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Imersão Matemática – Geometria Plana

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1. (Unicamp) Considere o quadrado de lado a 0

exibido na figura abaixo. Seja A(x) a função que

associa a cada 0 x a a área da região indicada

pela cor cinza.

O gráfico da função y A(x) no plano cartesiano é

dado por

a)

b)

c)

d) 2. (Unesp) Na figura, o losango FGCE possui dois

lados sobrepostos aos do losango ABCD e sua área

é igual à área indicada em verde.

Se o lado do losango ABCD mede 6 cm, o lado do

losango FGCE mede

a) 2 5 cm.

b) 2 6 cm.

c) 4 2 cm.

d) 3 3 cm.

e) 3 2 cm.

3. (Unicamp) Considere o triângulo retângulo ABD

exibido na figura abaixo, em que AB 2 cm,

BC 1cm e CD 5 cm. Então, o ângulo θ é igual a

a) 15 . b) 30 . c) 45 . d) 60 . 4. (Unesp) Uma peça circular de centro C e raio

12 cm está suspensa por uma corda alaranjada,

perfeitamente esticada e fixada em P. Os pontos T e

Q são de tangência dos segmentos retilíneos da

corda com a peça, e a medida do ângulo agudo ˆTPQ

é 60 .

Desprezando-se as espessuras da corda, da peça circular e do gancho que a sustenta, calcule a

distância de P até o centro C da peça. Adotando

3,1π e 3 1,7 nas contas finais, calcule o

comprimento total da corda. 5. (Fuvest) O retângulo ABCD, representado na

figura, tem lados de comprimento AB 3 e BC 4. O

ponto P pertence ao lado BC e BP 1. Os pontos

R, S e T pertencem aos lados AB, CD e AD,

respectivamente. O segmento RS é paralelo a AD e

intercepta DP no ponto Q. O segmento TQ é

paralelo a AB.

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Sendo x o comprimento de AR, o maior valor da

soma das áreas do retângulo ARQT, do triângulo

CQP e do triângulo DQS, para x variando no

intervalo aberto 0, 3 , é

a) 61

8

b) 33

4

c) 17

2

d) 35

4

e) 73

8

6. (Fuvest) Uma bola de bilhar, inicialmente em

repouso em um ponto P, situado na borda de uma

mesa de bilhar com formato circular, recebe uma tacada e se desloca em um movimento retilíneo. A

bola atinge a borda no ponto R e é refletida

elasticamente, sem deslizar. Chame de Q o ponto da

borda diametralmente oposto a P e de θ a medida do

ângulo QPR.

a) Para qual valor de , após a primeira reflexão, a

trajetória da bola será paralela ao diâmetro PQ?

b) Para qual valor de , após a primeira reflexão, a

trajetória da bola será perpendicular a PQ?

c) Supondo agora que 30 60 , encontre uma

expressão, em função de , para a medida a do

ângulo agudo formado pela reta que contém P e Q

e pela reta que contém a trajetória da bola após a primeira reflexão na borda.

7. (Fuvest) São dadas três circunferências de raio r,

duas a duas tangentes. Os pontos de tangência são

1P , 2P e 3P .

Calcule, em função de r,

a) o comprimento do lado do triângulo equilátero T determinado pelas três retas que são definidas pela seguinte exigência: cada uma delas é tangente a duas das circunferências e não intersecta a terceira;

b) a área do hexágono não convexo cujos lados são

os segmentos ligando cada ponto 1P , 2P e 3P aos

dois vértices do triângulo T mais próximos a ele. 8. (Unicamp) A figura abaixo exibe um quadrilátero

ABCD, onde AB AD e BC CD 2 cm.

A área do quadrilátero ABCD é igual a

a) 22 cm .

b) 22 cm .

c) 22 2 cm .

d) 23 cm .

9. (Unesp) Renata pretende decorar parte de uma

parede quadrada ABCD com dois tipos de papel de

parede, um com linhas diagonais e outro com riscos horizontais. O projeto prevê que a parede seja dividida

em um quadrado central, de lado x, e quatro

retângulos laterais, conforme mostra a figura.




Se o total da área decorada com cada um dos dois

tipos de papel é a mesma, então x, em metros, é igual

a

a) 1 2 3

b) 2 2 3

c) 2 3

d) 1 3

e) 4 3 10. (Unesp) Uma mesa de passar roupa possui

pernas articuladas AB e CD, conforme indica a

figura. Sabe-se que AB CD 1m, e que M é ponto

médio dos segmentos coplanares AB e CD. Quando

a mesa está armada, o tampo fica paralelo ao plano

do chão e a medida do ângulo ˆAMC é 60 .

Considerando-se desprezíveis as medidas dos pés e

da espessura do tampo e adotando 3 1,7, a altura

do tampo dessa mesa armada em relação ao plano do chão, em centímetros, está entre a) 96 e 99.

b) 84 e 87.

c) 80 e 83.

d) 92 e 95.

e) 88 e 91.

11. (Fuvest) Os pontos A, B e C são colineares,

AB 5, BC 2 e B está entre A e C. Os pontos C

e D pertencem a uma circunferência com centro em

A. Traça-se uma reta r perpendicular ao segmento

BD passando pelo seu ponto médio. Chama-se de P

a interseção de r com AD. Então, AP BP vale a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 12. (Fuvest) Na figura, o retângulo ABCD tem lados

de comprimento AB 4 e BC 2. Sejam M o ponto

médio do lado BC e N o ponto médio do lado CD. Os

segmentos AM e AC interceptam o segmento BN

nos pontos E e F, respectivamente.

