geometria análitica_ matemática básica

7/26/2019 Geometria Anlitica_ Matemtica bsica

1/73

1

GEOMETRIA ANALITICA


2/73

2

I TEMA COORDENADO CARTE IANO

1.- El sistema coordenado Unidimensional:

Representado por la recta numrica! "ue se determina por #1$%1& '#($%(& se tiene :

)a distancia diri*ida de #1 a #(es : #(- #1+ %(- %1 )a distancia no diri*idaes :

#1 #(

$ %1 & $ %(&

-, - -( -1 1 (

#1 /1 R1 S1 O / R #(

Distancia diri*ida

Distancia no diri*ida

E0emplo:

%%

122121xxPP:esPP =

231xxQP743)4(3xxPP 1221221 ====+====

231xxQP7)4(3xxPP1221221

======


3/73

3

I TEMA COORDENADO CARTE IANO

(.- El sistema coordenado idimensional:

Un punto en el plano se determina mediante el par: # $%!'&

2

3

# $%!'&

I $4 ! 4&II $- ! 4&

III $- -& I5 $4 ! -&

El sistema de coordenadas en el planoconsiste en un par de rectas orientadasperpendiculares! llamadas e0escoordenadas.

Recta 6ori7ontal : e0e % $a8scisa&

Recta 9ertical: e0e ' $ordenada&

)a interseccin de am8as rectas es elori*en.

)as cuatro partes en "ue el plano "uedadi9idido por los e0es coordenadas se llaman

cuadrantes.)as coordenadas del punto # se representan por el par ordenado $%!'&


4/73

4

DI TANCIA ENTRE ( #UNTO EN E)

#)ANO

Sean los puntos #1$%1! '1& ' #($%(! '(&

)a distancia entre #1 ' #(

Se determina por:

Esta e%presin se o8tiene

o8ser9ando la ;i*ura en cu'o

tri


5/73

5

DI TANCIA ENTRE ( #UNTO EN E)

#)ANO

E0emplo 1: Si #1+ $= ! >& ' #(+ $ ? ! (& @allar d$#1! #(& +

E0emplo (: Demostrar "ue los puntos A$-( !-1& ! $(! ( & ' C$? ! -(& son los

9rtices de un tri


6/73

6

DI5I IN DE UN EBMENTO EN UNA RAN

CONOCIDA

#( $%(! '(&

#$%!'&

#1 $%1! '1&

Sea el se*mento ' el punto "ue di9ide a

en la ra7n entonces! las coordenadas

de # Ser


7/73

7


CONOCIDA

en la ;i*ura #1/# #R#( entonces :

#ara 6allar la Ordenada ' del punto #

#( $%(! '(&

#

#1 $%1!'1&

$%!'&

/

R

%

'

!PP

PP

RP

QP

2

1

2

==

" 1!,1!

! yyy! yy1)y( !! yy! yy

! y! yy"yy)! ( yy"y!yy

y"y!PPPP

212121

21212

1

2

1

+

+=+=++=+

===

=


8/73

8


CONOCIDA


#ara 6allar la a8scisa % del punto #

#( $%(! '(&

#

#1 $%1!'1&

$%!'&

/

R

%

'

!PP

PP

PR

QP

2

11==

" 1!,1!

! xxx! xx1)x( !! xx! x

! x! xx"xx)! ( xx"x!xx

x"x!PPPP

212121

21212

1

2

1

+

+=+=++=+

===

=

x


9/73

9


CONOCIDA

#( $%(! '(&

#

#1 $%1!'1&


$%!'&

/

R

O8ser9aciones

1. Si r ! el punto #$% ! '& est< en el interior del se*mento:

1. Si r F ! el punto #$% ! '& est< en el e%terior del se*mento:

(. Si #$%!'& es el punto medio del se*mento entonces la ra7n r + 1

)ue*o las coordenadas del punto # son:

%

'

!PP

PP

PR

QP

2

11==

21PP

21PP21PP

1PP

PP

2

1=

2

yyy#

2

xxx 2121

+=

+=


10/73

1$


CONOCIDA

E0emplo 1. Si A$(!& ' $,!=& son los e%tremos de un se*mento. @allar las

coordenadas del punto #$%!'& donde:

Solucin:3

1

P

AP=

25

41$

3

11

(4)

