geometria analítica e Álgebra vetorial

2017

Geometria analítica e ÁlGebra Vetorial

Profª. Grazielle JenskeProf. Leonardo Garcia dos SantosProf. Luiz Carlos Pitzer

Copyright © UNIASSELV 2017

Elaboração:

Profª. Grazielle Jenske

Prof. Leonardo Garcia dos Santos

Prof. Luiz Carlos Pitzer

Revisão, Diagramação e Produção:

Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI

Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri

UNIASSELVI – Indaial.

515.35

J51g Jenske, GrazielleGeometria analítica e álgebra vetorial / Grazielle Jenske; Leonardo Garcia dos Santos; Luiz Carlos Pitzer: UNIASSELVI, 2017. 263 p. : il. ISBN 978-85-515-0078-1

1. Equações Diferenciais.

I. Centro Universitário Leonardo da Vinci.

Impresso por:

III

apresentação

Prezado acadêmico! Seja bem-vindo à disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Vetorial. Ao iniciarmos este estudo, deveremos nos remeter inicialmente ao matemático francês René Descartes (1596 –1650, criador do ramo da matemática chamado Geometria Analítica), inspirando-nos com seu trabalho. Trabalho este que proporcionou a criação e aplicação do objeto principal de estudos desta disciplina, que é o de estudar o comportamento algébrico de entes geométricos, tais como retas, planos, vetores e curvas quadráticas.

Além disso, iremos trazer a você algumas aplicações de ferramentas e o modo como elas contribuem para a área da tecnologia e engenharia, sempre comentando seus aspectos teóricos e procurando envolver a prática necessária para o entendimento real dos seus conceitos.

Este livro de estudos está dividido em três unidades, que irão abordar a fundamentação necessária para a incorporação do conhecimento a respeito da Geometria Analítica e da Álgebra Vetorial, compreendendo matrizes, determinantes, sistemas de equações lineares, vetores e suas operações básicas, operações vetoriais, transformações lineares e aplicações e autovalores e autovetores.

Na Unidade 1 traremos todo um alicerce para a formação dos conteúdos que irão surgir nas unidades 2 e 3. Iremos estudar os conceitos de matrizes que posteriormente serão representações de vetores e transformações lineares, determinantes que serão excelente ferramenta de apoio às operações vetoriais e caracterização de conjuntos de vetores. E, por fim, a teoria dos sistemas de equações lineares, que servem de instrumento de cálculo para diversas aplicações na tecnologia e engenharia como um todo.

Na sequência, na Unidade 2, conheceremos a linguagem vetorial, que permite descrever de um modo bastante específico diversos fenômenos físicos, abordando, como forma de motivação, o papel fundamental que os vetores desempenham na área das ciências em geral. Além disso, perceberemos que esta linguagem descreve analiticamente situações extremamente práticas.

Em particular, desenvolveremos suas principais operações aritméticas e vetoriais e, num segundo momento, trataremos de como este estudo (o dos vetores) pode ser entendido e compreendido como uma poderosa ferramenta que proporcionou grande avanço tecnológico, com o estudo das transformações lineares e dos autovalores e autovetores.

Por fim, na Unidade 3 iremos conhecer o estudo de importantes entes geométricos no plano e no espaço. Este estudo percorrerá desde definições básicas de ponto, reta e plano, até a representação de curvas em R² e R³. Essa unidade será de grande valia para seus estudos, pois formará uma importante base para o estudo do Cálculo Diferencial e Integral e outras disciplinas específicas de seu curso.

IV

Deve ser aqui salientado que este material busca trazer uma abordagem profunda da disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Vetorial. Porém, obviamente, não se trata de todo o material possível que pode ser encontrado sobre estes assuntos (seria tema para mais de 500 páginas!). Sendo assim, sinta-se à vontade para buscar materiais de apoio e leituras complementares para aprofundar seus conhecimentos.

Como estudante, você sempre deve lembrar que para que ocorra seu aprendizado efetivo algumas coisas são fundamentais: a disciplina, a organização e um horário de estudos predefinido.

Esperamos que você, ao final deste estudo, possa ter alcançado os objetivos necessários, com um aprendizado sólido e que propicie a base fundamental para seu sucesso como acadêmico.

Bons estudos!

Profª. Grazielle JenskeProf. Leonardo Garcia dos SantosProf. Luiz Carlos Pitzer

Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novidades em nosso material.

Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura.

O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.

Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto em questão.

Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa continuar seus estudos com um material de qualidade.

Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de Desempenho de Estudantes – ENADE. Bons estudos!

UNI

V

Olá acadêmico! Para melhorar a qualidade dos materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza materiais que possuem o código QR Code, que é um código que permite que você acesse um conteúdo interativo relacionado ao tema que você está estudando. Para utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos e baixe um leitor de QR Code. Depois, é só aproveitar mais essa facilidade para aprimorar seus estudos!

UNI

VII

sumÁrio

UNIDADE 1 – MATRIZES E SISTEMAS LINEARES ...................................................................... 1

TÓPICO 1 – MATRIZES ......................................................................................................................... 31 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 32 ESTUDO DAS MATRIZES ................................................................................................................. 43 ELEMENTOS CORRESPONDENTES .............................................................................................. 7

3.1 IGUALDADE DE MATRIZES ........................................................................................................ 74 TIPOLOGIA DAS MATRIZES .......................................................................................................... 8

4.1 MATRIZ TRANSPOSTA ................................................................................................................. 84.2 MATRIZ OPOSTA ............................................................................................................................ 104.3 MATRIZ QUADRADA ................................................................................................................... 10

4.3.1 Matriz Triangular ................................................................................................................... 114.3.2 Matriz Diagonal ...................................................................................................................... 124.3.3 Matriz Identidade ................................................................................................................... 124.3.4 Matriz Simétrica ...................................................................................................................... 12

5 OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES .................................................................................................... 135.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES ................................................................................... 135.2 MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL ........................................ 155.3 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES .............................................................................................. 18

RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 29AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 30

TÓPICO 2 – DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES .................................................. 351 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 352 O CÁLCULO DO DETERMINANTE ............................................................................................... 35

2.1 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 1ª ORDEM .............................................................. 362.2 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 2ª ORDEM .............................................................. 372.3 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 3ª ORDEM – REGRA DE SARRUS ..................... 372.4 COFATOR ......................................................................................................................................... 402.5 DETERMINANTE DE ORDEM N > 3........................................................................................... 412.6 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES ................................................................................ 42

3 ESCALONAMENTO DE MATRIZES............................................................................................... 443.1 FORMA ESCALONADA DE UMA MATRIZ ............................................................................. 443.2 MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS ................................................................................... 453.3 O ESCALONAMENTO NO CÁLCULO DO DETERMINANTE ............................................. 50


TÓPICO 3 – SISTEMAS LINEARES .................................................................................................... 551 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 552 EQUAÇÃO LINEAR............................................................................................................................. 55

2.1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ...................................................................................... 562.2 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR ........................................................................... 56

3 RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR ..................................................................................... 59

VIII

3.1 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO ..................................................................................................... 593.2 MÉTODO DA ADIÇÃO .................................................................................................................. 613.3 REGRA DE CRAMER ..................................................................................................................... 663.4 SISTEMAS EQUIVALENTES ......................................................................................................... 70

3.4.1 Propriedades dos sistemas equivalentes ............................................................................. 703.5 SISTEMAS ESCALONADOS – MÉTODO DE GAUSS .............................................................. 71

4 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR ....................................................................................... 775 APLICAÇÕES DE SISTEMAS LINEARES ...................................................................................... 79LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................... 83RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................ 86AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 87

UNIDADE 2 – VETORES E SUAS APLICAÇÕES ............................................................................ 91

TÓPICO 1 – VETORES E SUAS OPERAÇÕES BÁSICAS .............................................................. 931 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 932 PLANO CARTESIANO ....................................................................................................................... 943 VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO............................................................................................ 96

3.1 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE VETOR ......................................................................... 973.2 DEFINIÇÃO ALGÉBRICA DE VETOR ........................................................................................ 98

4 OPERAÇÕES ENTRE VETORES ...................................................................................................... 1004.1 SOMA DE VETORES ....................................................................................................................... 1004.2 MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR ........................................................ 103


TÓPICO 2 – OPERAÇÕES VETORIAIS ............................................................................................. 1091 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 1092 MÓDULO OU NORMA DO VETOR ............................................................................................... 1093 VETOR UNITÁRIO E NORMALIZAÇÃO ..................................................................................... 1104 PRODUTO ESCALAR ......................................................................................................................... 1125 ÂNGULO ENTRE VETORES ............................................................................................................. 1126 PRODUTO VETORIAL ....................................................................................................................... 114

6.1 CÁLCULO DE ÁREA ...................................................................................................................... 1177 PRODUTO MISTO .............................................................................................................................. 121

7.1 CÁLCULO DE VOLUMES ............................................................................................................. 122RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................ 124AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 125

TÓPICO 3 – DEPENDÊNCIA LINEAR ............................................................................................... 1291 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 1292 COMBINAÇÕES LINEARES ............................................................................................................. 1293 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR ........................................................................... 1314 BASE ........................................................................................................................................................ 135

4.1 BASE ORTOGONAL ....................................................................................................................... 1374.2 BASE ORTONORMAL ................................................................................................................... 137


TÓPICO 4 – TRANSFORMAÇÃO LINEAR, AUTOVALORES E AUTOVETORES ................. 1411 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 1412 DEFINIÇÃO ........................................................................................................................................... 1413 LEI DE FORMAÇÃO DE UMA TRANSFORMAÇÃO ................................................................. 143

IX

4 IMAGEM E NÚCLEO DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR ............................................... 1445 TEOREMA DO NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO .................................. 1486 TRANSFORMAÇÕES PLANAS ESPECIAIS ................................................................................. 151

6.1 TRANSFORMAÇÃO DE REFLEXÃO .......................................................................................... 151 6.1.1 Em torno do eixo X ................................................................................................................ 151 6.1.2 Em torno do eixo Y ................................................................................................................ 1526.2 TRANSFORMAÇÃO DE PROJEÇÃO .......................................................................................... 153 6.2.1 Projeção sobre o eixo X .......................................................................................................... 153 6.2.2 Projeção sobre o eixo Y .......................................................................................................... 1546.3 TRANSFORMAÇÕES DE DILATAÇÃO OU CONTRAÇÃO ................................................... 155 6.3.1 Na direção do vetor ( α ∈ ) ......................................................................................... 155 6.3.2 Na direção do eixo X (horizontal)........................................................................................ 156 6.3.3 Na direção do eixo Y (vertical) ............................................................................................. 1576.4 TRANSFORMAÇÕES DE ROTAÇÃO (DE UM ÂNGULO α NO SENTIDO ANTI-HORÁRIO) .................................................................................................. 158

7 AUTOVALORES E AUTOVETORES ............................................................................................... 1607.1 AUTOVALORES E AUTOVETORES DE UMA MATRIZ .......................................................... 1617.2 MULTIPLICIDADE DOS AUTOVETORES DE UMA TRANSFORMAÇÃO ......................... 165

LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................... 166RESUMO DO TÓPICO 4........................................................................................................................ 170AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 171

UNIDADE 3 – GEOMETRIA ANALÍTICA ........................................................................................ 173

TÓPICO 1 – A RETA ................................................................................................................................ 1751 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 1752 EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA.................................................................................................... 1753 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA ...................................................................................... 177

3.1 RETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS........................................................................................ 1784 EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA ............................................................................................. 1785 EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA .............................................................................................. 1806 RETAS PARALELAS AOS PLANOS E AOS EIXOS COORDENADOS ................................... 1817 ÂNGULO DE DUAS RETAS .............................................................................................................. 1868 CONDIÇÃO DE PARALELISMO DE DUAS RETAS ................................................................... 1889 CONDIÇÃO DE ORTOGONALIDADE DE DUAS RETAS ........................................................ 18910 CONDIÇÃO DE COPLANARIDADE DE DUAS RETAS .......................................................... 19011 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS .................................................................................. 19112 INTERSEÇÃO DE DUAS RETAS.................................................................................................... 19213 RETA ORTOGONAL A DUAS RETAS .......................................................................................... 19314 DISTÂNCIAS ...................................................................................................................................... 194

14.1 DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA ........................................................................... 19514.2 DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS ........................................................................................... 196


TÓPICO 2 – O PLANO ........................................................................................................................... 2031 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 2032 EQUAÇÃO GERAL DO PLANO ....................................................................................................... 203

2.1 DETERMINAÇÃO DE UM PLANO ............................................................................................. 2062.2 PLANOS PARALELOS AOS EIXOS E AOS PLANOS COORDENADOS – CASOS PARTICULARES ................................................................................................................ 210

2.2.1 Planos que Passam pela Origem ........................................................................................... 210

X

2.2.2 Planos Paralelos aos Eixos Coordenados ............................................................................ 2102.2.3 Planos Paralelos aos Planos Coordenados .......................................................................... 212

3 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO .................................................................................. 2134 ÂNGULO ENTRE DOIS PLANOS ................................................................................................... 2145 CONDIÇÃO DE PARALELISMO E PERPENDICULARISMO ENTRE DOIS PLANOS ...... 2166 ÂNGULO DE UMA RETA COM UM PLANO ............................................................................... 2177 CONDIÇÃO DE PARALELISMO E PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO ..... 2188 INTERSEÇÃO ENTRE DOIS PLANOS ........................................................................................... 2199 INTERSEÇÃO DE RETA COM PLANO .......................................................................................... 220

9.1 INTERSEÇÃO DE PLANO COM OS EIXOS E PLANOS COORDENADOS ......................... 22010 DISTÂNCIAS ...................................................................................................................................... 221

10.1 DISTÂNCIA DE UM PONTO A UM PLANO .......................................................................... 22210.2 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PLANOS ......................................................................................... 223


TÓPICO 3 – CÔNICAS ........................................................................................................................... 2291 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 2292 CIRCUNFERÊNCIA ............................................................................................................................. 229

2.1 EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA ............................................................................ 2332.2 RECONHECENDO UMA EQUAÇÃO DE CIRCUNFERÊNCIA ............................................ 235

3 PARÁBOLA ............................................................................................................................................ 2383.1 EQUAÇÕES DA PARÁBOLA ........................................................................................................ 239

4 ELIPSE ..................................................................................................................................................... 2434.1 EQUAÇÕES DA ELIPSE ................................................................................................................. 245

5 HIPÉRBOLE ........................................................................................................................................... 2495.1 EQUAÇÕES DA HIPÉRBOLE ....................................................................................................... 250

LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................... 256RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................ 259AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 260

REFERÊNCIAS ......................................................................................................................................... 263

1

UNIDADE 1

MATRIZES E SISTEMAS LINEARES

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM

PLANO DE ESTUDOS

A partir desta unidade, você será capaz de:

• conceituar, operacionar e interpretar matrizes;

• calcular o determinante de uma matriz;

• utilizar a linguagem matricial e as operações com matrizes como instru-mento para interpretar dados e soluções;

• utilizar o cálculo de determinantes, a regra de Cramer e o escalonamento para a resolução e discussão de sistemas lineares.

Esta unidade está dividida em três tópicos. No final de cada um deles você encontrará atividades que reforçarão seu aprendizado.

TÓPICO 1 - MATRIZES

TÓPICO 2 - DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES

TÓPICO 3 - SISTEMAS LINEARES E SEU ENSINO

3

TÓPICO 1UNIDADE 1

MATRIZES

1 INTRODUÇÃO

A Matemática é uma ciência muito antiga, que desde os primórdios esteve presente no cotidiano das pessoas através da necessidade de quantificar coisas e animais, bem como medir o tempo. Já nos primeiros milênios de desenvolvimento da Matemática houve um problema que chegou a impossibilitar o seu avanço e até hoje é um grande desafio para os aprendizes dessa ciência. Este problema é o modo de representar matematicamente quantidades, expressões e situações, ou seja, transformar a linguagem falada para a notação matemática.

Atualmente, a Álgebra Linear, uma subárea da matemática, se propõe a estudar a forma de representar situações cotidianas através da notação e metodologia matricial. E não as encontramos apenas no estudo da matemática, mas também na engenharia, informática, nas tabelas financeiras etc.

As matrizes e os sistemas lineares têm larga aplicação em problemas práticos, especialmente na área de Engenharia. Por exemplo, na Engenharia Civil o uso das matrizes é de extrema importância para a divisão dos metros e distribuição de material na construção de uma estrutura de sustentação; em situações que envolvem grande número de variáveis para resolver problemas de Elementos Finitos, especialmente utilizados em problemas de Engenharia Civil e Mecânica; em projetos de estruturas metálicas, que exigem a resolução de um sistema de equações lineares; nos estudos da elasticidade e das deformações e tensões em placas metálicas; em projetos de eixos traseiros de um automóvel, por envolver grande número de variáveis a serem testadas e analisadas; em análises de circuitos elétricos; em problemas que relacionam o deslocamento e o tempo; para codificar e decodificar mensagens, em modelos populacionais, em modelos de probabilidades, em pesquisas operacionais e outras diversas situações.

É importante salientar que existem dois problemas que dificultam trabalhar com aplicações de matrizes: 1) para modelar certos problemas é necessário um maior conhecimento matemático; 2) mesmo nos problemas fáceis de modelar, suas soluções, na maioria das vezes, exigem conhecimento de teorias mais sofisticadas. Desta forma, o objetivo deste tópico é dar uma visão geral do conteúdo de matrizes, ou seja, pretende-se definir o que é uma matriz, alguns tipos de matrizes, suas operações aritméticas, como também estabelecer algumas de suas propriedades algébricas para que possa servir de subsídio na construção de conhecimentos futuros.

UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES

4

2 ESTUDO DAS MATRIZES

Matrizes são formas de organizarmos informações em linhas e colunas, obtendo agrupamentos retangulares, de modo a facilitar a interpretação e manipulação das informações ali descritas. Segundo Paiva (2013, p. 95), denomina-se "matriz do tipo m x n (lê-se m por n) toda tabela de números dispostos em m linhas e n colunas. Tal tabela deve ser representada entre parênteses ( ) ou colchetes [ ]".

Acompanhe a seguinte situação de montagem de uma matriz: Um engenheiro que trabalha de segunda a sexta realizou a supervisão do seguinte número de projetos da sua equipe por dia em três semanas de trabalho:

• Semana 1 - 5, 2, 7, 8, 6.• Semana 2 - 10, 7, 6, 8, 9.• Semana 3 - 4, 7, 3, 8, 6.

Imagine uma matriz que represente nas linhas as semanas de trabalho e nas colunas os projetos supervisionados, nos cinco dias da semana em ordem cronológica. Como são três semanas de trabalho, teremos uma matriz com apenas três linhas. Já os dias trabalhados são cinco, portanto o número de colunas será de cinco. Assim, a matriz resultante deste fato ficará:

3x5

5 2 7 8 6 10 7 6 8 9

4 7 3 8 6 A

=

A matriz é representada por uma letra maiúscula do alfabeto e cada item da matriz é denominado de elemento.

NOTA

Concluindo, a matriz será de ordem 3x5 (leia-se três por cinco), pois tem três linhas e cinco colunas. É importante lembrar que sempre escrevemos primeiro o número de linhas e depois o número de colunas. Observe que o elemento 5 está na primeira linha e na primeira coluna, o qual indicamos por a11 e lemos “o elemento a um um é igual a 5”. O elemento 10 está na segunda linha e na primeira coluna, o qual indicamos por a21 e lemos “o elemento a dois um é igual a 10”. O elemento 4 está na terceira linha e na primeira coluna, o qual indicamos por a31 e lemos “o elemento a três um é igual a 4”.

TÓPICO 1 | MATRIZES

5

Dessa forma, para representar o elemento de uma matriz, usamos uma letra com dois índices: o primeiro indica em que linha (i) o elemento se encontra e o segundo em que coluna (j), genericamente indicado por aij. Por exemplo: a23 é o elemento que está na segunda linha e na terceira coluna.

A matriz A, do tipo m x n (leia-se m por n), será escrita, genericamente, do seguinte modo:

IMPORTANTE

11 12 13 1

21 22 23 2

m1 m2 m3 m

…

…=

…mxn

n

n

n

a a a aa a a a

A

a a a a

Exemplo 1: Dada a seguinte matriz quadrada de ordem 2, escreva a matriz A, com aij assumindo os seguintes valores:

ij

ij

a 2 , A .

a 0, i j parai j

parai j= + ≥

= = <

Resolução: Como a matriz é 2x2, ela deverá ter quatro elementos, conforme a matriz genérica:

11 12

21 22 2 2

a aA

a a x

=

Desta forma, os elementos em que na sua posição o número de linhas (i) for maior ou igual ao número de colunas (j), serão determinados pela fórmula “i + 2j”, que é o que afirma a primeira condição, ija i 2 j, para i j= + ≥ . Assim:

a11 = 3 (sendo i = 1 e j = 1, então: i + 2j = 1 + 2·1 = 3) a21 = 4 (sendo i = 2 e j = 1, então: i + 2j = 2 + 2·1 = 4) a22 = 5 (sendo i = 2 e j = 2, então: i + 2j = 2 + 2·2 = 6)


6

Já os elementos em que na sua posição o número de linhas (i) for menor que o número de colunas (j), serão determinados pela fórmula “ ija 0, para i j= < ”. Neste caso, apenas o elemento de posição a12 obedece este critério, assim:

a12 = 0 (neste caso em que i = 1 e j = 2 (i < j), o valor deste elemento é 0)

Portanto, a matriz A será igual a:

2 2

3 0A

4 6

= x

Exemplo 2: Construa a matriz quadrada de ordem 3, ijC c= , sendo 2 2.ijc i j= +

Resolução: Tomemos, inicialmente, a matriz genérica de ordem 3.

11 12 13

21 22 23

31 32 33 3x3

c c cC c c c

c c c

=

Agora, basta aplicar a fórmula 2 2ijc i j= + para definir o valor de cada

elemento, levando em consideração sua posição na matriz. Lembre que o i representa a posição do elemento em relação à linha e o j representa a posição do elemento em relação à coluna.

2 2

2 211

2 221

2 231

2 212

2 222

2 232

2 213

2 223

2 233

1 1 1 1 22 1 4 1 53 1 9 1 101 2 1 4 52 2 4 4 83 2 9 4 131 3 1 9 102 3 4 9 133 3 9 9 18

ijc i j

ccccccccc

= +

= + = + =

= + = + =

= + = + =

= + = + =

= + = + =

= + = + =

= + = + =

= + = + =

= + = + =

2 2

2 211

2 221

2 231

2 212

2 222

2 232

2 213

2 223

2 233

1 1 1 1 22 1 4 1 53 1 9 1 101 2 1 4 52 2 4 4 83 2 9 4 131 3 1 9 102 3 4 9 133 3 9 9 18

ijc i j

ccccccccc

= +

= + = + =

= + = + =

= + = + =

= + = + =

= + = + =

= + = + =

= + = + =

= + = + =

= + = + =

Assim, a matriz C será igual a:

3x3

2 5 10C 5 8 13

10 13 18

=


7

3 ELEMENTOS CORRESPONDENTES

Para Facchini (1996, p. 174, grifos do original), “quando temos duas matrizes A e B do mesmo tipo m x n, os elementos de mesma posição (mesma linha e mesma coluna) nas duas matrizes são chamados elementos correspondentes”.

Genericamente, dadas duas matrizes de mesma ordem (ou tipo), A e B:

11 12 13 1n 11 12 13 1n

21 22 23 2n 21 22 23 2n

m1 m2 m3 mn m1 m2 m3 mnmxn mxn

a a a a b b b b a a a a b b b b

A e B

a a a a b b b b

… … … … = =

… …

Podemos afirmar que:

a11 e b11 são correspondentes.a12 e b12 são correspondentes.a13 e b13 são correspondentes. amn e bmn são correspondentes.

3.1 IGUALDADE DE MATRIZES

Para Paiva (2013, p. 97), “duas matrizes do mesmo tipo são iguais quando todos os seus elementos correspondentes são iguais”. Simbolicamente, podemos escrever, sendo A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, temos A = B quando aij = bij para todo i (i = 1, 2, 3, ..., m) e todo j (j = 1, 2, 3, ..., n).

Exemplo 3: Dadas as matrizes ( )ij ij2x2

2 1A a ,a 3i j e B

x x y

= = − = + , deter-

mine x e y sabendo que A = B.

Resolução: Vamos iniciar determinando os elementos da matriz A.

11 12

21 22 2 2

a aA

a a x

=

ij

11

21

12

22

a 3i ja 3 1 1 2a 3 2 1 5a 3 1 2 1a 3 2 2 4

= −

= ⋅ − =⋅= − =

= ⋅ − == ⋅ − =


8

Assim, a matriz A é: 2 2

2 1A

5 4 x

=

Sabemos que A = B, para isso, seus elementos também devem ser iguais.

Desta forma, temos que:

Portanto, x = 5 e y = - 1.

4 TIPOLOGIA DAS MATRIZES

Nas representações de matrizes, temos nomenclaturas específicas para cada tipo de matriz, conforme apresentadas a seguir.

4.1 MATRIZ TRANSPOSTA

Segundo Facchini (1996, p. 176), “dada uma matriz A = (aij)mxn, chamamos de matriz transposta de A (e indicamos At) a matriz do tipo nxm, que tem linhas ordenadamente iguais às colunas de A”. Em outras palavras, a matriz At é obtida trocando-se as linhas pelas colunas da matriz A. Simbolicamente, podemos representar por At = (a’ji)nxm, tal que a’ji = aij.

Exemplo 4: t2 4 2 8A transposta de A é a A

8 6 4 6

= = Observe que:

a11 = 2 = a’11a21 = 8 = a’12a12 = 4 = a’21a22 = 6 = a’22

Exemplo 5: A matriz 1 2 3

2 1A x y z

z

=

admite a transposta 1 2

2 13 6

t

xA x y

y y z

= − −

.

Nestas condições, calcule x, y e z.

11 11

21 21

12 12

22 22

a b 2 2a b 5 xa b 1 1a b 4 x y Como x 5, então : 4 5 y y 1

= ⇔ == ⇔ == ⇔ == ⇔ = + = = + ⇔ = −


9

Resolução: Denominamos de matriz transposta de A a matriz At = (a’ji)nxm, tal que a’ji = aij. Em outras palavras, a matriz At é obtida trocando-se as linhas pelas colunas da matriz A. Assim, podemos estabelecer a seguinte relação para a matriz genérica de A:

11 12 13

21 22 23

31 32 33 3x3

a a aA a a a

a a a

=

11 11

21 12

31 13

12 21

22 22

32 23

13 31

23 32

33 33

a a'a a'a a'a a'a a'a a'a a'a a'

'a a

=========

11 11

21 12

31 13

12 21

22 22

32 23

13 31

23 32

33 33

a a'a a'a a'a a'a a'a a'a a'a a'

'a a

=========

O elemento aij corresponde à matriz A e o elemento a’ij corresponde à matriz At (transposta de A). Acadêmico, note também que os elementos da diagonal principal não se alteram, visto que i = j.

ATENCAO

Considerando a matriz A e sua transposta At, podemos estabelecer:

11 11

21 12

31 13

12 21

22 22

32 23

13 31

a a' 1 1a a' x xa a' 2 2a a' 2 x 2 x 4a a' y ya a' 1 1a a' 3 3y y 1

= ⇔ == ⇔ == ⇔ =

= ⇔ = − ⇔ == ⇔ == ⇔ == ⇔ = ⇔ =


10

23 32

33 33

a a' z 6 y Como sabemos que y 1, então : z 6 1 z 5a a' z z

= ⇔ = − = = − ⇔ == ⇔ =

Portanto, x = 4, y = 1 e z = 5.

4.2 MATRIZ OPOSTA

Dada uma matriz A = (aij)mxn, a sua matriz oposta será definida por – A = (– aij)mxn.Isso significa que a matriz oposta da matriz A é aquela que possui elementos opostos correspondentes ao da matriz A.

2 -4 -2 4a) A matriz oposta de A é - A .

8 6 -8 -6

= =

Observe que:

a11 = 2 e é oposto de (-a11) = - 2a21 = 8 e é oposto de (-a21) = - 8a12 = - 4 e é oposto de (-a12) = 4a22 = 6 e é oposto de (-a22) = - 6

1 -2 3 -1 2 -3b) A matriz oposta de B é - B .

4 5 -6 -4 -5 6

= =

a b c -a -b -cc) A matriz oposta de C d e f é - C -d -e -f .

g h i -g -h -i

= =

4.3 MATRIZ QUADRADA

Para Paiva (2013, p. 96), “matriz quadrada é toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas”, ou seja, quando m = n, dizemos que a matriz é quadrada de ordem nxn ou simplesmente de ordem n.

( )3 5

A é uma matriz quadrada de ordem 2 m n 22 6

= = =


11

� �5 3 10

B -1 -4 6 é uma matriz quadrada de ordem 3 m n 3

12 0 -

2

� ��

� � ��

Acadêmico, numa matriz quadrada de ordem n, os elementos a11, a22, a33, ... ann formam a diagonal principal da matriz. A outra diagonal da matriz quadrada é denominada diagonal secundária.

Acadêmico, as classificações a seguir são utilizadas somente para matrizes quadradas, ou seja, matrizes de ordem n.

Um termo utilizado na diagonal principal é denominado de traço, que em uma matriz quadrada representa a soma dos elementos da diagonal principal.

IMPORTANTE

4.3.1 Matriz Triangular

Em uma matriz quadrada, quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos (iguais a zero), dizemos que a matriz é triangular.

7 0 0A 8 1 0

2 9 -5

=

todos os elementos acima da diagonal principal da matriz A são nulos.

1 4 7 6

0 3 8 5B

0 0 0 3

0 0 0 4

=

todos os elementos abaixo da diagonal principal da matriz B são nulos.

Diagonal secundária

Diagonal principal


12

4.3.2 Matriz Diagonal

Em uma matriz quadrada de ordem n, quando todos os elementos posicionados acima e abaixo da diagonal principal são nulos, denominamos de matriz diagonal.

1 0 0 0 2 0 0

0 5 0 0 6 0 A B 0 1 0 C

0 0 9 0 0 3 0 0 8

0 0 0 2

= = = −

4.3.3 Matriz Identidade

Em uma matriz quadrada de ordem n, quando todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero, denominamos de matriz identidade e seu símbolo é In (onde n representa a ordem da matriz).

5 3 2

1 0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0 I I 0 1 0 I

0 0 1 0 0 1 0 0 1

0 0 0 1

= = =

4.3.4 Matriz Simétrica

Em uma matriz quadrada, quando tiver o elemento aij igual ao elemento aji, a matriz é denominada de simétrica.

Exemplo 6: Matrizes simétricas.

1 2 6 9 1 4 5

2 3 7 2 A B 4 2 6 C

6 7 7 1

5 6 39 2 1 4

a cc b

= = =

Exemplo 7: Uma matriz A é simétrica se, e somente se, tA A= . Determine o

valor de a para que 21

A 2a

a

=

seja simétrica.

Resolução: A matriz transposta de A é: 2

1 A

2t a

a

=


13

A condição de simetria nos garante que e, como vimos no exemplo 3:

11 11

21 12

12 21

22 22

a a'a a'a a'a a'

====

Neste caso:

11 112

21 122

12 21

22 22

a a' 1 1a a'a a'a a' 2 2

a aa a

= ⇔ =

= ⇔ =

= ⇔ == ⇔ =

Para descobrirmos o valor de a, basta calcular a equação a = a2.

a2 – a = 0 (é uma equação do segundo grau incompleta, pois falta o termo c)a ( a – 1) = 0Desta forma a’ = 0 e,a” – 1 = 0a” = 1

Portanto, para que as matrizes sejam simétricas, o valor de a deve ser 0 ou 1.

5 OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES

Após o conhecimento de algumas das principais características acerca do estudo das matrizes, há a necessidade de operá-las entre si. A seguir, estudaremos as operações de adição (e subtração), multiplicação por escalar e multiplicação entre matrizes. Estas operações são bem definidas e são munidas das principais propriedades das operações usuais entre números reais.

5.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES

Inicialmente, consideremos duas matrizes A e B do tipo 2x3:

3 5 2 1 4 1A B

4 7 6 6 3 2− − −

= = −

Para determinar uma matriz C, dada por C = A + B, devemos encontrar uma matriz tal qual cada elemento possua a seguinte característica: cij = aij + bij.

tA A=


14

Portanto, os seis elementos de C (2x3 = 6) deverão ser obtidos a partir da operação com cada termo correspondente em A e B. Vejamos como ficará a adição dessas duas matrizes.

c11 = a11 + b11 = 3 + 1 = 4c21 = a21 + b21 = 4 + 6 = 10c12 = a12 + b12 = 5 + (– 4) = 5 – 4 = 1 c22 = a22 + b22 = 7 + 3 = 10 c13 = a13 + b13 = (– 2) + (– 1) = – 2 – 1 = – 3 c23= a23 + b23 = (– 6) + 2 = – 4

= 5 + (– 4) = 5 – 4 = 1

= (– 2) + (– 1) = – 2 – 1 = – 3 = (– 6) + 2 = – 4

É simples, mas precisamos ter atenção, principalmente nos

sinais!

Portanto: A + B = C e podemos operacionalizar da seguinte maneira:

( ) ( ) ( )( )

3 1 5 4 2 13 5 2 1 4 1 4 1 34 6 7 3 6 24 7 6 6 3 2 10 10 4

+ + − − + − − − − − + = = + + − +− −

Note, acadêmico, que somente é possível somar matrizes que possuem a mesma ordem, isto é, o mesmo número de linhas e colunas.

IMPORTANTE

Assim, podemos concluir:

• Denominamos de matriz C a soma da matriz A com a matriz B ou a soma das matrizes A e B.

Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo mxn, a soma da matriz A com a matriz B, que representamos por A + B, é a matriz C do tipo mxn que é obtida adicionando cada elemento correspondente de A e B.

Definição: Sejam duas matrizes A = (aij) e B = (bjj) de ordem mxn, a soma A + B é a matriz C = ( ijc ) de ordem mxn, tal que: ijc = ija + ijb , para i = 1, 2, 3, ..., m e j = 1, 2, 3, ..., n.


15

Para a subtração de matrizes, utilizaremos a ideia de soma com a matriz oposta. Assim, sendo A e B duas matrizes do tipo mxn, denominamos diferença entre A e B (representada por A - B) a soma da matriz A com a matriz oposta de B, isto é, A - B = A + (-B).

ATENCAO

Vejamos, também, uma demonstração de subtração de matrizes. Dadas as matrizes A e B anteriores e vamos determinar a matriz D resultante da subtração A – B.

3 5 2 1 4 1A B

4 7 6 6 3 2− − −

= = −

( ) ( ) ij ij ijD A B A B d a b= − = + − ⇔ = + −

d11 = a11 + (-b11) = 3 + (– 1) = 3 – 1 = 2d21 = a21 + (-b21) = 4 + (– 6) = 4 – 6 = – 2d12 = a12 + (-b12) = 5 + (+ 4) = 5 + 4 = 9 d22 = a22 + (-b22) = 7 + (– 3) = 7 – 3 = 4 d13 = a13 + (-b13) = (– 2) + (+ 1) = – 2 + 1 = – 1 d23 = a23 + (-b23) = (– 6) + (– 2) = – 6 – 2 = – 8

Portanto: D = A + (– B) e podemos operacionalizar da seguinte maneira:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

3 1 5 4 2 13 5 2 1 4 1D

4 6 7 3 6 24 7 6 6 3 2+ − + + − + + − − + +

= + = = + − + − − + −− − − −

3 1 5 4 2 1 2 9 1D

4 6 7 3 6 2 2 4 8− + − + −

= ⇔ = − − − − − −

5.2 MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL

Dada a matriz 5 8 1

A4 3 6

− = −

, vamos determinar A + A.

( ) ( )( ) ( )

5 5 8 8 1 15 8 1 5 8 1A A

4 4 3 3 6 64 3 6 4 3 6+ + − + − − −

+ = + = − + − + +− −

10 16 2A A

8 6 12−

+ = −


16

Considerando que A + A = 2·A, temos:

( )( )2.5 2·8 2· 15 8 1 10 16 2

2·A 2·2· 4 2·3 2·64 3 6 8 6 12

− − − = = = −− −

Desta forma, observamos que a multiplicação é obtida a partir da multiplicação termo a termo de todos os elementos da matriz indicada, o que contempla a ideia de adição de parcelas iguais. Iremos formalizar esta operação com a definição dada a seguir:

Definição: Seja a matriz A = (aij)mxn e k um número real. O produto de K pela matriz A (indica-se: K·A) é a matriz B = (bij)mxn, em que bij = k·aij, para todo i (i = 1, 2, 3, ..., m) e para todo j (j = 1, 2, 3, ..., n).

Observe os exemplos a seguir:

( ) ( )8) Se A 2 5 8 , então 3 · A 6 15 24 .= =

2 44 8 19) Se B , então ·A .55 10 2 52

= =

( )3 2 3 6 4 2 3

10) Se C 1 5 7 , então 2 ·C 2 10 14 .4 1 0 8 2 0

− − −

= − − = − − − −

Exemplo 8: Dadas as matrizes:

1 2 3 2 0 1

2 1 1 3 0 1A e B

− = = −

Calcule 2 3A B+ .

Resolução: Vamos calcular as multiplicações pelo escalar primeiramente e posteriormente somar.

1 2 3 2 0 12A 3B 2 3

2 1 1 3 0 1−

+ = ⋅ + ⋅ −

2 4 6 6 0 3 2 6 4 0 6 3 4 4 92A 3B

4 2 2 9 0 3 4 9 2 0 2 3 13 2 1− − + + −

+ = + = = − + + − +


17

Exemplo 9: Sejam as matrizes A = (aij)2x2, com aij = 2i – j2 e B = (bij)2x2, com bij

= aij - 1, encontre a matriz X de modo que: X – 2A + B = 0.

Resolução: Vamos iniciar construindo as matrizes A e B.

Matriz AComo é uma matriz 2x2, sua genérica é:

11 12

21 22

a aA

a a

=

Conforme orienta o enunciado, cada elemento aij será determinado por aij= 2i – j2.

aij = 2i – j22

112

212

122

22

a 2 1 1 2 1 1a 2 2 1 4 1 3a 2 1 2 2 4 2a 2 2 2 4 4 0

= ⋅ − = − =

= ⋅ − = − =

= ⋅ − = − = −

= ⋅ − = − =

1 2A

3 0−

=

Matriz BComo é uma matriz 2x2, sua genérica é:

11 12

21 22

b bB

b b

=

Conforme orienta o enunciado, cada elemento bij será determinado por bij = aij - 1.

Este valor (aij) você irá buscar na matriz A.

11

21

12

22

– 1b 1 1 0b 3 1 2b 2 1 3b 0 1 1

ij ijb a=

= − == − == − − = −= − = −

Determinadas as matrizes A e B, vamos resolver a equação X – 2A + B = 0.

0 3B

2 1−

= −


18

Assim como em uma equação do primeiro grau, sugerimos isolar a matriz X antes de substituir as matrizes.

DICAS

X – 2A + B = 0X = 2A – B

( )

( )

1 2 0 3X 2

3 0 2 1

0 32 1 2 2X

2 12 3 2 0

2 4 0 3X

6 0 2 1

2 4 0 3X

6 0 2 1

2 0 4 3X

6 2 0 1

2 1X .

4 1Essa é a matriz X

− − = ⋅ − −

− ⋅ ⋅ − = − −⋅ ⋅

− − = − −

− = + −

+ − + = + − +

− =

5.3 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

0 3 0 30 3−0 3 0 3−0 3

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 1−2 1 2 1−2 1

Lembre-se de que resolvemos a subtração de matrizes somando a

matriz oposta!

Acadêmico, a multiplicação de matrizes não é uma operação tão simples como as outras já estudadas até aqui, pois não basta multiplicar os elementos correspondentes. Fique atento à explicação!

ATENCAO

Vamos iniciar este conceito com uma situação-problema. Nela são apresentadas as notas referentes à disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear dos acadêmicos Cristiane, Leonardo e Luiz em quatro avaliações propostas.


19

Avaliação 1 Avaliação 2 Avaliação 3 Avaliação 4

Cristiane 7 6 7 8

Leonardo 4 5 5 7

Luiz 8 7 9 10

Para calcular a média final da disciplina, o professor deve fazer uma média ponderada, em que a avaliação 1 tem peso 1,5, a avaliação 2 também tem peso 1,5, a avaliação 3 tem peso 4 e a avaliação 4 tem peso 3. Assim, a média de cada aluno será determinada pela fórmula: ( ) ( ) ( ) ( )Avaliação1 1,5 Avaliação 2 1,5 Avaliação 3 4 Avaliação 4 3

1,5 1,5 4 3× + × + × + ×

+ + +.

O que equivale a escrever:

A tabela de notas pode ser representada pela matriz:

3 4

7 6 7 8A 4 5 5 7

8 7 9 10x

=

E os pesos das avaliações, pela matriz:

4 1

0,150,150,400,3

B

0 x

=

Agora, vamos calcular as médias dos alunos nesta disciplina:

( ) ( ) ( ) ( )Avaliação1 0,15 Avaliação2 0,15 Avaliação3 0,40 Avaliação4 0,30× + × + × + ×

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Cristiane : 7 0,15 6 0,15 7 0,40 8 0,30 7,15

Leonardo : 4 0,15 5 0,15 5 0,40 7 0,30 5,45

Luiz : 8 0,15 7 0,15 9 0,40 10 0,30 8,85

× + × + × + × =

× + × + × + × =

× + × + × + × =

Essas médias podem ser registradas em uma matriz C, que é o produto da matriz A (notas) pela matriz B (pesos):

3x1

7,15C 5,45

8,85

=

O processo utilizado para obter-se a matriz C nos mostra o processo prático para realizar o produto entre duas matrizes (A e B). Iremos agora formalizar este conceito através da definição a seguir:


20

Definição: Dada uma matriz A = (ajj) do tipo mxn e uma matriz B = (bjj) do tipo nxp, o produto da matriz A pela matriz B é a matriz C = (cij) do tipo mxp, tal que o elemento cij é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i, da matriz A, pelos elementos da coluna j, da matriz B, e somando-se os produtos obtidos. Para dizer que a matriz C é o produto de A por B, vamos indicá-la por AB.

Observe que só definimos o produto A·B de duas matrizes quando o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B; além disso, notamos que o produto AB possui o número de linhas de A e o número de colunas de B: A

mxn . B

nxp = AB

mxp.

ATENCAO

Exemplo 10: Acompanhe a multiplicação das matrizes A de ordem 3x2 e B de ordem 2x4:

É muito importante observar que o produto entre as matrizes A e B só é possível quando a quantidade de colunas da primeira matriz é igual à quantidade de linhas da segunda matriz. Isso pode ser visto na própria definição no momento onde é citado o fato de que A possui n colunas e B n linhas. Caso esta igualdade não seja satisfeita, o primeiro fato a observar é que só podemos multiplicar matrizes quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. Note que na definição A tem n colunas e B tem n linhas. Essa igualdade tem que ocorrer para que a multiplicação possa ser calculada. Como A possui duas colunas e B possui duas linhas, podemos calcular C = A·B

1 21 1 2 2

C 2 3 B 2 3 3 2

3 4e

= =

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

1 21 1 2 2

C 2 3 2 3 3 2

3 4

C C C CA B C C C C

C C C C

= ⋅ = ⋅ =


21

Sabemos que a matriz C terá ordem 3x4 devido à definição, pois a ordem da matriz resultante da multiplicação de duas matrizes herda o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda. Observe:

3 2 2 4 3 4x x xA B C⋅ =

Agora precisamos definir os elementos cij da matriz resultante C e para isso é necessário saber que:

• c11 é o resultado da multiplicação dos elementos da 1ª linha da matriz A com os elementos da 1ª coluna da matriz B;








• e assim por diante...

Observe o cálculo de cada elemento da matriz resultante C:

[ ]

[ ]

11

1ª1ª

12

11 2 1 1 2 2 1 4 5

2

11 2 1 1 2 3 1 6 7

3

Linha AColuna B

c

c

= ⋅ = ⋅ + ⋅ = + =

= ⋅ = ⋅ + ⋅ = + =


22

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

13

14

21

22

21 2 1 2 2 3 2 6 8

3

21 2 1 2 2 2 2 4 6

2

12 3 2 1 3 2 2 6 8

2

12 3 2 1 3 3 2 9 11

3

c

c

c

c

= ⋅ = ⋅ + ⋅ = + =

= ⋅ = ⋅ + ⋅ = + =

= ⋅ = ⋅ + ⋅ = + =

= ⋅ = ⋅ + ⋅ = + =

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

23

24

33

34

22 3 2 2 3 3 4 9 13

3

22 3 2 2 3 2 4 6 10

2

23 4 3 2 4 3 6 12 18

3

23 4 3 2 4 2 6 8 14

2

c

c

c

c

= ⋅ = ⋅ + ⋅ = + =

= ⋅ = ⋅ + ⋅ = + =

= ⋅ = ⋅ + ⋅ = + =

= ⋅ = ⋅ + ⋅ = + =

Com isso, finalmente, teremos:

[ ]

[ ]

31

32

13 4 3 1 4 2 3 8 11

2

13 4 3 1 4 3 3 12 15

3

c

c

= ⋅ = ⋅ + ⋅ = + =

= ⋅ = ⋅ + ⋅ = + =

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

1 2 5 7 8 61 1 2 2

2 3 8 11 13 102 3 3 2

3 4 11 15 18 14

c c c cC A B c c c c

c c c c

= ⋅ = ⋅ = =

Nunca esqueça: todos os elementos das linhas da primeira matriz multiplicam todos os elementos das colunas da segunda matriz.

IMPORTANTE


23

Exemplo 11: Seja A = (aij) a matriz 2x2 real definida por aij = 1 se i ≤ j e aij = -1 se i > j. Calcule A2.

Resolução: Vamos iniciar construindo a matriz A.

Como é uma matriz 2x2, sua genérica é: 11 12

21 22

a aA

a a

=

Conforme orienta o enunciado, cada elemento aij será determinado por aij = 1 se i ≤ j e aij = -1 se i > j.

Agora basta calcularmos A2.

11

21

12

22

a 1a 1a 1a 1

== −==

1 1A

1 1

= −

Calcular A2 não é elevar cada um de seus elementos ao quadrado, mas sim multiplicar a matriz por ela mesma, ou seja, A2 = A·A.

ATENCAO

2 1 1 1 1A A A

1 1 1 1

= ⋅ = ⋅ − −

Para resolver esta multiplicação, é necessário verificar se o número de linhas da primeira matriz é igual ao número de colunas da segunda matriz.

22x2 2x2 2x2A A A⋅ =

( )( ) ( ) ( )

2

2

1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1A

1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1

1 1 1 1 0 2A

1 1 1 1 2 0

⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ = − ⋅ + ⋅ − − ⋅ + ⋅− −

− + = = − − − + −


24

Exemplo 12: (UFRJ) uma confecção vai fabricar três tipos de roupas utilizando três materiais diferentes. Considere a matriz A abaixo, onde cada elemento aij representa quantas unidades de material j serão empregados para fabricação de roupas do tipo i.

5 0 2A 0 1 3

4 2 1

=

a) Quantas unidades de material 3 serão empregadas na confecção de uma roupa tipo 2?

b) Calcule o total de unidades do material 1 que será empregado para fabricar cinco roupas do tipo 1, quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo 3.

Resolução: De acordo com o enunciado, temos a tabela:

Material 1 Material 2 Material 3Roupa tipo 1 5 0 2Roupa tipo 2 0 1 3Roupa tipo 3 4 2 1

a) O número de unidades de material j = 3 na confecção de uma roupa tipo i = 2 é o elemento a23 da matriz A, ou melhor, é o elemento da segunda linha com a terceira coluna a23 = 3 unidades.

b) O valor procurado é 5a11 + 4a21 + 2a31 = 5×5 + 4×0 + 2×4 = 25 + 0 + 8 = 33 unidades.