A área do triângulo AEF é igual a

a) 24

25

b) 29

30

c) 61

60

d) 16

15

e) 23

20

13. (Fuvest) Dois aviões vão de Brasília a Moscou. O

primeiro voa diretamente para o norte, até atingir o paralelo de Moscou, quando então muda o rumo para o leste, seguindo para o seu destino final. O segundo voa para o leste até atingir o meridiano de Moscou, tomando então o rumo norte até chegar a esta cidade. a) Desprezando as variações de altitude, qual avião

terá percorrido a maior distância em relação ao solo? Justifique sua resposta.

b) Calcule a diferença entre as distâncias percorridas, supondo que a Terra seja esférica.

Note e adote:

cos 56 0,56; sen 56 0,83; cos 16 0,96; sen 16 0,28

Latitude e longitude de Brasília: 16 S e 48 W

Latitude e longitude de Moscou: 56 N e 37 E

Raio da Terra: 6.400 km

14. (Unicamp) Considere o triângulo exibido na figura

abaixo, com lados de comprimentos a, b e c e

ângulos ,α β e .γ

a) Suponha que a sequência ( , , )α β γ é uma

progressão aritmética (PA). Determine a medida do




ângulo .β

b) Suponha que a sequência (a, b, c) é uma

progressão geométrica (PG) de razão q 2.

Determine o valor de tan .β

15. (Fuvest) Na figura abaixo, a circunferência de

centro em O e raio r tangencia o lado BC do

triângulo ABC no ponto D e tangencia a reta AB no

ponto E. Os pontos A, D e O são colineares,

AD 2r e o ângulo ACO é reto. Determine, em

função de r,

a) a medida do lado AB do triângulo ABC;

b) a medida do segmento CO.

16. (Unicamp) A figura abaixo exibe um círculo de

raio r que tangencia internamente um setor circular de

raio R e ângulo central .θ

a) Para 60 ,θ determine a razão entre as áreas do

círculo e do setor circular.

b) Determine o valor de cosθ no caso em que R 4r. 17. (Unicamp) A figura a seguir exibe um pentágono com todos os lados de mesmo comprimento.

A medida do ângulo θ é igual a

a) 105 . b) 120 .

c) 135 . d) 150 . 18. (Unicamp) O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a a) 3,0 m2. b) 2,0 m2. c) 1,5 m2. d) 3,5 m2. 19. (Fuvest) Uma circunferência de raio 3 cm está

inscrita no triângulo isósceles ABC, no qual AB AC.

A altura relativa ao lado BC mede 8 cm. O

comprimento de BC é, portanto, igual a a) 24 cm b) 13 cm c) 12 cm d) 9 cm e) 7 cm 20. (Unicamp) Considere um hexágono, como o exibido na figura abaixo, com cinco lados com

comprimento de 1cm e um lado com comprimento de

xcm.

a) Encontre o valor de x. b) Mostre que a medida do ângulo α é inferior a 150°.

21. (Fuvest) Uma das piscinas do Centro de Práticas

Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 25 metros.




Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina. a) 1.600 m2 b) 1.800 m2 c) 2.000 m2 d) 2.200 m2 e) 2.400 m2 22. (Unesp) Uma semicircunferência de centro O e

raio r está inscrita em um setor circular de centro C e

raio R, conforme a figura.

O ponto D é de tangência de BC com a

semicircunferência. Se AB s, demonstre que

R s R r r s.

23. (Fuvest)

Percorre-se o paralelogramo ABCD em sentido anti-horário. A partir de cada vértice atingido ao longo do percurso, prolonga-se o lado recém-percorrido, construindo-se um segmento de mesmo comprimento que esse lado. As extremidades dos prolongamentos são denotadas por A’, B’, C’ e D’, de modo que os

novos segmentos sejam, então, AA’, BB’, CC’ e DD’.

Dado que AB 4 e que a distância de D à reta determinada por A e B é 3, calcule a área do a) paralelogramo ABCD; b) triângulo BB’C’; c) quadrilátero A’B’C’D’. 24. (Unicamp) Os lados do triângulo ABC da figura abaixo têm as seguintes medidas:

20, 15 e 10. AB BC AC

a) Sobre o lado BC marca-se um ponto D tal que

3BD e traça-se o segmento DE paralelo ao lado

AC. Ache a razão entre a altura H do triângulo ABC relativa ao lado AC e a altura h do triângulo EBD relativa ao lado ED, sem explicitar os valores de h e H.

b) Calcule o valor explícito da altura do triângulo ABC em relação ao lado AC.

25. (Unicamp) Na figura abaixo, ABC e BDE são

triângulos isósceles semelhantes de bases 2a e a,

respectivamente, e o ângulo ˆCAB 30 . Portanto, o

comprimento do segmento CE é:

a) 5

a3

b) 8

a3

c) 7

a3

d) a 2 26. (Unicamp) Um satélite orbita a 6.400 km da superfície da Terra. A figura abaixo representa uma seção plana que inclui o satélite, o centro da Terra e o arco de circunferência AB. Nos pontos desse arco, o sinal do satélite pode ser captado. Responda às questões abaixo, considerando que o raio da Terra também mede 6.400 km.




a) Qual o comprimento do arco AB indicado na figura? b) Suponha que o ponto C da figura seja tal que

cos( ) 3 / 4.θ Determine a distância d entre o ponto

C e o satélite. 27. (Unesp) Um professor de geografia forneceu a

seus alunos um mapa do estado de São Paulo, que informava que as distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Campinas e entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e

Guaratinguetá eram, respectivamente, 80km e

160km. Um dos alunos observou, então, que as

distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o mapa.

