matemática - apostila geometria plana

8/14/2019 Matemtica - Apostila Geometria Plana

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Apostila de Geometria 2007

GEOMETRIA PLANA

Introduo

No Egito, bem como em outras civilizaes, a

geometria era utilizada para medir glebas de terra,planejar canais de irrigao, construir edificaes, etc.

geo = terra e metria= medida``

Foi apenas na Grcia e no mundo helnico``que ela evoluiu e ganhou o ttulo como disciplinacientfica por meio da ordenao e da lgica dosconhecimentos geomtricos. Nesse momento houve anecessidade de definir objetos geomtricos (noes) esuas sentenas, mostrando as relaes entre eles.

Definir um objeto geomtrico (noo), consiste

em descreve-lo por meio de idias que j foramdefinidas. No entanto nem tudo pode ser definido como,por exemplo, um ponto, uma reta, um plano, por no teralgo como referencia anterior. Essas noes sochamadas primitivas, ou no definidas.

Postulados trata-se de preposies primitivas, soteorias aceitas sem demonstrao.

1. postulado:Numa reta, assim como fora dela, existeminfinitos pontos.

C B rA

Diz-se que os pontos A e B pertencem a reta r ou areta r passa pelos pontos A e B.

Diz-se que o ponto C no pertence a reta r ou o pontoC est fora da reta r.

Infinito, em Geometria, significao quanto nsquisermos``.

Pontos de uma mesma reta so chamados pontoscolineares.

Os pontos A e B da reta r determinam o segmento dereta AB. Indica-se AB .

A B r

Um ponto O de uma reta r separa-a em duas semi-retas opostas de uma origem O: OA e OB.

ngulos

a unio de duas semi-retas distintas de mesmaorigem e no opostas.

A

BO

onde:

O ... vrticeOA e OB ... ladosIndica-se: AOB ou O

1. ngulos Consecutivos

Dois ngulos que tem um lados comum entreoutros dois lados. Na figura segue, os ngulos AOC eCOB so consecutivos.

AB

O C

2. ngulos Adjacentes

Dois ngulos que tem um nico lado em comume os lados no comuns so semi retas opostas.

Na figura os ngulos AOB e BOC soadjacentes.

B

C O A

3.Medida de um ngulo

A medida de um ngulo corresponde a aberturaentre duas semi-retas, unidas pelo vrtice O.

A

O B

Indica-se: AB = ou = .A unidade de medida de um ngulo corresponde

a razo de um grau (1).

3. a) ngulos Congruentes: So dois ngulos demedidas iguais, na mesma unidade.

APOSTILA DE GEOMETRIA Geometria Plana Pg .1


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Ex:C F D

A B E

ABC = DEF

5.b) ngulos nulos: so ngulos cujos lados coincidem.Na figura , AB nulo.

O A B

5.c) ngulos rasos: so ngulos cujos lados so semi-retas opostas. Na figura AB raso.

A O B

O grau e seus submltiplos``

1 (grau) __________ 60` (minutos)

Sendo que:1` (minuto) __________ 60`` (segundos)

Exemplo: Como 1 corresponde a 60`, ento 81`correspondem a 1 21`.

5.d)ngulo reto: todo ngulo congruente ao seuadjacente. A medida de um ngulo reto 90.

A

: :O B

5.e) ngulo agudo: todo ngulo cuja medida menorque um ngulo reto.

B

O A

5.f ) ngulo obtuso: todo ngulo cuja medida maiorque um ngulo reto.

A

O B

3.g) ngulos Complementares: Dois ngulos cujasmedidas somam 90.

3.h) ngulos Suplementares: Dois ngulos cujasmedidas somam 180.

3.i) ngulos Replementares: Dois ngulos cujas medidassomam 360.

3.j) ngulos opostos pelo vrtice (o.p.v): Duas retasconcorrentes determinam dois pares de ngulosopostos pelo vrtice.

C BO

D A4.Posies relativas de duas retas distintas

Retas ParalelasSo retas que no tem ponto em comum, ou seja,

em um plano, as retas no se cruzaro em nenhum ponto.