Exemplo 13: (PUC) Um batalhão do exército resolveu codificar suas mensagens através da multiplicação de matrizes. Primeiramente, associa as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo considerada:

Desta forma, supondo que o batalhão, em questão, deseja enviar a mensagem "PAZ", pode-se tomar uma matriz 2x2, da forma: P A

Z −

a qual, usando-se da tabela acima, será dado por:


25

Tomando-se a matriz-chave C para o código, isto é: 2 31 2

transmite-

se a mensagem "PAZ" através da multiplicação das matrizes M e C, ou seja: 15 1 2 3 31 47

M C25 0 1 2 50 75

⋅ = ⋅ =

. Ou através da cadeia de números 31 47 50 75. Desta forma, utilizando-se a mesma matriz-chave C, a decodificação da mensagem 51 81 9 14 será compreendida pelo batalhão como a transmissão da palavra:

a) LUTEb) FOGOc) AMORd) VIDAe) FUGA

Resolução: Para construir a Matriz D vamos usar o fato de que D é a matriz inversa de C se, e somente se, C×D = D×C = I, onde I é matriz identidade. Depois, basta resolvermos os sistemas de equações resultantes.

15 125 0

Como já falamos, só existe a inversa de matrizes quadradas. E mais do que isso, a inversa A-1 terá sempre a mesma ordem da matriz A, além disso, a identidade I também terá essa mesma ordem.

IMPORTANTE

Acadêmico, veja que a matriz C codificou a mensagem multiplicando a matriz M pela direita, assim, temos que decifrar a mensagem também pela direita


26

multiplicando por D = C-1, pois a propriedade comutativa no produto de matrizes não é válida. Decodificando a mensagem 51 81 9 14, encontramos:

Logo, a mensagem 51 81 9 14 será compreendida como 21 9 4 1, correspondendo à palavra VIDA, e a alternativa (D) é a opção correta.

Exemplo 14: (SILVA, 2013) Neste exemplo, estuda-se a viabilidade para implantação de um novo sistema de transporte de massas (poderia ser um sistema de metrô) numa certa cidade. As autoridades fizeram estudos que previram o percentual de pessoas que migrarão para esse novo sistema de transporte de massas (M), e o percentual de pessoas que continuarão a dirigir seus automóveis (A). Foi obtida a seguinte tabela:

Esse Ano

M A

Próximo Ano M 0,7 0,2

A 0,3 0,8

Escrita como matriz de transição o de transporte de massas (T), temos,

Suponha que para a população da cidade permanece a constante e que, inicialmente, 30% das pessoas irão usar o transporte de massa e 70% irão usar seus carros.

A - Cálculo da porcentagem das pessoas que estarão usando o transporte de massa depois de um ano da implantação do sistema, e depois de dois anos.

Agora, vamos supor um registro futuro provável de pessoas que usarão o transporte de massas, de modo que o vetor estado inicial seja dado por:

0,7 0,20,3 0,8

T

=


27

Pelo teorema 1, temos,

Logo, após o primeiro ano de uso do transporte de massas, o vetor estado x(2) dado por:

Dessa forma, após o primeiro ano, 35% das pessoas estarão usando o transporte de massas, e 55% seus carros.

Depois de dois anos, denotando o vetor estado por x(3), o percentual de pessoas que estarão usando o transporte de massas é dado por:

Portanto, após o segundo ano, 37,5% das pessoas estarão usando o transporte de massas, e 71,5% estarão usando os carros.

B - Calcular a porcentagem das pessoas que estarão usando o transporte de massas em um futuro mais longínquo, ou seja, deve-se calcular o vetor estacionário q.

Para calcular o vetor estacionário, temos o seguinte sistema de equações lineares: (I − P)q = 0.

Substituindo as matrizes nesta equação, temos:

Assim, o sistema a ser resolvido é:


28

Observe que as duas equações são equivalentes, logo:

0,3q1 − 0,2q2 = 0,

Tomando q1 = s, temos:

Usando a Equação (3) para calcular o valor de s, temos que:

Logo, o vetor estacionário q é igual a:

Concluímos então que num futuro mais longo 40% das pessoas estarão usando o transporte de massas, e 60% ainda estarão usando seus carros.

29

Neste tópico, você aprendeu que:

• Uma matriz é uma organização de dados em linhas e colunas e cada ente da matriz é denominado elemento.

• Uma matriz é representada por uma letra maiúscula e os elementos podem estar dispostos entre parênteses ou colchetes. A ordem de uma matriz é a informação da quantidade de linhas (m) e colunas (n).

• Existem alguns tipos de matrizes: quadrada, nula, coluna, linha, oposta, diagonal, identidade, triangular, transposta e simétrica.

• Algumas operações: soma de matrizes, multiplicação por um número real e multiplicação de matrizes. Aqui vale destacar:

o Só podemos somar matrizes de mesma ordem.

o Para multiplicar matrizes o número de colunas da primeira matriz tem que ser igual ao número de linhas da segunda. Já a matriz resultante (produto) terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz.

o Na multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa, isto é, podemos ter A B B A⋅ ≠ ⋅ para duas matrizes quaisquer A e B.

RESUMO DO TÓPICO 1

30

Acadêmico, um dos princípios da UNIASSELVI é “Não basta saber, é preciso saber fazer”. Agora chegou a sua vez de colocar em prática os conceitos sobre matrizes, estudados neste tópico.

1 Matrizes são tabelas que respeitam uma ordem de formação, possuem respectivamente linhas e colunas. A denominação “Matrizes” surgiu no século XIII com James Joseph Sylvester, e foi apenas no século XIX que o matemático inglês Arthur Cayley sistematizou a teoria das matrizes a partir da Teoria das Formas Quadráticas. Hoje, contudo, o estudo das formas quadráticas é um mero capítulo da Teoria das Matrizes. Esse tipo especial de tabela possui propriedades e definições. Sobre elas, leia atentamente as sentenças a seguir:

I - O produto de uma matriz por outra é determinado por meio do produto dos seus respectivos elementos.

II - Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma ordem mxn, vale a igualdade (A + B) + C = A + (B + C).

III - Em geral, A·B ≠ B·A, para A e B duas matrizes quaisquer, isto é, não é válida a propriedade comutativa da multiplicação para matrizes.

Agora, assinale a alternativa CORRETA:

a) ( ) Apenas a sentença II é verdadeira.b) ( ) As sentenças I e II são verdadeiras. c) ( ) As sentenças I e III são verdadeiras. d) ( ) As sentenças II e III são verdadeiras.

2 A história da matemática retrata que os estudos das matrizes tiveram seu início por volta do século II a.C., presentes em textos chineses sobre aplicação de sistemas lineares. Porém, o nome matriz veio somente no século XIII, com James Joseph Sylvester. Matrizes são tabelas que respeitam uma ordem de formação, possuem respectivamente linhas e colunas. Esse tipo especial de tabela possui propriedades e definições. Entre as propriedades mais importantes está a multiplicação de matrizes. Sobre a multiplicação de matrizes, leia atentamente as sentenças a seguir:

I - O produto das matrizes X, de ordem 2x5, e Z, de ordem 5x5, é uma matriz de ordem 2x5.

II - O produto das matrizes X de ordem 1x6 e Z de ordem 6x2 é uma matriz coluna de ordem 1x2.

III - O produto das matrizes X de ordem 3x7 e Z de ordem 7x4 é uma matriz quadrada de ordem 3x4.

A alternativa VERDADEIRA é:

a) ( ) As sentenças I e III estão corretas.

AUTOATIVIDADE

31

b) ( ) Apenas III está correta.c) ( ) Apenas II está correta.d) ( ) Apenas I está correta.

3 Uma forma bastante interessante de ensinar matrizes inversas e multiplicação de matrizes é utilizando a criptografia. A criptografia é o estudo dos princípios e técnicas pelas quais a informação pode ser codificada, de forma que possa ser conhecida apenas pelas pessoas detentoras do código. Um professor de matemática resolveu codificar suas mensagens através da multiplicação de matrizes, para isso, ele associou as letras do alfabeto aos números, conforme a tabela a seguir:

Desta forma, supondo que o professor deseja enviar a mensagem "AMOR", pode-se tomar uma matriz M2x2, da forma: A M

O R

a qual, usando-se da tabela acima, será dado por:

1 1214 17

Tomando-se a matriz-chave C para o código: 2 31 2

transmite-se a

mensagem "AMOR" através da multiplicação das matrizes M e C, ou seja: 1 12 2 3 14 27

M C14 17 1 2 45 76

⋅ = ⋅ =

. Ou através da cadeia de números 14 27 45 76. Desta forma, utilizando-se a mesma matriz-chave C, a decodificação da mensagem 52 85 22 40 será compreendida como a transmissão da palavra:

a) ( ) LOGOb) ( ) PARA c) ( ) VIDAd) ( ) TODO

4 (FUNIVERSA) Duas empresas — 1 e 2 — são investigadas em três crimes fiscais — I, II e III. As evidências que relacionam as duas empresas aos crimes são tais que:

32

A evidência Relaciona a(s) empresa(s) Ao(s) crime(s)

A 1 I e IIIB 1 e 2 I e IIC 2 II e IIID 1 I e IIE 1 e 2 I, II e IIIF 2 IIIG 1 I e IIH 1 e 2 II e IIII 2 I e III

Para tratar as informações necessárias à investigação desses crimes, um perito montou uma matriz M na qual cada elemento aij corresponde à quantidade de evidências que relacionam a empresa i ao crime j. Com base nessas informações, a matriz M é:

a) ( )

5 35 43 5

b) ( ) 5 5 33 4 5

c) ( )

3 4 55 5 3

d) ( )

3 54 55 3

e) ( )

3 5 5 4

5 3

5 (UFMT) Sejam as matrizes A = (aij)2x3 tal que aij = j – 3i; B = (bij)3x2 tal que bij = 2i + j2; e C = (cij)2x2 tal que cij = ij. O elemento de maior módulo dentre os que formam a diagonal principal da matriz P, em que P = AB + 20C, é: a) ( ) 20 b) ( ) 9 c) ( ) -16 d) ( ) -12 e) ( ) 0

6 (UEL-PR) Dadas as matrizes A = ( )ij 3x2a , definida por aij = i-j; B =

( )ij 2x3b , definida por bij= j , C = ( )ijc , definida por C = A.B, é correto

afirmar que o elemento C23 é:

a) ( ) Igual ao elemento C12. b) ( ) Igual ao produto de a23 por b23.c) ( ) O inverso do elemento C32.d) ( ) Igual à soma de a12 com b11.e) ( ) Igual ao produto de a21 por b13.

33

7 Assinale V se a afirmação for verdadeira e F se for falsa.

( ) Toda matriz diagonal é triangular.( ) A matriz identidade é uma matriz diagonal.( ) A matriz identidade é uma matriz triangular.

( ) Para que a matriz 2 6 3 90 1

baA

c − −

= + seja nula, a = 3, b = 2 e ec = -1

( ) Considere a matriz A = [aij]4x4, cujos elementos são dados por aij = 2i+j. A

soma dos elementos da diagonal secundária é igual a 128.

35

TÓPICO 2

DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES

UNIDADE 1

1 INTRODUÇÃO

Atualmente, o estudo da Álgebra Linear está organizado pela sequência: matrizes, depois determinantes e, em seguida, sistemas lineares, porém a ordem histórica foi outra. Inicialmente surgiram os problemas que envolviam sistemas lineares e, na tentativa de solucioná-los, surgiram os determinantes. Apenas mais tarde o estudo das matrizes foi desenvolvido.

A ideia preliminar de Determinante surgiu na China antiga, onde os coeficientes de equações lineares eram representados com varetas de bambu. Esse conceito foi aperfeiçoado por diversos matemáticos até chegar ao processo que utilizamos hoje para o cálculo de determinantes, dentre eles destacamos Göttfried Wilhelm Leibniz, Gabriel Cramer e Augustin-Louis Cauchy, que são considerados os grandes desbravadores desse ramo da matemática.

Acadêmico, neste tópico, desbravaremos o cálculo do determinante, para as n ordens de uma matriz, no intuito de subsidiar a resolução de sistemas lineares, tema do nosso próximo tópico, bem como o cálculo de área e volume entre vetores, assunto que será abordado na Unidade 2.

2 O CÁLCULO DO DETERMINANTE

Segundo Paiva (2013, p. 127), “o determinante é um número obtido por meio de multiplicações e adições dos coeficientes de um sistema linear”, ou seja, o determinante é um número real associado a uma matriz quadrada. É importante destacar que cada matriz possui um único determinante. Simbolicamente, o determinante de uma matriz A será denotado por |A|, det(A) ou por DA. Veja a ideia do determinante em um sistema com duas equações e duas variáveis:

Exemplo 1:Seja o sistema:

2 3 55 7 2

x yx y

+ = + =


36

Lembre-se de que para resolver este sistema devemos escolher uma variável para zerar e após realizar a soma do sistema. Escolhendo a variável y para zerar, devemos multiplicar a primeira por 7 e a segunda por -3, obtendo:

7 2 7 3 7 53 5 3 7 3 2

x yx y

⋅ + ⋅ = ⋅− ⋅ − ⋅ = − ⋅

Logo, ao somarmos, teremos:

( )( )

7 2 3 5 7 3 3 7 7 5 3 2

7 2 3 5 7 5 3 2

7 5 3 2 297 2 3 5

zero

x x y y

x

x

⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅

⋅ + − ⋅ = ⋅ − ⋅

⋅ − ⋅= = −

⋅ − ⋅

Bastaria substituir este valor de x em uma das equações e descobrir que y = 21. De fato, ao resolver um sistema, procederíamos desta forma, mas resolvendo as multiplicações. O fato de não multiplicarmos é para que vejamos os valores presentes no numerador e no denominador da variável a ser descoberta. Perceba que o denominador e o numerador no caso do x estão ligados diretamente às respectivas matrizes:

2 3 5 3 e

5 7 2 7

No denominador, temos que é a diferença entre o produto da diagonal principal pela diagonal secundária dos coeficientes do sistema. No caso de numerador, temos o mesmo procedimento, onde a matriz está definida com a simples troca da coluna da variável x pelos termos independentes do sistema. Desta forma, se quiséssemos descobrir o valor de y por este procedimento, teríamos que substituir na matriz dos coeficientes a coluna y pelos termos independentes e proceder com a operação citada anteriormente e posteriormente dividir pelo resultado encontrado no numerador.

O resultado encontrado na matriz dos coeficientes é o que chamamos de Determinante, pois a partir dele podemos determinar se um sistema de equações (por exemplo) possui solução, pois se este valor fosse zero, teríamos uma indeterminação no sistema.

2.1 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 1ª ORDEM

O determinante de uma matriz de 1ª ordem, A = (a11), é definido pelo valor do seu elemento único a11, ou seja: det A = |a11| = a11.

TÓPICO 2 | DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES

37

Exemplos:2) Se M = (15), então det (M) = 15.3) Se Z = 3 − , então det (Z) = 3− .

2.2 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 2ª ORDEM

A matriz quadrada de 2ª ordem 11 12

21 22

a aA

a a

=

tem como determinante o número real obtido pela expressão a11

. a22 - a12 . a21. Indicamos por: ( ) 11 12

21 22

a adet A

a a

=

= a11. a22 - a12

. a21. Ou seja, o determinante de uma matriz de 2ª ordem é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária (esta ideia foi vista no início deste tópico). Veja esse exemplo prático:

Exemplo 2: Calcular o determinante da matriz 2 7

B4 8

=

.

Resolução: det (B) = 2·8 - 7·4 ↔ det (B) = 16 – 28 ↔ det (B) = -12.

2.3 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 3ª ORDEM – REGRA DE SARRUS

O cálculo do determinante de 3ª ordem consegue ser resolvido utilizando-se um procedimento de cálculo bastante simples, denominado regra de Sarrus.

Seja a matriz 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aA a a a

a a a

=

.

1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira coluna:

2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal:

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

a a a a aa a a a aa a a a a


38

3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal:

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

paralelas

diagonal principal

= (a11 a22 a33 + a12a23a31+a13a21a32)

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

paralelas

diagonal secundária

= (a13 a22 a31 + a11a23a32+a12a21a33)

4º passo: Por fim, devemos operar a soma do produto da diagonal principal com suas paralelas, menos a soma do produto da diagonal secundária com suas paralelas. Desta forma:

det A = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) - (a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33)

A simbologia utilizada para o cálculo de determinante é a indicação dos elementos

de uma matriz entre duas barras simples. Por exemplo, 3 1

195 8

= , estamos indicando que o determinante da matriz é 19.

ATENCAO

Exemplo 3: Calcule o determinante da matriz 3 4 2

B 2 1 50 7 4

=

.

Resolução: Iniciamos repetindo as duas primeiras colunas após a terceira.3 4 2 3 42 1 5 2 10 7 4 0 7


39

Det (B) = (3·1·4 + 4·5·0 + 2·2·7) – (2·1·0 + 3·5·7 + 4·2·4)Det (B) = (12 + 0 + 28) – (0 + 105 + 32)Det (B) = 40 – 137Det (B) = – 97

Exemplo 4: Resolver a equação: 2 3 20 1 x 22 x 3

−=

−

Resolução: A representação indica que o determinante desta matriz é 2. Assim, vamos calcular o determinante e igualar a 2.

2 3 2 2 30 1 x 0 1 22 x 3 2 x

−=

−

Assim:[2·1·(–3) + 3·x·2 + (–2)·0·x] – [(–2)·1·2 + 2·x·x + 3·0·(–3)] = 2(–6 + 6x + 0) – (–4 + 2x2 + 0) = 2 –6 + 6x + 4 – 2x2 = 2–2x2 + 6x – 4 = 0

Para simplificarmos a equação, vamos dividir ambos os lados da igualdade por (-2).

x2 – 3x + 2 = 0

(–6 + 6x + 0) – (–4 + 2x2 + 0) = 2 = 2 Não esqueça de realizar a

propriedade distributiva, devido ao sinal de

negativo.

IMPORTANTE

Uma equação do segundo grau (ou equação quadrática) é toda equação da forma ax2 + bx + c = 0, em que a ≠ 0 e sua forma completa exige a resolução através da fórmula:

2 42

b b a cxa

− ± − ⋅ ⋅=

⋅

Aplicando a fórmula, determinamos os valores para x que tornam o determinante da matriz igual a 2. Assim, x’ = 1 e x” = 2.


40

2.4 COFATOR

Dada uma matriz A=[aij], quadrada de ordem *n 2 e n≥ ∈ , denominamos de cofator de aij o produto de (-1) i+j pelo determinante da matriz (Dij) que se obtém de A, suprimindo a linha de ordem i e a coluna de ordem j. Notação: cij.

( )i jij ijC 1 D+= − ⋅

Assim, se considerarmos a matriz quadrada 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aA a a a

a a a

=

, de 3ª ordem, temos:

( ) ( )1 1 1 1 22 2311 11

32 33

a aC 1 D 1

a a+ += − ⋅ = − ⋅

Neste caso, eliminamos a linha 1 e a coluna 1.

Neste caso, eliminamos a linha 2 e a coluna 3.

( ) ( )2 3 2 3 11 1223 23

31 32

a aC 1 D 1

a a+ += − ⋅ = − ⋅

Exemplos:

5)

6)

2 31 5

A = −

1 111

1 212

( 1) . 5 5

( 1) . 1 1

c

c

+

+

= − =

= − − = −

2 121

2 222

( 1) . 3 3

( 1) . 2 2

c

c

+

+

= − = −

= − =

3 232

1 3 41 4

2 0 5 ( 1) . 1.(5 8) 132 5

7 6 8A c +

= − = − = − + = − −


41

2.5 DETERMINANTE DE ORDEM N > 3

Para calcularmos o determinante de matrizes de ordem superior a 3, usaremos o Teorema de Laplace. Este teorema pode ser utilizado para matrizes de ordem 2 ou superior, porém, julgamos que os métodos ensinados anteriormente apresentam resolução mais rápida.

Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 é a soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.

A resolução do determinante pelo Teorema de Laplace se torna mais rápida quando consideramos a fila que contém o maior número de zeros, pois neste caso não é necessário calcular o determinante.

ATENCAO

Exemplos:

7)

8)

( ) 12 22 32 3 . 01

. 6 . 3 4

2 0 57 6 8

det A CA C C= + + = −

1 212

2 5( 1) . 1.( 51) 51

7 8c + −

= − = − − =

( ) ( )

3 232

3 . 51 6 . 13 153 78

1 4( 1) . 1.(5 8) 13

2 5

75det A

c += − = − + = −−

= + − = − =

41 42 43 44

2 3 1 00 2 0 3

0. 0. 0. 6. 6.6 365 1 4 00 0 0 6

c c c c= + + + = =−

444

4

2 3 1( 1) . 0 2 0 1.6 6

5 1 4c += − = =

−


42

2.6 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

O cálculo dos determinantes pode ser facilitado se analisarmos as características e propriedades de algumas matrizes, isto é, é possível fazer com que economizemos tempo na resolução desses cálculos. Vejamos, a seguir, quais são estas propriedades:

P1: Se os elementos de uma linha (ou uma coluna) de uma matriz quadrada forem todos iguais a zero, seu determinante será zero.

P2: Se os elementos de duas linhas ou colunas de uma matriz forem iguais, seu determinante será nulo.

4 9 8 7 3 0 150 0 0 0 0 2 0 3 03 2 1 3 1 0 7

18 12

9 3

−

= − =−

−

1 3

2 5 3 54 2

9 8

02 5 3 59 7 4

,

3

pois L L==

P3: Se uma matriz possui duas linhas (ou colunas) proporcionais, então seu determinante será nulo.

3 1 1 4 22 1 4 03 2 6

2pois C C==

P4: Se trocarmos de posição, entre si, duas linhas (ou colunas) de uma matriz quadrada, o determinante da nova matriz é o anterior com o sinal trocado.

1 2 32 1 1 43 2 1

− = −

Trocando as posições de L1 e L2, por exemplo, temos:

2 1 11 2 3 43 2 1

−= +


43

P5: Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou coluna) por um número real α, então o determinante da nova matriz é o anterior multiplicado pelo número α.

( )1Multiplicando C por 2, temos : 1 2 3 2 2 32 1 1 4 4 1 1 2 4 83 2 1 6 2 1

− = − − = ⋅ − = −

1)

2)

P6: O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta AT.

( )1Multiplicando C por 2, temos : 1 2 3 2 2 32 1 1 4 4 1 1 2 4 83 2 1 6 2 1

− = − − = ⋅ − = −

( )1 Multiplicando L por , tem5 10 0 1 2 0

1 13 7 4 145 3 7 4 145 295 5

2 0 1 2 0os

1:

− −= − = ⋅ − = −

− −

1 2 3 1 2 22 1 2 9 2 1 4 92 3 3 2 3

4

tDet A Det A= == =

P7: Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma linha (ou coluna) uma combinação linear dos elementos correspondentes de linhas ou colunas paralelas.

1 2 32 1 2 92 4 3

=

Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:

C1 2C2

1 2 2 2 3 5 2 32 1 2 1 2 4 1 2 92 4 2 4 3 10 4 3

+

+ ⋅+ ⋅ = =+ ⋅


44

P8: O determinante associado a uma matriz triangular é igual ao produto da diagonal principal.

0 0

0 00 0

a x g hd b a b c y i x y ze f c z

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

P9: Teorema de Binet: se A e B são matrizes quadradas, então Det (AB) = Det A·Det B

( )

5 210

2 1 1 0 4 2, det det det

3 4 2 2 11 8 , : ABSe A B e A B então A B= = × = = ⋅

Você pode criar algumas matrizes e verificar as propriedades indicadas acima. Vale tentar...

DICAS

3 ESCALONAMENTO DE MATRIZES

Neste ponto, iremos ensinar a você um procedimento que o auxiliará bastante no cálculo de determinantes de qualquer ordem. Ainda mais, este processo é uma ferramenta que estará guardada para o estudo da resolução e da discussão de sistemas lineares, que é objeto de estudo do subtópico relacionado a seguir. Preste muita atenção em cada etapa, pois usaremos muito este método!