3

12

!1!xxx 21 ==

+

+

=

+

+=

4

17

3

11

(8)3

13

!1

!yyy 21 =

+

+

=

+

+=

4

17,

2

5P%L&'


11/73

11


CONOCIDA

E0emplo 1. Si A$(!& ' $,!=& son los e%tremos de un se*mento. @allar las

coordenadas del punto #$%!'& donde:

Solucin:3

1

P

AP=

4

17,

2

5P%L&'

==

==

=

4

17y

3

1

y8

3y

2

5

x3

1

x4

2x

3

1

P

AP


12/73

12


CONOCIDA

E0emplo (. @allar los puntos de triseccin ' el punto medio del se*mentocu'os e%tremos son: A$-(!& ' $> !-&

Solucin: A$-(!&

$>!-&

#$%!'&

/

1

1

1

#unto medio M$%!'& :

M

#$1G ! -1& /$(G !1&

==

==

=1y

2

1

y3

3)(y3

1$x

2

1

x2

6x

21

PAP

==

==

=1y2

y3

3)(y3

2x2

x2

6x

2QAQ

$

2

33

2

yyy2

2

26

2

xxx 2121 =

+=

+==

=

+=


13/73

13

#ENDIENTE DE UNA RECTA

#1 $%1!'1&

)

%

'

ANBU)O DE INC)INACIN

Se llama


14/73

14


Sea el


15/73

15


m + T*

/

#1

$%1!'1&

)

#( $%(!'(&

3

2

'(- '1

%(- %1

OSER5ACIONES

1. Si m entonces el


16/73

16


m + T*

/

#1

$%1!'1&

)

#( $%( !'(&

3

2

'(- '1

%(- %1

E0emplo 1: @allar la pendiente de la recta ) "ue pasa por los puntos :

#1

$(!1& ' #(

$?!>&

12

12

12 xx,

xx

yy*

=

3

5

2"5

1"6

xx

yy*

12

12==

=


17/73

17


E0emplo (: )os 9rtices de un tri


18/73

18

KNBU)O ENTRE DO RECTA

Sean las rectas )1 ' )("ue ;orman un


19/73

19

KNBU)O ENTRE DO RECTA

DEMOSTRACIN

Sean las rectas )1 ' )("ue ;orman un


20/73

2$

)A RECTA

DEINICIN: )a lLnea recta es el lu*ar *eomtrico de los puntos tales "uetomados dos puntos di;erentes cuales"uiera #1$ %1 ! '1& ' #($ %( ! '(& dellu*ar la pendiente m resulta siempre una constante.

ECUACIONES DE )A RECTA1& orma #unto #endiente :

Si la recta pasa por el punto #1$ %1 ! '1& ' cu'a pendiente es m entonces

la ecuacin de la recta est< dado por : ' - '1+ m $ % - %1 &

#1$%1!'(&

%

#($%( !'(&'

12

12

xx

yy*

=


21/73

21

)A RECTA

#1$%1!'1&

%

#$%!!'&

'

DEMOSTRACIN

)a recta ) pasa por el punto #$%1! '1& ' tiene pendiente conocida m 'sea #$% ! '& un punto cual"uiera de la recta ).

)

#or de;inicin de pendiente de una recta se tiene:

)x*(xyyxx

yy* 11

1

1 ==

)x*(xyy%L 11 =


22/73

22

)A RECTA

#$( ! ?&

%

#$%!!'&'

E0emplo. @allar la ecuacin de la recta ) "ue pasa por el punto #$( !?&' tiene pendiente .

SO)UCION: )

$1y3x%L63x5y

2)3(x5y)x*(xyy

-(2,5),3*

11

==

===

)x*(xyy%L 11 =


23/73

23

)A RECTA

)a recta ) pasa por los puntos : #1$ %1! '1& ' #($ %(! '(& entonces la

pendiente ......$1&

( & Ecuacin de la Recta "ue pasa por ( puntos:

Si la recta ) pasa por lo puntos #1$ %1! '1& ' #($ %(! '(& su ecuacin

es:

DEMOSRACION:

#1$%1!'1&

%

#($%( !'(&'

Se conoce la ecuacin de la recta en su ;orma punto pendiente

' - '1+ m$ % - %1&......$(&

Rempla7ando $1& en $(& se tiene:

