FRENTE 4

1. (CFT-SC) – Na figura abaixo, a semi-reta OP→ é bissetriz do ânguloAOB^ . Os valores de x e y são:

a) x = 13° e y = 49° b) x = 15° e y = 35°

c) x = 12° e y = 48° d) x = 17° e y = 42°

e) x = 10° e y = 50°

2. (CFT-CE) – O ângulo cujo suplemento excede de 6° o quádruplodo seu complemento, é:a) 58° b) 60° c) 62° d) 64° e) 68°

3. (PUC–PR) – Dois ângulos complementares A e B, sendo A < B,têm medidas na razão de 13 para 17. Consequentemente, a razão damedida do suplemento do ângulo A para o suplemento do ângulo Bvale:a) 43/47 b) 17/13 c) 13/17 d) 119/48 e) 47/43

4. Prove que, se dois ângulos são opostos pelo vértice, então as suasmedidas são iguais.

MÓDULO 1

ÂNGULOS

5. Com os dados da figura seguinte, na qual as retas r e s são para lelas,complete as sen tenças, quanto à posição dos ângulos citados.

a) Os ângulos congruentes 1 e 3 são: _________________________

b) Os ângulos congruentes 1 e 5 são: _________________________

c) Os ângulos congruentes 4 e 8 são: _________________________

d) Os ângulos congruentes 3 e 5 são: _________________________

e) Os ângulos congruentes 1 e 7 são: _________________________

f) Os ângulos suplementares 3 e 6 são: _______________________

g) Os ângulos suplementares 2 e 7 são: _______________________

6. (CESGRANRIO-RJ) – As retas r e s da figura são paralelascortadas pela transversal t. Se o ângulo B é o triplo de A, então B – Avale:

a) 90° b) 85° c) 80° d) 75° e) 60°

1. (FUVEST) – Na figura, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede45° e o ângulo 2 mede 55°. A medida, em graus, do ângulo 3 é:

a) 50° b) 55° c) 60° d) 80° e) 100°

MÓDULO 2

RETAS PARALELAS

2. (OBM) – Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si ea dois bastões verticais, como mostra a figura.

A medida do ângulo x é:a) 39° b) 41° c) 43° d) 44° e) 46°

3. (CFTPR-PR) – Numa gincana, a equipe “Já Ganhou” recebeu oseguinte desafio: Na cidade de Curitiba, fotografar a construçãolocalizada na rua Marechal Hermes no número igual a nove vezes ovalor do ângulo  da figura a seguir:

Se a equipe resolver corretamente o problema irá fotografar a cons -trução localizada no número:a) 990 b) 261 c) 999 d) 1026 e) 1260

4. (FUVEST) – Demonstre que a soma das medidas dos ângulosinternos de um triângulo qualquer é igual a 180°.

5. (FUVEST) – As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, emgraus é:

a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70

6. (OBM) – Na figura, quanto vale x?a) 6°b) 12°c) 18°d) 20°e) 24°

1. No triângulo ABC da figura abaixo, α é a medida do ângulo externode vértice A. Os ân gulos internos de vértices A, B e C medem, respec -tiva mente, x, y e z. Prove que α = y + z (teorema do ângulo externo).

2. (UFRN) – Na figura adiante, o ângulo θ mede:a) 96°b) 94°c) 93°d) 92°e) 91°

3. (PUCCAMP) – Na figura a seguir, tem-se o triân gulo equiláteroXYZ, inscrito no triângulo isósceles ABC. O valor de α – β é:

a) 15°

b) 20°

c) 25°

d) 30°

e) 45°

MÓDULO 3

TRIÂNGULOS

4. (UFF-RJ) – O triângulo MNP é tal que o ângulo interno de vérticeM mede 80° e o ângulo interno de vértice P mede 60°. A medida doângulo formado pela bissetriz do ângulo interno de vértice N com abissetriz do ângulo externo de vértice P é:a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60°

5. (FUVEST) – No retângulo abaixo, o valor, em graus, de α + β é:

a) 50° b) 90° c) 120° d) 130° e) 220°

6. (MACKENZIE) – Na figura ao lado, tem-se AB = AC eAD = AE. A medida do ângulo α é:

a) 5° b) 10° c) 15° d) 20° e) 25°

1. (ITA) – Seja ABC um triângulo isósceles de base BC. Sobre o lado

AC deste triângulo considere um ponto D tal que os segmentos AD,

BD e BC são todos congruentes entre si. A medida do ângulo B ^AC é

igual a: a) 23° b) 32° c) 36° d) 40° e) 45°

2. (UFMG) – Na figura a seguir, a circunferência tem centro O e seuraio tem a mesma medida do segmento BC––. Sejam α a medida doângulo AO

^D e β a medida do ângulo AC

^D.