Retas ConcorrentesSo retas que tem um nico ponto em comum.

Retas perpendiculares

Duas retas concorrentes que formam ngulosadjacentes congruentes.

5. Duas retas paralelas distintas interceptadas poruma transversal

Se duas retas distintas r e s so interceptadas poruma transversal t, ento os ngulos alternos socongruentes.

t

r

s

Obs.: + = 180 as retas r e s so paralelas r // s`` a reta t transversal as retas r e s, em cada reta h

apenas um nico ponto de encontro.

APOSTILA DE GEOMETRIA Geometria Plana Pg. 2


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Tringulos

a unio de trs segmentos de reta,considerando trs pontos no colineares.

A

B C

Elementos do tringulo Vrtices: pontos A, B e C. Lados: os segmentos AB, BC e AC. ngulos: BC = , ABC = e ACB = . Permetro: soma das medidas dos lados;

AB + BC + AC.

1. Classificao dos Tringulos.

Os tringulos so classificados de dois modos.

a) Quanto aos lados:

Tringulo Escaleno: tem os trs lados com medidasdiferentes. A

AB BC AC AB

B C Tringulo Issceles: tem pelo menos dois lados com

medidas iguais. A

AB = AC

B C Tringulo Equiltero: tem os trs lados com

medidas iguais.A

AB = BC = AC

B C

b) Quanto aos ngulos: Tringulo Acutngulo: tem os trs ngulos agudos. Tringulo Retngulo: Tem um ngulo reto. Tringulo obtusngulo: Tem um ngulo obtuso.

2.Propriedades dos ngulos de um tringulo:a) A soma das medidas dos ngulos de um tringulo igual a 180.

A

+ + = 180

B C

b) Um ngulo externo de um tringulo tem medida igual

soma das medidas dos ngulos internos no adjacentesa ele.A

e

B Ce = +

c) Se um tringulo issceles, ento os ngulos dabase tem medidas iguais. A

B C

Se AB = AC, ento B = C =

3.Segmentos Notveis de um tringulo.

I. Mediana

um segmento de reta que une um vrtice aoponto mdio do lado oposto.

A

AM uma mediana.

Um tringulo tem trsmedianas uma paracada vrtice.

B M CO ponto onde as trs medianas se encontram

chamado ``baricentro.

II. Bissetriz Interna um segmento de reta que une o vrtice ao lado

oposto e divide o ngulo desse vrtice ao meio.O ponto de encontro das trs bissetrizes

chamado de ``Incentro.

Ex:



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A

B CS

III. Altura

um segmento de reta perpendicular que une ovrtice ao lado oposto.O ponto de encontro das trs alturas chamado

de ``Ortocentro.A

B C

HIV. Mediatriz

uma reta perpendicular ao segmento pelo seuponto mdio.

O ponto de encontro das trs mediatrizes chamado de ``Circuncentro.

Am

B M C

4. Congruncia de Tringulo:

*Congruncia = mesma medida

Dois tringulos so congruentes se, e somente se, possvel estabelecer uma correspondncia entre seusvrtices, de tal modo que: os pares de lados correspondentes so congruentes; os pares de ngulos correspondentes so congruentes.

A D

B C E F

Diz se que o ABC ~ DEF.OBS.: ABC ~DEF significa que existem trs

congruncias lineares e trs congruncias angulares. Em dois tringulos congruentes:a) os lados opostos a ngulos correspondentes so

congruentes. b) os ngulos opostos a lados correspondentes so

congruentes.

Segmentos congruentes tem medidas iguais e nguloscongruentes tambm tem medidas iguais.

Polgono

Chama-sepol gono a unio dos segmentos:{ P1P2, P2P3, ... PnP1}.

Assim, dado trs conjuntos ordenados de cincopontos cada um so polgonos as seguintes figuras:

P1 P2 P1 P2

P3P5 P3

P4P1

P4P3 P4 P5

P5 P2

Um polgono tambm chamado de contornopoligonal fechado. Dois segmentos, como P1P2 e P2P3por exemplo, so dois segmentos consecutivos.

