aplicações de Álgebra linear e geometria analítica

TítuloIntrodução

CriptografiaHistória da Criptografia

Tipos de CifrasCifras de Hill

Código de Hill-ExemploCódificando os pares de letras do texto

Decifrando o código de HillBibliografia

Aplicações de Álgebra Linear e GeometriaAnalítica

CRIPTOGRAFIA DE MENSAGENS

Nathalia Nunes Bassi

01/12/2010

TítuloIntrodução





Introdução

•História da criptografia,

•Tipos de criptografia,

•Cifra de Hill,

•Codificação de mensagens,

•Decodificação de mensagens.

TítuloIntrodução





Criptografia

Em grego, cryptos significa secreto, oculto. A criptografiaestuda os métodos para codificar uma mensagem de modoque só seu destinatário legítimo consiga interpretá-la. É a artedos códigos secretos.

TítuloIntrodução





Na linguagem criptográfica, os códigos são denominadosCIFRAS, as mensagens não codificadas são denominadas

TEXTOS COMUNS e as mensagens codificadas sãodenominadas TEXTOS CIFRADOS ou CRIPTOGRAMAS. O

processo de converter um texto comum em um cifrado échamado CIFRAR ou CRIPTOGRAFAR, e o processo inverso

de converter um texto cifrado em um comum é chamadoDECIFRAR.

TítuloIntrodução





História da Criptografia

Antigamente a cifragem era utilizada na troca de mensagens,principalmente em assuntos ligados a guerra, amor e adiplomacia.O primeiro uso documentado da criptografia foi em1900 a.c, no Egito quando um escriba usou hieróglifos fora dopadrão em uma inscrição.Na idade moderna, por volta de1918, Arthur Scherbius desenvolveu uma máquina decriptografia chamada ENIGMA, utilizada amplamente pelamarina de guerra alemã em 1926, como a principal forma decomunicaçao.

TítuloIntrodução





Devido aos esforços de guerra, a criptografia passou a sermuito utillizada.Durante a Guerra Fria foram criados e utilizados diversosmétodos a fim de esconder mensagens a respeito deestratégias e operações, criptografadas com diferentesmétodos e chaves.Atualmente a criptografia é amplamente utilizada na WEB, emsegurança afim de autenticar os usuários para lhes forneceracesso, na proteção de transações financeiras e emcomunicação.

TítuloIntrodução





Tipos de Cifras

•CIFRAS DE SUBSTITUIÇÃO: Substituem cada letra doalfabeto por outra letra.

•CRIPTOGRAFIA RSA: O mais conhecido dos métodos decriptografia de chave pública é o RSA.As lojas usam a implementação do RSA, na codificação dedados de clientes em compras pela internet.

TítuloIntrodução





•CIFRAS DE HILL: Baseadas em transformações matriciais.Método que utiliza a álgebra linear para CODIFICAR eDECODIFICAR uma mensagem atravéz da multiplicação dematrizes.Uma mensagem codificada com uma matriz é chamada de"n-cifragem de hill", logo uma mensagem codificada com umamatriz 2× 2 é chamada "2-cifra de hill".

TítuloIntrodução





Cifras de Hill

PROCEDIMENTOS PARA CODIFICAÇÃO

• Primeiro converte-se as letras em números, depoisagrupa-se os números n a n e multiplica-se cada grupo poruma matriz quadrada de ordem inversível (det 6= 0). Osnúmeros resultantes são novamente convertidos em letras pelatabela 1, e assim tem-se a mensagem codificada.

TítuloIntrodução





TABELA 1

A B C D E F G H I J K L M N O1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

P Q R S T U V W X Y Z16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0

TítuloIntrodução





• Caso algum resultado da multiplicaçao seja um númeromaior que o número de letras do alfabeto, então deve-seutilizar o resto desse número pelo número de letra do alfabeto,o que será explicado posteriormente.

• Para decodificar a mensagem basta aplicar o mesmoprocesso, porém utilizando a matriz inversa. Por isso quedeve-se usar apenas matrizes inversíveis.

TítuloIntrodução





• Supõem-se daqui em diante que cada letra de texto comum ede texto cifrado, excetuando o Z, tem o valor númerico queespecifica a sua posição no alfabeto padrão(TABELA 1).

