precalculo sum

7/21/2019 Precalculo Sum

http://slidepdf.com/reader/full/precalculo-sum 1/6

Francisco Magalhães Gom

IMECC – UNICAM

Matemáticabásica

Volume

Operações, equações, funções e sequênci

20



Sumário

Sumário

1 Números reais

1.1 Conjuntos de números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Soma, subtração e multiplicação de números reais . . . . . . . . . . . . .

A precedência das operações e o uso de parênteses . . . . . . . . . . . . .

Propriedades da soma e multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Números negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Divisão e frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A divisão como um pro duto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Soma e subtração de frações com denominadores iguais . . . . . . . . . .

Multiplicação de frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Divisão de frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Frações equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Soma e subtração de frações com denominadores diferentes . . . . . . .

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Simplificação de frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Divisores, múltiplos e números primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Máximo divisor comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Simplificação de frações usando o mdc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Simplificação de frações durante o cálculo do produto . . . . . . . . . . .

Mínimo múltiplo comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

O uso do mmc na soma e subtração de frações . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 A reta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6 Razões e taxas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Razão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Taxa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7 Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Crescimento e decrescimento percentual . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.8 Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exp oentes negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Simplificação de expressões com potências . . . . . . . . . . . . . . . . . .Notação científica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Operações com números em notação científica . . . . . . . . . . . . . . .

1.9 Raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Quadrados perfeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Raiz enésima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Propriedades das raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Raízes como potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Racionalização de denominadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.10 Unidades de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mudança de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Unidades derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i



Sumário

Medidas imp eriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Unidades de armazenamento de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Operações com horas, minutos e segundos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

2 Equações e inequações 101

2.1 Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Solução de equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Formas abreviadas de aplicação das propriedades das equações . . . . . 1062.2 Proporções e a regra de três . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Grandezas diretamente proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Grandezas inversamente proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Regra de três para grandezas diretamente proporcionais . . . . . . . . . 111

Regra de três para grandezas inversamente proporcionais . . . . . . . . . 115

Problemas complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

2.3 Regra de três composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

2.4 Equaçõ es lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Resolução de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Resolução de problemas com o uso de equações lineares . . . . . . . . . . 130

2.5 Sistemas de equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

O método da substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

2.6 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143União e interseção de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

2.7 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

União e interseção de intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

2.8 Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Análise das regras do produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Subtração de uma expressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Divisão por uma expressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Inequações do tipo “maior ou igual” . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Inequações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Resolução de problemas com o uso de inequações lineares . . . . . . . . 160

2.9 Polinômios e expressões algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Soma e subtração de expressões algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Produto de expressões algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Pro dutos notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Reconhecendo produtos notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

2.10 Equações quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Equações com polinômios na forma fatorada . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Equações com c = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Equações com b = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Equações com todos os coeficientes não nulos . . . . . . . . . . . . . . . . 181

2.11 Inequações quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Conversão de um polinômio quadrático à forma fatorada . . . . . . . . . 188

Solução de inequações do segundo grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

2.12 Equações racionais e irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197Domínio de uma expressão algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Operações com expressões fracionárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Equações racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Equações irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

2.13 Inequações racionais e irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Inequações racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Inequações irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

2.14 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Distância na reta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Equações com valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

Inequações modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230



Seção Sumário

3 Funções

3.1 Coordenadas no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Regiões do plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Equações no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I n t e r c e p t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Solução gráfica de equações e inequações em uma variável . . . . . . . .

I n e q u a ç õ e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Retas no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Inclinação de uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Equação da reta a partir da inclinação e do intercepto-y . . . . . . . . .

Equação da reta a partir da inclinação e de um ponto . . . . . . . . . . .

Equação da reta que passa por dois pontos conhecidos . . . . . . . . . .

Retas horizontais e retas verticais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Traçado do gráfico de equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Definição de função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Domínio e imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Gráficos de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Obtenção de informações a partir do gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . .

Valor da função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Domínio e conjunto imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zeros da função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Intervalos de crescimento e decrescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Máximos e mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7 Funçõ es usuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Função linear e função afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Função potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Função raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Funções recíprocas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Funções definidas por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.8 Transformação de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Deslocamento vertical e horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Reflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Esticamento e encolhimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.9 Combinação e composição de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Composição de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Erros a evitar na manipulação de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Funções polinomiais

4.1 Funções quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Gráfico das funções quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Forma canônica da função quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ponto de máximo ou de mínimo de uma função quadrática . . . . . . . . Inequações quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Divisão de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Algoritmo de Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Teorema do resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Zeros reais de funções polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fatorações sucessivas usando a divisão de polinômios . . . . . . . . . . .

Número de zeros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Determinação aproximada de zeros de funções polinomiais . . . . . . . .

Inequações polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4 Gráficos de funções polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Continuidade e suavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



v Sumário

Comportamento extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

Máximos e mínimos locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

5 Funções exponenciais e logarítmicas 389

5.1 Função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

Gráfico da função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

Funções injetoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

Definição de função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396Inversa da função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

5.2 Função exp onencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

Gráfico da função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

Transformações da função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

Aplicação da função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

5.3 Função logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

Operações com logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

Logaritmos usuais e mudança de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

Gráfico da função logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

Transformações e composições da função logarítmica . . . . . . . . . . . 423

5.4 Equações exponenciais e logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

Expansão e contração de expressões logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . 427

Equações exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430Equações logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

Erros a evitar na manipulação de logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . 437

5.5 Problemas com funções exponenciais e logarítmicas . . . . . . . . . . . . 439

6 Sequências e progressões 449

6.1 Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

Sequências definidas recursivamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

Determinação do termo geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

6.2 Somatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

Propriedades do somatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

6.3 Progressões aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

Soma dos termos de uma progressão aritmética . . . . . . . . . . . . . . . 470

6.4 Progressões geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477Soma dos termos de uma progressão geométrica . . . . . . . . . . . . . . 482

Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

Séries geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

6.5 Aplicações financeiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492

Valor futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

Valor presente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496

Valor futuro de um investimento constante mensal . . . . . . . . . . . . . 496

Valor presente de prestações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499

precalculo sum

Documents