1.Elementos de um Polgono.

Definimos os seguinte elementos para umpolgono simples de n pontos: Vrtices: os pontos P1, P2, ... Pn. Lados: so os seguimentos consecutivos: P1Pn permetro: a soma das medidas dos n lados.(n>3) ngulos internos: P1, P2, ..., Pn.

2.Diagonal

Diagonal de um polgono um segmento cujasextremidades so vrtices no consecutivos desse

polgono.

P1 P2 P1 P2

P3P5 P3

P4P1

P4P5

* Consecutivo = que segue imediatamente,conseguinte.

3.Nomentura dos Polgonos

Conforme o nmero de lados, alguns polgonosrecebem nomes especiais.



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N. de lados Nomenclatura

3 Tringulo

4 Quadriltero

5 Pentgono

6 Hexgono

7 Heptgono8 Octgono

9 Enegono

10 Decgono

11 Undecgono

12 Dodecgono

13 Tridecgono

. .

. .

. .

20 Icosgono

3. Polgono Convexo.

*Convexo = arredondado externamente.

Um polgono convexo se, e somente se,qualquer segmento de reta, cujas extremidades

pertencem a regio poligonal.

A BA B

Convexo No - convexo

4. Polgono Regular.

Um polgono convexo um polgono regular se,e somente se, ele for equiltero e eqingulo.

A B A

C D B C5. Nmero de Diagonais.

Sendo d o nmero de diagonais de um polgono

que tem n (n >3) lados, ento:

d = n ( n 3)2

6. Soma das Medidas dos ngulos Internos.

A soma das medidas dos ngulos internos (Si) de

um polgono convexo de n (n >3) lados tal que:

Si = (n 2) 180

7. Soma das Medidas dos ngulos Externos.

A soma das medidas dos ngulos externos (Se)de um polgono convexo 360 , isto :

Se = 360

8. Medida dos ngulos em polgono Regular.

ngulos Internos:Sendo Ai a medida de cada ngulo interno de

um polgono regular de n (n >3) lados, tem -se;

Ai = ( n 2 ) 180 n

ngulos Externos:Sendo Ae a medida de cada ngulo externo de

um polgono regular de n (n >3) lados, tem -se:

Ae = 360 n

Observao:

P1 Ae Pn

Ai Ai Ae Ae

P2 Ai Ai P5

Ae Ae Ai Ai

P3 Ae P4

Considere um polgono regular de n lados dafigura que segue acima, onde P1, P2, ..., Pn so osvrtices:

Assim Temos:Ai + Ae = 180



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Quadrilteros Notveis e Base Mdia deTringulos e Trapzios

So os quadrilteros convexos que tem os doislados paralelos.

H cinco tipos de quadrilteros notveis. Soeles:

1. Trapzio

Um quadriltero convexo um trapzio se, esomente se,ele tiver um par de lados opostos paralelos.

A D

B C

Os trapzios classificam se em :

(a)Trapzio escaleno: um par de lados no- paralelosno- congruentes.

A D

B C

AB CD

(b)Trapzio Issceles: um par de lados no- paraleloscongruentes.

A D

B C

AB = CD

(c) Trapzio Retngulo: um dos lados no- paralelosperpendicular as bases.

A D

B C

= B = 90

2. Paralelogramo.Um quadriltero convexo um paralelogramo se,

e somente se, ele tiverpares de lados opostos paralelos.

A D

B C

AD // BC e AB // DC

Nota > todo paralelogramo trapzio, porque tem doislados paralelos.

Propriedades do Paralelogramo

A D

M

B C

Considere o paralelogramo ABCD:

a) = = e B = D = b) + = 180 c) AD = BC e AB = DCd) M o ponto mdio das diagonais.

2. Retngulo

Um quadriltero convexo um retngulo se, esomente se,ele foreqingulo, isto , os seus ngulosinternos so retos.A D

: :

= B = = D = 90

: :B C

Nota > todo retngulo paralelogramo, porque temlados opostos paralelos. Assim, todo retngulo trapzio.

