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GA3X1 - Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof. Lilian Candido

6 Estudo analítico de cônicas e quádricas

6.1 Parábola, elipse e hipérbole

6.1.1 Parábola

Sejam r uma reta e F um ponto não pertencente a ela. O lugar geométrico P dospontos equidistantes de F e r chama-se parábola.

b

b

V

F

r

Xb

p

p

Considerando a figura, tem-se os seguintes elementos da parábola P :

Foco: ponto F

Diretriz: reta r

Parâmetro: número positivo p tal que d(F, r) = 2p

Eixo: reta que contém o foco e é perpendicular à diretriz

Vértice: ponto V de interseção da parábola com o seu eixo

Corda: qualquer segmento cujas extremidades (distintas) pertençam à parábola

Amplitude focal: comprimento da corda que contém o foco e é perpendicular ao eixo

Triângulo fundamental: triângulo V AB, onde A e B são as extremidades da corda quecontém o foco da parábola e é perpendicular ao seu eixo; trata-se de um triânguloequilátero isósceles, de base igual à amplitude focal e altura igual ao parâmetro p

Para obter a equação da parábola, consideremos um sistema de coordenadas carte-siano xOy e uma parábola cujo vértice é a origem do sistema de coordenadas e cujo focopertence ao semi-eixo positivo das ordenadas y:

x

y

b

b

V

F (0, p)

r

X(x, y)b

p

p

1


Se um ponto X = (x, y) do espaço pertence à parábola P , então

d(X,F ) = d(X, r)

√

x2 + (y − p)2 = |y + p|x2 + (y − p)2 = (y + p)2

x2 + y2 − 2py + p2 = y2 + 2py + p2

ou, simplesmente,x2 = 4py

Esta equação é chamada equação reduzida da parábola P . Indica-se P : x2 = 4py.Podemos obter equações tão simples quanto esta optando por outros sistemas de

coordenadas: o segredo é tomar o vértice V como origem e escolher os eixos de modoque o foco pertença a um deles. Assim, podemos ter os seguintes casos, incluindo o jámostrado, de parábolas com vértice na origem do sistema de coordenadas:

- parábola com vértice na origem e foco no semi-eixo positivo das ordenadas:

x

y

b

b

V

F

r

p

p

P : x2 = 4py

- parábola com vértice na origem e foco no semi-eixo negativo das ordenadas:

x

y

b

b

V

F

rp

p

P : x2 = −4py

2


- parábola com vértice na origem e foco no semi-eixo positivo das abscissas:

x

y

b bV F

r

p p

P : x2 = −4py

- parábola com vértice na origem e foco no semi-eixo negativo das abscissas:

x

y

bbVF

r

p p

P : x2 = −4py

Exercício 6.1: Obtenha o parâmetro, o foco e a diretriz das parábola P , nos casos:

a) P : y2 = 5x

3


b) P : y2 = −5x

c) P : y = 10x2

d) P : y + x2 = 0

Exercício 6.2: Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da parábola de vértice(0, 0).

a) O parâmetro é 2 e o foco está no semi-eixo positivo das abscissas.

4


b) O parâmetro é 18

e o foco está no semi-eixo negativo das ordenadas.

c) A diretriz é r : x− 1 = 0

6.1.2 Elipse

Sejam F1 e F2 pontos distintos, d(F1, F2) = 2c e a um número real tal que a > c. Olugar geométrico E dos pontos X tais que d(X,F1) + d(X,F2) = 2a chama-se elipse.

b b

b

b b

b

b

F1 F2

X

CA1 A2

B1

B2

c

b a

Considerando a figura, tem-se os seguintes elementos da elipse E:

Focos: pontos F1 e F2

Segmento focal: segmento F1F2

Centro: ponto médio C do segmento focal

Distância focal: distância 2c entre os focos

Reta focal: reta F1F2

5


Corda: qualquer segmento cujas extremidades (distintas) pertençam à elipse

Vértices: pontos A1, A2, B1, B2

Eixo maior: segmento A1A2, de comprimento 2a

Eixo menor: segmento B1B2, de comprimento 2b

Amplitude focal: comprimento de uma corda que contém um foco e é perpendicular aosegmento focal

Coroa fundamental: coroa circular de raios a e b

Observação: Em toda elipse, vale a relação: a2 = b2 + c2.

