Material

Coordenador GeralJoão Batista Gomes

Projeto GráficoMário Lima

Editoração EletrônicaHelcio Ferreira Junior

Revisão Técnico–gramaticalJoão Batista Gomes

Silva, Clício Freire da.

S586g Geometria I / Clício Freire da Silva, Cláudio Barros Vitor, IedaMaria de Araújo Câmara Costa. – Manaus/AM: UEA, 2006. –(Licenciatura em Matemática. 2. Período)

149 p.: il. ; 29 cm.

Inclui bibliografia

1. Geometria. I. Vitor, Cláudio Barros. II. Costa, Ieda Maria deAraújo Câmara. III. Título.

CDU (1997): 514

CDD (19.ed.): 516

SUMÁRIO

Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07

UNIDADE I – Noções primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09

TEMA 01 – Noções e proposições primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11TEMA 02 – Segmento de reta - Conceitos primitivos - ponto, reta e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13TEMA 03 – Ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16TEMA 04 – Ângulos - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20TEMA 05 – Paralelismo - Retas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22TEMA 06 – Perpendicularismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

UNIDADE II – Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

TEMA 07 – Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31TEMA 08 – Triângulos - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33TEMA 09 – Congruência de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34TEMA 10 – Pontos notáveis no triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37TEMA 11 – Quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39TEMA 12 – Quadriláteros - Principais propriedades e aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43TEMA 13 – Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48TEMA 14 – Polígonos - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

UNIDADE III – Elementos na circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

TEMA 15 – Circunferência e Círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55TEMA 16 – Circunferência e Círculo - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58TEMA 17 – Ângulos na circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60TEMA 18 – Ângulos na circunferência - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61TEMA 19 – Polígonos inscritos e circunscritos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63TEMA 20 – Polígonos inscritos e circunscritos - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

UNIDADE IV – Relações métricas no triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

TEMA 21 – Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69TEMA 22 – Semelhança de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 TEMA 23 – Relações métricas no triângulo retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75TEMA 24 – Relações métricas no triângulo retângulo - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76TEMA 25 – Teorema de pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77TEMA 26 – Teorema de pitágoras - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79TEMA 27 – Relações métricas no triângulo qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 TEMA 28 – Relações métricas no triângulo qualquer - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

UNIDADE V – Áreas de superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

TEMA 29 – Relações métricas na circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 TEMA 30 – Relações métricas na circunferência - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 TEMA 31 – Atividade de laboratório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96TEMA 32 – Áreas de figuras planas - Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 TEMA 33 – Atividade de laboratório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 TEMA 34 – Áreas de figuras planas - Quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102TEMA 35 – Áreas de figuras planas - Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106TEMA 36 – Atividade de laboratório - Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111TEMA 37 – Áreas de superfícies planas - Círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113TEMA 38 – Atividade de laboratório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 TEMA 39 – Atividade de laboratório - Decomposição de polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 TEMA 40 – Atividade de laboratório - Pontos notáveis no triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

UNIDADE VI – Atividades de laboratório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Clício Freire da SilvaLicenciado em Matemática – UFAM

Bacharel em Matemática – UFAM

Pós-graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática – UFF

Mestrando em Matemática (Geometria Diferencial) – UFAM

Cláudio Barros VitorLicenciado em Matemática – UFAM

Pós-graduado em Didática e Metodologia do Ensino Superior - UNESC

Iêda Maria de Araújo Câmara CostaEspecialista em Ensino de Matemática – UFAM.

Mestranda em Matemática (Geometria Diferencial) – (UFAM)

PERFIL DOS AUTORES

PALAVRA DO REITOR

A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada

à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do

Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon-

der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em

dinamismo técnico–científico.

Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere-

cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis-

tenciais, estimulando–lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando–lhes

uma visão multifacetada das maneiras de educar.

Os livros–textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história

da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos-

tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi-

no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.

A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios

que se impõem hoje.

Lourenço dos Santos Pereira Braga

Reitor da Universidade do Estado do Amazonas

UNIDADE INoções primitivas

TEMA 01

NOÇÕES E PROPOSIÇÕES PRIMITIVAS

Introdução

Euclides, o grande matemático grego, foi oprincipal responsável pelo avanço da geome-tria. Nascido por volta de 300a.C., Fundador daEscola de Alexandria, escreveu um tratado dematemática sob o título Os elementos (com-posto de treze volumes), que se constituiu, du-rante mais de 20 séculos.

No livro, Euclides expõe, em ordem lógica, osprincipais assuntos da geometria. Inicia apre-sentando os entes primitivos e algumasdefinições. A seguir, considera alguns postula-dos e, finalmente, demonstra uma série de teo-remas que serviriam de base para a demons-tração de outras propriedades.

O livro é considerado a primeira compilaçãoformal do saber matemático ocidental. A rígidaorganização da obra forneceu o padrão deapresentação para tudo que se fez posterior-mente em matemática, daí o nome GeometriaEuclidiana.

Conceitos Primitivos – São aqueles apresen-tados intuitivamente, ou seja, sem definição.Nascem em nossa mente pela observação eexperiência.

Exemplos: o ponto, a reta e o plano.

Os demais conceitos são apresentados poruma definição que se utiliza de conceitos jáconhecidos.

Postulados ou axiomas – São proposições(afirmações) aceitas como verdadeiras semprova ou demonstração, apenas pela experiên-cia ou observação.

Postulados Fundamentais – Servem desuporte para o estudo da geometria que oraestudamos.

Alguns postulados Importantes:

• Uma reta tem infinitos pontos.

• Dois pontos distintos determinam uma úni-ca reta .

• Por um ponto passam infinitas retas.

• Dois pontos distintos determinam uma úni-ca reta.

• Três pontos não-colineares determinam umúnico plano.

• A reta que passa por dois pontos distintos,pertencentes a um plano, também está con-tida nesse plano.

A B

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Geometria I – Noções primitivas

Postulado de EuclidesPor um ponto P, não pertencente a uma retar, passa uma única reta paralela a essa mes-ma reta r.

Teoremas

Um teorema é composto de duas partes:

• a parte que se supõe conhecida, chamadade hipótese;

• a parte que se deseja provar, chamada detese.

Exemplos:

a) Se duas retas paralelas são cortadas poruma transversal, então os ângulos corre-spondentes são congruentes.

Hipótese: Duas retas paralelas são cor-tadas por uma transversal.

Tese: Os ângulos correspondentes sãocongruentes.

b) Se um triângulo é isósceles, então os ângu-los da base são congruentes.

Hipótese: Um triângulo é isósceles.

Tese: Os ângulos da base são congruentes.

Pode–se demonstrar um teorema por três mé-todos:

• Direto: partindo da hipótese, chega-se àtese.

• Indireto: negando a tese, chega-se à ne-gação da hipótese.

• Contradição ou absurdo: negando a tese,chega-se à negação de uma verdade jáestabelecida, antes mesmo de se chegar ànegação da hipótese.

Exemplos:

Se dois ângulos são opostos pelo vértice(o.p.v.), então os ângulos são congruentes.

• Hipótese: os ângulos são opostos pelo vér-tice (o.p.v).

• Tese (ou conclusão): os ângulos são con-gruentes.

Demonstração do teorema

H: α e β são o.p.v.

T: α ≅ β

Afirmativa: α + Y = 180°

Justificativa: Ângulos adjacentes suplemen-tares.

Afirmativa: Y + β = 180°

Justificativa: São ângulos adjacentes suple-mentares.

Afirmativa: α + Y = Y + βJustificativa: Propriedade transitiva das igual-dades.

Afirmativa: α + Y = Y + βJustificativa: Propriedade do cancelamento.

Portanto, α = β

1. Identifique a hipótese e a tese em cada caso.

a) Se duas retas paralelas são cortadas poruma transversal, então os ângulos corre-spondentes são congruentes.

b) Se duas retas cortadas por uma transversalsão paralelas, então elas determinam ângu-los alternos internos congruentes.

Solução

a) Hipótese – Duas retas paralelas são cor-tadas por uma transversal.

Tese – Os ângulos correspondentes sãocongruentes.

b) Hipótese – Duas retas cortadas por umatransversal são paralelas.

Tese – Essas retas determinam ângulosalternos internos congruentes.

12

UEA – Licenciatura em Matemática

1. Classificar em verdadeiras ou falsas as afir-mações:

a. ( ) Dados dois pontos distintos, existe umúnico plano passando por eles.

b. ( ) Os vértices de um triângulo sãocoplanares e estão no mesmo plano.

c. ( ) Uma reta qualquer separa um plano emdois semiplanos.

d. ( ) Por três pontos distintos quaisquer pas-sa sempre um único plano.

e. ( ) O número máximo de retas que quatropontos podem determinar é de seis retas.

2. Assinale a alternativa falsa:

a) Por dois pontos distintos passa uma únicareta.

b) Por quatro pontos quaisquer passa sempreum único plano.

c) O conceito de plano é primitivo.

d) O plano tem infinitos pontos.

3. Classifique em verdadeiras ou falsas as afir-mações:

a. ( ) Uma reta tem dez pontos distintos.

b. ( ) Um plano tem cinco pontos distintos.

c. ( ) Existem infinitos pontos fora de uma reta.

d. ( ) Existem pontos fora de um plano quesão colineares.

e. ( ) Dois pontos quaisquer distintos estãosempre contidos em pelo menos umplano.

f. ( ) Todo triângulo está contido em um úni-co plano.

g. ( ) Quatro pontos quaisquer estão semprecontidos em um único plano.

4. Demonstre o teorema:

Se dois ângulos são adjacentes suplemen-tares, então suas bissetrizes formam um ângu-lo reto.

TEMA 02

SEGMENTO DE RETA

Conceitos Primitivos – Ponto, reta e plano

No dia-a-dia, são encontrados diversos exem-plos desses conceitos primitivos.

Exemplos:

a) A marca deixada em uma folha de papelpela ponta de um lápis.

O ponto é indicado com letras maiúsculas do nosso alfabeto.

b) Uma estrada dá-nos idéia de reta.

A reta não tem começo, nem fim, nem espessura. É representada por letras minúsculas do nosso alfabeto.

c) A superfície do rio Amazonas dá-nos a idéiade plano.

O plano é indicado por letras minúsculas do alfabeto grego, tais

como α (alfa), β (beta) γ (gama), etc.

Semi-reta

Em relação ao ponto A, a reta fica dividida emduas partes:

Cada uma dessas partes é chamada semi-reta,e o ponto A é chamado origem das semi-retas.

13


Exemplo de semi-retas:

Indicação: →

AB

(lê-se semi-reta AB)

Retas coplanares

Duas ou mais retas são coplanares quando es-tão contidas no mesmo plano.

As retas coplanares podem ser:

a) concorrentes – quando têm apenas umponto comum;

b) paralelas – quando não têm ponto comum;

c) coincidentes – quando têm todos os pon-tos comuns.

Segmento de reta

O conjunto formado pelos pontos A e B e portodos os pontos da reta entre A e B é chama-do segmento de reta.

Os pontos A e B são chamados extremos dosegmento AB.

Indicação: ⎯AB (lê–se segmento AB)

Segmentos consecutivos

Dois segmentos são consecutivos quandopossuem um extremo comum.

Os segmentos ⎯AB e

⎯BC possuem um extremo

comum: B.

Logo: ⎯AB e

⎯BC são segmentos consecutivos.

Segmentos colineares

Dois segmentos são colineares quando estãocontidos na mesma reta.

Se os segmentos são colineares e consecu-tivos, nesse caso diz-se adjacentes.

Exemplo:

Segmentos congruentes

Dois segmentos são congruentes quando pos-suem a mesma medida, tomada numa mesmaunidade.

Indicamos a congruência entre⎯AB e

⎯CD

escrevendo: ⎯AB ≅ CD (lê–se segmento AB é

congruente ao segmento CD)

Ponto médio de um segmento

Chama-se ponto médio de um segmento oponto que divide o segmento dado em doissegmentos congruentes.

1. Que ente geométrico lhe sugere:

a) os buracos existentes no botão?

b) o encontro entre duas paredes?

c) o piso da sala de aula?

Solução

a) Ponto b) Reta

c) Plano

2. Usando os símbolos ∈, ∉, ⊂, determine arelação existente entre:

a) A ....... r b) A..... s c) A....... t

d) B..... r e) B...... s f) C...... αg) C ...... r h) C........s i) D....... αj) D....... r I) r .......α m)s..... α

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Solução

a) ∈ b) ∈ c) ∉d) ∉ e) ∈ f) ∈g) ∈ h) ∉ i) ∈j) ∉ l) ⊂ m) ⊂

3. Dê a posição relativa dos pares de retas.

a) r ...........s d) t..................u

b) r...... .... t e) s................ u

c) r ......... x

Solução

a) Paralelas. d) Paralelas.

b) Concorrentes. e) Concorrentes.

c) Coincidentes.

4. Verifique se os segmentos são consecutivos,colineares, ou adjacentes.

a) AB e BC b) BC e CD

c) AB e BD d) CD e DE

Solução

a) Consecutivos e colineares (adjacentes).

b) Consecutivos.

c) Consecutivos.

d) Consecutivos e colineares (adjacentes).

5. Na figura, M é o ponto médio de AB, N o pontomédio de BC e P, o ponto médio de CD.

Responda:

a) Quanto mede o segmento NP?

b) Quanto mede o segmento MC?

c) Quanto mede o segmento AN?

d) Quanto mede o segmento MP?

Resposta

a) 3,5cm b) 5.5cm

c) 6,5cm d) 7,5cm

1. Escreva, em seu caderno, algumas idéias geo-métricas que lhe sugere a idéia de Ponto, Reta,e Plano.

2. Quantas semi-retas há numa reta, com origemnos quatro pontos A, B, C e D da reta?

3. Se forem marcados três pontos distintos A, B eC sobre uma reta r, quantos segmentos de retacom extremidades em dois desses pontos ficamdeterminados? Quais são eles? Faça o desenho.

4. Sobre uma reta r, marque os pontos A, B e C,nessa ordem, tais que AB = 6cm e BC = 10cm.

a) Quanto mede o segmento AC?

b) Se M é o ponto médio de AB e N é o pontomédio de AC, quanto mede MN?

5. Se AB = 20cm, determine x, em cada item:

a) AP = x + 6cm b) AC = 3x

PB = x BC = x + 2cm

6. Determine x e AB, sabendo que M é o pontomédio de AB.

7. Sobre uma reta r, marque os pontos A, B e C,nessa ordem, com AB = 6cm e BC = 4cm. SeM é o ponto médio de AB e N é o ponto médiode BC, calcule a medida dos seguintes seg-mentos:

a)⎯MB b) BN

c) ⎯NC d)

⎯MN

e) ⎯AN

8. Se ⎯PA e

⎯QB são segmentos congruentes de

uma reta r, Mostre que os segmentos ⎯PQ e

⎯AB

são congruentes.

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TEMA 03

ÂNGULOS

No dia-a-dia, observa-se que existem diversosobjetos que possuem uma certa abertura, dan-do-nos idéia de ângulo. Os ângulos são usa-dos, na engenharia, na fabricação de móveis, nolançamento de foguetes, na utilização de saté-lites, na rota de avião, estacionamentos, em de-senhos, etc.

Definição

As duas semi-retas →

OA e →

OB dividem o plano emduas regiões: uma convexa e outra não-convexa.

O ângulo convexo da figura acima pode serindicado por: AÔB (lê–se “ângulo AOB”)

Se as duas semi-retas →

OA e →

OB forem opostas,o ângulo é chamado raso ou de meia-volta.

Se as duas semi-retas →

OA e →

OB, que formam oângulo, forem coincidentes, temos um ângulonulo ou de uma volta.

Os Babilônios, povo da Antiguidade, habita-va a região onde hoje se situa o Iraque. Essepovo tinha um calendário de 12 meses lunares,com 30 dias cada mês, totalizando 360 dias(12 x 30). Eles acreditavam que esse era otempo que o Sol levava para dar uma voltacompleta em torno da Terra, girando em órbitacircular. Assim, a cada dia o Sol percor-

ria um arco correspondente a dessa cir-

cunferência. Hoje, sabe-se que o Sol não “gira”em torno da Terra e que o ano tem mais de 360dias. Mas devemos lembrar que os babilôniosfizeram suas observações e seus cálculos hámais de 4 mil anos.

As noções de ângulo foram desenvolvidas naGrécia antiga. Deve-se a Hiparco de Nicéia (IIa.C.), considerado pelos gregos como o pai daAstronomia, a primeira divisão do círculo em 360partes iguais, com o objetivo de medir ângulos.

A cada um desses 360 arcos em que a cir-cunferência foi dividida, associamos um ângu-lo cuja medida chamamos de 1 grau.

Medida de um ângulo

Para medir ângulos, utiliza-se o transferidor, uminstrumento que tem como unidade o grau.

No transferidor da figura, tem-se um ânguloraso que foi dividido em 180 ângulos de umgrau (indica-se por 1°):

O grau tem dois submúltiplos:

• Minuto – corresponde a do grau.

Indica–se um minuto por 1’.

• Segundo – corresponde a do minuto.

Indica-se um segundo por 1”.

Quando um ângulo é medido em graus, minu-tos e segundos, diz–se que ele está expressono sistema sexagesimal.

A reunião de duas semi-retas demesma origem chama-se ângulo.

16


Outras unidades de medida

Radiano – É a medida de um ângulo central cor-respondente a um arco cujo comprimento é igualao raio da circunferência a que pertence.

A circunferência possui 27πrd.

Grado – É a medida de um ângulo central, que

corresponde a da circunferência (sistema

decimal de medidas).

Correspondência entre as unidades de medida:

Ângulos Congruentes

Dois ângulos são congruentes quando pos-suem a mesma medida.

Os ângulos AÔB e CÔD têm a mesma medida(30°). Podemos afirmar que esses ângulos sãocongruentes. Assim:

AÔB ≅ CÔD (lê–se “AÔB é congruente a CÔD)

Propriedades da congruência

• Reflexiva: AÔB ≅ AÔB.

• Simétrica: se AÔB ≅ ‘CÔD, entãoCÔD ≅ AÔB.

• Transitiva: se AÔB ≅ CDF e CDF ≅ FGH,então AÔB ≅ FGH.

Ângulos consecutivos

Dois ângulos são consecutivos quando pos-suem um vértice e um lado comuns.

São exemplos de ângulos consecutivos:

AÔC e CÔB

AÔC e AÔB

CÔB e AÔB

Ângulos adjacentes

Dois ângulos são adjacentes quando possuemum vértice comum, um lado comum e não pos-suem pontos internos comuns.

AÔC e CÔB são ângulos adjacentes.

Duas retas concorrentes determinam váriosângulos adjacentes.

São exemplos de ângulos adjacentes:

AÔC e BÔC

BÔC e CÔD

CÔD e DÔA

DÔA e AÔB

Grau Grado Radiano

Uma volta 360º 400 gr 2πrd

Meia volta 180º 200 gr 2πrd

Um quarto de volta

90º 100 gr

17


Bissetriz de um ângulo

Os ângulos AÔC e CÔB são congruentes, e asemi-reta

→OC é a bissetriz do ângulo AÔB .

Ângulo reto, agudo e obtuso

De acordo com suas medidas, os ângulos re-cebem nomes especiais.

Ângulo reto é aquele que tem por medida 90°.

Exemplo:

Ângulo agudo é aquele cuja medida é menorque 90°.

a)

b)

Ângulo obtuso é aquele cuja medida é maiorque 90°.

Exemplos:

a)

b)

Ângulos complementares

Dois ângulos são complementares quando asoma de suas medidas é 90°.

AÔB e BÔC são complementares.

m(AÔB) + m(BÔC) = 90°.

Ângulos suplementares

Dois ângulos são suplementares quando a so-ma de suas medidas é 180°.

AÔB e BÔC são suplementares.

m(AÔB) + m(BÔC) = 180°.

Propriedades dos ângulos

As propriedades dos ângulos são de grandeimportância na resolução de alguns exercícios.

• Dois ângulos adjacentes, cujos lados exteri-ores estão em linha reta, são suplementares.

a + b = 180º

• A soma de ângulos adjacentes formadosem torno de um ponto e de um mesmo ladode uma reta é igual a 180°.

a + b + c + d = 180º

18


• A soma de ângulos adjacentes formadosem torno de um ponto é igual a 360°.

a + b + c + d = 360º

• As bissetrizes de dois ângulos adjacentes,de lados exteriores em linha reta, formam umângulo reto, ou seja, são perpendiculares.

1. Qual o valor de x?

a)

Solução

X + 60º = 90ºX = 90º – 60ºX = 30º

b)

Solução

X + 53º = 180ºX = 180º – 53ºX = 127º

2. Calcule o valor de x nas figuras:

a)

Solução

10º + X+ 25º = 90ºX = 90º – 35ºX = 55º

b)

Solução

60º + X + 40º = 180ºX = 180º – 100ºX = 80º

m(MÔM) = 90º ou OM ⊥ OM´

19


c)

Solução

70º + 90º +5X = 360º5X = 360º – 160º5X = 200ºX = 40º

3. Calcule o valor de x e de y na figura:

Solução

Y + 58º = 180ºY = 180º – 58ºY = 122º

X + Y = 180ºX + 122º = 180ºX = 180º – 122ºX = 58º

4. Dois ângulos opostos pelo vértice têm medi-das expressas por 2x – 100° e x + 30°. Qual ovalor de x?

Solução

2x – 100° = x + 30°

2x – x = 30° + 100ºx = 130º

5. Transforme 100 grados em graus.

Solução

Aplicando uma regra de três simples:

400gr 360º100gr x

= ⇒ 400 x = 360 . 100 ⇒

400 x = 36000 ⇒ x = ⇒ x = 90º

Portanto 100 grados correspondem a 90 graus.

TEMA 04

ÂNGULOS

1. Use o transferidor para encontrar a medida doângulo destacado nas figuras:

a) b) c)

2. Classifique os pares de retas em concorrentese paralelas:

a) a e b b) b e s c) r e s d) a e r

3. Transforme:

a) 60 graus em radianos;

b) 50 grados em graus;

c) π/6 radianos em graus.

4. Dado um ângulo de medida X, indicar:

a) seu complemento;

b) seu suplemento;

c) o dobro do seu complemento;

d) a metade do seu suplemento;

e) o triplo de seu suplemento.

5. A metade da medida de um ângulo mais amedida do seu complemento é igual a 58o.Quanto mede o ângulo?

6) A medida de um ângulo somada a 1/3 da medi-da de seu complemento é igual a 66º. Quantomede esse ângulo?

7. A medida de um ângulo somada à metade damedida de seu complemento dá 55º. Quantomede o suplemento desse ângulo?

8. Somando-se a medida do complemento com amedida do suplemento de um ângulo obtém-se 130°. Quanto mede esse ângulo?

20


9. Qual o valor de X?

⎯OP é bissetriz de AÔB

AOP = 3x – 5°

BOP = 2x + 10°

10. Calcule o valor de x, nas figuras:

a) b)

c)

11. Com a ajuda da régua e “do transferidor, trace

a bissetriz do ângulo AOB.

12. Determine os valores indicados por letras em

cada figura.

a)

b)

c)

d)

e)

21


TEMA 05

PARALELISMO

Retas paralelas

Há inúmeras situações no dia-a-dia que nosdão idéias de paralelismo. Por exemplo, pode-se ressaltar os fios de alta tensão, as ruas desua cidade, etc.

No encontro das duas retas com a transversal,ficam determinados oito ângulos com vértices noponto de intersecção, conforme a figura abaixo:

Os ângulos internos são 3, 4, 5 e 6. Os ângu-los 1, 2, 7 e 8 chamam-se ângulos externos.

Um externo e outro interno, situados do mesmolado da transversal e com vértices diferentes,chamam-se ângulos correspondentes.

3 e 7 ; 4 e 8 ; 1 e 5 ; 2 e 6.

Ângulos internos, situados em lados opostosda transversal e com vértices diferentes cha-mam-se ângulos alternos internos.

3 e 6 ou 4 e 5

Ângulos externos, situados em lados opostosda transversal, como 1 e 8 ou 2 e 7, com vér-tices diferentes, chamam-se ângulos alternosexternos.

1 e 8 ou 2 e 7

Se uma transversal intercepta duas retas para-lelas, os ângulos correspondentes são congru-entes.

Portanto:

2 = 6 , 4 = 8, 1 = 5, 3 = 7.

Exemplo:

Se m e n são duas retas paralelas e a = 50º,verifique como determinar a medida dos outrosângulos:

a = e = 50° ângulos correspondentes

a + c = 180° ângulos suplementares

c = 180° – 50°

c = 130°

g = c = 130° ângulos correspondentes

a + b = 180° ângulos suplementares

b = 180° – 50°

b = 130°

b = f = 130° ângulos correspondentes

b + d = 180° ângulos suplementares

d = 180° – 130°

d = 50°

d = h = 50° ângulos correspondentes

22


1. A reta t é uma transversal às retas m e n.

Determine:

a) quatro pares de ângulos correspondentes

Solução

b e f; d e h; a e e; c e g

b) dois pares de ângulos alternos internos

Solução

e e f; e e d

c) dois pares de ângulos alternos externos

Solução

e e h; b e g

2. Na figura, a reta t é uma transversal às retasparalelas m e n.

a) Se a = 110°, calcule h.

Solução

h = 110°, pois a e h são alternos externos.

b) Se d = 105°, calcule g.

Solução

g = 75°

3. As retas r e s são paralelas, e t é uma transver-sal. Calcule as medidas dos ângulos assinala-dos nas figuras.

a)

Solução

a = 60º correspondente;

c = 60º (o.p.v)

b + 60º = 180º ⇒ b = 180º– 60º = 120ºPortanto:

a = 60º ; b = 120º ; c = 60º

b)

Solução

n = 72º ( o.p.v);

m = 108º n + m = 180 colaterais internos n=72º, logo 72º + m =180; m = 180 – 72 = 108;

p = 72º pois p + m =180 (suplementares)

p = 180 – 108 = 72.

Portanto n = 72º , m =108º e p = 72º

1. Sabendo que r//s, dê nome aos pares de ân-gulos:a) b e c colaterais internos.

23


b) m e p correspondentes.

2. Sabendo que r//s, dê nome aos pares de ângulos:

a) a e p;

b) a e q.

3. Sabendo que r//s, calcule, em cada caso, ovalor de x:

a)

b)

4. Sabendo que r//s, dê nome aos pares de ângu-los e determine o valor de x:

a)

b)

c)

5. Calcule x, y e z, sabendo que r e s são parale-las.

a)

b)

6. Sendo r paralela a s, qual é o valor de x?

a)

b)

7. Sabendo que r é paralela a s, determine os va-lores de x e de y.

a)

5x

30°

2x

15°

s

4x7

70°

3x 20°

24


b)

8. Se r // s e // u, qual deve ser o valor de cadaângulo indicado por letra na figura?

9. Duas retas paralelas e uma transversal deter-minam dois ângulos correspondentes cujasmedidas são 2x – 30° e x + 10°. Calcule as me-didas dos ângulos obtusos determinados poressas retas.

10. Duas retas, cortadas por uma transversal, for-mam ângulos correspondentes expressos em

graus por . Determine x de

modo que essas retas sejam paralelas.

TEMA 06

PERPENDICULARISMO

Introdução

Duas retas são perpendiculares se, e somentese, são concorrentes e formam ângulos adja-centes suplementares congruentes.

Duas semiretas são perpendiculares se estãocontidas em retas perpendiculares.

Dois segmentos de retas são perpendicularesse estão contidas em retas perpendiculares.

Retas oblíquas

Se duas retas são concorrentes e não são per-pendiculares, diz-se que essas retas são oblí-quas.

Perpendicularismo entre reta e plano

Uma reta r é perpendicular a um plano α se, esomente se, r é perpendicular ou ortogonal atodas as retas de α que passam pelo ponto deintersecção de r e α.

• Para que uma reta r seja perpendicular aum plano α, basta ser perpendicular a duasretas de α.

25


Perpendicularismo entre planos

Dois planos, α e β, são perpendiculares se, esomente se, existe uma reta de um deles que éperpendicular ao outro:

Projeções ortogonais sobre um plano

A projeção ortogonal de um ponto sobre umplano é o pé da perpendicular ao plano con-duzida pelo ponto.

P’ é a projeção ortogonal de P sobre α.

Projeção de uma figura

A projeção ortogonal de uma figura sobre umplano é o conjunto das projeções ortogonaisdos pontos da figura sobre o plano.

F = proj0F

Projeção de uma reta

Para se obter a projeção de uma reta r sobreum plano α, há dois casos a considerar:

a) Se a reta r é perpendicular ao plano α, suaprojeção ortogonal sobre ele é o traço dareta no plano.

b) Se a reta r não é perpendicular ao plano α,sua projeção ortogonal sobre α é o traço(intersecção) em α, do plano β perpendicu-lar a α, conduzido por r.

Projeção de um segmento de reta

Para se obter a projeção de um segmento dereta

⎯AB sobre um plano α, também temos dois

casos a considerar:

a) Se o segmento de reta ⎯AB é perpendicular

ao plano, sua projeção ortogonal sobre oplano é um ponto, que é o traço da reta em α.

b) Se o segmento de reta ⎯AB não é perpendi-

cular ao plano α, basta projetar as suas ex-tremidades sobre α, para se obter a proje-ção do segmento.