Propriedades do RetnguloA D

M

B C

Considere o retngulo ABCD.



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a) + B = + D = 180 = + D = + Bb) AD // BC e AB // DCc) AD = BC e AB = DC.d) M o ponto mdio das diagonais.e) AC = BD.

3. Losango

Um quadriltero convexo um losango se, esomente se, ele foreqiltero, isto , os seus lados temmedidas iguais. A

B C

D

AB = BC = CD = DANota > Todo losango paralelogramo.

Propriedades do Losango

Considere o Losango ABCD:A

. .B M C

Da) = e B = D

b) + B = + D = 180 = + D = + Bc) AD // BC e AB // DCd) M o ponto mdio das diagonais.e) As diagonais so bissetrizes dos ngulos internos.f) As diagonais so perpendiculares entre si no ponto M.

4. Quadrado

Um quadriltero convexo um quadrado se, esomente se, ele foreqinguloe equiltero.

A D: :

: :B C

Nota > Todo quadrado retngulo porque eqingulo.

Todo quadrado losango porque equiltero.

Propriedades do Quadrado

Considere o quadrado ABCD:

A D

45 4545 45

45 4545 45

B C

a) = e B = Db) + B = + D = 180 = + D = + Bc) AD // BC e AB // DCd) M o ponto mdio das diagonaise) As diagonais so bissetrizes dos ngulos internos.f) As diagonais so perpendiculares entre si no ponto M.

5. Diagrama de Venn

Sejam:

U : conj. dos quadrilteros convexos.T : conj. dos trapzios.P : conj. dos paralelogramos.R : conj dos retngulos.L : conj. dos losangos.Q : conj. dos quadrados.

Para facilitar o estudo do comportamento dosquadrilteros notveis, relativamente s suas

propriedades, cada subconjunto de U pode serrepresentado pelo Diagrama de Venn .

O conjunto T dos trapzios , ento, umsubconjunto de do conjunto U dos quadrilterosconvexos e assim por diante.

QR L

P

TU

Diagrama de Venn



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A reta p exterior circunferncia , isto , a reta pno tem nenhum ponto em comum com acircunferncia . p exterior a se, e somente se, d > r.

p

d r

O

ngulo Central

aquele cujo vrtice o centro dacircunferncia. Na figura a seguir, esto representadosum ngulo central de medida em graus, e o seu arcocorrespondente.

B

O

A

A medida, em graus, de um ngulo central igual medida do seu arco correspondente.

ngulo Inscrito

aquele cujo vrtice pertence circunferncia ecujos lados so secantes a essa circunferncia.

B

O 2P

A

A medida de um ngulo inscrito numacircunferncia a metade da medida do seu arcocorrespondente.

Observaes:** Inscrito = includo

1. Na figura, o ngulo BVA est inscrito nacircunferncia , mas o ngulo CVA no estinscrito.

B

V OC

A

3. O ngulo CAB d figura a seguir chamado de ngulode segmento. Seus lados so:> AB, secante .> AC, tangente em A

Sendo que OA perpendicular a AC

O

A BD

2C

Temos que : CB = ADC2

Quadriltero Inscrito Numa Circunferncia

um quadriltero que tem os quatro vrticesnuma circunferncia.

D

A

O C

B

Num quadriltero convexo inscrito numacircunferncia, os ngulo opostos so suplementares.

Assim, na figura temos que:

+ = +

Segmento de Reta Tangente

Um segmento de reta que tem uma extremidadenuma circunferncia e cuja reta suporte tangente a essa



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circunferncia chamada de segmento de reta tangente.

O

T A

AT um segmento de reta tangente a .

Se por um ponto externo a umacircunferncia traam-se segmentos de reta tangentesa essa circunferncia, ento esses segmentos de retaso congruentes.

A

P

B

PA e PB so segmentos de reta tangente circunferncia,logo: PA = PB.

