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Matemática Básica

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 4

21 de março de 2012

Aula 4 Matemática Básica 1

Negação


Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Qual é a negação do predicado abaixo (assumindo que x representaum número real)?

x < 1.

Resposta: x ≥ 1.


Negação


∼ p


Regras do Jogo


x < 1.

Resposta: x ≥ 1.


Negação


∼ p


Regras do Jogo

Relação com a Teoria dos Conjuntos: se

A = {x | x satisfaz p},

então{x | x satisfaz ∼ p} = AC = U︸︷︷︸

conjuntouniverso

− A.


Negação


∼ p


Regras do Jogo




conjuntouniverso

− A.


Negação


∼ p


Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∨ q) = (∼ p) ∧ (∼ q).

Exemplo: a negação de x < −δ ou x > δ é x ≥ −δ e x ≤ δ quepode ser escrita da seguinte forma compacta: −δ ≤ x ≤ δ.


Negação


∼ p


Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∨ q) = (∼ p) ∧ (∼ q).



Negação


∼ p


Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∧ q) = (∼ p) ∨ (∼ q).

Exemplo: a negação de −δ < x < δ (isto é, −δ < x e x < δ) éx ≤ −δ ou x ≥ δ.


Negação


∼ p


Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∧ q) = (∼ p) ∨ (∼ q).



Negação


∼ p


Regras do Jogo

Fato: ∼ (∼ p) = p.


Contrapositiva


Contrapositiva

Dada uma sentença A⇒ B, sua contrapositiva é a sentença

∼ B ⇒∼ A.

Regras do Jogo

Exemplo: a contrapositiva da sentença (assumindo que m representaum número natural)

se m2 é um número par, então m é um número par

é a sentença

se m é um número ímpar, então m2 é um número ímpar .


Contrapositiva


∼ B ⇒∼ A.

Regras do Jogo



é a sentença



Teorema

A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.

Demonstração.

(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.

(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.

Corolário:

A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.


Teorema


Demonstração.



Corolário:



Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.


Quantificadores


Quantificador universal (∀)

Dizemos que a expressão quantificada

∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)

é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∀x ∈ [1,∞[, x2 ≥ x

A sentença é verdadeira. Justificativa: se x ∈ [1,∞[, então x ≥ 1 ex > 0. Portanto, x · x ≥ 1 · x , isto é, x2 ≥ x .






Regras do Jogo

Exemplo:∀x ∈ [1,∞[, x2 ≥ x







Regras do Jogo

Exemplo:∀x ∈ R, x2 ≥ −x

A sentença é falsa. Justificativa: existe x ∈ R tal que x2 < −x . Defato: se x = −1/2, então x ∈ R e x2 = 1/4 < 1/2 = −x .






Regras do Jogo








Regras do Jogo

Exemplo:∀a,b ∈ R, (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2

A sentença é verdadeira. Justificativa: se a,b ∈ R, então (a + b)2 =(a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2 ab + b2.






Regras do Jogo




Quantificador existencial (∃)


∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x − 1 = 0

A sentença é verdadeira. Justificativa: se x = (1+√

5)/2, então x ∈ Re x2 − x − 1 = 0.






Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x − 1 = 0


5)/2, então x ∈ Re x2 − x − 1 = 0.






Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0

A sentença é falsa. Justificativa: para todo x ∈ R, x2 − x + 1 =(x − 1/2)2 + 3/4 > 0.






Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0







Regras do Jogo

Exemplo:∃a,b, c ∈ N | a2 = b2 + c2

A sentença é verdadeira. Justificativa: se a = 5, b = 3 e c = 4, entãoa2 = 25 = 9 + 16 = b2 + c2.






Regras do Jogo








Regras do Jogo

Exemplo:∃n,a,b, c ∈ N | n > 2 e an = bn + cn

A sentença é falsa. Justificativa: difícil (ler a respeito do ÚltimoTeorema de Fermat).






Regras do Jogo




Quantificador existencial de unicidade (∃!)


∃!x ∈ X | q(lê-se “existe um único x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe um único elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui umúnico exemplo. Note que “∃!x ∈ X | q” é falsa se existe mais de umelemento x ∈ X que satisfaz o predicado q ou se todo elemento x ∈ Xnão satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo




∃!x ∈ X | q(lê-se “existe um único x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe um único elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui umúnico exemplo. Note que “∃!x ∈ X | q” é falsa se existe mais de umelemento x ∈ X que satisfaz o predicado q ou se todo elemento x ∈ Xnão satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo



Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Se x = 2, então x ∈ R e 2 x − 4 = 2 (2)− 4 = 4− 4 = 0.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈ R tais que 2 x1−4 = 0 e 2 x2−4 = 0. Logo2 x1 − 4 = 2 x2 − 4. Portanto, 2 x1 = 2 x2. Assim, x1 = x2.



Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0





Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4


(Existência) Se x = 2, então x ∈]0,+∞[ e x2 = (2)2 = 4.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 4 e x22 = 4. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2

2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.



Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4



1 = 4 e x22 = 4. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2




Exemplo:∃!x ∈ R | x2 = 4

A sentença é falsa. Justificativa: se x1 = −2 e x2 = 2, então x1 ∈ R,x2 ∈ R, x2

1 = 4, x22 = 4 e x1 6= x2.





1 = 4, x22 = 4 e x1 6= x2.



Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2


(Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudarprimeiro o conceito de continuidade de funções reais.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 2 e x22 = 2. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2




Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2



1 = 2 e x22 = 2. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2



Cuidado: ordem dos quantificadores

∀a ∈ R,∃b ∈ R | b > a(Verdadeira)

∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a(Falsa)

Moral: cuidado com a ordem dos quantificadores!




∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a(Falsa)



Negação de uma implicação

∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)

Negação de Uma Implicação

Exemplos:

∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)

∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)

∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]



∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)


Exemplos:

∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)

∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)

∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]


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