12

12

xx

yy*

=

)x(xxx

yyyy%L 1

12

121

=

)x(x

xx

yyyy%L 1

12

121

=


24/73

24

)A RECTA

E0emplo. @allar la ecuacin de la recta ) "ue pasa por los puntos #1$ -( ! -&

' #($ , ! >&

SO)UCIN:)x(x

xx

yyyy%L 1

12

121

=

$2 y"3 x%L

6x362 y2 )(x2

3)3(y

2 )(x

6

9)3(y2 )(x

24

36)3(y

))2((x)2(4

)3(6))3((y

=

+=++=+

+=++

+

+=+

=


25/73

25

)A RECTA

& #endiente ' ordenada en el ori*en:

Una Recta con #endiente m ' "ue corta al e0e ' en el punto $ !8 & su

ecuacin es :

DEMOSTRACIN:

' + m% 4 8

)

%

'

$ ! 8&

.*xy

*x."y$)*(x.y

)x*(xyy%L 11

+=

==

=


26/73

26

)A RECTA

, & Ecuacin Simtrica

Si una Recta corta a los e0es

Coordenados en $ a ! & ' $ ! 8 &

su Ecuacin es :

? & Ecuacin Beneral

)a Ecuacin Beneral de una Recta esta representado por :

Donde :

En la Ecuacin $ 1 & si :

A + ' 4 C + es una recta @ori7ontal

+ A% 4 C + es una recta 5ertical

A% 4 ' 4 C + . . . $ 1 &

$ !8 &

$ a! & %

'

1.

y

/

x=+

B

Am =


27/73

27

)A RECTA

Distancia de un punto a una Recta

Sea la Recta ): A% 4 ' 4 C + '

Sea el #unto #1$ %1! '1 & la distancia

d del punto # a la recta ) esta dado

por:

)

%

'

d

# $%1! '1&

Distancia entre dos rectas paralelas

Dadas las rectas paralelas :

)1: A% 4 ' 4C1+ ' )(: A% 4 ' 4C( +

la distancia de )1 a )( est< dado por:

22

11

A

CyAxL)d(P,

+

++=

22

2121

A

CC)L,d(L

+

=


28/73

28

)A RECTA

)

%

'

d

# $? !, &

E0emplo1. @allar la distancia del punto

#$? ! ,& a la recta ) : % 4 ,' - >+

)22

11

A

CyAxL)d(P,

+

++=

55

25

25

25L)d(P,

43

64(4)3(5)L)d(P,

22

===

+

+=


29/73

29

)A RECTA

)

%

'

d

/ $? !> &E0emplo(. @allar la distancia "ue e%isteentre el punto R$, ! -(& del plano ' larecta "ue pasa por los puntos #$- ! (& '/$? ! >&

SO)UCIN)

# $- !( &

R $, !-( &

Aplicamos la ecuacin punto pendientede la recta: ' - '1+m$% - %1&

535

515

5

15

5

15L)d(R,

21

72("2)"1(4)L)d(R,

A

CyAxL)d(R,

2222

11

====

+

+==

+

++=

21

84

3526* ==

+=

$72yx%L3x4"2y3)(x

2

12y =++=+=


30/73

3$

)A RECTA

#osicin Relati9a de ( Rectas

Sean las rectas : )1: A1% 4 1' 4 C1 +

)(: A(% 4 (' 4 C(+

Si )1GG )(m1+ m(

Si )1)( m1. m(+ -1 A1A(4 1(+

Si )1' )(son coincidentes :

2

1

2

1

B

B

A

A =

2

1

2

1

2

1

CC

BB

AA ==


31/73

31

)A CIRCUNERENCIA

DEEINICION: )a Circun;erencia es el lu*ar *eomtrico del con0unto depuntos en el plano tal "ue la distancia de un punto ;i0o a cada uno de elloses una constante.

Centro $C& : #unto ;i0o

radio r : distancia constante

d$# ! C& + r

C$6!P&

r

#$%!'&


32/73

32

)A CIRCUNERENCIA

E)EMENTOS DE )A CIRCUNERENCIA

C

r

E

D

A )T

)N

1. Centro de la circun;erencia. C (. Radio de la circun;erencia r

. Di. Recta normal a la circun;erencia. )N

A

0


33/73

33

)A CIRCUNERENCIA

Una Circun;erencia "ueda completamente de;inida! si se conoce su centro 'su radio.

Ecuaciones de la Circun;erencia:

1& orma Ordinaria:

Sea el Centro de la Circun;erencia

C $ 6!P & ' radio r .