Com essas informações, os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontos que representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de

a) 80 2 5 3

b) 80 5 2 3

c) 80 6

d) 80 5 3 2

e) 80 7 3

28. (Fuvest) O segmento AB é lado de um hexágono

regular de área 3 . O ponto P pertence à mediatriz

de AB de tal modo que a área do triângulo PAB vale

2 . Então, a distância de P ao segmento AB é igual

a

a) 2

b) 2 2

c) 3 2

d) 3

e) 2 3 29. (Fuvest)

Na figura, a circunferência de centro 0 é tangente à

reta CD no ponto D, o qual pertence à reta AO . Além

disso, A e B são pontos da circunferência, AB 6 3

e BC 2 3 . Nessas condições, determine

a) a medida do segmento CD ;

b) o raio da circunferência; c) a área do triângulo AOB; d) a área da região hachurada na figura. 30. (Unesp) No dia 11 de março de 2011, o Japão foi

sacudido por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 13 minutos.

(O Estado de S.Paulo, 13.03.2011. Adaptado.)

Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que

cos 0,934 , onde é o ângulo Epicentro-Tóquio-

Sendai, e que 8 22 3 93,4 215 100 , a velocidade

média, em km/h, com que a 1ª onda do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi de: a) 10. b) 50. c) 100. d) 250. e) 600. 31. (Fuvest) As circunferências C1 e C2 estão

centradas em O1 e O2, têm raios r1 = 3 e r2 = 12, respectivamente, e tangenciam-se externamente. Uma




reta t é tangente a C1 no ponto P1, tangente a C2 no

ponto P2 e intercepta a reta 1 2O O no ponto Q. Sendo

assim, determine a) o comprimento P1P2; b) a área do quadrilátero O1O2 P2P1; c) a área do triângulo QO2P2. 32. (Fuvest) Na figura, o triângulo ABC é equilátero de lado 1, e ACDE, AFGB e BHIC são quadrados. A área do polígono DEFGHI vale

a) 1 3

b) 2 3

c) 3 3

d) 3 2 3

e) 3 3 3 33. (Unesp) Uma pessoa se encontra no ponto A de

uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o

pé do mastro, avalia que os ângulos BÂC e

valem 30°, e o vale 105°, como mostra a figura:

a) 12,5.

b) 12,5 2 . c) 25,0.

d) 25,0 2 . e) 35,0. 34. (Fuvest) No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que M é o ponto médio

de AB , N é o ponto médio de BC e 14MN4

.Então, DM é igual a

a) 2

4

b) 2

2

c) 2

d) 3 2

2

e) 5 2

2

35. (Fuvest) No triangulo ABC da figura, a mediana

AM, relativa ao lado BC, e perpendicular ao lado AB.

Sabe-se também que BC 4 e AM 1. Se α é a

medida do ângulo ABC, determine

a) sen .α

b) o comprimento AC.

c) a altura do triangulo ABC relativa ao lado AB.

d) a área do triangulo AMC.

36. (Fuvest) Na figura, o triângulo ABC é retângulo

com catetos BC 3 e AB 4. Além disso, o ponto D

pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao cateto

BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC, de tal

forma que DECF seja um paralelogramo. Se 3

DE ,2

então a área do paralelogramo DECF vale

a) 63

25




b) 12

5

c) 58

25

d) 56

25

e) 11

5

37. (Fuvest) Em uma mesa de bilhar, coloca-se uma

bola branca na posição B e uma bola vermelha na

posição V, conforme o esquema a seguir.

Deve-se jogar a bola branca de modo que ela siga a trajetória indicada na figura e atinja a bola vermelha. Assumindo que, em cada colisão da bola branca com uma das bordas da mesa, os ângulos de incidência e

de reflexão são iguais, a que distância x do vértice Q

deve-se jogar a bola branca? 38. (Unesp) A figura representa uma chapa de

alumínio de formato triangular de massa 1.250

gramas. Deseja-se cortá-la por uma reta r paralela ao

lado BC e, que intercepta o lado AB em D e o lado

AC em E, de modo que o trapézio BCED tenha 700

gramas de massa. A espessura e a densidade do material da chapa são uniformes. Determine o valor

percentual da razão de AD por AB.

Dado: 11 3,32.

a) 88,6. b) 81,2.

c) 74,8. d) 66,4. e) 44,0.

39. (Fuvest) Na figura, os pontos A, B, C pertencem à

circunferência de centro O e BC .α A reta OC é

perpendicular ao segmento AB e o ângulo AOB

mede 3

π radianos. Então, a área do triângulo ABC

vale:

a) 2

8

α

b) 2

4

α

c) 2

2

α

d) 23

4

α

e) 2α 40. (Fuvest) Na figura, B, C e D são pontos distintos

da circunferência de centro O, e o ponto A é exterior a

ela. Além disso,

(1) A, B, C, e A, O, D, são colineares;

(2) AB = OB;

(3) CÔD mede б radianos.