Distância de ponto a plano

A distância de um ponto a um plano é a distân-cia do ponto à sua projeção ortogonal no plano.

A distância de um ponto a um plano é a menordas distâncias do ponto aos pontos do plano.

Distância entre reta e plano paralelos

A distância entre uma reta e um plano parale-los é a distância de um ponto qualquer da retaao plano.

Para se achar a distância entre uma reta e umplano paralelos, basta tomar um ponto P nareta e achar a distância de P ao plano.

r

P’

p’ proj rs

26


Distância entre planos paralelos

A· distância entre dois planos paralelos é a dis-tância de um ponto qualquer de um deles aooutro plano.

Para se achar a distância de dois planos α e βparalelos basta considerar um ponto P numdeles (por exemplo, P ∈ (β) e obter a distânciado ponto P ao outro plano (α).

1. Classificar em verdadeiro (V) ou falso (F):

a. ( ) Duas retas que formam ângulo reto sãoperpendiculares.

b. ( ) Duas retas que são perpendiculares for-mam ângulo reto.

c. ( ) Duas retas são ortogonais formam ân-gulo reto.

a. ( ) Duas retas que formam ângulo reto sãoortogonais.


a. ( ) Uma reta perpendicular a um plano éperpendicular a infinitas retas do plano.

b. ( ) Uma reta perpendicular a um plano éperpendicular a qualquer reta do plano.

c. ( ) Uma reta perpendicular a um plano éreversa a todas as retas do plano.

d. ( ) Uma reta perpendicular a um plano éortogonal a infinitas retas do plano.

e. ( ) Uma reta perpendicular a um planoforma ângulo reto com todas as retasdo plano.


a. ( ) Se uma reta e um plano são paralelos,então toda reta perpendicular à reta dadaé perpendicular ao plano.

b. ( ) Se uma reta e um plano são perpendicu-lares, então toda reta perpendicular à retadada é paralela ao plano ou nele estácontida.

c. ( ) Uma reta e um plano, ambos perpen-diculares a uma outra reta em pontosdistintos, são paralelos.

d. ( ) Se dois planos são paralelos, então to-da reta perpendicular a um deles é per-pendicular ao outro.

e. ( ) Dois planos, ambos perpendiculares auma mesma reta, são secantes.

f. ( ) Duas retas, ambas perpendiculares a ummesmo plano, são reversas.

g. ( ) Se duas retas são paralelas, então todoplano perpendicular a uma delas é per-pendicular à outra.


a. ( ) Dois planos perpendiculares a um ter-ceiro são paralelos.

b. ( ) Dois planos perpendiculares a um ter-ceiro são perpendiculares entre si.

c. ( ) Se dois planos são paralelos, então to-do plano perpendicular a um deles éperpendicular ao outro.

d. ( ) Se dois planos são perpendiculares,então toda reta perpendicular a um de-les é paralela ao outro ou está contidanesse outro.

e. ( ) Se dois planos são perpendiculares,então toda reta paralela a um deles éperpendicular ao outro.

f. ( ) Se uma reta e um plano são paralelos,então todo plano perpendicular à retadada é perpendicular ao plano dado.

g. ( ) Se uma reta e um plano são paralelos,então todo plano perpendicular aoplano dado é perpendicular à reta dada.


a. ( ) A projeção ortogonal de um pontosobre um plano é um ponto.

b. ( ) A projeção ortogonal de uma reta sobreum plano é uma reta.

c. ( ) A projeção ortogonal de um triângulosobre um plano é sempre um triângulo.

d. ( ) As projeções ortogonais, sobre ummesmo plano, de duas retas são para-lelas, então as retas são paralelas.

e. ( ) Se os planos projetantes de duas retas,não perpendiculares ao plano de pro-jeção, são paralelos, então as pro-jeções dessas retas são paralelas.

27


UNIDADE IIPolígonos

31

TEMA 07

TRIÂNGULOS

Introdução

O triângulo é um polígono de três lados.

A forma triangular é bastante utilizada em vá-rias situações do nosso dia-a-dia.

Elementos de um triângulo

Os principais elementos de um triângulo são:

Vértices: pontos A, B e C.

Lados: segmentos AB, BC e CA.

Ângulos internos: ângulos Â, Ê e ê.

Ângulos externos: ângulos â, b e ê.

O triângulo é o único polígono que não possuidiagonais.

A soma das medidas dos ângulos internos (Si)de um triângulo é dada por: Si = 180°.

A soma das medidas dos ângulos externos(Se) de um triângulo é dada por: Se = 360°.

Usa-se o símbolo Δ para representar a palavratriângulo. Assim, um triângulo ABC pode sernomeado, ΔABC.

Pode-se estabelecer uma relação entre os la-dos e os ângulos internos de um triângulo, queserá importante em nossos estudos.

Classificação dos Triângulos

Os triângulos podem ser classificados quantoaos lados ou quanto aos ângulos.

Classificação dos triângulos quanto aos lados:

Quanto aos lados, os triângulos classificam-seem: eqüilátero , isósceles ou escaleno.

Eqüilátero: quando os três lados são congru-entes.

⎯AB ≅ ⎯BC ≅ ⎯AC

Isósceles: quando apenas dois lados são con-gruentes.

⎯AB ≅ ⎯AC

Escaleno: quando os três lados têm medidasdiferentes.

med (⎯AB) ≠ med (

⎯AC)≠ med (

⎯BC)≠ med(

⎯AB).

Triângulos quanto aos ângulos

Quanto aos ângulos, os triângulos classificam-se em: acutângulo, retângulo e obtusângulo.

• Acutângulo: quando os três ângulos inter-nos são agudos (medida menor que a deum ângulo reto).

• Retângulo: quando um dos ângulos é reto.

• Obtusângulo: quando um dos ângulos éobtuso.

Condições de existência de um triângulo

Dado o ΔABC, sendo a medida do lado ⎯BC, b

medida do lado ⎯AC e c medida do lado

⎯AB,

pode-se escrever as seguintes relações:

a < b + c

Geometria I – Polígonos

32


b < a + c

c < a + b

Portanto, ao comparar o maior lado com asoma dos outros dois, pode-se saber se existeou não triângulo.

Propriedade da soma dos ângulos dos triân-gulos

A soma das medidas dos ângulos de um triân-gulo é 180º.

Demonstração:

Considere o triângulo ABC e observe os ângu-los A, B, e C do triângulo.

Pelo vértice A, pode-se traçar uma reta r para-lela ao lado BC .Observe os ângulos: 1, A e 2.

Do paralelismo de r e BC, considerando atransversal

⎯AB, decorre que:

1 ≡ B

Do paralelismo de r e ⎯BC, considerando a

transversal AC, decorre que:

2 ≡ C

Portanto

A + B + C = 1800

1. Observe a figura:

a) Quais são os vértices?

Solução: X, Y, Z

b) Qual é o lado comum dos ângulos X eY?

Solução: XY

c) Qual é o lado oposto ao ângulo Z?

Solução: XY

2. Verifique se existe ou não um triângulo com la-dos medindo: (justifique suas respostas)

a) 4cm, 4cm e 4cm

Solução: Sim, pois 4 < 4 + 4.

b) 3cm, 3cm e 2cm

Solução: Sim, pois 3 < 3 – 2.

c) 1cm, 2cm e 3cm

Solução: Não, pois 3 < 1 + 2 é falsa.

3. Classifique os triângulos abaixo quanto à medi-da dos seus lados:

a)

Solução: Escaleno.

b)

Solução: Eqüilátero.

c)

Solução: Isósceles.

33


4. O triângulo ABC é isósceles de base BC.Sabendo-se que AB = 3x – 10, BC = 2x + 4 eAC = x + 4, calcule a medida de BC.

Solução:

3x –10 = x + 4 BC = 2x + 4

3x – x = 4 + 10 BC = 2. 7 + 4

2x = 14 BC = 14 + 4

X = BC =18

X = 7

5. Determine os lados do triângulo da figura,sabendo-se que ele tem 60cm de perímetro.

Solução:

x + 3 + x – 7 + x – 2 = 60

3 x + 3 – 7 – 2 = 60

3 x – 6 = 60

3 x = 60 + 6

3 x = 66

X =

X = 22

Lado X + 3 Lado X – 2

22 + 3 22 – 2

25 20

Lado X – 7

22 – 7

15

Portanto, os lados são: 15, 20 e 25.

TEMA 08

TRIÂNGULOS

1. Observe a figura:

a) Quantos são os vértices? Quais são eles? 3;

R, S T.

b) Quantos são os lados? Quais são eles? 3;

RS, RT ST

c) Quantos são os ângulos? Quais são eles?

3; R, S T.

2. Verifique, se existe ou não, um triângulo com

lados medindo: (justifique suas respostas)

a) 5cm, 7cm e 3cm

b) 3cm, 2cm e 7cm

c) 3cm, 3cm e 2cm

d) 5cm, 5cm e 10cm

3. O triângulo ABC é isósceles de base BC. Sa-

bendo-se que AB = 2x – 7 e AC = x + 5, deter-

mine x.

34


4. Determine x, y e o lado do triângulo eqüilátero,sabendo-se que AB = X + y, AC = X + 3 eBC=y + 4

5. Um triângulo ABC é isósceles de base BC.Determine o perímetro sabendo que:

AB = 2x + 3, AC = 3x – 3 e BC = X + 3. 39cm

6. Dois lados de um triângulo medem, respectiva-mente, 8cm e 21cm. Sabendo que a medidado terceiro lado é múltiplo de 6, quanto poderámedir esse lado?

7. Os lados de um triângulo são medidos por trêsnúmeros inteiros e consecutivos. Sabendo queo perímetro é 12cm, quais são os lados? 3cm,4cm e 5cm.

8. Calcule os ângulos dos triângulos. Depois,classifique os triângulos quanto aos ângulos:

a)

b)

9. Num triângulo, os três ângulos são congruen-tes. Quanto mede cada ângulo?

10. Calcule x e y na figura abaixo:

TEMA 09

CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

Introdução

Dois triângulos são congruentes quando seuslados e seus ângulos são respectivamente con-gruentes.⎯AB ≅ ⎯

A’B’ A ≅ A’⎯AC ≅ ⎯

A’C’ e B ≅ B’⎯BC ≅ ⎯

B’C’ C ≅ C’

Sob certas condições, a congruência de doistriângulos pode ser garantida com a inspeçãode apenas três elementos. Essas condiçõessão chamadas de casos de congruência detriângulos.

Casos de congruência

1.o caso: L.A.L– (Lado – Ângulo – Lado)

Dois triângulos que possuem dois lados e oângulo compreendido entre eles respectiva-mente congruentes são congruentes.

⎯AB ≅ ⎯

A’B’

B ≅ B’ ⇒ ΔABC ≅ ΔA’B’C’⎯BC ≅ ⎯

B’C’

2.o caso: A.L.A. (Ângulo – Lado – Ângulo)

Dois triângulos que possuem um lado e doisângulos adjacentes a esse lado respectiva-mente congruentes são congruentes.

B ≅ B⎯BC ≅ ⎯

B’C’ ⇒ ΔABC ≅ ΔA’B’C’

C ≅ C’

35


3.o caso: L.L.L. (Lado – Lado – Lado)

Dois triângulos que possuem os três ladosrespectivamente congruentes são congru-entes.

⎯AB ≅ ⎯

A’B’⎯AC ≅ ⎯

A’C’ ⇒ ΔABC ≅ ΔA’B’C’⎯BC ≅ ⎯

B’C’

4.o caso: L.A.Ao. (Lado – Ângulo – ÂnguloOposto)

Dois triângulos que possuem um lado, um ângu-lo adjacente e um ângulo oposto a esse ladorespectivamente congruentes são congruentes.

⎯BC ≅ ⎯

B’C’

B ≅ B’ ⇒ ΔABC ≅ ΔA’B’C’

A ≅ A’

1. Em cada item abaixo, os dois triângulos sãocongruentes. Indique o critério de congruênciautilizadoa) b)

Solução: Caso L.A.L Solução: Caso A.L.A

2. Dê o caso de congruência do triângulo abaixoe descubra os valores indicados pelas letras.

Solução:

Caso L.A.L

X = 30cm ; b = 40cm ; a = 50cm

3. Na figura, o triângulo PCD é congruente aotriângulo PBA. Sabendo que AB = 15, CD = x+ 5, AP = 2y + 17 e PD = 3y – 2, calcule x e y.

Solução

Por hipótese, tem-se que:

ΔPCD ≅ ΔPBA

Logo:

AP = PD

2y + 17 = 3y – 2,

2y – 3y = – 2 – 17

–y = –19 (–1)

Y = 19

O segmento CD=AB

x + 5 = 15

x = 15 – 5

x = 10

Por tanto: x =10 e y = 19

1. Em cada um dos casos abaixo, verifique seos triângulos são congruentes; em caso afir-mativo, escreva o caso que garante a con-gruência.

a)

b)

c)

2. Os triângulos dados em cada item são congru-

entes. Dê o caso de congruência e descubra

os valores indicados pelas letras.

a)

b)

3. AM é bissetriz do ângulo A. Qual o valor de x e

de y?

4. Na figura, a = b, PQ = PR e c = d.

a) Qual o caso de congruência que permite

escrever ΔPQS ≅ ΔPTR?

b) Qual o lado do triângulo PTR que é congru-

ente a ⎯QS?

5. Na figura abaixo, os dois triângulos são con-gruentes. Indique o critério de congruência uti-lizado. Em seguida, calcule x.

6. Na figura, os triângulos ABC e CDA são congru-entes. Sabendo que B AC = 120°, C AD = 27°,B CA = 3y e A CD = 2x, determine x e y.

7. Na figura, o triângulo CBA é congruente aotriângulo CDE. Sabendo que AB = 35, CE = 22,AC = 2x – 6 e DE = 3y + 5, calcule x e y.

8. Na figura, os triângulos ABD e CBD são con-gruentes. Sabendo que AB = x, AD = 1O,BC = 5 e CD = 3y + 1, calcule x e y.

36


TEMA 10

PONTOS NOTÁVEIS NO TRIÂNGULO

Introdução

Além dos lados, vértices, ângulos internos eângulos externos, os triângulos apresentamoutros elementos, entre os quais as cevianas.

Denomina-se ceviana a qualquer segmentoque une um vértice ao lado oposto ou ao seuprolongamento.

Ca: ceviana relativa ao lado a.

Mediana

Considerando um triângulo qualquer ABC

Pode –se:

Determinar o ponto médio M do lado BC.

O segmento ⎯AM é chamado de mediana relati-

va ao lado BC.

Mediana de um triângulo é o segmento que uneum vértice ao ponto médio do lado oposto.

Todo triângulo possui três medianas, que seencontram em um ponto chamado de baricentro.

As três medianas se encontram no ponto G,que é o baricentro do ΔABC.

Bissetriz

Considerando um triângulo qualquer ABC,pode-se:

Traçar a bissetriz do ângulo interno Â.

O segmento ⎯AO é a bissetriz do triângulo rela-

tiva ao ângulo Â.

Bissetriz de um triângulo é o segmento contido

na bissetriz de um dos ângulos internos do triân-

gulo, cujos extremos são o vértice desse ângu-

lo e o ponto de cruzamento com o lado oposto.

Todo triângulo tem três bissetrizes que se en-

contram num ponto chamado de incentro (I).

Altura

Considerando um triângulo qualquer ABC

Pode –se:

Traçar pelo ponto A um segmento perpendicu-

lar ao lado BC.

O segmento ⎯AH é a altura relativa ao lado BC.

O ponto H é o “pé da altura” relativa ao lado AB.

Altura de um triângulo é o segmento que liga

um dos vértices ao lado oposto (ou ao seu pro-

longamento) e que é perpendicular a esse lado.

Todo triângulo tem três alturas. O ponto de

encontro das retas que contêm as alturas é

chamado de ortocentro (O).

Mediatriz

Todo triângulo possui três mediatrizes de lados

que se encontram em um único ponto.

37


Denomina-se circuncentro o ponto de encon-tro das três mediatrizes dos lados de um triân-gulo. É o centro da circunferência circunscritaao triângulo.

1. Reconheça nos seguintes triângulos o seg-mento

⎯AO como mediana, bissetriz ou altura:

a) b)

c)

Solução

Mediana; Bissetriz e Altura

2. No triângulo ABC a seguir, AM é a mediana.Determine o perímetro desse triângulo.

Solução

AM é a mediana, portanto MC = 1,9cm logo olado BC = 3,8cm

P = 2,2cm + 3,5cm + 3,8cm

P = 9,5cm.

1. Com auxílio de régua e compasso, construaum triângulo cujas medidas dos lados sejam6cm, 5cm e 8cm. Em seguida, trace suas bis-setrizes e determine o seu incentro.

2. Desenhe um triângulo cujas medidas doslados sejam 7cm, 4cm e 6cm. A seguir, deter-mine o ortocentro.

3. Responda:

a) Qual é o nome do ponto de intersecção dasmediatrizes dos lados de um triângulo? Aque corresponde esse ponto?

b) Qual é o nome do ponto de intersecção dasbissetrizes internas de um triângulo? A quecorresponde esse ponto?

4. No triângulo ABC da figura, AH corresponde àaltura, à mediana ou à bissetriz?

5. Classifique os segmentos ⎯AR,

⎯AS e

⎯AT do triân-

gulo ABC, como: altura, mediana ou bissetriz.

6. No triângulo ABC a seguir, AM é a mediana.Determine o perímetro desse triângulo.

38


TEMA 11

QUADRILÁTEROS

Um breve histórico

Tanto entre os sumérios como entre os egíp-cios, os campos primitivos tinham forma retan-gular. Também os edifícios possuíam plantasregulares, o que obrigava os arquitetos a cons-truírem muitos ângulos retos (de 90o). Emborade bagagem intelectual reduzida, aqueleshomens já resolviam o problema como umdesenhista de hoje. Por meio de duas estacascravadas na terra, assinalavam um segmentode reta. Em seguida, prendiam e esticavamcordas que funcionavam à maneira de com-passos: dois arcos de circunferência se cortame determinam dois pontos que, unidos,secionam perpendicularmente a outra reta, for-mando os ângulos retos.

O problema mais comum para um construtor étraçar, por um ponto dado, a perpendicular auma reta. O processo anterior não resolve esteproblema, em que o vértice do ângulo reto jáestá determinado de antemão. Os antigosgeômetras solucionavam-no por meio de trêscordas, colocadas de modo a formar os ladosde um triângulo retângulo.

Definição

Dados quatro pontos A, B, C e D coplanares, dis-tintos e não-colineares três a três. Se os segmen-tos

⎯AB,

⎯BC,

⎯CD e DA interceptam-se apenas nas

extremidades, denominamos quadrilátero areunião desses quatro segmentos.

Elementos:

• Vértices: A, B, C e D;

• Ângulos: A (DAB), B (A BC), C (B CD) eD(CDA);

• Lados: ⎯AB,

⎯BC,

⎯CD,

⎯AD

• Diagonais: AC e ⎯BD.

O quadrilátero possui 2 diagonais (segmentoque tem como extremidades dois vértices nãoconsecutivos), soma dos ângulos internos iguala 360º e soma dos ângulos externos igual a 360º.

CASOS NOTÁVEIS

Trapezóide

Definição

É o quadrilátero que não possui lados paralelos.

Trapézio

Definição

Um quadrilátero plano convexo é um trapéziose, e somente se, possui dois lados paralelos.

⎯AD //

⎯BC

Os lados paralelos do trapézio são chamadosde bases.

Podemos classificar os trapézios de acordocom os lados não-bases como:

• Isósceles: os lados não-bases são congru-entes.

⎯AD ≡

⎯BC

• Escaleno: os lados não-bases não são con-gruentes.

AD < ⎯BC

39


• Retângulo, possui dois ângulos retos.

Os ângulos B e C são suplementares.

Paralelogramo

Definição

Um quadrilátero plano convexo é um paralelo-gramo se, e somente se, possui os lados opos-tos paralelos.

ABCD é paralelogramo ⇔ ⎯AC//

⎯BD e

⎯AB//

⎯CD.

Retângulo

Definição

Um quadrilátero plano convexo é um retângu-lo se, e somente se, possui os quatro ânguloscongruentes.

ABCD é retângulo ⇔ A ≡ B ≡ C ≡ D.

Losango ou Rombo

Definição

Um quadrilátero plano convexo é um losangose, e somente se, possui os quatro lados con-gruentes.

ABCD é losango ⎯CD ≡

⎯DA

Quadrado

Definição

Um quadrilátero plano convexo é um quadradose, e somente se, possui os quatro ânguloscongruentes e os quatro lados congruentes.

ABCD é quadrado ⇔ A ≡ B ≡ C ≡ D e ⎯AB ≡

⎯BC ≡

⎯CD ≡

⎯DA.

Propriedades

Trapézio qualquer

Em qualquer trapézio ABCD, nessa ordem, debases

⎯AB e

⎯CD temos:

De fato, como ⎯AB //

⎯CD temos

⎯AD e

⎯BC retas

transversais. Então:

Os ângulos A e D, assim como B e D, sãocolaterais internos. Logo, são suplementares.

Trapézio isósceles

Os ângulos adjacentes às bases são congru-entes.

Demonstração

• Pelos vértices da base menor traçamos re-tas perpendiculares às bases.

• Temos os triângulos semelhantes AA’D eBB’C, caso de semelhança do triânguloretângulo. Logo D ≡ C.

• Sendo A e D, assim como B e C, suple-mentares. Temos A ≡ B

40


1. Num trapézio isósceles, os ângulos adjacentesà mesma base são representados por 2x + 15ºe 3x – 25º. Determinar a medida de cada umdos ângulos do trapézio.

Solução

2x + 15 = 3x – 25 ⇒ x = 40º, logo os ângulosdas bases são: 95º e 85º.

Trapézio isósceles

As diagonais de um trapézio isósceles sãocongruentes.

Dado o trapézio ABCD.

Temos, por hipótese: ⎯AD ≡

⎯BC e pela demon-

stração anterior D ≡ C e A ≡ B. Tese: queremosmostrar que

⎯BD ≡

⎯AC.

Demonstração

Tomemos os triângulos ABD e ABC,

Note que, por hipótese,⎯AD ≡

⎯BC e A ≡ B, e

ainda temos o lado ⎯AB comum aos triângulos.

Pelo caso LAL de congruência, podemos afir-mar que

⎯BD ≡

⎯AC.

ParalelogramoOs ângulos opostos são congruentes.

Demonstração

Por hipótese, ⎯AB //

⎯CD, então

⎯AC é transver-

sal, logo A + C = 180º e, ⎯AC //

⎯BD, então

⎯CD

é transversal, daí C + D = 180º.

. De modo análogo, mos-

tramos B ≡ C.

2. Prove que a bissetriz de dois ângulos conse-cutivos de um paralelogramo cortam-se em umângulo reto.

Solução

Observe o paralelogramo ABCD,

Como os ângulos opostos são congruentes,podemos afirmar que:

e . Temos ainda α e β suple-

mentares, logo ⇒ V = 90º

Em todo paralelogramo, os lados opostos sãocongruentes.

Observe o paralelogramo ABCD. Tracemos adiagonal

⎯AC.

Queremos mostrar que ⎯AD ≡

⎯BC e

⎯AB ≡

⎯CD.

Demonstração

A reta suporte da diagonal ⎯AC é transversal às

retas suporte de ⎯AB e

⎯CD. Então os ângulos

BAC e ACD são congruentes (alternos internos).Os triângulos ABC e ACD são congruentes,caso LAAo (

⎯AC é comum, BAC ≡ ACD e B ≡ D).

Podemos concluir, pela congruência dos triân-gulos,

⎯AD ≡

⎯BC e

⎯AB ≡

⎯CD.

Em todo paralelogramo, as diagonais dividem-se ao meio.

41


Dado o paralelogramo ABCD, suas diagonais ea respectiva intersecção entre elas.

Os triângulos ABM e CMD são congruentes, casoALA (MAB ≡ MCB,

⎯AB ≡

⎯CD e ABM ≡ MDC).

Então, ⎯DM ≡

⎯MB ⇒ M é ponto médio da dia-

gonal ⎯BD e

⎯AM ≡

⎯MC ⇒ M é ponto médio da

diagonal ⎯AC, como queríamos demonstrar.

1. Determine o valor de x em cada um dos qua-driláteros:

a) b)

2. Observe a figura abaixo e responda aos itens:

a) Se ABCD for um trapézio isósceles, c = 80ºe d = 20º, quanto mede cada um dos ângu-los do trapézio?

b) Se ABCD for um trapézio escaleno, ê = 60º,b = 110º e CD ⊥ AE, quanto mede cada umdos ângulos do trapézio?

c) ABCD é um trapézio em que D = 60º,c = 85º e B = 130º; quanto mede o ê?

d) ABCD é um trapézio em que B CE = 160º eê = 50º; quanto mede o B?

3.

Pretende-se abrir um túnel numa montanha deA para B, tendo sido determinada a direcçãoAE de tal forma que o seu prolongamentopassa por B. Mas pretendendo também traba-lhar de B na direcção de A, determinou-seEAD = 82º, A DC = 98º e DCB = 112º.Quantos graus deve medir o CBF para que oprolongamento de BF passe por A.

4. Determine a medida x indicada no paralelo-gramo abaixo.

5. ABCD é um trapézio de bases ⎯AB e

⎯CD. Se

⎯DP

e ⎯CP são bissetrizes; determine x e B CD.

6. ABCD é um paralelogramo,⎯AP é bissetriz,

AP = 7cm e PC = 3cm; determine o perímetrodo paralelogramo.

7. Calcule os lados de um paralelogramo, saben-do que o seu perímetro mede 84m e que a

soma dos lados menores representa da

soma dos lados maiores.

8. Em um trapézio retângulo, a bissetriz de umângulo reto forma com a bissetriz do ânguloagudo do trapézio um ângulo de 110º. Deter-mine o maior ângulo do trapézio.

9. A soma dos ângulos consecutivos de umtrapézio é igual a 78º e sua diferença 4º. Deter-

42


mine o maior ângulo do trapézio.

10. (VUNESP) A afirmação falsa é:

a) Todo quadrado é um losango.

b) Existem retângulos que não são losangos.

c) Todo paralelogramo é um quadrilátero.

d) Todo quadrado é um retângulo.

e) Um losango pode não ser um paralelo-gramo.

11. Do trapézio da figura, sabe-se que AD = DC =CB e BD = BA. O ângulo D mede:

a) 36º b) 60ºc) 72º d) 108ºe) 144º

12. Em um trapézio retângulo, a bissetriz de umângulo reto forma com a bissetriz do ânguloagudo do trapézio um ângulo de 110º. Deter-mine o maior ângulo do trapézio.

13. Em um trapézio retângulo, o menor ângulomede 32º. O maior ângulo desse polígonomede:

a) 138ºb) 148ºc) 158ºd) 168ºe) 178º

14. (CESGRANRIO) As base ⎯MQ e

⎯NP de um

trapézio medem 42cm e 112cm respectiva-mente. Se o ângulo M QP é o dobro do ânguloP NM, então o lado

⎯PQ mede:

a) 154cm

b) 133cm

c) 91cm

d) 77cm

e) 70cm

TEMA 12

QUADRILÁTEROS

Retângulo, losango e quadrado – principaispropriedades e aplicações.

Retângulo

Da primeira propriedade de paralelogramo quedemonstramos, os ângulos opostos são con-gruentes, o retângulo é um paralelogramo. En-tão, valem as propriedades do paralelogramono retângulo. Vejamos outras propriedades doretângulo.

No retângulo, as diagonais são congru-entes.

Demonstração

Hipótese: ABCD é retângulo.

Tese: ⎯AC ≡

⎯DB.

ABCD é retângulo ⇒ ABCD é paralelogramo⇒ ⎯

AD ≡ ⎯BC e

⎯AB ≡

⎯CD.

O triângulo ΔABD é congruente ao triânguloΔACD, pois,

⎯AD é comum, A ≡ D = 90º e⎯

AB ≡ ⎯CD. Caso LAL. Logo

⎯AC ≡

⎯DB.

Todo paralelogramo que tem diagonais con-gruentes é um retângulo.

Demonstração

Hipótese: ABCD é paralelogramo e ⎯AC ≡

⎯DB.

Tese: ABCD é retângulo.

Tomemos os triângulos:

43


e

Observe que ⎯AD ≡

⎯BC,

⎯AC ≡

⎯DB (hipótese) e⎯

CD é comum. Pelo caso LLL, podemos afirmarque ΔBCD ≡ ΔACD, então, BCD ≡ ADC. ComoABC ≡ ADC e DAB ≡ BCD, ABCD é um parale-logramo. Temos:

A ≡ B ≡ C ≡ D = 90º, logo ABCD é retângulo.

O RETÂNGULO ÁUREO

Vamos ver um retângulo que tem uma pro-priedade interessante. Ele é chamado deretângulo áureo ou retângulo de ouro e é opreferido dos artistas e arquitetos.

O retângulo áureo tem uma propriedade inte-ressante. Considere um retângulo áureoABCD de onde foi retirado um quadradoABEF, como mostra a figura:

O retângulo que sobra, EFCD, é semelhanteao retângulo ABCD.

Seja x a medida do lado ⎯AB e y a medida do

lado ⎯AD. Então, vale a proporção:

De onde se deduz que x2 = y2 – yx, ou seja,x2 + yx – y2 = 0.

Resolvendo a equação em x, tem–se:

Se y = 1, então x = 0,618. Se x = 1, então

y = 1, 618

O número irracional 1,618... é chamado razãoáurea.

A construção do retângulo áureo é simples.Basta seguir o esquema:

O retângulo AHCG é áureo.

Com o auxílio de um compasso, podemostraçar uma espiral, como a do Nautilus marinho.

Losango

Lembre-se de que o losango é um paralelo-gramo com lados opostos congruentes.

Todo losango possui as diagonais perpen-diculares entre si.

Demonstração

44


Hipótese: ABCD é losango, e ⎯AC e

⎯BD são

suas diagonais.

Tese: ⎯AC ⊥

⎯BD.

Pelo caso LLL, temos as seguintes congruên-cias: ΔAMB ≡ ΔCMD ≡ ΔAMD ≡ ΔCMB, logo osângulos do vértice M são congruentes e iguaisa 90º.

Todo paralelogramo que tem diagonais per-pendiculares é um losango.

Demonstração

Hipótese: ABCD é paralelogramo e ⎯AC ⊥

⎯BD.

Tese: ABCD é losango.

Basta tomar os mesmos triângulos da demons-tração anterior usando, agora o caso LAL decongruência.

ΔAMB ≡ ΔCMD ≡ ΔAMD ≡ ΔCMB e, portanto,⎯AB ≡

⎯BC ≡

⎯CD ≡

⎯DA.

Quadrado

Todo quadrado é retângulo e losango.

É retângulo, pois A ≡ B ≡ C ≡ D = 90º, e élosango porque

⎯AB ≡

⎯BC ≡

⎯CD ≡

⎯DA.

BASES MÉDIAS

Triângulo

São os segmento que têm como extremidadesos pontos médios de dois lados de um triângulo.

•⎯XZ é base média relativa ao lado

⎯BC.

•⎯YZ é base média relativa ao lado

⎯AB.

•⎯XY é base média relativa ao lado

⎯AC.

A base média é paralela ao terceiro lado.

Demonstração

Hipótese: ⎯AX ≡

⎯XB e

⎯AZ //

⎯ZC.

Tese: ⎯XZ //

⎯BC.

Por C traçamos uma reta paralela ao segmen-to

⎯AB, encontramos sua intersecção com a re-

ta suporte do segmento ⎯XZ.

Temos: ⇒ BAC ≡ A CD, alternos inter-nos. Pelo caso ALA, temos ΔAXZ ≡ ΔCDZ ⇒⎯CD ≡

⎯AX ≡

⎯XB ⇒ BCDX é um paralelogramo e,

portanto,⎯XZ //

⎯BC.

Observe também que ⎯XZ ≡

⎯ZD, logo Z é ponto

médio de ⎯XD. Então, . O que nos leva

a outra propriedade.

A base média é igual à metade do terceirolado.

45


1. No triângulo ABC de lados AB = 13cm, BC =9cm e AC = 8cm, e M, N e P, pontos médiosdos lados

⎯AB,

⎯BC e

⎯AC, respectivamente.

Calcule o perímetro do triângulo MNP.

Solução

O lado MP é base média do lado AB, portantoMP = 6,5cm. De modo análogo, encontramosNP = 4cm e MN = 4,5cm. Temos, então,2pΔMNP = 15cm.

Trapézio

A base média de um trapézio é o segmentoque tem extremidades nos pontos médios doslados não-paralelos.

A base média de um trapézio é paralela àsbases deste.

Demonstração

Hipótese: ABCD é um trapézio, M é pontomédio do lado

⎯AD e N é ponto médio

⎯BC.

Tese: ⎯MN //

⎯AB e

⎯MN //

⎯CD.

Chamamos de E a intersecção das retas e.

Observando os triângulos BEN e CDN, temos:⎯BN ≡

⎯NC, BNE ≡ C ND (o.p.v.) e BEN ≡ N DC

(alternos internos).

Pelo caso LAAo, ΔBEN ≡ ΔCDN ⇒ ⎯BE ≡

⎯CD e

⎯NE ≡

⎯ND.

Do ΔADE temos: M ponto médio do lado ⎯AD e N

ponto médio do lado ⎯DE, daí

⎯MN //

⎯AB e

⎯MN //

⎯CD.

Observe, também que , como

⎯BE ≡

⎯CD (ΔBEN ≡ ΔCDN), concluímos que

. Podemos, então, enunciar:

A base média de um trapézio é a média arit-mética de suas bases.

2. Prove que os pontos médios de um quadri-látero qualquer é um paralelogramo.

Solução

Dado o quadrilátero ABCD, por seus pontosmédios determinamos o quadrilátero MNPQ.

Pela diagonal AC, temos:

PQ é base média do triângulo ACD e MN é

base média do triângulo ABC, então

e ainda PQ//MN. De modo aná-

logo mostramos que e PN//QN.

1. Usando um barbante de comprimento 144cm,construímos um triângulo eqüilátero e com omesmo barbante construímos depois um qua-drado. Determine a razão entre a altura dotriângulo e a diagonal do quadrado.

2. Gabriel deseja construir uma canoa com for-mas geométricas, conforme a figura seguinte.

46


Usando uma fita métrica, Gabriel verificou que suacanoa tem o perímetro, na superfície consideradano desenho, igual a 845cm. Ajude o Gabriel aencontrar a medida do lado do triângulo na proa.

3. Considere um quadrilátero ABCD cujas diago-nais AC e BD medem, respectivamente, 13cme 6cm. Se M, N, P e Q são os pontos médiosdo quadrilátero dado, o perímetro do quadri-látero MNPQ é igual a:

a) 35cm b) 25cm

c) 19cm d) 17,5cm

e) 9,5cm

4. Considere o trapézio ABCD de base média ⎯MN,

sabendo que CD = x e AB = y, mostre que

(mediana de Euler).

5. Calcule x no trapézio abaixo:

6. Calcule x e y no trapézio abaixo:

7. Calcule x, y e z no trapézio abaixo:

8. Sabendo que MN = x – 2y + 5, calcule amediana de Euler no trapézio:

9. Em um trapézio, a base maior mede 12cm e adiferença entre a base menor e a mediana deEuler mede 3cm. A base média desse trapéziomede:

a) 7cm b) 8cm

c) 9cm d) 10cm

e) n.r.a.

10. Calcule a base menor de um trapézio sabendoque a soma da base média com a mediana deEuler é igual a 12cm e que a razão entre asbases é 2.

a) 5cm b) 6cm

c) 8cm d) 9cm

e) n.r.a.

11. Em um trapézio, as diagonais dividem a basemédia em segmentos proporcionais a 2, 1, 2. Arazão entre as bases do trapézio é:

a) b)

c) d)

e)

47


12. Prove que a altura de um trapézio retânguloque tem o ângulo agudo medindo 30º é igual àmetade do lado não perpendicular às bases.

13. Num trapézio isósceles ABCD, a base menor⎯AB é congruente aos lados não-paralelos.Prove que as diagonais são bissetrizes dosângulos C e D.

14. Pelo ponto médio M da base ⎯BC de um triân-

gulo isósceles ABC traçamos os segmentos⎯MN e

⎯MQ respectivamente paralelos aos lados⎯

AB e ⎯AC do triângulo. Prove que APMC é um

losango.

TEMA 13

POLÍGONOS

Linhas poligonais e polígonos

Linha poligonal é uma sucessão de segmentosconsecutivos e não-colineares, dois a dois.Classificam-se em:

Linha poligonal Linha poligonal fechada simples fechada não-simples

Linha poligonal Linha poligonal aberta simples aberta não-simples

Polígono é uma linha fechada simples. Umpolígono divide o plano em que se encontraem duas regiões (a interior e a exterior), sempontos comuns.

Elementos de um polígono

Um polígono possui os seguintes elementos:

Lados: Cada um dos segmentos de reta queune vértices cosecutivos:

⎯AB,

⎯BC,

⎯CD,

⎯DE,

⎯EA.

Vértices: Ponto de encontro de dois ladosconsecutivos: A, B, C, D, E.

Diagonais: Segmentos que unem dois vérticesnão-consecutivos:

⎯AC,

⎯AD,

⎯BD,

⎯BE,

⎯CE.

Ângulos internos: Ângulos formados por doislados consecutivos: EAB, ABC, BCD, CDE eDEA.

48


Ângulos externos: Ângulos formados por umlado e pelo prolongamento do lado a ele con-secutivo: a1, b1, c1, d1 e e1.

Classificação dos polígonos quanto aonúmero de lados.

POLÍGONOS

Nomeando polígonos

Para se construir o nome de um polígono commais de 20 lados e menos de 100 lados, bastacombinar os prefixos e os sufixos a seguir:

Classificação dos polígonos

• Um polígono é denominado simples se elefor descrito por uma fronteira simples e quenão se cruza (daí divide o plano em umaregião interna e externa); caso contrário, édenominado complexo.

• Um polígono simples é denominado con-vexo se não tiver nenhum ângulo internocuja medida seja maior que 180°, caso con-trário, é denominado côncavo.

• Um polígono convexo é denominado cir-cunscrito a uma circunferência ou polígonocircunscrito se todos os vértices per-tencerem a uma mesma circunferência.

• Um polígono inscritível é assim denomina-do se todos os seus lados e todos os seusângulos forem congruentes.

Alguns polígonos regulares

• Triângulo equilátero

• Quadrado

• Pentágono regular

• Hexágono regular

Propriedades dos polígonos

• O número de diagonais (d) de um polígono

é dado por , onde n é o número

de lados do polígono.

Dedução

De cada vértice de um polígono de n lados,saem n – 3 diagonais (não contamos o própriovértice nem os dois vértices adjacentes).

Como temos n vértices, o número de diagonaisé dado por n.(n – 3).

Cada diagonal é contada duas vezes, pois temmesma extremidade. Por exemplo, a diagonal⎯AF, partindo do vértice A, é a mesma diagonal⎯FA com origem em F.

Logo, o número de diagonais é:

NOME LADOS NOME LADOS

TRIÂNGULO 3 QUADRILÁTERO 4

PENTÁGONO 5 HEXÁGONO 6

HEPTÁGONO 7 OCTÓGONO 8

ENEÁGONO 9 DECÁGONO 10

HENDECÁGONO 11 DODECÁGONO 12

TRIDECÁGONO 13 TETRADECÁGONO 14

PENTADECÁGONO 15 HEXADECÁGONO 16

HEPTADECÁCOGO 17 OCTODECÁGONO 18

ENEADECÁGONO 19 ICOSÁGONO 20

TRIACONTÁGONO 30 TETRACONTÁGONO 40

PENTACONTÁGONO 50 HEXACONTÁGONO 60

HEPTACONTÁGONO 70 OCTOCONTÁGONO 80

ENEACONTÁGONO 90 HECTÁGONO 100

QUILÓGONO 1000 GOOGÓLGONO 10100

49


1. Determine o número de diagonais de um polí-gono convexo de 17 lados (heptadecácogo).

Solução:

d = 119 diagonais.

2. Dê o nome do polígono convexo que possui 54diagonais.

Solução

n = 12 ou n = –9

Portanto o polígono é o dodecágono.

• A soma das medidas dos ângulos internosde um polígono de n lados (Si) é dada porSi = (n – 2).180º.

Dedução

Vamos tomar um polígono convexo com n vér-tices:

Sabemos que para cada vértice temos (n – 3)diagonais. Fixando um desses vértices, dividi-mos o polígono dado em (n – 2) triângulos.Como em cada triângulo a soma dos ângulosinternos é igual a 180º, temos para o polígono den lados a soma (Si) dos ângulos internos igual a:

Si = (n – 2).180º

• A soma das medidas dos ângulos externosde um polígono de n lados é Se = 360º.

Dedução

Cada ângulo externo (ei) é suplementar do

ângulo interno (ai) correspondente:

Daí:

Se = n . 180º – Si ⇒ Se = n . 180º – n . 180º + 2.180º⇒ Se = 360º

• A medida do ângulo interno de um polígo-no regular de n lados (ai) é dada por

.

• A medida do ângulo externo de um polígo-no regular de n lados (ae) é dada

por .

Então, A¡ = 180° – Ae = 180° – 60° = 120°.

3 Qual é o polígono regular cujo ângulo internovale 1,5 do ângulo externo?

Solução

Logo o polígono procurado é um pentágonoregular.

50


TEMA 14

POLÍGONOS

1. Usando as tabelas de classificação dos polí-gonos convexos, quanto ao número de lados,dê o nome dos polígonos com número delados igual a:

a) 33 b) 19

c) 46 d) 68

e) 97

2. Um polígono tem o número de diagonais igual

a do número de lados, encontre o número

de lados e classifique-o.

3. Calcule a medida do ângulo interno e do ângu-lo externo de um pentadecágono regular.

4 Em um polígono regular, com um número par

de lados, tem diagonais que não pas-

sam pelo seu centro. Sabendo que a soma dasmedidas dos ângulos internos de um polígonoregular é 2 160º. Encontre o número de diago-nais que não passam pelo seu centro.

5. Um polígono regular apresenta 35 diagonais.O ângulo interno desse polígono mede, emgraus:

a) 108 b) 120

c) 144 d) 150

e) 180

6. Sabendo que ⎯AP e

⎯PC são bissetrizes, calcule

x nas figuras abaixo:

a)

b)

7. Determine o maior ângulo de um pentágono cu-jos ângulos internos estão na razão 3:3:3:4:5.

8. As mediatrizes de dois lados consecutivos deum polígono regular formam um ângulo de 24o.Determine o número de diagonais desse polí-gono.

9. Na figura abaixo, determine a soma das medi-das dos ângulos. a, b, c, d, e, f.

10. Um polígono convexo tem 5 lados mais do queo outro. Sabendo que o número total de dia-gonais vale 68, determine o número de diago-nais de cada polígono.

11. Na figura abaixo, determine a soma das medi-das dos ângulos. a, b, c, d, e, f.

12. Na figura abaixo, encontre a medida de α.

51


13. Qual o polígono regular que tem 6 diagonaispassando pelo seu centro?

14. (CESGRANRIO) Se um polígono convexo de nlados tem 54 diagonais, então n é:

a) 8 b) 9

c) 10 d) 11

e) 12

15. (U.MACK) A medida em graus do ângulo inter-no de um polígono regular é um númerointeiro. O número de polígonos não-seme-lhantes que possuem essa propriedade é:

a) 24

b) 22

c) 20

d) 18

e) n.d.a.

16. Considere um polígono regular de n lados,com n > 4. Prolongando os lados desse polí-gono, formaremos uma estrela com n vértices.Mostre que a medida, em graus, de cada vér-tice da estrela construída é dada por

.

52


UNIDADE IIIElementos na circunferência

55

Geometria I – Elementos na circunferência

TEMA 15

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO

FERNÃO DE MAGALHAESA tentativa de circunavegar a Terra

Fidalgo e navegador português, nasceu emTrás-os-Montes por volta de 1480. Distinguiu-se em várias expedições às Indias Orientais.De volta a Portugal, indisposto com o rei D.Manuel I, resolveu emigrar para a Espanhaonde ofereceu seus serviços ao ImperadorCarlos V. Em 1519, partiu da Espanha coman-dando cinco embarcações em busca de umapassagem para as lndias pelo Ocidente. Atra-vessou o Atlântico e visitou o litoral brasileiro,tendo reabastecido seus navios na Baía deGuanabara. Continuando rumo ao sul, costeoua Argentina e, no extremo sul, descobriu oestreito que levaria seu nome e que era, defato, a passagem para as Índias. Uma vez nooceano, batizado por ele de Pacífico, rumoupara o nordeste, descobrindo as ilhas Maria-nas e as Filipinas, onde veio a falecer em com-bate contra os nativos da região. Seu piloto-mor, Sebastião Elcano, completou a viagem decircunavegação pioneira que levaria a únicaembarcação restante, “Vitória”, de volta àEspanha, em setembro de 1522.


Antes de definir cada um, é interessante res-saltar uma grande confusão existente entre osalunos, professores e até alguns autores. Aconfusão aparece de forma mais evidentequando tratamos de áreas de figuras planas oumesmo na simples referência a determinadosobjetos.

Circunferência

Definição

É o conjunto de todos os pontos de um planoque eqüidistam de um ponto dado.

“Construindo” a definição

Tome um ponto no plano (O), determine umoutro ponto (P) distinto do primeiro, chame der a distância entre eles; determinar a circunfe-rência é “encontrar”, no plano, todos os pontosque distam r unidades de O.

Temos aí uma circunferência de raio r e centro O.

Elementos da circunferência

Corda

É qualquer segmento com extremidades nacircunferência.

Na figura, ⎯TU,

⎯PQ e

⎯VX são cordas.

Quando o centro da circunferência pertence àcorda, ela é denominada diâmetro, e sua me-dida é igual ao dobro do raio da circunferência.

Arco de circunferência

É o conjunto dos pontos que estão entre doispontos distintos da circunferência dada.

56


Observe que obtemos dois arcos com os pon-tos A e B. É necessário fornecer um outroponto do arco que se quer tomar ou ângulo aoqual está associado.

Se os pontos tomados na circunferência sãoas extremidades do diâmetro, o arco formadopor eles é denominado de semicircunferência.

Círculo ou disco

Observe a circunferência

Os pontos Q e T não pertencem à circunferên-cia, pois,

⎯OQ ≠ r e

⎯OT ≠ r, e mais

⎯OT <

⎯OQ < r.

Os pontos com as características de Q e T sãopontos interiores à circunferência.

Definição

Chamamos de círculo o conjunto dos pontos deum plano cuja distância a um ponto dado des-se plano é menor ou igual a uma distância (não-nula dada), ou ainda, a união da circunferênciacom o conjunto de seus pontos interiores.

Os elementos que definimos para circunferên-cia são os mesmos para o círculo, e não reci-procamente.

A circunferência é um subconjunto do disco.

Setor circular

Considere os pontos distintos A e B de um cír-culo de centro O; chamamos de setor circularo conjunto formado pela união dos pontos dossegmentos

⎯AO e

⎯OB e dos pontos do circulo

que são interiores ao ângulo AÔB.

Assim como no caso dos arcos, o setor circulardetermina uma situação dúbia. Salvo outra infor-mação, para evitar dubiedade, consideraremossempre o menor arco ou o menor setor circular.

Segmento circular

Dado um círculo de centro O e raio r, tracemosa reta suporte de uma corda; essa reta divide oplano em dois semiplanos. A intersecção decada semiplano com o círculo é chamado desegmento circular.

Consideraremos, quando não for evidenciadoo segmento circular, aquele que não contém ocentro do círculo (o menor).

No caso em que tratamos o segmento circularpelo diâmetro do círculo, falaremos em semi-círculo.

Posições relativas de reta e circunferência

Secante

É a reta que intercepta a circunferência emdois pontos distintos.

Se M é ponto médio de ⎯AB, a reta suporte de⎯

OM é perpendicular à reta s.

Demonstração

Os triângulos OMB e OMA são congruentes(caso LLL), então OMB ≡ OMA. Observe que

esses ângulos são suplementares, logo sãoretos; então s ⊥ t.

Tangente

É a reta que intercepta a circunferência numúnico ponto.

Toda reta perpendicular a um raio na suaextremidade da circunferência é tangente àcircunferência.

Para demonstrar essa propriedade, basta to-mar um ponto (Q) na reta, distinto de P, e ve-rificar que

⎯OQ é hipotenusa do triângulo OPQ,

então ⎯OQ >

⎯OP = r. Finalmente, podemos

afirmar que Q é exterior à circunferência e P é aúnica intersecção da reta com a circunferência.

Exterior

A reta não intercepta a circunferência.

Posições relativas de duas circunferências

Considere duas circunferências δ1 e δ2 de cen-tros O1 e O2 e raios r1 e r2 respectivamente.Chamemos de d a distância entre seus centros;classificamos suas posições relativas em:

Tangente interna

d = r1 – r2

Tangente externa

d = r1 + r2

Internas

d < r1 – r2

Externas

d > r1 + r2

Secantes

r1 – r2 < d < r1 + r2

1. Duas circunferências são tangentes interna-mente, e a soma dos raios 30cm. Se a distân-cia entre os centros é 6cm, determine os raios.

Solução

d = R – r ⇒ R – r = 6 .

Segmentos Tangentes

Os segmentos das tangentes traçadas de umponto exterior a um círculo são congruentes.

Demonstração

Dados o círculo δ e um ponto P exterior ao

57


58


círculo, tracemos os segmentos ⎯AP e

⎯AB tan-

gentes a δ.

Os triângulo ΔAOP e ΔBOP são congruentes (ca-teto e hipotenusa congruentes), então

⎯AP ≡

⎯BP.

2. Na figura abaixo, temos ⎯PA = 2x + 20 e

⎯⎯PB =

5x – 7, calcule x.

Solução

5x – 7 = 2x + 20 ⇒ 3x = 27 ⇒ x = 9

Teorema de Pitot

Um quadrilátero é circunscritível (os quatro la-dos são tangentes ao círculo) se, e somentese, a soma dos lados opostos forem iguais.

Demonstração

Considere o quadrilátero ABCD circunscrito aum círculo δ, e sejam M, N, P e Q os pontos detangência de ABCD com δ.

Pelo teorema anterior⎯AQ ≡

⎯AM,

⎯MB ≡

⎯BP,

⎯PC ≡⎯

CN e⎯ND ≡

⎯DQ. Daí, temos:

logo, ⎯AB +

⎯CD =

⎯AD +

⎯CB.

TEMA 16


1. Determine o raio dos círculos abaixo:

a)

b)

2. Na figura dada, as circunferências são tan-gentes duas a duas:

⎯AB = 4,5cm,

⎯BC = 7cm e⎯

AC = 5,5cm. O comprimento da menor circun-ferência é igual a:

a) πr b) 2πr

c) 3πr d) 4πr

e) 5πr

3. Na figura abaixo, PT é tangente à circunferên-cia. O valor de

⎯OP é:

a) b)

c) d)

e)

4. A distância entre os centros de duas circunfe-rências tangentes internamente é 5cm. Se asoma dos raios e 11cm, determine os raios.

5. Duas circunferências são secantes, sendo 20cma distância entre seus centros. Sabendo que oraio da circunferência menor mede 11cm, deter-mine o raio da maior, que é múltiplo de 6.

6 As bases de um trapézio isósceles circunscritoa uma circunferência medem 12m e 9m. Aaltura, em metros, desse trapézio é:

a)

b)

c)

d)

e)

7 (UF–CE) Duas tangentes são traçadas a um cír-culo de um ponto exterior A e tocam o círculo nospontos B e C, respectivamente. Uma terceira tan-gente intercepta o segmento AB em P e AC em Re toca o círculo em Q. Se

⎯AB = 20cm, então o

perímetro do triângulo APR, em cm, é igual a:

a) 39,5 b) 40

c) 40,5 d) 41

e) 41,5

8. Dado o triângulo ABC da figura abaixo,

mostre que .

9. Considere duas circunferências, uma de centroO1 e raio 16cm e outra de centro O2 e raio 10cm.Dê a posição ocupada pelas duas circunferên-cias quando a distância entre seus centros éigual a:

a) 26cm

b) 20cm

c) 30cm

d) 6cm

10. Na circunferência da figura seguinte, a medidado diâmetro é 40cm. Calcule o perímetro doquadrilátero ABCD.

59


TEMA 17

ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA

Ângulo central

É todo ângulo cujo vértice coincide com o cen-tro da circunferência. Sua medida é igual à me-dida do arco correspondente.

Ângulo inscrito

É todo ângulo cujo vértice está na circunferên-cia e cujos lados são secantes a ela. A medidado ângulo inscrito é igual à metade da medidado arco correspondente.

Todo ângulo inscrito numa semicircunferênciaé reto.

Ângulo de vértice interno ou ângulo excêntrico interior

A medida de um ângulo de vértice interno éigual à semi-soma das medidas dos arcos de-terminados pelos seus lados.

Ângulo de vértice externo ou ângulo excêntrico interior

A medida de um ângulo de vértice externo éigual à semidiferença dos arcos de terminadospelos seus lados.

Ângulos de segmento

É todo ângulo cujo vértice pertence à circunfer-ência, sendo um de seus lados secante e ooutro tangente à circunferência. A medida deum ângulo de segmento é igual à metade doarco por ele determinado.

1. Na figura, calcule a medida do arco AB.

Solução

2. Dada a figura:

60


Encontre α.

Solução

3. Na figura, o ângulo P, medido em graus, exce-de de 12º, o arco CD e é igual a 3/8 do arco AB;encontre a medida do arco CD.

Solução

Chamando arcoCD = x e arcoAB = y, temos:

X = 24º

TEMA 18


1. Determine o valor do ângulo x nos casos abaixo:

a)

b)

c)

d)

2. Na figura, , calcule o valor de α.

61


3. Sabendo que a = 90º, b = 40º e c = 15º, oângulo α da figura mede:

a) 20º b) 22º

c) 25º d) 50º

e) n.r.a.

4. Na figura, BAC = 46º e BCA = 28º; calculeA BC.

a) 96º b) 106º

c) 112º d) 115º

e) 118º

5. Em um círculo de centro O, prolonga-se umacorda AB de um segmento BC igual ao raio deum comprimento BC igual ao raio. A reta COcorta o círculo em D e E (D entre O e C). SeACE = 20º, AOE mede:

a) 60º b) 80º

c) 40º d) 45º

e) n.r.a.

6. Na figura, o arco CMD é igual a 100º, e o arcoANB mede 30º. Calcule o valor de x.

7. Determine as medidas dos ângulos de umtriângulo, obtido pelos pontos de tangência docirculo inscrito com os lados de um triânguloABC, sendo A = 60º, B = 40º e C = 80º.

8. Na figura, ⎯AB é um diâmetro, a corda

⎯AM é o

lado do triângulo eqüilátero inscrito, e ⎯BN, o

lado do quadrado inscrito. Calcule o ângulo α,formado pelas tangentes

⎯PM e

⎯PN.

9. Determine a razão entre os ângulos α e β da figu-ra abaixo, sabendo que a reta r tangencia a cir-cunferência no ponto A e que os arcos AB, BC, eAC são proporcionais aos números 2, 9 e 7.

10. Determine o menor ângulo formado por duasretas secantes a uma circunferência, conduzi-das por um ponto P externo, sabendo que es-sas secantes determinam na circunferência doisarcos cujas medidas valem 30º e 90º.

11. (PUC–SP) Na figura, AB é diâmetro da circun-ferência. O menor dos arcos (AC) mede:

a) 100º b) 120º

c) 140º d) 150º

e) 160º

12. (CESGRANRIO) As semi-retas PM e PN sãotangentes ao círculo da figura, e o comprimen-to do arco MGN é 4 vezes o do arco MFN. Oângulo M PN vale:

62


a) 76º b) 80º

c) 90º d) 108º

e) 120º

13. Sejam os pontos A, B, C e D de um círculo taisque

⎯AB e

⎯CD sejam, respectivamente, os lados

do pentágono e pentadecágono regulares ins-critos. As retas

⎯AD e

⎯BC formam um ângulo de:

a) 20º b) 24º

c) 36º d) 44º

e) 46º

TEMA 19

POLÍGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS

Polígono circunscrito

É o polígono que possui seus lados tangentes àcircunferência. Ao mesmo tempo, dizemos queesta circunferência está inscrita no polígono.

Um caso especial da circunscrição é o teoremade Pitot, já demonstrado no tema anterior. Umquadrilátero é circunscritível se, e somente se,a soma dos lados opostos forem iguais.

1. Calcule o valor do raio do círculo inscrito notrapézio retângulo.

Solução

12 + 19 = 14 + 2r ⇒ 2r = 17 ⇒

2. A hipotenusa de um triângulo retângulo mede10cm e o raio do círculo inscrito mede 1cm.Calcule o perímetro do triângulo.

Solução

2P = 2.(x + y + 1) e x + y = 102P = 22cm

63


Teorema Fundamental

Se uma circunferência é dividida em N (n > 3)

arcos congruentes entre si, então:

a) As cordas que unem os pontos de divisão

consecutivos formam um polígono regular

inscrito de n lados.

b) As tangentes traçadas pelos pontos de divi-

são formam um polígono regular circunscri-

to com n lados.

Recíproca: todo polígono regular é inscritível e

circunscritível.

Polígonos regulares inscritos

Triângulo eqüilátero

• (apótema)

• l =

•

Quadrado

• l =

• (apótema)

Hexágono regular

• R = l

• (apótema)

3. Na figura, o raio da circunferência mede 5cm,os segmentos AB e BC representam, respecti-vamente, os lados de um hexágono regular ede um quadrado inscritos. Nessas condições,calcule o produto dos perímetros do quadradoe do hexágono.

Solução

Do quadrado, temos lQ = cm

2PQ = cm.

Do hexágono, temos lH = 5cm

2PH = 30cm.

2PQ . 2PH = . 30 = 600 cm2

64


4. Dado um quadrado de lado 8cm, determine oraio da circunferência inscrita (r) e o raio da cir-cunferência circunscrita (R) a esse quadrado.

Solução

cm

Polígonos regulares circunscritos

Triângulo eqüilátero

• l = • a = r• h = 3r

Quadrado

• l = 2r• a = r

Hexágono regular

• a = r

•

5. Determine a razão entre o apótema do quadra-do e o apótema de um hexágono regular, cir-cunscritos a um círculo de raio r.

Solução

Tanto no quadrado como no hexágono, o apó-tema é igual ao raio da circunferência que osinscreve.

Portanto a razão é igual a 1.