Si # $%!'& es un punto

#or distancia:

(& orma cannica

si el Centro es el ori*en su ecuacin es :

C$6!P&

r

#$%!'&

3

2

$% - 6&(4 $' - P&(+ r(

#$%!'&

3

2

!PC =

!)(y)(x 22 =+

222!yx =+


34/73

34

)A CIRCUNERENCIA

E0emplo 1. Escri8ir la ecuacin de la circun;erencia de centro C$- ! -,& 'radio ?.

Solucin.

E0emplo (. )os e%tremos de un di


35/73

35

)A CIRCUNERENCIA

E0emplo . @allar la ecuacin de la circun;erencia cu'o centro est< so8re el

e0e % ' "ue pasa por los dos puntos A$1 ! & ' $, ! >&

'

%

A

C$%!&

)a ecuacin de la circun;erencia:

( ) ( )

( ) ( ) 4 591791x7x

4 26 x3 61 68 xx912 xx

3 64"x91x

22

22

22

=+=+==

=++=++

+=+

r

364)(x91)(x)d(C,A)d(C,! 22 +=+==

( ) ( ) 45$"y7x 22 =+


36/73

36

)A CIRCUNERENCIA

O8ser9aciones:

C$6!P&Si la circun;erencia es tan*ente ale0e % su ecuacin es :

%

'

P

%

'C$6!P&6

Si la circun;erencia es tan*ente al

e0e ' su ecuacin es :

( ) ( ) 222

yx =+

( ) ( ) 222 yx =+


37/73

37

)A CIRCUNERENCIA

& Ecuacin Beneral

Desarrollando la ecuacin ordinaria de la circun;erencia tenemos:

Completando cuadrados lo lle9amos a su ;orma ordinaria

Esta ecuacin tiene la misma ;orma "ue:

Se llama ;orma *eneral de la circun;erencia. %(4 '(4 D% 4 E' 4 +

2

,

2

"CC'!&

E40E

2

1!

4

E

4

" 0!

4

E

4

"0

2

Ey

2

x

4

E

4

0"2

E

Eyy2

xx

$0Eyxyx

22

222

2222

2222

22

22

+=

++=++=

++

+

++=

+++

++

=++++

( ) ( )

). . . . . . . . ( 1$!2y2xyx

!2yy2xx!yx

22222

22222222

=+++

=+++=+


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38

)A CIRCUNERENCIA

E0emplo . Reduciendo las ecuaciones dadas a la ;orma ordinaria !determinar si representa o no una circun;erencia.

a. (%(4 ('( - >% 41' 4 Q +

8. ,%(4 ,'(4(=% - =' 4 ? +

c. 1>%( 4 1>'(- >,% 4 =' 4 1QQ +

Solucin.

- Si D( 4 E( - , la Circun;erencia es real

- Si D( 4 E( - , F la Circun;erencia es ima*inaria

- Si D( 4 E( - , + la Circun;erencia representa un punto

40E2

1! 22 +=

2,

2

"CC'!&

E


39/73

39

)A CIRCUNERENCIA

)ue*o la ecuacin es una circun;erencia

de centro C $G( ! -?G(& ' radio

5)(y)2

3"(x1$)2(y)

2

3"2(x

2

25

2

9"7)

2

55y2(y)

2

33x2(x

$71$y6x2y2x/.

22522

252

22

22

22

=++=++

++=+++

+

=+++

5

52

5y

2

3x

54

25

4

9

2

7

2

55yy

2

33x"x

$2

75y3xy x

$71$y6x2y2x/.

22

22

22

22

22

=

++

=++=

+++

+

=+++

=+++


40/73

4$

)A CIRCUNERENCIA

)ue*o la ecuacin representa el punto C$-QG( ! 1&

)ue*o la ecuacin representa un con0unto 9acLo ouna circun;erencia ima*inaria.

$)1"(y)2

7

(x)1"(y4)2

7

4(x

449"53)1y24(y)2

7x74(x

$538284y4x.

2222

22

2

22

=++=++

++=++

++

=+++ yx

7)4

1(y2)"(x)

4

116(y2)16(x

164"177)4

1

2

y

16(y)2

4

4x16(x

$1778y64x16y16x.

2222

22

22

22

=++=++

++=

+++

+

=+++


41/73

41

CUR5A CNICA

Una Cnica es el con0unto de puntos cu'as distancias diri*idas a un punto

;i0o $ oco & ' a una Recta ;i0a $ Directri7 &! es una ra7n constante llamada

e%centricidad.