A relação entre α e β é:

a) α = b) α = 3β c) α =

d) α = 2β e) α = β

MÓDULO 4

CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

7β–––2

5β–––2

3. (FUVEST) – Três pontos distintos A, B e C de uma circunferência

de centro O são tais que B e C são extremos de um mesmo diâmetro.

Prove que o ângulo BA^

C é reto.

4. (CFT-CE) – A altura e a mediana traçadas do vértice do ângulo retode um triângulo retângulo formam um ângulo de 24°. Sendo assim, osângulos agudos do triângulo são:a) 33° e 57° b) 34° e 56° c) 35° e 55°d) 36° e 54° e) 37° e 53°

1. (PUC-MG) – Sabe-se que, em um triângulo, a medida de cadalado é menor que a soma dos comprimentos dos outros dois lados. Umaafirmativa equivalente a essa é: a) A menor distância entre dois pontos é igual ao comprimento do

segmento de reta que os une.b) Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o maior dos lados.c) Ao lado menor de um triângulo, opõe-se o menor ângulo.d) Em um triângulo isósceles, a altura relativa à base divide-a em dois

segmentos de mesmo comprimento.

2. (UFPE) – Um barco está sendo rebocado para a margem de umporto por um cabo de aço. Inicialmente, o barco está no ponto A dailustração, quando o cabo tem comprimento de 100 m. Após puxar ocabo de 20 m, o barco ocupa a posição B. Nessas condições, podemosafirmar que a distância AB é

a) maior que 20 m. b) igual a 20 m.c) igual a 19 m. d) igual a 18 m.e) menor que 18 m.

MÓDULO 5

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE TRIÂNGULOS

3. (OBM) – Qual o menor perímetro inteiro possível de um triângulo

que possui um dos lados com medida igual a ?

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

4. Se um triângulo escaleno tem perí metro u, prove que a medida x do

seu maior lado é tal que: < x < .

5. (UNICAMP)a) Quantos são os triângulos não congruentes cujas medidas dos lados,

em metros, são NÚMEROS INTEIROS e cujos perímetros medem11 metros?

b) Quantos dos triângulos considerados no item anterior são equi -láteros? E quantos são isósceles?

1. (AMAN) – O polígono convexo em que o triplo do número devértices é igual ao total de diagonais é oa) eneágono. b) dodecágono. c) hexágono.d) heptágono. e) icoságono.

u–––2

u–––3

5���3–––––

2

MÓDULO 6

POLÍGONOS

2. (UFSCar) – Um polígono convexo com exata mente 35 diagonaistema) 6 lados. b) 9 lados. c) 10 lados.d) 12 lados. e) 20 lados.

3. (PUC Rio-RJ) – As medidas, em graus, dos ângulos internos de umquadrilátero convexo são iguais a: 3x – 45, 2x + 10, 2x + 15 e x + 20.O menor ângulo interno desse quadrilátero mede:a) 90° b) 65° c) 45° d) 105° e) 80°

4. (PUCCAMP) – A figura descreve o movimento de um robô:Partindo de A, ele sistemati ca -men te avan ça 2 m e gira 45° paraa esquerda. Quando esse robôretornar ao ponto A, a trajetóriapercorrida terá sido

a) uma circunferência. b) um hexágono regular.c) um octógono regular. d) um decágono regular.e) um polígono não regular.

5. (USF-SP) – O polígono regular cujo ângulo interno mede o triplodo ângulo externo é o:a) pentágono b) hexágono c) octógonod) decágono e) dodecágono

6. (FUVEST) – Dois ângulos internos de um polígono convexomedem 130° cada um e os demais ângulos internos medem 128° cadaum. O número de lados do polígono é:a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e) 17

1. (UNESP-SP) – A afirmação falsa é:a) Todo quadrado é um losango.b) Existem retângulos que não são losangos.c) Todo paralelogramo é um quadrilátero.d) Todo quadrado é um retângulo.e) Um losango pode não ser um paralelogramo.