6. Dado um triângulo eqüilátero de 6cm de altura,calcule o raio do círculo inscrito (r) e o raio docírculo circunscrito (R) a esse triângulo.

Solução

r = ⇒ r = 2cm

R = ⇒ R = 4cm

65


TEMA 20


1. O perímetro de um quadrado inscrito numa cir-cunferência mede cm. Encontre o diâ-metro do circulo ao qual esse quadrado estácircunscrito.

2. Determine o raio da circunferência circunscritaao polígono regular de 12m de lado nos casos:

a) Quadrado

b) Hexágono

c) Triângulo

3. Na figura, as retas que passam pelos pontos A,B e C são tangentes à circunferência de raio 5cm e as retas r, s e m são paralelas. De acordocom os dados na figura, o valor de x, em cm, é:

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14

4. Dado um triângulo eqüilátero de 9cm de altura,calcule:

a) o raio do círculo inscrito;

b) o lado;

c) o apótema;

d) o raio do círculo circunscrito.

5. Um triângulo ABC está inscrito em um círculode raio 6cm e tem seu ângulo interno A = 30º.Se o perímetro do triângulo é igual a 16cm, asoma AB + AC é igual a:

a) 6cm b) 9cmc) 10cm d) 11cme) 13cm

6. O apótema de um hexágono regular de lado4m mede:

a) m b) 4m

c) m d) 2m

e)

7. Calcular o lado do quadrado circunscrito à cir-cunferência de raio 5 cm:

a) cm b) cmc) 12cm d) 10cme) 14cm

8. No hexágono regular ABCDEF da figura abaixomede 5cm. Calcule:

a) o apótema;b) o raio do círculo inscrito;c) a diagonal

⎯AC.

9. Qual é a razão entre o perímetro de um triângu-lo eqüilátero com altura igual ao raio de um cír-culo para o perímetro do triângulo eqüiláteroinscrito nesse círculo?

10. Na figura temos um pentágono regular de ladol. Mostre que o pentágono sombreado é regular.

11. (PUC-SP) A figura mostra um hexágono regu-lar de lado a. A diagonal AB mede:

a) 2a b)

c) d)

e)

66


UNIDADE IVRelações métricas no triângulo

69

Geometria I – Relações métricas no triângulo

TEMA 21

TEOREMA DE TALES

Um breve histórico

Viajando muito pelos centros antigos de co-nhecimento, Tales de Mileto deve ter obtidoinformações sobre Astronomia e Matemática,aprendendo Geometria no Egito. Na Babilônia,sob o governo de Nabucodonosor, entrou emcontato com as primeiras tabelas e instrumen-tos astronômicos, e diz-se que, em 585 a.C.,conseguiu predizer o eclipse solar que ocorre-ria neste ano, assombrando seus contemporâ-neos; é nesta data que se apoiam para indicaraproximadamente o ano em que nasceu, poisna época deveria contar com quarenta anosmais ou menos. Calcula-se que tenha morridocom 78 anos de idade.

Tales é considerado o primeiro filósofo e oprimeiro dos sete sábios, discípulo dos egíp-cios e caldeus, e recebe o título comumente de“primeiro matemático’’ verdadeiro, tentando or-ganizar a Geometria de forma dedutiva. Acre-dita-se que, durante sua viagem à Babilônia,estudou o resultado que chega até nós como“Teorema de Tales”, segundo o qual um ânguloinscrito num semicírculo é um ângulo reto. A eletambém se devem outros quatro teoremas fun-damentais: “um circulo é bissectado por umdiâmetro’’, “os ângulos da base de um triângu-lo isósceles são iguais”, “os pares de ângulosopostos formados por duas retas que se cor-tam são iguais”, e “se dois triângulos são taisque dois ângulos e um lado são iguais respec-tivamente a dois ângulos e um lado do outro,então, eles são congruentes”.

Parece provável que Tales conseguiu medir aaltura de uma pirâmide do Egito observando ocomprimento das sombras no momento emque a sombra de um bastão vertical é igual ásua altura”.

Teorema de Tales

Se duas retas são transversais de um feixe deretas paralelas, então a razão entre dois seg-mentos quaisquer de uma delas é igual à ra-zão entre os respectivos segmentos corres-pondentes da outra.

Poderíamos também tomar a pro-

porção entre outras.

1. Encontre o valor de x na figura, sabendo queos segmentos dados estão nas transversais dofeixe de paralelas dado.

Solução

2. Calcule o valor de x + y na figura, sendo r // s // t.

70


Solução

Teorema da bissetriz interna

Uma bissetriz interna de um triângulo divide olado oposto em segmentos (aditivos) propor-cionais aos lados adjacentes.

Teorema da bissetriz externa

Se a bissetriz de um ângulo externo de umtriângulo intercepta a reta suporte do ladooposto, então ela divide este lado oposto exter-namente em segmentos (subtrativos) propor-cionais aos lados adjacentes.

3. Calcule x e y no triângulo, sabendo que⎯AD é

bissetriz do ângulo Â e x + y = 22.

Solução

⇒ x = 10 e y = 12

4. Se⎯AP é bissetriz do ângulo externo em A,

determine x.

Solução

1, Sendo r // s // t, calcule x e y:

a)

b)

c)

2. Este mapa mostra quatro estradas paralelas quesão cortadas por três vias transversais. Algumasdas distâncias entre os cruzamentos dessas viase estradas estão indicadas no mapa (em km),mas as outras precisam ser calculadas. Com-plete o mapa com as distâncias que faltam.

71


3. (Unicamp) A figura mostra um segmento ⎯AD

dividido em três partes: ⎯AB = 2cm,

⎯BC = 3cm

e ⎯CD = 5cm. O segmento

⎯AD’ mede 13cm e

as retas e são paralelas à . Deter-mine as medidas dos segmentos

⎯AB’,

⎯B’C’ e

⎯C’D’.

4. No triângulo, ⎯DE//

⎯BC, então o valor de x é:

a) 4 b) 6

c) 8 d) 14

e) 16

5. Calcule a medida, em cm, da altura ⎯CH do

ΔABC, sabendo que ⎯MN//

⎯AB.

6. Na figura, ⎯AS é bissetriz interna do ângulo Â.

Calcule o valor de x.

7. Na figura, ⎯AS é bissetriz interna do ângulo Â.

Calcule o valor de x.

8. Na figura, calcule os valores de x e y, respectiva-mente, sendo

⎯BS a bissetriz interna do ângulo B.

9. Na figura, calcule o valor de x, sendo a bissetrizdo ângulo externo em Â, e o perímetro do triân-gulo é igual a 23m.

10. Sendo⎯AS e

⎯AP bissetrizes dos ângulos inter-

nos e externos em A, determine o valor de⎯CP,

dados BS = 8m e SC = 6m.

11. Os lados de um triângulo medem 8cm, 10cm e12cm. Em quanto precisamos prolongar o me-nor lado para que ele encontre a bissetriz doângulo externo oposto a esse lado?

12. Considerando as medidas indicadas na figurae sabendo que o círculo está inscrito no triân-gulo, determine x.

72


TEMA 22

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

Definição

Dois triângulos são semelhantes se, e somente

se, possuem os três ângulos correspondentes

congruentes e os lados homólogos proporcio-

nais.

ΔABC ~ΔDEF ⇔ A ≡ D, B ≡ E

é a razão de

semelhança.

Teorema fundamental

Se uma reta é paralela a um dos lados de um

triângulo e intercepta os outros dois lados em

pontos distintos, então o triângulo determinado

pela reta é semelhante ao primeiro.

Demonstração

Dado o triângulo ABC e a reta r paralela ao

lado BC e que intercepta os outros lados nos

pontos D e E.

Dos triângulos ABC e ADE, temos:

B ≡ D, C ≡ E e pelo teorema de tales:

, portanto ΔABC ~ΔADE.

1. Nas figuras, calcule o valor de x e y:

a)

b)

Solução

Casos de semelhança de triângulos

1.º – Ângulo ângulo (A.A.)

Se dois triângulos têm dois ângulos congru-entes, então eles são semelhantes.

Dados os triângulos ABC e DEF, tais que A ≡D, B ≡ E. Queremos provar que eles sãosemelhantes.

Demonstração

Tome o ponto P ∈ ⎯AC, onde

⎯PC ≡

⎯DF, por ele

trace a reta rr//↔DE.

Os triângulos PQC e DEF são congruentes(L.A.Ao), pelo teorema fundamental ΔPQC ~ΔABC. Logo, ΔDEF ~ΔABC.

2.º – Ângulo ângulo (L.A.L.)

Se dois triângulos têm dois lados correspon-dentes proporcionais e os ângulos compreen-didos entre eles congruentes, então eles sãosemelhantes.

A demonstração desse caso é análoga a ante-rior, fica como exercício para o leitor.

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3.º – Lado lado lado (L.L.L.)

Se dois triângulos têm os lados homólogosproporcionais, então eles são semelhantes.

A demonstração desse caso é análoga a ante-rior; fica como exercício para o leitor.

Importante:

Se a razão de semelhança de dois triângulos ék, então a razão entre dois elementos lineareshomólogos é k; e os ângulos homólogos sãocongruentes.

• a razão entre os lados homólogos é k;

• a razão entre os perímetros é k;

• a razão entre as alturas homólogas é k;

• a razão entre as medianas homólogas é k;

• ...

2. Identifique o caso de semelhança entre os tri-ângulos e calcule x:

a)

Solução

Caso A.A.

b)

Solução

Caso L.A.L.

c)

Solução

Caso L.L.L.

1. Os lados de um triângulo medem 12cm, 27cme 24cm. Um triângulo semelhante a esse tem21cm de perímetro. Determine as medidas doslados do segundo triângulo.

2. Sendo r // s, determine x:

a)

b)

3. (U. Rio Grande–RS) Dado o triângulo abaixo,ABC, calcule a medida dos segmentos

⎯BD e⎯

DF, sabendo que o segmento ⎯DE é paralelo ao

segmento ⎯BC, sendo

⎯AB = 18cm,

⎯BE = 4cm

e ⎯EC = 8cm.

4. (Cesgranrio) Certa noite, uma moça, de 1,50mde altura, estava a 2m de distância de umposte de luz de 4m de altura. O comprimentoda sombra da moça no chão era de:

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a) 0,75m b) 1,20m

c) 1,80m d) 2,40m

e) 3,20m

5. Na figura abaixo, a medida do segmento PA,em cm, é:

a) 6,8 b) 7,6

c) 7,8 d) 8,6

e) 8,8

6. Calculando x na figura dos quadrados abaixo,encontramos:

a) 2 b) 4

c) 6 d) 3

e) 8

7. Num triângulo isósceles de 20cm de altura e

cm de base, está inscrito um retângulo de

8cm de altura com base na base do triângulo.Calcule a medida da base do retângulo.

8. Na figura, temos: ⎯AB = 8,

⎯BC = 15,

⎯AC = 17

e ⎯EC. Determine x e y.

9. Considere a circunferência circunscrita a umtriangulo ABC. Seja

⎯AE um diâmetro dessa cir-

cunferência e⎯AD a altura do triângulo. Sendo

⎯AB = 6cm,

⎯AC = 10cm e

⎯AE = 30cm, calcule

a altura ⎯AD.

10. Dois círculos de raios R e r são tangentes exte-riormente no ponto A. Sendo C e D os pontosde tangência de uma reta t externa, com osdois círculos, determine a altura do triânguloACD relativa ao lado

⎯CD.

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TEMA 23

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Considere o triângulo retângulo ABC, retângu-lo em A. Vamos classificar seus elementos:

•⎯BC = a, hipotenusa;

•⎯AB = c, cateto;

•⎯AC = b, cateto;

•⎯AD = h, altura relativa à hipotenusa;

•⎯BD = m, projeção do cateto c sobre a hipo-tenusa;

•⎯DC = n, projeção do cateto b sobre a hipo-tenusa.

Observe que ΔABC ~ΔABD, caso A.A. e damesma forma, ΔABC ~ΔACD. Usando a pro-priedade transitiva, podemos afirmar queΔABD ~ΔACD. Dos casos de semelhança reti-ramos algumas relações:

De ΔABC ~ΔABD temos:

•

•

De ΔABC ~ΔACD temos:

•

De ΔABD ~ΔACD temos:

•

•

Uma outra conseqüência dessas semelhançasé o Teorema de Pitágoras:

, como m + n = a,temos:

a2 = b2 + c2

O quadrado da hipotenusa é igual a soma dosquadrados dos catetos.

1. (CEFET–AM) No triângulo retângulo abaixo, h(altura relativa à hipotenusa), m e n (projeçõesdos catetos b e c sobre a hipotenusa) valem:

Solução

c2 = a2 – b2 ⇒ c2 = 625 – 225 ⇒ c = 20

c2 = a.n ⇒ 400 = 25.n ⇒ n = 16

m + n = a ⇒ m = 25 – 16 ⇒ m = 9

2. O perímetro de um triângulo ABC isósceles, debase BC, é 32 cm. Se a altura AH é igual a 8cm, então a medida AB, em cm, é:

Solução

substituindo y = 25 – 2x na segunda equação,temos:

76


3. Na figura abaixo, encontre o valor de a, m, e n.

Solução

TEMA 24

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

1. No triângulo retângulo abaixo, calcule as medi-das a, b, h e m indicadas:

2. No triângulo retângulo abaixo, determine asmedidas m e n indicadas.

3 Observe o triângulo desenhado na malhaquadriculada abaixo. Considerando u como aunidade de medida de comprimento, encontrea medida dos lados desse triângulo.

4. (CEFET–AM) Na figura abaixo, os seguimentossão medidos em metro. O seguimento

⎯AC é:

a) 11 b) 19

c) 15 d) 7

e) 22

77


5. A altura relativa à hipotenusa de um triânguloretângulo isósceles mede 4cm. O perímetrodesse triângulo, em cm, mede:

a) b)

c) d)

e)

6. Determine o raio do círculo nos casos:

a)

b)

7. Determine o perímetro de um triângulo eqüi-látero de altura 6m.

8. A altura de um retângulo mede 8m, a diagonalexcede a base em 2m. Calcule a diagonal.

9. As bases de um trapézio isósceles medem 12 me 20 m, respectivamente. A soma dos lados nãoparalelos é igual a 10m. Quanto mede a altura?

10. Uma corda comum a dois círculos secantesmede 16cm. Sendo 10cm e 17cm as medidasdos raios dos círculos, determine a distânciaentre seus centros.

11. Consideremos dois círculos tangentes comona figura abaixo. Sendo E o centro do círculomenor, F o ponto de tangência entre os doiscírculos e a o lado do quadrado, determine oraio do círculo menor em função de a.

TEMA 25

TEOREMA DE PITÁGORAS

Definição

Em todo triângulo retângulo, temos que o qua-drado da hipotenusa é igual à soma dos quadra-dos dos catetos. Observe a figura abaixo:

a: hipotenusa;

b, c: catetos.

a2 = b2 + c2 → Teorema de Pitágoras

Triângulo retângulo

Do vértice do ângulo reto de um triângulo re-tângulo, se abaixarmos uma perpendicular àhipotenusa:

Primeiro, cada cateto é meio proporcional entrea hipotenusa inteira e o segmento adjacente.

Segundo, a perpendicular é meia proporcionalentre os dois segmentos da hipotenusa.

Sejam (fig. 3) o triângulo retângulo ABC e aperpendicular h baixada do vértice do ânguloreto A sobre a hipotenusa a.

Primeiro, devemos ter:

Com efeito, os triângulo retângulo ABC e CDsão semelhantes, por serem ambos retângulose terem o ângulo agudo C comum. (Dois triân-gulos retângulos são semelhantes quando têmum angulo igual; porque, nesse caso, os trêsângulos são respectivamente iguais). Portantoesses triângulos têm lados proporcionais (ahipotenusa de ABC, sobre b, hipotenusa de

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ADC, igual a b, oposto a B em ABC m, opostoa b’ em ADC), e podemos escrever:

ou b2 = am (1)

Os triângulos ABC e ABD são também seme-lhantes, porque ambos são retângulos e têm oângulo agudo B comum. Assim, temos:

ou c2 = a.n (2)

Segundo, devemos ter: ou h2 = m.n

Com efeito, os triângulo ACD e ABD, sendoambos semelhantes ao triângulo total ABC,são semelhantes entre si. Por conseguinte, têmos lados homólogos proporcionais e temos:

ou h2 = m.n

Pela definição do teorema: em todo triânguloretângulo, o quadrado da hipotenusa iguala asoma dos quadrados dos catetos.

Com efeito, fazendo a soma das igualdades (1)e (2) do teorema precedente, vem:

b2 + c2 = a.m + a.n

b2 + c2 = a(m + n)

b2 + c2 = a.a

b2 + c2 = a2

a2 = b2 + c2

1. Determine o valor de x na figura abaixo:

Solução

y2 = 12 + 72 → y2 = 50 → y =

y2 = x2 + x2 → 50 = 2 x2 → x = 5

Portanto o valor de x é igual a 5

2. É dado um triângulo ABC, retângulo em A,cujos catetos medem: AB = c e AC = b. Deter-mine o raio do círculo com centro na hipote-nusa e tangente aos catetos.

Solução

Observe que

r2 = bc – cr – br + r2 → r(b + c) = bc →

Portanto o raio da circunferência dada é igual a

3. Calcular o comprimento da tangente exterior,comum a duas circunferências tangentes exter-nas de raios r e R, dadas na figura abaixo:

Solução

(r + R)2 = x2 + (R – r)2

r2 +2Rr + R2 = x2 + R2 –2Rr + r2

x2 = 4Rr

x =

Logo, o valor de x é igual a

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4. Entre duas torres de 13m e 37m de altura,existe na base uma distância de 70m. Qual adistância entre os extremos, sabendo- se que oterreno é plano?

Solução

x2 = 132 + (37 –13)2 → x2 = 169 + 196

x ≈ 19,1m

Portanto a distância entre os extremos das tor-res é de aproximadamente 19,1m.

5. Calcular a altura de um triângulo equilátero delado igual a x cm.

Solução

Observando a figura acima temos que:

x2 = h2 + (x/2)2

x2 = h2 + x2/4

4x2 = 4h2 + x2

3x2 = 4h2

h =

TEMA 26


1. Determine a altura do trapézio da figura.

a) b)

c) d)

e)

2. Determine a diagonal de um retângulo de

perímetro 20m e base 6m.

a) m b) m

c) m d) m

e) m

3. Determine a menor altura de um triângulo

cujos lados medem 4m, 5m e 6m.

a)

b)

c)

d)

e)

4. A altura de um retângulo mede 8 m, a diagonal

excede a base em 2 m. Calcule a diagonal.

a) 23m b) 35m

c) 12m d) 17m

e) 20m5. Sabendo que a soma dos quadrados dos ca-

tetos com o quadrado da hipotenusa de umtriângulo retângulo é igual a 200, determine amedida da hipotenusa desse triângulo.

a) 24 b) 12

c) 17 d) 18

e) 10

6. Calcule o perímetro do triângulo isósceles de16cm de base e 6cm de altura.

a) 36cm b) 19cm

c) 34cm d) 46cm

e) 16cm

7. Num triângulo isósceles de altura 8, inscreve-se uma circunferência de raio 3. Calcule a me-dida da base do triângulo.

a) 14 b) 12

c) 11 d) 15

e) 13

8. Do mesmo lado de uma reta, são traçados trêscírculos tangentes à reta e tangentes entre sidois a dois. Sabendo que dois deles têm raioigual a 16, calcule o raio do terceiro.

a) 7 b) 3

c) 9 d) 4

e) 5

9. Determine a altura relativa à base de um triân-gulo isósceles em função da base a e do raiodo círculo inscrito r.

a) b)

c) d)

e)

10. Um ponto de um lado de um ângulo de 60ºdista 16m do vértice do ângulo. Quanto eledista do outro lado do ângulo?

a) m b) m

c) m d) m

e) m

11. Um ponto P, interno de um ângulo reto, dista,

respectivamente, m e 2m de um lado e da

bissetriz do ângulo. Determine a distância en-tre P e o vértice desse ângulo.

a) m b) m

c) m d) m

e) m

12. Um ponto P, externo de um ângulo de 60 º,dista m e m dos lados do ângulo,sendo que nenhuma dessas distâncias é até ovértice do ângulo. Qual é a distância entre P ea bissetriz do ângulo?

a) 15m b) 11m

c) 12m d) 16m

e) 10m

13. Em um triângulo retângulo, o quadrado dahipotenusa é o dobro do produto dos catetos.Calcule um dos ângulos agudos do triângulo.

a) 90º b) 180º

c) 60º d) 45º

e) 30º

14. Determine o raio de um círculo inscrito numsetor circular de 60º e 6dm de raio.

a) 4dm b) 3dm

c) 5dm d) 6dm

e) 2dm

15. Determine o ângulo que a diagonal de um tra-pézio isósceles forma com a altura do trapézio,sabendo que a altura do trapézio é igual a suabase média multiplicada por .

a) 45º b) 60º

c) 90º d) 30º

e) 120º

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Sem dúvida, “O Teorema de Pitágoras” é aresposta mais freqüente que as pessoas dãoquando perguntamos do que elas se lem-bram das aulas de Matemática. E quandoquestionamos se elas sabem o que o teore-ma diz, muitas respondem: “Não lembro aocerto, mas falava da hipotenusa e dos cate-tos... o quadrado da hipotenusa...”

Essas palavras a gente não esquece: Teo-rema de Pitágoras, hipotenusa, catetos.Alguns, no entanto, já não se lembram maisdo enunciado do Teorema de Pitágoras. Masnós acreditamos que, depois da aula de hoje,mesmo que você também não se lembre,ainda assim saberá como deduzi-lo nova-mente. Vamos mostrar uma figura muito sim-ples e reveladora que os chineses conheciamhá muito tempo, antes mesmo de Pitágoras, eque nos permite deduzir o teorema. Essa figu-ra você não esquecerá, principalmente sevocê a fizer com recortes de papel ou mesmoblocos de madeira. A beleza do teorema com-pensa o esforço desse trabalho extra.

Antes de começarmos nossa aula, aqui estáuma aplicação prática e interessante destefamoso teorema para que você possa refletir arespeito. Alguns povos antigos usavam uminstrumento muito simples e prático para obterângulos retos: uma corda. Nela faziam nós adistâncias iguais e, então, marcavam três nósa distâncias de três, quatro e cinco nós entresi, conforme mostra a ilustração, juntandodepois o primeiro ao último nó. Quando esti-cavam esta corda, fixando-a nos três nós mar-cados, obtinham um triângulo... retângulo!Será mesmo reto o ângulo maior do triângulo3, 4 e 5?

Quem foi Pitágoras de Samos?

Seria impossível resumir a vida e as idéiasde Pitágoras apenas em alguns parágrafos,tal é a multiplicidade de aspectos que apre-senta. Sem falar no mistério que envolvesua figura. Acredita-se que tenha nascidoem Samos (Grécia antiga) por volta de 558a.C., e tenha vivido até os 99 anos, emboraesses dados não sejam exatos. Desse véude mistério, o que emerge é o Pitágoras filó-sofo, matemático e músico. Buscou sabedo-ria em toda parte, até mesmo quando es-teve preso na Babilônia. Um de seus mes-tres foi Tales de Mileto, que o teria aconse-lhado a visitar o Egito, onde não só estudougeometria, com seu mestre, mas tambémaprendeu a ler hieróglifos (a escrita egípcia)com os próprios sacerdotes egípcios. E maisainda: parece ter sido iniciado nos mistériosda religião egípcia.

Outros aspectos interessantes da vida dePitágoras dizem respeito a algumas idéiasbastante avançadas para sua época. Porexemplo: dizem que era vegetariano e umforte defensor da vida em geral, tendo-sedeclarado contrário ao sacrifício de animais,muito comum em sua época. Como seu con-temporâneo distante Buda, acreditava quetodos os seres humanos eram iguais e mere-ciam a liberdade; seria este o motivo peloqual teria libertado seu escravo Zalmoxis.Pitágoras e os pitagóricos, alunos da escolaque fundou, eram conhecidos amantes daliberdade. Se você está atento ao que disse-mos, deve ter ficado intrigado: “Por quechamamos Teorema de Pitágoras, se os chi-neses já conheciam o teorema muito antesdele?”

Você não deixa de ter razão. Na verdade, émuito comum que um teorema receba o nomede alguém que não tenha sido o primeiro ademonstrá-lo. Mas o mérito de Pitágoras nãoé menor, pois foi o responsável por ter apren-dido a pensar a geometria de maneira abstra-ta, e não em relação a objetos concretos,como se fazia até então para um espírito cien-tífico. Pitágoras afirmava: “A fórmula da

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hipotenusa em relação aos catetos é ver-dadeira não apenas em triângulos retângulosde lajotas ou aqueles desenhados na lousa,mas também para todos os triângulos retân-gulos que ainda não vimos, e mais ainda,para qualquer triângulo retângulo que pense-mos”.

O quadrado construído sobre a hipotenusade um triângulo retângulo é igual à somados quadrados construídos sobre os doisoutros lados.

Seja (fig. 1) o triângulo ABC e sejam BCDE oquadrado construído sobre a hipotenusa, M eM’ os quadrados construídos sobre os lados;devemos ter: BCDE = M + M’. Do ponto A,abaixemos a perpendicular AG que divide oquadrado BCDE em dois retângulos R e R’. Sedemonstrarmos que R = M e R’= M’, teremosmostrado que R + R’ ou BCDE = M + M’.

Traçando as retas AE e FC; formam dois triân-gulos ABE e FBC, iguais por terem um ângu-lo igual compreendido entre lados respectiva-mente iguais, a saber: o ângulo ABE iguala-seao ângulo FBC, porque ambos são formadosde um ângulo reto e do ângulo a ; AB = BF,como lados de um mesmo quadrado, eBC = BE pela mesma razão.

Por outra parte, a superfície do triângulo ABEvale a metade da do retângulo R, porqueessas duas figuras têm a mesma base (BE) emesma altura (AI) ou (BH). Do mesmo modo,a superfície do triângulo FBC vale a metade dado quadrado M, porque ambas têm a mesmabase (BF) e mesma altura (CL) ou (AB); porconseguinte, o retângulo R é equivalente ao

quadrado M. Assim temos: quadrado M = aoretângulo R ou 2x o triângulo ABE ou 2x otriângulo FBC.

Traçando as retas (fig.2) AD e BJ, elas for-mam dois triângulos ACD e BCJ, iguais porterem um ângulo igual compreendido entrelados respectivamente iguais, a saber: o ân-gulo ACD iguala-se ao ângulo BCJ, porqueambos são formados de um ângulo reto e doângulo b; AC = CJ, como lados de um mesmoquadrado, e BC = CD pela mesma razão.

Por outra parte, a superfície do triângulo ACDvale a metade da do retângulo R’, porqueessas duas figuras têm a mesma base (CD) emesma altura (AK) ou (CH). Do mesmomodo, a superfície do triângulo BCJ vale ametade da do quadrado M’, porque ambastêm a mesma base (CJ) e a mesma altura(BL) ou (AC). Por conseguinte, o retângulo R’é equivalente ao quadrado M’. Assim, temos:quadrado M’= ao retângulo R’ ou 2x o triân-gulo ACD ou 2x o triângulo BCJ.

Por conseguinte, temos R + R’ ou

BCDE = M + M’.

A superfície de um quadrado sendo igual aoquadrado de seu lado, se representarmos pora, b, c os três lados de um triângulo retângu-lo, teremos:

a2 = b2 + c2.

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PITÁGORAS

Pitágoras, matemático, filósofo, astrônomo,músico e místico grego, nasceu na ilha deSamos (na atual Grécia).

Pitágoras é uma figura extremamente impor-tante no desenvolvimento da matemática,sendo freqüentemente considerado como oprimeiro matemático puro. No entanto poucose sabe sobre as suas realizações matemáti-cas, pois não deixou obra escrita e, alémdisso, a sociedade que ele fundou e dirigiutinha um caráter comunitário e secreto.

Essa sociedade, a Escola Pitagórica, de natu-reza científica e religiosa (e até mesmo políti-ca), desenvolvia estudos no domínio da ma-temática, da filosofia e da astronomia. O sím-bolo desta irmandade era a estrela de cincopontas (ou estrela pentagonal).

A Escola Pitagórica defendia o princípio deque a origem de todas as coisas estava nosnúmeros, o atomismo numérico.

Ao longo da sua vida, Pitágoras viajou porvários países, tendo aprendido muitos conhe-cimentos matemáticos com os egípcios e osbabilônios. Entre outros, dois filósofos comquem Pitágoras estudou e que influenciaramas suas idéias matemáticas foram Tales deMileto e o seu pupilo Anaximander.

No domínio da matemática, os estudos maisimportantes atribuídos a Pitágoras são:

• descoberta dos irracionais ;

• o teorema do triângulo retângulo (Teo-rema de Pitágoras).

Apesar de atualmente sabermos que, cercade mil anos antes, já eram conhecidos casosparticulares desse teorema na Babilônia, noEgito e na Índia, Pitágoras foi o primeiro aenunciar e a demonstrar o teorema para todosos triângulos retângulos.

São também atribuídos a Pitágoras (e aospitagóricos) outros trabalhos matemáticos, queincluem:

• a descoberta da tabuada ;

• o estudo de propriedades dos números(dos números ímpares regulares, dosnúmeros triangulares, etc.);

• a construção dos primeiros três sólidosplatônicos (é possível que tenha construí-do os outros dois);

• a descoberta da relação existente entre aaltura de um som e o comprimento dacorda vibrante que o produz.