TABELA 1

A B C D E F G H I J K L M N O1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

P Q R S T U V W X Y Z16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0

TítuloIntrodução





Nos casos mais simples, transforma-se pares sucessivos detextos cifrados por:

Passo 1) Escolhe-se uma matriz 2× 2.

A =

(a11 a12a21 a22

)

Com entradas inteiras, para efetuar a codificação

TítuloIntrodução





Passo 2)Agrupam-se letras sucessivas do texto comum empares, adicionando uma letra fictícia para completar o últimopar, se caso o texto comum tiver um número ímpar de letras.Substitui-se cada letra do texto comum pelo seu valor númericoseguindo a tabela 1.

Passo 3) Converte-se cada par sucessivo de letras de textocomum em um vetor coluna:

p =

(p1p2

)

TítuloIntrodução





E forma-se o produto A.p.Chama-se p de vetor comum e A.p de vetor cifrado.

Passo 4) Converte-se cada vetor cifrado em seu equivalentealfabético, pela tabela 1.

TítuloIntrodução





Código de Hill-Exemplo

EXEMPLO: OBTER A CIFRA DE HILL DA MENSAGEM DETEXTO COMUM:

"SE VOCÊ CONSEGUE LER ISSO, AGRADEÇA UMPROFESSOR DE ALGA"

Para a matriz codificadora:

A =

(4 31 2

)

TítuloIntrodução





SOLUÇÃO:

Já que a tabela 1 não possui a letra Ç, substituimos por "C".

→ Agrupamos o texto comum em pares de letras para poderefetuar a codificação.

SE VO CE CO NS EG UE LE RISS OA GR AD EC AU MP RO FESS OR DE AL GA

TítuloIntrodução





→Usando a tabela 1, encontramos os seus correspondentesnuméricos.

19-5 22-15 3-5 3-15 14-19 5-7 21-5 12-5 18-919-19 15-1 7-18 1-4 5-3 1-21 13-16 18-15 6-519-19 15-18 4-5 1-12 7-1

TítuloIntrodução





OBS:Tendo em vista que a tabela 1 só tem 26 números, sendoeles de 0 à 25. Precisamos transformar os números maioresque 25 em números iguais ou menores que este, para istoutilizamos a aritmética modular.

Definição(aritmética modular): Dado um número inteiropositivo m e dois inteiros a e b quaisquer, dizemos que a éequivalente a b módulo m e escrevemos:

a ≡ b (mod m)

Se a− b é um múltiplo inteiro de m.

TítuloIntrodução





PARA ENTENDER MELHOR, OBSERVE OS EXEMPLOSABAIXO.

Encontrando os resíduos módulo 26 dos seguintesnúmeros:

(a) 35

dividindo |35| = 35 por 26 encontramos o valor inteiro 1 e umresto 9.

Assim podemos afirmar que 35 ≡ 9(mod 26)

TítuloIntrodução





(b) -67

dividindo | − 67| = 67 por 26 encontramos o valor inteiro 2 eum resto 15, ou seja 26-15=11.

Podemos afirmar que −67 ≡ 11(mod 26)

(c) -26

dividindo | − 26| = 26 por 26 encontramos um resto 0.

Podemos afirmar assim, que −26 ≡ 0(mod 26)

TítuloIntrodução





Códificando os pares de letras do texto

Para codificá-los efetuamos A.p

I1 par de letras: SE

(4 31 2

).

(195

)=

(9129

)=

(133

)(mod26) =

∣∣∣∣ MC

∣∣∣∣91 > 25 então 91

26 = 3 resto 13, isto é 91 ≡ 13(mod26)

29 > 25 então 2926 = 1 resto 3, isto é 29 ≡ 3(mod26)

TítuloIntrodução





I2 par de letras: VO

(4 31 2

).

(2215

)=

(13352

)=

(30

)(mod26) =

∣∣∣∣ CZ

∣∣∣∣133 > 25 então 133

26 = 5 resto 3, isto é 133 ≡ 3(mod26)


TítuloIntrodução





I3 par de letras: CE

(4 31 2

).

(35

)=

(2713

)=

(1

13

)(mod26) =

∣∣∣∣ AM

∣∣∣∣27 > 25 então 27

26 = 1 resto 1, isto é 27 ≡ 1(mod26)

TítuloIntrodução





I4 par de letras: CO(4 31 2

).

(3

15

)=

(57

)=

(EG

)I5 par de letras: NS

(4 31 2

).

