Download - PLANO DE AULA 1 IDENTIFICAÇÃO
Ministério da Educação
Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica
Instituto Federal Catarinense – Campus Avançado Sombrio
Curso de Licenciatura em Matemática
PLANO DE AULA
1 IDENTIFICAÇÃO
Secretaria de Estado da Educação de Santa Catarina – 22ª Gerei
Escola: Escola de Educação Básica Bulcão Viana
Município: Praia Grande, SC.
Disciplina: Matemática
Série: 1º ano Nível: Ensino Médio Turma: 01
Professora: Cristilaine Alves Hendz
Tempo previsto: 3 horas
2 TEMA: Funções
2.1 Subtemas: Função Composta, Função Inversa, Qualidades
3 JUSTIFICATIVA
O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática e ocupa lugar
de destaque em vários de seus ramos, bem como em outras áreas do conhecimento. É
muito comum e conveniente expressar fenômenos físicos, biológicos, sociais, entre
outros, por meio de funções. (DANTE, 2012)
O estudo das funções permite ao aluno adquirir a linguagem algébrica como a
linguagem das ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar
situações-problema, construindo modelos descritivos de fenômenos e permitindo várias
conexões dentro e fora da própria matemática. (PCN, 2000)
As funções correspondem a uma lei de proporcionalidade entre grandezas. É
possível relacionar mais de duas grandezas através de uma mesma função, por exemplo,
a altura que a lava e o vapor atingem em um vulcão em erupção é obtida em função da
pressão dos gases no interior do Vulcão e da Terra. Contudo, essa pressão depende da
temperatura atingida pela atividade vulcânica. (OLIVEIRA, 2013)
4 OBJETIVOS
Classificar funções quanto ao seu crescimento ou decrescimento;
Analisar e construir gráficos de funções crescentes e decrescentes;
Identificar funções sobrejetora, injetora e bijetora, por meio de diagramas e
gráficos;
Determinar e construir gráficos de funções inversas;
Definir e resolver problemas que envolvem função composta.
5 CONTEÚDOS ENVOLVIDOS
Função por meio de conjuntos, domínio, contradomínio e conjunto imagem de
uma função, construção de gráficos de funções.
6 ESTRATÉGIAS
6.1 Recursos:
Disponíveis em sala de aula, quadro, pincel, datashow, computador, lápis,
borracha, software matemático.
6.2 Técnicas:
Aula expositiva e dialogada, atividades em sala de aula.
7 PROCEDIMENTOS
7.1 Problematização:
Um laboratório de provas submeteu um determinado carro a um teste de
consumo relacionado com o custo do combustível. Os resultados foram tabulados da
seguinte forma:
Quadro 1
Percurso ( ) Consumo ( )
10 1
20 2
30 3
40 4
A lei que define o consumo em função do percurso é:
Quadro 2
Consumo ( ) Custo ( )
1 12,00
2 24,00
3 36,00
4 48,00
A lei que define o custo em função do consumo é:
Quadro 3
Percurso ( ) Custo ( )
10 12,00
20 24,00
30 36,00
40 48,00
Agora, temos a relação percurso e custo. Como podemos fazer para encontrar a
função que corresponde a esta tabela, considerando as informações anteriores?
7.2 Historicização
Segundo Dante (2012), o conceito de função é um dos mais importantes da
Matemática. Este conceito sofreu uma grande evolução ao longo dos séculos, sendo que
a introdução do método analítico na definição de função (séc. XVI e XVII) veio
revolucionar a Matemática.
Foi Leibniz (1646-1716) quem primeiro usou o termo “função” em 1673 no
manuscrito Latino “Methodustangentium inversa, seu de fuctionibus”. Leibniz usa o
termo apenas para designar, em termos muito gerais, a dependência de uma curva de
quantidades geométricas como as subtangentes e subnormais. Introduziu igualmente a
terminologia de “constante”, “variável” e “parâmetro”.
Como consequência da evolução do estudo das funções surge numerosas
aplicações da Matemática a outras ciências. Pois, os cientistas partindo de observações
procuravam uma fórmula (uma função), para explicar os sucessivos resultados obtidos.
A função era, então, o modelo matemático que explicava a relação entre as variáveis.
7.3 Operacionalização da aula
Crescimento e decrescimento de uma função
Vamos analisar as seguintes situações:
O gráfico abaixo mostra a população brasileira de 1940 a 2000.
Neste gráfico podemos perceber que a população está aumentando em função do
aumento do tempo (anos), logo a curva é denominada “crescente”.
Diz-se que f é crescente, se para , então .
Este gráfico mostra um tanque de água sendo esvaziado.
Pelo gráfico notamos a diminuição do volume de água em função do aumento de tempo
(minutos), portanto a curva é “decrescente”.
Diz-se que g é decrescente, se , então .
Função Constante – os valores da imagem permanecem inalterados, mesmo
aumentando os valores da variável independente.
Construindo e Analisando os gráficos
1- Seja a função real dada por . Para analisar se essa função é crescente
ou decrescente, vamos representá-la graficamente.
Atribuindo a alguns valores reais e substituindo na função dada, obtemos suas
respectivas imagens.
f
Podemos notar que, ao aumentarmos os
valores atribuídos a , os valores das
imagens correspondentes em também
aumentam.
Nesse caso, dizemos que a função é
crescente em .
2- Veja o gráfico da função de em dada por .
Nesse gráfico podemos perceber que:
Para , essa função é crescente;
Para , essa função é decrescente;
Para , ; para , temos . Por isso, dizemos que é o
ponto de máximo da função.
3- Observe o gráfico da função de em dado por .
Veja que:
Para , essa função é crescente;
Para , essa função é constante;
Para , ;
Para , ;
Para , .
Função Injetora, Sobrejetora e Bijetora
Função Injetora: Diz-se que é injetora se, e somente se, para quaisquer , , com
, se tivermos .
O diagrama ao lado representa a função ,
definida por .
Veja que associa elementos distintos de a
elementos distintos de . Portanto é injetora.
Função Sobrejetora: Uma função é sobrejetora quando, para qualquer elemento ,
pode-se encontrar um elemento , tal que . Ou seja,
O diagrama ao lado representa a função ,
definida por
e
Note que o conjunto imagem da função é igual ao
seu contradomínio. Logo, é sobrejetora.
Função Bijetora: Diz-se que é bijetora se, e somente se, é sobrejetora e injetora
simultaneamente.
Considere o diagrama que representa a função , definida por . De acordo
com o que vimos anteriormente, a função é, ao mesmo tempo, sobrejetora e injetora. Trata-se,
portanto, de uma função bijetora.
Função inversa
O objetivo de uma função inversa é criar funções a partir de outras. Uma função somente
será inversa se for bijetora, isto é, os pares ordenados da função deverão pertencer à função
inversa da seguinte maneira: e .
Dados os conjuntos , e função definida
pela fórmula . Temos o diagrama dessa função abaixo:
Então:
Essa função é bijetora, pois cada elemento do domínio está ligado com um elemento
diferente no conjunto imagem. Assim, podemos dizer que essa função, por ser bijetora, admite
inversa. A sua função inversa será indicada por , e será preciso realizar a troca entre
e na função , dessa forma temos:
Portanto .
Veja o diagrama abaixo:
Então:
O que é domínio na vira imagem na e vice e versa.
Graficamente ocorre a seguinte situação:
Exemplo 1: Dada a função , calcule a sua inversa.
Trocando e , teremos:
Portanto, a função , terá inversa igual a .
Exemplo 2: Dada a função definida por Qual é a sua inversa?
Essa função não admite inversa, pois ela é sobrejetora, mas não é injetora.
Função Composta
Pensando na problematização: Observe os valores do quadro 3 e note ainda que a lei que define
essa função é , obtida fazendo a composição entre as funções e , isto é,
aplicando a função a e depois aplicando a função a .
Logo,
Definição: Dadas as funções e , denomina-se função composta de com ,
nessa ordem, a função definida por para .
Exemplos:
1. Dados os conjuntos , e
considere as funções definida por e
definida por .
a) Obtenha
Solução:
b) Obtenha a lei de formação da função .
Solução:
2. Sejam as funções reais e definidas respectivamente por e
. Determine:
a) e
Solução:
b) Os valores de para que se tenha .
Solução:
8 AVALIAÇÃO
8.1 Instrumentos de avaliação
A partir do desenvolvimento e compreensão dos conceitos estudados, será realizado uma
avaliação individual com os seguintes exercícios de aplicação do tema:
1. Classifique as seguintes afirmações como verdadeira (V) ou falsa (F) justificando as
alternativas que julgar falsas.
( ) Uma função é sobrejetora quando .
( ) Diz-se que é decrescente, se para , então .
( ) Uma função é constante se os valores da imagem permanecem inalterados, mesmo
aumentando os valores da variável independente.
2. A inversa da função , cujo D = - {-2} e CD = - {1} é:
a) b) c)
d) e)
3. Sejam as funções reais e definidas respectivamente por e
– x. Determine e .
4. Fundamentados em nossos estudos em sala de aula some as alternativas verdadeiras.
01 – O diagrama representa uma função , que não admite inversa.
02 – Sejam as funções e . A função .
04 – O gráfico abaixo é de uma função crescente.
08 – A função inversa de é .
SOMA =
Respostas:
1. Falsa, Falsa e Verdadeira
2. Letra b
3. e
4. As afirmações verdadeiras são 1, 2 e 4. Total da soma: 7
8.2 Critérios de avaliação
Os principais critérios de avaliação para esta aula é a participação, o comprometimento
com as tarefas, a frequência, a assiduidade e o interesse demonstrado no momento da realização
das atividades.
9 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
DANTE, Luiz Roberto. Matemática contexto e aplicações. Volume 1. ensino médio. São Paulo:
Ática, 2012.
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática completa. 1ª série do Ensino
Médio. 2. ed. renovada. São Paulo: FTD, 2005.
IEZZI, Gelson. [et al]. Matemática: ciências e aplicações. V. 1, ensino médio. 6. ed. São Paulo:
Saraiva, 2010.
OLIVEIRA, Gabriel Alessandro de. Função composta. Disponível em:
<http://www.mundoeducacao.com/matematica/funcao-composta.htm>. Acesso em: 13/08/2015
PCN. Parâmetros curriculares nacionais: ensino médio – Parte III. MEC, Brasília, 2000.
SILVA, Claudio Xavier da; FILHO, Benigno Barreto. Matemática aula por aula. 1ª série do
ensino médio. 2. ed. renovada. São Paulo: FTD, 2005.