Quadriltero Circunscrito a uma Circunferncia

um quadriltero que tem os quatro vrticestangentes a uma circunferncia.

** Circunscrito = limitado

DA

O

CB

Se um quadriltero convexo est circunscritoa uma circunferncia, ento a soma das medidas dedois lados opostos igual a soma das medidas dosoutros dois lados.

Portanto, na figura temos que:

AD + BC = AB + DC

Pontos Notveis de um Tringulo

BaricentroA

F EG

B D C

O Baricentro de um tringulo divide cadamediana em duas partes, sendo a parte que contm ovrtice o dobro daquela que contm o ponto mdio.

Considerando a figura, temos: O ponto G baricentro do tringulo ABC. AG = 2GD, BG = 2CG e CG = 2GF.

Incentro

AL J

T R

B S K CO incentro de um tringulo eqidista dos trs

lados desse tringulo.O incentro de um tringulo o centro da

circunferncia inscrita nesse tringulo.

Considerando a figura, temos: O ponto I incentro do tringulo ABC. A circunferncia com centro no ponto I e raio de

medida IJ = IK = IL est inscrita no tringulo ABC,onde os pontos L, J e K so pontos de tangencia.

Eqidistante = que dista igualmente .

CircuncentroA

mb mc

E

O

B D C

ma

O circuncentro de um tringulo eqidista dos trsvrtices desse tringulo.

O circuncentro desse tringulo o centro dacircunferncia circunscrita ao tringulo.



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Considerando a figura, temos: O ponto O o circuncentro do tringulo ABC OA = OB = OC. A circunferncia com centro no ponto O e raio de

medida OA = OB = OC est circunscrita ai tringuloABC .

Ortocentro A

F E

H

B CD

O ponto h o ortocentro do tringulo ABC.Um tringulo cujos vrtices so os ps das

alturas de um outro tringulo chama se tringulo rticodo primeiro tringulo.

A

F EH

B CD

Na figura ao lado, o tringulo DEF o tringulortico do tringulo ABC.

As bissetrizes internas do tringulo DEF estonas retas suporte das alturas do tringulo ABC.

Segmentos Proporcionais

Geometria Mtrica: a parte da geometria que trata daassociao entre figuras geomtricas e nmeros reais

positivos que so representaes das medidas relativas sfiguras. A geometria mtrica fundamenta-se nosconceitos de razo (entre dois segmentos, entre duasregies poligonais, etc) e de proporo ( igualdade entreduas ou mais razes).

1. Feixe de Retas Paralelas

um conjunto de trs ou mais retas paralelasdistintas num plano.

a

b

c

Transversal de um feixe de retas paralelas uma retaque intercepta todas as retas de um feixe.

Pontos correspondentes em duas transversais deum feixe de retas paralelas so pontos que esto numamesma reta do feixe.

Segmentos correspondentes em duas transversaisso segmentos cujas extremidades so pontoscorrespondentes.

Ex.: A A a

B B b

C C c

t t

Na figura temos os seguintes dados: A reta t e tso transversais do feixe de retas paralelas

a, b e c. Os pontos A e A na reta a, B e B na reta b e C e C

na reta c so pontos correspondentes das transversais te t do feixe de paralelas a, b e c.

So correspondentes os seguintes pares de segmentos:AB e AB, BC e BC, AC e AC.

2. Teorema Linear de Tales

Se um feixe paralelas tem duas transversais,ento a razo de dois segmentos quaisquer de umatransversal igual razo dos segmentoscorrespondentes da outra.

Ex.: A A a

B B b

C C c

t t

O Teorema de Tales afirma que so vlidas asseguintes propores:

AB = ABBC BC

AC = AC , etc.

AB AB



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3. Teorema da Bissetriz InternaA

Bissetriz

c b

B x S y C

a

Em todo tringulo, uma bissetriz internadivide o lado oposto em segmentos proporcionais aoslados adjacentes.