(1419

)=

(11352

)=

(90

)(mod26) =

∣∣∣∣ IZ

∣∣∣∣113 > 25 então 113

26 = 4 resto 9, isto é 133 ≡ 9(mod26)


TítuloIntrodução





I6 par de letras: EG

(4 31 2

).

(57

)=

(4119

)=

(1519

)(mod26) =

∣∣∣∣ OS

∣∣∣∣41 > 25 então 41

26 = 1 resto 15, isto é 41 ≡ 15(mod26)

I7 par de letras: UE

(4 31 2

).

(215

)=

(2131

)=

(215

)(mod26) =

∣∣∣∣ UE

∣∣∣∣

TítuloIntrodução





I8 par de letras: LE

(4 31 2

).

(125

)=

(6322

)=

(1122

)(mod26) =

∣∣∣∣ KV

∣∣∣∣I 9 par de letras: RI

(4 31 2

).

(189

)=

(9936

)=

(2110

)(mod26) =

∣∣∣∣ UJ

∣∣∣∣

TítuloIntrodução





I 10 par de letras: SS(4 31 2

).

(1919

)=

(13357

)=

(35

)=

∣∣∣∣ CE

∣∣∣∣I11 par de letras: OA

(4 31 2

).

(151

)=

(6317

)=

(1117

)(mod26) =

∣∣∣∣ KQ

∣∣∣∣

TítuloIntrodução





I12 par de letras: GR

(4 31 2

).

(7

18

)=

(12243

)=

(4

17

)(mod26) =

∣∣∣∣ DQ

∣∣∣∣I13 par de letras: AD(

4 31 2

).

(14

)=

(169

)(mod26) =

∣∣∣∣ PI

∣∣∣∣

TítuloIntrodução





I14 par de letras: EC

(4 31 2

).

(53

)=

(2911

)=

(3

11

)(mod26) =

∣∣∣∣ CK

∣∣∣∣I15 par de letras: AU

(4 31 2

).

(121

)=

(6743

)=

(1517

)(mod26) =

∣∣∣∣ OQ

∣∣∣∣

TítuloIntrodução





I16 par de letras: MP(4 31 2

).

(1316

)=

(10045

)=

(2219

)=

∣∣∣∣ VS

∣∣∣∣I17 par de letras: RO

(4 31 2

).

(1815

)=

(11748

)=

(1322

)(mod26) =

∣∣∣∣ MV

∣∣∣∣

TítuloIntrodução





I18 par de letras: FE

(4 31 2

).

(65

)=

(3916

)=

(1316

)(mod26) =

∣∣∣∣ MP

∣∣∣∣I19 par de letras: SS

(4 31 2

).

(1919

)=

(13357

)=

(35

)(mod26) =

∣∣∣∣ CE

∣∣∣∣

TítuloIntrodução





I20 par de letras: OR

(4 31 2

).

(1518

)=

(11451

)=

(1025

)(mod26) =

∣∣∣∣ JY

∣∣∣∣I21 par de letras: DE

(4 31 2

).

(45

)=

(3114

)=

(5

14

)(mod26) =

∣∣∣∣ EN

∣∣∣∣

TítuloIntrodução





I22 par de letras: AL

(4 31 2

).

(2112

)=

(4025

)=

(1425

)(mod26) =

∣∣∣∣ NY

∣∣∣∣I23 par de letras: GA

(4 31 2

).

(71

)=

(319

)=

(59

)(mod26) =

∣∣∣∣ EI

∣∣∣∣

TítuloIntrodução





Assim, obtemos a mensagem cifrada completa:

MCCZAMEGIZOSUEKVUJCEKQDQPICKOQVSMVMPCEJYENNYEI

Agrupando-as dois a dois,

MC CZ AM EG IZ OS UE KV UJ CE KQ DQ PI CK OQ VS MVMP CE JY EN NY EI

TítuloIntrodução





Decifrando o código de Hill

AGORA, FAREMOS A OPERAÇÃO INVERSA, PARAPODER DECIFRAR O CÓDIGO RECÉM APRESENTADO.

TítuloIntrodução





Cada cifra possui um método para decifrar. No caso da Cifrade Hill, usa-se a inversa(mod 26) da matriz codificadora.