2. (UNESP-SP) – Considere as seguintes proposições:– Todo quadrado é um losango.– Todo quadrado é um retângulo.– Todo retângulo é um paralelogramo.– Todo triângulo equilátero é isósceles.Pode-se afirmar quea) só uma é verdadeira.b) todas são verdadeiras.c) só uma é falsa.d) duas são verdadeiras e duas são falsas.e) todas são falsas.

3. (CEFET-MG) – ABCD é um quadrado e ABE, um triânguloequilátero, conforme representado na figura.

A medida do ângulo B^DE, em graus, é:

a) 10 b) 15 c) 20 d) 30 e) 36

MÓDULO 7

QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS

4. (FUVEST-SP) – O retângulo a seguir, de dimensões a e b, está

decomposto em quadrados. Qual o valor da razão a/b?

a) b) c) 2 d) e)

5. (ESPM) – Uma parede retangular cujo comprimento mede o dobroda altura foi revestida com azulejos quadrados, inteiros e de mesmotamanho e, em todo o contorno externo, foi feita uma faixa decorativacom 68 peças mais escuras, como na figura abaixo.

O número de azulejos mais claros usados no interior da parede foi:a) 260 b) 246 c) 268 d) 312 e) 220

6. (UNESP-SP) – Uma certa propriedade rural tem o formato de umtrapézio, como na figura. As bases WZ e XY do trapézio medem 9,4 km e 5,7 km, respectivamente, e o lado YZ margeia um rio.

Se o ângulo X^YZ é o dobro do ângulo X

^WZ, a medida, em km, do

lado YZ que fica à margem do rio é:a) 7,5 b) 5,7 c) 4,7 d) 4,3 e) 3,7

5––3

2––3

3––2

1––2

1. (UFRJ-RJ) – Pedro está construindo uma fogueira representadapela figura abaixo. Ele sabe que a soma de x com y é 42 e que as retasr, s e t são paralelas.

A diferença x – y é igual a:a) 2 b) 4 c) 6 d) 10 e) 12

2. (PUC-RJ) – Uma reta paralela ao lado —BC de um triângulo ABC

intercepta os lados —AB e

—AC do triângulo em P e Q, respectivamente,

em que AQ = 4, PB = 9 e AP = QC. Entãoocomprimento de—AP é:

a) 5 b) 6 c) 8 d) 2 e) 1

3. (UFSM-RS) – A crise energética tem levado as médias e grandesempresas a buscar alternativas na geração de energia elétrica para amanutenção do maquinário. Uma alternativa encontrada por umafábrica foi a de construir uma pequena hidroelétrica, aproveitando acorrenteza de um rio que passa próximo às suas instalações.Observamos a figura e, admitindo que as linhas retas r, s e t sejamparalelas, podemos afirmar que a barreira mede:

a) 33 m b) 38 m c) 43 m d) 48 m e) 53 m

MÓDULO 8LINHAS PROPORCIONAIS

4. (CESGRANRIO-RJ) – No triângulo ABC da figura, —CD é a

bissetriz do ângulo interno de vértice C. Se AD = 3 cm, DB = 2 cm e AC = 4 cm, então o lado

—BC mede, em centímetros:

a) 3 b) c) d) e) 4

5. (FGV-SP) – Na figura, ABC é um triângulo com AC = 20 cm,

AB = 15 cm e BC = 14 cm.

Sendo AQ e BP bissetrizes interiores do triângulo ABC, o quociente

é igual a:

a) 0,3 b) 0,35 c) 0,4 d) 0,45 e) 0,5

5–––2

7–––2

8–––3

QR––––AR

1. (UELON-PR) – Para medir a altura de um edifício, umengenheiro utilizou o seguinte procedimento: mediu a sombra doprédio, obtendo 10,0 metros. Em seguida, mediu sua própria sombra,que resultou em 0,5 metro. Sabendo que sua altura é de 1,8 metro, elepôde calcular a altura do prédio, obtendoa) 4,5 metros. b) 10,0 metros.c) 18,0 metros. d) 36,0 metros.e) 45,0 metros.