Na figura, AS bissetriz interna do tringuloABC. O teorema da bissetriz interna estabelece que:

c = b , com x + y = a

x y

4. Teorema da Bissetriz Externa

A

c b

B a C y R

x

Se a bissetriz de um tringulo externo de umtringulo intercepta a reta suporte do lado oposto,ento ela divide externamente esse lado em segmentosproporcionais aos lados adjacentes.

O teorema da bissetriz externa estabelece:

c = b , com x - y = ax y

Semelhana de Tringulos

Intuitivamente , semelhana entre duas figurassignifica igualdade de forma e no, necessariamente,igualdade de tamanho. D

A

B C

E F

1. DefinioA D

E F

B C

Dois tringulos so semelhantes se, e somentese, seus ngulos internos tiverem respectivamente, asmesmas medidas, e os seus lados correspondentesforem proporcionais.

Para os dois tringulos, so vlidas as seguintesigualdades:

= F

B = e AB = BC = AC = k

DE EF DE = F

Nessas condies , os tringulos ABC e DEF sosemelhantes , e k a razo de semelhana entre eles.

Em smbolos, indica-se: ABC ~ DEF, emque ~ l-se semelhante a .

Notas >I. ngulos Correspondentes:

A D, B E , C F.II. Lados correspondentes:

AB DE, BC EF, AC DF.III.Dois elementos correspondentes tambm so

chamados de elementos homlogos, porque ocupam um mesmo lugar nos respectivos tringulos.

IV.Em dois tringulos semelhantes, a razo desemelhana k a razo de dois elementos linearescorrespondentes quaisquer. Sendo k a razo desemelhana, tem-se:* a razo dos permetros k.* a razo das alturas correspondentes k.* a razo das medianas correspondentes k.*a razo das bissetrizes internas correspondentes k.

V. Os lados opostos a ngulos congruentes soproporcionais.

VI.Dois tringulos congruentes so tringulossemelhantes de razo 1.

VII.Decorre da definio que a relao de semelhanaentre tringulos :a) Reflexiva :

ABC ~ ABCb) Simtrica:

ABC ~ DEFc) Transitiva:

ABC ~ DEF ~ LMN, ento:



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2. Teorema Fundamental

Se uma reta paralela a um dos lados de umtringulo e intercepta os outros dois lados em pontosdistintos, ento o tringulo que ela determina semelhante ao primeiro.

A

D E

B C

Na figura DE // BC = ABC ~ ADE

3. Polgonos Semelhantes

Dois polgonos so semelhantes se, e somente se,

os seus ngulos internos tiverem, respectivamente, asmesmas medidas e os seus lados correspondentes forem

proporcionais.

A1 A5 B1B5

B2 B4A2 A4

B3

A3

Dois polgonos regulares de mesmo nmero delados so semelhantes.

4. Potncia de um Ponto

Seja uma circunferncia (O, r) e um ponto Pfora de .

Pelo ponto P conduzimos uma reta secante em A e B, ou tangente em P.

Temos Trs situaes:

P PA A T

P BB O O O

O produto PA PB ou (PT) chamado depotncia do ponto P em relao a circunferncia .

A potncia de um ponto em relao a umacircunferncia constante, isto , no depende daescolha de uma reta particular que passe por ele.

Desta forma temos:B

E

C P DO

A

F

PA PB = PC PD = PE PF = ...

PT

AE

BO

C

F

D

PA PB = PC PD = PE PF = ... = (PT)

Tringulo Retngulo

1. Projeo Ortogonal

Num plano, considere um ponto e uma reta.Chama- se projeo ortogonal desse ponto sobre essa retao p da perpendicular construda do ponto reta. Nafigura, o ponto P a projeo ortogonal do ponto Psobre a reta r.

P

P r

Projeo ortogonal de um segmento de reta oconjunto de projees ortogonais de todos os pontosdesse segmento.

B

A

rA B

*AB a medida da projeo ortogonal do segmentoAB.



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2. Relaes Mtricas Num Tringulo Retngulo

Sendo um tringulo ABC, retngulo em A, e ADa altura relativa hipotenusa.

