Álgebra Lineare

Geometria Analítica

Engenharia Civile

Engenharia Topográfica

Equipa docente:Engenharia Civil Diurno:Marília Pires; Susana Fernandes; Nelson Pires

Engenharia Civil Nocturno:Marília Pires; Nelson Pires

Engenharia Topográfica:Marília Pires

Para tirar dúvidas:

• mpires@ualg.pt

• sfer@ualg.pt

• Página web: w3.ualg.pt/~mpires

Vamos jogar à Batalha Naval

Precisamos de mar:

Agora precisamos de barcos:

Agora precisamos de barcos:

Agora arranjar maneira de localizar os tiros:

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

10987654321

Tiros:A7H3J9

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

10987654321

Matrizes

1

2

3

4

5

7654321

Matrizes

45 56 -9 5 0.9 56 7

-9

99

0

10

7 0 0 0 3 6

-10

89

0

76

9

6532

-1

54 89

65 32 12 0

0 276 4

1

2

3

4

5

7654321

Matrizes

45 56 -9 5 0.9 56 7

-9

99

0

10

7 0 0 0 3 6

-10

89

0

76

9

6532

-1

54 89

65 32 12 0

0 276 4

1

2

3

4

5

7654321

Esta matriz tem 5 linhas e 7 colunasDiz-se que tem dimensão 57

Matrizes

45 56 -9 5 0.9 56 7

-9

99

0

10

7 0 0 0 3 6

-10

89

0

76

9

6532

-1

54 89

65 32 12 0

0 276 4

1

2

3

4

5

7654321

Para localizar um elemento temos que saber em que linha e coluna está.

Matrizes

45 56 -9 5 0.9 56 7

-9

99

0

10

7 0 0 0 3 6

-10

89

0

76

9

6532

-1

54 89

65 32 12 0

0 276 4

1

2

3

4

5

7654321

Este elemento está na linha 3 e coluna 5.Diz-se que está na posição (3,5)

1234

010103

106734

A

1234

010103

106734

A

A tem dimensão 34

1234

010103

106734

A

13a

1234

010103

106734

A

013 a

1234

010103

106734

A

21a

1234

010103

106734

A

321 a

Uma matriz A com m linhas e n colunasdiz-se que tem dimensão mne representa-se por

[aij] i =1,…,m; j=1,…,n

Matrizes especiais:

• Matrizes nulasOmn

Matriz com m linhas e n colunas e entradas todas nulas

• O23=

000

000

Matrizes especiais:

• Matrizes quadradasAnn

Matriz com n linhas e n colunas

• A33=

365

435

874

Matrizes especiais:

• Matriz triangular superiorAnn

aij = 0 se i > j

• A33=

100

120

013

Matrizes especiais:

• Matriz triangular inferiorAnn

aij = 0 se i < j

• A33=

151

024

003

Matrizes especiais:

• Matriz diagonalAnn

aij = 0 se i j

• A33=

100

020

003

Matrizes especiais:

• Matrizes colunaAn1

Matriz com n linhas e 1 coluna

• A51=

2

0

1

5

4

Matrizes especiais:

• Matrizes linhaA1n

Matriz com 1 linha e n colunas

• A15= 53210

Matrizes especiais:

• Matrizes identidadeInn

Matriz com n linhas e n colunas diagonal com todas as entradas principais iguais a 1.

• I33=

100

010

001

Matrizes especiais:

• Matrizes escalaresAnn

Matriz com n linhas e n colunas diagonal com todas as entradas principais iguais a .

• A33=

4.300

04.30

004.3

Matriz simétrica de outra:

• A matriz B diz-se simétrica da matriz A se as entradas de B forem os simétricos das entradas correspondentes de A.

• (É claro que A e B têm a mesma dimensão)

A= B =

B = - A

560

142

203

560

142

203

Matriz transposta doutra:

• A matriz B diz-se transposta da matriz A se as entradas de B foram tais que bik = aki.

• Escreve-se B = AT

A= B = AT =

b12 = a21 = 2

252

141

21

54

21

Multiplicar uma matriz por um escalar:

• Todas as entradas da matriz são multiplicadas pelo mesmo valor .

• B= A• (É claro que A e B têm a mesma dimensão)

A= B =3 A =

560

142

203

15180

3126

609

Somar matrizes

• Só se podem somar matrizes da mesma dimensão.

• C = A + B• Cada entrada de C é a soma das entradas na mesma posição

de A e de B

A= B =

A + B =

014

233

102

125

112

118

Multiplicar Matrizes CASO 1

• Multiplicar uma matriz linha por uma matriz coluna

Só se podem multiplicar estas matrizes se tiverem o mesmo número de elementos.

C = A BA= B = 2101

5

1

4

0

Multiplicar Matrizes CASO 1• Multiplicar uma matriz linha por uma matriz

colunaSó se podem multiplicar matrizes se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.C = A B

A= B = 2101

5

1

4

0

Multiplicar Matrizes CASO 1

• Multiplicar uma matriz linha por uma matriz colunaSó se podem multiplicar matrizes se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.

C = A BA= B =

A B = [10 + 04 + (-1)(-1) + 25] = [11]

2101

5

1

4

0

Multiplicar Matrizes CASO 2• Multiplicar uma matriz com n linhas por uma matriz

colunaFaz-se o produto de cada linha da primeira matriz pela coluna.Só se podem multiplicar matrizes se o número de colunas da matriz for igual ao número de elementos da coluna.

C = A B

A= B =

5

1

4

0

1321

0201

Multiplicar Matrizes CASO 2

• Multiplicar uma matriz com n linhas por uma matriz colunaC = A B

A= B =

5

1

4

0

1321

0201

Multiplicar Matrizes CASO 2• Multiplicar uma matriz com n linhas por uma

matriz colunaC = A B

A= B =

C = =

5

1

4

0

1321

0201

51)1(34201

50)1(24001

10

2

Multiplicar Matrizes CASO GERAL

• Multiplicar uma matriz Anp

por uma matriz Bpm

C = A BCada coluna de C é o produto da matriz A pela coluna respectiva da matriz BEntão Cnm

4215

6226

2417

0213

2011

12

13

21

ABC

32 24 34

4215

6226

2417

0213

2011

12

13

21

ABC

32 24 34

O elemento cij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B

O produto de matrizes não é comutativo.

Pode ser possível efectuar AB e não ser possível efectuar BA.

Mesmo quando ambos os produtos são possíveis o resultado não é em geral o mesmo.

Matriz Inversa:

• Se A é uma matriz quadrada e existe B tal que AB = BA = I, então diz-se que A é invertível e escreve-se B = A-1

10

21

10

21BA

10

01

10

21

10

21

10

01

10

21

10

21

Propriedades das operações com matrizes

• A + B = B + A (comutativa)• (A + B) + C = A + (B + C) (associativa)• A + O = A (elemento neutro)• A + (-A) = O (simétricos)• (A + B) = A + B• ( + ) A = A + A• ( A )= ( ) A

Propriedades das operações com matrizes

• 1 A = A• O = O• (AT)T = A• ( A + B) T = AT + BT

• ( A) T = AT

• A (B + C) = AB + AC (distributiva)• (B + C) A = BA + CA• (AB)C = A(BC)

Propriedades das operações com matrizes

• (AB) = ( A)B = A( B)• ( A B) T = BT AT

• ( A) T = AT

• (A-1)-1 = A• (AB) -1 = B-1 A-1

• (AT ) -1 = (A -1) T

• ( A) -1 = -1 A -1