Não se sabe ao certo quando nasceu e mor-reu Pitágoras, mas calcula-se que viveu umalonga vida (entre 80 e 100 anos), entre aprimeira metade do século VI a.C. e o iníciodo século V a.C.

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TEMA 27

RELAÇÕES MÉTRICAS EM TRIÂNGULOQUALQUER

Introdução

Um triângulo pode ser classificado de acordocom as medidas relativas de seus lados:

Um triângulo eqüilátero possui todos os ladoscongruentes. Um triângulo eqüilátero é tam-bém eqüiângulo: todos os seus ângulos inter-nos são congruentes (medem 60°), sendo, por-tanto, classificado como um polígono regular.

Um triângulo isósceles possui somente doislados congruentes. Num triângulo isósceles, oângulo formado pelos lados congruentes échamado ângulo do vértice. Os demais ângu-los denominam-se ângulos da base e são con-gruentes.

Em um triângulo escaleno, as medidas dostrês lados são diferentes. Os ângulos internosde um triângulo escaleno também possuemmedidas diferentes.

Denomina-se base o lado sobre o qual apóia-se o triângulo. No triângulo isósceles, consi-dera-se base o lado de medida diferente.

Um triângulo também pode ser classificado deacordo com seus ângulos internos:

• Um triângulo retângulo possui um ânguloreto. Num triângulo retângulo, denomina-sehipotenusa o lado oposto ao ângulo reto.Os demais lados chamam-se catetos. Oscatetos de um triângulo retângulo são com-plementares.

• Um triângulo obtusângulo possui um ân-gulo obtuso e dois ângulos agudos.

• Em um triângulo acutângulo, todos os trêsângulos são agudos.

Retângulo Obtusângulo Acutângulo

Definição

Triângulo acutângulo: Seja o triângulo ABC umtriângulo acutângulo com ângulo agudo corres-pondente ao vértice A, como mostra a figura.

Seja o segmento de reta HC perpendicular aolado AB (altura do triângulo relativa ao ladoAB), passando pelo vértice C. Aplicando o Teo-rema de Pitágoras no triângulo CHB, temos:

a² = h²+(c - x)²

= h²+(c² - 2cx + x²)

= (h² + x²) + c² - 2cx (Equação1)

No triângulo AHC, temos que b² = h² + x².Substituindo esses resultados na equação(Equação 1), obtemos:

a² = b² + c² - 2cx

Triângulo obtusângulo: Seja o triângulo ob-tusângulo ABC com o ângulo obtuso corre-spondente ao vértice A, como mostra a figura.

Seja o segmento de reta HC perpendicular aolado AB (altura do triângulo relativa ao ladoAB), passando pelo vértice C. Aplicando o Teo-rema de Pitágoras no triângulo CHB, temos que:

a² = h²+(c + x)²

= h² + (c² + 2cx + x²)

=(h² +x²)+c²+2cx(Equação 1)

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No triângulo AHC, temos que b² = h² + x².

Substituindo esses resultados na equação

(Equação 1), obtemos:

a² = b² + c² + 2cx


Solução

(1) 62 = x2 + h2 → h2 = 36 – x2

(2) 102 = (13 – x)2 + h2 → 100 = 169 – 26x +

x2 + h2

100 = 169 – 26x + x2 + 36 - x2

26x = 205 – 100

x = 105/26

Portanto x vale 105/26.

2. Determine a medida da projeção do maior lado

do triângulo ABC de lados 5cm, 6cm e 8cm,

sobre o segundo maior lado.

Solução

82 = 52 + 62 + 2.6.x → 64 = 25 + 36 + 12x

3 = 12x

x = 1/4

Portanto a medida da projeção é igual a x = ¼

3. Na figura seguinte, calcular o valor de x.

Solução

h2 + x2 = 52 ⇒ h2 = 25 – x2

h2 + (x + 3)2 = 62 ⇒ h2 = 36 – (x + 3)2

25 – x2 = 36 – (x + 3)2

25 – x2 = 36 – (x2 + 6x + 9)

6x = 2

x = 1/3

Logo o valor de x é igual a 1/3.

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TEMA 28

RELAÇÕES MÉTRICAS EM TRIÂNGULOQUALQUER


2. Determine os valores de x e y na figura abaixo:

3. Os lados de um triângulo medem 15m, 20m e25m. Determine a altura relativa ao maior lado.

4. Os lados de um triângulo medem 12m, 20m e28m. Determine a projeção do menor sobre areta do lado de 20m.

5. Determine a medida do lado BC de um triângu-lo ABC, em que AC = 10cm, AB = 6cm e a pro-jeção do lado BC sobre AC vale 10,4cm.


7. a, b e c são medidas dos lados de um triângu-lo. Seja k um número real tal que a = 3k, b =5k e c = 7k. Nessas condições, qual é a na-tureza do triângulo?

8. Os lados de um triângulo medem , e

5. Qual o comprimento da altura relativa aolado maior?

9. Os lados de um triângulo medem 5cm, 7cm e9cm. Calcule a medida da projeção do ladomenor sobre o lado maior.

10. Em um triângulo ABC, sendo a = 6cm, b =8cm e c = 9cm, calcule a projeção do lado asobre o lado b.

11. Reconheça a natureza de um triângulo cujoslados são diretamente proporcionais aos nú-meros 3, 5 e 7.

12. Em um triângulo ABC, sendo a = 6cm, b = 10cme c = 12cm, calcule a projeção do lado b sobreo lado c.

13. Em um triângulo acutângulo ABC, onde b =7cm e c = 5cm, a projeção do lado b sobre olado c mede 1cm. Calcule o lado a .

14. Em um triângulo ABC, obtusângulo em A, ondea = 8cm, b = 5cm, a projeção do lado c

sobre b é igual a cm. Calcule o lado c.

15. Dado o triângulo ABC de lados 6cm, 8cm e12cm. Determine a medida da projeção domaior lado sobre o lado que mede 8cm.

86


GIUSEPPE PEANO

Giuseppe Peano (Spinetta, Piemonte, 27 deAgosto de 1858 – Turim, 20 de Abril de 1932),considerado o maior matemático italiano desua época, produziu trabalhos de grandealcance filosófico. Fez importantes con-tribuições teóricas nas áreas de análisematemática, lógica, teoria dos conjuntos,equações diferenciais e análise vetorial.

Autor de inúmeros livros e artigos, Peano foi ofundador da moderna lógica matemática e dateoria dos conjuntos, para cujos conceitos enotações contribuiu de forma decisiva. Naobra “Arithmetices Principia Nova MethodoExposita” (1889), Peano desenvolveu os fa-mosos axiomas de Peano, considerados atéhoje como a axiomatização padrão dosnúmeros naturais.

Passou a maior parte de sua carreira ensinan-do matemática na Universidade de Turim (de1890 até à sua morte) e na Real Academia deArtillería (de 1886 até 1901). Criou uma línguainternacional chamada latino sine flexione ouinterlíngua. Fundou a “Rivista di Matematica”em 1891, publicada posteriormente em fran-cês e na sua interlíngua. Em 1903, propôs ainterlíngua como língua auxiliar internacionale em 1908 foi eleito presidente da “Academiapro interlíngua” que transformou numa asso-ciação científica, tendo como órgão deexpressão oficial a revista “Schola et Vita”.

Da sua vasta obra cientifica, uma grande

parte foi dedicada à Matemática e à Lógica,

sendo a restante consagrada à Filosofia e à

construção da interlíngua.

As suas obras “Calcolo differenziale e principii

di calcolo integrale” (1884) e “Lezioni di anal-

isi infinitesimale” (1893) foram dois dos mais

importantes trabalhos no desenvolvimento da

teoria geral das funções depois dos trabalhos

do matemático francês Augustin Cauchy.

Em “Applicazioni geometriche del calcolo

infinitesimale”(1887), Peano introduziu os ele-

mentos básicos do cálculo geométrico e deu

novas definições para o cálculo do compri-

mento de um arco e para a área de uma su-

perfície curva.

É no livro “Calcolo geometrico” (1888) que

encontramos o seu primeiro trabalho em

Lógica Matemática. Peano é sobretudo co-

nhecido pela criação de um sistema de sím-

bolos que permite a descrição e o enunciado

das proposições lógicas e matemáticas sem

recorrer à linguagem comum. Nesse sentido,

Peano é considerado o fundador da Lógica

Matemática, por ter sido realmente ele a intro-

duzir a nova notação. Na verdade, a atual no-

tação está mais próxima da proposta de

Peano do que da de Frege a quem, no entan-

to, é em geral atribuída a paternidade da Ló-

gica Matemática. Parte da notação lógica de

Peano foi adotada por Bertrand Russell e

Alfred North Whitehead no Principia Mathe-

matica.

O seu trabalho mudou profundamente a visão

dos matemáticos e teve uma grande influên-

cia nos esforços que mais tarde se desen-

volveram na reestruturação da matemática,

especialmente no trabalho dos matemáticos

franceses revelado sob o pseudônimo de

Nicolas Bourbaki.

87


UNIDADE VÁreas de superfícies

91

Geometria I – Áreas de superfícies

TEMA 29

RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA

Introdução

Apresentaremos alguns resultados que fazema conexão entre segmentos e cordas, que nãosão evidentes à primeira vista. Se a reta AB étangente à circunferência no ponto B, então osegmento AB é o segmento tangente de A atéa circunferência. Se a reta RT é uma reta se-cante que intercepta a circunferência em S e T,e R é um ponto exterior à circunferência, entãoRT é um segmento secante, e RS é a parteexterna do segmento secante.

Cordas interceptando dentro da circunfer-ência – Se duas cordas de uma mesma circun-ferência interceptam-se em um ponto P dentroda circunferência, então o produto das medi-das das duas partes de uma corda é igual aoproduto das medidas das duas partes da outracorda.

(AP).(PB) = (CP).(PD)

Demonstração

Se por P passam duas retas concorrentes queinterceptam a circunferência em A, B, C e D,respectivamente, temos:

Considere os triângulos PAD e PCB:

Potência de ponto (1) – A partir de um pontofixo P dentro de uma circunferência, tem-seque (PA).(PB) é constante qualquer que seja acorda AB passando por este ponto P. Este pro-duto (PA).(PB) é denominado a potência doponto P em relação a essa circunferência.

Secantes interceptando fora da circunferên-cia – Consideremos duas retas secantes auma mesma circunferência que se interceptamem um ponto P localizado fora da circunferê-cia. Se uma das retas passa pelos pontos A eB e a outra reta passa pelos pontos C e D dacircunferência, então o produto da medida dosegmento secante PA pela medida da sua parteexterior PB é igual ao produto da medida dosegmento secante PC pela medida da sua parteexterior PD.

(PA).(PB)=(PC).(PD)

Demonstração

Se por P passam duas retas concorrentes queinterceptam a circunferência em A, B, C e D,respectivamente, temos:

Considere os triângulos PAD e PCB:

Potência de ponto (2) – Se P é um ponto fixo

92


fora da circunferência, o produto (PA).(PB) éconstante qualquer que seja a reta secante àcircunferência passando por P. Este produto(PA).(PB) é também denominado a potência doponto P em relação à circunferência.

Secante e tangente interceptando fora dacircunferência – Se uma reta secante e umareta tangente a uma mesma circunferênciainterceptam-se em um ponto P fora da circun-ferência, a reta secante passando pelos pontosA e B e a reta tangente passando pelo ponto Tde tangência à circunferência, então o quadra-do da medida do segmento tangente PT éigual ao produto da medida do segmentosecante PA pela medida da sua parte exteriorPB.

(PT)2 = (PA).(PB)

Demonstração

Considere o segmento secante ⎯PA, sua parte

exterior ⎯PB e um segmento

⎯PT tangente a λ.

Considere os triângulos PAT e PTB:

1. Consideremos a figura abaixo com as cordasAB e CD tendo interseção no ponto P, com(AP) = 5cm, (PB) = 8cm, (CD) = 14cm.

Solução

Iremos obter a medida do segmento PD. Toma-remos (PD)=x, para podermos escrever que(CP) = 14 – x e somente utilizaremos a unida-de de medida no final. Desse modo, (PD).(PC)= (PA).(PB) e podemos escrever que x(14 – x)= 5×8, de onde segue que x² – 14x + 40 = 0.Resolvendo essa equação do segundo grau,obtemos: x = 4 ou x =10, o que significa quese uma das partes do segmento medir 4cm, aoutra medirá 10cm. Pela figura anexada, obser-vamos que o segmento PD é maior que o seg-mento PC e concluímos que (PD) = 10cm e(PC) = 4cm.

2. Na figura, sendo ED:EC = 2:3, AE = 6 e EB =16, calcule o comprimento de

⎯CD.

Solução

Por hipótese temos que

Por outro lado temos que EA . EB = EC . ED.Então:

EA . EB = EC . ⇒ 3.6.16 = 2EC2 ⇒

EC = 12 e ED = 8

Logo CD = 20


Solução

93


Observando a figura acima temos que:

x2 = (2x + 2).2

x2 = 4x + 4

x2 – 4x – 4 = 0

Δ = (–4)2 – 4.1.(–4) = 32

Portanto x = 2 + 2


Solução

Observando-se a figura abaixo, temos que:

x. x = 3.27 ⇒ x2 = 81 ⇒ x = 9

Portanto x é igual a 9.

TEMA 30


1. Duas cordas cortam-se, e os segmentos deter-minados sobre uma delas medem 12cm e5cm. Sabendo que um dos segmentos deter-minados sobre a outra mede 3cm, quantomedirá o outro segmento?

2. Uma secante por um ponto P determina sobreuma circunferência dois pontos A e B tais que⎯PA = 6cm e

⎯PB = 18cm. Traça-se por P outra

secante, a qual encontra a circunferência pri-meiro no ponto C e depois em D. Medindo

⎯PC

9cm, quanto medirá a corda CD?

3. Por um ponto P traçam-se uma tangente e umasecante a uma circunferência. Medindo o seg-mento da tangente 8cm e o da secante 16cm,quanto medirá a parte exterior da secante?

4. De um ponto P exterior a uma circunferênciade centro O e raio 6cm traça-se uma tangenteà circunferência no ponto A . Sendo

⎯PA = 8cm,

calcule a distância do ponto P à circunferência.

5. O ponto P está no interior de uma circunferên-cia de 13cm de raio e dista 5cm do centro dela.Pelo ponto P, passa a corda AB de 25cm. Oscomprimentos que P determina sobre a cordaAB são:

a) 11cm e 14cm

b) 7cm e 18cm

c) 16cm e 9cm

d) 5cm e 20cm

e) 8cm e 17cm

6. Os segmentos Ab e CD interceptam-se numponto P e são cordas perpendiculares de ummesmo círculo. Se

⎯AP =

⎯CP = 2 e

⎯PB = 6,

ache o raio do círculo.

7. Considere uma circunferência de centro O euma reta r. Por uma das extremidades A dodiâmetro perpendicular à reta r, traça-se umasecante de direção arbitrária que encontra acircunferência em um segundo ponto M, e areta r em N. Demonstre que o produto

⎯AM .

⎯AN

é constante.

8. Por um ponto P distante 18cm de uma circun-ferência, traça-se uma secante que determinana circunferência uma corda

⎯AB de medida

10cm. Calcule o comprimento da tangente aessa circunferência traçada do ponto P, saben-do que

⎯AB passa pelo centro da circunferên-

cia.

9. Determine o raio do círculo menor inscrito numquadrante do círculo maior, da figura abaixo,sendo 2R o diâmetro do círculo maior.

10. Duas Cordas ⎯AB e

⎯CD interceptam-se um pon-

to P interno a uma circunferência. Determine amedida do segmento

⎯BP, sabendo que os seg-

mentos ⎯CP,

⎯DP e a corda

⎯AB medem, respec-

tivamente, 1cm, 6cm e 5cm.

11. Num círculo, duas cordas cortam-se. O produ-to dos dois segmentos da primeira corda é 25cm2. Sabe-se que na Segunda corda o menor

segmento vale do maior. Determine a medi-

da do maior segmento dessa segunda corda.

12.⎯AB e

⎯AC são duas cordas de medidas iguais,

pertencentes a um círculo. Uma corda ⎯AD

intercepta a corda ⎯BC num ponto P. Prove que

os triângulos ABD e APB são semelhantes.

HISTÓRIA DA GEOMETRIA

Uma estranha construção feita pelos antigospersas para estudar o movimento dos astros.Um compasso antigo. Um vetusto esquadroe, sob ele, a demonstração figurada do teore-ma de Pitágoras. Um papiro com desenhosgeométricos e o busto do grande Euclides.São etapas fundamentais no desenvolvimen-to da Geometria. Mas, muito antes da compi-lação dos conhecimentos existentes, os ho-mens criavam, ao sabor da experiência, asbases da Geometria. E realizavam operaçõesmentais que, depois, seriam concretizadas nasfiguras geométricas.

Uma medida para a vida. As origens da Geo-metria (do grego, medir a terra) parecemcoincidir com as necessidades do dia-a-dia.Partilhar terras férteis às margens dos rios,construir casas, observar e prever os movi-mentos dos astros são algumas das muitasatividades humanas que sempre depende-ram de operações geométricas.

Pitágoras deu nome a um importante teoremasobre o triângulo retângulo, que inaugurou umnovo conceito de demonstração matemática.Mas enquanto a escola pitagórica do século VIa.C. constituía uma espécie de seita filosófica,que envolvia em mistério seus conhecimentos,os “Elementos”, de Euclides, representam aintrodução de um método consistente que con-tribui, há mais de vinte séculos, para o progres-so das ciências. Trata-se do sistema axiomáti-co, que parte dos conceitos e das proposiçõesadmitidos sem demonstração (postulados eaxiomas) para construir, de maneira lógica,tudo o mais. Assim, três conceitos fundamen-tais – o ponto, a reta e o círculo – e cinco pos-tulados a eles referentes servem de base paratoda a Geometria chamada euclidiana, útil atéhoje, apesar da existência de geometrias não-euclidianas baseadas em postulados diferentes(e contraditórios) dos de Euclides.

O problema mais comum para um construtor étraçar, por um ponto dado, a perpendicular auma reta. O processo anterior não resolve esseproblema, em que o vértice do ângulo reto jáestá determinado de antemão. Os antigos

94


geômetras solucionavam isso por meio de trêscordas, colocadas de modo a formar os ladosde um triângulo retângulo. Essas cordas tinhamcomprimentos equivalentes a 3, 4 e 5 unidadesrespectivamente. O teorema de Pitágoras expli-ca por que em todo triângulo retângulo a somados quadrados dos catetos é igual ao quadradoda hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto). E32 + 42 = 52, isto é, 9 + 16 = 25.

Para medir superfícies Os sacerdotes encar-regados de arrecadar os impostos sobre aterra provavelmente começaram a calcular aextensão dos campos por meio de um sim-ples golpe de vista. Certo dia, ao observar tra-balhadores pavimentando com mosaicosquadrados uma superfície retangular, algumsacerdote deve ter notado que, para conhe-cer o total de mosaicos, bastava contar os deuma fileira e repetir esse número tantas vezesquantas fileiras houvesse. Assim, nasceu afórmula da área do retângulo: multiplicar abase pela altura.

Quando se deparavam com uma superfícieirregular da terra (nem quadrada, nem trian-gular), os primeiros cartógrafos e agrimen-sores apelavam para o artifício conhecidocomo triangulação: começando num ânguloqualquer, traçavam linhas a todos os demaisângulos visíveis do campo, e assim este fica-va completamente dividido em porções trian-gulares, cujas áreas somadas davam a áreatotal. Esse método – em uso até hoje – pro-duzia pequenos erros, quando o terreno nãoera plano ou possuía bordos curvos.

De fato, muitos terrenos seguem o contornode um morro ou o curso de um rio. E con-struções há que requerem uma parede curva.Assim, um novo problema se apresenta:como determinar o comprimento de uma cir-cunferência e a área de um círculo. Por cir-

cunferência entende-se a linha da periferia docírculo, sendo este uma superfície. Já os anti-gos geômetras observavam que, para demar-car círculos, grandes ou pequenos, era ne-cessário usar uma corda, longa ou curta, egirá-la em torno de um ponto fixo, que era aestaca cravada no solo como centro da figu-ra. O comprimento dessa corda – conhecidohoje como raio – tinha algo a ver com o com-primento da circunferência. Retirando a cordada estaca e colocando-a sobre a circunferên-cia para ver quantas vezes cabia nela, pude-ram comprovar que cabia um pouco mais deseis vezes e um quarto. Qualquer que fosse otamanho da corda, o resultado era o mesmo.Assim, tiraram algumas conclusões: a) o com-primento de uma circunferência é semprecerca de 6,28 vezes maior que o de seu raio;b) para conhecer o comprimento de uma cir-cunferência, basta averiguar o comprimentodo raio e multiplicá-lo por 6,28.

Nos tempos da antiga Grécia, a Geometriasempre foi uma ciência aplicada, ou seja,empregada para resolver problemas práticos.Dos problemas que os gregos conseguiramsolucionar, dois merecem referência: o cálcu-lo da distância de um objeto a um observadore o cálculo da altura de uma construção.

No primeiro caso, para calcular, por exemplo,a distância de um barco até a costa, recorria-se a um curioso artifício. Dois observadores sepostavam de maneira que um deles pudessever o barco sob um ângulo de 90o com relaçãoà linha da costa e o outro sob um ângulo de45o. Feito isso , a nave e os dois observadoresficavam exatamente nos vértices de um triân-gulo isósceles, porque os dois ângulos agu-dos mediam 45o cada um e, portanto, os cate-tos eram iguais. Bastava medir a distânciaentre os dois observadores para conhecer adistância do barco até a costa.

O cálculo da altura de uma construção, deum monumento ou de uma árvore é tambémmuito simples: crava-se verticalmente umaestaca na terra e espera-se o instante em quea extensão de sua sombra seja igual à suaaltura. O triângulo formado pela estaca, suasombra e a linha que une os extremos deambos é isósceles. Basta medir a sombrapara conhecer a altura.

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TEMA 31

ATIVIDADE LABORATÓRIO

Atividade 1

Bissetriz de um Ângulo

Material necessário: régua e compasso

Objetivo: obter a bissetriz de um ângulo AÔBdado.

Procedimentos:

1. Com a ponta-seca do compasso em O,traça-se um arco determinando M e N.

2. Com a ponta-seca do compasso em M edepois em N, traça-se com a mesma aber-tura do compasso os arcos que se cortamem D.

3. Traça-se a semi-reta →

OD. A semi-reta →

OD éa bissetriz do ângulo AÔB.

Exercitando:

Com a ajuda de um transferidor, trace um ân-gulo de 70o. Usando esse procedimento, cal-cule a bissetriz desse ângulo.

Atividade 2

Mediatriz de um segmento

Chama-se mediatriz de um segmento a retatraçada perpendicularmente pelo ponto médiodesse segmento.


Objetivo: obter o ponto médio de um segmen-to

→AB dado.

Procedimentos:

1. Com a ponta-seca do compasso em A e aabertura do compasso maior que a metadeda medida do segmento AB, traçam-se doisarcos: um abaixo e outro acima de

→AB.

2. Com a ponta-seca do compasso em B e amesma abertura do compasso, traçam-sedois arcos que cortam os primeiros em C eem D.

3. Trace a reta →

CD, que cruza →

AB, no ponto M.

M é o ponto médio de →

AB→

CD é a mediatriz de →

AB.

Atividade 3

Soma dos ângulos internos de um triângulo

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TEMA 32

ÁREA DE FIGURAS PLANAS – TRIÂNGULOS

Definição

No desenho abaixo, o triângulo ABC é a reu-nião dos segmentos de reta AB, BC e AC. Areunião de todos os pontos localizados no tri-ângulo e também dentro do triângulo é chama-da uma região triangular. A região triangularABC é limitada pelo triângulo ABC. Os pontosdos lados do triângulo ABC bem como ospontos do interior do triângulo ABC são pontosda região triangular.

Duas ou mais regiões triangulares não sãosobrepostas se a interseção é vazia, é umponto ou é um segmento de reta. Cada umadas regiões planas abaixo é a reunião de trêsregiões triangulares não sobrepostas.

Principais Casos

Demonstrações

Área do triângulo

A área de um triângulo é a metade do produtoda medida da base pela medida da altura, istoé, A=b.h/2.

Demonstração – Construímos o triângulo ABCcom base AB e altura XC. Traçamos uma retaparalela ao segmento AB que passa peloponto C e uma reta paralela ao segmento ACque passa pelo ponto B e, dessa forma, con-struímos o paralelogramo ABYC, cuja área é odobro da área do triângulo ABC.

Exemplo – Mostraremos que a área do triângu-lo eqüilátero cujo lado mede s é dada por

A = . Realmente, com o Teorema de Pitá-

goras, escrevemos h² = s²-(s/2)² para obter

h²=(3/4)s² garantindo que .

Como a área de um triângulo é dada porA = b.h/2, então segue que:

A = s.h/2 =

Hipótese Tese

ABC é um triângulom(AB)=b, CX ⊥ ABe m(CX)=h

Área do triângulo ABC= b.h/2

Triângulo ABC Região triangular ABC

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Observação – Triângulos com bases congru-entes e alturas congruentes possuem a mesmaárea.

Comparação de áreas entre triângulossemelhantes

Conhecendo-se a razão entre medidas corre-spondentes quaisquer de dois triângulossemelhantes, é possível obter a razão entre asáreas desses triângulos.

Figura 01

Figura 02

Propriedade – A razão entre as áreas de doistriângulos semelhantes é igual ao quadrado darazão entre os comprimentos de quaisquerdois lados correspondentes.

1. Determine a área de um triângulo de lados5cm, 6cm e 7cm.

Solução

Façamos a = 5cm, b = 6cm e c = 7cm.

A área de um triângulo, dados seus lados édada por:

A =

p = (5 + 6+ 7)/2 = 18/2 = 9cm

A =

2. Na figura, ABCD é retângulo. Determine a razãoentre as áreas do triângulo CEF e do retângulo.

Solução

Considere a altura do retângulo sendo h e abase igual a 4x. Logo:

S1 : Área do triângulo CEF = x.h/2

S2 : Área do retângulo ABCD = 4x.h

S1 / S2 = (xh/2)/4xh = 1/8

3. Calcular a área do triângulo abaixo, sabendoque a = 4, b = e C = 45o.

Solução

A =

1. As medianas relativas aos catetos de um triân-gulo retângulo medem m e m. De-termine a área desse triângulo.

2. Considere um triângulo retângulo e a circunfer-ência inscrita nele. Se o ponto de contato en-tre a hipotenusa e a circunferência determinana hipotenusa segmentos de 4cm e 6cm, de-termine a área do triângulo.

3. A razão entre a base e a altura de um triângulo

é . Sendo 52cm a soma da base com a

altura, determine a área do triângulo.

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4. Determine a área de um triângulo isósceles deperímetro igual a 32cm, sabendo que sua baseexcede em 2cm cada um dos lados congru-entes.

5. Determine a área de um triângulo eqüiláteroem função de sua altura h.

6. O apótema de um triângulo eqüilátero é igualao lado de um quadrado de 16cm2 de área.Determine a área do triângulo.

7. Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é os

do cateto menor, e o cateto maior os do

menor. Sendo 60cm o perímetro do triângulo,determine a sua área.

8. Calcule a área de um triângulo ABC do qual seconhecem os dados seguintes:

⎯AC = b,

⎯AB =

c e o ângulo compreendido 150º.

9. Calcule a área do triângulo ABC, sendo AB =4 cm, Â = 30º e C = 45º.

10. Determine a área de um triângulo eqüilátero emfunção do raio r do círculo inscrito nesse triângulo.

11. Determine a medida do raio de um círculoinscrito em um triângulo isósceles de lados10cm, 10cm e 12cm.

12. Calcule o raio da circunferência circunscrita aum triângulo isósceles de base 6cm, tendooutro lado medindo 5cm.

13. Seja ABC um triângulo isósceles cujos ladoscongruentes medem 5cm, sendo 6cm a medi-da do lado

⎯BC (base do triângulo). Calcule a

razão entre o raio do círculo circunscrito e oraio do círculo inscrito nesse triângulo.

14. Determine o perímetro de um triângulo retân-gulo, sabendo que sua área é igual a 36cm2 eque a hipotenusa é igual ao dobro da altura rel-ativa a ela.

15. As medianas de um triângulo medem 9m, 12m,e 15m. Determine a área do triângulo.

ARQUIMEDES

Arquimedes é um dos maiores matemáticosdo século III a.C., natural da cidade deSiracusa, localizada na ilha da Sicília. Nasceuaproximadamente no ano 287 a.C. e morreudurante a Segunda Guerra Púnica, em Sira-cusa, em 212 a.C. Era filho de um astrônomo;por isso, também adquiriu uma reputação emastronomia.

Arquimedes pode ter estudado por algumtempo em Alexandria com os alunos de Eu-clides, mantendo comunicação com os ma-temáticos de lá, como Cônon, Dosite eEratóstenes.

Diz a lenda que Siracusa resistiu ao sítio deRoma por quase três anos, devido às engen-hosas máquinas de guerra inventadas porArquimedes para deixar seus inimigos à dis-tância. Entre elas: catapultas para lançar pe-dras; cordas, polias e ganchos para levantare espatifar os navios romanos; invençõespara queimar os navios.