Si:

e + 1 la cnica se llama #ar


42/73

42

)A #ARK1O)A

Es el con0unto de puntos "ue e"uidistan

de una recta ;i0a llamada directri7 ' de un

punto ;i0o llamado oco.

Elementos:

oco: #unto ;i0o

E0e ocal: Recta DD ' pasa por el oco

5rtice: #unto 5

Cuerda:

Cuerda ocal:

)ado Recto:

Radio 5ector:

Directri7 : DD

M#

M

R

D

D

5

N

2

@

D

)

%

PPM =

MN

!"

#$

!


43/73

43

)A #ARK1O)A

Ecuaciones de la #ar


44/73

44

)A #ARK1O)A

2

3

)

D

2

3

D

D

$p!&

o

o

5

5

#$%!'&

D

E)EMENTOS

1. El 9rtice 5$!&

(. El ;oco $p!&

. )ado Recto )R +S , p S

,. Ecuacin de la directri7: % + - p

)

R

)

'(+ ,p%

R

0- =


45/73

45

)A #ARK1O)A

Ecuaciones de la #ar


46/73

46

)A #ARK1O)A

E)EMENTOS

1. El 9rtice 5$!&

(. El ;oco $ ! p&

. )ado Recto )R +S , p S

,. Ecuacin de la directri7: ' + - p

2

3

DD

2

3

DD

o

o

5

5

3( + ,p'

) R

) R

0- =


47/73

47

)A #ARK1O)A

E0emplo 1. @allar las coordenadas del ;oco! la ecuacin de la directri7 ' la

lon*itud del lado recto ' *ra;icar.

a. %(- 1(' + 8 . '( 4 =% +

Solucin:

2

3

DD

o5

1. 5rtice 5$!&(. oco $!p& $!&

. Directri7 ' + - p ' + -

,. )ado Recto )R+ |,p | )R + 1(

como p la par


48/73

48

)A #ARK1O)A

E0emplo 1. @allar las coordenadas del ;oco! la ecuacin de la directri7 ' la

lon*itud del lado recto ' *ra;icar.

a. %(- 1(' + 8 . '( 4 =% +

Solucin:

2

3-(

D

D

o

5

1. 5rtice 5$!&(. oco $ p ! & $ -(! &

. Directri7 % + - p % + - $ -(& + (

,. )ado Recto )R+ |,p | )R + =

como pF la par


49/73

49

)A #ARK1O)A

Ecuacin Ordinaria de la #ar


50/73

5$

)A #ARK1O)A

$ ' - P &((+ ,p $ % - 6 &D

D

D

D

5

5

2

2

3

3

$6!P&

$6!P&

E)EMENTOS

1. El 9rtice 5$ 6 ! P&

(. El ;oco $6 4 p ! P&

. )ado Recto )R+ |,p |

,. Ecuacin de la directri7 % + 6 - p


51/73

51

)A #ARK1O)A

Ecuacin Ordinaria de la #ar


52/73

52

)A #ARK1O)A

$ % - 6 &(+ ,p $ ' - P &

DD

DD

5

5

2

2

3

3

$6!P&

$6!P&

E)EMENTOS

1. El 9rtice 5$ 6 ! P&

(. El ;oco $ 6 ! P 4 p&

. )ado Recto )R+ |,p |

,. Ecuacin de la directri7 ' + P - p


53/73

53

)A #ARK1O)A

?. )a Ecuacin Beneral de la #ar


54/73

54

)A #ARK1O)A

E0emplo( . @allar la ecuacin de la par


55/73

55

)A #ARK1O)A

E0emplo . @allar las coordenadas del 9rtice ' del ;oco. )as ecuaciones

de la directri7 ' e0e! ' la lon*itud del lado recto.

,'(-,=% -(' - Q1 +

Solucin:

Completando cuadrados para la 9aria8le '! se tiene:

De donde 6 + -( ! P + ?G( ! ,p + 1( ! p+ 5rtice 5$ 6 ! P& 5$ -( ! ?G(&

oco $ 64p ! P & $ -( 4 ! ?G(& $ 1 ! ?G(&

Ec. De la directri7: % + 6 - p % + -( - % + -?