Equação da elipse

Para obter a equação da elipse E, consideremos um sistema de coordenadas carte-siano xOy e uma elipse cujo centro é a origem do sistema de coordenadas e cujos focospertencem ao eixo das abscissas Ox:

b b

b

F1(−c, 0) F2(c, 0)

X(x, y)

x

y

Se um ponto X = (x, y) do espaço pertence à elipse E, então

d(X,F1) + d(X,F2) = 2a

√

(x+ c)2 + y2 +√

(x− c)2 + y2 = 2a√

(x+ c)2 + y2 = 2a−√

(x− c)2 + y2

(x+ c)2 + y2 = 4a2 − 4a√

(x− c)2 + y2 + (x− c)2 + y2

x2 + 2cx+ c2 = 4a2 − 4a√

(x− c)2 + y2 + x2 − 2cx+ c2

4a√

(x− c)2 + y2 = 4a2 − 4cx

a2[

(x− c)2 + y2]

= a2 − cx

a2x2 − 2a2cx+ a2c2 + a2y2 = a4 − 2a2cx+ c2x2

a2x2 + a2c2 + a2y2 = a4 + c2x2

a2x2 − c2x2 + a2y2 = a4 − a2c2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

Mas, a2 = b2 + c2, que implica em a2 − c2 = b2. Então, a equação fica:

b2x2 + a2y2 = a2b2

6


Dividindo a equação por a2b2, obtemos

x2

a2+

y2

b2= 1

Esta equação é chamada equação reduzida da elipse E. Indica-se E :x2

a2+

y2

b2= 1.

Poderíamos ter, também, uma elipse com centro na origem do sistema de coordena-das, e focos sobre o eixo das ordenadas. Assim, podemos ter os seguintes casos, incluindoo já mostrado:

- elipse com centro na origem do sistema e focos sobre o eixo das abscissas x

b b

F1 F2 x

y

E :x2

a2+

y2

b2= 1

- elipse com centro na origem do sistema e focos sobre o eixo das ordenadas y

b

b

F1

F2

y

x

E :x2

b2+

y2

a2= 1

Tendo em vista que a2 = b2 + c2, segue-se que a > b.Então, sempre o maior dos denominadores na equação reduzida da elipse representa

o número a2, onde a é a medida do semi-eixo maior.Além disso, se na equação da elipse o número a2 é denominador de x2, a elipse tem

seu eixo maior sobre o eixo das abscissas x. Por outro lado, se a2 é denominador de y2, aelipse tem seu eixo maior sobre o eixo das ordenadas y.

Excentricidade da elipse

A excentricidade da elipse é o número dado por

e =c

a

Tendo em vista que c < a, tem-se: 0 < e < 1, sendo que:

7


• Se e está próximo de 0, tem-se uma elipse mais arredondada, aproximando-se deuma circunferência.

• Se e está próximo de 1, tem-se uma elipse mais alongada, aproximando-se de umsegmento de reta.

Exercício 6.3: Mostre que a equação dada, em cada caso, descreve uma elipse de centroO e focos em Ox ou Oy. Calcule as medidas dos eixos maior e menor e a distância focal.Escreva as coordenadas dos vértices e dos focos.

a) 16x2 + y2 = 1

b) 25x2 + 169y2 = 9

8


Exercício 6.4: Em cada caso, obtenha uma equação reduzida da elipse E.

a) E tem centro O e focos em Ox; o eixo maior mede 10, e a distância focal é 6.

b) Os focos são F1(−4, 0) e F2(4, 0), e o eixo maior tem medida 10.

9


c) Os focos são F1(0,−2) e F2(0, 2), e o eixo menor tem medida 4.

d) P = (2, 3), Q = (−2,−3) e R = (2,−3) são vértices do retângulo fundamental deE.

10


6.1.3 Hipérbole

Sejam F1 e F2 pontos distintos, d(F1, F2) = 2c, e a um número real tal que 0 < a < c.O lugar geométrico H dos pontos X tais que |d(X,F1)−d(X,F2)| = 2a chama-se hipérbole.

b b

b

b b

b

b

F1 F2

X

A1 A2

B1

B2

a

bc

Considerando a figura, tem-se os seguintes elementos da hipérbole H:

Focos: pontos F1 e F2

Segmento focal: segmento F1F2

Centro: ponto médio C do segmento focal

Distância focal: medida 2c do segmento focal

Reta focal: reta F1F2

Corda: qualquer segmento cujas extremidades (distintas) pertencem à hipérbole

Vértices: pontos A1 e A2

Eixo transverso: segmento A1A2

Eixo conjugado: segmento B1B2

Amplitude focal: comprimento de uma corda que contém um foco e é perpendicular aosegmento focal

Observação: Em toda elipse, vale a relação: a2 = b2 + c2.

Consideremos, agora, uma circunferência de raio c cujo centro é o centro C dahipérbole. Tomemos um valor arbitrário para a e marquemos os vértices A1 e A2 dahipérbole. Por estes pontos tracemos perpendiculares ao diâmetro F1F2. As interseçõesdestas perpendiculares com a circunferência são os vértices de um retângulo MNPQ, quetem dimensões 2a e 2b, chamado de retângulo fundamental das hipérbole.

11


b bb b

b

b

F1 F2A1 A2

B1

B2M N

PQ

a

bc

As retas que contêm as diagonais do referido retângulo chamam-se assíntotas dahipérbole, das quais a hipérbole se aproxima à medida que os pontos de afastam dos focos.

Equação da hipérbole

Para obter a equação da hipérbole, consideremos um sistema de coordenadas car-tesiano xOy e uma hipérbole cujo centro é a origem do sistema de coordenadas e cujosfocos pertencem ao eixo das abscissas x:

b b

b

F1(−c, 0) F2(c, 0)

X(x, y)

x

y

Se um ponto X(x, y) do espaço pertence à hipérbole H, então

|d(X,F1) + d(X,F2)| = 2a

d(X,F1) + d(X,F2) = ±2a√

(x+ c)2 + y2 +√

(x− c)2 + y2 = ±2a√

(x+ c)2 + y2 = ±2a−√

(x− c)2 + y2

(x+ c)2 + y2 = 4a2 ± 4a√

(x− c)2 + y2 + (x− c)2 + y2

x2 + 2cx+ c2 = 4a2 ± 4a√

(x− c)2 + y2 + x2 − 2cx+ c2

12


±4a√

(x− c)2 + y2 = 4a2 − 4cx

a2[

(x− c)2 + y2]

= a2 − cx

a2x2 − 2a2cx+ a2c2 + a2y2 = a4 − 2a2cx+ c2x2

a2x2 + a2c2 + a2y2 = a4 + c2x2

a2x2 − c2x2 + a2y2 = a4 − a2c2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

Multiplicando a equação acima por −1, temos

(c2 − a2)x2 − a2y2 = a2(c2 − a2)

Mas, a2 + b2 = c2, que implica em b2 = c2 − a2. Então, a equação fica:

b2x2 − a2y2 = a2b2

Dividindo a equação por a2b2, obtemos

x2

a2− y2

b2= 1

Esta equação é chamada equação reduzida da hipérbole H.

Indica-se H :x2

a2− y2

b2= 1.

Poderíamos ter, também, uma hipérbole com centro na origem do sistema de co-ordenadas, e focos sobre o eixo das ordenadas. Assim, podemos ter os seguintes casos,incluindo o já mostrado:

- hipérbole com centro na origem do sistema e focos sobre o eixo das abscissas x

b b

F1 F2 x

y H :x2

a2− y2

b2= 1

Assíntotas: y = ± bax

13


- hipérbole com centro na origem do sistema e focos sobre o eixo das ordenadas y

b

b

F1

F2

x

y

H : −x2

b2+

y2

a2= 1

Assíntotas: y = ±abx

Excentricidade a hipérbole

Chama-se excentricidade da hipérbole ao número e dado por

e =c

a

Como c > a, então e > 1.

• Quando e está próximo de 1, c está próximo de a, e a medida b do semi-eixo imagi-nário está próxima de zero. Neste caso, os ramos da hipérbole são mais fechados.

• Quando e é muito maior que 1, c é muito maior que a, a medida b do semi-eixoimaginário é muito grande. Neste caso, os ramos da hipérbole são mais abertos.

Exercício 6.5: Mostre que a equação dada, em cada caso, descreve uma hipérbole decentro O e focos em Ox ou Oy. Calcule as medidas dos eixos transverso e conjugado ea distância focal. Escreva as coordenadas dos vértices, dos focos e das extremidades doeixo conjugado.

a) 25x2 − 144y2 = 9

14


b) 16x2 = y2 − 1

Exercício 6.6: Em cada caso, obtenha uma equação reduzida da hipérbole H e equaçõesde suas assíntotas.

a) Os focos são F1(−√13, 0), F2(

√13, 0), e a medida do eixo transverso é 6.

15


b) Um foco é F1(0,−√11), o centro é a origem, e o eixo conjugado mede 2

√7.

c) A distância focal é√20, os focos pertencem a Oy, e uma das assíntotas tem equação

y + 3x = 0.

16


6.2 Seções Cônicas

Sejam duas retas e e r concorrentes em O e não perpendiculares. Conservemos fixaa reta e e façamos r girar 360o em torno de e mantendo constante o ângulo entre as retas.Nestas condições, a reta r gera uma superfície cônica circular infinita formada por duasfolhas separadas pelo vértice O.

Chama-se seção cônica ao conjunto de pontos que formam a interseção de um planocom a superfície cônica. Quando uma superfície cônica é seccionada por um plano π

qualquer que não passa pelo vértice O, a seção cônica será:

- uma circunferência se π for perpendicular ao eixo e da superfície

- uma elipse se π for oblíquo ao eixo e, cortando apenas uma das folhas da superfície

- uma parábola se π for paralelo a uma geratriz da superfície

17


- uma hipérbole se π for paralelo ao eixo e

No caso de o plano π passar pelo vértice O, obtemos as cônicas degeneradas:

- um ponto se π só tem o ponto O em comum com a superfície

- uma reta se π tangencia a superfície cônica

- duas retas se π forma com o eixo um ângulo menor do que este faz com a geratriz.paralelo a uma geratriz da superfície

6.3 Definição de Cônica

Fixado um sistema ortogonal de coordenadas, chama-se cônica o lugar geométricodos pontos X = (x, y) que satisfazem uma equação de segundo grau g(x, y) = 0, em que

g(x, y) = Ax2 + Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F

A condição sobre o grau significa que ao menos um dos números A,B,C é diferentede zero. Dizemos que Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F = 0 é uma equação da cônica; Ax2,Bxy e Cy2 são os termos quadráticos, e para distinguir Bxy dos outros dois referimo-nosa ele como termo quadrático misto. Por sua vez, Dx e Dy são os termos lineares e F é otermo independente.

Eis alguns exemplos:

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• Conjunto vazio: a equação x2 + y2 + 1 = 0 não é satisfeita por nenhum (x, y).

• Conjunto formado por um ponto: a equação x2+y2−2x+1 = 0, isto é, (x−1)2+y2 =0, admite apenas a solução (1, 0).

• Reta: a equação x2 + 2xy + y2 = 0, isto é, (x+ y)2, descreve a reta r : x+ y = 0.

• Reunião de duas retas paralelas: a equação x2 + 2xy + y2 + x + y = 0, isto é,(x+ y)(x+ y+1) = 0, descreve a reunião das retas r : x+ y = 0 e s : x+ y+1 = 0.

• Reunião de duas retas concorrentes: a equação x2−y2 = 0, isto é, (x−y)(x+y) = 0,descreve a reunião das retas r : x− y = 0 e s : x+ y = 0.

• Circunferência: a equação x2 + y2 − 2x− 4y+ 1 = 0, isto é, (x− 1)2 + (y− 2)2 = 4,descreve a circunferência de centro (1, 2) e raio 2.

• Parábola: x− y2 = 0.

• Elipse: x2 + 2y2 − 1 = 0.

• Hipérbole: x2 − y2 − 1 = 0.

Para identificar e esboçar uma cônica, conhecendo sua equação, a ideia é eliminar otermo quadrático misto utilizando uma rotação e tentar eliminar os termos lineares utili-zando uma translação. A equação obtida, com certeza mais simples, pode eventualmenteser transformada em uma das equações reduzidas conhecidas ou, pelo menos, em umaequação que favoreça a identificação da cônica. Para esta última etapa, dispomos dosrecursos da Álgebra Elementar, incluídas as técnicas de completação de quadrados e afatoracão.

6.3.1 Translação de eixos e eliminação dos termos lineares

Sejam xOy um sistema cartesiano ortogonal bidimensional e H um ponto do planocom coordenadas (h, k). Define-se um novo sistema de coordenadas x′O′y′ da seguintemaneira: os eixos O′x′ e O′y′ são paralelos aos eixos Ox e Oy, respectivamente, e têm amesma unidade de comprimento e sentido positivo destes; e a origem O′ coincide com oponto H. Diz-se que o sistema x′O′y′ é uma translação de eixos de centro H.

b

O

O′

x

x′

yy′

x

x′

y y′

h

k

P

19


Seja P um ponto qualquer do plano com coordenadas (x, y) em relação ao sistemaxOy e (x′, y′) em relação ao sistema x′O′y′. Pela figura, obtém-se:

x = x′ + h e y = y′ + k

ou, equivalentemente,x′ = x− h e y′ = y − k

Dada uma curva no plano, suponha que no sistema cartesiano ortogonal bidimensi-onal xOy a equação da curva seja

Ax2 + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0

Se A 6= 0 e C 6= 0, a equação pode ser reescrita da forma

A

(

x+D

2A

)2

+ C

(

y +E

2C

)2

+ F − D2

4A− E2

4C= 0

Fazendo uma translação de eixos de centro H(

− D2A,− E

2C

)

, temos

x′ = x+D

2Ae y′ = y +

E

2C

e então a equação da curva, no sistema x′O′y′ é

A (x′)2+ C (y′)

2+ F ′ = 0

Se A 6= 0 ou C 6= 0 pode-se determinar, de maneira análoga, uma translação deeixos e a equação da curva no novo sistema de coordenadas.

Equação da parábola de vértice fora da origem

Caso 1 : O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y: (x− h)2 = ±4p(y − k)Caso 2 : O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x: (y − k)2 = ±4p(x− h)

Equação da elipse de centro fora da origem

Caso 1 : O eixo maior é paralelo ao eixo dos x: (x−h)2

a2+ (y−k)2

b2= 1

Caso 2 : O eixo maior é paralelo ao eixo dos y: (x−h)2

b2+ (y−k)2

a2= 1

Equação da hipérbole de centro fora da origem

Caso 1 : O eixo transverso é paralelo ao eixo dos x: (x−h)2

a2− (y−k)2

b2= 1

Caso 2 : O eixo transverso é paralelo ao eixo dos y: − (x−h)2

b2+ (y−k)2

a2= 1

Exercício 6.7: Determinar a equação da parábola de vértice V (3,−1), sabendo que y−1 = 0 é a equação de sua diretriz.

20


Exercício 6.8: Determinar a equação da parábola de foco em F (1, 2), sendo x = 5 aequação da diretriz.

Exercício 6.9: Determinar o vértice, um esboço do gráfico, o foco e a equação da diretrizda parábola y2 + 6y − 8x+ 1 = 0.

Exercício 6.10: Uma elipse, cujo eixo transverso é paralelo ao eixo dos y, tem centroC(4,−2), excentricidade e = 1

1e eixo conjugado de medida 6. Qual a equação desta

elipse?

21


Exercício 6.11: Determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade da elipsede equação:

4x2 + 9y2 − 8x− 36y + 4 = 0

Exercício 6.12: Determinar a equação da hipérbole de vértices A1(1,−2) e A2(5,−2),sabendo que F (6,−2) é um de seus focos.

Exercício 6.13: Determinar o centro, um esboço do gráfico, os vértices e os focos dahipérbole de equação:

9x2 − 4y2 − 30x− 16y + 9 = 0

22


6.4 Superfície esférica

Dados um ponto C e um número real positivo ρ, a superfície esférica S de centroC e raio ρ é o lugar geométrico dos pontos X do espaço tais que d(X,C) = ρ, ou,equivalentemente, d2(X,C) = ρ2.

Suponhamos que C = (x0, y0, z0) e X = (x, y, z). Então, X pertence a S se, esomente se,

(x− x0)2 + (y − y0)

2 + (z − z0)2 = ρ2

Esta equação é chamada equação reduzida de superfície esférica.Desenvolvendo os quadrados e passando ρ2 para o primeiro membro, obtemos

x2 + y2 + z2 − 2x0x− 2y0y − 2z0z + x20 + y20 + z20 − ρ2 = 0

que é da formax2 + y2 + z2 + ax+ by + cz + d = 0

Uma equação da superfície esférica S, quando escrita sob esta forma, chama-seequação geral de S.

Proposição: A equação x2 + y2 + z2 + ax+ by + cz + d = 0 descreve

(a) a superfície esférica de centro C e raio ρ, se a2 + b2 + c2 − 4d > 0;

(b) o conjunto pelo ponto (−a2,− b

2,− c

2), se a2 + b2 + c2 − 4d = 0;

(c) o conjunto vazio, se a2 + b2 + c2 − 4d < 0.

Exercício 6.14:

a) Obtenha a equação reduzida e a equação geral da superfície esférica de centro(1,−1, 3) e raio 4.

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b) Mostre que x2+ y2+ z2− 4x− 2y+8z+12 = 0 é a equação geral de uma superfícieesférica e obtenha o centro e o raio.

c) Qual é conjunto descrito pela equação x2 + y2 + z2 −√3x− 4y + 8 = 0?

6.5 Quádricas

Pelo nome genérico de quádrica vamos designar algumas superfícies de E3 que podemser consideradas, por assim dizer, a versão tridimensional das cônicas.

Chama-se quádrica qualquer subconjunto Ω de E3 que possa ser descrito, em relaçãoa um sistema ortogonal de coordenadas, por uma equação de segundo grau

Ax2 +By2 + Cz2 +Dxy + Exz + Fyz +Gx+Hy + Iz + J = 0

em que pelo menos um dos números A,B,C,D,E, F é diferente de zero.Observemos que se a superfície quádrica dada pela equação acima for cortada pelos

planos coordenados ou por planos paralelos a eles, a curva de interseção será uma cônica,chamada traço da superfície no plano.

A seguir destacamos algumas quádricas e suas equações na forma reduzida.

6.5.1 Elipsóide

O elipsóide é a superfície descrita pela equação

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1

24


em que todos os coeficientes dos termos do primeiro membro são positivos, e a, b e c sãoreais positivos e representam as medidas dos semi-eixos do elipsóide.

O traço no plano xOy é a elipsex2

a2+

y2

b2= 1.

O traço no plano xOz é a elipsex2

a2+

z2

c2= 1.

O traço no plano yOz é a elipsey2

b2+

z2

z2= 1.

Obs: Se a, b, c fossem iguais, Ω seria uma superfície esférica de centro (0, 0, 0) e raio a, eos traços nos planos coordenados seriam circunferências.

6.5.2 Hiperbolóide de uma folha

Se na equação

±x2

a2± y2

b2± z2

c2= 1

dois coeficientes dos termos do primeiro membro são positivos e um é negativo, a equaçãorepresenta um hiperbolóide de uma folha.

A equaçãox2

a2+

y2

b2− z2

c2= 1 é a forma canônica do hiperbolóide de uma folha ao

longo do eixo z, neste caso chamado eixo distinguido.

As outras duas formas canônicas são

x2

a2− y2

b2+

z2

c2= 1 e − x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1

e representam hiperbolóides de uma folha ao longo dos eixos y e x, respectivamente.O traço no plano coordenado perpendicular a eixo distiguido é uma elipse (ou cir-

cunferência), enquanto os traços nos outros dois planos coordenados são hipérboles.

25


6.5.3 Hiperbolóide de duas folhas

Se na equação

±x2

a2± y2

b2± z2

c2= 1

um coeficiente dos termos do primeiro membro é positivo e dois são negativos, a equaçãorepresenta um hiperbolóide de duas folhas.

A equação −x2

a2+

y2

b2− z2

c2= 1 é a forma canônica do hiperbolóide de duas folhas

ao longo do eixo y, neste caso chamado eixo distinguido.


x2

a2− y2

b2− z2

c2= 1 e − x2

a2− y2

b2+

z2

c2= 1

e representam hiperbolóides de duas folhas ao longo dos eixos x e z, respectivamente.O traço no plano coordenado perpendicular a eixo distiguido é o conjunto vazio,

enquanto os traços nos outros dois planos coordenados são hipérboles.

6.5.4 Parabolóide Elíptico

Se nas equações

±x2

a2± y2

b2= cz ± x2

a2± z2

c2= by ± y2

b2± z2

c2= ax

os coeficientes dos termos de segundo grau tiverem sinais iguais, a equação representa umparabolóide elíptico.

A equaçãox2

a2+

y2

b2= cz é uma forma canônica da equação do parabolóide elíptico

ao longo do eixo z, neste caso chamado eixo de simetria.


x2

a2+

z2

c2= by

y2

b2+

z2

c2= ax

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e representam parabolóides elípticos ao longo dos eixos y e x respectivamente.Se o coeficiente do termo linear do segundo membro da equação for positivo, a su-

perfície situa-se inteiramente para o sentido positivo do eixo de simetria. Se tal coeficientefor negativo, a superfície situa-se inteiramente para o sentido negativo do eixo de simetria.

O traço no plano coordenado perpendicular ao eixo de simetria consiste em um únicoponto, a origem O = (0, 0, 0); enquanto o traços nos outros dois planos coordenados sãoparábolas.

6.5.5 Parabolóide Hiperbólico

Se nas equações

±x2

a2± y2

b2= cz ± x2

a2± z2

c2= by ± y2

b2± z2

c2= ax

os coeficientes dos termos de segundo grau tiverem sinais contrário, a equação representaum parabolóide hiperbólico.

A equação −x2

a2+

y2

b2= cz é uma forma canônica da equação do parabolóide hiper-

bólico ao longo do eixo z, neste cao chamado eixo de simetria.


−x2

a2+

z2

c2= by − y2

b2+

z2

c2= ax

e representam parabolóides hiperbólicos ao longo dos eixos y e x respectivamente.O traço no plano coordenado perpendicular ao eixo de simetria consiste em um par

de retas; enquanto o traços nos outros dois planos coordenados são parábolas.

6.6 Superfície cilíndrica

Seja C uma curva plana e f uma reta fixa não contida nesse plano.Superfície cilíndrica é a superfície gerada por uma reta r que se move paralelamente

à reta fixa f em contato permanente com a curva C.A reta r que se move é denominada geratriz e a curva C é a diretriz da superfície

cilíndrica.Vamos considerar apenas superfícies cilíndricas cuja diretriz é uma curva que se

encontra num dos planos coordenados e a geratriz é uma reta paralela ao eixo coordenadonão contido no plano. Neste caso, a equação da superfície cilíndrica é a mesma de suadiretriz.

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Conforma a diretriz seja uma circunferência, elipse, hipérbole ou parábola, a super-fície cilíndrica é chamada circular, elíptica, hiperbólica ou parabólica.

É importante observar que, em geral, o gráfico de uma equação que não contémuma determinada variável corresponde a uma superfície cilíndrica cujas geratrizes sãoparalelas ao eixo da variável ausente e cuja diretriz é o gráfico da equação dada no planocorrespondente.

6.7 Superfície cônica

Superfície cônica é uma superfície gerada por uma reta que se move apoiada numacurva plana qualquer e passando sempre por um ponto dado não situado no plano dessacurva.

A reta é denominada geratriz, a curva plana é a diretriz e o ponto fixo dado é ovértice da superfície cônica.

Consideremos o caso particular da superfície cônica cuja diretriz é uma elipse (oucircunferência) com o vértice na origem do sistema e com seu eixo sendo um dos eixoscoordenados.

Nestas condições, a superfície cônica cujo eixo é o eixo dos z tem equação:

x2

a2+

y2

b2− z2

c2= 0

As superfícies cônicas cujos eixos são os eixos do x e do y têm equações

−x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 0 e

x2

a2− y2

b2+

z2

c2= 0

respectivamente.

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Exercício 6.15: Identifique e faça um esboço da superfície dada pela equação.

a) x2

4+ y2

16+ z2

4= 1

b) 4x2 − y2 + 25z2 = 100

c) 4x2 − 25y2 − z2 = 100

d) 3y2 + 12z2 = 16x

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e) 3y2 − 12z2 = 16x

f) x2 + 2z2 − 6x− y + 10 = 0

g) x2 = 2y

h) x2

4+ z2

9= 1

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i) 4x2 − y2 + 25z2 = 0

Referências

ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. V. 2. São Paulo: Bookman, 2007.

CAMARGO, I.; BOULOS, P. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. SãoPaulo: Prentice Hall, 2005.

LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. V. 2. São Paulo: Harbra, 1994.

STEINBRUCH, A; WINTERLE, P. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Educa-tion do Brasil, 1987.

STEWART, J. Cálculo. V. 2. São Paulo: Cengage Learning, 2010.

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ga3x1 - geometria analítica e Álgebra linear prof. lilian...

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