EN2704 – Sistemas de Controle I

Atividade 3: Gráfico do lugar das raízes

André Mitsuo Ravazzi RA 11002511

Relatório apresentado à

Universidade Federal do ABC

como parte dos requisitos para

aprovação na disciplina EN2704

– Sistemas de Controle I

Prof., Dr. Leandro Baroni

SANTO ANDRÉ – 2015

1. As equações de movimento longitudinal da aeronave Ling-Temco-Vought A-7A

Corsair II, referentes ao sistema do corpo, são dadas no espaço de estados, para a

condição de voo correspondente ao nível de cruzeiro em uma altitude de 15000 ft em

Mach 0.3.

- u, v, w: velocidade relativa aos eixos do corpo [ft/s];

- p, q, r: velocidade angular dos eixos do corpo com relação a uma referência [rad/s];

- 𝜓, 𝜃, 𝜙: ângulos de Euler [rad/s];

- 𝛼, 𝛾: ângulos de ataque e de trajetória [rad];

- 𝜂: ângulo do elevador [rad]

[ 𝑢����

��

]

= [

0.00501 0.00464 −72.90000 −31.34000−0.08570 −0.54500 309.00000 −7.400000.00185 −0.00767 −0.39500 0.00132

0 0 1 0

] [

𝑢𝜔𝑞𝜃

] + [

5.63000−23.80000−4.51576

0

] 𝜂

[ 𝑢𝜔𝑞𝜃𝛼𝛾]

=

[ 1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0.00316 0 00 −0.00316 0 0]

[

𝑢𝜔𝑞𝜃

] +

[ 000000]

𝜂

1.1. Determine as funções de transferência correspondentes a cada variável de estado.

Utilizando a função ss2tf() podemos passar o sistema matricial de variáveis

de estado para um sistema matricial de funções de transferência, cuja cada variável

de estado corresponde a uma função de transferência, como mostrado abaixo:

𝑢(𝑡): 𝑈(𝑠)

𝜂(𝑠)=

5.63𝑠3 + 334.4𝑠2 + 315.7𝑠 + 71.24

𝑠4 + 0.935𝑠3 + 2.715𝑠2 + 0.1065𝑠 + 0.05255 𝑓𝑡/𝑠/𝑟𝑎𝑑

𝜔(𝑡): Ω(𝑠)

𝜂(𝑠)=

−23.8𝑠3 − 1405𝑠2 + 12.09𝑠 + 13.75

𝑠4 + 0.935𝑠3 + 2.715𝑠2 + 0.1065𝑠 + 0.05255 𝑓𝑡/𝑠/𝑟𝑎𝑑

𝑞(𝑡): 𝑄(𝑠)

𝜂(𝑠)=

−4.516𝑠3 − 2.246𝑠2 + 0.01879𝑠

𝑠4 + 0.935𝑠3 + 2.715𝑠2 + 0.1065𝑠 + 0.05255 𝑟𝑎𝑑/𝑠/𝑟𝑎𝑑

𝜃(𝑡): Θ(𝑠)

𝜂(𝑠)=

−4.516𝑠2 + 22246𝑠 + 0.01879

𝑠4 + 0.935𝑠3 + 2.715𝑠2 + 0.1065𝑠 + 0.05255 𝑟𝑎𝑑/𝑟𝑎𝑑

𝛼(𝑡): Α(𝑠)

𝜂(𝑠)=

−0.07521𝑠3 − 4.44𝑠2 − 0.03821𝑠 + 0.04346

𝑠4 + 0.935𝑠3 + 2.715𝑠2 + 0.1065𝑠 + 0.05255𝑟𝑎𝑑/𝑟𝑎𝑑

𝛾(𝑡): Γ(𝑠)

𝜂(𝑠)=

0.07521𝑠3 − 0.07554𝑠2 − 2.284𝑠 + 0.06225

𝑠4 + 0.935𝑠3 + 2.715𝑠2 + 0.1065𝑠 + 0.05255 𝑟𝑎𝑑/𝑟𝑎𝑑

1.2. A equação característica pode ser fatorada na forma (dois pares de polos

complexos conjugados):

𝑎(𝑠) = (𝑠2 + 2𝜁𝑝𝜔𝑝𝑠 + 𝜔𝑝2)(𝑠2 + 2𝜁𝑠𝜔𝑠𝑠 + 𝜔𝑠

2)

O primeiro par de polos descreve o modo de estabilidade fugoide (phugoid). O

segundo par descreve o modo de estabilidade de curto período. Determine seus

coeficientes de amortecimento e frequências naturais.