Para ser preciso, dizemos que uma matriz A é inversívelmódulo m, no caso (mod26) se existir uma matriz B que

satisfaça:

A.B = B.A = I (mod m)

Sendo I a matriz identidade:(

1 00 1

)

TítuloIntrodução





EXEMPLO: DECIFRANDO A CIFRA DE HILL DO EXEMPLOANTERIOR:

→ Encontrar a inversa da matriz codificadora (mod 26)

Matriz codificadora: (4 31 2

)(mod26)

que é uma matriz:

(a bc d

)

TítuloIntrodução





Após, calculamos o determinate da matriz codificadora:

det(A) = ad − bc = 4.2− 3.1 = 5

Depois de encontrarmos o valor do determinante da matrizcodificadora, achamos o seu correspondente do recíprocomódulo 26 na tabela 2:TABELA 2: (recíprocos módulo 26)

a 1 3 5 7 9 11 15 17 19 21 23 25a−1 1 9 21 15 3 19 7 23 11 5 17 25

Correspondente de det(A) é igual a 21, pela tabela 2

TítuloIntrodução





Assim, podemos determinar a matriz inversa dedet(A) (mod 26) que é dada por:

A−1= 1detA .

(d −b−c a

)(mod26)

Onde 1detA é o recíproco do resíduo de detA(mod 26)

TítuloIntrodução





Então,

A−1 = 21.

(2 −3−1 4

)=

(42 −63−21 84

)=

(16 155 6

)(mod26)

•42 > 25, então 4226 = 1 resto 16, isto é, 42 ≡ 16(mod 26)

•| − 63| > 25, então 6326 = 2 resto 11, 26− 11 = 15 isto é,

63 ≡ 15(mod 26)

• −21, quando temos um valor negativo menor que 25,subtraimos 26 do módulo deste valor, achando seu recíprocomódulo 26, 26− 21 = 5, isto é, −21 ≡ 5(mod 26)

•84 > 25, então 8426 = 3 resto 6, isto é, 84 ≡ 6(mod26)

TítuloIntrodução





Conferindo a matriz inversa módulo 26:

A.A−1 = I(mod26)

A.A−1 =

(4 31 2

).

(16 155 6

)=

(79 7826 27

)=

(1 00 1

)(mod26)

OK!

TítuloIntrodução





Código da frase mostrada anteriormente:

MCCZAMEGIZOSUEKVUJCEKQDQPICKOQVSMVMPCEJY

ENNYEI

MC CZ AM EG IZ OS UE KV UJ CEKQ DQ PI CK OQ VS MV MP CE JYEN NY EI

TítuloIntrodução





DECIFRANDO O CÓDIGO:

Para decifrarmos o cógido de Hill, multiplicamos ocorrespondente numérico das letras(tabela 1), pela matrizinversa da matriz codificadora módulo 26, calculadaanteriormente:

Correspondentes na tabela 1, do código acima:

13-3 3-0 1-13 5-7 9-0 15-19 21-5 11-2221-10 3-5 11-17 4-17 16-9 3-11 15-17 22-1913-22 13-16 3-5 10-25 5-14 14-25 5-9

TítuloIntrodução





Decifrando os pares de letras:

I1 par de letras: MC(16 155 6

).

(133

)=

(195

)=

∣∣∣∣ SE

∣∣∣∣I2 par de letras: CZ(

16 155 6

).

(30

)=

(2215

)=

∣∣∣∣ VO

∣∣∣∣

TítuloIntrodução





I 3 par de letras: AM(16 155 6

).

(113

)=

(35

)=

∣∣∣∣ CE

∣∣∣∣I4 par de letras: EG(

16 155 6

).

(57

)=

(3

15

)=

∣∣∣∣ CO

∣∣∣∣

TítuloIntrodução





I5 par de letras: IZ(16 155 6

).

(90

)=

(1419

)=

∣∣∣∣ NS

∣∣∣∣Até agora não encontramos nenhum valor maior que 25,portanto não precisamos utilizar a aritmética modular nestes.

A partir de agora, encontraremos valores maiores que 25, eutilizaremos a método anterior do módulo 26.

TítuloIntrodução





I 6 par de letras: OS

(16 155 6

).

(1519

)=

(525189

)=

(57

)(mod26) =

∣∣∣∣ EG

∣∣∣∣525 > 25 então 525

26 = 20 resto 5, isto é 525 ≡ 5(mod26)


TítuloIntrodução





I7 par de letras: UE

(16 155 6

).