A

c b

B m D n C

aCatetos: AB e AC.Hipotenusa: BCAltura relativa hipotenusa: AD

Nomenclatura:BC = a ... medida da hipotenusa BC.

AC = b ... medida do cateto ACAB = c ... medida do cateto AB.BD = m ...medida da projeo ortogonal do cateto ABsobre a hipotenusa BC.CD = n ... medida da projeo ortogonal do cateto ACsobre a hipotenusa BC.AD = h ...medida da altura relativa hipotenusa BC.

Relaes Mtricas c = m a b = n a h = m n a h = b c a = b + c ( Teorema de Ptagoras)

A altura relativa a hipotenusa determina doistringulos retngulo semelhantes ao primeiro, e tambmsemelhantes entre si.

(a) DBA ~ ABC m = h = c c = m a ( I )c b a a h = b c ( II)

(b) DAC ~ ABC n = b b = n a ( III )b a

(c) DBA ~ ABC m = h b = m n ( IV )h n

Somando-se membro a membro (I) e (III), temos:( I ) c = m a( III ) b = n a

b + c = ma + nab + c = a ( m + n )b + c = a a

Logo, a = b + c A relao a = b + c , isto , o Teorema de

Pitgoras, pode ser enunciado da seguinte maneira:

Em todo tringulo retngulo, o quadrado damedida de hipotenusa igual soma dos quadradosdas medidas dos catetos.

Tringulos Quaisquer

Teorema dos Co-senos.

Num tringulo qualquer, o quadrado da medidade um lado igual soma dos quadrados das medidasdos outros dois lados, menos o dobro do produto dasmedidas desses dois lados pelo co-seno da medida dongulo por eles determinado.

C

b a

A c B

Em smbolos, temos:a = b + c 2 b c cos

b = a + c 2 a c cos c = a + b 2 a b cos

Demonstrao:

Considere o tringulo ABC na figura a baixo,onde > 90.C

c a

h

A r H b-r B

b

No tringulo AHB,cos = cos = rc

portanto, r = c cos (1)No tringulo AHB, pelo Teorema de Pitgoras,c = r + h (2)

No tringulo CHB, pelo Teorema de Pitgoras,a = ( b r ) + h

portanto, a = b 2br + r + h (3)De (2) e (3),a = b + c 2br (4)

De (1) e ( 4),

a = b + c 2 b c cos



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Teorema dos Senos

As medidas dos lados de um tringulo soproporcionais aos senos dos ngulos opostos na razoda medida do dimetro da circunferncia circunscrita aesse tringulo.

A

c bO

C

B a

R: medida do raio da circunferncia circunscrita notringulo ABC.O: centro da circunferncia circunscrita no tringuloABC.OA = OB = OC = R

Em smbolos, temos:

a = b = c = 2Rsen sen sen

Demonstrao:Seja o tringulo acutngulo ABC inscrito na

circunferncia (O,R), conforme a figura:

A Db

Rc

OR

CB a

Considere o dimetro BD e a corda CD,formando o tringulo BCD, retngulo em C, inscrito nacircunferncia de dimetro BD.

Observe que D = , pois so ngulos inscritosnuma mesma circunferncia e determinam o mesmo arcoBC. Observe, tambm que no tringulo retngulo BCD,temos:

sen D = a2R

Como D = , ento

sen = a , ou seja,2R

a = 2Rsen

Comprimento de uma Circunferncia

Razo do Comprimento de uma Circunferncia parao seu Dimetro

Teorema

A razo dos comprimentos de duascircunferncias a razo das medidas dos respectivosraios.

Conseqncia

A razo do comprimento de uma circunfernciapara a medida do seu dimetro constante.

Comparando duas circunferncias, pelo teoremaanterior:

CC

RO R

O

C = comprimento da circunferncia.R = raio da circunferncia.

C = R , ou seja, C = CC R R R

e da resultaC = C2R 2R

A razo constante do comprimento de umacircunferncia para a medida de seu dimetro representada pela letra minscula grega ( pi, inicial da

palavra permetro, que significa medida em tornode.