Nessas condições, a medida de AB̂ O, em radianos, é

igual a:

a) ð - (á/4) b) ð - (á/2)




c) ð - (2á/3) d) ð - (3á/4) e) ð - (3á/2) 41. (Fuvest) A figura a seguir representa sete

hexágonos regulares de lado 1 e um hexágono maior,

cujos vértices coincidem com os centros de seis dos

hexágonos menores. Então, a área do pentágono

hachurado é igual a:

a) 3 3

b) 2 3

c) 3 3

2

d) 3

e) 3

2

42. (Fuvest) Os comprimentos dos lados de um

triângulo ABC formam uma PA. Sabendo-se também

que o perímetro de ABC vale 15 e que o ângulo Â

mede 120°, então o produto dos comprimentos dos

lados é igual a:

a) 25 b) 45 c) 75 d) 105 e) 125 43. (Unesp) Uma certa propriedade rural tem o

formato de um trapézio como na figura. As bases WZ

e XY do trapézio medem 9,4 km e 5,7 km,

respectivamente, e o lado YZ margeia um rio.

Se o ângulo X YZ é o dobro do ângulo X WZ, a

medida, em km, do lado YZ que fica à margem do rio

é:

a) 7,5. b) 5,7. c) 4,7. d) 4,3. e) 3,7. 44. (Fuvest) O triângulo ACD é isósceles de base CD

e o segmento OA é perpendicular ao plano que

contém o triângulo OCD , conforme a figura:

Sabendo-se que OA = 3, AC = 5 e senOCD = 1/3,

então a área do triângulo OCD vale

a) 16( 2)

9

b) 32( 2)

9

c) 48( 2)

9

d) 64( 2)

9

e) 80( 2)

9

45. (Fuvest) No retângulo ABCD da figura tem-se

CD e AD 2 . Além disso, o ponto E pertence à

diagonal BD, o ponto F pertence ao lado BC e EF é

perpendicular a BD. Sabendo que a área do retângulo

ABCD é cinco vezes a área do triângulo BEF, então

BF mede

a) 2

.8

b) 2

.4




c) 2

.2

d) 2

3 .4

e) 2. 46. (Unifesp) Tem-se um triângulo equilátero em que

cada lado mede 6 cm. O raio do círculo circunscrito a

esse triângulo, em centímetros, mede

a) 3

b) 2 3 c) 4

d) 3 2

e) 3 3

47. (Unesp) A figura representa um triângulo

retângulo de vértices A, B e C, onde o segmento de

reta DE é paralelo ao lado AB do triângulo.

Se AB = 15 cm, AC = 20 cm e AD = 8 cm, a área do

trapézio ABED, em cm2, é

a) 84. b) 96. c) 120. d) 150. e) 192. 48. (Fuvest) Na figura, OAB é um setor circular com

centro em O, ABCD é um retângulo e o segmento CD

é tangente em X ao arco de extremos A e B do setor

circular.

Se AB = 2 3 e AD = 1, então a área do setor OAB é

igual a

a) 3

π

b) 2

3

π

c) 4

3

π

d) 5

3

π

e) 7

3

π

49. (Fuvest) A figura representa um retângulo ABCD,

com AB = 5 e AD = 3. O ponto E está no segmento

CD de maneira que CE = 1, e F é o ponto de

interseção da diagonal AC com o segmento BE.

Então a área do triângulo BCF vale

a) 6

5

b) 5

4

c) 4

3

d) 7

5

e) 3

2

50. (Fuvest) Na figura a seguir, a reta s passa pelo

ponto P e pelo centro da circunferência de raio R,

interceptando-a no ponto Q, entre P e o centro. Além

disso, a reta t passa por P, é tangente à circunferência

e forma um ângulo α com a reta s. Se PQ = 2R, então

cos(α) vale




a) ( 2)

6

b) ( 2)

3

c) ( 2)

2

d) 2( 3)

3

e) 3( 2)

5

51. (Fuvest) No paralelogramo ABCD a seguir, tem-se

que AD = 3 e DAB = 30°. Além disso, sabe-se que o

ponto P pertence ao lado DC e à bissetriz do ângulo

DAB.

a) Calcule AP.

b) Determine AB sabendo que a área do quadrilátero

ABCP é 21.

52. (Fuvest) Na figura a seguir, o triângulo ABC

inscrito na circunferência tem AB = AC. O ângulo entre

o lado AB e a altura do triângulo ABC em relação a

BC é .α Nestas condições, o quociente entre a área

do triângulo ABC e a área do círculo da figura é dado,

em função de ,α pela expressão:

a) 22cos .α

π

b) 22sen 2 .α

π

c) 22sen 2 cos .α α

π

d) 2

sen cos2 .α απ

e) 22sen2 cos .α α

π

53. (Fuvest) Na figura a seguir, tem-se AC = 3, AB = 4

e CB = 6.

O valor de CD é

a) 17

12

b) 19

12

c) 23

12

d) 25

12

e) 29

12

54. (Fuvest) Na figura a seguir, O é o centro da

circunferência de raio 1, a reta AB é secante a ela, o

ângulo â mede 60° e sen á =( 3)

4.

a) Determine sen OAB em função de AB.

b) Calcule AB.

55. (Fuvest) Na figura, ABC e CDE são triângulos

retângulos, AB = 1, BC = 3 e BE = 2DE. Logo, a

medida de AE é




a) ( 3)

2

b) ( 5)

2

c) ( 7)

2

d) ( 11)

2

e) ( 13)

2

56. (Fuvest)

Na figura acima, as 12 circunferências têm todas o

mesmo raio r; cada uma é tangente a duas outras e ao

quadrado. Sabendo-se que cada uma das retas

suporte das diagonais do quadrado tangencia quatro

das circunferências (ver figura), e que o quadrado tem

lado 2 7 , determine r.

57. (Fuvest) A figura representa duas circunferências

de raios R e r com centros nos pontos A e B,

respectivamente, tangenciando-se externamente no

ponto D. Suponha que:

a) As retas t1 e t2 são tangentes a ambas as

circunferências e interceptam-se no ponto C.

b) A reta t2 é tangente às circunferências no ponto D.

Calcule a área do triângulo ABC, em função dos raios

R e r.

58. (Fuvest) Na figura, ABCD é um quadrado de lado

1, DEB e CEA são arcos de circunferências de raio 1.

Logo, a área da região hachurada é

a) 1 -6

π

+ ( 3)

4

b) 1 -3

π

+ ( 3)

2

c) 1 -6

π

- ( 3)

4

d) 1 +3

π

- ( 3)

2

e) 1 - 3

π

- ( 3)

4

59. (Fuvest) Na figura a seguir A, B e D são

colineares e o valor da abscissa m do ponto C é

positivo. Sabendo-se que a área do triângulo retângulo

ABC é 5

2, determine o valor de m.




Gabarito:

Resposta da questão 1: [D] Calculando:

2 2 2a a xA(x) a 2 a a ax A(x) ax

2

O único gráfico que apresenta uma função linear é o mostrado na alternativa [D]. Resposta da questão 2:

[E]

Desde que os losangos FGCE e ABCD são

semelhantes, temos

2(FGCE) 1k ,

(ABCD) 2 com k sendo a razão de

semelhança.

Por conseguinte, dado que AB 6cm, vem

FG 1FG 3 2 cm.

AB 2

Resposta da questão 3: [C] Calculando:

2 2 2

2 2 2

2 22

AC 2 1 AC 5

AD 2 6 AD 40

5 5 40 2 5 40 cos 2 200 cos 20

10 2cos cos 45

210 2

θ θ

θ θ θ

Resposta da questão 4:

a) Calculando:

CQ 12 1sen 30 PC 24

2CP CP

PQ PQtg 60 3 PQ PT 12 3 20,4 cm

CQ 12

b) Calculando:

corda QT

240 240Arco QT 2 R 24 16

360 360

C PQ PT Arco 12 3 12 3 16 90,4 cm

π π π

π


[A] Diante do exposto, pode-se desenhar:

A soma das áreas hachuradas será:

2 2 2

2

2

máx máx máx

x 3 (3 x) x 9 3x 8x 2xS(x) x (4 x)

2 2 2

1S(x) x 5x 9

2

5 4 ( 1) 91 61S y S

2 4 ( 1) 8


a) Como a bola atinge a borda no ponto R e é refletida elasticamente, sem deslizar, pode-se

concluir que o ângulo PRO ORZ .α Pelos

fundamentos da geometria plana, sabe-se que o

ângulo POR também é igual a .α Como os

segmentos OP e OR são iguais (raio da

circunferência), pode-se concluir que o ângulo θ

também será igual a .α Assim, todos os ângulos do

triângulo PRO são igual, fazendo deste um triângulo

equilátero. Logo, 60 .α θ Caso 0 ,θ após a

primeira reflexão a trajetória também será paralela

ao diâmetro PQ.

b) Analisando a figura a seguir, como PO e OZ são

segmentos iguais (ambos são iguais ao raio da

circunferência), pode-se concluir que o ângulo θ

será igual a .α Assim, pode-se escrever sobre o

triângulo retângulo:

3 90 180 3 90 30α α α θ




c) Analisando a figura a seguir, pode-se escrever:

3 180 180 3 , para 30 60α θ α θ θ


a) O triângulo equilátero descrito é o “externo” que contém as três esferas. Assim, seu lado será igual a:

Ou seja:

2r 3lado 2r 2r 2r lado 2r 3 1

tg 30 3

b) Considerando como A, B e C os vértices do

triângulo equilátero “externo” pode-se desenhar:

Assim, percebe-se que a área destacada em azul se dá por:

azul amarelo

22

azul

22 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2azul

S S S

2r 3 1 3 r 2r 3 1lado 3 r ladoS 3 3

4 2 4 2

3r 3 1 3r 3 1 3r 3 2 3 1 3r 3 1

3 3r 6r 3r 3 3r 3r 3r 3r

S r 3 3

Resposta da questão 8: [B] Considere a figura.

Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo BCD,

temos

2 2 2 2 2 2 2BD BC CD 2 BC CD cosBCD BD 2 2 2 2 2

2

BD 2 2 2 cm.

Como AC é bissetriz de BAD e BCD, segue que os

triângulos retângulos ABE e ADE são congruentes.

Logo, podemos concluir que AE 2 2 cm.