2. (UNESP) – Uma bola de tênis é sacada de uma altura de 21 dm,com alta velocidade inicial, e passa rente à rede, a uma altura de 9 dm.Desprezando os efeitos do atrito da bola com o ar e do seu movi mentoparabólico, considere a trajetória descrita pela bola como sendoretilínea e contida num plano ortogonal à rede. Se a bola foi sacada auma distância de 120 dm da rede, a que distância desta, em metros, elaatingirá o outro lado da quadra?

3. (UFJF-MG) – Seja o triângulo de base igual a 10 m e altura iguala 5 m com um quadrado inscrito, tendo um lado contido na base dotriângulo. O lado do quadrado é, em metros, igual a:

a) b) c) d) e)

MÓDULO 9

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

10–––3

5––3

20–––7

15–––4

15–––2

4. (UNESP) – Para que alguém, com o olho normal, possa distinguirum ponto separado de outro, é necessário que as imagens dessespontos, que são projetadas em sua retina, estejam separadas uma daoutra a uma distância de 0,005 mm.

Adotando-se um modelo muito simplificado do olho humano no qualele possa ser considerado uma esfera cujo diâmetro médio é igual a 15 mm, a maior distância x, em metros, a que dois pontos luminosos,distantes 1 mm um do outro, podem estar do observador, para que esteos perceba separados, é:a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5. (UFRN) – Phidias, um arquiteto grego que viveu no século V a.C.,construiu o Parthenon com medidas que obedeceram à proporçãoáurea, o que significa dizer que EE’H’H é um quadrado e que osretângulos EFGH e E’FGH’ são semelhantes, ou seja, o lado maior doprimeiro retângulo está para o lado maior do segundo retângulo, assimcomo o lado menor do primeiro retângulo está para o lado menor dosegundo retângulo. Veja a figura abaixo.

Assim, podemos afirmar que a razão da medida da base do Parthenonpela medida da sua altura é uma raiz do polinômio:a) x2 + x + 1 b) x2 + x – 1 c) x2 – x – 1d) x2 – x + 1 e) x2 – 2x + 1

1. (FUVEST-SP) – Na figura, ––

AC ⊥––CB e

––CD ⊥

––AB.

a) Prove que os triângulos ABC, ACD e CBD são semelhantes.b) Usando essa semelhança, demonstre o Teorema de Pitágoras.

2. (FUVEST-SP) – Um trapézio retângulo tem bases 5 e 2 e altura 4.O perímetro desse trapézio é:a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

3. Calcule a diagonal de um quadrado de lado “�”.

MÓDULO 10

TEOREMA DE PITÁGORAS

4. Calcule a altura de um triângulo equilátero de lado “�”. 5. (USF-SP) – A figura seguinte representa como 5 sabonetesesféricos, tangentes uns aos outros e às paredes da caixa de secçãoquadrada, poderiam ser dispostos. Sendo 16 cm o comprimento do ladodo quadrado, então o raio do sabonete esférico central, em centímetros,mede:

a) ���2 – 1

b) 2���2 – 2

c) 4���2 – 2

d) 4���2 – 4

e) ���2

1. (CESGRANRIO) – No retângulo ABCD de lados AB = 4 e

BC = 3, o segmento—DM é perpendicular à diagonal

—AC. O segmento

—AM mede:

a) b) c) d) e) 2

2. (ITA) – Seja ABC um triângulo retângulo cujos catetos AB––

e BC––

medem 8 cm e 6 cm, respectivamente. Se D é um ponto sobre AB––

e

o triângulo ADC é isósceles, então a medida do segmento AD––

, em

centímetros, é igual a:

a) b) c) d) e)

MÓDULO 11

RELAÇÕES MÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS

9–––5

5–––2

12–––5

3–––2

3––4

15–––6

15–––4

25–––4

25–––2

3. (UNICAMP – SIMULADO) – Para trocar uma lâmpada, Robertoencostou uma escada na parede de sua casa, de forma que o topo daescada ficou a uma altura de 4 m. Enquanto Roberto subia os degraus,a base da escada escorregou por 1 m, tocando o muro paralelo à pa -rede, conforme ilustração abaixo. Refeito do susto, Roberto reparouque, após deslizar, a escada passou a fazer um ângulo de 45° com opiso horizontal.

A distância entre a parede da casa e o muro equivale a

a) (4 ��3 + 1) metros. b) (3 ��2 – 1) metros.

c) (4 ��3 ) metros. d) (3 ��2 – 2) metros.