(215

)=

(411135

)=

(215

)(mod26) =

∣∣∣∣ UE

∣∣∣∣411 > 25 então 411

26 = 15 resto 21, isto é 411 ≡ 21(mod26)


TítuloIntrodução





I 8 par de letras: KV

(16 155 6

).

(1122

)=

(506187

)=

(125

)(mod26) =

∣∣∣∣ LE

∣∣∣∣506 > 25 então 506

26 = 19 resto 12, isto é 506 ≡ 12(mod26)


TítuloIntrodução





I 9 par de letras: UJ

(16 155 6

).

(2110

)=

(486165

)=

(189

)(mod26) =

∣∣∣∣ RI

∣∣∣∣486 > 25 então 486

26 = 18 resto 18, isto é 486 ≡ 18(mod26)


TítuloIntrodução





I10 par de letras: CE

(16 155 6

).

(35

)=

(12345

)=

(1919

)(mod26) =

∣∣∣∣ SS

∣∣∣∣123 > 25 então 123

26 = 4 resto 19, isto é 123 ≡ 19(mod26)


TítuloIntrodução





I 11 par de letras: KQ

(16 155 6

).

(1117

)=

(431157

)=

(151

)(mod26) =

∣∣∣∣ OA

∣∣∣∣431 > 25 então 431

26 = 16 resto 15, isto é 431 ≡ 15(mod26)


TítuloIntrodução





I 12 par de letras: DQ

(16 155 6

).

(417

)=

(319122

)=

(718

)(mod26) =

∣∣∣∣ GR

∣∣∣∣I13 par de letras: PI

(16 155 6

).

(169

)=

(391134

)=

(14

)(mod26) =

∣∣∣∣ AD

∣∣∣∣

TítuloIntrodução





I14 par de letras: CK

(16 155 6

).

(311

)=

(21381

)=

(53

)(mod26) =

∣∣∣∣ EC

∣∣∣∣I15 par de letras: OQ

(16 155 6

).

(1517

)=

(495177

)=

(121

)(mod26) =

∣∣∣∣ AU

∣∣∣∣

TítuloIntrodução





I 16 par de letras: VS

(16 155 6

).

(2219

)=

(637224

)=

(1316

)(mod26) =

∣∣∣∣ MP

∣∣∣∣I 17 par de letras: MV

(16 155 6

).

(1322

)=

(538197

)=

(1815

)(mod26) =

∣∣∣∣ RO

∣∣∣∣

TítuloIntrodução





I 18 par de letras: MP

(16 155 6

).

(1316

)=

(448161

)=

(65

)(mod26) =

∣∣∣∣ FE

∣∣∣∣I 19 par de letras: CE

(16 155 6

).

(35

)=

(12345

)=

(1919

)(mod26) =

∣∣∣∣ SS

∣∣∣∣

TítuloIntrodução





I 20 par de letras: JY

(16 155 6

).

(1025

)=

(535200

)=

(1518

)(mod26) =

∣∣∣∣ OR

∣∣∣∣I21 par de letras: EN

(16 155 6

).

(514

)=

(290109

)=

(45

)(mod26) =

∣∣∣∣ DE

∣∣∣∣

TítuloIntrodução





I22 par de letras: NY

(16 155 6

).

(1425

)=

(599220

)=

(112

)(mod26) =

∣∣∣∣ AL

∣∣∣∣I23 par de letras: EI

(16 155 6

).

(59

)=

(21579

)=

(71

)(mod26) =

∣∣∣∣ GA

∣∣∣∣

TítuloIntrodução





Mensagem cifrada:

SE VO CE CO NS EG UE LE RI SS OA GRAD EC AU MP RO FE SS OR DE AL GA

Trocando o segundo C por Ç:

SE VOCÊ CONSEGUE LER ISSO, AGRADEÇA UMPROFESSOR DE ALGA!

TítuloIntrodução





Bibliografia

•www .inf .ufsc.br/ davigp/INE − 5386/Enigma/

•informatica.hsw .uol .com.br/criptografia.htm•ensino.univates.br/ chaet/AlgebraLinear .html•www .infowester .com/criptografia.php•www .magiadamatematica.com/diversos/eventos/20−congruencia.pdf•Álgebra Linear com Aplicações -ANTON E RORRES

TítuloIntrodução





.

MUITO OBRIGADA PELA ATENÇÃO!!!!!!!!

aplicações de Álgebra linear e geometria analítica

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