A resposta é dada por

2

1 1(ABD) (BCD) BD AE BC CD senBCD

2 2

2 2 2 2 2 1 22 2

2 2 2

2 2 2

2cm .

Resposta da questão 9: [B] Observando que cada retângulo decorado tem

dimensões medindo (x 2) metros e 2 metros, vem

2 2x 2 2 (x 2) x 4x 8 0

x (2 2 3) m.


[B]

Se M é o ponto médio dos segmentos e se AMC é

60 , então os triângulos formados ( AMC e DMB)

são equiláteros com lado igual a 0,5. Logo, a

altura da mesa em relação ao chão será igual a 2h,

sendo h a altura de um dos triângulos equiláteros. Ou seja:

3 0,5 1,7h 0,425 2h 0,85 m 85 cm

2 2


[D]




Considere a figura, em que M é o ponto médio de

BD.

Os triângulos BPM e DPM são congruentes por LAL,

pois MB MD, MP é lado comum e BMP DMP. Daí,

temos BP DP e, portanto, AP BP AC 5 2 7.


[D] De acordo com o enunciado:

NFC AFB

2 xy 2x

4 y

2x3

x y 2 x 2x 24y

3

MEN MAN

1 ab 4a

4 b

1a5

a b 1 a 4a 14b

5

Assim, a área do triângulo AEF será:

AEF ABF ABE

AEF AEF

S S S

4 44 44y 4b 8 8 163 5S S2 2 2 2 3 5 15


a) Com os dados do enunciado, pode-se desenhar

a figura a seguir, sendo o ponto O o centro da

Terra, o ponto B a localização de Brasília e o ponto

M a localização de Moscou:

Considerando a Terra como uma esfera, sabe-se

que os arcos BA e CM são iguais e delimitados

pelo raio R da terra e um ângulo de

72 (56 16 ). Assim, pode-se calcular a distância

vertical percorrida por ambos os aviões:

72 R 2 RBA CM

180 5

π π

Para calcular a distância horizontal BC basta

considerar um arco de circunferência delimitado

pela distância de B até o eixo da terra e por um

ângulo de 85 (48 37 ). Assim, pode-se escrever:

B Eixo B EixoB Eixo

dist distcos16 0,96 dist 0,96R

R R

85 0,96R 16,32 RBC BC

180 36

π π

Para calcular a distância horizontal AM basta considerar um arco de circunferência delimitado

pela distância de A até o eixo da terra e por um

ângulo de 85 (48 37 ). Assim, pode-se escrever:

A Eixo A EixoA Eixo

dist distcos56 0,56 dist 0,56R

R R

85 0,56R 9,52 RAM AM

180 36

π π

Por fim, pode-se calcular a distância percorrida por cada um dos aviões:

2 R 9,52 R 119,6 RAvião 1 BA AM

5 36 180

16,32 R 2 R 153,6 RAvião 2 BC CM

36 5 180

π π π

π π π

Logo, conclui-se que o segundo avião percorreu a maior distância.

b) A diferença das distâncias percorridas será igual a:

153,6 R 119,6 R 34 R 34 6400Avião 2 Avião 1 1208,9 km

180 180 180 180

π π π ππ


a) Se ( , , )α β γ é uma PA, então a soma de seus

termos será 180, pois a soma dos ângulos internos

de um triângulo é sempre 180 . Assim, pode-se

escrever:

PA ( , , ) ( r, , r)

r r 3S 180 180 3 60

2

α β γ β β β

β ββ β




b) Se (a, b, c) é uma PG de raiz q 2, então pode-

se escrever:

PG (a, b, c) (a, a 2, 2a)

Pela lei dos cossenos, tem-se:

2 22 2 2 2 3

a 2 a 2a 2 a 2a cos 2a 5a 4a cos cos4

β β β

Pela relação fundamental:

2 2 2 29 7 7sen cos 1 sen 1 sen sen

16 16 4β β β β β

Por fim, calculando a tangente:

7sen 7 4 74tg tg

3cos 4 3 3

4

ββ β

β


a) No AOE :Δ

22 2 2AE r 3r AE 8r AE 2r 2

AB 2r 3 r 3 r 2ADB ~ AEO AB AB

3r 22 2 r 2Δ Δ

b) No ACO,Δ temos:

2 2 2CO (2r r) r CO 3 r CO r 3

Resposta da questão 16: a) Considere a figura.

Como o círculo e o setor são tangentes

internamente, temos AC R, OB OC r e

BAO 30 . Logo, segue que

AO AC OC R r. Portanto, do triângulo ABO,

vem

OB rsenBAO sen30

R rAO

r 1

R 3

Em consequência, a razão pedida é igual a

22

2

r r 26 .

60 R 3R

360

π

π

b) Se R 4r, então, do triângulo ABO, obtemos

r 1sen sen .

2 R r 2 3

θ θ

Por conseguinte, vem

2

2

cos 1 2sen2

11 2

3

7.

9

θθ


[B]

Considere o pentágono equilátero ABCDE de lado

da figura.

É fácil ver que o triângulo CDE é isósceles, com

CD ED.

Sabendo que BAE 90 , tem-se que o triângulo ABE

é retângulo isósceles, com BE 2. Em

consequência, sendo ABC 135 , concluímos que o

triângulo ABC é retângulo em B.

Agora, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no

triângulo BCE, encontramos CE 3.

Finalmente, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo

CDE, vem




2 2 2 1( 3) 2 cos cos

2

120 .

θ θ

θ


[C]

Sejam x, x r e x 2r as medidas, em metros, dos

lados do triângulo, com x, r 0.

Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos

x 3r. Logo, os lados do triângulo medem 3r, 4r e 5r.

Sabendo que o perímetro do triângulo mede 6,0 m,

vem

13r 4r 5r 6 r .

2

Portanto, a área do triângulo é igual a

223r 4r 1

6 1,5 m .2 2


[C]

Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular

baixada de A sobre BC, e D é o ponto em que o

lado AC tangencia a circunferência de centro em O.

Como OH OD 3cm e AH 8cm, segue que

AO 5cm. Logo, AD 4cm. Além disso, os

triângulos AHC e ADO são semelhantes por AA e,

assim,

AD DO 4 3

8AH HC HC

HC 6cm.

Portanto, como H é o ponto médio de BC, segue-se

que BC 12cm.

Resposta da questão 20: a) Considere a figura.

Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos

ABC, ACD, ADE e AEF, vem

2 2 2 2 2AC AB BC 1 1 2,

2 2 2 2AD AC CD 2 1 3,

2 2 2 2AE AD DE 3 1 4

e

2 2 2 2 2AF AE EF x 4 1

x 5 cm.

b) É imediato que BAC 45 .

Do triângulo ACD, temos

CD 1tgCAD CAD arctg 45 .

2AC

Do triângulo ADE, vem

DE 1tgDAE DAE arctg 30 .

3AD

Do triângulo AEF, segue

EF 1tgEAF EAF arctg 30 .

4AE

Portanto, tem-se

BAC CAD DAE EAF

45 45 30 30

150 .

α

Resposta da questão 21: [A] Seja a medida, em metros, dos lados dos hexágonos que constituem a piscina.




Sabendo que a distância entre lados paralelos de um hexágono regular é igual ao dobro do apótema do hexágono, obtemos

25 325 tg30 m.

3

Desse modo, a área da piscina é dada por

22

2

3 3 9 25 33 32 2 3

18753

2

1.623,8 m

e, portanto, 21.600 m é o valor que mais se aproxima

da área da piscina. Resposta da questão 22: Considere a figura.

Os triângulos retângulos ODC e BAC são

semelhantes. Logo,

OC OD R r r

R sBC BA

R s r s R r

R s R r r s.

c.q.d. Resposta da questão 23:

a) A = 4 3 = 12.

b) No triângulo ADE, 3

sen .x

θ

Logo, a área do triângulo BB’C será dada por:

1 1 3A 2x 4 sen 2x 4 12.

2 2 xθ

c) Considerando que 3

sen sen(180 ) .x

θ θ

S(A’B’C’D’) = S(A’DD’) + S(AA’B’) + S(BB’C’) + S(C’C’D’) + S(ABCD)

S(A’B’C’D’) = 1 1 1 1

.2x.4.sen( ) .2.4x.sen(180 ) .2x.4.sen( ) .2.4x.sen(180 ) 122 2 2 2

θ θ θ θ

S(A’B’C’D’) = 12 + 12 + 12 + 12 + 12

S(A’B’C’D’) = 60


a) Como o segmento DE é paralelo ao segmento AD, podemos utilizar o teorema de Tales:

H 155.

h 3

b) H é a altura relativa ao lado AC.

Calculando a área do triângulo ABC pela fórmula de Herão, temos:

p = (10 + 15 + 20)/2 = 45/2




2 2

45 45 45 45A . 20 . 15 . 10

2 2 2 2

45 5 15 25A

2 2 2 2

3 .5.5.3.5.5A

4

3.5.5. 15A

4

AC.H 75 15

2 4

10.H 75 15

2 4

15 15H

4

=

Resposta da questão 25: [C]

2 2 2

2 22

2

a 3 a 2aNo CMB : cos30° x

x 2 x 3

a3 a a2No ENB : cos30° y

y 2 2y 3

ˆCBE 180 30 30 120

Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo CBE, temos:

CE x y 2.x.y.cos120

4a a 2a a 1CE 2

3 3 23 3

5aCE

Δ

Δ

2 2

22

2a

3 3

7aCE

3

7CE a.

3


a) No triângulo assinalado: R é a medida do raio da terra.

R 1cos 60

R R 2α α

Portanto, o arco AB mede 120° e seu comprimento será dado por:

2 R 2 6400 12800km.

3 3 3

π π π

b) Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo

assinalado, temos:

2 2 2

2 2 2

2

d R (2R) 2.R.2R.cos

d 5R 4.R .(3/4)

d 2.R

d R 2

d 6400. 2 km

θ

Resposta da questão 27: [B]

Sejam S,P, G e C, respectivamente, os pontos que

representam as cidades de Sorocaba, São Paulo, Guaratinguetá e Campinas.

Sabendo que SPC 60 e CPG 90 , vem

SPG 150 . Logo, aplicando a Lei dos Cossenos no

triângulo SPG, encontramos

2 2 2

2 2

SG SP PG 2 SP PG cosSPG

80 160 2 80 160 cos150

36400 25600 2 12800

2

6400 (5 2 3)

Portanto, SG 80 5 2 3 km.