4. (ESCOLA NAVAL-RJ) – ABCD é um quadrado de lado �. Sejam

K a semicircunferência traçada internamente ao quadrado, com diâ -

metro —CD, e T a semicircunferência tangente ao lado

—AB em A e

tangente à K. Nessas condições, o raio da semicircunferência T será:

a) b) c) d) e)5�–––6

4�–––5

2�–––3

3�–––5

�–––3

5. (UFTM) – A partir de um quadrado ABCD de lado medindo 8 cm,

desenha-se uma circunferência que passa pelos vértices A e D e é

tangente ao lado —BC. A medida do raio da circunferência desenhada,

em cm, é:

a) 4 b) 5 c) 4���2 d) 6 e) 5���2 1. Em um triângulo ABC, têm-se AB = 3, AC = 6 e BC = 7.

Esse triângulo é

a) equilátero. b) isósceles. c) retângulo.

d) acutângulo. e) obtusângulo.

2. (FUVEST) – No quadrado ABCD

de lado 12, temos AE = 13 e CF = 3.

O ângulo AEF é agudo, reto ou obtuso?

Justifique.

MÓDULO 12

RELAÇÕES MÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS QUAISQUER

3. (FUVEST) – Os lados de um triângulo medem ���5, ����10 e 5. Qual

o comprimento da altura relativa ao lado maior?

a) ���1 b) ���2 c) ���3 d) ���5 e) ����15

4. (FUVEST) – Na figura abaixo, têm-se AC = 3, AB = 4 e

CB = 6. O valor de CD é:

a) b) c) d) e) 29–––12

25–––12

23–––12

19–––12

17–––12

5. (UFPB) – Duas vilas da zona rural de um município localizam-sena mesma margem de um trecho retilíneo de um rio. Devido aproblemas de abastecimento de água, os moradores fizeramvárias reivindicações à prefeitura, solicitando a construção de umaesta ção de bombeamento de água para sanar esses problemas. Um de -senho do projeto, proposto pela prefeitura para a construção daestação, está mostrado na figura a seguir. No projeto, estão desta -cados:• Os pontos R1 e R2, representando os reservatórios de água de cada

vila, e as distâncias desses reservatórios ao rio.• Os pontos A e B, localizados na margem do rio, respectivamente,

mais próximos dos reservatórios R1 e R2.• O ponto S, localizado na margem do rio, entre os pontos A e B,

onde deverá ser construída a estação de bombeamento.

Com base nesses dados, para que a estação de bombeamento fique auma mesma distância dos dois reservatórios de água das vilas, adistância entre os pontos A e S deverá ser de:a) 3 775 m b) 3 825 m c) 3 875 md) 3 925 m e) 3 975 m

1. (UNESP) – Defina baricentro de um triângulo.

2. (ESAM) – O segmento da perpendicular tra ça da de um vértice de

um triângulo à reta suporte do lado oposto é denominado altura. O

ponto de intersec ção das três retas suportes das alturas do triângulo é

chamado

a) baricentro. b) incentro. c) circuncentro.

d) ortocentro. e) mediano.

3. Na figura ao lado, o ponto I é o

centro da circunfe rência inscrita no

triângulo ABC.

Pode-se afirmar que

a) I é o baricentro do triângulo ABC.

b) I é o ortocentro do triângulo ABC.

c) I é o ponto de intersecção das medianas do triân gulo ABC.

d) I é o ponto de intersecção das bissetrizes dos ân gulos internos do

triângulo ABC.

e) I é o ponto de intersecção das mediatrizes dos la dos do triângulo

ABC.

MÓDULO 13

LUGARES GEOMÉTRICOS

4. Na figura ao lado, o ponto C é o centro

da circunferência circunscrita ao triângulo

DEF.

Pode-se afirmar que

a) C é o baricentro do triângulo DEF.

b) C é o incentro do triângulo DEF.

c) C é o ponto de intersecção das medianas do triân gulo DEF.

d) C é o ponto de intersecção das alturas do triân gulo DEF.

e) C é o ponto de intersecção das mediatrizes dos la dos do triângulo

DEF.

5. Os quatro pontos notáveis de um triângulo são alinha dos. Esse

triân gulo é, necessariamente,

a) isósceles. b) acutângulo. c) retângulo.

d) obtusângulo. e) equilátero.

