O NÚMERO DE OURO

Colégio Ressurreição Nossa Senhora

Professora Tatiane Vieira Borges

Matemática – 8° ano

O QUE É O NÚMERO DE OURO

O Número de Ouro pode estar relacionado com as dimensões de um retângulo especial, que por esse fato se designa por retângulo de ouro.

Esse retângulo foi estudado pelos Gregos num contexto geométrico.

O QUE É O NÚMERO DE OURO

Dado um segmento de reta AB, para um ponto C que divide este segmento pode existir a proporção de ouro se AB/AC = AC/CB (sendo AB o segmento maior).

O Número de Ouro é exatamente o valor da razão AB/AC, a chamada Razão de Ouro.

CB

AC

AC

AB

A C B

O QUE É O NÚMERO DE OURO

O valor exatado da razão é .

A divisão do segmento feita segundo essa proporção denomina-se divisão áurea, a que Euclides chamou divisão em média e extrema razão.

O Número de Ouro é representado pela letra grega Φ, (Fi maiúsculo), é a inicial do nome de Fídias, que foi um famoso escultor e arquiteto grego, encarregado pela construção do Pártenon, em Atenas e por ter usado a proporção de ouro em muitos dos seus trabalhos.

AC

AB2

51

O QUE É O NÚMERO DE OURO1.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596

A HISTÓRIA DO NÚMERO DE OURO Foi o primeiro número irracional de que se

teve consciência que o era.

Posteriormente, os gregos consideraram ainda que o retângulo cujos lados apresentavam esta relação apresentava uma especial harmonia estética tal que lhe chamaram retângulo áureo ou retângulo de ouro, considerando esta harmonia como uma virtude excepcional.

RETÂNGULO ÁUREO

Juntando dois quadrados unitários (Lado=1), teremos um retângulo 2x1, sendo que o comprimento 2 é igual à soma dos lados dos quadrados anteriores.

De  novo anexamos outro quadrado com L=2 (o maior dos lados do retângulo anterior) e teremos um retângulo 3x2.

Continuamos a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos rectângulos obtidos antes. A sequência dos lados dos próximos quadrados é: 3,5,8,13,... que é a sequência de Fibonacci.

Com um compasso, trace um quarto de circunferência no quadrado de lado L=13, de acordo com o desenho ao lado.

Tendo em atenção o desenho, trace quartos de circunferências nos quadrados de lados L=8, L=5, L=3, L=2, L=1 e L=1

Retângulo Áureo

RETÂNGULO ÁUREO

A espiral assim obtida é chamada uma espiral de ouro.

Esta espiral pode ser observada na secção da casca do Nautilus (um molusco).

APLICAÇÕES DO FI

Podemos encontrar a razão áurea em diversas áreas das nossas vidas, em geral relacionamos essa razão a beleza e equilíbrio.

A seguir, a razão áurea, em particular o retângulo áureo, sendo aplicada na arquitetura, pintura e escultura do mundo clássico e do atual.

O FI NA ARQUITETURA (GRÉCIA)

Os gregos já usavam o retângulo áureo em suas construções mais importantes, o Partenon é um exemplo claro disso.

O FI NA ARQUITETURA (EGITO)

Encontramos a razão áurea nas pirâmides do Egito.

O FI NA ARQUITETURA (PARIS)

Encontramos a razão áurea em diversas proporções da igreja de Notre-Dame, em Paris.

O FI NA ARQUITETURA (NEW YORK)

Encontramos o retângulo áureo no prédio da ONU, em Nova Iorque.

O FI NA ARQUITETURA (CANADÁ)

No Canadá encontramos o FI na torre CN, em Toronto.

O FI EM PINTURAS CLÁSSICAS

Leonardo da Vinci, assim como muitos outros artistas Clássicos, usou vastamente a razão áurea em suas obras.

A seguir veremos alguns exemplos da razão áurea sendo usada em obras por diversos artistas.

No famoso quadro Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, o retângulo áureo aparece diversas vezes.

Note que as proporções do próprio quadro seguem a razão áurea nesse caso.

Neste quadro, também de Da Vinci, podemos usar o retângulo áureo para enquadrar a mulher ou anjo, colocando-o para a esquerda da pintura ou para a direita. O que sobra é um quadrado.

A belíssima Vênus, ou Afrodite, deusa da beleza em um quadro que retrata o mito de seu nascimento. Repare que suas proporções seguem aquelas do retângulo áureo nessa pintura de Bouguereau.

Aqui estão apenas alguns exemplos de onde encontramos o retângulo áureo nessa pintura.

Outros exemplos:

Pintura de Raphael, onde encontramos o pentágono e suas razões áureas.

O FI NA FOTOGRAFIA

Uma famosa técnica de fotografia é colocar o foco da foto em um ponto que é encontrado usando a razão áurea, como ilustrado ao lado.

A seguir algumas fotos que usam esse principio.

O FI NO DESIGN TECNOLÓGICO

Podemos encontrar diversos exemplos do FI sendo usado para fazer o design de objetos tecnológicos.

Exemplos disso são os nossos cartões de

crédito, bilhete único e cartões de seguro saúde.

A seguir veremos mais alguns exemplos da razão de ouro sendo usada em design tecnológico.

O FI NA NATUREZA

Encontramos o FI em diversos lugares da natureza, nos animais, nas plantas e até mesmo em nossos corpos.

A seguir diversos exemplos que podem ser encontrados na natureza.

O retângulo de ouro pode ser encontrado na concha do Nautilus, veja o esquema abaixo, que mostra o espiral da concha limitado pelo retângulo áureo. Também encontramos a espiral no rabo do camaleão.

Outras conchas:

O corpo de diversos animais também apresenta a razão áurea:

O abacaxi também esconde a razão áurea no número de segmentos seguindo cada uma de espirais, atenção na animação ao lado.

34/21 = 1.690476

O FI NO CORPO HUMANO

O corpo humano apresenta inúmeras proporções muito próximas da razão áurea. Em geral consideramos bonitas as pessoas com esse tipo de proporção, a seguir faremos um pequeno estudo dessas pessoas.

OS DENTES E A RAZÃO ÁUREA

Na foto abaixo podemos ver que a razão áurea aparece nesse lindo sorriso. A beleza desse sorriso está em parte associada a essa razão, cor, contraste e tamanho também são considerados, é claro.

O ROSTO HUMANO

A seguir veremos algumas proporções áureas encontradas no rosto humano.

Jennifer Aniston

Angelina Jolie

Eis um exemplar ideal da espécie... Se perguntando qual a razão disso?

Entende?

Quer ver outro?

Eis outro exemplar magnífico da espécie, já sabe porque?

Essa é a razão.. Entende?A razão!