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2018/Sem_02

NOTAS DE AULA

Geometria Analítica e

Álgebra Linear

Matrizes e Determinantes

Professor: Luiz Fernando Nunes, Dr.

Geometria Analítica e Álgebra Linear


ii

Índice 1 Matrizes e Determinantes ......................................................................................... 1

1.1 Matrizes ............................................................................................................ 1 1.2 Determinantes e Matriz Inversa ........................................................................ 8

Referências Bibliográficas ............................................................................................ 16

Prof. Nunes 1


1 Matrizes e Determinantes

1.1 Matrizes

1.1.1 Noção de matriz:

Uma matriz é uma tabela retangular de elementos dispostos em linhas e colunas.

1.1.2 Representação

Uma matriz com m linhas e n colunas será indicada por:

mnmm

n

n

nm

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

,

os elementos são indicados por jia , onde 1 i m, 1 j n.

Se não existirem dúvidas quanto à quantidade de linhas e colunas de uma matriz,

podemos indicá-la apenas por letras latinas maiúsculas A, B, C, D, ... , omitindo os índices m e

n.

O símbolo nmM indicará o conjunto de todas as matrizes de ordem nm de

elementos reais.

Exemplos:

1) Se

305

212

011

A , então temos que: 111 a , 112 a , 013 a , 221 a ,

122 a , 223 a , 531 a , 032 a , 333 a .

2) Se

270

5293B , então temos que: 311 b , 912 b , 213 b , 514 b ,

021 b , 722 b , 223 b , 24b .

3) Se

187

34

2/13/2

C , então temos que: 3

211 c ,

2

112 c , 421 c , 322 b ,

021 b , 731 c , 1832 c .

1.1.3 Igualdade de matrizes

Duas matrizes nmA e srB , com elementos do tipo ija e ijb , respectivamente, são

iguais, se e somente se:

jiba

sn

rm

ijij ,

Neste caso escrevemos BA

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1.1.4 Tipos Especiais de Matrizes

Matriz Quadrada

É aquela onde o número de linhas é igual ao número de colunas, isto é, m = n.

Exemplos:

1)

302

715

010

A , 8B e

73

49C .

Matriz Nula

É aquela em que todos os elementos são iguais a zero, isto é, 0ija para todo i e j.

Exemplos:

1)

000

000

000

A e

00

00B e

0

0

0

0

C

Matriz Linha

É aquela onde m = 1.

Exemplos:

1) 2309 A e 31B

Matriz Coluna

É aquela onde n = 1.

Exemplos:

1)

1

2

9

7

A e

2

3B

Matriz Diagonal

É uma matriz quadrada (m = n) onde 0ija , para ji .

Exemplos:

200

040

001

A e

3000

0100

0040

0009

B

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Matriz Identidade

É uma matriz diagonal onde

jiparaa

ejiparaa

ij

ij

1

0

Muitas vezes a matriz identidade de ordem n é indicada por nnI ou apenas nI .

Exemplos:

1.

100

010

001

A ,

10

01B e

1000

0100

0010

0001

C

Matriz Triangular Superior

É uma matriz quadrada onde 0ija para i > j.

Exemplos:

1)

100

270

091

A ,

10

91B ,

1000

2100

0600

3031

C

Matriz Triangular Inferior

É uma matriz quadrada onde 0ija para i < j.

Exemplos:

1)

17

029

004

A ,

13

01B e

1002

0934

0056

0001

C

1.1.5 Operações com matrizes

Adição

Dadas duas matrizes nmA e nmB , com elementos do tipo ija e ijb , respectivamente,

então:

BA é a matriz com os elementos ijij ba , isto é, soma-se os elementos nas posições

correspondentes.

Observação: A e B devem ser de mesma ordem.

Exemplo:

1) Se

171

229

104

A e

126

031

812

B , então

095

2510

716

BA

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Propriedades da Adição de Matrizes

i) Associatividade: ,CBACBA nmMCBA ,,

ii) Comutatividade: ABBA , nmMBA,

iii) Elemento Neutro: A0A , onde 0 denota a matriz nula nm , nmMA

iv) Oposto: Dada nmMA , existe a matriz A nmM , tal que 0AA

Multiplicação de matriz por escalar

Dada uma matriz nmA , de elementos

ija e um escalar , então:

A é a matriz cujos elementos são do tipo ija . (isto é, multiplicamos todos os

elementos de A por ).

Exemplos:

1) Se

471

269

103

A e 2 , então

8142

41218

206

2 AA

2) Se

252

143B e 3 , então

6156

31293 BB

Propriedades da Multiplicação de Matriz por escalar

i) AA , ,,nmMA

ii) AAA , ,,nmMA

iii) BABA , ,, nmMBA

iv) AA 1 , nmMA

v) 0A0 , nmMA obs.: 0 e nmM0

Multiplicação de matrizes

Dadas duas matrizes nmA e pnB , com elementos do tipo ija )1,(1 njmi e

jkb )1,(1 pknj , respectivamente, então:

BA é a matriz de elementos do tipo ikc )1,(1 pkmi , definidos por:

n

j

jkijnkinkikikiik bababababac1

332211 .....

Observações:

1) O número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda

matriz;

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2) A matriz resultante do produto terá a mesma quantidade de linhas da primeira matriz e a

mesma quantidade de colunas da segunda matriz.

Exemplos:

1) Se

2221

1211

aa

aaA e

232221

131211

bbb

bbbB , então

232221

131211

ccc

cccC , onde:

2

1

2211

j

jkijkikiik bababac , isto é:

2112111111 babac

2212121112 babac

2312131113 babac

2122112121 babac

2222122122 babac

2322132123 babac

2) Se

112

131A e

6021

1125

1304

B , então

24232221

14131211

cccc

ccccC , onde:

1211534111 c

821230112 c

001133113 c

461131114 c

211514221 c

421210222 c

501113223 c

761111224 c

Logo

7542

40812C

Propriedades da Multiplicação de Matrizes

(Desde que sejam possíveis as operações)

i) ,AAIIA sendo I a matriz identidade

ii) CABACBA e CBCACBA

iii) CBACBA

iv) 0A0 e 00A

Observação: Em geral ABBA , podendo inclusive um dos membros da igualdade estar

definido e o outro não.

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Transposição de matrizes

Dada uma matriz nmA , com elementos do tipo

ija )1,(1 njmi , denomina-se

transposta de A, a matriz TA , com elementos do tipo jib )1,(1 minj , cujas linhas são

as colunas de A, isto é: jiij ab .

Isto é, é a matriz obtida com a troca ordenada das linhas pelas colunas das matriz

original.

Exemplos:

1) Se

471

269

103

A , então

421

760

193TA

2) Se

52

40

13

B , então

541

203TB

Propriedades da Transposição de Matrizes

i) TTTBABA

ii) TTAA , onde

iii) AATT

iv) TTTABBA

Definições:

Seja A uma matriz quadrada, então:

a) A é dita simétrica, se e somente se, AAT .

Exemplo:

1)

571

720

103

A AAT

571

720

103

b) A é dita anti-simétrica, se e somente se, AAT .

Exemplo:

1)

053

501

310

A AAT

053

501

310

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1.1.6 Alguns exercícios resolvidos sobre matrizes

1) Para cada , considere a matriz

cossen

sencosT

a) Mostre que TTT

Resolução:

cossen

sencos

cossen

sencosTT

=

coscossensencossencossen

cossencossensensencoscos

T

cossen

sencos

b) Ache T

Resolução:

TTT

cossen

sencos

cossen

sencos

2) Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é uma matriz simétrica.

Resolução:

Sejam duas matrizes simétricas A e B. Logo AAT e BBT .

BABABA TTT .

3) Mostre que a soma de duas matrizes anti-simétricas é uma matriz anti-simétrica.

Resolução:

Sejam duas matrizes anti-simétricas A e B. Logo AAT e BBT .

.BABABABA TTT

4) Mostre que se A é uma matriz quadrada, então TAA é uma matriz simétrica.

Resolução:

TTTTTTT AAAAAAAA

5) Verifique que o produto de duas matrizes simétricas nem sempre é uma matriz simétrica.

Resolução:

Sejam duas matrizes simétricas A e B. Logo AAT e BBT .

ABABBA TTT .

6) Se 0BA , então podemos afirmar que 0A ou 0B ?

Resolução:

Não! Encontre alguns contra-exemplos.

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7) Suponha que 0A e CABA , então podemos afirmar que B=C ?

Resolução:

Não!

CABA 0CABA 0CBA . Sabemos que 0A , e que podemos ter

0CBA sem que 0CB , Logo B não é necessariamente igual a C.

8) Considerando o exercício anterior, se existir uma matriz Y tal que IAY , podemos

afirmar que B=C ?

Resolução:

Sim !

CABA CAYBAY CAYBAY CIBI B=C

9) Podemos dizer que a seguinte igualdade 2222 BBAABA é verdadeira?

Resolução:

Não!

22 BABBAABBABBAAABABA

10) Podemos dizer que a seguinte igualdade 2222 BBAABA é verdadeira?

Resolução:

Não!

22 BABBAABBABBAAABABA

1.2 Determinantes e Matriz Inversa

1.2.1 Determinantes

Definições:

Se 11aA 11det aA

Se

2221

1211

aa

aaA 21122211det aaaaA

Se

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A 312213322113312312

332112322311332211det

aaaaaaaaa

aaaaaaaaaA

Definição:

Dada uma permutação dos inteiros n,.....,2,1 , existe uma inversão quando um inteiro

precede outro menor que ele.

Permutação Número de inversões

( 1 2 3 ) 0

( 1 3 2 ) 1

( 2 1 3 ) 1

( 2 3 1 ) 2

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( 3 1 2 ) 2

( 3 2 1 ) 3

Definição:

Seja A uma matriz quadrada nn .

Então nnjjjj

JaaaaA ......1det

321 321

Onde ),....,,,,( 321 njjjjJJ é o número de inversões da

permutação ),....,,,,( 321 njjjj e indica que a soma e estendida para todas as n!

permutações.

Observações:

i) o coeficiente J1 dá o sinal de cada parcela da somatória.

ii) em cada termo existe um e só um elemento de cada linha e um e só um elemento de cada

coluna.

iii) Através de reordenações, mostra-se também que: njjjjJ

naaaaA ......1det 321 321

Propriedades dos determinantes

i) TAA detdet

ii) Se multiplicarmos uma linha de uma matriz por k , o determinante fica multiplicado

por k.

iii) Uma vez permutadas duas linhas de uma matriz, o determinante da mesma troca de sinal.

iv) O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) iguais é igual a zero.

v) O determinante não se altera se somarmos aos elementos de uma linha, os elementos

correspondentes de outra linha multiplicados por uma constante.

vi) BABA detdetdet

Definição de submatriz

Seja A uma matriz quadrada nn . Uma submatriz ijA de A é uma matriz obtida de A

eliminando a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A.

Exemplo:

1) Se

432

304

121

A então

32

2123A ,

30

1231A , etc.

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Definição de cofator

Seja A uma matriz quadrada nn . O cofator ou complemento algébrico de um

elemento ija de A é o número: ijji

ij Adet1

.

Exemplo:

1) Se

432

304

121

A então:

943

30det1det1

211

1111

A ,

732

21det1det1

523

3223

A , etc.

Desenvolvimento de Laplace (Para calcular o determinante de qualquer matriz quadrada)

Seja A uma matriz com n linhas e n colunas. Então,

ij

n

j

ijaA 1

det , para qualquer linha i.

(É a soma dos produtos dos elementos de uma linha (ou coluna), pelos seus

respectivos cofatores).

Observação: O desenvolvimento pode também ser feito na variável j: ij

n

i

ijaA 1

det para

qualquer coluna j.

Exemplos:

1) Se

432

304

121

A então calcule .det A

Resolução:

Escolhendo, por exemplo, a segunda linha )2( i

2323222221212

3

1

2det aaaaA j

j

j

43

12det14

12+

42

11det10

22

32

21det13

32

1736054

2) Seja A uma matriz triangular superior. Calcule o determinante de A.

Prof. Nunes 11


nn

n

n

n

a

aa

aaa

aaaa

A

000

00

0

333

22322

1131211

Aplicando Laplace sucessivamente 1111det aA

=

nn

n

n

a

a

aa

a

00

0det1

3

222

1111

=

nn

n

n

a

a

aa

aa

00

0det1

4

333

112211

=

nn

n

n

a

a

aa

aaa

00

0det1

5

444

11332211

=........... nnaaaa ...........332211

1.2.2 Matriz Inversa

Seja A é uma matriz quadrada n n. Chamamos de matriz inversa de A à uma matriz

B, também n n, que satisfaz a seguinte propriedade: IABBA , em que nII é a

matriz identidade n n. Se esta matriz B existir, A será chamada de matriz invertível.

Normalmente a matriz inversa de A é indicada por 1A , logo: IAAAA 11

Exemplo:

1) Ache a inversa da matriz

41

32A

Resolução:

10

01

41

32

dc

ba

10

01

44

3232

dbca

dbca

04

132

ca

ca

5

4a e

5

1c e

14

032

db

db

5

3b e

5

2d

Logo

5

2

5

15

3

5

4

1A

Observação: O mesmo resultado seria obtido fazendo:

10

01

41

32

dc

ba

Teorema:

Se A é uma matriz invertível, então a sua inversa é única.

Demonstração:

Vamos supor que a matriz A possui duas inversas 11A e 1

2A . Logo temos que

AAIAA 11

11 e AAIAA 1

21

2 .

Prof. Nunes 12


Assim 12

12

12

11

12

11

11

11

AAIAAAAAAIAA .

Portanto 12

11

AA e a inversa é única.

Observações:

i) Se A e B são matrizes quadradas invertíveis, então BA é também invertível e

111 ABBA .

ii) Uma matriz quadrada A admite inversa se e somente se 0det A .

iii) Se A é uma matriz quadrada e 0det A , então A

Adet

1det 1 .

Demonstração de (iii):

Sabemos que BABA detdetdet . Se IAA 1 , então temos que

IAAAA detdetdetdet 11 A

Adet

1det 1 .

iv) AA 11 .

v) 11 TTAA .

Definição:

Chamamos de operações elementares nas linhas de uma matriz, às seguintes

operações:

i) a troca da ordem de duas linhas da matriz;

ii) a multiplicação de uma linha da matriz por uma constante diferente de zero;

iii) a substituição uma linha da matriz por sua soma com outra linha multiplicada por uma

constante diferente de zero.

Teorema:

Seja A uma matriz quadrada. Se uma seqüência de operações elementares nas suas

linhas reduz A a I, então a mesma seqüência de operações elementares transforma I em 1A .

Logo, a partir deste teorema, podemos usar o seguinte algoritmo para encontrar a

matriz inversa de A:

][ IA

.. elemop

][ 1AI

Exemplo:

1) Ache a inversa da matriz

321

121

121

A

Resolução:

Prof. Nunes 13


100321

010121

001121

21 LL

100321

001121

010121

133

122

LLL

LLL

110440

011240

010121

224

1LL

110440

04

1

4

1

2

110

010121

233

211

4

2

LLL

LLL

101200

04

1

4

1

2

110

02

1

2

1001

332

1LL

2

10

2

1100

04

1

4

1

2

110

02

1

2

1001

3222

1LLL

2

10

2

1100

4

1

4

1

2

1010

02

1

2

1001

. Assim,

2

10

2

14

1

4

1

2

1

02

1

2

1

1A .

Definição:

Seja A uma matriz quadrada nn . Então a matriz dos cofatores de A, é a matriz

indicada pelo símbolo A , cujos elementos são os cofatores )( ij dos elementos da matriz A.

Exemplo:

1) Se

13

12A então

21

31

2221

1211A

Pois,

11111

11

,

33121

12

,

11121

21

,

22122

22

Definição:

Seja A uma matriz quadrada nn . Chama-se matriz adjunta de A, a matriz

TAAadj , isto é, a transposta da matriz dos cofatores.

Exemplo:

1) Se

13

12A então

23

11

21

31T

Aadj

Teorema:

Seja A uma matriz quadrada nn , tal que 0det A . Então: nIAadjAA det .

Prof. Nunes 14


Deste teorema podemos concluir que:

nIAadjAA det nIA

adjAA

det

A

adjAA

det

1

Definição:

Uma matriz quadrada A se diz ortogonal se A é invertível e TAA 1 .

Exemplos:

1) Determinar, se possível, todos os valores x e y reais, a fim de que a matriz A seja

ortogonal.

A =

2/1

2/1

y

x

Resolução:

2

3e

2

3

ou

2

3e

2

3

2

31

4

1

022

2

31

4

1

10

01

2/1

2/1

2/1

2/1

2

2

yx

yx

yy

xy

xx

x

y

y

xR

Resposta:

2

3e

2

3

ou

2

3e

2

3

yx

yx

2) Verifique (genericamente) que o produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz

ortogonal.

Resolução:

Se A e B são matrizes ortogonais, então TAA 1 e TBB 1

.

Sabe-se que TTT BAABABBA )(111

.

1.3 Exercícios propostos

1) Sendo A uma matriz quadrada nn e, verifique que AA n detdet .

2) Sendo A =

2 1

3 0

2 -1

; B = 2 3

1 5

; C =

1 0 5

4 3 1, encontre, se existir, a matriz X para

cada situação a seguir:

a) TCXA Resposta: Não existe

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b) BXCA T Resposta:

357

3

7

1210

X

c) TT ACX Resposta:

91511

303

632

X

3) Sendo A uma matriz real quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 4, qual o valor

de x na equação xAA T 4)2(det ?

Resposta: 32x

4) Seja a matriz quadrada A , 22 , tal que

ji

jiji

aij

se j+i

sen

= se .2

cos

=

.

Calcule o determinante de A. Se 0det A , ache 1A .

Respostas: 4

3det A e

3

4

3

32

3

320

1A

5) Dada a matriz A =

1 2 7

0 3 1

0 5 2

, ache TA )( 1 e 1)( TA .Conclua que TA )( 1 = 1)( TA .

6) Encontre as matrizes

z t

x y que comutam com a matriz

1 0

1 1, isto é, ache as matrizes

z t

x y, tais que

z t

x y.

1 0

1 1=

1 0

1 1.

z t

x y

Resposta:

x

yx

0

7) Encontre a matriz inversa da matriz A, utilizando operações elementares com linhas, sendo

A =

831

121

210

.

Resposta:

1 1 5

2 2 9

3 2 311A

Prof. Nunes 16


8) Resolva a equação matricial:

yx

x

z

yx

8

1 3

8

Resposta: 7e4,3 zyx

9) Dada a matriz A, resolva a equação: AAXA T 1 e ache X para A =

8 3 1

1 2 1

2 1 0

.

Respostas: TAAX 12 e X =

119 233 318

15 31 39

30 59 80

10) Ache os valores dos determinantes das seguintes matrizes:

a)

3301

0400

2105

1243

Resposta: 208

b)

01

0

0010

10

ab

baa

ba

Resposta: 22 ba

Referências Bibliográficas

1. BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra Linear. 3.a Edição. São Paulo: Harper & Row do

Brasil, 1980.

2. CALLIOLI, Carlos A. et al. Álgebra Linear e Aplicações. 6.a Edição. São Paulo: Atual,

1990.

3. LIMA, Elon L., et al. A Matemática do Ensino Médio. 3.a Edição. Rio de Janeiro:

Coleção do Professor de Matemática – Sociedade Brasileira de Matemática, 2001.

4. POOLE, David. Álgebra Linear. São Paulo: Thomson Learning, 2006.

5. STEINBRUCH, Alfredo e WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. 2.a Edição. São Paulo:

Pearson Education do Brasil, 2010.

6. STEINBRUCH, Alfredo e WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 2.a Edição. São

Paulo: Pearson Education do Brasil, 2010.

geometria analítica e Álgebra linear - páginas...

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