Ec del e0e : 2 + P ' + ?G( )R + 1(

2 )1 2 ( x5 = 2 )(y

2 41 2 x4

2 5

4

7 11 2 x

4

2 55 yy

$4

7 11 2 x5 yy$7 14 8 x2 $ y4 y

2

2

22

+=

+=++=+

==


56/73

56

)A #ARK1O)A

E0emplo . @allar las coordenadas del 9rtice ' del ;oco. )as ecuaciones


,'(-,=% -(' - Q1 +

Solucin:

Completando cuadrados para la 9aria8le '! se tiene:

De donde 6 + -( ! P + ?G( ! ,p + 1( ! p+ 5rtice 5$ 6 ! P& 5$ -( ! ?G(&

oco $ 64p ! P & $ -( 4 ! ?G(& $ 1 ! ?G(&

Ec. De la directri7: % + 6 - p % + -( - % + -?

Ec del e0e : 2 + P ' + ?G( )R + 1(

9 64 8 x2 57 14 8 x42 5

5 yy4 2 +=++=

+( ) 7148x2$y4y2 +=

21 2 ( x

2

5y2 41 2 x

4

2 55 yy

22 +=

+=

+


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57

)A #ARK1O)A

E0emplo ,. @allar las coordenadas del 9rtice ' del ;oco. )as ecuaciones


,%(4 ,=' 4 1(% 1?J +

Solucin:

Completando cuadrados para la 9aria8le %! se tiene:

De donde 6 + -G( ! P + QG( ! ,p + -1( ! p+ -

5rtice 5$ 6 ! P& 5$ - G( ! QG( &

oco $ 6 ! P 4 p & $ -G( ! QG( &$ -G( ! 1G( &

Ec. De la directri7: ' + P - p ' + QG( 4 ' + 1 G ( (' 1 + (

Ec del e0e : % + 6 % + -G( (% 4 + )R + 1(

7= 2)12(y3= 2)(x

4212y4

16812y

4

9

4

15912y

4

93xx

$4

15912y3xx$15948y12x4x

2

2

22

=+

+=+=++=++

=++=++


58/73

58

)A #ARK1O)A

E0emplo ,. @allar las coordenadas del 9rtice ' del ;oco. )as ecuaciones


,%(4 ,=' 4 1(% 1?J +

Solucin:

Completando cuadrados para la 9aria8le %! se tiene:

De donde 6 + -G( ! P + QG( ! ,p + -1( ! p+ -

5rtice 5$ 6 ! P& 5$ - G( ! QG( &

oco $ 6 ! P 4 p & $ -G( ! QG( &$ -G( ! 1G( &

Ec. De la directri7: ' + P - p ' + QG( 4 ' + 1 G ( (' 1 + (

Ec del e0e : % + 6 % + -G( (% 4 + )R + 1(

1 64 8 y91 5 94 8 y49

3 xx4 2 +=++=

++( ) 1548y12x4x2 +=+

)

2

7"y(12

2

3x42y12

4

93xx

22 =

++=

++


59/73

59

)A E)I# E

De;inicin:

Dado ( puntos ;i0os 1' ( un numero (a la elipse es el con0unto de

puntos cu'a suma de las distancias de un punto de la cur9a a sus puntos

;i0os es siempre i*ual a (a.

(1

#

Cocos: 1! (

C : centro

2/P0P0 21 =+

R2/,002/ 21 >


60/73

6$

)A E)I# E

E)EMENTOS DE )A E)I#SE:

ocos: 1 ' ( .

E0e ocal: Es la recta "ue pasa por

los ocos.

5rtice: #untos 51' 5(.

Centro: C #unto medio de 51 ' 5(.

E0e Normal: Recta "ue pasa por el centro

' es al e0e ocal.

E0e Ma'or: Se*mento

E0e Menor: Se*mentoCuerda: Se*mento

Cuerda ocal: se*mento

)ado Recto: Se*mento

Directri7: Rectas DD.

