Geometria e Álgebra

MGattass

Motivação:Geometria de objetos gráficos

MGattass

Motivação: algoritmo de Traçado de Raios

xo

yo

zo

Luz

Objetos

Câmara

Pixel(RGB)

Iluminação

xe

ye

ze

MGattass

x

y

Coordenadas CartesianasPlano ou R2

y

x

y

xp

0

Ryxquetal

y

xR ,2

MGattass

Coordenadas CartesianasEspaço ou R3

Rzyxquetal

z

y

x

R ,,3

y

x

z

0

z

y

x

p

MGattass

Soma de vetores

y

2

22 y

xp

xx2

y2

0 x1+x2x1

1

11 y

xp

y1

y1+y2

p 1+p 2

21

21

2

2

1

121 yy

xx

y

x

y

xpp

1221 pppp

MGattass

Produto de vetor por escalar

y

xp

y

x0 x

y

a < 0

ya

xa

y

xaap

0 < a < 1 a > 1

ax

ay

MGattass

Distância entre vetores

212

2121221 )()(),( yyxxdist pppp

12

12

1

1

2

212 yy

xx

y

x

y

xpp

y

xx1

y1

0 x2

y2

p2

12 pp

p 2-p

1

-p1

(x2-x1)

(y2-y1)

p1

MGattass

Aplicação: Esfera

rdist ),( cp

rzzyyxx cc 2220 )()()(cp

220

20

20 )()()( rzzyyxx

MGattass

Propriedades Gerais de Espaços Vetoriais

1. Comutatividade: p + q = q + p

2. Associatividade:(p + q)+r = p + ( q + r)

3. Vetor nulo: p + 0 = 0+ p = p

4. Inverso aditivo: p + (- p) = 0

5. Distributividade: (a+b)p = a p + b p e a(p + q) =a p +a q

6. Multiplicação por 1: 1. p = p

MGattass

Espaço Vetorial Funções de [a,b]R

Comutatividade: p + q= q + p

Associatividade: (p + q)+r= p + (q + r)

Vetor nulo: p + 0 = 0+ p = p

Inverso aditivo: p + (- p) = 0

Distributividade: (a+b)p = a p + b p e a(p + q) =a p +a q

Multiplicação por 1: 1. p = p

F(x)

G(x) (F+G)(x)=F(x)+G(x)

(aF)(x)=aF(x)

a bb

a

dxxFF 2)(x

F, G

MGattass

Espaço Vetorial Matrizes Rnm

nmnn

m

m

ij

ccc

ccc

ccc

c

21

22221

11211

C

nmnn

m

m

ij

ddd

ddd

ddd

d

21

22221

11211

D

nmnmnnnn

mm

mm

ijij

dcdcdc

dcdcdc

dcdcdc

dc

2211

2222222121

1112121111

DC

Soma:

nmnn

m

m

ij

acacac

acacac

acacac

aca

21

22221

11211

C

Produto por escalar:

MGattass

Matrizes especiais

000

000

000

0

100

010

001

I

n

n

d

d

d

ddddiag

000

0

00

00

),,,( 2

1

21

MGattass

Matrizes especiais (cont)

nnn

n

n

sss

sss

sss

simétricas

211

22212

11211

0

0

0

21

212

112

nn

n

n

aa

aa

aa

simétricasanti

MGattass

Combinação Linear

m

iiinn aaaa

12211 ppppp

00 212211 nnn aaaaaa ppp

Independência linear:

MGattass

Base Canônica ijk

0

1

0

j

1

0

0

k

0

0

1

001 kjii

x

y

z

ij

k

xi yj

zk

z

y

x

zyx kjip

MGattass

Aplicações: retas e planos

0p

ddpp t 0

0pud

vd

vu vu ddpp 0

MGattass

Aplicação: Série de Fourier

mxbnxaaxfm

mn

n sincos)(11

0

x

f(x)

-

MGattass

Combinação Convexa

4321 )1(),,( ppppp cbacbacba p1

p2

p3

p4

p1 p2

21 )1()( ppp aaa

p(a)

321 )1(),( pppp bababa

p1 p2

p3

p(a,b)

0,,0,0

1

21

21

n

n

aaa

eaaa

m

iiia

1

pp

MGattass

Generalização de Norma

0p para todo Vp

0p se e somente se 0p

qpqp para todo Vqp,

pp aa para todo VRa p,

MGattass

Outras normas no Rn

222

21 nxxx p

n

iix

11

p

i

n

ix

0max

p

pn

i

p

ipx

/1

0

p

MGattass

Norma: aplicações

1221 ),( pppp dist

pp

p1

ˆ Unitário:

Distância:

MGattass

Normas de função

F(x)

a b

b

a

dxxFab

F 2

2)(

1

x

F

)(max xFFb

ax

MGattass

Distância e erro

F(x)

a b x

F, GG(x)

G(x) -F(x)

)()(max xGxFGFb

ax

b

a

dxxGxFab

GF 2

22 )()(1

2

MGattass

Distância entre superfícies

SSd qqpp ,min)(

1221 ),(max)( SSdSds pp

)(,)(max),( 1212121 SdSdSSd ssH

distância de Hausdorff

MGattass

Produto interno:definição geomética

20cos ppppp

2p

1p

2121 pppp desigualdade de Schwarz

cos2121 pppp

ppp

MGattass

Produto interno:expressão algébrica

1p

212121 yyxx pp

2p

21212121 zzyyxx pp

kjikjipp 22211121 zyxzyx

kkjkik

kijiiipp

212121

21212121

zzyzxz

zxyxxx

ij

k

0

1

jkkjikkiijji

kkjjii

no R2

MGattass

Produto interno:definição algébrica

1p

212121 yyxx pp

2p

xzyx 001ip

x

p

x

xi

21212121 zzyyxx pp

kjikjipp 22211121 zyxzyx

kkjkik

kijiiipp

212121

21212121

zzyzxz

zxyxxx

MGattass

Aplicações do produto interno:cálculo de ângulos

2p

1p

21

21cospp

pparc

cos2121 pppp

21 ˆˆcos uu arc 1u

2u

MGattass

Aplicações do produto interno: projeção na direção ...

np ppp

nnppp ˆ)ˆ( p

np ppp p

pp

np

n

n

p

cospnp nnpp ˆ)ˆ( n

Projeção na direção de :n

Projeção na direção perpendicular a :n

MGattass

Aplicação do produto internoreflexão de um vetor

p r

pph n

h h

pn

hpr n

n nnpp ˆ)ˆ( n

ppr n2

pnnpr ˆ)ˆ(2

MGattass

0

Aplicações do produto interno:equação de um plano normal a

que dista d da origem

x

y

zd

c

b

a

n

z

y

x

p

ppnp

dczbyax

np ppp

)(ˆˆ np ppnpn

dn pnpn ˆˆ

0 dczbyax

n

MGattass

Aplicações do produto interno:posição de um ponto em relação a um plano

dpn

dczbyax

0 dczbyax0

x

y

zd

z

y

x

p

c

b

a

n

lado positivo

0 dczbyax lado negativo

dczbyaxplanodist ),(p

MGattass

Aplicações do produto interno:posição de um ponto em relação a

uma reta no R2

x

y

0),( yxF

F x y( , ) 0

0),( yxF

b

an

dbyaxdyxF pn),(

y

xp

d

MGattass

Produto interno:generalização

qpqpqpp ,',,'

qpqp ,, aa

',,', qpqpqqp

qpqp ,, aa

Comutatividade (simetria): pqqp ,,

Positividade: ,0, pp só é igual a zero se p=0

RVV :,

Bilinearidade:

MGattass

Produto interno e norma de funções

b

a

dxxGxFab

GF )()()(

1,

2

b

a

dxxFab

FFF 2)(1

,

MGattass

Ortogonaliadade das funções da base de Fourier

0)cos()sin(

,0)cos()cos(

,0)sin()sin(

dxnxmx

nmsedxnxmx

nmsedxnxmx

mxbnxaaxfm

mn

n sincos)(11

0

MGattass

Bases ortonormais

{p1, p2, ...,pn}

jise

jiseijji 1

0, pp

Seja

tal que

00 212211 nnn aaaaaa ppp

então:

MGattass

Produto Vetorial

p1

sen21 ppp

p2

21 ppp

MGattass

Produto Vetorial

kjippp )()()( 21212121212121 xyyxxzzxyzzy

0

0

0

ij

ik

jki j ki k

ijk

×

kjikjippp 22211121 zyxzyx

kkjiiippp 21212121 zzyxxx

p1

sen21 ppp

p2

21 ppp

MGattass

Produto Vetorialforma de lembrar

kjippp )()()( 21212121212121 xyyxxzzxyzzy

222

11121

zyx

zyx

kji

pp

kjipp22

11

22

11

22

1121 yx

yx

zx

zx

zy

zy

MGattass

Matriz do produto vetorial

xaya

zaxa

yaza

yx

xz

zy

pa

z

y

x

aa

aa

aa

xaya

zaxa

yaza

xy

xz

yz

yx

xz

zy

0

0

0

pa

0

0

0

xy

xz

yz

aa

aa

aa

a

MGattass

Produto vetorial aplicados 2 vezes

z

y

x

aa

aa

aa

a

a

a

xy

xz

yz

z

y

x

0

0

0

paa

z

y

x

aa

aa

aa

aa

aa

aa

xy

xz

yz

xy

xz

yz

0

0

0

0

0

0

paa

22

22

22

yxzyzx

zyzxyx

zxyxzy

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaa

aa

22

22

22

a

a

a

aa

zzyzx

zyyyx

zxyxx

aaaaa

aaaaa

aaaaa

a ppa

paa

MGattass

Aplicações do produto vetorial:movimento de um corpo rígido

)()()()( tttt BAAB pvv

e

BAp

p

||p

t

A

B

B’