Utilizando a função zpk()o Matlab retorna a equação característica na forma

fatorada:

𝑎(𝑠) = (𝑠2 + 2𝜁𝑝𝜔𝑝𝑠 + 𝜔𝑝2)(𝑠2 + 2𝜁𝑠𝜔𝑠𝑠 + 𝜔𝑠

2)

∴ 𝑠4 + 0.935𝑠3 + 2.715𝑠2 + 0.1065𝑠 + 0.05255

= (𝑠2 + 0.03329𝑠 + 0.01972)(𝑠2 + 0.9017𝑠 + 2.665)

Assim, podemos fazer as seguintes relações:

{0.03329 = 2𝜁𝑝𝜔𝑝

0.01972 = 𝜔𝑝2 {

0.9017 = 2𝜁𝑠𝜔𝑠

2.665 = 𝜔𝑠2

E então:

{𝜔𝑝 = 0.1404 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝜁𝑝 = 0.1185 {

𝜔𝑠 = 1.63248 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝜁𝑠 = 0.27617

1.3. Determine a resposta de cada variável a uma entrada degrau do elevador de 1°.

Multiplicando cada função de transferência obtida no item 1.2 pela entrada

degrau de 1°, 𝑅(𝑠) =0.01745

𝑠, onde 0.01745 é o valor de 1° em radianos, obtemos:

Figura 1: Resposta de u(t) a entrada degrau de 1 grau.

Figura 2: Resposta de 𝜔(t) a entrada degrau de 1 grau.

Figura 3: Resposta de q(t) a entrada degrau de 1 grau.

Figura 4: Resposta de 𝜃(t) a entrada degrau de 1 grau.

Figura 5: Resposta de 𝛼(t) a entrada degrau de 1 grau.

Figura 6: Resposta de 𝛾(t) a entrada degrau de 1 grau.

1.4. Quais os valores das variáveis em regime de estado estacionário?

O valor de uma variável em regime de estado estacionário é aquele que se

atinge após um longo período de tempo que um sinal é aplicado. Matematicamente:

lim𝑡→∞

𝑥(𝑡)

Para se obter esse valor no Matlab, basta clicar com o botão direito do mouse

sobre o gráfico e no menu navegar em “Characteristics > Steady State”. Irá aparecer

um ponto que indicará o estado estacionário. Colocando o mouse em cima deste ponto,

o valor de estado estacionário da variável em estudo aparece como “Final Value”.

Esses valores seguem:

[ 𝑢𝜔𝑞𝜃𝛼𝛾]

=

[

27.7 𝑓𝑡/𝑠−4.57 𝑓𝑡/𝑠

00.00624 𝑟𝑎𝑑−0.0144 𝑟𝑎𝑑0.0207 𝑟𝑎𝑑 ]

2. Considere um sistema com realimentação no ângulo de arfagem:

2.1. Calcule a função de transferência de malha aberta e faça o gráfico do lugar das

raízes para este sistema.

Temos que a função de transferência de malha aberta para o sistema

apresentado acima é:

𝐹𝑇𝑀𝐴 = 𝐺(𝑠). 𝐾𝜃 =𝜃(𝑠)

𝜂(𝑠). 𝐾𝜃 =

−4.516𝑠2 + 2.2246𝑠 + 0.01879

𝑠4 + 0.935 𝑠3 + 2.715 𝑠2 + 0.1065 𝑠 + 0.05255 𝐾𝜃

E o gráfico do lugar das raízes é dado a seguir:

Se a função de transferência é negativa, a realimentação negativa tem um efeito

de realimentação positiva, então deve-se considerar a realimentação positiva.

Figura 7: Gráfico do lugar das raízes para um sistema com realimentação no ângulo de arfagem.

2.2. Encontre os valores dos coeficientes de amortecimento e frequências naturais para

um ganho 𝐾𝜃 = -1.6.

𝐹𝑇𝑀𝐹 =𝐺(𝑠)

1 + 𝐺(𝑠)𝐾𝜃=

𝜃(𝑠)

𝜂(𝑠) + 𝜃(𝑠)𝐾𝜃=

−4.516 𝑠2 − 2.246 𝑠 + 0.01879

𝑠4 + 0.935 𝑠3 + 9.94 𝑠2 + 3.699 𝑠 + 0.02248

∴ 𝐹𝑇𝑀𝐹 =−4.516 𝑠2 − 2.246 𝑠 + 0.01879

(𝑠2 + 0.3802𝑠 + 0.002311)(𝑠2 + 0.5548𝑠 + 9.727)

Assim, podemos fazer as seguintes relações:

{0.3802 = 2𝜁𝑝𝜔𝑝

0.002311 = 𝜔𝑝2 {

0.5548 = 2𝜁𝑠𝜔𝑠

9.727 = 𝜔𝑠2

E então:

{𝜔𝑝 = 0.0481 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝜁𝑝 = 3.9522 {

𝜔𝑠 = 3.1188 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝜁𝑠 = 0.0889

2.3. Obtenha a resposta do sistema realimentado ao degrau de 1°. Avalie o efeito da

realimentação nos modos de curto período e fugoide.

Figura 8: Resposta do sistema realimentado ao degrau de 1°.

Comparando o gráfico da figura 8 com o da figura 4, pode-se perceber que o

tempo de subida, tempo de pico e máximo de sobressinal são menores no sistema

realimentado. Contudo, seu tempo de acomodação é maior. Conclui-se assim que a

estabilidade do sistema realimentado é maior.

3. Considere um sistema com realimentação na taxa de arfagem:

2.1. Calcule a função de transferência de malha aberta e faça o gráfico do lugar das

raízes para este sistema.

Temos que a função de transferência de malha aberta para o sistema

apresentado acima é:

𝐹𝑇𝑀𝐴 = 𝐺(𝑠). 𝐾𝑞 =𝑄(𝑠)

𝜂(𝑠). 𝐾𝑞 =

−4.516𝑠3 − 2.246𝑠2 + 0.01879𝑠

𝑠4 + 0.935𝑠3 + 2.715𝑠2 + 0.1065𝑠 + 0.05255 𝐾𝑞

E o gráfico do lugar das raízes é dado a seguir:

Figura 1: Gráfico do lugar das raízes para um sistema com realimentação na taxa de arfagem

3.2. Se as restrições seguintes forem aplicadas:

- Coeficiente de amortecimento fugoide: 𝜁𝑝 ≥ 0.04

- Coeficiente de amortecimento de curto período: 𝜁𝑠 ≥ 0.5

- Frequência natural de curto período: 0.8 ≤ 𝜔𝑠 ≤ 3.0 rad/s

Determine o ganho mínimo para que estes requisitos sejam satisfeitos. Quais os novos

valores dos coeficientes de amortecimento e frequências naturais?

Observando o gráfico, podemos concluir que o ganho mínimo deverá ser 𝐾𝑞 =

0.187, e os novos valores de dos coeficientes de amortecimento e frequência naturais

será 0.501 e 1.75rad/s respectivamente.

3.3 Obtenha a resposta do sistema realimentado ao degrau de 1°. Avalie o efeito da

realimentação nos modos de curto período e fugoide.

Observando o gráfico, podemos concluir que o sistema realimentado com certo

ganho tem uma resposta ao degrau mais instável, se comparado com o gráfico da

figura 3.

Figura 9: Resposta do sistema realimentado ao degrau de 1°.

Script Matlab

clc; close all; clear all;

% Matriz de estados A = [ 0.00501 0.00464 -72.90000 -31.340000; -0.08570 -0.54500 309.00000 -7.40000; 0.00185 -0.00767 -0.39500 0.00132; 0 0 1 0 ];

%Matriz de entrada B =[5.63000 -23.80000 -4.51576 0]';

%Matriz de saída C = [ 1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1; 0 0.00316 0 0; 0 -0.00316 0 1 ];

% Matriz de transmissão direta D = [0 0 0 0 0 0]';

% Numerador e denominador das Funções de Transferência [num, den] = ss2tf(A, B, C, D);

% Funções de Transferência [Ci, Cj] = size(C);

%% Exercício 1.1

for i = 1:Ci

V(i) = tf(num(i,:),den); V(i)

end

%% Exercício 1.2

[Di, Dj] = size(den); ec = 0; s = tf('s');

for i = 1:Dj

aux = den(i)*s^(Dj-i); ec = aux + ec;

end

fprintf('A equação característica é ') ec

fprintf('A equação característica fatorada é ') ec_factored = zpk(ec)

%% Exercício 1.3

rad_elevator = degtorad(1);

for i = 1:Ci

figure; step(rad_elevator*V(i))

end

%% Exercício 2.1

% Define o intervalo de ganho K = -1000:0.001:0;

% plota o lugar das raízes rlocus(V(4),K)

%% Exercício 2.2

% ganho K_theta K_theta = -1.6;

% FTMF com ganho K_theta FTMF_K_theta = feedback(V(4),K_theta)

%% Exercício 2.3

step(degtorad(1)*FTMF_K_theta)

%% Exercício 3.1

% Define o intervalo de ganho K = 0:0.001:1000;

% plota o lugar das raízes rlocus(-V(3),K)

%% Exercício 3.2

K = -100:0.001:0;

rlocus(V(3), K), axis([-3.5 0.5 -2 2]), sgrid([0.04 0.5],[0.8 3]);

%% Exercício 3.3

% ganho K_theta K_q = 0.187;

% FTMF com ganho K_theta FTMF_K_q = feedback(V(3),K_q)

step(degtorad(1)*FTMF_K_q)