6. Assinale a afirmação falsa.

a) Os pontos notáveis de um triângulo equilátero são coincidentes.

b) O incentro de qualquer triângulo é sempre um ponto interno.

c) O ortocentro de um triângulo retângulo é o vértice do ângulo reto.

d) O circuncentro de um triângulo retângulo é o ponto médio da

hipotenusa.

e) O baricentro de qualquer triângulo é o ponto médio de cada me -

diana.

1. (MACKENZIE) – Se, na figura, T é o incentro do triân gulo MNP,

a medida do ângulo α é:

a) 45° b) 50°

c) 60° d) 70°

e) 80°

MÓDULO 14

PONTOS E SEGMENTOS NOTÁVEIS NO TRIÂNGULO

2. (FUVEST) – Na figura, ABCD é um quadrado de 6 cm de lado,

M é o ponto médio do lado —DC e A é o ponto médio de

—PC.

Calcule a medida do segmento ––DN.

3. (UNIFESP) – Tem-se um triângulo equilátero em que cada lado

mede 6 cm. O raio do círculo circunscrito a esse triângulo, em

centímetros, mede:

a) ���3 b) 2���3 c) 4 d) 3���2 e) 3���3

4. (CFT-CE) – No triângulo ABC da figura a seguir, as medianas quepartem de A e de B são perpendiculares.

Se BC = 8 e AC = 6, então AB é igual a:

a) 3��6 b) 4��3 c) 12��7 d) 2��5 e) 4��2

5. (FGV-SP) – As medianas —BD e

—CE do triângulo ABC in dicado na

figura são perpendiculares, BD = 8 e CE = 12. Assim, a área do

triângulo ABC é:

a) 96 b) 64 c) 48 d) 32 e) 24

Nos exercícios de 1 a 3, determinar o valor de α, associando-o comas seguintes alternativas:a) 40° b) 45° c) 50° d) 80° e) 85°

1.

2. (MACKENZIE)

3.

4. (MACKENZIE) – Na figura, as circunferências têm o mesmo

centro O e os menores arcos �AB e

�EF são tais que

�AB =

�EF = 40°.

A medida do menor arco�CD é

a) 50° b) 70° c) 65°

d) 60° e) 80°

5. (UFMG) – Observe a figura.

Nessa figura, ––BD é um diâmetro da

circun ferência circunscrita ao triân -

gulo ABC, e os ângulos ABD e AED

medem, respectivamente, 20° e 85°.

Assim sendo, o ângulo CBD mede

a) 25° b) 35° c) 30° d) 40°

MÓDULO 15

ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA

6. (MACKENZIE-2012)

Na figura, se a circunferência tem centro O e BC = OA, então a razãoentre as medidas dos ângulos AÔD e CÔB é

a) b) c) 2 d) e) 3

1. Com os dados da figura, provar que PA. PB = PC . PD.

2. Com os dados da figura, prove que PA . PB = PC . PD.

3. (FUVEST) – O valor de x, na figura abaixo, é

a) 20/3

b) 3/5

c) 1

d) 4

e) 15

5–––2

3–––2

4–––3

MÓDULO 16

POTÊNCIA DE UM PONTO EM RELAÇÃO A UMA CIRCUNFERÊNCIA

4. (ITA) – Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os seg -

mentos –––EA e

–––ED interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e

C e D, respectivamente. A corda –––AF da circunferência intercepta o

segmento –––ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = 3 e

AG = 6, então GF valea) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5. (FGV-2012) – As cordas —AB e

—CD de um círculo são perpen -

diculares no ponto P, sendo que AP = 6, PB = 4 e CP = 2. O raio dessecírculo mede

a) 5. b) 6. c) 3���3. d) 4���2. e) 5���2.

6. (ENEM) – Uma metalúrgica recebeu uma encomenda parafabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de umprisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de talmaneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto sejatangente às suas faces laterais, conforme mostra a figura.

O raio da perfuração da peça é igual aa) 1 cm. b) 2 cm. c) 3 cm.d) 4 cm. e) 5 cm.

1. (MACKENZIE-2012) – As medidas dos lados de um triângulo

retângulo estão em progressão aritmética. Se a área do triângulo é

, o seu perímetro é

a) 12 b) c) 4 d) 2 e)

2. (FGV) – O monitor de um notebook tem formato retangular com

a diagonal medindo d. Um lado do retângulo mede do

outro. A área do monitor é dada por:

a) 0,50d2 b) 0,46d2 c) 0,52d2

d) 0,48d2 e) 0,44d2

3. (FUVEST) – Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetosBC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto AB

––, o

ponto E pertence ao cateto ––

BC e o ponto F pertence à hipo tenusa ––

AC,de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3/2, então a área do paralelogramo DECF vale

a) b) c) d) e)

MÓDULO 17

ÁREA DAS FIGURAS PLANAS

1–––6

5–––6

7–––6

3–––4

63–––25

12–––5

58–––25

56–––25

11–––5

4. (MACKENZIE-2012) – Na figura, os raios das circunferênciasde centros M e N são, respectivamente, 2r e 5r. Se a área doquadrilátero AMBN é 16���6, o valor de r é

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5. (FUVEST) – Na figura, o triangulo ABC e equilatero de lado 1, e ACDE, AFGB e BHIC sao quadrados. A area do polígonoDEFGHI vale

a) 1 + ��3 b) 2 + ��3 c) 3 + ��3d) 3 + 2��3 e) 3 + 3��3

1. (MACKENZIE)

Os arcos da figura foram obtidos com centros nos vérticesdo quadrado de lado 3. Considerando π = 3, a soma das medidasdesses arcos éa) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

2. (UNICAMP-2012) – Um vulcão que entrou em erupção gerouuma nuvem de cinzas que atingiu rapidamente a cidade de RioGrande, a 40 km de distância. Os voos com destino a cidades situadasem uma região circular com centro no vulcão e com raio 25% maiorque a distância entre o vulcão e Rio Grande foram cancelados. Nessecaso, a área da região que deixou de receber voos éa) maior que 10000 km2.b) menor que 8000 km2.c) maior que 8000 km2 e menor que 9000 km2.d) maior que 9000 km2 e menor que 10000 km2.

3. (FUVEST) – Na figura seguinte, estão re pre sen tados um qua -drado de lado 4, uma de suas diagonais e uma semicir cunferência deraio 2. Então a área da região hachurada é

a) + 2

b) π + 2

c) π + 3

d) π + 4

e) 2π + 1

MÓDULO 18

ÁREA DAS FIGURAS CIRCULARES

π–––2

4. (MACKENZIE-2012) – Na figura, os catetos do triângulo me -dem 3 e 4 e o arco de circunferência tem centro A. Dentre as alter -nativas, fazendo π = 3, o valor mais próximo da área assinalada é:

a) 3,15 b) 2,45 c) 1,28 d) 2,60 e) 1,68

5. (FGV-2012) – Cada um dos 7 círculos menores da figura a seguirtem raio 1 cm. Um círculo pequeno é concêntrico com o círculogrande, e tangencia os outros 6 círculos pequenos. Cada um desses 6outros círculos pequenos tangencia o círculo grande e 3 círculospequenos.

Na situação descrita, a área da região sombreada na figura, em cm², éigual a

a) π b) c) 2π d) e) 3π3π–––2

5π–––2

(ITA) Seja ABC um triângulo isósceles de base BC. Sobre o lado AC deste triângulo considere um ponto D tal que os segmentos AD, BD e BC são

todos congruentes entre si. A medida do ângulo BÂC é igual a:

a)23º b)32º c)36º d)40º e)45º

Primeiramente, vamos desenhar um triângulo isósceles de base BC. Observe a foto abaixo. Como o triângulo é isósceles de base BC então os

lados AC e AB são congruentes e consequentemente os ângulos nos vértices B e C são congruentes.

Agora, vamos tomar o ponto D sobre o lado AC de forma que: os segmentos AD, BD e BC são todos congruentes entre si

Agora observe a figura com o ponto D e os lados congruentes destacados com as marcas de congruência.

Agora, no ΔABD temo que: BD=AD, assim, o ΔABD é isósceles de base AB, logo sendo x a medida do ângulo Â, temos que a medida do ângulo

no vértice B neste triângulo é igual a x também. No ΔBCD, temos que BD=BC, logo o ângulo D neste triângulo vale Θ. Assim, observe os

triângulos com as conclusões feitas até o momento.

Agora, vamos resolver a questão:(Lembrar do teorema do ângulo externo e que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual

a 180º). No ΔABC, temos:

No ΔABD, pelo teorema do ângulo externo dos triângulo, temos que:

Assim, por I e II temos que: