Ministério da Educação

Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica

Instituto Federal Catarinense – Campus Avançado Sombrio

Curso de Licenciatura em Matemática

PLANO DE AULA

1 IDENTIFICAÇÃO

Secretaria de Estado da Educação de Santa Catarina – 22ª Gerei

Escola: Escola de Educação Básica Bulcão Viana

Município: Praia Grande, SC.

Disciplina: Matemática

Série: 1º ano Nível: Ensino Médio Turma: 01

Professora: Cristilaine Alves Hendz

Tempo previsto: 3 horas

2 TEMA: Funções

2.1 Subtemas: Função Composta, Função Inversa, Qualidades

3 JUSTIFICATIVA

O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática e ocupa lugar

de destaque em vários de seus ramos, bem como em outras áreas do conhecimento. É

muito comum e conveniente expressar fenômenos físicos, biológicos, sociais, entre

outros, por meio de funções. (DANTE, 2012)

O estudo das funções permite ao aluno adquirir a linguagem algébrica como a

linguagem das ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar

situações-problema, construindo modelos descritivos de fenômenos e permitindo várias

conexões dentro e fora da própria matemática. (PCN, 2000)

As funções correspondem a uma lei de proporcionalidade entre grandezas. É

possível relacionar mais de duas grandezas através de uma mesma função, por exemplo,

a altura que a lava e o vapor atingem em um vulcão em erupção é obtida em função da

pressão dos gases no interior do Vulcão e da Terra. Contudo, essa pressão depende da

temperatura atingida pela atividade vulcânica. (OLIVEIRA, 2013)

4 OBJETIVOS

Classificar funções quanto ao seu crescimento ou decrescimento;

Analisar e construir gráficos de funções crescentes e decrescentes;

Identificar funções sobrejetora, injetora e bijetora, por meio de diagramas e

gráficos;

Determinar e construir gráficos de funções inversas;

Definir e resolver problemas que envolvem função composta.

5 CONTEÚDOS ENVOLVIDOS

Função por meio de conjuntos, domínio, contradomínio e conjunto imagem de

uma função, construção de gráficos de funções.

6 ESTRATÉGIAS

6.1 Recursos:

Disponíveis em sala de aula, quadro, pincel, datashow, computador, lápis,

borracha, software matemático.

6.2 Técnicas:

Aula expositiva e dialogada, atividades em sala de aula.

7 PROCEDIMENTOS

7.1 Problematização:

Um laboratório de provas submeteu um determinado carro a um teste de

consumo relacionado com o custo do combustível. Os resultados foram tabulados da

seguinte forma:

Quadro 1

Percurso ( ) Consumo ( )

10 1

20 2

30 3

40 4

A lei que define o consumo em função do percurso é:

Quadro 2

Consumo ( ) Custo ( )

1 12,00

2 24,00

3 36,00

4 48,00

A lei que define o custo em função do consumo é:

Quadro 3

Percurso ( ) Custo ( )

10 12,00

20 24,00

30 36,00

40 48,00

Agora, temos a relação percurso e custo. Como podemos fazer para encontrar a

função que corresponde a esta tabela, considerando as informações anteriores?

7.2 Historicização

Segundo Dante (2012), o conceito de função é um dos mais importantes da

Matemática. Este conceito sofreu uma grande evolução ao longo dos séculos, sendo que

a introdução do método analítico na definição de função (séc. XVI e XVII) veio

revolucionar a Matemática.

Foi Leibniz (1646-1716) quem primeiro usou o termo “função” em 1673 no

manuscrito Latino “Methodustangentium inversa, seu de fuctionibus”. Leibniz usa o

termo apenas para designar, em termos muito gerais, a dependência de uma curva de

quantidades geométricas como as subtangentes e subnormais. Introduziu igualmente a

terminologia de “constante”, “variável” e “parâmetro”.

Como consequência da evolução do estudo das funções surge numerosas

aplicações da Matemática a outras ciências. Pois, os cientistas partindo de observações

procuravam uma fórmula (uma função), para explicar os sucessivos resultados obtidos.

A função era, então, o modelo matemático que explicava a relação entre as variáveis.

7.3 Operacionalização da aula

Crescimento e decrescimento de uma função

Vamos analisar as seguintes situações:

O gráfico abaixo mostra a população brasileira de 1940 a 2000.

Neste gráfico podemos perceber que a população está aumentando em função do

aumento do tempo (anos), logo a curva é denominada “crescente”.

Diz-se que f é crescente, se para , então .

Este gráfico mostra um tanque de água sendo esvaziado.

Pelo gráfico notamos a diminuição do volume de água em função do aumento de tempo

(minutos), portanto a curva é “decrescente”.

Diz-se que g é decrescente, se , então .

Função Constante – os valores da imagem permanecem inalterados, mesmo

aumentando os valores da variável independente.

Construindo e Analisando os gráficos

1- Seja a função real dada por . Para analisar se essa função é crescente

ou decrescente, vamos representá-la graficamente.

Atribuindo a alguns valores reais e substituindo na função dada, obtemos suas

respectivas imagens.

f

Podemos notar que, ao aumentarmos os

valores atribuídos a , os valores das

imagens correspondentes em também

aumentam.

Nesse caso, dizemos que a função é

crescente em .

2- Veja o gráfico da função de em dada por .