D D

D D

/

51 5(C

) )M

1

(1

N RR

1 (

21%%

21

MN

MQ

#$


61/73

61

)A E)I# E

Ecuaciones de la Elipse:

1& Centro en el Ori*en ' e0e ocal el

e0e % su ecuacin es:

8( + a( - c(

Elementos

1. )os 9rtices son: 51$ -a! & 5($ a! & :

(. )os ;ocos: 1$- c! & ($c ! &

. E%tremos del e0e menor: 1$ ! -8& ! ($ ! 8&

,. )ado recto : ?. Ecuacin de la directri7:

>. E%centricidad :

5(51

(1$-a!& $a!&

D D

DD

3

2(

1

1

y

/

x2

2

2

2

=+

/

2LR

2

= /

x2

=

1/

'


62/73

62

)A E)I# E

Ecuaciones de la Elipse:

(& Si el e0e ocal es el e0e 2 su ecuacin

es:

8(+ a(- c(

Elementos

1. )os 9rtices son: 51$ ! -a & 5($ ! a &

(. )os ;ocos: 1$ ! - c& ($ ! c &

. E%tremos del e0e menor: 1$ -8 ! & ! ($ 8 ! &

,. )ado recto :

?. Ecuacin de la directri7: >. E%centricidad :

51

5(

1

(

$!-c&

$!c&

3

2

1 (

1

/

y

.

x2

2

2

2

=+

/

2LR

2

=

/y

2

= 1/

'


63/73

63

)A E)I# E

51

5(

1

(

$!-c&

$!c&

3

2

1 (

E0emplo: @allar las coordenadas del 9rtice ' ;ocos! la lon*itud de los e0es ma'or ' menor ! la

e%centricidad ' la lon*itud del lado recto.

Bra;icar la cur9a.J%(4 ,'(+ >

Solucin:Di9idiendo cada trmino entre >

a + ! 8+ ( ! c(+ a(- 8(+ J - , +

1. )os 9rtices son: 51$ ! - & 5

($ ! &

(. )os ;ocos: 1$ ! - & ($ ! &

. E%tremos del e0e menor: 1$ -( ! & ! ($ ( ! &

,. )ado recto : ?. E%centricidad :

>. )on*itud del e0e ma'or +(a +>

Q. )on*itud del e0e menor + (8 + ,

19

y

4

x364y9x

2222 =+=+

5 5

3

8

/

2LR

2

== 35

/

' ==


64/73

64

)A E)I# E

5(51

(1

D D

DD

3

2(

1

E0emplo:

@allar las coordenadas del 9rtice ' ;ocos!la

lon*itud de los e0es ma'or ' menor !la

e%centricidad ' la lon*itud del lado recto.Bra;icar la cur9a.1> %(4 (? '(+ ,Solucin:Di9idiendo cada trmino entre ,

a + ? ! 8+ , ! c(+ a(- 8(+ (? 1> + J c +

1. )os 9rtices son: 51$-? ! & 5

($ ? ! &

(. )os ;ocos: 1$ - ! & ($ ! &

. E%tremos del e0e menor: 1$ ! -, & ! ($ ! , &

,. )ado recto : ?. E%centricidad :

>. )on*itud del e0e ma'or +(a + 1

Q. )on*itud del e0e menor + (8 + =

116

y

25

x4$$25y16x

2222 =+=+

5

32

/

2LR

2

== 53

/

' ==


65/73

65

)A E)I# E

ECUACIN ORDINARIA DE )A E)I#SE :

1 - Si el centro es el #unto C$ 6 ! P&

' tiene e0e ocal #aralelo al

e0e 3! su ecuacin es:

)A E)I# E

5(51

(1

D D

DD

3

2(

1

O

C

P

6

Elementos

1. )os 9rtices son: 51$ 6 -a!P & 5($6 4 a !P & :

(. )os ;ocos: 1$ 6- c!P & ($ 6 4 c !P &

. E%tremos del e0e menor: 1$ 6 ! P - 8& ! ($6 !P4 8&

,. )ado recto : ?. E%centricidad

>. Ecuacin de la directri7:

8(+a(-c(( ) ( ) 1

y

/

x2

2

2

2 =+

/

2LR

2

=

/x

2

=

1/

'


66/73

66

)A E)I# E

ECUACIN ORDINARIA DE )A E)I#SE :

(- Si el centro es el punto C$ 6!P&

el e0e ocal es #aralelo al e0e '

su ecuacin es:

Elementos

1. )os 9rtices son: 51$6 P -a & 5($ 6 ! P4a &

(. )os ;ocos: 1$ 6 ! P- c& ($ 6 ! P 4c &

. E%tremos del e0e menor: 1$ 6- 8 ! P& !

($ 6 4 8 ! P&,. )ado recto :

?. Ecuacin de la directri7:

>. E%centricidad :

51

5(

1

(

3

2

1 (C

6

P

DD

( ) ( )1

/

y

x

2

2

2

2

=

+

/2LR 2=

/y

2

=

1/

'


67/73

67

)A E)I# E

ECUACIN BENERA) DE )A E)I#SE)a Ecuacin Beneral es: Donde A ' son del mismo si*no.

A%(4 '(4 D% 4 E' 4 +

E0emplo. )a ecuacin de una elipse es J%(4 (?'(- >% 4 1?' 4 > + ! reduciresta ecuacin a la ;orma ordinaria ' determinar las coordenadas decentro! 9rtices! ;ocos! lon*itudes del e0e ma'or ' menor! lado recto '

la e%centricidadSolucin:

a(+ (? ! 8(+J c(+ a(- 8(+ (? - J +1>

a + ? ! 8 + ! c + ,

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )1

9

3y

2 5

2x

2 2 53y2 52x9

2 23 6"3 636 yy2 524 xx9

"3 66 yy2 54 xx9

"3 61 5 $ y )2 5 y(3 6 x )(9 x

$3 61 5 $ y3 6 x2 5 y9 x

22

22

2222

22

22

22

=+

+

=++

++=++++

=+++

=++

=+++


68/73

68

)A E)I# E

5(51

(1

3

2

(

1

O C

1. Centro: C$( ! -& ! 6 + ( ! P+ -

(. 5rtices:: 51$ 6 -a!P & 5($ 6 4 a !P &

51$ (-? ! - & 5($ (4? ! - & 51$ - ! - & 5($ Q ! - &

(. ocos: 1$ 6- c!P & ($ 6 4 c !P & 1$ -( ! - & ($ > !- &. E%tremos del e0e menor: 1$ 6 ! P - 8& ! ($6 !P4 8& 1$ ( ! ->& ! ($ ( ! &

,. )ado recto : ?. E%centricidad:

a(+ (? ! 8(+J

c(+ a(- 8(+ (? - J +1>

a + ? ! 8 + ! c + ,

5

18

5

2x9

/

2LR

2

===5

4

/

' ==

( ) ( )1

9

3y

25

2x22

=+

+


69/73

69

)A E)I# E

E0emplo. )os ;ocos de una elipse son los puntos 1$-, ! -(& ' ($ -, ! ->&! ' la

lon*itud de cada lado recto es > . @allar la ecuacin de la elipse ' su

e%centricidad.

Solucin:

51

5(

1

(

3

2

1 (

El e0e ;ocal de la elipse es paralelo a l e0e ' laecuacin es de la ;orma:

C1/

)"(y

)"(x2

2

2

2

=+

3/.....(26/

2

/

2LR

.....(14.........//

24("2 )"6"002;

222

22222

21

===

==

====


70/73

7$

)A E)I# E

Reempla7ando $(& en $1&

21

42

/'

11 6

4 )(y

1 2

4 )(x%'& /;< / ; ' ':'L & '

4 )4 ,(2

62,

2

44C

0y0d '*'d ;- & '':' !E

324/

"1/4/$1 )4 )(/"(/$4"3 /"/

22

21

2

===

=+++

=

==

===+=


71/73

71

E0emplo. )os ;ocos de una elipse son los puntos 1$-( ! -(& ' ($ , ! -( & . @allar

la ecuacin de la elipse si uno de sus 9rtices est< so8re la recta

) : % ' = + .

Solucin:

)A E)I# E

5(51

(1

2

O

C

Con los datos del pro8lema ! la

ecuacin de la elipse es:

%( ) ( )

1

y

/

x2

2

2

2

=+

5/$8/L )/,(

2 )C(1,2

22

,2

42

C )C(,

==++=

+

16925/

362)0,d(0

2222

21

===

=== ( ) ( ) 116

2y

25

1x%E

22

=++


72/73

72

E0emplo. )a ecuacin de una elipse es J%(4 ,'( =' ( + . @allar la

e%centricidad ' lado recto.

Solucin:

)A E)I# E

( ) ( )( ) ( )

3

5'

/

'

38

32(4)

/2LR

5549/4,9/

1,$19

1y

4

$x

3643212yy4$x9

2

222222

22

22

==

===

======

===

+

=+=++


73/73

73

)A #ARK1O)A

E0emplo . Con los datos de la ;i*ura . @allar el ;oco! ecuacin de la directri7!lon*itud del lado recto.

Solucin:

-,

$!(&

5

)a par

geometria análitica_ matemática básica

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