Resposta da questão 28: [E]




AB = a

26.a 3 23 a

4 6

Calculando a distância d pela área do triângulo assinalado:

1a d 2

2

1 2d 2

2 6

d 12

d 2 3


a) Temos:

2

CD 8 3.2 3

CD 48

CD 4 3

b) No triângulo ADC, temos:

2 22 2 2(2r) 4 3 8 3 4r 192 48 r 36 r 6

c) 22 2 2 2h 3 3 6 h 36 27 h 9 h 3

6 3.3A A 9. 3

2

d) 3 1

sen 30 e = 120°6 2

α α β

Área pedida:

2

AOB.6

A A3

A 12 9 3

A 3 4 3 3

Δπ

π

π


[E] Considere a figura.

Sabendo que ET 360km, ST 320km,

cos 0,934 e que 8 22 3 93,4 215100, pela Lei

dos Cossenos, vem

2 2 2

2 2 2

2 2 2 5

2 8 2

2

ES ET ST 2 ET ST cos

ES 360 320 2 360 320 0,934

ES 129600 102400 2 2 3 2 93,4

ES 232000 2 3 93,4

ES 232000 215100

ES 16900 ES 130km.

Portanto, como 13

13min h,60

temos que a velocidade

média pedida é dada por

130600km h.

13

60


a) x2 + 92 = 152 x = 12

b) 9.12

A 12.3 902

c) y 3

3x 12 y 4y 12 12

Logo, A = 12.(12 4)

962





A = 3.A1 + A2 +3. A3

A = 3.12 + 2

o1 3 13 .1.1.sen120

4 2

A = 3 +3 3 3

4 4

A = 3 + 3


No triângulo ABC oABC 45 , aplicando o teorema

dos senos, temos:

o o

50 BCBC. 2 50 BC 25 2

sen45 sen30

No triângulo BDC, temos:

o h 1 hsen30 h 12,5 2

225 2 25 2


[B]

Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo BMN, temos:

2 2 214 1 1 1 1

2. . .cos4 2 2 2 2

Resolvendo, temos

3cos

4 e que cos

o3( 180 )

4

Aplicando novamente o teorema dos cossenos no triângulo ADM, temos:

222

222

1 1(AD) 1 2. .1.cos

2 2

1 1 3(AD) 1 2. .1.

2 2 4

AD = 1 3

14 4

AD = 2

2


a) No ABM: 1

sen2

α ( 30α e 60 )β

b) No ABM: 22 2AB 1 3 AB 3

22 2

22 2

AC 4 3 2 4 3 cos

3AC 4 3 2 4 3 AC 7

2

α

c) No BHC : h

sen30 h 24

d) AMC 180 60 120

1 1 3 3A 1 2 sen120 1 2

2 2 2 2


[A]

2 2 2(AC) 4 3 AC 5

3x y 2DBE ~ ABC x 1,24 3 5

e y 0,9

A base do paralelogramo será 3 0,9 2,1 e sua

altura será x 1,2.

Logo, sua área será:

21 12 252 63A 2,1 1,2

10 10 100 25





1 2 3~ ~

1,2 x x 0,4

0,9 y 0,8 y

Δ Δ Δ

Aplicando a propriedade da proporção

Nas duas últimas razões:

1,2 x x 0,4

0,9 y 0,8 y

1,2 x x 0,4

0,9 0,8

Resolvendo, temos:

6x

17

Resposta da questão 38: [D]

2 2ADE

ABC

AAD AD 1250 700 AD 550 AD 11 AD 3,32 AD0,664 66,4%

AB A AB 1250 AB 1250 AB 5 AB 5 AB

Δ

Δ


rad 603

π

OC AB ABC é isósceles

60ACB 30

2

(ângulo inscrito)

21A sen30

2 4

αα α


ÂBD x

ˆˆCOB é isósceles de base BC, logo OBC=OCB = - x

- xˆÂBO é isósceles de base AO, logo OAB=BOA = 2

No triângulo AOB:

- x - x + (ângulo externo)

2

2 = 2 2x x

3x 3 2

3 2x

3

2x

3

Δ π

πΔ

πα π

α π π

π α

π α

απ

Portanto, ÂBO 2 /3π α

Resposta da questão 41: [E] Resposta da questão 42:

[D] Resposta da questão 43:

[E] Resposta da questão 44:

[B] Resposta da questão 45:




[C]




Resposta da questão 49: [B] Resposta da questão 50: [D] Resposta da questão 51:

a) AP = 3 (2 3)

b) AB = 31

2

Resposta da questão 52: [E]

Considerando o ponto O como centro e R o raio da circunferência, temos no triângulo assinalado:

x

sen 2 x R sen(2 )R

α α

y

cos 2 y R cos(2 )R

α α

Calculando a área do triângulo ABC, temos:

2 2 2 2

2 2

2x(y R) 2R sen(2 ) (R R cos(2 ))A R sen(2 )(1 cos(2 )) R sen(2 )(1 cos sen )

2 2

2R sen(2 ) cos

α αα α α α α

α α

A razão entre a área do triângulo ABC e a área do círculo será dada por:

222

2

2R sen(2 ) cos 2sen(2 ) cos

R

α αα α

ππ



a) sen OAB =

( 3)

4 AB

b) AB = [( 13) 1]

6


[C] Resposta da questão 56:

r = ( 7 )[( 2 ) - 1]


R r . R . r

2

.


[C] Resposta da questão 59:

m = 2 +(5 2)

2


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