Nesse gráfico podemos perceber que:

Para , essa função é crescente;

Para , essa função é decrescente;

Para , ; para , temos . Por isso, dizemos que é o

ponto de máximo da função.

3- Observe o gráfico da função de em dado por .

Veja que:

Para , essa função é crescente;

Para , essa função é constante;

Para , ;

Para , ;

Para , .

Função Injetora, Sobrejetora e Bijetora

Função Injetora: Diz-se que é injetora se, e somente se, para quaisquer , , com

, se tivermos .

O diagrama ao lado representa a função ,

definida por .

Veja que associa elementos distintos de a

elementos distintos de . Portanto é injetora.

Função Sobrejetora: Uma função é sobrejetora quando, para qualquer elemento ,

pode-se encontrar um elemento , tal que . Ou seja,

O diagrama ao lado representa a função ,

definida por

e

Note que o conjunto imagem da função é igual ao

seu contradomínio. Logo, é sobrejetora.

Função Bijetora: Diz-se que é bijetora se, e somente se, é sobrejetora e injetora

simultaneamente.

Considere o diagrama que representa a função , definida por . De acordo

com o que vimos anteriormente, a função é, ao mesmo tempo, sobrejetora e injetora. Trata-se,

portanto, de uma função bijetora.

Função inversa

O objetivo de uma função inversa é criar funções a partir de outras. Uma função somente

será inversa se for bijetora, isto é, os pares ordenados da função deverão pertencer à função

inversa da seguinte maneira: e .

Dados os conjuntos , e função definida

pela fórmula . Temos o diagrama dessa função abaixo:

Então:

Essa função é bijetora, pois cada elemento do domínio está ligado com um elemento

diferente no conjunto imagem. Assim, podemos dizer que essa função, por ser bijetora, admite

inversa. A sua função inversa será indicada por , e será preciso realizar a troca entre

e na função , dessa forma temos:

Portanto .

Veja o diagrama abaixo:

Então:

O que é domínio na vira imagem na e vice e versa.

Graficamente ocorre a seguinte situação:

Exemplo 1: Dada a função , calcule a sua inversa.

Trocando e , teremos:

Portanto, a função , terá inversa igual a .

Exemplo 2: Dada a função definida por Qual é a sua inversa?

Essa função não admite inversa, pois ela é sobrejetora, mas não é injetora.

Função Composta

Pensando na problematização: Observe os valores do quadro 3 e note ainda que a lei que define

essa função é , obtida fazendo a composição entre as funções e , isto é,

aplicando a função a e depois aplicando a função a .

Logo,

Definição: Dadas as funções e , denomina-se função composta de com ,

nessa ordem, a função definida por para .

Exemplos:

1. Dados os conjuntos , e

considere as funções definida por e

definida por .

a) Obtenha

Solução:

b) Obtenha a lei de formação da função .

Solução:

2. Sejam as funções reais e definidas respectivamente por e

. Determine:

a) e

Solução:

b) Os valores de para que se tenha .

Solução:

8 AVALIAÇÃO

8.1 Instrumentos de avaliação

A partir do desenvolvimento e compreensão dos conceitos estudados, será realizado uma

avaliação individual com os seguintes exercícios de aplicação do tema:

1. Classifique as seguintes afirmações como verdadeira (V) ou falsa (F) justificando as

alternativas que julgar falsas.

( ) Uma função é sobrejetora quando .

( ) Diz-se que é decrescente, se para , então .

( ) Uma função é constante se os valores da imagem permanecem inalterados, mesmo

aumentando os valores da variável independente.

2. A inversa da função , cujo D = - {-2} e CD = - {1} é:

a) b) c)

d) e)

3. Sejam as funções reais e definidas respectivamente por e

– x. Determine e .

4. Fundamentados em nossos estudos em sala de aula some as alternativas verdadeiras.

01 – O diagrama representa uma função , que não admite inversa.

02 – Sejam as funções e . A função .

04 – O gráfico abaixo é de uma função crescente.

08 – A função inversa de é .

SOMA =

Respostas:

1. Falsa, Falsa e Verdadeira

2. Letra b

3. e

4. As afirmações verdadeiras são 1, 2 e 4. Total da soma: 7

8.2 Critérios de avaliação

Os principais critérios de avaliação para esta aula é a participação, o comprometimento

com as tarefas, a frequência, a assiduidade e o interesse demonstrado no momento da realização

das atividades.

9 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

DANTE, Luiz Roberto. Matemática contexto e aplicações. Volume 1. ensino médio. São Paulo:

Ática, 2012.

GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática completa. 1ª série do Ensino

Médio. 2. ed. renovada. São Paulo: FTD, 2005.

IEZZI, Gelson. [et al]. Matemática: ciências e aplicações. V. 1, ensino médio. 6. ed. São Paulo:

Saraiva, 2010.

OLIVEIRA, Gabriel Alessandro de. Função composta. Disponível em:

<http://www.mundoeducacao.com/matematica/funcao-composta.htm>. Acesso em: 13/08/2015

PCN. Parâmetros curriculares nacionais: ensino médio – Parte III. MEC, Brasília, 2000.

SILVA, Claudio Xavier da; FILHO, Benigno Barreto. Matemática aula por aula. 1ª série do

ensino médio. 2. ed. renovada. São Paulo: FTD, 2005.