Por meio dos árabes, sabemos que a fórmulausual para a área de um triângulo em termosde seus lados, conhecida como fórmula deHeron

-em que p é o semiperímetro – era conhecidapor Arquimedes vários séculos antes de Heronter nascido. Heron menciona em seus trabal-hos o tratado de Arquimedes Sobre alavancas,

99


e Teon cita em seus trabalhos um teorema deArquimedes encontrado no Tratado sobre aTeoria dos Espelhos.

Os tratados sobre geometria espacial são:Sobre a Esfera e o Cilindro, escrito em doisvolumes e constituído de cinqüenta e trêsproposições; trata, entre outras coisas, doteorema que fornece as áreas de uma esferae de uma calota esférica. Mostra que a áreade uma superfície esférica é exatamente doisterços da área da superfície total do cilindrocircular reto circunscrito a ela e que o volumeda esfera é exatamente dois terços do volumedo mesmo cilindro. O livro II inclui o problemade seccionar uma esfera com um plano demaneira a obter dois segmentos esféricoscujos volumes estejam numa razão dada.Esse problema leva a uma equação cúbica,em em função da qual é feita uma discussãorelativa às condições sob as quais a cúbicapode ter uma raiz real positiva.

Arquimedes escreveu pequenas obras sobrearitmética, uma delas é O Contador de Areia,que trata de uma curiosa questão: comodeterminar a quantidade de grãos de areiacapaz de preencher uma esfera de centro naTerra e raio alcançando o Sol, ou seja, dotamanho do universo. Nessa obra, encontra-mos observações relacionadas à astronomia,em que Arquimedes utilizou o modelo de uni-verso de Aristarco de Samos, que antecipou ateoria heliocêntrica de Copérnico. Arquime-des vai calculando a quantidade de areianecessária para encher um dedal, um está-dio, o volume da Terra e assim por diante, atéencher todo o universo. Ao mesmo tempo eparalelamente, vai desenvolvendo um sis-tema de numeração (que levou a invençãodos logaritmos) capaz de exprimir os valoresencontrados nesse calculo. Há também oProblema do Gado que envolve oito incógni-tas inteiras relacionadas por sete equaçõeslineares e sujeitas ainda a duas condiçõesadicionais a saber, que a soma de certo parde incógnitas é um quadrado perfeito e que asoma de outro par determinado de incógnitasé um número triangular. Sem as condiçõesadicionais, os menores valores das incógnitas

são números da ordem de milhões; comessas condições, uma das incógnitas deveser um número com mais que 206 500 dígi-tos!

Há dois trabalhos de Arquimedes sobre mate-mática aplicada: Sobre o Equilíbrio de FigurasPlanas e Sobre os Corpos Flutuantes. Oprimeiro deles consta de dois livros e contémvinte e cinco proposições em que, medianteum tratamento postulacional, obtêm-se aspropriedades elementares dos centróides edeterminam-se centróides de várias áreasplanas, terminando com a do segmento para-bólico e a de uma área limitada por umaparábola e duas cordas paralelas. CorposFlutuantes é obra composta por dois livroscom noventa proposições, e representa aprimeira aplicação da matemática à hidros-tática. O tratado baseia-se em dois postula-dos, desenvolvendo primeiro as leis familiaresda hidrostática e depois considera algunsproblemas muito mais difíceis, concluindo comum estudo notável sobre a posição de repou-so e estabilidade de um segmento (reto) deparabolóide de revolução mergulhado numfluido.

O tratado O Método encontra-se na forma deuma carta endereçada; é importante devidoàs informações que fornece sobre o métodoque Arquimedes usava para descobrir muitosde seus teoremas. Arquimedes usava-o demaneira experimental para descobrir resulta-dos que ele então tratava de colocar em ter-mos rigorosos.

Atribuem-se dois outros trabalhos perdidos aArquimedes: Sobre o Calendário e Sobre aConstrução de Esferas. Neste último, havia adescrição de um planetário construído por elepara mostrar os movimentos do Sol, da Lua edos cinco planetas conhecidos em seutempo. Provavelmente o mecanismo eraacionado pela água.

A invenção mecânica de Arquimedes maisconhecida é a bomba de água em parafuso,construída por ele para irrigar campos, drenarcharcos e retirar água de porões da navios. Oengenho ainda hoje é utilizado no Egito.

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TEMA 33

ATIVIDADE DE LABORATÓRIO

Exercício 01

QUEBRA-CABEÇA GOMÉTRICO: Tangram

O Tangram é originário da China. Supõe-se quea parte inicial do nome (Tan) esteja relacionadaà dinastia Tang, que governou a China por umlongo período; a parte final do nome (gram)vem do latim e significa ordenar, dispor. Elatem sete peças em forma de figuras geométri-cas planas. Compondo essas sete peças,pode-se formar muitas figuras diferentes.

Objetivo: obter figuras geométricas usandotodas as peças do tangram.

Material Necessário: papel-cartão, tesoura,régua, lápis.

Confecção :

1. Desenha-se, em uma folha de papel, umquadrado de 12cm de lado, dividindo-o de4 em 4 centímetros.

2. Seguindo os modelos, obtém-se um que-bra-cabeça com sete peças.

3. Pintam-se as sete peças recortando-as emseguida.

Seqüência de modelo para confecção do Tangram (BIGODE, 1994,

p. 135-136).

Atividade 1:

Usando as 7 peças, podem-se montar osnúmeros de 0 a 9.

Números formados com o Tangram

Exercício 02

Usando as 7 peças do tangram, pode-se mon-tar um hexágono.

Exercitando:

1. Usando as cinco peças (N, G, M, R, T) dotangram, forme um quadrado.

2. Usando as sete peças do tangram, formeum triângulo, retângulo, paralelogramo,trapézio, quadrado.

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TEMA 34

ÁREA DE FIGURAS PLANAS

Quadriláteros

Área do retângulo

A figura ao lado mostra o retângulo ABCD, quemede 3 unidades de comprimento e 2 uni-dades de altura. O segmento horizontal quepassa no meio do retângulo e os segmentosverticais dividem-no em seis quadrados, tendocada um 1 unidade de área.

A área do retângulo ABCD é a soma das áreasdestes seis quadrados. O número de unidadesde área do retângulo coincide com o obtidopelo produto do número de unidades do com-primento da base AB pelo número de unidadesda altura BC.

O lado do retângulo pode ser visto como abase, e o lado adjacente como a altura; assim,a área A do retângulo é o produto da medidada base b pela medida da altura h.

A = b × h

Área do quadrado

Um quadrado é um caso particular de retângu-lo cuja medida da base é igual à medida daaltura. A área do quadrado pode ser obtidapelo produto da medida da base por si mesma.

Esta é a razão pela qual a segunda potência donúmero x, indicada por x², tem o nome dequadrado de x, e a área A do quadrado é obti-da pelo quadrado da medida do lado x.

A = x²

Exemplo – Obter a área do retângulo cujocomprimento da base é 8 unidades e o compri-mento da altura é 5 unidades.

A = b×h

A = (8u)x(5u) = 40u²

No cálculo de áreas em situações reais,usamos medidas de comprimento em funçãode alguma certa unidade, como metro, cen-tímetro, quilômetro, etc.

Exemplo – Para calcular a área de um retângu-lo com 2m de altura e 120cm de base, pode-mos expressar a área em metros quadrados ouqualquer outra unidade de área.

1. Transformando as medidas em metros

Como h = 2m e b = 120cm = 1,20m, a áreaserá obtida por meio de:

A = b×h

A = (1,20m)×(2m) = 2,40m²

2. Transformando as medidas em centímetros:

Como h = 2m = 200cm e b = 120cm, aárea do retângulo será dada por:

A = b×h

A = (120cm) × (200cm) = 24000cm²

Área do paralelogramo

Combinando os processos para obtenção deáreas de triângulos congruentes com aquelesde áreas de retângulos, podemos obter a áreado paralelogramo.

Qualquer lado do paralelogramo pode ser to-mado como sua base, e a altura correspon-dente é o segmento perpendicular à reta quecontém a base até o ponto onde esta reta inter-cepta o lado oposto do paralelogramo.

No paralelogramo ABCD abaixo, à esquerda,os segmentos verticais tracejados são congru-entes, e qualquer um deles pode representar aaltura do paralelogramo em relação à base AB.

Figura 01

Figura 02

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No paralelogramo RSTV acima, à direita, osdois segmentos tracejados são congruentes, equalquer um deles pode representar a alturado paralelogramo em relação à base RV.

A área A do paralelogramo é obtida pelo pro-duto da medida da base b pela medida daaltura h, isto é, A = b × h.

Demonstração – Construímos o paralelo-gramo ABCD com base AB e altura BX. Pelospontos A e B, traçamos duas retas perpendic-ulares a AB até encontrarem CD, formando oretângulo ABXY de área A=bh.

Figura 01

Figura 02

Os triângulos ADY e BCX são congruentes,pois são triângulos retângulos; possuem hipo-tenusas congruentes, pois são lados opostosde um paralelogramo (AD e BC) e um dos cate-tos congruentes pois (AY=BX) por serem para-lelas compreendidas entre paralelas. Portantoa área do retângulo ABXY é b.h e é igual a áreado paralelogramo ABCD.

Área do losangoO losango é um paralelogramo, e a sua área étambém igual ao produto do comprimento damedida da base pela medida da altura.

A área do losango é o semiproduto das medi-das das diagonais, isto é, A = (d1 × d2)/2.

Demonstração – Seja o losango ABCD cujasdiagonais AC e BD são tais que m(AC)=d1 em(BD)=d2.

Se traçarmos paralelas às diagonais pelos vér-tices, formamos o retângulo MNOP, cuja área éo dobro da área do losango. Como a área doretângulo é d1 × d2, então a área do losango édada por A=1/2(d1 × d2).

Área do trapézio

Em um trapézio, existe uma base menor de me-dida b1, uma base maior de medida b2 e umaaltura com medida h.

A área A do trapézio é o produto da média arit-mética entre as medidas das bases pela medi-da da altura, isto é, A = (b1 + b2).h/2.

1. Calcular a área de um quadrado de diagonalmedindo 4cm.

Solução

HIPÓTESE TESE

ABCD é um losangom(AC) = d1, m(BD)= d2 e AC⊥BD.

Área do losango =(d1×d2)/2

HIPÓTESE TESE

ABCD é um parale-logramo AB = b eBX ⊥ CD com BX = h

Área do paralelogramo

ABCD = b . h

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d = 4cm ⇒

A = L2

A = = 4.2 = 8cm2

2. As diagonais de um retângulo medem 20cmcada uma, e formam um ângulo de 60º. Deter-mine a área desse retângulo.

Solução

h2 = 102 + 102 – 2.10.10.cos 60º

h2 = 100 + 100 – 200.1/2 = 100 ⇒ h = 10cm

Por outro lado temos que:

b2 = 102 + 102 – 2.10.10.cos 120º

b2 = 100 + 100 – 200.(–cos60º)

b2 = 200 + 100

b = cm

Portanto A = b.h = 10. = cm2

3. Determine a área de um trapézio isósceles debases medindo 8cm e 10cm, sabendo- se queum de seus ângulos internos mede 60o.

Solução

tg60º = 1/h ⇒ = 1/h ⇒ cm

A =

3. A área de um retângulo é 40cm2, e sua baseexcede em 6cm sua altura. Determine a alturado retângulo.

4. Um retângulo tem 24cm2 de área e 20cm deperímetro. Determine suas dimensões.

5. A base de um retângulo é o dobro de sua al-tura. Determine suas dimensões, sendo 72cm2

sua área.

6. As bases de um trapézio isósceles medem,respectivamente, 4cm e 12cm. Determine a áreadesse trapézio, sabendo que o semiperímetrodo trapézio é igual a 13cm.

7. Uma das bases de um trapézio excede a outraem 4cm. Determine as medidas dessas bases,sendo 40cm2 a área do trapézio e 5cm a altura.

8. As diagonais de um losango estão entre si

como . Determine a área desse losango

sabendo que a soma de suas diagonais é igualao perímetro de um quadrado de 81 cm2 deárea.

9. O perímetro de um losango é de 60cm. Calculea medida de sua área, sabendo que a suadiagonal maior vale o triplo da menor.

10. Determine o lado de um quadrado, sabendoque, se aumentarmos seu lado em 2cm, suaárea aumenta em 36cm2.

11. Determine a área de um quadrado cujo perí-metro é igual ao perímetro de um retângulocuja base excede em 3cm a altura, sendo 66cma soma do dobro da base com o triplo da altura.

12. Um quadrado e um losango têm o mesmoperímetro. Determine a razão entre a área doquadrado e do losango, sabendo que as dia-

gonais do losango estão entre si como e

que a diferença entre elas é igual a 40cm.

13. As bases de um trapézio retângulo medem 3me 18m e o perímetro 46m. Determine a área.

14. A altura de um trapézio isósceles mede m,a base maior 14m e o perímetro 34m.Determine a área desse trapézio.

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15. De um losango, sabemos que uma diagonalexcede a outra em 4m e que esta, por sua vez,excede o lado em 2m. Determine a área desselosango.

16. A diagonal maior de um trapézio retângulo ébissetriz do ângulo agudo. Se a altura e a basemaior medem 5m e 25m, determine a áreadesse trapézio.

17. Uma diagonal de um losango mede 40m e suaaltura 24m. Determine a área desse losango.

Euclides e os “Elementos”

Pouco se sabe sobre a vida e a personalidadede Euclides e desconhece-se a data de seunascimento. É provável que sua formaçãomatemática tenha-se dado na escola platôni-ca de Atenas. Ele foi professor do Museu emAlexandria.

Euclides escreveu cerca de uma dúzia detratados, cobrindo tópicos desde óptica, as-tronomia, música e mecânica, até um livrosobre secções cônicas; porém mais da me-tade do que ele escreveu perdeu-se. Entre asobras que sobreviveram até hoje temos: Oselementos, Os dados, Divisão de Figuras, OsFenômenos e Óptica.

Os Elementos de Euclides não tratam apenas degeometria, mas também de teoria dos númerose de álgebra elementar (geométrica). O livrocompõe-se de quatrocentos e sessenta e cinco

proposições distribuídas em treze livros oucapítulos, dos quais os seis primeiros sãosobre geometria plana elementar, os trêsseguintes sobre teoria dos números, o livro Xsobre incomensuráveis e os três últimos tra-tam de geometria no espaço.

O livro I começa com definições, axiomas epostulados. As quarenta e oito proposições dis-tribuem-se em três grupos: as primeiras vinte eseis tratam de propriedades do triângulo eincluem os três teoremas de congruência; asproposições de vinte e sete a trinta e dois esta-belecem a teoria das paralelas e provam que asoma dos ângulos de um triângulo é igual adois ângulos retos; as proposições de trinta etrês a quarenta e seis lidam com paralelo-gramos, triângulos e quadrados, com atençãoespecial a relações entre áreas; a proposiçãoquarenta e sete é o Teorema de Pitágoras, coma demonstração atribuída ao próprio Euclides;e a proposição quarenta e oito é o recíproco doTeorema de Pitágoras. Acredita-se que a maio-ria do material desse livro foi desenvolvidopelos antigos pitagóricos.

O livro II apresenta quatorze proposições quelidam com transformações de áreas e com aálgebra geométrica da escola pitagórica, queinclui os equivalentes geométricos de muitasidentidades algébricas.

O livro III, consiste em trinta e nove proposi-ções contendo muitos dos teoremas famil-iares sobre círculos, cordas, secantes, tan-gen-tes e medidas de ângulos. No livro IV,encontramos dezesseis proposições que dis-cutem a construção, com régua e compasso,de polígonos regulares de três, quatro, cinco,seis e quinze lados, bem como inscriçãodesses polígonos num círculo dado.

O livro V é uma exposição da teoria das pro-porções. Foi por meio dessa teoria, aplicáveltanto a grandezas comensuráveis como agrandezas incomensuráveis, que se resolveuo problema dos números irracionais desco-bertos pelos pitagóricos. O livro VI aplica ateoria eudoxiana das proporções à geometriaplana. Encontramos nele os teoremas funda-mentais da semelhança de triângulos; cons-truções de terceira, quartas e médias propor-

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cionais; a resolução geométrica de equaçõesquadráticas; a demonstração que a bissetrizde um ângulo de um triângulo divide o ladooposto em segmentos proporcionais aos ou-tros dois lados; uma generalização do teore-ma de Pitágoras na qual, em vez de quadra-dos, traçam-se sobre os lados de um triângu-lo retângulo três figuras semelhantes descri-tas de maneira análoga.

O livro VII começa com o processo, hoje con-hecido como algoritmo euclidiano, para acharo máximo divisor comum de dois ou maisnúmeros inteiros, que ele usa para verificar sedois inteiros são primos entre si; encon-tramos também uma exposição da teoria dasproporções numérica ou pitagórica.

O livro VIII ocupa-se largamente das pro-porções contínuas e progressões geométri-cas relacionadas. O livro IX contém muitosteoremas significativos: teorema fundamentalda aritmética (todo número inteiro maior que1 pode-se expressar como produtos de pri-mos); fórmula da soma dos primeiros n ter-mos de uma progressão geométrica; fórmulapara números perfeitos. O livro X focaliza osirracionais, isto é, comprimentos de segmen-tos de reta incomensuráveis com um seg-mento de reta dado.

Os três últimos livros (XI, XII, XIII) tratam degeometria sólida. As definições, os teoremassobre retas e planos no espaço e os teore-mas sobre paralelepípedos encontram-se nolivro XI. O método de exaustão desempenhaum papel importante na abordagem de vo-lumes do livro XII. No livro XIII, desenvolvem-se construções visando à inscrição dos cincopoliedros regulares numa esfera.

Para finalizar, uma palavra sobre o significadodo termo “elementos”. Segundo Proclo, osgregos antigos definiam os “elementos” de umestudo dedutivo como os teoremas- mestres,de uso geral e amplo no assunto. Euclides, nolivro Os Elementos, tomou como base cincoaxiomas e cinco postulados geométricos e ten-tou deduzir todas as suas quatrocentos esessenta e cinco proposições dessas dez afir-mações. Certamente um dos grandes feitosdos matemáticos gregos antigos foi a criaçãoda forma postulacional de raciocínio.

TEMA 35

ÁREA DE FIGURAS PLANAS – POLÍGONOS

Definição

O conceito de região poligonal

Uma região poligonal é a reunião de um núme-ro finito de regiões triangulares não-sobre-postas e coplanares (estão no mesmo plano).Na gravura abaixo, apresentamos quatro re-giões poligonais. Observe que uma região tri-angular é por si mesma uma região poligonale, além disso, uma região poligonal pode con-ter “buracos”.

Uma região poligonal pode ser decompostaem várias regiões triangulares, e isso pode serfeito de várias maneiras

Duas ou mais regiões poligonais são não-sobre-postas quando a interseção de duas regiõesquaisquer é vazia, é um conjunto finito de pon-tos, é um segmento de reta ou é um conjuntofinito de pontos e um segmento de reta.

O estudo de área de regiões poligonais depen-de de alguns conceitos primitivos:

1. A cada região poligonal corresponde umúnico número real positivo chamado área.

2. Se dois triângulos são congruentes, entãoas regiões limitadas por eles possuem amesma área.

3. Se uma região poligonal é a reunião de nregiões poligonais não-sobrepostas, entãosua área é a soma das áreas das n-regiões.

Observação – Para facilitar o estudo deregiões poligonais, adotaremos as seguintespráticas:

a. Os desenhos de regiões poligonais serãosombreadas apenas quando houver possi-bilidade de confusão entre o polígono e aregião.

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b. Usaremos expressões como “a área dotriângulo ABC” e “a área do retânguloRSTU” no lugar de expressões como “aárea da região triangular ABC” e “a área daregião limitada pelo retângulo RSTU”.

Exemplo – A área da figura poligonal ABCDE-FX pode ser obtida pela decomposição daregião poligonal em regiões triangulares.

Após isso, realizamos as somas dessas áreastriangulares.

Área(ABCDEFX) = área(XAB) + área(XBC)+...+ área(XEF)

Unidade de área

Para a unidade de medida de área, traçamosum quadrado cujo lado tem uma unidade decomprimento.

Esta unidade pode ser o metro, o centímetro, oquilômetro, etc.

Polígonos regulares

Um polígono regular é aquele que possui to-dos os lados congruentes e todos os ânguloscongruentes. Existem duas circunferências as-sociadas a um polígono regular.

Circunferência circunscrita – Em um polí-gono regular com n lados, podemos construiruma circunferência circunscrita (por fora), queé uma circunferência que passa em todos osvértices do polígono e que contém o polígonoem seu interior.

Circunferência inscrita – Em um polígonoregular com n lados, podemos colocar uma cir-cunferência inscrita (por dentro), isto é, umacircunferência que passa tangenciando todosos lados do polígono e que está contida nopolígono.

Elementos de um polígono regular

1. Centro do polígono é o centro comum àscircunferências inscrita e circunscrita.

2. Raio da circunferência circunscrita é adistância do centro do polígono até um dosvértices.

3. Raio da circunferência inscrita é o apó-tema do polígono, isto é, a distância do cen-tro do polígono ao ponto médio de um doslados.

4. Ângulo central é o ângulo cujo vértice é ocentro do polígono e cujos lados contêmvértices consecutivos do polígono.

5. Medida do ângulo central de um polígonocom n lados é dada por 360/n graus. Porexemplo, o ângulo central de um hexágonoregular mede 60 graus, e o ângulo centralde um pentágono regular mede 360/5=72graus.

Áreas de polígonos regulares

Traçando segmentos de reta ligando o centrodo polígono regular a cada um dos vérticesdesse polígono de n-lados, iremos decomporesse polígono em n triângulos congruentes.

Apótema: OM, Raios: OA,OF Ângulo central: AOF

Apótema: OX, Raios: OR, OT Ângulo central: ROT

1 unidadequadrada

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Assim, a fórmula para o cálculo da área daregião poligonal regular será dada pela metadedo produto da medida do apótema a peloperímetro P, isto é:

A = a × Perímetro / 2

Demonstração – Seja o polígono regular RTUV,..., a

o apótema e s o comprimento de cada lado do polí-

gono. Traçando raios OR, OT, OU..., o polígono fica

decomposto em n triângulos congruentes.

A área de cada triângulo é At = s×a/2. Assim, a área

A do polígono será:

A = n At = n(s×a)/2 = n×s×a/2

mas, ns=P, assim a área do polígono com n lados é:

A = a × P / 2

Comparando áreas entre polígonos semelhantes

Apresentamos, abaixo, dois pentágonos irreg-ulares semelhantes. Dos vértices correspon-dentes A e L, traçamos diagonais decompon-do cada pentágono em três triângulos.

Os pares de triângulos correspondentes ABC eLMN, parecem semelhantes, o que pode serverificado diretamente por meio da medição deseus ângulos com um transferidor. Assumire-mos que tal propriedade seja válida para polí-gonos semelhantes com n lados.

Observação: Se dois polígonos são semel-hantes, eles podem ser decompostos nomesmo número de triângulos e cada triângulo

é semelhante ao triângulo que ocupa aposição correspondente no outro polígono.

Este fato e o teorema sobre razão entre áreasde triângulos semelhantes são usados parademonstrar o seguinte teorema sobre áreas depolígonos semelhantes.

Teorema – A razão entre áreas de dois polí-gonos semelhantes é igual ao quadrado da ra-zão entre os comprimentos de quaisquer doislados correspondentes.

O círculo como o limite de regiões poligonais regulares

Nas figuras abaixo, temos três regiões poligo-nais regulares inscritas em círculos congruentes.

Quando aumenta o número de lados do polí-gono inscrito observamos que também aumenta:

1. O apótema, aproximando-se do raio do cír-culo como um limite.

2. O perímetro, aproximando-se da circunfer-ência do círculo como um limite.

3. A área, aproximando-se da área do círculocomo um limite.

Neste trabalho, não é possível apresentar umadefinição precisa de limite e sem ela não po-demos construir uma expressão matemáticapara o cálculo do perímetro ou da área de umaregião poligonal regular inscrita num círculo.

A idéia de limite permite-nos aproximar operímetro da circunferência pelo perímetro dopolígono regular inscrito nessa circunferência,à medida que o número de lados do polígonoaumenta.

HIPÓTESE TESE

Polígono regular devértices R, T, U, V,...,apótema a, lado decomprimento s, pe-rímetro P e área A.

Área = a×P/2

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O mesmo ocorre com o cálculo da área do círcu-lo, pois à medida que o número de lados daregião poligonal inscrita aumenta, as áreas des-sas regiões se aproximam da área do círculo.Esse também é um processo através de limites.

1. Determine a área de um triângulo equilátero dealtura igual a 3cm.

Solução

h = 3cm

2. Calcular a área de um hexágono regular de apó-tema igual a 2cm.

Solução

1. Qual a área do triângulo equilátero inscritonum círculo de raio 2cm?

2. De um pedaço quadrado de metal, corta-seuma peça circular de diâmetro máximo e destacorta-se outro quadrado de lado máximo. Quala quantidade de material desperdiçado?

3. Dado um hexágono regular (ABCDEF) de ladoL, calcule a área do quadrilátero ACDE emfunção de L.

4. Sendo A a área de um quadrado inscrito emuma circunferência, qual a área de um quadra-do circunscrito na mesma circunferência?

5. O lado, a altura e a área de um triângulo equi-látero formam, nessa ordem, uma progressãogeométrica. Qual é o perímetro do triângulo?

6. Qual a área da figura que se obtém eliminan-do-se do hexágono de lado 2 a sua inter-secção como os 6 círculos de raios unitários ecentros nos vértices do hexágono?

7. O triângulo ABC é eqüilátero, D e E são pontosmédios de BH e CH. Comparar as áreas: S1 dotrapézio DHCM com s2 do retângulo DEGH.

8. Sendo a área de um círculo igual à de um qua-drado, qual é a relação entre o raio daquele eo lado deste?

9. De um pedaço quadrado de metal corta-seuma peça circular de diâmetro máximo e destacorta-se outro quadrado de lado máximo. Oprocesso é repetido por mais uma vez. Qual aquantidade de material desperdiçado?

10. Calcular a área do triângulo equilátero circun-scrito a um círculo de área 4πcm2.

11. Considere um quadrado de lado 2. Unindo ospontos médios dos lados desse quadrado,obtém-se um novo quadrado. Unindo os pon-tos médios desse novo quadrado, obtém-seoutro quadrado. Repetindo-se esse processoindefinidamente, qual a soma das áreas detodos esses quadrados?

12. Um octógono regular é formado cortando-secada canto de um quadrado de lado 6. Quantomede o lado do octógono?

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GEORG FERDINAND LUDWIG PHILIPP CANTOR

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (3de Março, 1845, São Petersburgo – 6 deJaneiro, 1918, Halle, Alemanha) foi um ma-temático alemão de origem russa conhecidopor ter criado a moderna Teoria dos Conjun-tos. Foi a partir dessa teoria que se chegou aoconceito de número transfinito, incluindo asclasses numéricas dos cardinais e ordinais,estabelecendo a diferença entre esses doisconceitos que colocam novos problemasquando se referem a conjuntos infinitos.

Nasceu em São Petersburgo (Rússia), filho deum comerciante dinamarquês, Geor WaldemarCantor, e de uma música russa, Maria AnnaBöhm. Em 1856, a sua família mudou-se paraa Alemanha, onde ele continuou os seus estu-dos. Estudou na Escola Politécnica de Zurique.Doutorou-se na Universidade de Berlim em1867. Teve como professores Ernst Kummer,Karl Weierstrass e Leopold Kronecker.

Em 1872, foi docente na Universidade alemãde Halle, onde obteve o título de professor em1879. Toda a sua vida irá tentar em vão deixarHalle, tendo acabado por pensar que era víti-ma de uma conspiração.

Cantor provou que os grupos infinitos nãotêm todos a mesma potência (potência signif-

icando "tamanho"). Fez a distinção entre gru-pos numeráveis (ou enumeráveis) (em inglêschamam-se countable – que se podem con-tar) e grupos contínuos (em inglês uncoun-table – que não se podem contar). Provouque o conjunto dos números racionais Q é(e)numerável, enquanto que o conjunto dosnúmeros reais IR é contínuo (logo, maior queo anterior). Na demonstração, foi utilizado océlebre argumento da diagonal de Cantor oumétodo diagonal. Nos últimos anos de vida,tentou provar, sem o conseguir, a “hipótesedo contínuo”, ou seja, que não existem con-juntos de potência intermédia entre os nume-ráveis e os contínuos – em 1963, Paul Cohendemonstrou a indemonstrabilidade dessahipótese. Em 1897, Cantor descobriu váriosparadoxos suscitados pela Teoria dos conjun-tos. Foi ele que utilizou, pela primeira vez, osímbolo IR para representar o conjunto dosnúmeros reais.

Durante a última metade da sua vida, sofreurepetidamente de ataques de depressão, oque comprometeu a sua capacidade de tra-balho e forçou-o a ficar hospitalizado váriasvezes. Provavelmente, ser-lhe-ia diagnostica-do, hoje em dia, um transtorno bipolar – vulgomaníaco-depressivo. A descoberta do Para-doxo de Russell conduziu-o a um esgotamen-to nervoso do qual não chegou a se recuper-ar. Começou, então, a se interessar por liter-atura e religião. Desenvolveu o seu conceitode Infinito Absoluto, que identificava a Deus.Ficou na penúria durante a Primeira GuerraMundial, morrendo num hospital psiquiátricoem Halle.

