PortoMat 2007 Sessão Prática n.º 6

Geometria e álgebra com o GeoGebra Dinamizador: José Manuel Dos Santos Dos Santos, E.S. D. Afonso Sanches, Vila do Conde Grau de ensino a que se destina: Ensino Secundário Resumo: O GeoGebra é um software que conjuga trabalho geométrico, algébrico e de cálculo num único aplicativo. Desenvolvido desde 2001 por Markus Hohenwarter, tem a particularidade de integrar potencialidades diversas e disponíveis noutras aplicações semelhantes existentes no mercado. Porém, esta aplicação tem a vantagem de usar comandos extremamente simples e em português, além de ser de distribuição gratuita. Nesta sessão, os participantes poderão explorar diferentes conexões entre a geometria e a álgebra, como também utilizar as potencialidades que o aplicativo apresenta no estudo das funções.

2

3

GeoGebra O GeoGebra é uma aplicação que permite trabalhar a geometria, a álgebra e o cálculo. A grande diferença entre esta aplicação e outras de geometria dinâmica é a possibilidade de se poder introduzir vários comandos de um modo rápido e eficaz. É, ainda, uma aplicação totalmente gratuita, disponível para todos que a queiram utilizar. A aplicação apresenta: Uma barra de menus

Menu Arquivo

Menu Editar

Menu Exibir

Menu Janela

Menu Ajuda

Uma barra de ferramentas

Na barra de ferramentas estão disponíveis nove menus. Cada um destes menus dispõe de vários modos de trabalho que serão descritos, mais a frente, mais pormenorizadamente. Duas janelas

– na da esquerda, aqui designada por vista algébrica, são descritos os objectos algebricamente, por exemplo, coordenadas de pontos, equações de rectas, de circunferências, entre outros; – na da direita, aqui designada por vista gráfica, está representado o plano euclidiano onde se situam os objectos a ser manipulados. Uma barra de estado

Nesta barra o utilizador pode verificar o modo selec-cionado assim como a escala e o tipo de referencial que está a ser usado. Uma barra de comandos

À medida que o utilizador define objectos na vista gráfica, quer através da barra de ferramentas, quer através da barra de comandos, de imediato é ac-tualizada a vista algébrica. A vista algébrica pode ser editada e em simultâneo é alterada a vista gráfica. Se pretendermos usar o GeoGebra apenas do ponto de vista geométrico, podemos encerrar a vista algébrica e realizar as construções pretendidas apenas com a barra de ferramentas.

Potencialidades da barra de ferramentas

Sempre que pretenda movimentar um ponto dispõe de dois modos:

Quando pretenda marcar pontos poderá usar três modos distintos:

Podem ser traçados vários tipos de objectos baseados em rectas, inclusive vectores; ao todo, o utilizador dispõe de sete modos distintos:

Estão ainda disponíveis seis modos que permitem realizar construções geométricas elementares, como sejam rectas perpendiculares, paralelas, a bissectriz de um ângulo, tangentes a uma circunferência e a inversão de circunferências relativamente a um ponto.

Relativamente à construção de circunferências, arcos e cónicas existem ao todo nove modos distintos bastante úteis.

O GeoGebra permite trabalhar com várias grandezas, podendo ser medidos ângulos e distâncias através das linhas de comando. Permite ainda trabalhar com selectores que proporcionam parâmetros numéricos e angulares.

Ao nível das transformações geométricas o utilizador dispõe de modos que lhe permitem construir simetrias num ponto ou eixo, rotações, translações e homotetias.

Para além de inserir texto e verificar se os dois objectos têm pontos ou conjunto de pontos comuns, o GeoGebra também permite inserir imagens. A grande novidade é que estas imagens podem ser transformadas como se de objectos geométricos se tratasse.

Finalmente, a barra de ferramentas tem vários modos que permitem editar todos os objectos criados, assim como a vista gráfica.

4

Como construir um triângulo no GeoGebra

Depois de abrir o aplicativo dirija-se à barra de ferramentas.

Seleccione o modo ponto .

Marque os pontos A, B e C na janela da vista gráfica.

Seleccione o modo segmento, , no terceiro menu da barra de ferramentas. Desenhe a poligonal que define o triângulo.

Em alternativa, pode usar o modo polígono, , igual-mente no terceiro menu da barra de ferramentas.

Se compararmos a janela com a vista algébrica destas duas construções observamos que em ambas podemos obter as coordenadas dos pontos e a medida do comprimento de cada um dos lados. Porém, no segundo modo obtemos a medida da área do triângulo designada por P.

Tarefa: Investigue diferentes posições para os pontos A, B e C de modo que a medida do perímetro seja 12. Que pode concluir acerca dos triângulos que satisfazem esta condição?

Construção de um triângulo equilátero

Depois de abrir o aplicativo dirija-se à barra de ferramentas.

Seleccione o modo ponto .

Marque os pontos A e B na janela da vista gráfica.

Seleccione o modo circunferência, , no quinto menu da barra de ferramentas e trace as circunferências de centro em A e em B, tendo como raio a medida do segmento [AB]. Usando o segundo menu da barra de ferramentas, seleccione o modo intersecção, , e obtenha o ter-ceiro vértice, C, do triângulo equilátero. Use o modo polígono, , no terceiro menu da barra de ferramentas e construa o triângulo ABC.

Tarefa: Construa um triângulo equilátero.

Marque um ponto D sobre a vista gráfica. Digite na linha de comandos:

Distância[D,a]+Distância[D,b]+Distância[D,c], onde a, b e c são os lados do triângulo.

Movimente o ponto D e investigue em que con-dições a soma das distancias de D aos lados do triângulo é constante.

5

Famílias de funções Nesta secção daremos algumas indicações de como poderá usar o GeoGebra para desenvolver algumas actividades relacionadas com famílias de funções. Rectas e funções afins Com as actividades aqui propostas pretende-se que se consolide a relação entre a representação geométrica e algébrica de uma recta no plano. Propõem-se várias tarefas organizadas em quatro partes. 1.ª parte Utilize o modo ponto, , e marque na vista gráfica dois pontos A e B. Use o modo recta, , e desenhe a recta AB.

Tarefa: Movimente os pontos A e B e observe as alte-

rações que ocorrem na vista de álgebra. Como podem relacionar-se as diferentes posi-ções da recta com a expressão associada a recta que aparece na vista de álgebra.

2.ª Parte Faça um duplo clique sobre a expressão algébrica da recta e altere o tipo de equação da recta para a forma paramétrica.

Use o modo vector, , e marque o vector . Marque o ponto C e com o modo vector a partir de um ponto, , determine um vector colinear com . Tarefa: Movimente os pontos A e B e observe as

alterações que ocorrem nos dois vectores. Como podem relacionar-se as diferentes posições da recta com as coordenadas do vector na expressão associada à recta que aparece na vis-ta de álgebra?

3.ª parte Faça um duplo clique sobre a expressão algébrica da recta e altere o tipo de equação da recta para a equação reduzida.

Obtenha a inclinação da recta digitando na barra de comandos:

Inclinação [a] Tarefa: Movimente os pontos A e B e observe as alte-

rações que ocorrem na inclinação da recta e o valor de K. Que relação existe? Calcule um valor aproximado do declive do vec-tor . Qual é a relação do declive do vector com a inclinação da recta?

4.ª parte Use no sexto menu da barra de ferramentas, o modo selector , e obtenha dois selectores com os pa-râmetros que se seguem:

O GeoGebra atribuirá as letras a e b aos selectores. Introduza na linha de comandos a expressão:

y = a x + b

No modo ponteiro , movimente os selectores de modo a alterar o valor dos parâmetros a e b.

Tarefa: Estude a representação gráfica da recta de

equação y=ax+b em função dos valores dos parâmetros a e b. Em que condições a recta: 4.1 é uma recta paralela ao vector de coor-denadas (3, 6)? 4.2 representa o gráfico de uma função:

a) sempre crescente? b) em que o contradomínio é um ponto? c) com imagens negativas para objectos po-

sitivos?

6

Funções: generalidades Representação gráfica

Utilizemos o GeoGebra para estudar a função, f, de expressão designatória x³ – 2x² + 1, no intervalo [–1, 2]. Para isso bastará inserir na linha de comandos a instrução:

Função[x³ - 2 x² + 1, -1, 2]

Zeros da função

Como se trata de uma função polinomial, para determinarmos os zeros da mesma, ou as raízes da equação f(x) = 0, podemos usar, na linha de comandos, a instrução:

Raiz[f]

Surgem então na vista de álgebra os pontos A, B e C de intersecção do gráfico da função com o eixo dos xx, isto é, a recta de equação y = 0. Tal pode ser confirmado bastando para isso clicar duplamente sobre os referidos pontos na vista algébrica.

Observando a abcissa destes pontos temos a solução da equação f(x) = 0, ou seja, o programa pode ser um bom auxiliar para trabalhar com funções polinomiais de variável real.

Encontrar os extremos da função

Com o GeoGebra pode ainda obter os extremos locais da função f; para isso, basta inserir na linha de comando a instrução:

Extremo[f]

O GeoGebra permite obter os pontos D e E que correspondem a dois extremos locais: um máximo, a ordenada de D, e um mínimo local, a ordenada de E, respectivamente.

Observe-se, porém, que esta função está definida num intervalo de números reais e para sabermos se os valores atrás referidos são ou não extremos absolutos é necessário avaliar o comportamento da função nos extremos do intervalo, isto é, nos pontos de abcissas –1 e 2. Obter o valor da função num ponto

Em primeiro lugar marquemos um ponto sobre o gráfico; para isso, introduza-se, na linha de comandos, a instrução:

Ponto[f]

Na vista gráfica aparecerá o ponto F que pode ser movimentado.

Observando as coordenadas do ponto F na vista de álgebra podemos então verificar os valores da função nos extremos do intervalo.

7

Encontrar os pontos de inflexão

É possível encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função f introduzindo na linha de comandos:

PontoDeInflexão[f]

As coordenadas do ponto de inflexão, G, aparecem na vista de álgebra. Obter pontos de intersecção com uma recta

Depois de introduzirmos a equação da recta a, y = 0,5 (observe-se que o GeoGebra usa a vírgula em vez do ponto como separação da parte inteira da decimal), podemos introduzir, na linha de comandos, a seguinte instrução:

Interseção[f, a]

Serão apresentadas graficamente as soluções da equação f(x) = 0,5. Para obter os valores de x basta observar as abcissas dos pontos H, H1 e H2, na vista algébrica. Poderá ainda proceder de um modo semelhante se pretender encontrar a intersecção do gráfico de duas funções, escrevendo a instrução Interseção[f,g] depois de definida a função g.

Transformada de uma função por uma translação

No GeoGebra é possível obter a transformada de uma função associada a uma translação. Considerando a função f, atrás definida, e traçado um vector = (vx, vy), é possível obter a transformada através da instrução:

Transladar[f, u]

Por um lado, obtemos, na vista de álgebra, a expressão designatória da transformada da função, a função

g(x) = f(x – vx) + vy .

Por outro lado, na vista gráfica obtemos o gráfico da função g estendida ao domínio . Gráfico da restrição de uma função a um intervalo

Contudo, estando a função f definida apenas no intervalo [–1, 2], o gráfico da transformada de f pela translação associada ao vector corresponde na realidade à função h, cujo gráfico é representado a vermelho na figura anterior. A função h é a restrição de g ao intervalo [–1, 2]. Para obter o gráfico de h basta usar a instrução:

Função[g, –1, 2]

8

Funções polinomiais

O GeoGebra pode ser um bom auxiliar para trabalhar com funções polinomiais de variável real. Como obter o gráfico de uma função polinomial Imagine que pretendia o gráfico da função polinomial f(x) = (x – 2)(x + 2)(x – 1)(x + 1)(x – 3). Utilizando a barra de comandos do GeoGebra, pode introduzir a função de dois modos distintos, escrevendo a instrução:

Polinômio[x5–3x4–5x3+15x2+4x–12] ou Polinômio[(x–2)(x+2)(x–1)(x+1)(x–3)]

Apesar de podermos utilizar a segunda instrução, dando entrada ao polinómio factorizado, o GeoGebra interpreta-a e expande-a, apresentando a função polinomial, f, na forma canónica. Assim, podemos confirmar a seguinte identidade: (x – 2)(x + 2)(x – 1)(x + 1)(x – 3) = x5 – 3x4 – 5x3 + 15x2 + 4x – 12 Determinar as raízes de um polinómio Se pretendermos as raízes do polinómio, ou de um modo equivalente as soluções da equação f(x) = 0, basta escrevermos na linha de comandos:

Raiz[f]

Observando: – a vista gráfica, à direita, aparecem os pontos A, B, C, D e E que correspondem à intersecção do gráfico de f com o eixo dos xx, a recta de equação y = 0; – a vista de álgebra, à esquerda, obtemos as coordenadas dos pontos atrás referidos, deduzindo que as raízes da equação f(x) = 0 são os elementos do conjunto {–2, –1, 1, 2, 3}.

Resolver uma equação do tipo g(x) = t(x), onde g e t são funções polinomiais Suponhamos que g(x) = x5 + 15x2 + 4x, t(i) = 3x4 + 5x3 + 12 e que pretendíamos resolver a equação g(x) = t(x). Podemos, então, na linha de comandos, introduzir as funções através das instruções:

Polinômio[x5 + 15 x² + 4 x] Polinômio[3 x4 + 5 x³ + 12]

Para obtermos as soluções da equação g(x) = t(x) de-vemos obter as abcissas dos pontos de intersecção do gráfica das funções g e t. A forma de no GeoGebra obtermos os pontos de intersecção é utilizarmos, na linha de comandos, a instrução:

Interseção[g, t]

Observe-se que, apesar de na vista gráfica, da figura anterior, apenas visualizarmos três intersecções, ao observarmos a vista de álgebra são visualizadas as coordenadas cartesianas dos cinco pontos de intersecção dos gráficos da função f e g. Com um duplo clique sobre as coordenadas dos pontos da janela da vista algébrica o utilizador poderá confirmar que os pontos correspondem à instrução pedida.

As abcissas dos pontos A, B, C, D e E correspondem às soluções da equação pretendida. Podemos, então, verificar que:

g(x) = t(x) x = –2 x = –1 x = 1 x = 2 x = 3 Bibliografia Azevedo, Ana Inês; Dos Santos, José Manuel; Gonçalves, Raul Aparício. Eureka – Matemática A 10.º Ano. Porto Editora. Porto: 2007