e

rv p

p sinp

t

p B

B’ Bv

Bv

MGattass

Aplicações do produto vetorial:áreas e normais

21

21

pp

ppsenarc

p1

h hárea 122

1v

Cálculo de ângulos

Cálculo de áreas e normais

p2

p3

v13

v12

1312 vvn normal

senárea 13122

1vv

13122

1vv área

MGattass

Aplicações do produto vetorial:interior e exterior

p1

0)( 112 ppvn i

p2

p3

2312 vvn

v31

v12

v23

pe

pi

0)( 112 pppn e

MGattass

Aplicações do produto vetorial:orientação e consistência de malha

p1

p2

p3

v31

v12

2312 vvn

v23

p4

p7

p5 = p6

p1 p2 p3

p1 p3 p7

p1 p2 p4

p4 p5 p6

p4 p5 p2

0

0

0

0

5245

5645

2412

3713

vvn

vvn

vvn

vvn

MGattass

Produto misto

u

v

w

wv

h

wvbasedaárea

wv

wvu

altura

wvu alturabaseV

MGattass

Produto Misto e Determinante

Mostre que:

yx

yxz

zx

zxy

zy

zyx ww

vvu

ww

vvu

ww

vvu detdetdetwvu

zyx

zyx

zyx

www

vvv

uuu

wvu

T

yx

yx

zx

zx

zy

zyTzyx ww

vv

ww

vv

ww

vvuuu

detdetdetwvu

c.q.d.

MGattass

Produto Mistopropriedade

wvuwvu Mostre que:

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

www

vvv

uuu

vvv

www

uuu

vvv

uuu

www

wvu

MGattass

FIM

MGattass

Revisão do 2o grau que não entrou no capítulo

MGattass

Produto de Matrizes

q

kkjikij bac

1

qmqq

m

m

nqnn

q

q

bbb

bbb

bbb

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

21

22221

11211

ABC

100

010

001

Ineutro:

MGattass + + +

Determinante

'11A '

12A '13A

2221

1211

aa

aaA

22212211det aaaa AA

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

3231

222113

3331

232112

)21(

3332

232211

)11( )1()1()1(detaa

aaa

aa

aaa

aa

aaa AA

223113322113233112332112233211332211det aaaaaaaaaaaaaaaaaa AA

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

- - -

3231

2221

1211

aa

aa

aa

MGattass

Determinante

'11A '

12A '13A

O(n!)

223113322113233112332112233211332211det aaaaaaaaaaaaaaaaaaAA

nicacacaA ininiiii ,1,det 2211

ijji

ji Mc det)1( )(,

caso geral:

2221

1211

aa

aaA

12212211det aaaa AA

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

3231

222113

3331

232112

)21(

3332

232211

)11( )1()1()1(detaa

aaa

aa

aaa

aa

aaa AA

MGattass

Inversa

IAAAAA 111

jiji

ij MA

a )1(11

O(n!)

BAXBAX 1

inversa:

solução de sistemas de equações lineares:

2221

1211

aa

aaA

1121

1222

12212211

1 1

aa

aa

aaaaA

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

2221

1211

3331

1311

3231

2121

3331

1311

3331

1311

3331

2321

1312

1312

3332

1312

3332

2322

1 1

aa

aa

aa

aa

aa

aaaa

aa

aa

aa

aa

aaaa

aa

aa

aa

aa

aa

AA

MGattass

Exercício: inversa

2302

10102

1023

M ?1 M

adjMM

M)det(

11

1)00121

21(002

3123)det( M

2302

1010

2102

3

adjM

2302

1010

2102

3

adjM

MGattass

Decomposição de matrizes

Decomposição LDU:LDUA O(n3)

i

iidDUDLA 11 O(n3)

Ou seja para n pequenos (≤4) podemos utilizar as fórmulas diretas, mas para n maiores devemos primeiro fazer uma decomposição tipo LDU.

c

b

a

cbadiagD

00

00

00

),,(

1**

01*

001

L

100

*10

**1

U

Determinante: