Álgebra linear e geometria analítica. engenharia civil e engenharia topográfica
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Álgebra Lineare
Geometria Analítica
Engenharia Civile
Engenharia Topográfica
Equipa docente:Engenharia Civil Diurno:Marília Pires; Susana Fernandes; Nelson Pires
Engenharia Civil Nocturno:Marília Pires; Nelson Pires
Engenharia Topográfica:Marília Pires
Vamos jogar à Batalha Naval
Precisamos de mar:
Agora precisamos de barcos:
Agora precisamos de barcos:
Agora arranjar maneira de localizar os tiros:
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
10987654321
Tiros:A7H3J9
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
10987654321
Matrizes
1
2
3
4
5
7654321
Matrizes
45 56 -9 5 0.9 56 7
-9
99
0
10
7 0 0 0 3 6
-10
89
0
76
9
6532
-1
54 89
65 32 12 0
0 276 4
1
2
3
4
5
7654321
Matrizes
45 56 -9 5 0.9 56 7
-9
99
0
10
7 0 0 0 3 6
-10
89
0
76
9
6532
-1
54 89
65 32 12 0
0 276 4
1
2
3
4
5
7654321
Esta matriz tem 5 linhas e 7 colunasDiz-se que tem dimensão 57
Matrizes
45 56 -9 5 0.9 56 7
-9
99
0
10
7 0 0 0 3 6
-10
89
0
76
9
6532
-1
54 89
65 32 12 0
0 276 4
1
2
3
4
5
7654321
Para localizar um elemento temos que saber em que linha e coluna está.
Matrizes
45 56 -9 5 0.9 56 7
-9
99
0
10
7 0 0 0 3 6
-10
89
0
76
9
6532
-1
54 89
65 32 12 0
0 276 4
1
2
3
4
5
7654321
Este elemento está na linha 3 e coluna 5.Diz-se que está na posição (3,5)
1234010103106734
A
1234010103106734
A
A tem dimensão 34
1234010103106734
A
13a
1234010103106734
A
013 a
1234010103106734
A
21a
1234010103106734
A
321 a
Uma matriz A com m linhas e n colunasdiz-se que tem dimensão mne representa-se por
[aij] i =1,…,m; j=1,…,n
Matrizes especiais:
• Matrizes nulasOmn
Matriz com m linhas e n colunas e entradas todas nulas
• O23=
000000
Matrizes especiais:
• Matrizes quadradasAnn
Matriz com n linhas e n colunas
• A33=
365435874
Matrizes especiais:
• Matriz triangular superiorAnn
aij = 0 se i > j
• A33=
100120013
Matrizes especiais:
• Matriz triangular inferiorAnn
aij = 0 se i < j
• A33=
151024003
Matrizes especiais:
• Matriz diagonalAnn
aij = 0 se i j
• A33=
100020003
Matrizes especiais:
• Matrizes colunaAn1
Matriz com n linhas e 1 coluna
• A51=
20154
Matrizes especiais:
• Matrizes linhaA1n
Matriz com 1 linha e n colunas
• A15= 53210
Matrizes especiais:
• Matrizes identidadeInn
Matriz com n linhas e n colunas diagonal com todas as entradas principais iguais a 1.
• I33=
100010001
Matrizes especiais:
• Matrizes escalaresAnn
Matriz com n linhas e n colunas diagonal com todas as entradas principais iguais a .
• A33=
4.30004.30004.3
Matriz simétrica de outra:
• A matriz B diz-se simétrica da matriz A se as entradas de B forem os simétricos das entradas correspondentes de A.
• (É claro que A e B têm a mesma dimensão)
A= B =
B = - A
560142203
560142203
Matriz transposta doutra:
• A matriz B diz-se transposta da matriz A se as entradas de B foram tais que bik = aki.
• Escreve-se B = AT
A= B = AT =
b12 = a21 = 2
252141
215421
Multiplicar uma matriz por um escalar:
• Todas as entradas da matriz são multiplicadas pelo mesmo valor .
• B= A• (É claro que A e B têm a mesma dimensão)
A= B =3 A =
560142203
151803126609
Somar matrizes
• Só se podem somar matrizes da mesma dimensão.
• C = A + B• Cada entrada de C é a soma das entradas na mesma posição
de A e de B
A= B =
A + B =
014233
102125
112118
Multiplicar Matrizes CASO 1• Multiplicar uma matriz linha por uma matriz
coluna
Só se podem multiplicar estas matrizes se tiverem o mesmo número de elementos.
C = A BA= B = 2101
5140
Multiplicar Matrizes CASO 1• Multiplicar uma matriz linha por uma matriz
colunaSó se podem multiplicar matrizes se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.C = A B
A= B = 2101
5140
Multiplicar Matrizes CASO 1
• Multiplicar uma matriz linha por uma matriz colunaSó se podem multiplicar matrizes se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.
C = A BA= B =
A B = [10 + 04 + (-1)(-1) + 25] = [11]
2101
5140
Multiplicar Matrizes CASO 2• Multiplicar uma matriz com n linhas por uma matriz
colunaFaz-se o produto de cada linha da primeira matriz pela coluna.Só se podem multiplicar matrizes se o número de colunas da matriz for igual ao número de elementos da coluna.
C = A B
A= B =
5140
1321
0201
Multiplicar Matrizes CASO 2
• Multiplicar uma matriz com n linhas por uma matriz colunaC = A B
A= B =
5140
1321
0201
Multiplicar Matrizes CASO 2• Multiplicar uma matriz com n linhas por uma
matriz colunaC = A B
A= B =
C = =
5140
1321
0201
51)1(3420150)1(24001
102
Multiplicar Matrizes CASO GERAL
• Multiplicar uma matriz Anp
por uma matriz Bpm
C = A BCada coluna de C é o produto da matriz A pela coluna respectiva da matriz BEntão Cnm
421562262417
02132011
121321
ABC
32 24 34
421562262417
02132011
121321
ABC
32 24 34
O elemento cij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B
O produto de matrizes não é comutativo.
Pode ser possível efectuar AB e não ser possível efectuar BA.
Mesmo quando ambos os produtos são possíveis o resultado não é em geral o mesmo.
Matriz Inversa:
• Se A é uma matriz quadrada e existe B tal que AB = BA = I, então diz-se que A é invertível e escreve-se B = A-1
1021
1021
BA
1001
1021
1021
1001
1021
1021
Propriedades das operações com matrizes
• A + B = B + A (comutativa)• (A + B) + C = A + (B + C) (associativa)• A + O = A (elemento neutro)• A + (-A) = O (simétricos)• (A + B) = A + B• ( + ) A = A + A• ( A )= ( ) A
Propriedades das operações com matrizes
• 1 A = A• O = O• (AT)T = A• ( A + B) T = AT + BT
• ( A) T = AT
• A (B + C) = AB + AC (distributiva)• (B + C) A = BA + CA• (AB)C = A(BC)
Propriedades das operações com matrizes
• (AB) = ( A)B = A( B)• ( A B) T = BT AT
• ( A) T = AT
• (A-1)-1 = A• (AB) -1 = B-1 A-1
• (AT ) -1 = (A -1) T
• ( A) -1 = -1 A -1