Os conceitos matemáticos inovadores pro-postos por Cantor enfrentaram uma resistên-cia significativa por parte da comunidade ma-temática da época. Os matemáticos moder-nos, por seu lado, aceitam plenamente o tra-balho desenvolvido por Cantor na sua Teoriados conjuntos, reconhecendo-a como umamudança de paradigma da maior importância.

Nas palavras de David Hilbert:

“Ninguém nos poderá expulsar do Paraísoque Cantor criou.”

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TEMA 36


Teorema de Pitágoras

Usando o material concreto, demonstre oTeorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras diz que, em um triân-gulo retângulo, o quadrado da hipotenusa éigual à soma dos quadrados dos catetos. Seconstruirmos quadrados sobre os lados a, b ec do triângulo retângulo, esses quadrados te-rão áreas a2, b2 e c2. Assim, podemos enunciaro Teorema de Pitágoras da seguinte forma: aárea do quadrado construído sobre ahipotenusa é igual à soma das áreas dosdois quadrados construídos sobre os cate-tos. Podemos tornar o entendimento do Teo-rema mais lúdico por meio de recorte que nosajudem a visualizar sua demonstração. A partirde critérios de recorte aplicados aos quadra-dos menores (construídos sobre os catetos),podemos montar o quadrado maior (construí-do sobre a hipotenusa) por meio de quebra-cabeças que ilustram, e até mesmo demon-stram, o Teorema de Pitágoras!

Material necessário: papel-cartão ou cartoli-na, tesoura, régua, compasso, lápis e bor-racha.

Objetivo: provar o Teorema de Pitágoras, comuso de quebra-cabeças.

Procedimentos:

Construção:

1. Num papel-cartão ou cartolina, recorte qua-tro triângulos retângulos congruentes,commedidas a = 4cm e b = 3cm, por exemplo.

2. Em seguida, recorte um quadrado cujo ladotem comprimento igual a c = 5cm, compri-mento da hipotenusa dos triângulos retân-gulos.

Com as cinco peças construídas e em mãos, épossível encaixá-las e montar o conjunto, re-presentado na figura a baixo.

A montagem realizada representa um quadra-do de lado c, inscrito num quadrado maior, cujolado tem comprimento a+b. Essa montagempermite a prova do Teorema de Pitágoras.

Como o quadrado maior tem lado de compri-mento a + b, então a área A tem por medida:

A = (a + b)2.

Em contrapartida, como esse quadrado maioré composto das cinco peças do quebra-cabe-ças (quatro triângulos retângulos e um quadra-do), somando as áreas, encontramos:

Igualando os dois valores para a área, segue:

(a + b)2 =

a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2

a2 + b2 = c2, comprovando o Teorema dePitágoras.

Observação – Ao provar este teorema pormeio do uso do material concreto do quebra-cabeças, para estudantes do ensino médio, omomento é ideal para convencê-los da necessi-dade de provar que é verdadeiramente umquadrado a figura formada com o encaixe dascinco peças do quebra-cabeças. A argumentação

111


que permite sustentar essa conclusão é o fatode que a soma dos ângulos agudos de um triân-gulo retângulo é 90o. Portanto, quando os triân-gulos retângulos são encaixados para formaruma só figura, os lados de dois triângulos con-secutivos ficam alinhados.

OUTRAS MANEIRAS DE DEMONSTRAR OTEOREMA DE PITAGORAS.’

Critério de recorte 01

Os critérios de recorte da figura serão nossashipóteses na demonstração. As diagonais pon-tilhadas desenhadas na figura vão auxiliar a vi-sualização durante a demonstração. Considereo quadrado médio (de lado AB) e encontre ocentro M desse quadrado. Trace retas parale-las aos lados do quadrado maior (de lado BC)passando por M. O quadrado médio está,agora, divido em quatro partes.

Demonstração

Observe que, para montar o quadrado grande,basta transladar as peças do quadrado médioe completar o centro com o quadrado menor.Os vetores de translação têm origem no pontoM e extremidades nos vértices do quadradomaior. A “figura-chave” desta demonstração éo paralelogramo BCDF. Os quadriláteros 1, 2, 3 e4, que compõem o quadrado médio, são con-gruentes, pois os lados DF e EG resultam darotação das diagonais, mantendo, assim, a áreadas figuras constante. Tente observar na figuracom o auxílio das diagonais pontilhadas. Ossegmentos DF e CB são congruentes, assimcomo os segmentos CD e BF, pois são ladosopostos de um paralelogramo. Procure obser-var na figura. Os segmentos DM, MF, EM e MGsão congruentes (de 1) e portanto, com com-primento igual à metade da medida do lado do

quadrado maior (de 1 e 2). Como osquadriláteros 1, 2, 3 e 4 possuem um ânguloreto, eles encaixam-se no quadrado maior. Oquadrado vermelho restante tem lado AC, poisCD-AD=AC e CD=BF.


Os critérios de recorte apresentados abaixo se-rão nossas hipóteses na demonstração. Consi-dere o triângulo retângulo ABC. Construa, so-bre os lados AB e AC, os quadrados ABDE eACFG. “Dobre” (reflita) o quadrado de lado ABem torno deste lado.

Marque os pontos D’, E’ e N. Trace uma retaperpendicular ao segmento BC passando porB e outra passando por C. Chame de H o pontode interseção da segunda reta perpendicularcom o segmento FG. Construa o retângulo delados BC e CH e chame-o de BCHI. Trace umareta perpendicular ao segmento BG passandopor I e chame de J a interseção.

Demonstração

Observe que basta transladar os triângulos co-loridos para que as peças se encaixem. Porém,para a demonstração, precisamos enxergar acongruência dos triângulos destacados. Ostriângulos ABC e FHC são congruentes (ALA).Use a soma de ângulos para ver essa con-gruência. O quadrilátero BCHI é um quadrado,pois os lados BC e CH são congruentes (de 1).Os triângulos amarelos são congruentes, poisambos são congruente ao triângulo ABC (pro-cure fazer demonstração análoga ao item 1). IJ= AB (de 3) e AB = BD’ (lados do quadrado).Os triângulos verdes são congruentes (LAAo).Os ângulos dos triângulos verdes são congru-entes aos ângulos dos triângulos vermelhos:ambos têm ângulo reto; têm ângulos opostospelo vértice e o terceiro vem do “teorema180o”. Os segmentos NC e LH são congru-entes, pois BC=IH e BN=IL. Os triângulos ver-melhos são congruentes (ALA). Assim, vemosque as peças destacadas nos quadradosmenores encaixam-se no quadrado maior.

112



Os critérios de recorte abaixo serão nossashipóteses na demonstração. Considere o triân-gulo retângulo ABC. Construa quadrados so-bre os lados deste triângulo. Considere agorao quadrado maior (de lado BC). Reflita o triân-gulo ABC em torno do Lado BC, de modo queo triângulo refletido fique dentro do quadradomaior. Construa mais três triângulos retânguloscongruentes ao inicial sobre os lados do qua-drado maior, como sugere a figura. Divida doisdestes triângulos em outros dois triângulos, demodo que um desses triângulos seja retânguloisósceles. O recorte do quadrado maior estápronto.

Demonstração

Os triângulos isósceles 3 e 5 tem catetos demedida AC por construção. Logo, encaixam-seno quadrado menor (de lado AC). Os triângu-los 1 e 6 possuem um dos catetos com medi-da AB e outro com medida AC e sua hipote-nusa mede BC, pois são congruentes ao triân-gulo ABC. Os triângulos 2 e 4 são congruentes.Seus lados maiores medem BC. Os lados me-nores medem AB-AC (procure ver na figura). Afigura 7 é um quadrado, pois todos os seus ân-gulos são retos e os seus lados medem AB-AC(veja na figura). Considerando as afirmações 2,3 e 4, concluímos que as figuras 1, 2, 3, 4, 5, 6e 7 encaixam-se no quadrado de lado AB, comomostra a figura. Assim, está provado que aárea do quadrado maior pode ser decompostana área dos dois quadrados menores.

Exercitando

Muitas demonstrações antigas do teorema dePitágoras eram apresentadas apenas mediantefiguras geométricas, e cabia ao leitor observara figura e tentar demonstrá-lo oralmente.

Forme grupos de três pessoas em sala de aulae discuta de que forma estas duas figuras ilus-tram o teorema de Pitágoras.

Apresente o resultado aos demais colegas.

TEMA 37

ÁREA DE FIGURAS PLANAS – CÍRCULO ESUAS PARTES

Definição

Perímetro do círculo e da circunferência

Perímetro da circunferência de um círculo é ovalor limite da seqüência dos perímetros dospolígonos regulares inscritos de n lados na cir-cunferência à medida que o número n de ladosaumenta indefinidamente.

Área do círculo é o valor limite da seqüênciadas áreas das regiões poligonais regulares ins-critas no círculo quando o número n de ladosdas poligonais aumenta arbitrariamente.

Relações associadas ao perímetro

1. Com base nessas duas definições, temosum importante resultado sobre a relaçãoexistente entre o perímetro e o diâmetro dacircunferência:

A razão entre o perímetro e o diâmetro deuma circunferência é uma constante

2. Sejam duas circunferências de diâmetros D1 eD2, com perímetros P1 e P2, respectivamente.A razão entre os perímetros P1 e P2 é igual àrazão entre os diâmetros D1 e D2. Como odiâmetro é o dobro do raio, então, o mesmoocorre para a razão entre os raios r1 e r2.

3. Para todo círculo (e também circunferên-cia), a razão entre o perímetro e o diâmetroé uma constante, denominada Pi, denotadapela letra grega π que é um número irra-cional (não pode ser escrito como a divisãode dois números inteiros). Uma aproxima-ção para Pi com 10 dígitos decimais é:

π = 3,1415926536....

Área do círculo

Área de um círculo de raio r é o limite das áreasdas regiões poligonais regulares inscritas nele.Nesse caso, o diâmetro D = 2r. As fórmulaspara a área do círculo são:

Área = πr² = 1/4 πD²

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Proporção com áreas – Sejam dois círculosde raios, respectivamente, iguais a r1 e r2, áreasA1 e A2 e diâmetros D1 e D2. A razão entre asáreas desses dois círculos é a mesma que arazão entre os quadrados de seus raios ou osquadrados de seus diâmetros.

Arcos

O comprimento de um arco genérico AB podeser descrito em termos de um limite. Imagine-mos o arco AB contendo vários pontos A = Po,P1, P2, P3, ..., Pn – 1, Pn = B, formando npequenos arcos e também n pequenos seg-mentos de reta de medidas respectivas iguaisa: AP1, P1P2, ..., Pn – 1B.

A idéia aqui é tomar um número n bastantegrande para que cada segmento seja pequenoe as medidas dos arcos sejam aproximada-mente iguais às medidas dos segmentos.

O comprimento de um arco AB de uma circun-ferência de raio r é o valor limite da soma doscomprimentos destas n cordas quando n cresceindefinidamente.

Um arco completo de circunferência corre-sponde a um ângulo que mede 360 graus =2πradianos. Se o raio da circunferência for r, operímetro da circunferência coincidirá com ocomprimento do arco da mesma e é dado por:

Perímetro da circunferência = 2πr

Comprimento do arco – Seja um arco AB emuma circunferência de raio r e m a medida doângulo correspondente, sendo m tomado emgraus ou em radianos.

O comprimento do arco pode ser obtido (emradianos) por:

Comprimento do arco AB = πrm/180 = r.m.

Tais fórmulas podem ser justificadas pelasseguintes regras de três simples e diretas.

Se o ângulo relativo ao arco AB mede m graus,obtemos:

360 graus ……… 2 π r

m graus ……… Comprimento de AB

logo:

comprimento do arco AB = mrπ/ 180

Se o ângulo relativo ao arco AB mede m radi-anos, obtemos:

2 π rad ……… 2 π r

m rad ……… comprimento de AB

assim:

Comprimento do arco AB = r m radianos.

Setor circular

Setor circular é uma região limitada por doisraios e um arco do círculo.

Usando a figura acima, podemos extrair algu-mas informações:

1. OACB é um setor circular.

2. OADB é um setor circular.

3. r é o raio de cada um dos setores.

4. ACB é o arco do setor OACB.

5. ADB é o arco do setor OADB.

6. Tomando m como a medida do arco ACB(em graus ou radianos), a área do setor cir-cular OACB será dada por:

Área do setor circular OACB = πr² m/360 =1/2mr²

Basta usar regras de três simples e diretas. Seo ângulo relativo ao arco AB mede m graus,obtemos:

360 graus ……… Área do círculo

m graus ……… Área do setor OACB

logo:

Área(setor OACB) = πr² m / 360

114


m

Se o ângulo relativo ao arco AB mede m radi-anos, obtemos:

2 π rad ……… Área do círculo

m rad ……… Área setor OACB

assim:

Área(setor OACB) = ½ mr² radianos

Segmento circular

Segmento circular é uma região limitada por umacorda e um arco do círculo. Na figura abaixo,existem dois segmentos circulares: o segmen-to ACB e o segmento ADB.

A área do segmento ACB pode ser obtida sub-traindo-se a área do triângulo AOB da área dosetor OACB.

Área(segmento) = Área(setor OACB) –Área(triângulo AOB)

A área do segmento ADB pode ser obtida sub-traindo-se a área do segmento ACB da área docírculo ou somando a área do triângulo AOB àárea do setor OADB.

1. Calcular a área de um círculo limitado por umacircunferência de perímetro igual a 20πcm.

Solução

C = 20πcm

2πr = 20π ⇒ r = 10cm

A = πr2

A = π.102 = 100πcm2

2. Determine a área da região hachurada na figu-ra abaixo:

Solução

S1 = Área do círculo.

S2 = Área do triângulo equilátero.

S = Área hachurada.

S1 = πr2 ⇒ S1 = π.122 = 144π

S2 =

S =

1. Determine a área de um círculo, sabendo queo comprimento de sua circunferência é igual a8πcm.

2. Determine a área de coroa determinada porduas circunferências concêntricas de raios15cm e 12cm.

3. Determine a razão entre as áreas dos círculoscircunscrito e inscrito em um quadrado ABCDde lado a .

115


4. Determine a razão entre as áreas dos círculosinscrito e circunscrito a um hexágono regular.

5. Determine a área de um segmento circular de60o de um círculo que contém um setor circularde 6πcm2 de área, sendo 2π cm o comprimen-to do arco desse setor.

6. Determine a razão entre as áreas dos segmen-tos circulares em que fica dividido um círculo noqual se traça uma corda igual ao raio do círculo.

7. Calcule a área da superfície limitada por seiscírculos de raio unitário com centros nos vér-tices de um hexágono regular de lado 2.

8. Qual a razão entre o raio de um círculo circun-scrito e o raio de um círculo inscrito em umtriângulo ABC de lados a, b, c e perímetro 2p?

9. Dado um triângulo eqüilátero e sabendo queexiste outro triângulo inscrito com os ladosrespectivamente perpendiculares aos do pri-meiro, calcule a relação entre as áreas dosdois triângulos.

10. Calcule a área de um ret6angulo, sabendo quecada diagonal mede 10cm e forma um ângulode 60º.

11. Um losango e um quadrado têm o mesmo perí-metro. Determine a razão da área do losangopara a área do quadrado, sabendo que o ân-gulo agudo formado por dois lados do losangomede 60º.

12. Determine a área de um quadrado inscrito numcírculo em função da diagonal menor d de umdodecágono regular inscrito no mesmo círculo.

13. As projeções que os catetos de um triânguloretângulo determinam na hipotenusa medem16cm e 9cm. Determine a razão entre a áreado círculo inscrito e a área do círculo circun-scrito a esse triângulo.

14. Determine o lado de um losango em função doraio r do círculo inscrito, de modo que a áreado losango seja igual ao dobro da área dessecírculo.

15. Determine a área de um círculo inscrito em umsetor circular de 60º, sendo 12π cm o compri-mento do arco do setor.

CURIOSIDADES SOBRE O NÚMERO π1. Na Bíblia Sagrada, no primeiro livro de

Reis 7:23, existe a passagem:

“Fez também o mar de fundição; era re-dondo e media dez côvados duma bordaà outra, cinco côvados de altura e trintade circunferência.”

A passagem sugere que os construtoresda casa de Salomão usavam o valor 3para a razão entre o diâmetro e o compri-mento da circunferência.

2. Arquimedes (287-212 a.C.) mostrou que ovalor da razão entre o diâmetro e o com-primento da circunferência estava entre3+1/7 e 3+10/71.

3. O símbolo usado para a razão entre odiâmetro e o comprimento da circunferên-cia somente foi introduzido no século XVIII.

4. O valor de π correto com 10 dígitos deci-mais foi usado no cálculo do comprimen-to da linha do Equador terrestre.

5. Uma vez conhecida uma unidade decomprimento, é impossível construir umsegmento de comprimento π por meio derégua e compasso.

6. O número π exerce um papel muito im-portante na Matemática e nas ciências,predominantemente quando determina-mos perímetros, áreas, centros de gravi-dade, informações sobre segmentos esetores circulares e elípticos, inclusive emcálculos de navegação, etc.

116


7. Com o uso de computadores, já foi real-izado o cálculo do valor exato de π commais de cem mil dígitos decimais.

Detalhes sobre o cálculo de Pi – De modoanálogo ao resultado obtido por meio do limitede polígonos regulares inscritos tambémpodemos aproximar o perímetro e a área docírculo de raio r, pelo valor limite de polígonosregulares circunscritos no círculo quando onúmero de lados desse cresce arbitrariamente.

Tais relações estão na tabela com dadossobre o polígono regular dado:

Observe, na tabela, que quanto maior o nú-mero de lados de cada polígono mais dígitosdecimais coincidem para obter o valor do nú-mero Pi, tanto para os polígonos inscritos comopara os circunscritos. Com um polígono de1024 lados, praticamente temos 4 algarismosexatos.

Outra forma (lenta) para obter o número π é:

A forma mais rápida que conhecemos paraobter π, é:

TEMA 38


Construções de triângulos envolvendolados, ângulos e cevianas

Exercício 01

Dados dois lados e a altura relativa a um deles,construir o triângulo ABC, sabendo que:

med(AB) = 4cm

med(AC) = 3,5cm

med(CH) = 2cm

CH é altura relativa ao lado AB

1.o Passo: Faz-se um esboço.

2.o Passo: Traça-se AB sobre uma reta- suporter.

3.o Passo: Traça- se s // r, tal que d(s,r) = 2cm

4.o Passo: Com centro em A e raio com amedida de AC, traça-se um arco, determinan-do- se os pontos C e C’. O problema apresen-ta duas soluções.

5.o Passo: Traçam-se AC e BC(ou AC’ e BC’),determinando- se os triângulos ABC e ABC’.

Número de lados

do polígono

Perímetro do polígono

inscrito divididopor 2r

Perímetro dopolígono

circunscritodividido por 2r

6 3,00000 3,46411

12 3,10582 3,21540

24 3,13262 3,15967

48 3,13935 3,14609

96 3,14103 3,14272

192 3,14145 3,14188

256 3,14151 3,14175

512 3,14157 3,14163

1024 3,14159 3,14160

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Exercício 02

Dados dois lados e a mediana relativa a umdeles, construir o triângulo ABC, considerandoque:

med(AB) = 5cm

med(BC) = 3cm

med(CM) = 2cm

CM é a mediana relativa ao lado AB

1.o Passo: Faz-se um esboço

2.o Passo: Traça- se AB

3.o Passo: Determina-se M, ponto médio deAB.

4.o Passo: Com centro em M e raio com amedida de CM, traça-se um arco.

5.o Passo: Com centro em B e raio com amedida de BC, traça- se um arco, determinan-do-se o ponto C.

6.o Passo: Traçam-se AC e BC, determinando-se o ΔABC

118


TEMA 39


POLÍGONOS EQÜIDECOMPONÍVEIS

Existem teoremas simples e interessantes emMatemática, por meio dos quais podemos de-senvolver boa parte de conteúdos que fazemparte dos programas de nossas escolas. Setemos um objetivo bem definido a ser atingido,no caso a demonstração de um resultado inter-essante, certamente o desenvolvimento deconceitos e propriedades torna-se muito maissignificativo, e com isso os alunos aprendemcom entusiasmo.

Um exemplo disso é o seguinte teorema:

“Se dois polígonos têm a mesma área,então sempre é possível decompor umdeles em polígonos menores de modo acompor o outro.”

Em outras palavras, podemos decompor osdois polígonos em polígonos menores, dois adois congruentes. Isso significa que os doispolígonos podem ser decompostos igualmen-te, e por isso são ditos “polígonos eqüidecom-poníveis”.

Em algumas situações, dependendo da formae do dimensionamento dos polígonos, pode-mos descobrir facilmente uma eqüidecompo-sição. Por exemplo, nos pares de polígonosabaixo

Daniela Stevanin Hoffmann e Maria Alice Gravina

TRANSFORMAÇÃO DE UM TRIÂNGULO EMRETÂNGULO

No triângulo, temos a reta HE passando pelospontos médios dos lados AB e AC, e o seg-mento AG perpendicular a essa reta. Conformeindicam as cores, usando o trapézio BCEH eos triângulos AHG e EAG, construímos retân-gulo com a mesma área do triângulo. Intuiti-vamente, podemo-nos convencer de que aspeças que compõem o triângulo encaixam-seperfeitamente na composição do retângulo. Senossa abordagem é dentro do espírito da geo-metria dedutiva, devemos mostrar que as re-giões triangulares que completam o retânguloobtido a partir do trapézio são de fato congru-entes aos triângulos menores que fazem partedo triângulo dado.

DEMONSTRAÇÃO

Sobre o triângulo dado ABC, construímos umretângulo com base igual à de um dos ladosdo triângulo e o lado paralelo à base, passan-do pelos pontos médios de AB e AC. Traçamoso segmento AG perpendicular à HE. Devemosmostrar que os dois triângulos no triângulo dadosão congruentes aos triângulos pontilhados doretângulo. De fato, isso acontece. Os triângu-los AGH e BDH são congruentes, pois:

• os lados AH e BH são congruentes já que Hé ponto médio de AB;

• os ângulos AGH e BDH são retos;

• os ângulos AHG e BHD são congruentes jáque opostos pelo vértice.

Com raciocínio análogo, mostra-se que tam-bém são congruentes os triângulos AGE eCFE.

Assim podemos concluir que as peças quecompõe o triângulo ABC se encaixam perfeita-mente no retângulo construído.

Quadrado e retân-gulo com mesmaárea.

Quadrado e retân-gulo tais que umdos lados do retân-gulo é o dobro dolado do quadrado

Paralelogramo e re-tângulo com mes-mas bases e alturas.

119


TRANSFORMAÇÃO DE UM POLÍGONO EMUM QUADRADO

As transformações feitas até agora resolvemfacilmente o problema de transformar um polí-gono em quadrado de mesma área. Inicial-mente, decompomos o polígono em triângulose transformamos cada um destes em retângulo:

A seguir, transformamos cada um dos retângu-los em quadrado:

Finalmente, transformamos cada dois quadra-dos num quadrado, até chegar a um únicoquadrado com área igual à soma das áreasdos quadrados de partida:

O quadrado obtido no fim tem área igual à dopolígono inicial, já que todas as transforma-ções foram feitas preservando-se as áreas.

TEMA 40


DOBRADURAS PARA IDENTIFICAR OSPONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO

Material necessário: papel oficio, tesoura, lápis,régua.

Objetivos:

• Obter a Mediana, Bissetriz e Altura referen-tes a um dos lados de um triângulo.

• Obter o baricentro, o incentro, e o ortocen-tro referentes a um triângulo.

Procedimentos:

Usando um triângulo, obtenha a bissetriz, a al-tura e a mediana relativas ao ângulo A, pormeio da técnica da dobradura.

1. Bissetriz

A bissetriz do triângulo é obtida, fazendo coin-cidir dois lados adjacentes

→AB e

→AC do triângu-

lo de modo que um lado fique sobre o outro, istoé, de forma que o ângulo seja dividido ao meio.

Faça o mesmo procedimento em relação aosoutros ângulos, e encontre o incentro.

2. Altura

A altura do triângulo relativa ao ângulo A é obti-

120


da, quando se dobra a base →

BC do triângulo demodo que esta fique sobre ela mesma. O seg-mento

→BC é a altura relativa ao ângulo A

O segmento →

AH é a altura do triângulo.

Faça o mesmo procedimento em relação aosoutros ângulos, e encontre o ortocentro.

Pergunta-se: o que aconteceria se o triângulofosse isosceles?

Ponto médio

Para encontrar o ponto médio de um triângulorelativo ao ângulo A, deve-se dobrar o triângu-lo, fazendo os pontos extremos da base B e Ccoincidirem.

3. Mediana

A mediana de um triângulo é obtida unindo-seo ponto médio ao ângulo oposto.

O segmento →

AM é a Mediana do triângulo.Faça o mesmo procedimento em relação aosoutros ângulos, e encontre o baricentro.

121


123

UNIDADE VIAtividades de laboratório

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Geometria I – Atividades de laboratório

ATIVIDADE 1

BISSETRIZ DE UM ÂNGULO


Objetivo: obter a bissetriz de um ângulo AÔBdado.

Procedimentos:

1. Com a ponta-seca do compasso em O,traça-se um arco determinando M e N.

2. Com a ponta-seca do compasso em M edepois em N, traçam-se, com a mesmaabertura do compasso, os arcos que se cor-tam em D.

3. Traça-se a semi-reta →

OD . A semi-reta→

ODé a bissetriz do ângulo AÔB.

Exercitando:

Com a ajuda de um transferidor, trace um ân-gulo de 70º. Usando esse procedimento, cal-cule a bissetriz desse ângulo.

ATIVIDADE 2

MEDIATRIZ DE UM SEGMENTO

Chama-se mediatriz de um segmento a retatraçada perpendicularmente pelo ponto médiodesse segmento.


Objetivo: obter o ponto médio de um segmen-to

→AB dado.

Procedimentos:

1. Com a ponta-seca do compasso em A e aabertura do compasso maior que a metadeda medida do segmento AB, traça-se doisarcos: um abaixo e outro acima de

→AB.

2. Com a ponta-seca do compasso em B e amesma abertura do compasso, traçamos doisarcos que cortam os primeiros em C e em D.

3. Trace a reta →

CD, que cruza →

AB, no ponto M.

M é o ponto médio de→

AB→

CD é a mediatriz de→

AB.

ATIVIDADE 3

ATIVIDADES COM GEOPLANO

126


Objetivo:

• Obter figuras geométricas planas usando o

geoplano.

Material Necessário: um tabuleiro de madeira;

pregos; martelo; ligas ou elásticos coloridos.

Confecção:

1. Usando um tabuleiro de madeira (20cm x

20cm), colocar os pregos conforme o modelo.

Atividade 1.

Usando o geoplano, confeccionar figuras planas.

ATIVIDADE 4

1. Formar triângulos.

2. Formar quadriláteros;

Observação – A partir dos triângulos forma-

dos, classificar cada um deles em: Isósceles,

escaleno; identificar os eqüiláteros e os retân-

gulos.

Exercitando:

1. Usando o geoplano, forme um quadrilátero e

classifique-o.

2. Forme um retângulo qualquer no geoplano e

determine o perímetro e a área desse retângulo.

ATIVIDADE 5

ATIVIDADES COM AS FORMAS GEOMÉTRICAS

• Material necessário: papel-cartão ouemborrachado ou papel dupla face (em 5cores diferentes ) lápis, régua, tesoura ecompasso.

Objetivo: confeccionar os polígonos de difer-entes formas e cores.

• Criar malhas e mosaicos; contagem; classi-ficação: semelhanças e diferenças; con-gruência, semelhança e equivalência.

Procedimentos:

Atividades que se pode desenvolver com asformas geométricas:

1. Classificação os polígonos considerandoas: Semelhanças e diferenças.

2. Criar Malhas ou mosaicos usando os polí-gonos.

3. Cálculo do perímetro e da área.

ATIVIDADE 6

ATIVIDADES COM GEOPLANO

• Contagem.

• Operações fundamentais e propriedades.

• Linhas, regiões, fronteiras, linhas retas.

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• Figuras geométricas bidimensionais.

• Cálculo do perímetro e da área.

• Coletas e organizações de dados.

• Gráficos e tabelas.

ATIVIDADE 7

ATIVIDADES COM GEOPLANO CIRCULAR

• Número, seqüências e contagens,

• Polígonos e polígonos regulares,

• Ângulos e arcos,

• Circunferência e círculos,

• Cálculo de perímetro e áreas.

Materiais necessários

• Madeira ou acrílico.

• Pregos e pinos.

• Martelo.

ATIVIDADE 8

CONSTRUINDO FIGURAS CONGRUENTES

Rotação

Pode ser entendida pela transformação, porgiro em torno de J, de um ponto S no plano emum ponto L’ de tal forma que os segmentos JSe JL’ sejam congruentes.

Uma rotação fica determinada por um sentido(horário ou anti-horário) e por um ângulo de giro.

Veja esta seqüência de rotações:

A construção do rotor de Sylvester feita assim:

Observe a figura.

• Construiu-se duas hastes SA e AF detamanhos quaisquer.

• Duas outras hastes AB = SA e FC = SA.

• Duas outras LC = AF e BC = AF.

• Ângulos SAB = BCL.

Novamente, o ponto L faz o papel do lápis dafigura a ser rotada a partir de movimento doponto S.

Para mostrarmos que esse instrumento fun-ciona como rotor de figuras basta quemostremos que os ângulos SAB e SFL sãoiguais e que os segmentos FS e FL sejamtambém iguais.

128


ATIVIDADE 9

CONSTRUINDO FIGURAS SEMELHANTES

PANTÓGRAFO

Definimos uma transformação geométricacomo sendo uma correspondência, um a um,entre pontos de um mesmo plano ou de planosdiferentes.

Nosso propósito aqui é estudar uma transfor-mação especial, que quando aplicada a figurasdo plano, pode alterar suas medidas, amplian-do ou reduzindo a figura original, ou seja, éuma transformação que relaciona figuras se-melhantes.

O instrumento que apresentamos anterior-mente, o pantógrafo (pantos = tudo + graphein= escrever) corresponde a esta transformação:amplia ou reduz a figura original.

Vamos entender agora por que o pantógrafode fato realiza tal transformação.

Para isso, precisamos deixar claro os princí-pios de construção do instrumento:

Observe a figura.

• Constroem-se duas hastes AL e CS, obser-vando que o fator de ampliação é dado porAL / AB.

• Uma terceira haste FA = AL.

• Outra haste BS = AL - CS.

• Marca-se em FA um ponto C, e em AL umponto B, tais que: AC = BS e AB = CS.

Observe que os pontos L e S percorrem a figu-ra a ser reproduzida, assumindo os papéis delápis ou ponta-seca de um compasso. A figuraé ampliada se escolhermos o ponto S como

ponta-seca e é reduzida se escolhermos Lcomo ponta-seca.

Para que esse instrumento realmente funcionecomo um ‘ampliador’ de figuras, é preciso queAL / AB seja igual a FL / FS, isto é, S deve per-tencer à reta FL.

ATIVIDADE 10

POLÍGONOS EQÜIDECOMPONÍVEIS

Existem teoremas simples e interessantes emMatemática, através dos quais podemosdesenvolver boa parte de conteúdos quefazem parte dos programas de nossas escolas.Se temos um objetivo bem definido a seratingido, no caso a demonstração de um resul-tado interessante, certamente o desenvolvi-mento de conceitos e propriedades torna-semuito mais significativo, e com isto os alunosaprendem com entusiasmo.

Um exemplo disto é o seguinte teorema:

“Se dois polígonos tem a mesma área entãosempre é possível decompor um deles empolígonos menores de modo a compor ooutro.”

Em outras palavras, podemos decompor osdois polígonos em polígonos menores, dois àdois congruentes. Isto significa que os doispolígonos podem ser decompostos igual-mente, e por isto são ditos “polígonos equide-componíveis”.

Em algumas situações, dependendo da formae do dimensionamento dos polígonos,podemos descobrir facilmente uma equide-composição.Por exemplo, nos pares de polí-gonos abaixo

Em outras situações, uma tal equidecom-posição não é obvia. Por exemplo, nas situ-

Quadrado e retân-gulo tais que umdos lados do retân-gulo é o dobro dolado do quadrado.

Paralelogramo e re-tângulo com mes-mas bases e alturas

129


ações abaixo:

TRANSFORMAÇÃO DE UM TRIÂNGULO EMRETÂNGULO

No triângulo temos a reta HE passando pelospontos médios dos lados AB e AC, e o segmen-to AG perpendicular a esta reta. Conformeindicam as cores, usando o trapézio BCEH e ostriângulos AHG e EAG construímos retângulocom a mesma área do triângulo. Intuitivamentepodemos nos convencer que as peças que com-põem o triângulo se encaixam perfeitamente nacomposição do retângulo. Se nossa abordagemé dentro do espírito da geometria dedutiva deve-mos mostrar que as regiões triangulares quecompletam o retângulo obtido a partir dotrapézio são de fato congruentes aos triângulosmenores que fazem parte do triângulo dado.

DEMONSTRAÇÃO

Sobre o triângulo dado ABC, construímos umretângulo com base igual à um dos lados dotriângulo e o lado paralelo à base passandopelos pontos médios de AB e AC. Traçamos osegmento AG perpendicular à HE. Devemosmostrar que os dois triângulos no triângulodado são congruentes aos triângulos pontilha-dos do retângulo. De fato isto acontece: 1.Ostriângulos AGH e BDH congruentes pois:

os lados AH e BH são congruentes já que Hé ponto médio de AB.

os ângulos AGH e BDH são retos.

os ângulos AHG e BHD são congruentes jáque opostos pelo vértice.

2.Com raciocínio análogo mostra-se que tam-bém são congruentes os triângulos AGE eCFE.

Assim podemos concluir que as peças quecompõe o triângulo ABC se encaixam perfeita-mente no retângulo construído.

TRANSFORMAÇÃO DE UM POLÍGONO EMUM QUADRADO

As transformações feitas até agora resolvemfacilmente o problema de transformar um polí-gono em quadrado de mesma área. Inicialmentedecompomos o polígono em triângulos e trans-formamos cada um destes em retângulo:

A seguir transformamos cada um dos retângu-los em quadrado:

Finalmente transformamos cada dois quadra-dos num quadrado, até chegar a um únicoquadrado com área igual a soma das áreasdos quadrados de partida:

O quadrado obtido ao final tem área igual à dopolígono inicial, já que todas as transfor-mações foram feitas preservando-se as áreas.

Quadrado e retân-gulo com mesmaárea

130


ATIVIDADE 11

DOBRADURAS PARA IDENTIFICAR OSPONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO

Material necessário: papel oficio, tesoura,lápis, régua.

Objetivo:

• Obter a Mediana, Bissetriz e Altura refer-ente a um dos lados de um triângulo.

• Obter o baricentro, o incentro, e o ortocen-tro referente a um triângulo.

Procedimentos:

• Usando um triângulo obtenha a bissetriz,altura e a mediana relativas ao ângulo A,através da técnica da dobradura.

1) Bissetriz

A bissetriz do triângulo é obtida, fazendo coin-cidir dois lados adjacentes

→AB e

→AC do triângu-

lo de modo que um lado fique sobre o outro, istoé, de forma que o ângulo seja dividido ao meio.

Faça o mesmo procedimento em relação aosoutros ângulos,e encontre o incentro.

2) Altura

A altura do triângulo relativa ao ângulo A é obti-da, quando dobra-se a base

→BC do triângulo

de modo que esta base fique sobre ela mesma.O segmento

→BC é a altura relativa ao ângulo A

O segmento →

AH é a altura do triângulo.

Faça o mesmo procedimento em relação aosoutros ângulos, e encontre o ortocentro.

Pergunta-se: O que aconteceria se o triângulofosse isosceles?

Ponto Médio

Para encontrar o ponto médio de um triângulorelativo ao ângulo A, deve-se dobrar o triângu-lo, fazendo os pontos extremos da base B e Ccoincidirem.

3) Mediana

A mediana de um triângulo é obtida, unindo-seo ponto médio ao ângulo oposto.

O segmento →

AM é a Mediana do triângulo.

Faça o mesmo procedimento em relação aosoutros ângulos, e encontre o baricentro.

131


ATIVIDADE 12

Construções de triângulos envolvendolados, ângulos e cevianas

Exercício 01

Dados dois lados e a altura relativa a um deles.

Construir o triângulo ABC, sabendo que:

med(AB) = 4cm

med(AC) = 3,5cm

med(CH) = 2cm

CH é altura relativa ao lado AB

1º Passo: Faz- se um esboço.

2º Passo: Traça- se AB sobre uma reta- suporte r.

3º Passo: Traça- se s // r, tal que d(s,r) = 2cm

4º Passo: Com centro em A e raio com a medi-da de AC, traça- se um arco, determinando- seos pontos C e C’. O problema apresenta duassoluções.

5º Passo: Traçam- se AC e BC(ou AC’ e BC’),determinando- se os triângulos ABC e ABC’.

Exercício 02

Dados dois lados e a mediana relativa a um deles.

Construir o triângulo ABC, considerando que:

med(AB) = 5cm

med(BC) = 3cm

med(CM) = 2cm

CM é a mediana relativa ao lado AB

1º Passo: Faz- se um esboço

2º passo: Traça- se AB

3º Passo: Determina- se M, ponto médio de AB.

4º Passo: Com centro em M e raio com a medi-da de CM, traça- se um arco.

5º Passo: Com centro em B e raio com a medi-da de BC, traça- se um arco, determinando- seo ponto C.

132


6º Passo: Traçam- se AC e BC, determinando-se o ΔABC

ATIVIDADE 13

CONSTRUÇÃO DE QUADRILÁTEROS

Exercício 01

Construir um paralelogramo ABCD, sabendoque:

med (⎯AB) = 4,0 cm

med (⎯AD) = 3,0 cm

h = 2,5 cm

h é a altura relativa à base ⎯AB

1º Passo: Faz-se um esboço.

2º Passo: Traça-se ⎯AB sobre a reta r.

3º Passo: Constrói-se s // r, tal que d (s,r) = 2,5 cm.

4º Passo: Com centro em A e depois em B, eraio com a medida de

⎯AD, traçam-se dois

arcos, determinando-se os pontos D (ou D’) eC (ou C’). (O problema apresenta duassoluções.)

5º Passo: Traçam-se ⎯AD e

⎯BC,(ou

⎯AD’,

⎯BC’).

Exercício 02

Construir um quadrado ABCD, sabendo quesua diagonal

⎯AC mede 3,5 cm.

1º Passo Faz-se um esboço.

2º Passo: traça-se a diagonal ⎯AC.

3º Passo: traça-se a mediatriz de ⎯AC, determi-

133


nando-se M, ponto médio de ⎯AC.

4º Passo: Com centro em M e raio com a medi-da de

⎯AM, traça-se um arco, determinando-se

os pontos B e D.

5º Passo: Traçam-se ⎯AB,

⎯BC,

⎯CD,

⎯DA, determi-

nando-se o ΔABCD.

Exercício 03

Construir um trapézio ABCD escaleno, saben-do que:

med (⎯AB) = 5,0cm → base maior

med (⎯CD) = 2,0cm → base menor

med (⎯AD) = 3,0cm → lado transversal

med (⎯DH) = 2,0cm → altura

1º Passo: Faz-se um esboço.

2º Passo: Traça-se ⎯AB sobre uma reta r.

3º Passo: Constrói-se s // r, tal que d (s,r) = 2,0cm.

4º Passo: Com centro em A e raio com a medi-da de

⎯AD, traça-se um arco, determinando-se

os pontos D e D’. (O problema apresenta duassoluções.)

5º Passo: Com centro em D (ou D’) e raio commedida de

⎯DC, traça-se um arco, determinan-

do-se o ponto C (ou C’).

6º Passo: Traça-se ⎯AD e

⎯BC (ou

⎯AD’ e

⎯BC’)

determinando-se o trapézio ABCD (ou ABC’D).

134


ATIVIDADE 14

Exercício 01

QUEBRA-CABEÇA GOMÉTRICO: Tangram

O Tangram é originário da China. Supõe-se quea parte inicial do nome, Tan, esteja relacionadaà dinastia Tang, que governou a China por umlongo período e a parte final do nome, gram,vem do latim e significa ordenar, dispor. Elatem sete peças em forma de figuras geométri-cas planas. Compondo essas sete peças,pode-se formar muitas figuras diferentes.

Objetivo:

• Obter figuras geométricas usando todas aspeças do tangram.

Material Necessário: Papel cartão, tesoura,régua, lápis.

Confecção:

2. desenha-se, em uma folha de papel, umquadrado de 12cm de lado e divide-se de 4em 4 centímetros;

3. seguindo os modelos, obtém-se um que-bra-cabeça com sete peças;

4. pintando as sete peças, e em seguida,recorta-se.

Seqüência de modelo para confecção do Tangram(BIGODE, 1994, p. 135-136).

Atividade 1.

Usando as 7 peças do pode-se montar osnúmeros de 0 a 9.

Números formados com o Tangram

Exercício 02

Usando as 7 peças do tangram pode-se mon-tar um hexágono.

Exercitando:

1) Usando as cinco peças (N, G, M, R, T) do tan-gram, forme um quadrado.

2) Usando as sete peças do tangram, forme umtriângulo, retângulo, paralelogramo, trapézio,Quadrado.

ATIVIDADE 15

LABORATÓRIO: TEOREMA DE PITÁGORAS

Usando o material concreto, demonstre oTeorema de Pitágoras

Um pouco da historia:

O Teorema de Pitágoras diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado dahipotenusa é igual à soma dos quadrados doscatetos. Se construirmos quadrados sobre oslados a, b e c do triângulo retângulo, essesquadrados terão áreas a2, b2 e c2. Assimpodemos enunciar o Teorema de Pitágoras daseguinte forma: a área do quadrado construí-do sobre a hipotenusa é igual à soma das

135


áreas dos dois quadrados construídossobre os catetos. Podemos tornar o entendi-mento do Teorema mais lúdico por meio derecorte que nos ajudem a visualizar suademonstração. A partir de critérios de recorteaplicados aos quadrados menores (construí-dos sobre os catetos), podemos montar oquadrado maior (construído sobre ahipotenusa) através de quebras- cabeça queilustram, e até mesmo demonstram, oTeorema de Pitágoras!

Material necessário: papel-cartão ou cartolina,tesoura, régua, compasso, lápis e borracha.

Objetivo: Provar o Teorema de Pitágoras,com uso de quebra-cabeças.

Procedimentos:

Construção:

1) Num papel-cartão ou cartolina, recorte qua-tro triângulos retângulos congruentes com,medidas a = 4cm e b = 3 cm, por exemplo.

2) Em seguida, recorte um quadrado cujolado tem comprimento igual a c = 5cm,comprimento da hipotenusa dos triângu-los retângulos.

Com as cinco peças construídas e em

mãos, é possível encaixá-las e montar oconjunto, representado na figura a baixo.

A montagem realizada representa umquadrado de lado c, inscrito num quadradomaior, cujo lado tem comprimento a+b. Estamontagem permite a prova do Teorema dePitágoras.

Como o quadrado maior tem lado de compri-mento a + b, então a área A tem por medida:

A = (a + b)2 .

Em contrapartida, como este quadrado maioré composto das cinco peças do quebra-cabeças (quatro triângulos retângulos e umquadrado), somando as áreas, encontramos:

Igualando os dois valores para a área,segue:

(a + b)2 =

a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2

a2 + b2 = c2 , comprovando o Teorema dePitágoras.

OBS.: Ao provar este teorema por meio douso do material concreto do quebra -cabeças, para estudantes do ensinomédio, o momento é ideal para convence -los da necessidade de provar que é ver-dadeiramente um quadrado a figura forma-da com o encaixe das cinco peças do que-bra-cabeças. A argumentação que permitesustentar esta conclusão é o fato que asoma dos ângulos agudos de um triânguloretângulo é 90º. Portanto, quando os triân-gulos retângulos são encaixados para for-mar uma só figura, os lados de dois triân-gulos consecutivos ficam alinhados.

136


OUTRAS MANEIRAS DE DEMONSTRAR OTEOREMA DE PITAGORAS.’

Critério de Recorte 01

Os critérios de recorte da figura serão nossashipóteses na demonstração. As diagonais pon-tilhadas desenhadas na figura vão auxiliar avisualização durante a demonstração.Considere o quadrado médio (de lado AB).Encontrar o centro M deste quadrado. Traceretas paralelas aos lados do quadrado maior(de lado BC) passando por M. O quadradomédio está, agora, divido em quatro partes.

Demonstração

Observe que para montar o quadrado grandebasta transladar as peças do quadrado médio ecompletar o centro com o quadrado menor. Osvetores de translação têm origem no ponto M eextremidades nos vértices do quadrado maior. A“figura chave” desta demonstração é o paralelo-gramo BCDF. Os quadriláteros 1, 2, 3 e 4 quecompõem o quadrado médio são congruentes,pois os lados DF e EG resultam da rotação dasdiagonais, mantendo, assim, a área das figurasconstante. Tente observar na figura com o auxíliodas diagonais pontilhadas. Os segmentos DF eCB são congruentes, assim como os segmentosCD e BF, pois são lados opostos de um paralel-ogramo. Procure observar na figura. Os segmen-tos DM, MF, EM e MG são congruentes (de 1) eportanto, com comprimento igual à metade damedida do lado do quadrado maior (de 1 e 2).Como os quadriláteros 1, 2, 3 e 4 possuem umângulo reto, eles encaixam-se no quadradomaior. O quadrado vermelho restante tem ladoAC, pois CD-AD=AC e CD=BF.


Os critérios de recorte apresentados abaixoserão nossas hipóteses na demonstração.Considere o triângulo retângulo ABC.Construa, sobre os lados AB e AC, os quadra-dos ABDE e ACFG. “Dobre” (reflita) o quadra-do de lado AB em torno deste lado.

Marque os pontos D’, E’ e N. Trace uma retaperpendicular ao segmento BC passando porB e outra passando por C. Chame de H oponto de interseção da segunda reta perpendi-cular com o segmento FG. Construa o retângu-lo de lados BC e CH e chame-o de BCHI. Traceuma reta perpendicular ao segmento BG pas-sando por I e chame de J a interseção.

Demonstração

Observe que basta transladar os triângulos col-oridos para que as peças se encaixem. Porém,para a demonstração, precisamos enxergar acongruência dos triângulos destacados. Ostriângulos ABC e FHC são congruentes (ALA).Use soma de ângulos para ver esta congruên-cia. O quadrilátero BCHI é um quadrado, poisos lados BC e CH são congruentes (de 1). Ostriângulos amarelos são congruentes, poisambos são congruente ao triângulo ABC (pro-cure fazer demonstração análoga ao item 1).IJ=AB (de 3) e AB=BD’ (lados do quadrado).Os triângulos verdes são congruentes (LAAo).Os ângulos dos triângulos verdes são congru-entes aos ângulos dos triângulos vermelhos:ambos têm ângulo reto; têm ângulos opostospelo vértice e o terceiro vem do “teorema180o”. Os segmentos NC e LH são congru-entes, pois BC=IH e BN=IL. Os triângulos ver-melhos são congruentes (ALA). Assim, vemosque as peças destacadas nos quadradosmenores se encaixam no quadrado maior.


Os critérios de recorte abaixo serão nossas

hipóteses na demonstração. Considere o triân-

gulo retângulo ABC. Construa quadrados

sobre os lados deste triângulo. Considere

agora o quadrado maior (de lado BC). Reflita o

triângulo ABC em torno do Lado BC, de modo

que o triângulo refletido fique dentro do

quadrado maior. Construa mais três triângulos

retângulos congruentes ao inicial sobre os

lados do quadrado maior, como sugere a figu-

ra. Divida dois destes triângulos em outros dois

triângulos, de modo que um destes triângulos

seja retângulo isósceles. O recorte do quadra-

do maior está pronto.

Demonstração

Os triângulos isósceles 3 e 5 tem catetos de

medida AC por construção. Logo, encaixam-se

no quadrado menor (de lado AC). Os triângu-

los 1 e 6 possuem um dos catetos com medi-

da AB e outro com medida AC e sua

hipotenusa mede BC, pois são congruentes ao

triângulo ABC. Os triângulos 2 e 4 são congru-

entes. Seus lados maiores medem BC. Os

lados menores medem AB-AC (procure ver na

figura). A figura 7 é um quadrado, pois todos

os seus ângulos são retos e seus lados

medem AB-AC (veja na figura). Considerando

as afirmações 2, 3 e 4, concluímos que as fig-

uras 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 encaixam-se no quadra-

do de lado AB, como mostra a figura. Assim,

está provado que a área do quadrado maior

pode ser decomposta na área dos dois

quadrados menores.

Exercitando

Muitas demonstrações antigas do teorema de

Pitágoras eram apresentadas apenas mediante

figuras geométricas, e cabia ao leitor observar

a figura e tentar demonstrá-lo oralmente.

Forme grupos de três pessoas em sala de aula

e discuta de que forma estas duas figuras ilus-

tram o teorema de Pitágoras.

Apresente o resultado aos demais colegas.

137


Respostas de Exercícios

141

Geometria I – Respostas de exercícios

UNIDADE I – Noções primitivas

TEMA 01

NOÇÕES E PROPOSIÇÕES PRIMITIVAS

1. FVVFV

2. B

3. VVVVVVF

4. Demonstração

TEMA 02

SEGMENTOS DE RETA

1. Resposta, a critério do aluno.

2. 8

3. Três ⎯AB,

⎯BC,

⎯AC

4. a) 16cm b) MN = 8cm

5. a)

x = 7cm

b)

x = 11cm

6. X = 5 e AB = 22

7. a)⎯MB = 3cm b)

⎯BN = 2cm

c)⎯NC = 2cm d)

⎯MN = 5cm

e) ⎯AN = 8cm

TEMA 04

ÂNGULOS

1. Use o transferidor

a) y = 60º b) w = 135º c) z = 90º

2. a) concorrentes b) paralelas

c) concorrentes d) paralelas

3. a) b) 45° c) 30°

4. a) 90° – x

b) 180° – x

c) 2 (90° – x)

d)

e) 3(180° – x)

5. 70°

6. 54°

7. 160°

8. x = 15°

9. x = 15°

10. a) x = 40°

b) x = 20°

c) x = 25°

11. Demonstração

12 a) x = 22°

b) X = 150° Y = 30° Z = 150°

c) X = 90° Y = 30° Z = 30°

d) a = 60°

e) x = ‘82 y = 40

TEMA 05

PARALELISMO

1. a) b e c colaterais internos

b) m e p correspondentes

2. a) a e p alternos internos

b) a e q correspondentes

3. a) X = 25°

b) X = 40°

4. a) Alternos internos

X = 15°

b) Alternos externos

X = 50°

c) colaterais internos

X = 50°

5. a) X = 70°

b) Y = 100°

c) Z = 30°

6. a) X = 12°

b) Y = 144°

c) Z = 36°

7. a) X = 80° e Y = 85°

b) X = 110° e Y = 60°

8. X = 50° ; Y = 130° ; Z = 50°

9. 130°

10. x = 5°

TEMA 06

PERPENDICULARISMO

1. a) F b) V

c) V d) F

2. a) V b) F

c) F d) V

e) V

3. a) F b) V

c) V d) V

e) F f) F

g) V

4. a) F b) F

c) V d) V

e) F f) V

g) F

5. a) V b) F

c) F d) F

e) F

UNIDADE II – Polígonos

TEMA 08

TRIÂNGULOS

1. a) 3; R, S T .

b) 3; RS, RT ST

c) 3; R, S T .

2. a) Sim, pois 7 < 5 + 3.

b) Não, pois 7 não é menor que 2 + 3.

c) Sim, pois 3 < 3 - 2.

d) Não, pois 10 não é menor que 5 .•. 5.

3. X = 12cm

4. x = 4, y = 3 e o lado mede 7

5. P= 39 cm

6. 18cm ou 24cm

7. 3cm, 4cm e 5cm

8. A = 90° B = 60° C = 30°’ retângulo

D = 45°, E = 75°; acutângulo

9. 60°

10. x = 30° e y = 40°

TEMA 09

CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

1. a) ALA b) LAL c) LAA

2. a) Caso de congruência: LLL

X = 40cm ; Y = 60cm ; Z = 80cm

b) Caso de congruência: A.L.A

X = 40cm ; Y = 95º

3. Caso de congruência A.L.A

x = 5: y = 10

4. a) ALA b) TR

5. 5cm

6. x = 66º e y = 11º

7. x = 10cm e y = 12cm

8. x = 7cm e y = 12cm

TEMA 10

PONTOS NOTÁVEIS NO TRIÂNGULO

1. Construção

2. Construção

142


143

Geometria I – Respostas de exercícios

3. a) Circuncentro; corresponde ao centro da cir-cunferência circunscrita ao triângulo.

b) Incentro; corresponde ao centro da circun-ferência inscrita no triângulo.

4. A altura, mediana e bissetriz.

5.⎯AR bissetriz; ⎯AS mediana⎯AT altura

6. P = 8,8cm.

TEMA 11

QUADRILÁTEROS

1. a) 2330

b) 850

2. a) A ≡ D = 600 e B ≡ C = 1200

b) A = 700, C = 1000 e D = 800

c) 250

d) 1100

3. 680

4. 470

5. 1400 e 400

6. 34cm

7. 30cm e 12cm

8. 1300

9. 1430

10. e

11. d

12. 1300

13. 1480

14. e

TEMA 12

QUADRILÁTEROS

1.

2. x = 55 cm

3. c

5. 4

6. x = 3 e y = 4

7. x = 10, y = 13 e z = 19

8. 7

9. c

10. b

11. c

12. Demonstração

13. Demonstração

14. Demonstração

TEMA 14

POLÍGONOS

1. a) triacontakaitrigono

b) eneadecágono

c) tetracontakaihexagono

d) hexacontakaioctagono

e) enneacontakaiheptagono

2. 8 lados, octógono.

3. ai = 156º e ei = 24º

4. 70

5. c

6. a) 50o

b) 52o30’

7. 150o

8. 90

9. 330o

10. 14 e 54

11. 360o

12. 10o

13. Dodecagono

14. e

15. b

UNIDADE III – Elementos na circunferência

TEMA 16


Exercícios Propostos

1. a) 11

b) 5

2. C

3. A

4. 8cm e 3cm

5. 12cm ou 18cm ou 24cm ou 30cm.

6. D

7. B

9. a) Tangente externamente

b) Secantes

c) Externas

d) Tangentes internamente

10. 76cm

TEMA 18


1. a) 65o

b) 30o

c) 80o

d) 12o

2. 80o

3. C

4. B

5. 60o

6. 35o

7. 70o, 50o e 60o

8. 30o

9.

10. 30o

11. A

12. D

13. B

TEMA 20


1. 18

2. a) 6

b) 12

c) 4

3. D

4. a) r = 3 cm

b) l = 6 cm

c) r = 3 cm

d) R = 6 cm

5. C

6. E

7. D

8. a) cm

b) cm

c) cm

9.

11. D

UNIDADE IV – Relações métricas no triângulo

TEMA 21

TEOREMA DE TALES

1. a) x = 28 e y = 36

b) x = 12 e y = 4

144


c) x = 18 e y = 36

2. x = 10 km

y = 30 km

z = 22,5 km

3.⎯AB’= 2,6 cm, ⎯

B’C’ = 3,9 cm e⎯C’D’= 6,5 cm.

4. B

5. 10cm

6. 307. 9

8. 5 e 4

9. 9m

10. 42m

11. 40cm

12. 15

TEMA 22

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

1. 4 cm, 9 cm e 8 cm.

2. a) 6

b)

3.⎯BD = 6cm e

⎯DF = 8 cm

4. B

5. C

6. B

7. 10cm

8.

9. 2cm

10.

TEMA 24

RELAÇÕES MÉTRICAS NO

TRIÂNGULO RETÂNGULO

1. a = 9, m = 5 , h = e b = .

2. m = 4 e n = 12

3. AB = 15 u, AC = u e CB = u

4. D

5. C

6.

a)

b) 7

7) 12 m

8) 17m

9) 3m

10) 21cm

11)

TEMA 26


1. B 2. A

3. C 4. D

5. E 6. A

7. B 8. D

9. A 10. A

11. B 12. C

13. D 14. E

15. D

TEMA 28

RELAÇÕES MÉTRICAS

NO TRIÂNGULO QUALQUER

1. 17/4

2. 1 e 2

3. 12m

4. 6m

5. 19/8cm

6.

145

Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos

7. Obtusângulo

8. 1

9. 57/18

10. 19/16

11. Obtusângulo

12. 26/3

13. 8

14. 6

15. 43/4cm

UNIDADE V – Áreas de superfícies

TEMA 30


1. 20cm

2. 3cm

3. 4cm

4. 4

5. C

6.

7. Demonstração

8. cm

9. ( – 1)R

10. 2cm ou 3cm

11. 10cm

12. Â é comum aos triângulos e ADB ≡ ABP

TEMA 32

ÁREA DE FIGURAS PLANAS - TRIÂNGULOS

1. 96m2

2. 24m2

3. 320cm2

4. 48 cm2

5.

6. 48 cm2

7. 150cm2

8.

9. 2( + 1)cm2

10. 3 r2

11. 3 cm

12. cm

13.

14. 12( + 1)cm

15. 10m2

TEMA 34

ÁREA DE FIGURAS PLANAS -

QUADRILÁTEROS

1. 4cm

2. 4cm; 6cm

3. 12cm; 6cm

4. 24cm2

5. 10cm; 6cm

6. 112cm2

7. 135cm2

8. 8cm

9. cm2

10.

11. 84 m2

12. 33 m2

13. 96 m2

14. 95 m2

15. 600 m2

146


TEMA 35

ÁREA DE FIGURAS PLANAS - POLÍGONOS

1. 3 cm2

2. 1/2 da área do quadrado original3. L2

4. 2A5. 36. 6 – 2π

7.

8.

9. 3/4 da área do quadrado original10. 12 cm2

11. 812. 6 – 6

TEMA 37

ÁREA DE FIGURAS PLANAS - CÍRCULO E SUAS PARTES

1. 16πcm2

2. 81πcm2

3. 24. 3/45. 3(2π – 3 )cm2

6.

7. 2(3 – π )

8.

9. 310. 25 cm2

11.

12. 2d2

13.

14. πr15. 144πcm2

147

Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos

149

Ávila, G. Cálculo 1; funções de uma variável. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científico, 1982

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REFERÊNCIAS

licenciatura em matemtica - geometria i

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