Um valor aproximado de , calculado com seusdez primeiros algarismos decimais : 3,1415926535. Paraefeito de clculo, comum adotar o valor 3,14.

Comprimento de uma Circunferncia

Teorema

O comprimento de uma circunferncia oproduto da medida de seu dimetro pela constante .

C C = , ou C = 2RR 2R

O



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Comprimento de um arco de circunferncia

Um arco AB de uma circunferncia de raio Rmede , em graus,. Vamos determinar a medida ldo arcoAB em unidades de comprimento, em funo de R e .

Como a mesma grandeza arco medida usando-se duas unidades diferentes, resulta que as medidasobtidas so proporcionais. Desta forma, temos a regra de

trs: comprimento grau

2R 360 l

Radiano

B B

R 1 rad R

A A

Um radiano a medida de um arco decircunferncia com comprimento igual medida do raiodessa circunferncia. comprimento do arco radiano

R 12R x

Pela regra de trs: x = 2Portanto, a circunferncia mede, em radianos, 2.Por fim, a expresso do comprimento l de um

arco de circunferncia de raio R que, em radianos, mede :

comprimento radiano2R 2l

Nota: 1 rad corresponde a aproximadamente57 17 45, adotando-se = 3,1415927.

reas de Regies Planas

(1)Introduo

Uma regio poligonal pode ser consideradacomo a unio de uma ou mais regies poligonais cujasinterseces so apenas os lados e os respectivosvrtices.

Ex.:S2 S1 S

S3

S = S1 U S2 U S3Em Geometria, a palavra rea utilizada para

fazer referncias a um nmero real positivo que medeuma superfcie numa determinada unidade.

Nos casos mais simples,``quadricula-se a regio, dividindo-a em quadrados de lado unitrio, e faz-se acontagem dos quadrados resultantes da diviso para obtera sua rea. Assim, a rea da superfcie de um quadradode lado 4 cm 16 cm2 .

Observe que a rea 16 e que cm2 a unidade

de medida da superfcie. 4 cm 1 1 1 1

11

4 cm1

. . 1

(2)Expresses para Clculo de Algumas reas

rea de um Retngulo

A rea de um retngulo o produto da suabase pela sua altura.

A = b hh

b

rea de um Paralelogramo.

A rea de um paralelogramo o produto deuma base, isto , um lado, pela altura relativa.

A = b hh

bA rea de um paralelogramo tambm pode ser

calculada pela somatria de reas existentes dentro do dafigura.

Ex.: A 3h h

A 2A 1

At = A 1 + A 2 + A 3



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rea de um Tringulo.

A rea de um tringulo a metade do produtode uma base pela sua altura relativa.

h h h

A = 1 b h2

Algumas Expresses para o Clculo de reas deTringulos

1. rea de um Tringulo em Funo da Medida de DoisLados e a Medida do ngulo por eles compreendido.

A

b ch

C H B

a

A = 1 b h sen 2

2. rea de um Tringulo em Funo do Semipermetro edo raio da circunferncia inscrita.

3.A

b O c

rC B

aOnde :

A = p r p = semipermetror raio da circunferncia

rea de um Trapzio.

A rea de um trapzio o produto da mdiadas bases pela altura.

b

A = B + b h h2

B rea de um Losango.

A rea do losango o semiproduto dasdiagonais.

d

D

A = 1 D d2

rea de um Hexgono Regular.

Considere o hexgono regular ABCDEF, cujoslados medem l, inscrito na circunferncia de centro O eraio OA = l, conforme a figura.

l BC

l l

OD A

E F

Sua rea tal que A = 3 l 32

O hexgono regular ABCDEF pode serdecomposto em seis tringulos equilteros com ladosmedindo l.

Logo, sua rea tal que

A = 6 l 3 , isto , A = 3 l 34 2

rea de um Polgono Regular.

A rea de um polgono regular o produto dosemipemetro pelo aptema.

Semipermetro = metade do permetroaptema = perpendicular do centro de um

polgono regular a um de seus lados.

O

a

l



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matemática - apostila geometria plana

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