3.1 FORMA ESCALONADA DE UMA MATRIZ

Uma matriz é denominada de forma escalonada quando o número de zeros no lado esquerdo do primeiro elemento não nulo da linha aumenta a cada linha.

A matriz

1 5 6 40 2 0 1 0 0 1 00 0 0 0

é uma matriz escalonada.


45

3.2 MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS

O método de eliminação de Gauss, mais conhecido como método do escalonamento, trata-se de converter a matriz indicada em outra equivalente, utilizando-se de processos matemáticos elementares sobre as linhas da matriz.

As operações elementares se constituem de três operações básicas:

• Multiplicar: podemos multiplicar uma linha inteira por uma constante não nula. Simbolizamos por: Li = α ·Li (

*α ∈ ).• Trocar ou permutar: podemos trocar duas linhas inteiras entre si. Simbolizamos

por: Li = Lk.• Somar ou subtrair: um múltiplo de uma linha a outra linha. Simbolizamos por:

Li = Li + α ·Lk (*α ∈ ).

Preste bem atenção nas operações permitidas, pois não é qualquer operação que mantém os conjuntos relacionados às matrizes.

ATENCAO

Acadêmico, o processo de escalonamento é executado em algumas etapas. Inicialmente, escolhe-se as linhas (de cima para baixo), isto quer dizer que na etapa inicial começamos pela linha 1, na segunda etapa escolhe-se a linha 2 e assim por diante.

Logo após a determinação da linha, deveremos escolher um termo especial para o processo, o qual chamaremos de pivô. O pivô na primeira linha é o elemento a11, na segunda linha é o elemento a22, na terceira linha é o elemento a33 e assim sucessivamente. O processo que deve ser realizado é a sua tranformação no valor 1 (através das operações elementares listadas acima) e tem a função de nos auxiliar a anular os elementos abaixo dele, isto é, transformá-los em zero utilizando as três operações básicas entre linhas de matrizes.

A melhor forma de compreender o processo de eleminação de Gauss é através de exemplos. Vamos a eles:


46

Acadêmico, observe que para anular o elemento de uma linha só poderemos usar ele e o múltiplo da linha pivô.

ATENCAO

Exemplo 9: Escalonar a seguinte matriz.

O primeiro pivô será o elemento a11 que, no nosso exemplo, já é 1. Desta forma, vamos para o próximo passo, que é zerar os elementos abaixo de a11=1, ou seja, a21=3 e a31=2.

Como o pivô está na linha 1, esta linha será usada de base e, nesta primeira etapa, usaremos ela para zerar os elementos abaixo do pivô.

Lembre-se de que somente podemos fazer as operações permitidas. Assim, é possível somar a linha 2 (que contém o elemento 3 que queremos zerar) com a linha 1 (do pivô) multiplicada por algum número não nulo k. Vejam que esta é a terceira operação entre linhas de matrizes.

Todo o esforço se reduz a determinar qual o número k que multiplicado com a linha do pivô (no caso a linha 1) e somado com a linha do elemento a zerar (no caso, a linha dois) consegue zerar o elemento efetivamente.

Para determinar esse escalar k basta dividir o elemento que se deseja zerar pelo oposto do pivô, ou seja:

1 2 2 33 7 5 12 4 4 4

A =

( )3 31

k = = −−

Note que dividimos o 3 (elemento que queremos zerar) pelo (-1), que é o oposto de 1. Essa “troca” de sinal é o que caracteriza o oposto do pivô, e sempre terá que ocorrer para determinar o escalar c.

IMPORTANTE


47

Definido o escalar k, a “nova” linha 2 será a soma entre a “atual” linha 2 com a linha do pivô multiplicado por K (ou seja, com a linha 1 multiplicado por -3). Teremos então:

( )2 2 13

1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 33 7 5 1 ~ 3 3 1 7 3 2 5 3 2 1 3 3 ~ 0 1 1 82 4 4 4 2 4 4 4 2 4 4 4

L L L→ + − ⋅

− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − −

Conseguimos zerar o elemento 3 da linha 2. Agora repetiremos o processo para zerar o elemento a31=2 . Ainda usaremos como base a linha 1, pois o pivô pertence a esta linha. Determinando o c:

( )2 21

k = = −−

Continuando o processo:

( )3 3 12

1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 30 1 1 8 ~ 0 1 1 8 ~ 0 1 1 82 4 4 4 2 2 1 4 2 2 4 2 2 4 2 3 0 0 0 2

L L L→ + − ⋅

− − − − − − − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ −

Assim, já obtemos a matriz na forma escalonada.

Exemplo 10: Escalonar a matriz A, determinada a seguir:

2 5 15 1 6

2 2 0A

= −

Como, para determinar o escalar k devemos dividir o elemento que queremos zerar pelo pivô, se o pivô for igual a 1, o trabalho será reduzido. Com isso, sempre que possível, fazemos o pivô “virar” 1 multiplicando a linha por um número (segunda operação).

Nesse caso, ficaria ainda mais fácil se nós permutarmos a linha 3 com a linha 1, antes de nos preocuparmos em transformar o pivô em valor 1. Isso porque todos os elementos da linha 3 são pares, enquanto o mesmo não ocorre com os elementos da linha 1. Logo,


48

Nosso primeiro pivô então será o elemento a11=1, e teremos que zerar os elementos a21= -5 e a31= 2.

Para zerar a21= -5, determinamos o k:

1 31 1

12

2 5 1 2 2 0 1 1 05 1 6 ~ 5 1 6 ~ 5 1 6

2 2 0 2 5 1 2 5 1L L

L L

A

↔ → ⋅

= − − −

5 1 6 ~ 5 1 6 ~ 5 1 6 5 1 6 ~ 5 1 6 ~ 5 1 6

5 1 6 ~ 5 1 6 ~ 5 1 6 5 1 6 ~ 5 1 6 ~ 5 1 6 5 1 6 ~ 5 1 6 ~ 5 1 6 5 1 6 ~ 5 1 6 ~ 5 1 6 5 1 6 ~ 5 1 6 ~ 5 1 6 5 1 6 ~ 5 1 6 ~ 5 1 65 1 6 ~ 5 1 6 ~ 5 1 6= − − −5 1 6 ~ 5 1 6 ~ 5 1 6 5 1 6 ~ 5 1 6 ~ 5 1 6= − − −5 1 6 ~ 5 1 6 ~ 5 1 6 2 2 0 2 5 1 2 5 1 2 2 0 2 5 1 2 5 1 2 2 0 2 5 1 2 5 1 2 2 0 2 5 1 2 5 1 2 2 0 2 5 1 2 5 1 2 2 0 2 5 1 2 5 1

Observe que trocamos a linha 1 pela linha 3 (L1↔L3)

e, após isso, multiplicamos a linha 1 por ½.

Então:

( )( )

55

1k

−= =

−

2 2 15

1 1 0 1 1 0 1 1 0~ 5 1 6 ~ 5 5 1 1 5 1 6 5 0 ~ 0 6 6

2 5 1 2 5 1 2 5 1L L L

A

→ + ⋅

− − + ⋅ + ⋅ + ⋅

Para zerar a31= 2, determinamos o k,

Então:

( )2 21

k = = −−

( )3 3 12

1 1 0 1 1 0 1 1 0~ 0 6 6 ~ 0 6 6 ~ 0 6 6

2 5 1 2 2 1 5 2 1 1 2 0 0 3 1L L L

A

→ + − ⋅

− ⋅ − ⋅ − ⋅

A matriz ainda não está escalonada, pois abaixo do pivô a22 = 6 temos um elemento diferente de zero. Temos que zerá-lo, mas antes podemos fazer nosso pivô se transformar em 1. Essa transformação é feita no intuito de facilitar os próximos cálculos. Logo:

2 216

1 1 0 1 1 0~ 0 6 6 ~ 0 1 1

0 3 1 0 3 1

L L

A

→ ⋅


49

Temos agora o pivô a22 = 1. Portanto, o escalar k necessário para zerar o

elemento a32=3, será dado por:( )

3 31

k = = −−

Então,

( )3 3 23

1 1 0 1 1 0 1 1 0~ 0 1 1 ~ 0 1 1 ~ 0 1 1

0 3 1 0 3 0 3 3 1 1 3 1 0 0 2L L L

A

→ + − ⋅

− ⋅ − ⋅ − ⋅ −

Note que a linha base nesta última etapa é a segunda. Isso ocorre porque o pivô está nesta linha. Notem também que não utilizamos o sinal de = entre as matrizes simplesmente porque as matrizes não são iguais, apenas conservam propriedades importantes entre si.

IMPORTANTE

Exemplo 11: Seja a matriz A =1 1 2 0 12 2 5 4 01 1 3 2 2

−

, escreva na forma escalonada.

Neste exemplo, só colocaremos os cálculos. Veja se você consegue acompanhá-lo. Para isso preste atenção na representação das operações que estamos fazendo abaixo da matriz.

( )

( )

2 2 12

1 1 2 0 1 1 1 2 0 12 2 5 4 0 ~ 2 2 1 2 2 1 5 2 2 4 2 0 0 2 1 ~1 1 3 2 2 1 1 3 2 2

L L L

A

→ + − ⋅

− − = − ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅ − ⋅

( )

( )3 3 11

1 1 2 0 1 1 1 2 0 1~ 0 4 1 4 2 ~ 0 4 1 4 2 ~

1 1 3 2 2 1 1 1 1 1 1 3 1 2 2 1 0 2 1 1L L L→ + − ⋅

− − − − − ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅ − ⋅

( )2 3 3 3 22

1 1 2 0 1 1 1 2 0 1~ 0 4 1 4 2 ~ 0 2 1 2 1 ~

0 2 1 2 1 0 4 1 4 2L L L L L↔ → + − ⋅

− − − −

1 1 2 0 1 1 1 2 0 1~ 0 2 1 2 1 ~ 0 2 1 2 1

0 4 2 2 1 2 1 4 2 2 2 2 1 0 0 1 0 4

− − − ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅ − −

Pronto, a matriz está escalonada.


50

Chegamos em uma matriz triangular, assim, para calcular o determinante, basta multiplicarmos os termos da diagonal principal: 1·7·(-3) = -21. Portanto, o determinante da matriz é igual a -21.

( )2 2 1 3 3 12 2

1 1 2 1 1 2 1 1 22 5 1 ~ 0 7 5 ~ 0 7 5

2 2 1 2 2 1 0 0 3L L L L L L→ + ⋅ → + − ⋅

−−

3.3 O ESCALONAMENTO NO CÁLCULO DO DETERMINANTE

A propriedade oito dos determinantes afirma que: “O determinante associado a uma matriz triangular é igual ao produto da diagonal principal”. Desta forma, após transformarmos a matriz em seu modo escalonado (que também tem a forma triangular!), basta multiplicar os elementos da sua diagonal principal para a obtenção de seu determinante.

É necessário lembrar que para escalonar uma matriz usamos três operações:

• Multiplicar: podemos multiplicar uma linha inteira por uma constante não nula.

• Trocar ou permutar: podemos trocar duas linhas inteiras entre si. • Somar ou subtrair: um múltiplo de uma linha a outra linha.

Realizando uma análise mais apurada, com relação também às propriedades quatro, cinco e sete, vistas anteriormente no estudo dos determinantes, podemos perceber que, se multiplicarmos uma linha completa por um escalar (valor real não nulo), estaremos também multiplicando o resultado do cálculo do determinante na mesma proporção do escalar utilizado. Ainda mais, quando trocamos linhas de posição, o resultado do determinante encontrado após este procedimento terá seu resultado alterado. Por fim, se realizarmos um processo chamado de combinação linear entre as linhas da matriz, o resultado do determinante não se altera.

Sendo assim, devemos tomar o cuidado de, após o cálculo do determinante ser realizado, realizar algumas operações que de alguma forma “anulem” as multiplicações utilizadas no processo de escalonamento. Vejamos melhor em um exemplo:

Exemplo 12: Dada a matriz A = 1 1 22 5 1

2 2 1− , calcular o determinante.


51

Veja que, nesse caso, não foi necessário fazer nenhuma correção sobre o valor encontrado, pois não multiplicamos nenhuma linha por uma constante e nem permutamos duas linhas.

Exemplo 13: Por escalonamento, calcule o determinante da matriz 1 2 32 2 32 5 0

B = −

.

Da última matriz, temos que:

( )

( )

( )

( )

3 3 12 2 1 3 3 22 2

3 32 2

152

22 1 92

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 32 2 3 ~ 0 2 3 ~ 0 2 3 ~ 2 . 0 1 ~ 2 . 0 12 5 0 2 5 0 0 9 6 0 9 6 0 0

L L LL L L L L LL L

A−

→ + ⋅→ + − ⋅ → + − ⋅ → − ⋅

= − − − − − −− −

Porém, para chegarmos à última matriz, multiplicamos a linha dois por -½. Assim, o determinante da última matriz deve ser multiplicado por (-2):

32

152

1 2 315 150 1 1 12 2

0 0 −

= ⋅ ⋅ − = −

( ) ( ) 15det 2 152

A = − ⋅ − =

52

RESUMO DO TÓPICO 2


• Toda matriz quadrada A tem um número relacionado a ela denominado determinante de A.

• O determinante da matriz de ordem 1 é igual ao elemento da matriz.

• Para calcular o determinante da matriz de ordem 2 fazemos o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.

• A regra de Sarrus é utilizada para calcular o determinante de matrizes de ordem 3.

• Ao escalonar uma matriz, mantemos propriedades importantes e facilitamos alguns cálculos, como o cálculo do determinante e da matriz inversa.

• As operações elementares entre linhas de matrizes se constituem de três operações básicas:

o Multiplicar: podemos multiplicar uma linha inteira por uma constante não nula. Simbolizamos por: Li = α ·Li (

*α ∈ ).o Trocar ou permutar: podemos trocar duas linhas inteiras entre si.

Simbolizamos por: Li = Lk.o Somar ou subtrair: um múltiplo de uma linha a outra linha. Simbolizamos

por: Li = Li + α ·Lk (*α ∈ ).

53

Prezado acadêmico, chegou a hora de você testar seus conhecimentos sobre o cálculo dos determinantes e suas propriedades. Lápis e borracha em mãos e boa atividade!

1 Matrizes são representadas por letras maiúsculas e têm como objetivo organizar números, símbolos ou expressões, de forma retangular em linhas e colunas, possibilitando realizar operações. As matrizes são muito utilizadas nos campos da economia, engenharia, matemática, física, informática, dentre outros, para a resolução de sistemas de equações lineares e transformações lineares. Deste modo, acerca da classificação das matrizes quanto às suas propriedades e operações, têm-se as seguintes afirmações:

I- Ao permutar duas linhas de uma matriz, o determinante dessa matriz permanece inalterado.II- O produto de uma matriz por outra é determinado por meio do produto dos seus respectivos elementos.III- Uma matriz A é dita simétrica se A = AT. Isso só ocorre com matrizes quadradas.IV- Se todos os elementos de uma linha ou de uma coluna de uma matriz forem iguais a 1, então o determinante dessa matriz será igual a zero.

Agora, assinale a alternativa CORRETA:a) ( ) As sentenças I, III e IV estão corretas.b) ( ) As sentenças I, II e IV estão corretas.c) ( ) As sentenças I e III estão corretas.d) ( ) Apenas a sentença III está correta.

2 (UFBA-90) Calcule o determinante da matriz:

AUTOATIVIDADE

0 2 12 1 3 20 0 2 31 1 0

1

2

A

=

−

−

−

3 Seja a matriz quadrada x 1 3 x

A 3 x 1x 2 x 1

+ = −

. Calcule x de modo que det A = 0

54

4 (Esam-RN) Assinale a proposição verdadeira:

a) ( ) Se M e N são matrizes quadradas de mesma ordem, então det(M·N)= det M·det N.b) ( ) Se A é uma matriz quadrada de 2ª ordem e k *α ∈ , então det (kA) = k·det A.c) ( ) Se det A = 0, então a matriz A é nula.d) ( ) Se det A = 0, então qualquer que seja a matriz X, de mesma ordem que A, tem-se AX = 0.e) ( ) O determinante da matriz resultante da soma de duas matrizes de mesma ordem é igual à soma dos determinantes dessas matrizes.

5 Dadas as matrizes 1 21 0

A =

e 3 1

0 1B

− =

, calcule det detA B+

e det( )A B+ .

6 Sejam as matrizes:

1 1 0 3 1 0 0 00 2 1 2 1 2 0 00 0 1 0 2 1 1 00 0 0 3 3 5 4 3

A e B

= − − = − − −

Calcule o det (A.B).

55

TÓPICO 3

SISTEMAS LINEARES

UNIDADE 1

1 INTRODUÇÃO

Se a Álgebra Linear é uma ciência a ser aplicada em problemas práticos, então os sistemas lineares são a chave para as soluções desses problemas. Desta forma, podemos afirmar que todos os problemas são resolvidos por um sistema linear? Claro que não, mas boa parte deles sim, o que reforça sua gigantesca importância.

O estudo sobre sistemas lineares já foi iniciado por você no Ensino Fundamental e no Ensino Médio, desta forma, agora vamos revê-los e ampliá-los, buscando resolvê-los através do escalonamento e dos determinantes. Saiba que a solução de sistemas de equações lineares é o problema central da álgebra linear. Veja algumas aplicações frequentes na engenharia:

• Cálculos de curto-circuito trifásico• Mudança de coordenadas em sistemas de cores• Projetos de peças automotivas• Projetos em estrutura metálica

Sendo assim, podemos perceber a grande importância deste conhecimento e seus métodos de resolução, pois a partir dele podemos modelar e construir sistemas de equações que nos auxiliam a solucionar tais problemas.

2 EQUAÇÃO LINEAR

A palavra "sistema" indica que as equações devem ser consideradas em conjunto, e não de forma individual, bem como ter em mente que equação linear é, necessariamente, uma equação polinomial. Portanto, denominamos de equação linear toda equação da forma: a1x1 + a2x2 + ...+anxn = b , onde a1, a2

..., an são números reais que recebem o nome de coeficientes das incógnitas x1, x2

..., xn e b é um número real chamado termo independente.

São exemplos de equações lineares:

1) 5 2 8 9

2) 3 2 03) 3 2 5 6

x y z

x y z tx z t y

− + =

+ − − =+ = − +

56


São exemplos de equações não lineares:

2.1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

Um sistema de equações lineares pode ser definido como um conjunto de n equações com n variáreis independentes entre si, na forma genérica como:

2

1) 2 4 2) 2 4 5

3) 2 7

xy z tx y t

x z y

+ − =

− = −

− = +

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

31 1 32 2 33 3 1 3

+ + = + + = + + =

. . . . . . .

n n

n n

n n

a x a x a x a x ba x a x a x a x ba x a x a x a x b

s

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

1 1 2 2 3 3

. . . . . . . .

+ + =

n n n nn n na x a x a x a x b

⋅⋅⋅

Na qual aij (i,j = 1,2,3,4,...,n) são os coeficientes do sistema de equações xi (i = 1,2,3,4,...,n) são as n incógnitas de bj (j = 1,2,3,4,...,n) os termos independentes.

Dois sistemas de equações são equivalentes se, e somente se, toda a solução de qualquer um dos sistemas também é solução do outro.

IMPORTANTE

Uma solução de um sistema é uma sequência de números ( )1 2 3, , , , nα α α α… que satisfaz as equações simultaneamente.

2.2 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR

Acadêmico, ao longo de sua jornada acadêmica você já estudou por diversas vezes a classificação de um sistema linear, mas vale lembrar que um sistema linear pode ser classificado como sendo de possível ou impossível solução. No caso de

TÓPICO 3 | SISTEMAS LINEARES

57

ser um sistema linear de possível solução, ele ainda pode ser: determinado ou solução única, ou então, indeterminado ou de infinitas soluções. E, no caso de ser um sistema linear impossível, ele não terá solução.

FIGURA 1 - ESQUEMA DA DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR

FONTE: Os autores

Assim, temos três tipos de sistemas lineares, os quais descrevemos a seguir:

Sistemas Possíveis e Determinados (SPD)

Quando só há uma possibilidade de resposta para x1, x2, x3,…, xn de modo a satisfazer o sistema. Por esse motivo, dizemos que é determinado: há uma única solução.

Um sistema apresentar uma única solução significa que as equações que o compõem são retas concorrentes cujo ponto de intersecção é a solução do sistema.

58


Sistemas Possíveis e Indeterminados (SPI)

Nesse tipo de sistemas há infinitas possibilidades de combinações para x1, x2, x3,…, xn que satisfazem o sistema linear. Logo, este sistema é possível, mas é indeterminado, pois não há uma única e determinada solução, mas infinitas.

As equações que compõem o sistema representam duas retas coincidentes, ou seja, estão uma “em cima” da outra. Como todos os pontos de uma também são pontos da outra, isso acarreta em todos os pontos de uma das retas (que são infinitos) serem soluções do sistema.

Sistemas Impossíveis (SI)

Como o próprio nome diz, são os sistemas que não têm soluções, ou seja, não há combinação possível para x1, x2, x3,…, xn de modo a satisfazer, simultaneamente, todas as m equações do sistema.

As retas que compõem o sistema são paralelas entre si, ou seja, não há ponto em comum entre elas. Logo, não há solução possível.


59

Exemplo 1: O sistema tem solução única: o par ordenado (3,5).

Portanto, o sistema linear é possível e determinado.

Exemplo 2: O sistema 8

2 2 16x y

x y+ =

+ = tem infinitas soluções. Algumas são

dadas pelos pares ordenados: (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), ... Portanto, o sistema é possível e indeterminado.

Exemplo 3: O sistema 10

10x y

x y+ =

− − = não tem um par ordenado que satisfaz

simultaneamente as equações. Portanto, o sistema é impossível.

3 RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR

Resolver um sistema linear é determinar, através de métodos, a solução que verifica ao mesmo tempo todas as equações do sistema. Indicamos pela letra S, de solução.

Por exemplo, o par ordenado (7,3) é solução do sistema 10

3 2x yx y

+ = − = −

Pois verifica as duas equações. Ou melhor: 7 3 107 3.(3) 2

+ = − = −

Os processos ou métodos mais comuns na resolução de sistemas lineares são: o método da substituição e método da adição, os quais você já aprendeu no Ensino Fundamental e iremos relembrar aqui. Em seguida, ampliaremos esse estudo, conhecendo a Regra de Cramer e o Método de Gauss-Jordan.

3.1 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO

Como o próprio nome sugere, o método consiste em isolar uma das incógnitas em qualquer uma das equações do sistema e substituir o valor isolado na outra equação. Para relembrar esse método, acompanhe os passos indicados nos exemplos a seguir:

82 1x y

x y+ =

− =

60


Exemplo 4: Resolver o sistema

Passo 1: Isola-se uma das incógnitas em uma das equações. Neste caso,

escolhemos isolar x na 1ª equação: 7 7x y x y+ = ⇒ = −

Passo 2: Substitui-se a equação encontrada no passo 1 na outra equação. Obtemos então uma equação do 1º grau com apenas uma incógnita.

Passo 3: Resolvemos a equação obtida no 2º passo:

obtendo, assim, o valor de y.

Passo 4: Para encontrarmos o valor da incógnita x, substitui-se o valor encontrado no 3º passo em qualquer uma das equações iniciais.

Passo 5: Por fim, escrevemos a solução do sistema: S = {(4,3)}.

Na sua representação gráfica, podemos observar a solução na intersecção das retas, S ={4, 3}. Geometricamente representa retas concorrentes, onde há um ponto (x, y) de intersecção que é solução única do sistema, ou seja, o sistema é Possível e Determinado.

1(7 ) 17 17 2 1

x yy y

y yy

− =− − =

− − =− =

7 2 12 1 72 6

62

3

yyy

y

y

− =− = −− = −

−=

−=

7(3) 77 3

4

x yxx

x

+ =+ == −

=

71

x yx y

+ = − =


61

Exemplo 5: Resolva o sistema 2

2 5 3x y

x y=

− =

1: 22 :

2 5 3 2(2 ) 5 3 4 5 3 1 3

3: 3 3

4 : 22.( 3)

6

Passo x yPasso

x y y y y y y

Passo y y

Passo x yx

x

=

− = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ − =

− = ⇒ = −

== −

= −

{( 6, 3)}S = − −Assim, a solução do sistema é: , também se trata de um sis-tema Possível e Determinado.

3.2 MÉTODO DA ADIÇÃO

Segundo Iezzi et al. (2013, p. 108), o método da adição “consiste em somar, convenientemente, duas equações, a fim de que se obtenha uma equação com apenas uma incógnita”, ou seja, de modo a eliminar uma das variáveis na nova equação obtida. Para que isso ocorra, é necessário que existam termos opostos nas duas equações (em relação a uma mesma incógnita...).

62


Quando adicionamos membro a membro de duas igualdades, obtemos uma nova igualdade.

IMPORTANTE

Exemplo 6: Considere o sistema

Observe que a equação 1 tem o termo -3y, e a equação 2 tem o termo +3y (oposto de -3y).

Esse fato nos permite obter uma só equação sem a incógnita y, somando as duas equações membro a membro.

5 3 152 3 6

x yx y

− = + =

5 3 15 3 3 0, .2 3 6 , !

7 0 217 21

3

x y Como y y o y desaparecex y Aí fica tudo mais fácil

xx

x

− = − + =⊕ → + =

+ ==

=

Agora, é só substituir o valor de x em uma das equações do sistema:

A única solução do sistema é o par (3,0), conforme pode ser verificado na representação gráfica a seguir.

5 3 155.(3) 3 1515 3 15

3 15 153 0

0

x yy

yyy

y

− =− =

− =− = −− =

=


63

Exemplo 7: Vamos resolver o sistema

Observe que nesse caso os termos não são opostos (que somados resulta 0), logo, somando as duas equações, nenhuma incógnita desaparece. Por isso, precisamos pensar em uma estratégia para tornar os termos opostos.

Note que o menor múltiplo comum entre 5 e 2 (coeficientes de x nas duas equações) é 10. Assim, se multiplicarmos a 1ª equação por 2 e a 2ª equação por -5, conseguimos ter termos opostos.

2 5 163 2 2

x yx y

+ = + =

Agora podemos realizar a soma das equações:

2 5 16 (2) 4 10 323 2 2 ( 5) 15 10 10

x y x yx y x y

+ = ⋅ + = ⇒ + = ⋅ − − − = −

Substituindo x = -2 na 2ª equação podemos determinar o valor de y.

4 10 3215 10 10

11 0 2211 22

22112

x yx y

xx

x

x

+ =⊕− − = −

− + =− =

=−

= −

64


3 2 23( 2) 2 2

6 2 22 2 62 8

4

x yy

yyy

y

+ =− + =

− + == +=

=

Desta forma, a solução do sistema linear é o par ordenado (-2,4). Podemos notar na visão gráfica o ponto A que representa a resposta do encontro das duas equações.

E quando os sistemas são indeterminados ou impossíveis? Como iremos resolvê-los? Acompanhe os exemplos a seguir.

Exemplo 8: Resolva o sistema

Vamos tornar opostos (ou simétricos) os coeficientes em x (poderia ser os de y). Para isso, basta multiplicar a primeira equação por -2 (não mexer na 2ª):

32 2 6x y

x y+ =

+ =

3 (-2)2 2 6

, Assix y

x ym temos

+ = + =

2 2 6 2 2 6

0x 0y 0

x yx y

− − = − + =

=

Observe que ao realizarmos a soma das equações todos os termos tornam-se nulos. Quando isso ocorre (todos os termos nulos), estamos diante de um sistema possível indeterminado, ou seja, um sistema que possui infinitas soluções.


65

Veja que a representação gráfica a seguir apresenta retas coincidentes, onde infinitos pontos comuns fazem parte do conjunto solução do sistema.

Exemplo 9: Resolva o sistema

Pelo método da substituição

32 2 4x y

x y− =

− = −

Fazendo a substituição temos,

3 , 3

2 2 4x y

x yx y− =

= + − = −

2(3 ) 2 46 2 2 40 10

y yy y

y

+ − = −+ − = −

= −

Veja que chegamos em um absurdo, pois zero multiplicado por qualquer valor não poderá ser diferente de zero. Neste caso, dizemos que o sistema é impossível e, portanto, sem solução.

Observe no gráfico que o sistema representa retas paralelas, onde não há nenhum ponto de intersecção.

66


3.3 REGRA DE CRAMER

Esse método consiste em utilizar determinantes das matrizes formadas pelos coeficientes dos sistemas lineares para determinar sua solução. Porém, antes de apresentarmos o método propriamente dito, é necessário aprender sobre como representar um sistema linear na forma matricial.

As equações lineares podem ser descritas na forma matricial como A·X = B, na qual:

1 111 12 13 1n

21 22 23 2n 2 2

m1 m2 m3 mn

a a a a a a a a

A , X e B

a a a a n n

x bx b

x b

= = = … … … … ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅

para o qual:

1 111 12 13 1n

21 22 23 2n 2 2

m1 m2 m3 mn

a a a a a a a a

a a a a n n

x bx b

x b

⋅ = … … … … ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅

Matriz dos coeficientes. Matriz das incógnitas. Matriz dos resultados ou dos termos independentes.

A um sistema linear podemos associar as seguintes matrizes:

Matriz incompleta: é a matriz formada apenas pelos coeficientes das incógnitas do sistema. Em relação ao sistema:

2 3 0 2 3 -14 7 a matriz incompleta é: 4 1 1

2 4 -2 1 1

x y zx y z A

x y z

+ − = + + = = − + + =


67

Matriz completa: é a matriz que se obtém acrescentando à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema. Assim, para o mesmo sistema acima, a matriz completa é:

2 3 -1 0 4 1 1 7

-2 1 1 4B

=

Visto isso, podemos prosseguir para o método. A Regra de Cramer afirma

que todo sistema normal tem uma única solução dada por: xii

DxD

= em que

i ϵ { 1,2,3,...,n}, D = det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e Dxi é o determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 10: Resolver com o auxílio da Regra de Cramer o sistema:

Resolução: Iniciamos calculando o determinante da matriz D, que é formada pelos coeficientes das incógnitas.

2 72 3 3

x yx y

+ = − =

2 16 2 8 0

2 3D = = − − = − ≠

−

Agora, para determinarmos o valor da incógnita x, devemos primeiramente calcular o determinante da matriz Dx, que é a matriz D com a coluna dos coeficientes da incógnita x substituídos pelos termos independentes (coluna dos resultados).

Obtemos o valor da incógnita x dividindo Dx por D.

7 121 3 24

3 3xD = = − − = −−

Para determinarmos o valor da incógnita y, o processo é igual. Começamos calculando o determinante Dy.

24 38

xDxD

−= = =

−

2 76 14 8

2 3yD = = − = −

68


E agora, obtemos o valor da incógnita y dividindo Dy por D.

8 18

yDy

D−

= = =−

Desta forma, o sistema linear tem como solução {(3, 1)}, sendo um sistema possível determinado (SPD) e tem como representação geométrica duas retas concorrentes.

Exemplo 11: Resolver o sistema 2 3 53 2 1

x yx y

+ = − =

, utilizando a regra de Cramer:Resolução:

2 3( 4) (9) 13

3 2

5 3( 10) (3) 13

1 2

2 5(2) (15) 13

3 113 11313 113

x

y

x

y

D

D

D

DxDD

yD

= = − − = −−

= = − − = −−

= = − = −

−= = =

−−

= = =−

Desta forma, o sistema linear tem como solução {(1, 1)}, sendo um sistema possível determinado (SPD) e tem como representação geométrica duas retas concorrentes.

Exemplo 12: Resolver o sistema 3

3 3 6x yx y− =

− =, utilizando a regra de Cramer:

Resolução:

1 1( 3) ( 3) 0

3 3

3 1( 9) ( 6) 3

6 3

1 3(6) (9) 3

3 6

303

0

x

y

x

y

D

D

D

Dx SIDD

y SID

−= = − − − =

−

−= = − − − = −

−

= = − = −

−= = →

−= = →


69

1 1( 3) ( 3) 0

3 3

3 1( 9) ( 6) 3

6 3

1 3(6) (9) 3

3 6

303

0

x

y

x

y

D

D

D

Dx SIDD

y SID

−= = − − − =

−

−= = − − − = −

−

= = − = −

−= = →

−= = →

Desta forma, o sistema linear não tem solução, sendo um sistema impossível (SI) e tem como representação geométrica duas retas paralelas.

Exemplo 13: Calcular os valores de x, y e z, no sistema

Resolução: O processo é igual do sistema 2x2, o que aumenta é a dificuldade para calcular o determinante, que agora será 3x3. Vamos iniciar calculando o determinante da matriz D, depois Dx, Dy e Dz e os respectivos valores das incógnitas.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

x

y

1 2 1 1 2D 2 1 3 2 1 2 18 6 3 9 8 14 4 10

3 3 2 3 3

2 2 1 2 2D 9 1 3 9 1 4 18 27 3 18 36 5 15 10

3 3 2 3 3D 10x 1D 10

1 2 1 1 2D 2 9 3 2 9 18 18 6 27 9 8 6 26 20

3 3 2 3 3D 20y 2D 10

1 2 2 1 2D 2 1 9 2 1 3 54 12

3 3 3 3 3

x

y

z

−= − − = + − − + − = − =

−

−= − − = + − − + − = − + =

−

= = =

−= = − + − − − + − = − + =

−

= = =

= − − = − + + ( )

z

6 27 12 63 33 30

D 30z 3D 10

− − + + = − =

= = =

Desta forma, a solução deste sistema é {(1, 2, 3)}.

2 22 3 93 3 2 3

x y zx y zx y z

+ − = − + = + − =

70


A representação em R3 será abordada na próxima unidade.

IMPORTANTE

3.4 SISTEMAS EQUIVALENTES

Dois sistemas são ditos equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.

Exemplo 14: Sendo 1

32 3 8

x yS

x y+ =

= + = e 2

32 5

x yS

x y+ =

= + = o par ordenado

(x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S1 e S2 são equivalentes: S1~S2.

3.4.1 Propriedades dos sistemas equivalentes

A seguir apresentamos as propriedades que irão nos auxiliar a trabalhar com sistemas equivalentes.

Propriedade 1: Trocando de posição as equações de um sistema obtemos um outro sistema equivalente.

Propriedade 2: Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número real não nulo k, obtemos um sistema equivalente ao anterior.

Dado ( )( )1

2 3

0

x y IS

x y II

+ == − =

, multiplicando a equação (II) por 3, obtemos:

1 2 1 2

2 1 ( ) 3 ( ), 3 ( ) e 2 ( ) , ~ .

2 ( ) 2 1 ( )

x y z I x - z IISendo S x - z II S y z III temos S S

y z III x y z I

+ + = = = = = + = + = + + =

2 2

2 3 2 3 ( 0) 3 3 3 0x y x y

S Sx y x y+ = + =

= ⇒ = − = ⋅ − =

Assim, temos S1~S2.


71

Propriedade 3: Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número real não nulo k obtemos um sistema equivalente ao anterior.

Dado ( )( )1

2 4

1

x y IS

x y II

+ == − =

, substituindo neste sistema a equação (II) pela

soma da equação (I), multiplicada por (-1), com a equação (II), obtemos:

' '1 1

2 4( 2 4) ( 1) 1 1 -3y -3

x yx y x yS Sx y

− − = −+ = ⋅ − − == ⇒ = − = =

Logo:

Assim, S1 ~ S2, pois (x, y) = (2, 1) é solução de ambos os sistemas.

3.5 SISTEMAS ESCALONADOS – MÉTODO DE GAUSS

Você deve ter percebido que a Regra de Cramer não nos permite determinar soluções para sistemas que não tenham o mesmo número de equações e incógnitas. Para estes casos e quando queremos resolver sistemas lineares cujo número de equações (e de incógnitas) excede três, é indicado que utilizemos o Método de Gauss, que utiliza o escalonamento de matrizes na sua resolução.

Para escalonar o sistema, vamos utilizar as três operações sobre linhas de matrizes já conhecidas, visto que verificamos, com as propriedades do item 3.2, que ao realizar estas operações, obtemos sistemas equivalentes. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 15: Dê a solução do sistema linear a seguir, utilizando o escalonamento de matrizes.

2

2 4 3 3

x yS

y+ =

= − = −

4 8 52 2

2 3 3 4

x y zx y zx y z

− + = − − + = − − + = −

72


Resolução: Escrevendo a matriz completa relacionada ao sistema, temos:

4 8 1 51 1 2 22 3 3 4

− − − − − −

A seguir, vamos escalonar a matriz utilizando as operações sobre linhas da matriz para deixá-la escrita sob forma escada:

1 2

4 8 1 5 1 1 2 21 1 2 2 ~ 4 8 1 52 3 3 4 2 3 3 4

L L↔

− − − − − − − − − − − −

Utilizando o elemento a11=1 como pivô para zerar os elementos abaixo dele.

( )( )

2 2 1

3 3 1

42

1 1 2 2 1 1 2 24 8 1 5 ~ 0 4 7 32 3 3 4 0 1 1

0

L L LL L L

→ + − ⋅→ + − ⋅

− − − − − − − − − − − −

Permutando as linhas 2 e 3:

2 3

1 1 2 2 1 1 2 20 4 7 3 ~ 0 1 1 00 1 1 0 0 4 7

3

L L↔

− − − − − − −

−

− − − −

Agora, usaremos o elemento a22=-1 como pivô para zerar o elemento a31 abaixo dele.

( )3 3 24

1 1 2 2 1 1 2 20 1 1 0 ~ 0 1 1 00 4 7 3 0 0 3 3

L L L→ + − ⋅

− − − − − − − − − − −


73

Por fim, façamos a leitura das linhas das matrizes, iniciando pela última linha:

3ª linha:

2ª linha:

1ª linha:

Portanto, a solução do sistema linear dada é (1,1,-1).

3 3331

z

z

z

− =

=−

= −

( )0

1 01 0

11

y zyyy

y

− − =

− − − =

− + =− = −

=

( ) ( )2 2

1 2 1 21 2 2

2 1 21

x y zxxxx

− + = −

− + ⋅ − = −

− − = −= − + +=

Veja que quando representamos a solução do sistema linear, respeitamos a ordem das incógnitas, x, y, z (em ordem alfabética). Essa ordem é importante e não pode ser mudada ao escrevermos a solução nessa representação.

ATENCAO

Exemplo 16: Resolva o sistema:1 2 3

1 2 3

1 2 3

3x 2x 5x 10x x 2x 12

4x 3x x 34

− + = + + =− − + = −

74


Resolução: Escrevendo a matriz completa do sistema, temos:

3 -2 5 101 1 2 12-4 -3 1

-34

Para escalonar essa matriz, podemos utilizar todas as operações sobre linhas de matriz. Como é sempre útil deixar o pivô valer 1, vamos permutar a linha 1 pela linha 2:

Usando o elemento a11 = 1 como pivô para zerar os elementos a21 = 3 e a31 = -4, teremos:

1 2

3 2 5 10 1 1 2 121 1 2 12 ~ 3 2 5 104 3 1 3

4 4 3 1 34

L L↔

− − − − − − − −

2 2 1

3 3 1

3141

1 1 2 12 1 1 2 123 2 5 10 ~ 3 3 2 3 5 6 10 364 3 1 34 4 4 3 4 1

8 34 48

L L L

L L L

→ + ⋅ − − → + ⋅ −

− − − − − − − − −

− + − + + − +

1 1 2 12

Logo, 0 5 1 260 1 9 14

− − −

Permutando a linha 2 com a linha 3 para ficarmos com o pivô a22 = 1, teremos:

2 3L L

1 1 2 12 1 1 2

120 5 1 26 ~ 0 1 9 140 1 9 14 0 5 1 26

↔

− − −

− − −

Utilizando o pivô a22 = 1 para zerar o elemento a32 = -5:

3 3 25L L L1

1 1 2 12 1 1 2 120 1 9 14 ~ 0 1 9 140 -5 -1 -26 0 0 5 5 1 45 26

70

− → + ⋅ −

+ − + − + − +


75

Efetuando as operações chegamos à matriz escalonada:

Lendo as linhas da matriz escalonada:

3ª Linha:

2ª Linha:

1ª Linha:

1 1 2 120 1 9 140 0 44

44

44z 4444z44

z 1

=

=

=

( )1y 9z 14

1y 9 1 141y 9 14y 14 9

y 5

+ =

+ ⋅ =

+ == −

=

( ) ( )x y 2z 12

x 5 2 1 12x 5 2 12

x 7 12x 12 7

x 5

+ + =

+ + ⋅ =

+ + =+ == −

=

Portanto, a solução do sistema é S={(5,5,1)}.

Exemplo 17: Resolver o sistema .3 1

2 0x y z

x z− + = −

+ =

76


Resolução: Acadêmico, perceba que essa matriz tem duas equações e três incógnitas, logo a matriz A será de ordem 2x3. Como a matriz completa tem uma coluna a mais (a coluna dos resultados), teremos uma matriz 2x4 como ampliada.

3 1 3 1 1 12 0 1 0 2 0

x y zx z

− + = − − − ⇒ + =

Note que na segunda linha não aparece incógnita y. Como a segunda coluna representa os coeficientes da incógnita y e ela não aparece na segunda linha, basta acrescentar o coeficiente zero como elemento correspondente.

Escalonando a matriz:

( )1 2 2 2 13

3 1 1 1 1 0 2 0 1 0 2 0~ ~ ~

1 0 2 0 3 1 1 1 3 3 1 1 3 0 1 3 2 1 3 0

1 0 2 0~

0 1 5 1

L L L L L↔ → + − ⋅

− − − − − ⋅ − − ⋅ − ⋅ − − ⋅

− − −

Notem que esta matriz já está escalonada e lendo as linhas dessa matriz teremos duas equações:

Isolando x na primeira equação e y na segunda, obteremos o resultado de x e y em função de z, ou seja:

1 0 2 0 2 00 1 5 1 5 1

x zy z+ =

⇒ − − − − − = −

21 5

zz

z

− −

2 0 25 1 1 5

x z x zy z y z+ = = −

⇒− − = − = −

Portanto, existem infinitas soluções para esse sistema: para cada valor de z que considerarmos, teremos valores x e y diferentes associados a ele, a solução geral é representada por um ponto de três coordenadas (-2z, 1-5z, z) ou por um

vetor .

Por exemplo:

para z = 0 teremos (0,1,0)para z = 1 teremos (-2,-4,1)

Os valores de x e y foram obtidos usando os resultados do sistema acima. Dizemos então que z é a variável independente do sistema.


77

Exemplo 18: Resolver o sistema .

Resolução: Iniciamos escrevendo a matriz ampliada e escalonando.

3 24

2 3 6

x yx y

x y

+ = − = − =

Pronto! A matriz já está escalonada. Lendo a última linha da matriz escalonada, temos a seguinte equação: 0x + 0y = 2, ou seja, estamos procurando valores de x e valores de y que a soma de seus produtos por 0 resulta em 2.

Isto é impossível, porque todo número x e todo número y multiplicado por 0 será igual a 0, então teremos sempre, para qualquer x e y, 0 + 0 no lado esquerdo da igualdade. E 0 + 0 é sempre igual a 0, nunca igual a 2. Portanto, esse sistema é impossível, ou seja, não há x e y que solucione o sistema. Nesse caso representamos a solução como S = { }.

4 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR

Para discutir um sistema linear de n equações e n incógnitas, calculamos o determinante D da matriz incompleta. Assim, se:

• 0D ≠ ⇒ O sistema é possível e determinado (SPD), ou seja, tem solução única.• 0D = ⇒ O sistema pode ser possível e indeterminado (SPI) (ter infinitas

soluções) ou impossível (SI) (não ter solução).

No caso de D = 0, sistema poderá ser SPI ou SI. Para identificarmos de ele é SPI ou SI teremos que encontrar todos os Di’s para saber se o sistema é possível e indeterminado ou impossível. De que forma?

Se todos os Di forem iguais a 0, teremos um SPI.Se pelo menos um Di diferente de zero, teremos um SI.

( )( )

1 2 2 32 2 13 3 1

3 3

32

4

3 1 2 1 1 4 1 1 4 1 1 41 1 4 ~ 3 1 2 ~ 3 3 1 1 3 ( 1) 2 3 4 ~ 0 4 10 ~2 3 6 2 3 6 2 2 1 3 2 ( 1) 6 2 4 0 1 2

1 1 4~ 0 1 2

0 4 10

L L L LL L LL L L

L L

↔ ↔→ + − ⋅→ + − ⋅

→ +

− − − − − ⋅ − ⋅ − − ⋅ − − − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − −

− − −

2

1 1 4 1 1 4~ 0 1 2 ~ 0 1 2

0 4 4 ( 1) 10 4 ( 2) 0 0 2L⋅

− − − − − − + ⋅ − + ⋅ −

78


Exemplo 19: Discutir o sistema: .

Resolução: O primeiro passo é sempre calcular o determinante D.

32 3 43 2 6

x y zx y zx y z

− + = + − = − + =

1 1 1 2 1 1 3 03 1 2

D−

= − = ≠−

Logo, o sistema é possível e determinado, apresentando solução única.

Exemplo 20: Discutir o sistema: .

Resolução: Calcular D.

1 2 1 2 1 3 03 3 -2

D = − =

1 2 1 4 1 3 35 00 3 -2

xD = − = ≠

2 12 3 43 3 2 0

x y zx y zx y z

+ + = + − = + − =

Como o valor foi nulo, precisamos verificar se o sistema é SPI ou SI e para isso devemos calcular os demais determinantes. Lembrando que se algum for diferente de zero, teremos um sistema impossível.

Sendo D = 0 e Dx ≠ 0, o sistema é impossível, não apresentando solução.

Exemplo 21: Discutir o sistema: . 3 2 1

2 2 4 3 1

x y zx y zx y z

+ + =− + + = −− + + = −


79

Resolução:

1 3 2 2 1 1 0

1 4 3D = − =

−

Novamente o valor foi nulo e precisamos verificar se o sistema é SPI ou SI e para isso devemos calcular os demais determinantes.

1 3 2 2 1 1 0

1 4 3

1 1 2 2 -2 1 0

1 1 3

1 3 1 2 1 2 0

1 4 -1

x

y

z

D

D

D

= − =−

= − =− −

= − − =−

Logo, temos D = 0, Dx = 0, Dy = 0, Dz = 0. Portanto, o sistema é possível e indeterminado, apresentando infinitas soluções.

Exemplo 22: Determinar k ϵ R, de modo que o sistema 35

kx yx ky

+ = + =

tenha solução.

Solução: Condição: det A ≠ 0:

211 0 1

1k

k kk

= − ≠ ⇒ ≠ ±

5 APLICAÇÕES DE SISTEMAS LINEARES

Conforme visto na introdução deste tópico, os sistemas lineares são a chave para resolver diversos problemas nas mais variadas áreas. Desta forma, trazemos a resolução de algumas aplicações.

Exemplo 23: (FGV-2005) Um motorista abasteceu seu carro Flex num posto com 10 litros de álcool e 30 litros de gasolina, pagando R$ 90,00. Na semana

80


seguinte, no mesmo posto, abasteceu com 30 litros de álcool e 20 litros de gasolina pagando R$ 102,00. Se não houve alteração nos preços, calcule o preço do álcool nesse posto.

Resolução: Utilizando as variáveis “x” e “y” para preços, respectivamente, do álcool e da gasolina, montamos o sistema com as informações:

10 30 9030 20 102

x yx y

+ = + =

Escalonando o sistema, encontra-se a variável “y” e em seguida “x”.

1 23

10 30 90 10 30 90 ~

30 20 102 70 168L L

x y x yx y y

−

+ = + = + = =

Assim, 168 2,470

y = = . Substituindo na 1ª equação, temos: 90 30(2,4) 18 1,810 10

x −= = = .

Resposta: O preço do álcool vale R$ 1,80.

Exemplo 24: Em uma pastelaria, dois pastéis mais três caldos de cana custam R$ 5,40. Cinco pastéis mais dois caldos custam R$ 9,10. Qual o preço de quatro pastéis e quatro caldos?

Resolução: Utilizando as variáveis “x” e “y” para preços, respectivamente, do pastel e do caldo, montamos o sistema com as informações:

2 3 5,405 2 9,10

x yx y

+ = + =

Escalonando o sistema, temos:

1 25 2

2 3 5,40 2 3 5,40 ~

5 2 9,10 11 8,80L L

x y x yx y y

−

+ = + = + = =

8,80 5,40 3(0,80) 3,00Logo, 0,80 e 1.50.11 2 2

y x −= = = = =

Calculando quatro pastéis e quatro caldos: 4.(0,80)+4.(1,50) = 3,20+6,00 = R$9,20.

Resposta: O preço pedido é R$ 9,20.


81

Exemplo 25: (UERJ-2004) Um comerciante deseja totalizar a quantia de R$ 500,00 utilizando cédulas de um, cinco e dez reais, num total de 92 cédulas, de modo que as quantidades de cédulas de um e de dez reais sejam iguais. Neste caso, qual a quantidade de cédulas de cinco reais que o comerciante precisará?

Resolução: Considerando “x”, “y” e “z”, respectivamente, as quantidades de cédulas de R$ 1,00; R$ 5,00 e R$ 10,00 lembrando que x = z, montamos o sistema:

Escalonando, temos:

92 2 925 10 500 11 5 500

x y z x yx y z x y

+ + = + = ⇒ + + = + =

1 211. 2.

2 92 2 92 ~

11 5 500 12

L L

x y x yx y y

−

+ = + = + = =

Resposta: Logo, são necessárias 12 cédulas de R$ 5,00.

Exemplo 26: (UNIUBE-MG) Ao descontar um cheque, recebi somente notas de R$ 10,00 e R$ 50,00 em um total de 14 notas. Quando fui conferir, descobri que o caixa havia se enganado, pois recebi tantas notas de R$ 50,00 quanto as de R$ 10,00 que deveria ter recebido e vice-versa. Percebido o erro, verifiquei que, se gastasse R$ 240,00 da importância recebida, ainda ficaria com o valor do meu cheque. Qual era o valor do cheque?

Resolução: Considerando “x” as notas de R$ 10,00 e “y”, as de R$ 50,00, o sistema de acordo com as informações é:

Escalonando o sistema:

1 240.

1440 40 240

L L

x yx y

−

+ = − =

14~ 1

80 320 4x y

xy y

+ =⇒ = = ⇒ =

Resposta: Logo o valor do cheque era (10).(R$10,00) + (4).(R$50,00) = R$300,00.

Exemplo 27: Aplicação dos Sistemas lineares na Engenharia. Extraído do artigo “Análise do conceito de Sistemas de equações Lineares

no Curso de Engenharia Mecânica” apresentado no XLI Congresso Brasileiro de Educação em Engenharia, Gramado/2013.

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FIGURA 2 - MONTAGEM DO SISTEMA MASSA MOLA NÃO AMORTECIDO E DIAGRAMA DE CORPO LIVRE

FONTE: Furtado (2013)

Utilizando a 2ª Lei de Newton (equação do movimento) e a Lei de Hooke (deformação elástica), conseguimos obter matematicamente as equações que regem todo o sistema massa mola. Pela condição de equilíbrio estático onde não existe movimento, podemos escrever as equações da seguinte forma.

Força exercida pela mola elástica de peso desprezível nos blocos.

F1 = Kx1F2 = K (x2 - x1) F3 = K (x3 - x2)

Força devido ao peso dos blocos.

P1 = m1 . gP2 = m2 . gP3 = m3 . g

Diagrama de corpo livre do sistema massa mola:


83

Bloco de massa m1:

Bloco de massa m2:

1 2 1

1 2 1

02 0

3 2

FxF F PKx Kx m g

∑ =− − =

− =

Bloco de massa m3:

2 2 3

1 2 3 2

02 0

2 3

FxF P F

Kx Kx Kx m g

∑ =− − =

− − − =

3 2

3 2 3

00

FxF PKx Kx m g

∑ =− =

− =

Sendo assim, o sistema de equações lineares que modelam o problema de engenharia do sistema massa mola segue:

1 2 1

1 2 3 2

3 2 3

3 22 3Kx Kx m g

Kx Kx Kx m gKx Kx m g

− =− − − = − =

Em que, dependendo dos valores das constantes elásticas e das massas dos objetos, determinamos os valores das deformações x1, x2 e x3.

CURIOSIDADES EM TORNO DOS CONCEITOS DE MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES

1) O pai do nome matriz

Foi só há pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua importância detectada e saíram da sombra dos determinantes. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy, 1826: tableau (= tabela).

O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Seu amigo Cayley, com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1858, divulgou esse nome e iniciou a demonstrar sua utilidade.

LEITURA COMPLEMENTAR

84


2) Por que Sylvester deu o nome matriz às matrizes?

Usou o significado coloquial da palavra matriz, qual seja: local onde algo se gera ou cria. Com efeito, via-as como "...um bloco retangular de termos... o que não representa um determinante, mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar vários sistemas de determinantes, ao fixar um número p e escolher à vontade p linhas e p colunas..." (artigo publicado na Philosophical Magazine de 1850, p. 363-370).

Observe que Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes. É só com Cayley que elas passam a ter vida própria e gradativamente começam a suplantar os determinantes em importância.

3) Surgimento dos primeiros resultados da Teoria das Matrizes

Costuma-se dizer que um primeiro curso de Teoria das Matrizes - ou de sua versão mais abstrata, a Álgebra Linear - deve ir no mínimo até o Teorema Espectral. Pois bem, esse teorema e toda uma série de resultados auxiliares já eram conhecidos antes de Cayley iniciar a estudar as matrizes como uma classe notável de objetos matemáticos.

Como se explica isso? Esses resultados, bem como a maioria dos resultados básicos da Teoria da Matrizes, foram descobertos quando os matemáticos dos séculos XVIII e XIX passaram a investigar a Teoria das Formas Quadráticas. Hoje, consideramos imprescindível estudar essas formas através da notação e metodologia matricial, mas naquela época elas eram tratadas escalarmente.

Mostremos aqui a representação de uma forma quadrática de duas variáveis, tanto via notação escalar como com a mais moderna notação matricial:

O primeiro uso implícito da noção de matriz ocorreu quando Lagrange c. 1790 reduziu a caracterização dos máximos e mínimos, de uma função real de várias variáveis, ao estudo do sinal da forma quadrática associada à matriz das segundas derivadas dessa função. Sempre trabalhando escalarmente, ele chegou a uma conclusão que hoje expressamos em termos de matriz positiva definida. Após Lagrange, já no século XIX, a Teoria das Formas Quadráticas chegou a ser um dos assuntos mais importantes em termos de pesquisas, principalmente no que toca ao estudo de seus invariantes. Essas investigações tiveram como subproduto a descoberta de uma grande quantidade de resultados e conceitos básicos de matrizes.


85

Assim, podemos dizer que a Teoria das Matrizes teve como mãe a Teoria das Formas Quadráticas, pois seus métodos e resultados básicos foram lá gerados. Hoje, contudo, o estudo das formas quadráticas é um mero capítulo da Teoria das Matrizes.

3) Breve histórico do estudo dos determinantes

A primeira ideia de determinante, presume-se, já existia na China antiga, onde os coeficientes de equações lineares eram representados com varetas de bambu.

• 1683: no Japão, o matemático Seki Shinsuke Kowa, baseando-se em ensinamentos chineses, utilizava varetas para resolver sistemas lineares de um modo semelhante ao processo usado hoje para o cálculo de determinantes;

• 1693: o matemático alemão Göttfried Wilhelm Leibniz criou a teoria dos determinantes, também resolvendo sistemas lineares;

• 1750: o matemático suíço Gabriel Cramer, desconhecendo os trabalhos já feitos, reinventou os determinantes ao estabelecer e publicar uma regra, que leva seu nome, para resolver os sistemas lineares;

• 1812: Cauchy escreveu 84 páginas sobre determinantes e, a partir daí a teoria dos determinantes tornou-se um ramo da Álgebra, passando, então, a ser largamente utilizada.

4) Determinantes a partir de Sistemas Lineares?

Do ponto de vista histórico, a ideia de determinante aparece em soluções de sistemas lineares pelo menos um século antes do matemático inglês Arthur Cayley criar as teorias das matrizes. A ordem histórica, portanto, foi: sistemas lineares, determinantes e matrizes, porém, estudamos primeiro matrizes, depois determinantes e, em seguida, sistemas lineares.

FONTE: CRUZ, L. F. Introdução ao estudo da Álgebra Linear. Rio Claro: Editora da UNESP, 2012, p. 190.

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RESUMO DO TÓPICO 3

Neste tópico, você estudou que:

• Um sistema de equações lineares pode ser definido como um conjunto de n equações com n variáreis independentes entre si. E que todo sistema pode ser escrito sob forma matricial A·X = B.

• Um sistema pode ser classificado em: sistema possível determinado (SPD), sistema possível indeterminado (SPI) e sistema impossível (SI).

• Um sistema linear pode ser resolvido através da regra de Cramer, a qual afirma

que todo sistema normal tem uma única solução, dada por: = xii

DxD

• O método de Gauss consiste em escalonar a matriz utilizando as operações elementares sobre linhas de matrizes.

87

Acadêmico, o processo de resolução de sistemas lineares pode parecer complicado no começo. Porém, não desista! É normal escolhermos caminhos que não nos levem à resposta esperada nas primeiras tentativas, mas o importante é reconhecer que a escolha foi errada e recomeçar outra vez. Lápis, borracha e mãos à obra!

1 Resolva o sistema linear do exemplo 28, determinando os comprimentos de deformação e um diagrama representativo com m1=2kg, m2=3kg, m3=5kg de uma mola com constante elástica de 12N/m.

2 Determine m para que o sistema tenha única so-lução.

3 Escalone e resolva os sistemas lineares a seguir:

AUTOATIVIDADE

2 3 04 5 0

3 2 0

x y zx y zx my z

− + = + − = + + =

2 3 1a) 3 3 8

2 0

6b) 4 2 5

3 2 13

2 7c) 2 7 21

3 5 2 8

x y zx y zy z

x y zx y z

x y z

x y zx y z

x y z

+ + = − + = + =

+ + = + − = + + =

+ + = + + =− − + = −

4 (UERJ) Observe a tabela de compras realizadas por Mariana.

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Sabendo que ela adquiriu a mesma quantidade de canetas e cadernos, além do maior número possível de lapiseiras, o número de corretores comprados foi igual a:

a) ( ) 11 b) ( ) 12 c) ( ) 13 d) ( ) 14

5 (UERJ) Observe os quadros I, II e III anunciados em uma livraria.

I) Considere os quadros I e II. Supondo que todos os livros A foram vendidos ao preço regular e todos os livros B foram vendidos ao preço de oferta, a quantia total arrecadada pela livraria na venda desses livros foi:

a) ( ) R$ 1658,00 b) ( ) R$ 1568,00 c) ( ) R$ 2340,00 d) ( ) R$ 1348,00

II) Considere agora o quadro III, que indica a quantia arrecadada na venda de certa quantidade dos livros A e B (valores em reais). Utilizando esses dados e os apresentados no quadro II, a quantidade vendida do livro A (ao preço regular, edição de luxo) e a quantidade vendida do livro B (ao preço de oferta, edição de bolso) foram, respectivamente.

a) ( ) 100 e 200 b) ( ) 45 e 100 c) ( ) 50 e 160 d) ( ) 40 e 160

6 (UFF – 2000) As ligações entre as cidades A, B e C figuram num mapa rodoviário conforme ilustrado. Seguindo esse mapa, uma pessoa que se deslocar de A para C, passando por B, percorrerá 450 km. Caso a pessoa se desloque de A para B, passando por C, o percurso será de 600 km. Para se deslocar de B para C, passando por A, a pessoa vai percorrer 800 km. Determine quantos quilômetros esta pessoa percorrerá ao se deslocar de A para B, sem passar por C.

QuantidadeEdição Luxo Edição Bolso

Livro A 76 240Livro B 50 180

Preço (Regular)

Preço (Oferta)

Livro A 720,00 440,00Livro B 560,00 340,00

Preço (em Reais)Regular Oferta

Ed. Luxo 8,00 6,00Ed. Bolso 2,00 1,00

Quadro I

Quadro III

Quadro II

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7 (UNESP) Numa determinada empresa vigora a seguinte regra baseada em acúmulo de pontos. No final de cada mês, o funcionário recebe: 3 pontos positivos, se em todos os dias do mês ele foi pontual no trabalho, ou 5 pontos negativos, se durante o mês ele chegou pelo menos um dia atrasado. Os pontos recebidos vão sendo acumulados mês a mês, até que a soma atinja, pela primeira vez, 50 ou mais pontos, positivos ou negativos. Quando isso ocorre, há duas possibilidades: se o número de pontos acumulados for positivo, o funcionário recebe uma gratificação e, se for negativo, há um desconto em seu salário. Qual a quantidade de meses em que um funcionário foi pontual, no período, se ele acumulou exatamente 50 pontos positivos em 30 meses?

cidadeA

cidadeB

cidadeC

z

x

y

91

UNIDADE 2

VETORES E SUAS APLICAÇÕES


PLANO DE ESTUDOS


• conceituar, operacionar e interpretar vetores;

• visualizar as aplicações de vetores;

• compreender a real importância de autovalores e autovetores;

• formalizar o estudo de transformações lineares.

Esta unidade está dividida em quatro tópicos. Ao final de cada um deles você encontrará atividades que o auxiliarão no seu aprendizado.

TÓPICO 1 - VETORES E SUAS OPERAÇÕES BÁSICAS

TÓPICO 2 - OPERAÇÕES VETORIAIS

TÓPICO 3 - DEPENDÊNCIA LINEAR

TÓPICO 4 - TRANSFORMAÇÃO LINEAR, AUTOVALORES E AUTOVETORES

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TÓPICO 1

VETORES E SUAS OPERAÇÕES BÁSICAS

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃO

Acadêmico, nesta segunda unidade de estudo abordaremos os conceitos, regras, propriedades e aplicações dos vetores. O conteúdo desta unidade representa o elo de ligação entre dois grandes ramos da Matemática, a Álgebra Linear e a Geometria Analítica.

Segundo Anton e Rorres (2010, p. 119), vetores “são quantidades que requerem não só um valor numérico, mas também uma direção e um sentido para sua descrição física completa”. E eles fazem parte do cotidiano dos engenheiros. Vocês os encontrarão em:

• grandezas como força, torque e velocidade;• guindastes, pontes e elevadores;• motores e automóveis;• dimensionamento de vigas e treliças;• matérias como Estática e Resistência dos Materiais;• tratamentos bi e tridimensionais, mais conhecidos como 2D e 3D.

Os vetores também aparecem em situações corriqueiras, por exemplo, quando um carro fica sem partida e é necessário empurrá-lo. Com o auxílio de três ou quatro pessoas, todas empurrando na mesma direção. Elas estão somando forças com a mesma direção e sentido, isso pode ser representado por um vetor, ou então em um simples bate-estacas, que em golpes sucessivos vai afundando um pilar e pode ser representado por uma força na direção normal.

Saiba, acadêmico, que com a prática os vetores e suas operações tornam-se cada vez mais claros, levando-o a conhecer o funcionamento detalhado de várias estruturas. Vamos iniciar?

Ao longo dos estudos, na matemática do Ensino Médio, conhecemos o Plano Cartesiano. Vamos aqui relembrá-lo, pois esse conhecimento é pré-requisito para compreender a representação gráfica de um vetor.

IMPORTANTE

UNIDADE 2 | VETORES E SUAS APLICAÇÕES

94

2 PLANO CARTESIANO

Em um Plano Cartesiano são fixados dois eixos coordenados OX

e OY

, interceptando-se em um ponto O, chamado de origem. Fica convencionado que os eixos coordenados formam entre si um ângulo de 90º (ângulo reto). Em seguida, escolhendo-se um ponto P pertencente ao plano, traçam-se retas perpendiculares a OX

e OY

, passando por P, interceptando os eixos OX

e OY

nos pontos R e S, respectivamente. Daí em diante, os comprimentos dos segmentos OR e OS são ditos coordenadas cartesianas do ponto P, no plano cartesiano.

FIGURA 3 - REPRESENTAÇÃO DO PONTO P NO PLANO CARTESIANO

y

S P

R xO

FONTE: Os autores

Obviamente, este é um conceito que você já está acostumado a utilizar. É claro que na prática os segmentos OR e OS são mensurados através de medidas numéricas, onde associamos cada ponto P do plano a um único par ordenado (xp, yp) de números reais, sendo xp a abscissa e yp a ordenada do ponto P.

Agora, iremos estender este conceito para o Espaço Cartesiano, que nada mais é do que analisar analogamente o fato, porém em três dimensões. Traçamos o eixo OZ

ortogonal a OX

e OY

concomitantemente todos eles se interceptando na origem dos eixos.

Dado um ponto P, agora pertencente ao “espaço”, traçamos retas perpendiculares aos planos coordenados, passando por P, da seguinte forma:

• Reta perpendicular (em T) ao eixo OZ, paralela ao plano XY.• Reta perpendicular (em S) ao eixo OY, paralela ao plano XZ.• Reta perpendicular (em R) ao eixo OX, perpendicular ao plano YZ.

E com isto, os comprimentos dos segmentos OR e OS e OT são ditos coordenadas cartesianas do ponto P, no espaço cartesiano, associando-o a uma única trinca coordenada (xp, yp, zp) de números reais, sendo xp a abscissa, yp a ordenada e zp a cota do ponto P.

TÓPICO 1 | VETORES E SUAS OPERAÇÕES BÁSICAS

95

FIGURA 4 - REPRESENTAÇÃO DO PONTO P NO ESPAÇO CARTESIANO

FONTE: Os autores

Exemplo 1: Determinar um sistema de coordenadas no espaço cartesiano representando uma sala com 10 m de comprimento, 6 m de largura e 4 m de altura, para representar:

a) Os oito cantos da sala.b) O ponto de intersecção das diagonais do plano.c) Um ponto P acima da intersecção das diagonais do plano, situado

ortogonalmente a 2 m de altura.

Resolução: A figura a seguir dá a ideia da sala mencionada no exemplo.

FIGURA 5 - REPRESENTAÇÃO DE PONTOS NO ESPAÇO R³

ZT

O

S

P

R

x y

Plano xz

Plano yz

Plano xy

FONTE: Os autores


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a) Seguindo os conceitos da construção do espaço cartesiano, temos que notar o fato de que os pontos terão cada um três coordenadas. Note, também, que poderíamos escolher qualquer posição para representar a sala neste espaço, porém é mais simples escolher a posição onde um dos cantos da sala é a origem dos eixos coordenados. Logo:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3 4

5 6 7 8

0,0,0 , 0,6,0 , 10,6,0 , 10,0,0

10,0,4 , 0,0,4 , 0,6,4 , 10,6, 4

P P P P

P P P P

Verifique que o único ponto que não possui coordenadas nulas é o ponto P8 ,

pois ele não pertence a nenhum eixo nem plano coordenado. Assim:• Pontos que possuem duas coordenadas nulas, está situado em um eixo.• Pontos que possuem uma coordenada nula, está situado em um plano.

NOTA

b) O ponto de intersecção entre as diagonais (ponto D) está no plano XY, logo ele possui cota zD = 0 (não possui altura). Percebe-se também que as coordenadas xD e yD são metade das medidas dos lados da sala (por se tratar da diagonal), logo xD = 5 e yD = 3, e então D(5,3,0).

c) Verifique que as duas primeiras coordenadas do ponto P coincidem com a do ponto D visto acima. Logo, para “dar altura” ao ponto, mexemos no valor da cota z. Assim, P(5,3,2).

3 VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO

Nas aplicações físicas dos fenômenos naturais existem grandezas como comprimento, temperatura e tempo, que são medidas apenas pela sua intensidade e representadas por números reais. Estas grandezas são chamadas de grandezas escalares. Outras, por sua vez, para seu entendimento necessitam, além do valor de sua intensidade, uma direção e sentido. A estas damos o nome de grandezas vetoriais e, obviamente, são representadas por vetores.

Primeiramente, iremos verificar a interpretação geométrica de vetor, em seguida, trataremos vetores do ponto de vista algébrico, para poder realizar operações vetoriais.


97

3.1 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE VETOR

Sabemos que dois pontos distintos do espaço determinam uma reta. Podemos entender esta reta como um lugar geométrico que determina uma direção no espaço. É claro que não precisamos de toda a reta para verificar esta direção, então podemos tomar um segmento de reta entre os pontos A e B. Logo depois, podemos orientar este segmento de reta, dando-lhe um sentido, apenas considerando uma das extremidades do segmento como ponto inicial e a outra como ponto final. Além disto, podemos medir o comprimento deste segmento, o que chamaremos de AB.

FIGURA 6 - REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM VETOR

A

B

V

AB

FONTE: Os autores

Vimos assim que vetores são definidos geometricamente por segmentos de reta orientados. Constituindo assim sua direção, sentido e intensidade (valor). Iremos tomar verdadeiro também que vetores paralelos com mesmo sentido e intensidade são vetores iguais, mesmo que representados por segmentos diferentes. Neste caso, iremos chamá-los de vetores equipolentes.

FIGURA 7 - VETORES EQUIPOLENTES

FONTE: Os autores


98

Observação: Na figura acima, os vetores dados pelos segmentos CD e EF são equipolentes, já o vetor dado por GH não, pois o seu sentido é distinto.

Realizando uma analogia, podemos comparar vetores equipolentes a frações equivalentes. Por exemplo:

NOTA

1 2 32 4 6

= =

3.2 DEFINIÇÃO ALGÉBRICA DE VETOR

Para realizar a definição geométrica de vetor, deveremos introduzi-lo em um sistema de coordenadas. Inicialmente iremos realizar o processo em duas dimensões, estendendo-a posteriormente para três dimensões.

Definição: Dados dois pontos do plano A e B, com coordenadas (xA, yA) e (xB, yB), chamamos de vetor v a operação B-A = (xB -xA, yB -yA).

GRÁFICO 1 - REPRESENTAÇÃO DE UM VETOR

FONTE: Os autores


99

Para vetores em três dimensões, o resultado é análogo. Dados os pontos A (xA,

yA, z

A) e B (x

B, y

B, z

B) no espaço: v = B - A = (x

B - x

A, y

B - y

A, z

B - z

A).

IMPORTANTE

Exemplo 2: Dados os pontos A(-1,2) e B(3,4) do plano e os pontos C(2,3,3) e D(3, -2,3) do espaço. Determine os vetores u = AB do plano e v = CD do espaço, algebricamente e geometricamente.

Resolução: Algebricamente, iremos determinar os vetores u e v através da subtração das coordenadas dos pontos indicados, logo:

Geometricamente:

( )( ) ( )( ) ( )3 1 ,4 2 4,2

3 2, 2 3,3 3 1, 5,0

u B A

v D C

= − = − − − =

= − = − − − − = −

O gráfico da esquerda nos mostra a operação entre os pontos A e B, que resultou o vetor u. Note que o vetor resultado parte da origem (0,0), mesmo que os pontos acima citados não estejam sobre ela. Neste caso, podemos observar que o vetor u´, que é o segmento orientado entre os pontos A e B, é um vetor equipolente ao resultado da operação, mas que representa a mesma intensidade, direção e sentido.

O mesmo também ocorre no gráfico da direita. O vetor v´ tem como vetor equipolente o vetor v = (1,-5,0), resultante da operação D – C, realizada algebricamente acima.


100

Este exemplo nos mostra que encontrar um vetor a partir de dois pontos sempre nos trará um representante deste vetor partindo da origem dos eixos cartesianos, e assim, iremos sempre adotar esta regra para a análise de vetores.

4 OPERAÇÕES ENTRE VETORES

Após definir vetor de modo algébrico e geométrico, iremos aprender a operar com eles de modo adequado. Outro ponto a ser conferido é o fato da motivação para realizar estas operações se encontrar no estudo das grandezas vetoriais na Física e na Engenharia.

Fica claro que as definições destas operações estão baseadas em vetores de 32 (ou seja, vetores de duas coordenadas). Porém, facilmente elas podem ser estendidas para vetores de três coordenadas (fica como atividade para você, acadêmico).

4.1 SOMA DE VETORES

Definição: Sejam u = (x1,y1) e v = (x2,y2), vetores de ² . Então definimos a soma de vetores u + v da seguinte forma:

u + v = (x1+x2, y1+y2)

Observação: De modo mais simples, o vetor soma u + v será aquele cujas coordenadas são obtidas somando-se as respectivas coordenadas de u e v.

Geometricamente, existem algumas maneiras de determinarmos a soma entre vetores. Iremos identificar aqui duas delas:

1) Regra do Paralelogramo:

Esta técnica é assim chamada, pois na extremidade de v projeta-se o vetor u, e na extre-midade de u projeta-se v. Construindo uma figura, tal qual um paralelogramo. O vetor resultado, que chamamos de resultante, é obtido pelo segmento que liga a origem ao encontro das projeções.

REGRA DO

PARALELOGRAMO


101

Nesta técnica, projeta-se o vetor v (ou u), na extremidade do vetor u (ou v). Partindo da origem, traça-se um vetor até a extremidade alcançada, fechando uma figura tal qual um triângulo. Este vetor encontrado será o resultante.

REGRA DO

TRIÂNGULO

2) Regra do Triângulo:

A Regra do Triângulo pode ser estendida e compreendida como “Regra do Polígono”, que nos permite realizar a soma de inúmeros vetores ao mesmo tempo, da seguinte forma:

Os vetores são colocados consecutivamente, para que o vetor resultante seja o último lado para criar o polígono.

NOTA

A

B

C

D E

F

GVetor

Exemplo 3: Sejam u = (-2, -3), v = (1,4), t = (3,2), determine algebricamente e geometricamente as seguintes somas entre vetores:

a) b) c) v

u vu t

t

+ =+ =+ =


102

Resolução:

( ) ( )2 1,a 3 4 1) ,1u v+ = − + − + = − ( ) ( )2 3,b 3 2 1) , 1u t+ = − + − + = −

c) ?v t− =

Neste ponto, antes de realizar o cálculo deveremos definir o conceito de vetor oposto.

Definição: Seja o vetor v = (x1,y1), dizemos que seu vetor oposto -v é dado por -v = (-x1,-y1).

Esta definição nos leva a entender que a subtração de vetores nada mais é do que a soma do vetor oposto.

Voltando à questão, temos: v - t = v + (-t) = (1,4) + (-3,-2) = (1 - 3,4 - 2) = (-2,2).


103

4.2 MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR

Definição: Seja u = (x1, y1) um vetor de ² e k ∈ . A multiplicação k . u é dada por k . u = (k . x1 , k . y1 ).

Observações:

1) Se k >0, o vetor resultado é maior do que o vetor original k vezes.2) Se 0<k<1, o vetor resultado é menor do que o original k vezes.3) Se k < -1, o vetor resultado é maior do que o original k vezes e muda sua direção

em 180°.

Se -1<k<0, o vetor resultado é menor do que o original k vezes e muda sua direção em 180°.

Caro acadêmico, procure refletir sobre as observações acima. É interessante corroborar os conceitos aqui encontrados com exemplos numéricos que o farão fixar e absorver melhor o conteúdo.

Agora, fica a pergunta: O que ocorre quando k = + 1? Por quê? Existe alguma relação com a definição de vetor oposto dada anteriormente?

NOTA

Exemplo 4: Seja o vetor u = (2,3), realize as seguintes operações entre os vetores a seguir com os respectivos escalares.

Resolução:

32

a)

1b)

c) 2

-

uu

u

⋅− ⋅

⋅

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

3 3 2,3 3 2,3 3 6,9

2 2 2,3 2 2, 2 3 4, 6

a)

b)

c) 1 1 1 1 32,3 2, 3 1,2 2 2 2 2

u

u

u

⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =

− ⋅ = − ⋅ = − ⋅ − ⋅ = − −

− ⋅ = − ⋅ = − ⋅ − ⋅ = − −


104

Observação: Perceba que a multiplicação de um vetor por um escalar pode modificar apenas o “tamanho” (através do fator multiplicativo) e sentido (através do sinal negativo). Nunca se altera a direção do vetor através desta operação.

O método para alterar a direção do vetor será visto mais adiante, quando falarmos em tranformações lineares especiais.

NOTA

Exemplo 5: Dados os vetores u = (-2,3,1), v = (3,-1,4), faça as seguintes operações:

Resolução:

a) b) c)

32 3

²

u vu v

u v

− =− + =

− =

( ) ( )( ) ( )( )( )

3 2,3,1 3. 3,1, 4

2,3,1 9,3, 12

2 9,3 3, 4 12

11,6, 16

a) u v− = − + − − =

= − + − −

= − − + − −

= − −


105

c) Muito cuidado com esta operação! Por mais que conheçamos a potenciação para números reais, não podemos nos confundir. Não está definida esta operação para vetores, logo não é possível realizar esta questão.

Exemplo 6: Dados os vetores u = (a+b, 6) e v = (4, 2b), determine os valores de a e b, para que -2u = 4v.

Resolução: Inicialmente, iremos utilizar o que a questão solicitou, o fato de: -2 . u = 4 . v

Logo,

( ) ( )( ) ( )( )( )

2 3 2. 2,3,1 3. 3, 1,4

4, 6, 2 9, 3,12

4 9, 6 3, 2 12

13, 9

b)

,10

u v− + = − − + − =

= − − + −

= + − − − +

= −

( ) ( )( ) ( )

2. ,6 4. 4,2

2 2 , 12 16,8

a b b

a b b

− + =

− − − =

Comparando as coordenadas dos vetores, podemos formar o seguinte sistema de equações:

2 2 168 12a bb

− − = = −

Da segunda equação, podemos afirmar que:

Utilizando este resultado na primeira equação vem:

12 38 2

b = − = −

3 132 2 16 2 3 162 2

a a a − − − = ⇒ − + = ⇒ = −

Acadêmico, estes são os conceitos preliminares sobre vetores, nos próximos tópicos desta unidades veremos muito mais! Se aproprie bem do que estudamos até aqui, pois servirá de subsídio para os próximos conceitos!

106

RESUMO DO TÓPICO 1


• O Plano Cartesiano é formado pelos eixos coordenados OX

e OY , que se

interceptam ortogonalmente em um ponto O, chamado de origem.

• O Espaço Cartesiano é análogo ao Plano Cartesiano, porém em três dimensões. Assim, é formado pelos eixos coordenados: OZ

, OX

e OY

, ortogonais entre si.

• Vetor é uma grandeza matemática, definida por uma direção, sentido e comprimento, o qual representamos por: v.

• Dados dois pontos do plano A e B, com coordenadas (xA, yA) e (xB, yB) , chamamos de vetor v a operação B-A = (xB -xA, yB -yA).

• A soma de vetores u + v é definida por: u + v = (x1+x2, y1+y2) .

• A multiplicação k . u é dada por k . u = (k . x1 , k . y1 ).

107

1 Em relação a um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas no espaço, considere os pontos A = (−1, 1, 2), B = (2, 1, −2), C = (3, 4, −3), D = (1, −2, 0), E = (2, −2, −4) e F = (−3, −4, 3). Trace o sistema ortogonal de coordenadas cartesianas e localize os pontos dados.

2 Sobre que eixo está cada um dos pontos A = (0,3,0), B = (-1,0,0) e C = (0,0,4)?

3 Sobre qual plano se encontram os pontos A = (3,0,-2), B = (1,1,0) e C (0,2,3)?

4 Qual a distância do ponto (3,2,-2) ao plano xy? E ao plano xz? E ao plano yz?

5 A figura a seguir representa um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eixos coordenados e de medidas 2, 1 e 3. Determine as coordenadas dos vértices deste sólido sabendo que A (2, –1,2).

AUTOATIVIDADE

108

7 Sejam os pontos A (2, 4 , 7), B (0, 1, 5) e C ( -2, 4, 8).

6 Considere os vetores u = (1, -3, 6) e v = (7, 2, 4). Calcule os vetores r = u + 2v e s = v – u.

a) Determine os vetores u = AB, v = AC e w = BC.b) Trace estes vetores no espaço cartesiano.c) É possível afirmar que estes vetores formam um triângulo no espaço?

Explique:

8 Sendo u = (2,-1,c), v = (a,b-2,3) e w = (4,-1,0), determine os valores de a, b e c de modo que 3u – 4v = 2w.

9 Dado o vetor u = (2,-1,-3), determine o vetor v paralelo a u, que tenha sentido contrário ao de u e três vezes o módulo de u.

109

TÓPICO 2

OPERAÇÕES VETORIAIS

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃO

No tópico anterior, estudamos os conceitos e definições iniciais sobre vetores, bem como as operações mais elementares, como somar um vetor e multiplicar um vetor por um escalar.

Neste tópico daremos continuidade a esse estudo, aprofundando o conhecimento sobre as operações que podemos realizar com vetores e o que o resultado dessas operações representa. Acreditamos que esse seja o ponto mais importante, pois quando sabemos o que o resultado de uma operação representa, sabemos onde esse conhecimento pode ser aplicado.

Vamos começar?

Acadêmico, tenha em mãos lápis, borracha, papel e uma calculadora, para acompanhar e resolver as explicações e exemplos apresentados!

IMPORTANTE

2 MÓDULO OU NORMA DO VETOR

Conforme estudamos no Tópico 1 desta unidade, uma das principais características de um vetor é o fato de que ele possui comprimento. A forma de determinar matematicamente este comprimento é calculando seu módulo (ou norma).

Para chegar a esta fórmula (você pode tentar verificar!) basta utilizar o Teorema de Pitágoras com as coordenadas do vetor em questão. Para vetores em duas coordenadas, o processo é trivial. Já para três coordenadas, devemos aplicar o teorema duas vezes, e assim por diante.

2 2 21 2= + + + nv v v v


110

Para o vetor nulo, que é o vetor com coordenadas compostas apenas por zeros, iremos representá-lo por 0

. Sua forma geométrica no espaço é um ponto.

IMPORTANTE

Exemplo 1: Determine a norma para os vetores v=(8,6),z=(3,-4) e w=(1,3,5).

Resolução:

3 VETOR UNITÁRIO E NORMALIZAÇÃO

São chamados de Vetores Unitários aqueles que apresentam seu comprimento igual a 1, ou seja 1v = . Três importantes vetores unitários que utilizaremos no decorrer dos estudos são os presentes sobre os eixos do plano cartesiano, denotados por vetores com base canônica ( ), ,i j k

, veja na figura a seguir.

FIGURA 8 - BASE CANÔNICA

( )

2

2

2 2

8 6² 10

3 4 ² 5

1 3 5² 35

v

z

w

= + =

= + − =

= + + =

FONTE: Os autores

Todos com procedência na origem do plano, o vetor i sobre o eixo x (abscissa), o vetor j sobre o eixo y (ordenadas) e o vetor k sobre o eixo z (cotas).

TÓPICO 2 | OPERAÇÕES VETORIAIS

111

O sentido das setas indica o positivo de cada eixo. Os vetores com base canônica possuem as seguintes coordenadas:

Outro ponto importante para este estudo é a introdução de vetor “versor”. Na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral existe o estudo das derivadas direcionais. Este estudo calcula a taxa de variação numa certa direção de uma superfície, onde esta direção é orientada por um vetor “versor”.

O versor de um vetor ( v ) é um vetor de mesma direção e mesmo sentido do vetor ( v ), porém com uma unidade de comprimento, isto é, um vetor unitário na

direção do vetor ( v ). Para isso basta aplicar a seguinte fórmula: 1

= ⋅u vv

(exceto o nulo).

Exemplo 2: Determine um vetor unitário que esteja na direção de ( )4, 3v = − .

Resolução: A primeira coisa a ser feita é descobrir seu módulo (comprimento).

( )( )( )

1,0,0

0,1,0

0,0,1

i

j

k

=

=

=

( )24 3² 5v = − + =

Como ele não é unitário, aplicaremos a fórmula: 1

= ⋅u vv

Substituindo os dados: ( )1 4, 3 :5

u s= ⋅ −

Aplicando a distributiva:

Fazendo as multiplicações: 4 3, 5 5

u = −

( )

( )

1 4, 351 14 , 35 5

u

u

= ⋅ −

= ⋅ − ⋅


112

4 PRODUTO ESCALAR

O produto escalar (ou produto interno) é a multiplicação entre dois vetores cujo resultado é um escalar (um número real), podendo ser denotado por:

, .z v ou z v⋅

Sendo:

O produto entre os dois vetores será dado por:

( )( )

1 2

1 2

, , ,

, , ,n

n

z z z z

v v v v

= …

= …

1 1 2 2 n nz v z v z v z v⋅ = ⋅ + ⋅ +…+ ⋅

Exemplo 3: Dado o vetor ( ) ( ) 1, 2 e 2, 3z v= = − determine :z v⋅

Resposta:

( )1 2 2 32 6 4

z vz v

⋅ = ⋅ − + ⋅

⋅ = − + =

5 ÂNGULO ENTRE VETORES

A partir do conceito introduzido anteriormente, podemos agora estendê-lo à sua questão geométrica. O produto escalar está fortemente ligado ao ângulo formado por estes dois vetores. Podemos também definir produto escalar como:

O produto escalar entre vetores pode nos trazer algumas visões geométricas do seu resultado, analogamente se:

FIGURA 9 - PRODUTO ESCALAR ENTRE VETORES

z z v v θ⋅ = ⋅ ⋅ cos

FONTE: Os autores


113

O ângulo formado entre os vetores sempre será representado pelo menor ângulo entre eles, sendo compreendido 0 180θ° ≤ ≤ ° . Para um eventual cálculo

de ângulo podemos isolar o cosseno tendo a expressão: θ ⋅=

⋅z vcos

z v

Exemplo 4: Calcule o ângulo formado pelos vetores ( ) ( )1,1 , 2 e 2, 1,1 z v= = − .

Resposta:

( ) ( )( ) ( )

( )2 2 2

1,1 , 2 2, 1,1

1,1 , 2 2, 1,1

2 1 2 1 1 2² 2 1 ² 1²

3 6 6

3 61 602

z vcosz v

cos

cos

cos

cos

cos

θ

θ

θ

θ

θ

θ θ

⋅=

⋅

⋅ −=

⋅ −

− +=

+ + ⋅ + − +

=⋅

=

= ⇒ = °

Exemplo 5: Verifique se os vetores ( ) ( )2, 3,1 e 2, 1,1 z v= − = − − são perpendiculares (ou seja, se formam 90º).

Resposta: Para que dois vetores sejam perpendiculares, basta que o produto escalar entre eles seja zero.

( ) ( )( ) ( ) ( )

2, 3,1 2, 1,1

2 2 3 1 1 1 4 3 1 0

z v

z vz v

⋅ = − ⋅ − −

⋅ = ⋅ − + − ⋅ − + ⋅

⋅ =− + + =

Portanto, os vetores são perpendiculares.

Exemplo 6: Qual o valor que x pode assumir para que o ângulo entre os vetores ( ) ( )1, 2 e 4, z v x= − = seja agudo?

Resposta: Para formar um ângulo agudo, basta que o produto escalar seja maior que zero.

( ) ( )( )

( )

1, 2 3,

1 2 2

1 4 2 04 2 0

2 44 22

Logo,

z v x

z v x

xx

x

x

⋅ = − ⋅

⋅ = − ⋅ + ⋅

− ⋅ + ⋅ >

− + ⋅ >⋅ >

> =

4

4


114

Para que os vetores tenham um ângulo agudo, basta que 2.x >

6 PRODUTO VETORIAL

O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento no eletromagnetismo, mecânica de corpos rígidos e dos fluidos. Na matemática, o produto vetorial aplica-se a vetores em R³ resolvendo problemas na geometria, onde o produto entre dois vetores tem como solução um novo vetor, simultaneamente ortogonal aos outros dois. A representação do produto vetorial entre dois vetores é denotada por z u× , veja a ilustração:

FIGURA 10 - REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO PRODUTO VETORIAL

z u×

z u× z u×

FONTE: Os autores

Você pode estar se perguntando por que o produto vetorial entre os vetores acima resultou em um vetor apontando para cima e não para baixo (estas seriam as únicas duas soluções possíveis, já que o vetor resultante é ortogonal). Bem, esta analogia está correta, a resposta para ela é que o vetor resultante no produto vetorial segue a regra da mão direita.

( ) ( )( )

( )

1, 2 3,

1 2 2

1 4 2 04 2 0

2 44 22

Logo,

z v x

z v x

xx

x

x

⋅ = − ⋅

⋅ = − ⋅ + ⋅

− ⋅ + ⋅ >

− + ⋅ >⋅ >

> =

2.x >


115

A regra da mão direita é muito importante para determinar o sentido do vetor resultante e onde ele está localizado geometricamente. Há duas formas de demonstrar esta técnica, utilizaremos a que tem como base a ilustração a seguir:

FIGURA 11 - REGRA DA MÃO DIREITA

FONTE: Os autores

Deixe o polegar (“dedão”) formando um ângulo reto em relação aos demais dedos que devem estar juntos. Aponte os dedos para o primeiro vetor do produto de modo que ao fechar a mão o sentido deve seguir o segundo vetor. Para onde o polegar estiver apontando será a direção e sentido do vetor resultante do produto vetorial.

Utilizando a regra da mão direita teremos o seguinte:

× =i j k × = −i k j × =j k i

× = −j i k × =k i j × = −

k j i

0× = × = × =i i j j k kIsto acontece porque vetores iguais são colineares.

Observe o “macete” que pode ser utilizado para decorar os produtos entre os vetores.


116

Colocando as letras i,j e k e repetindo-as novamente, formamos vários pares de letras que devem estar grudados. O sentido da ligação dos vetores indica se ele será positivo ou negativo.

Exemplo 7: Para o produto entre k x j temos que o vetor resultante apontará para:

Resposta: Note que k x j estão ligados da direita para a esquerda, sentido negativo, portanto, a resposta é o vetor -i.

Agora que já definimos como deve ser o produto vetorial, basta vermos como se calcula este produto. Uma das formas é por coordenadas cartesianas.

Dados os vetores a seguir, podemos encontrar o valor do produto vetorial por meio do determinante de uma matriz que terá na primeira linha os vetores unitários i, j e k, nas linhas seguintes os vetores.

Dados dois vetores:

( )( )

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

, ,

, ,

w w w w

v v v v

i j kw v det w w w

v v v

=

=

× =

Observe que as coordenadas de x, y e z foram trocadas pelos vetores unitários (i, j e k) apresentados na regra da mão direita que seguem respectivamente os eixos.

Que podem ser resolvidos através da regra de Sarrus, estudada na Unidade 1 deste livro.

Exemplo 8: Sejam os vetores ( ) ( )1, 0, 2 3,1 , 2ez v= − = − , determine o produto vetorial entre eles.

1 2 3

1 2 3

i j kz v det z z z

v v v

× =


117

Resolvendo por Sarrus:

1 0 23 1 2

i j kz v det

× = − −

1 0 2 1 03 1 2 3 1

i j k i jz v det

× = − − −

Fazendo as multiplicações das diagonais:

( ) ( ) ( ) ( )( )2 0 3 2 1 1 3 0 1 2 2 1z v i j k k i j× = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ − ⋅

Fazendo as multiplicações:

( )0 6 0 2 26 2 2

z v j k i jz v j k i j

× = + ⋅ − − + ⋅ + ⋅

× = ⋅ − − ⋅ − ⋅

Juntando os termos semelhantes:

6.1 CÁLCULO DE ÁREA

Uma aplicação do produto vetorial é o cálculo de área de triângulos e de paralelogramos. A norma do produto vetorial é exatamente a área de um paralelogramo que tem como medida o comprimento dos vetores. Para o cálculo da área do triângulo, bastaria apenas dividir o resultado por dois, já que o paralelogramo tem o dobro da área do triângulo. Observe a imagem:

FIGURA 12 - CÁLCULO DE ÁREA

( )2 42, 4, 1

z v i j kz v

× = − ⋅ + ⋅ −

× = − −

FONTE: Os autores


118

A explicação é que uma das formas de se calcular a área de um triângulo é multiplicando sua base pela sua altura e dividindo por dois. Por outro lado, a do paralelogramo é simplesmente sua base multiplicada por sua altura. Note que na imagem acima, a altura do suposto triângulo ou paralelogramo é definida com a utilização do seno pelo ângulo formado entre os vetores. Com isso podemos definir o seguinte:

Área do Triângulo Área do Paralelogramo

2z vA ×

= A z v= ×

Exemplo 9: Calcule a área do paralelogramo definida pelos vetores ( ) ( )1,1, 2 2,1 , 2ez v= = − .

Resposta: A área do paralelogramo é definida: A z v= ×

Primeiramente, calculamos o produto vetorial e em seguida a norma.

( )

( )22 2

1 1 22 1 2

0, 6, 3

0 6 3

45

45 . .

i j kz v det

z v

z v

z v

A u c

× = −

× = −

× = + − +

× =

=

Exemplo 10: Para um triângulo com lados medidos em centímetros pelos vetores ( )4, 5, 0z = − e ( )0, 4, 3v = − , determine a sua área e a altura relativa ao lado v .


119

Resposta: Para melhor compreender o que está acontecendo, desenhamos o triângulo com os vértices.

zh

vA área do triângulo pode ser encontrada a partir de:

( )

2

4 5 00 4 3

15,1 2,1 6

z vA

i j kz v det

z v

×=

× = − −

× =

2 2 215 12 16

225 144 25625

z v

z vz v

× = + +

× = + +× =

Então:

2

252

12,5

A

A cm

=

=

Para sua altura podemos desenvolver o cálculo da seguinte forma:Sabemos que:

2b hA ⋅

=

Note que temos três incógnitas na fórmula acima: área, base e altura. A área do triângulo sabemos, a base é possível encontrar a partir do vetor v e posteriormente encontramos a sua altura. Calculando a norma do vetor v .

( )22 20 4 3

16 9 5cm

v

vv

= + + −

= +=


120

Substituindo na fórmula:

Exemplo 11: Calcular a área do triângulo de vértices A(2,-1,4), B(-1,-3,3) e C(1,-2,1).

Resposta: Imaginemos a figura apresentada para visualizar o triângulo:

2512,5

212,5 2

55

b hA

h

h

h cm

⋅=

⋅=

⋅=

=

Para desenvolver o cálculo da área por produto vetorial devemos optar por dois segmentos que têm o mesmo vértice em comum para transformá-los em vetor.

A

B

C

( ) ( )( )

1, 3, 3 2, 1, 4

3, 2, 1

AB B A

AB

AB

= −

= − − − −

= − − −

( ) ( )( )

1, 2,1 2, 1, 4

1, 1, 3

AC C A

AC

AC

= −

= − − −

= − − −

( )

( )22 2

2

3 2 11 1 3

5, 8,1

5 8 1

90

3 10

3 10 . .2 2

Então:

AB ACA

i j kAB AC det

AB AC

AB AC

AB AC

AB AC

AB ACA u a

×=

× = − − − − − −

× = −

× = + − +

× =

× =

×= =

( )

( )22 2

2

3 2 11 1 3

5, 8,1

5 8 1

90

3 10

3 10 . .2 2

Então:

AB ACA

i j kAB AC det

AB AC

AB AC

AB AC

AB AC

AB ACA u a

×=

× = − − − − − −

× = −

× = + − +

× =

× =

×= =

( )

( )22 2

2

3 2 11 1 3

5, 8,1

5 8 1

90

3 10

3 10 . .2 2

Então:

AB ACA

i j kAB AC det

AB AC

AB AC

AB AC

AB AC

AB ACA u a

×=

× = − − − − − −

× = −

× = + − +

× =

× =

×= =

( )

( )22 2

2

3 2 11 1 3

5, 8,1

5 8 1

90

3 10

3 10 . .2 2

Então:

AB ACA

i j kAB AC det

AB AC

AB AC

AB AC

AB AC

AB ACA u a

×=

× = − − − − − −

× = −

× = + − +

× =

× =

×= =


121

7 PRODUTO MISTO

O produto misto tem este nome por envolver duas operações entre vetores ao mesmo tempo, o escalar e o vetorial. O resultado obtido sempre será um número real e a denotação é feita por: ( )z w v⋅ × ou ( , , )z w v .

Então:

Com isso definimos que: ( )1 2 3

1 2 3

1 2 3

z z z

z w v det w w wv v v

⋅ × =

.

( ) ( )1 2 3 1 2 3

1 2 3

, ,i j k

z w v z z z det z z zv v v

⋅ × = ⋅

Exemplo 12: Determine o produto misto formado pelos vetores z = (1,2,3), w = (2,3,-1) e v = (0,-2,1).

Resposta:

( )

( )

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3 2 3 1

0 2 1

z z zz w v det w w w

v v v

z w v det

⋅ × =

⋅ × = − −

Aplicando Sarrus temos:

( )( )

1 2 3 1 2 2 3 1 2 3

0 2 1 0 2

3 0 12 0 2 4

15

det

z w v

= − − −

= + − − + +

⋅ × = −


122

7.1 CÁLCULO DE VOLUMES

Com o auxílio do módulo do produto misto de vetores é possível calcular o volume de paralelepípedos que terá suas arestas definidas pelos vetores z, w e v. Um tetraedro definido pelos mesmos vetores também será possível calcular, já que o paralelepípedo é equivalente a dois prismas triangulares iguais e estes equivalem a três tetraedros.

Seguem as definições dos cálculos dos volumes:

Paralelepípedo Tetraedro

( )

1 2 3

1 2 3

1 2 3

z z z

V det w w wv v v

ouV z w v

=

= ⋅ × ( )

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 6

16

z z zV det w w w

v v v

ou

V z w v

= ⋅

= ⋅ ⋅ ×

Exemplo 13: Determine o valor que x deve assumir para que um paralelepípedo tenha volume de 24 u.v. (unidades de volume). Suas arestas estão definidas pelos vetores z = (x, 5, 0), w = (1,1,-1) e v = (3, -2, 1).

Resposta:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

5 024 1 1 1

3 2 1

24 20

z z zV det w w w

v v v

xdet

x

=

= − −

= − −


123

Pela definição de módulo, admite-se duas hipóteses:

ou:

Portanto:

20 2444

xx

− − == −

20 244

xx

− − = −=

44 4x ou x= − =

Exemplo 14: Calcular o volume de um tetraedro cujos vértices estão nos pontos: A(1,2,1), B(7,4,3), C(4,6,2) e D(4,3,4).

Resposta: Para poder transformar os pontos em três vetores, devemos sempre escolher um dos pontos como fixo. Para o desenvolvimento deste optaremos por A.

( ) ( )( )

4, 3, 4 1, 2,1

3,1 , 3

AD D A

AD

AD

= −

= −

=

( ) ( )( )

7, 4, 3 1, 2,1

6, 2, 2

AB B A

AB

AB

= −

= −

=

( ) ( )( )

4, 6, 2 1, 2,1

3, 4,1

AC C A

AC

AC

= −

= −

=

( )

( )

1 6

6 2 23 4 1 363 1 3

V z w v

z w v det

= ⋅ ⋅ ×

⋅ × = =

Portanto, temos que o volume é:

1 36 6 . .6

V u v= ⋅ =

124

RESUMO DO TÓPICO 2


• Módulo ou norma do vetor: 2 2 21 2= + + + nv v v v .

• Vetores Unitários são aqueles que apresentam seu comprimento igual a 1, ou seja, 1= v .

• Os vetores com base canônica possuem as seguintes coordenadas:

• Produto escalar: 1 1 2 2 n nz v z v z v z v⋅ = ⋅ + ⋅ +…+ ⋅

• Ângulo entre dois vetores: θ ⋅=

⋅z vcos

z v

• Produto vetorial: 1 2 3

1 2 3

i j kw v det w w w

v v v

× =

• Área do Triângulo: 2

z vA ×=

• Área do Paralelogramo: A z v= ×

• Produto misto: ( )1 2 3

1 2 3

1 2 3

z z z

z w v det w w wv v v

⋅ × =

• Volume de um paralelepípedo: ( )V z w v= ⋅ ×

• Volume de um tetraedo: ( )16

V z w v= ⋅ ⋅ ×

( )( )( )

1,0,0

0,1,0

0,0,1

i

j

k

=

=

=

125

AUTOATIVIDADE

1 Sabendo que o vetor ( )2,1 , 1v = − forma um ângulo de 60° com o

vetor AB

determinado pelos pontos A (3, 1, -2) e B (4, 0, m), calcule

m. Use 1cos 602

° = .

2 Dados os vetores u = (1, x, -2x - 1), v

= (x, x – 1, 1) e w

= (x, -1, 1), determine “x” de modo que ( ) .u v u v w⋅ = + ⋅

3 Calcule a área do paralelogramo cujos lados são determinados pelos vetores 2 u e v−

, sendo ( ) ( )2, 1, 0 1, 3, 2 .u ev= − = −

4 (Adaptado de SANTOS; FERREIRA, 2009) No Brasil, cada pessoa física possui um único e definitivo número de inscrição no CPF (Cadastro de Pessoa Física), que o identifica perante a Secretaria da Receita Federal. Tal número de inscrição é constituído de nove dígitos, agrupados de três em três, mais dois dígitos verificadores. Por exemplo, 313.402.809-30. Os dígitos verificadores têm por finalidade comprovar a validade do número do CPF informado. Tais dígitos são obtidos por meio das seguintes operações envolvendo produtos escalares.

Cálculo do primeiro dígito verificador: tomamos um vetor 9 a∈ cujos

componentes são os dígitos que compõem o número do CPF na ordem dada. Para o CPF anterior temos o vetor:

Determinamos o produto escalar desse vetor com o vetor (padrão) ( )10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 ,b =

isto é, ( ) ( ) 3,1 , 3, 4, 0, 2, 8, 0, 9 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2a b⋅ = ⋅

A seguir, tomamos o resto da divisão inteira desse produto escalar por 11. Se o resto da divisão inteira é 0 ou 1, então o primeiro dígito verificador é 0. Caso contrário (resto entre 2 e 10), o primeiro dígito verificador é dado por 11 – resto.Para o exemplo em questão, a divisão inteira de 151 por 11 resulta em quociente 13 e resto 8. Assim, o primeiro dígito verificador é 11 – 8 = 3.

( )3,1 , 3, 4, 0, 2, 8, 0, 9a =

30 9 24 28 0 10 32 0 18 151a b⋅ = + + + + + + + + =

126

Cálculo do segundo dígito verificador: tomamos um vetor 10 c∈ cujos nove

primeiros componentes são os dígitos que compõem o número do CPF na ordem dada, e o último componente é o primeiro dígito verificador encontrado. Para o exemplo em questão temos:

Determinamos o produto escalar desse vetor com o vetor (padrão) ( )11,1 0, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 , )d =

isto é, ( ) ( ) 3,1 , 3, 4, 0, 2, 8, 0, 9, 3 11,1 0, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2c d⋅ = ⋅

.

A seguir, tomamos o resto da divisão inteira desse produto escalar por 11. Se o resto da divisão inteira é 0 ou 1, então o segundo dígito verificador é 0. Caso contrário (resto entre 2 e 10), o segundo dígito verificador é dado por 11 – resto.Para o exemplo em questão, a divisão inteira de 187 por 11 resulta em quociente 17 e resto 0. Assim, o segundo dígito verificador é 0.

Nesta questão, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas.

(1) O número de CPF 300.001.201 possui como dígito verificador o número 03.(2) O número de CPF 005.211.271 possui como dígito verificador o número 80.(3) O número de CPF 411.567.913 possui como dígito verificador o número 16.(4) O número de CPF 050.126.349 possui como dígito verificador o número 00.

O somatório das alternativas corretas é:

a) ( ) 3 b) ( ) 4 c) ( ) 5 d) ( ) 6

5 Quando falamos sobre a posição relativa de dois vetores e analisamos o ângulo formado entre eles, há duas operações vetoriais que possibilitam determinar exatamente o ângulo formado ou simplesmente fazer uma analogia com relação a estes ângulos e determinar uma denominação apropriada àquela posição. Pensando nisso, determine qual alternativa apresenta a classificação relativa ao ângulo formado pelos vetores u = (-2, 4, -1) e v = (4, 3, -3). Analise as sentenças a seguir: I- Os vetores são perpendiculares.II- Os vetores formam um ângulo agudo.III- Os vetores formam um ângulo obtuso.IV- Os vetores são complementares.

33 10 27 32 0 12 40 0 27 6 187c d⋅ = + + + + + + + + + =

( )3,1 , 3, 4, 0, 2, 8, 0, 9, 3c =

127

Assinale a alternativa correta:

a) ( ) Somente a sentença I está correta.b) ( ) Somente a sentença II está correta.c) ( ) Somente a sentença III está correta.d) ( ) Somente a sentença IV está correta.

6 O triângulo é a figura geométrica que ocupa o espaço interno limitado por três linhas retas que concorrem, duas a duas, em três pontos diferentes formando três lados e três ângulos internos que somam 180 graus. Os triângulos são classificados de acordo com os limites das proporções relativas de seus lados e de seus ângulos internos:

• Triângulo equilátero: possui todos os lados congruentes, ou seja, iguais.• Triângulo isósceles: possui dois lados de mesma medida e dois ângulos congruentes.• Triângulo escaleno: as medidas dos três lados são diferentes. Os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.

A partir disto, leia com atenção as alternativas.

I – Os pontos A(3, 8), B(-11, 3) e C(-8, -2) são vértices de um triângulo isósceles.II – Os pontos A(-1, 2), B(2, 5) e C(2, 2) são vértices de um triângulo escaleno.III – Os pontos A(3, 8), B(-11, 3) e C(-8, -2) são vértices de um triângulo equilátero.

Assinale a opção correta:a) ( ) Apenas a alternativa I está correta.b) ( ) Apenas a alternativa III está correta.c) ( ) As alternativas I e II estão corretas.d) ( ) As alternativas II e III estão corretas.

129

TÓPICO 3

DEPENDÊNCIA LINEAR

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃO

Na unidade anterior, discutimos sistemas lineares e percebemos que muitos deles não possuem solução (ou têm infinitas). Isto se deve ao fato de que uma (ou mais) equação do sistema são múltiplas escalares ou combinações umas das outras. Geometricamente podemos estar falando em retas coincidentes (ou paralelas), bem como planos com estas mesmas características.

De encontro a isto, as combinações lineares verificam estas características vistas nos sistemas, determinando combinações de vetores que geram vetores paralelos uns aos outros.

Com esta ferramenta, iremos determinar bases de espaços vetoriais que serão um alicerce importante para o estudo de Transformações Lineares e Autovalores e Autovetores, que, por sua vez, possuem diversas aplicações importantes na área das engenharias e teconologia em geral.

2 COMBINAÇÕES LINEARES

Determinar novos vetores a partir de vetores dados é uma das características mais importantes de um Espaço Vetorial. Para isso, dizemos que um vetor ( )v é a combinação linear de outros vetores ( )1 2, , , nv v v de um Espaço Vetorial V , se existem os números reais ( )1 2 , , , na a a tais que: 1 1 2 2 n nv a v a v a v= + +

Exemplo 1: Escrever o vetor ( )4, 18, 7v = − − como combinação linear (CL)

dos vetores ( ) ( )1 21, 3, 2 2, 4, 1 . e v v= − = −

Resolução:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 2 2

1 2

1 1 1 2 2 2

4, 18, 7 1, 3, 2 2, 4, 1

4, 18, 7 , 3 , 2 2 , 4 ,

v a v a va a

a a a a a a

= +

− − = − + −

− − = − + −

130


Pela igualdade de dois vetores temos o seguinte sistema: 1 2

1 2

1 2

4 218 3 47 2

a aa a

a a

− = +− = − + = −

Resolvendo o sistema acima encontramos uma solução:

Portanto:

1

2

23

aa

== −

1 22 3v v v= −

Esta solução pode ser encontrada com o auxílio de matrizes, pois fica bem clara a verificação da existência ou não da combinação linear.

IMPORTANTE

Exemplo 2: Mostre que o vetor ( )4,1 , 2v = − não é combinação linear (CL) dos vetores ( ) ( )1 22, 1, 5 1, 2, 1 . e v v= − = − −

Resolução:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 2 2

1 2

1 1 1 2 2 2

4,1 , 2 2, 1, 5 1, 2, 1

4,1 , 2 2 , , 5 , 2 ,

v a v a va a

a a a a a a

= +

− = − + − −

− = − + − −

Pela igualdade de dois vetores temos o seguinte sistema: 1 2

1 2

1 2

4 21 2

2 5

a aa a

a a

= + = − −− = −

Observe que este sistema não admite solução, portanto v não pode ser escrito como combinação linear de vetores.

Exemplo 3: Verifique se um Espaço Vetorial P2 dos polinômios de grau maior ou igual a 2, o polinômio 27 11 26v x x= + − é combinação linear dos polinômios:

21

22

5 3 22 5 8

v x xv x x

= − +

= − + −

TÓPICO 3 | DEPENDÊNCIA LINEAR

131

Resolução:

Pela igualdade de dois vetores temos o seguinte sistema:

Eliminando os coeficientes:

Resolvendo o sistema acima encontramos uma solução:

( ) ( )1 1 2 2

2 2 21 2

2 2 21 1 1 2 2 2

7 11 26 5 3 2 2 5 8

7 11 26 5 3 2 2 5 8

v a v a v

x x a x x a x x

x x x a xa a x a xa a

= +

+ − = − + + − + −

+ − = − + − + −

2 2 21 2

1 2

1 2

7 5 211 3 5

26 2 8

x x a x ax xa xa

a a

= − = − + − = + −

1 2

1 2

1 2

7 5 211 3 526 2 8

a aa aa a

= − = − +− = + −

Portanto:

1

2

34

aa

==

1 23 4v v v= +

3 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR

Um Espaço Vetorial em 3 (por exemplo) pode ser gerado por três, quatro, cinco ou mais vetores. Para este exemplo o número mínimo de vetores geradores do 3 seria três, os demais vetores seriam combinações vetoriais dos outros. É de grande serventia para nossos estudos identificar a quantidade mínima de geradores. O estudo da dependência ou independência linear nos ajudará a determinar o menor conjunto gerador de um Espaço Vetorial verificando a dependência de vetores.

Na imagem a seguir está sendo representada de forma geométrica a dependência linear de dois ou três vetores no 3 .

132


Aqui está sendo representada de forma geométrica a independência linear de dois ou três vetores no 3

Definição: Sejam V um Espaço Vetorial e { }1 2, , , nA v v v V= ⊂

Considere a equação 1 1 2 2 0n na v a v a v+ + + =

Sabemos que essa equação admite pelo menos uma solução: 1 20, 0, , 0na a a= = = chamada solução trivial. (Única resposta possível é zero)

O conjunto A diz-se linearmente independente (LI), ou os vetores 1 2, , , nv v v são LI caso a equação admita apenas a solução trivial.

Se existirem soluções 0na ≠ , diz-se que o conjunto A é linearmente dependente (LD), ou que os vetores 1 2, , , nv v v são LD.

Exemplo 4: No Espaço Vetorial V= 3 , os vetores ( ) ( )1 21, 0, 2 , 2,1, 3v v= − − = − − e ( )3 4, 6, 2v = − - mostre que é um conjunto linearmente dependente.

Resolução: 1 1 2 2 0n na v a v a v+ + + =

Como já aprendemos em combinação linear, verificamos que há uma solução além da trivial:

Portanto, os vetores são LD.

Exemplo 5: No Espaço Vetorial V= 3 , os vetores ( ) ( )1 21, 2 2, 0ev v= − = formam um conjunto LI ou LD?

( ) ( ) ( ) ( )1 2 34 3 0

4 1, 0, 2 3 2, 2, 3 2, 6,1 0, 0, 0v v v− − =

⋅ − − − ⋅ − − − − =


133

Resolução:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 2 2

1 2

1 1 2

1 2

1

01, 2 2, 0 0, 0

, 2 2 , 0 0, 0

2 02 0

n na v a v a va a

a a a

a aa

+ + + =

− + =

− + =

− + = =

Como este sistema admite apenas a solução trivial: 1 2 00 e a a= =

Portanto, os vetores são LI.

Exemplo 6: No Espaço Vetorial M (2,2), verifique se os vetores são LI ou LD.

Resolução:

1 1 2 0 0 1, ,

2 3 1 1 1 2A

− = − − −

1 1 2 2

1 2 3

31 1 2

3 31 1 2 2

1 2 1 3

1 2 3 1 2 3

1 2

1 3

1

0

1 1 2 0 0 1 0 02 3 1 1 1 2 0 0

02 0 0 022 3 0 0

2 0 02 3 2 0 0

2 00

2

n na v a v a v

a a a

aa a aa aa a a a

a a a aa a a a a a

a aa a

a

+ + + =

− + + = − − −

− + + = −− −

+ − + = + − − − +

+ =− + =

2 3

1 2 3

03 2 0

a aa a a

+ − =− − + =

A única solução possível é a trivial: 1 2 3 0a a a= = =

134


Portanto, é LI.

Exemplo: No Espaço Vetorial M(2,2), verifique se os vetores são LI ou LD.

Resolução 7:

1 1 0 1 2 4, ,

3 0 3 1 0 2A

− − = − −

1 1 2 2

1 2 3

3 31 1 2

31 2 2

1 3 1 2 3

1 2 2 3

1 3

1 2 3

1

0

1 1 0 1 2 4 0 03 0 3 1 0 2 0 0

2 40 0 00 23 0 3 0 0

2 4 0 03 3 2 0 0

2 04 0

3

n na v a v a v

a a a

a aa a aaa a a

a a a a aa a a a

a aa a a

a

+ + + =

− − + + = − −

− − + + = −−

− + − = − −

− =+ − =

−

2

2 3

3 02 0

aa a

= − =

A única solução possível não é apenas a trivial, admitindo outras respostas: a1 = 2a3 e a2 = 2a3

Portanto, é LD.

Uma outra forma de verificar a dependência ou não dos vetores é pelo determinante de uma matriz constituída das coordenadas dos vetores. Esta forma só é válida para um conjunto de vetores, onde o número de vetores é igual à dimensão em que ele está contido, ou ainda, só é válido para matrizes quadradas. Quando o determinante da matriz for zero, temos que os vetores serão LD, caso possua valor diferente de zero os vetores serão LI.

Você pode estar pensando: por que isso funciona? Imagine três vetores no 3 , ao calcular o volume do paralelepípedo produzido pelos vetores e obtendo

00

det LDdet LI

= ⇒≠ ⇒


135

como resposta zero, é porque há um vetor que é: ou múltiplo escalar do outro ou está contido no mesmo plano.

Exemplo 8: No Espaço Vetorial V= 3 , os vetores ( ) ( )1 21, 2, 3 , 2, 0, 2v v= − = − e ( )3 1,1 , 1v = − formam um conjunto LI ou LD.

Resposta: 1 2 3

2 0 2 101 1 1

det−

− = −

Portanto, LI.

Exemplo: No Espaço Vetorial V= 3 , os vetores ( ) ( )1 2 2, 3 6, 9 ev v= − = −formam um conjunto LI ou LD.

Resposta: 2 3

06 9

det−

= −

Portanto, LD.

4 BASE

Este conceito é bastante importante no estudo das transformações lineares e dos autovalores e autovetores que veremos no próximo tópico. Trata-se de um alicerce teórico para a existência de tais elementos da Álgebra Linear e Vetorial. Em particular, matematicamente.

Um conjunto { }1 2, , , nB v v v V= ⊂

é uma base do Espaço Vetorial V se:

I) B é LI (linearmente independentes).II) B gera V.

OBS.: Sobre o item II, devemos entender o conceito de espaço gerado. Tomando os vetores da possível “base”, o conjunto de todas as suas combinações lineares deve formar todos os vetores possíveis deste espaço vetorial desejado. De uma forma mais didática, podemos relacionar o conceito de base e pensar nas cores primárias. Sabemos que se misturarmos as quantidades corretas de cada uma das cores primárias, podemos criar quaisquer das cores existentes, e além disto, esta “cor” (vetor) encontrada é a única combinação existente destas “cores” (vetores) primários.

Para verificar se um conjunto de vetores é base de um Espaço Vetorial, basta fazer as duas condições apresentadas acima. Um conjunto importante de vetores que constituem uma base como a apresentada a seguir é chamado de base canônica:

136


• {1} é uma base canônica de 3.• {(1,0), (0,1)} é uma base canônica de 32.• {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} é uma base canônica de 3 .

• 1 0 0 1 0 0 0 0

, , ,0 0 0 0 1 0 0 1

é uma base canônica de M(2,2)

Exemplo 9: Verifique se ( ) ( ){ }1,1 , 1, 0B = − é base de 32

Resposta: Testando as condições:

I. B é LI?

Pela igualdade: 0

0a b

a− =

=Como a única solução possível é a trivial ( )0a b= = , então: B é LI.

II. B gera 32?

Pela igualdade: a b x

a y− =

=, onde temos: a y eb x y= = −

Portanto:

Isto é: B gera 32.Portanto, concluímos que B é base de 32.

Exemplo 10: Verifique se ( ) ( ){ }1, 2 , 2, 4B = é base de 32.

Resposta: Testando as condições:

I. B é LI?

( ) ( ) ( )1,1 1, 0 0, 0a b+ − =

( ) ( ) ( ), 1,1 1, 0x y a b= + −

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

, 1,1 1, 0

, 1,1 1, 0

x y a b

x y y x y

= + −

= + − −

( ) ( ) ( )1, 2 2, 4 0, 0a b+ =


137

Pela igualdade: 2 0

2 4 0a ba b+ =

+ =Como os vetores são múltiplos escalares, temos que: B é LD (Linearmente

Dependentes).

Portanto, concluímos que B não é base de 32.

4.1 BASE ORTOGONAL

Diz-se que uma base { }1 2, , , nv v vde V é ortogonal se os seus vetores são

dois a dois ortogonais.

Exemplo 11: No 3 o conjunto ( ) ( ) ( ){ }1, 2, 3 , 3, 0,1 , 1, 5, 3− − − é uma base. Verifique se é uma base ortogonal.

Resposta:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1, 2, 3 3, 0,1 0

1, 2, 3 1, 5, 3 0

3, 0,1 1, 5, 3 0

− ⋅ =

− ⋅ − − =

⋅ − − =

Como todos os vetores são ortogonais uns com os outros, é uma base ortogonal de 3 .

4.2 BASE ORTONORMAL

Uma base B={ }1 2, , , nv v v de um Espaço Vetorial euclidiano V é ortonormal se B é ortogonal e todos os seus vetores são unitários, isto é:

I. Um vetor multiplicado por outro é sempre igual a zero.II. Um vetor multiplicado por ele mesmo é um.

O nome ortonormal vem da simples combinação de ortogonal com normalização, duas operações que já foram aprendidas no primeiro e no segundo tópico desta unidade. Uma base canônica sempre será uma base ortonormal.

Exemplo 12: Dada uma base: 3 1 1 3, , ,2 2 2 2

B = −

Verifique se é uma base ortonormal.Resposta: Pelo produto interno podemos ver que são ortogonais:

138


Verificando também que os vetores são unitários:

Com isso, temos uma base que é ortonormal.

3 1 1 3, , 02 2 2 2

⋅ − =

2 2

1

22

2

3 1 3 1 12 2 4 4

1 3 1 3 12 2 4 4

v

v

= + = + =

= − + = + =

Não é do alcance deste material estudar um método de construção de bases ortogonais (ou ortonormais). Porém, fique à vontade para buscar este conhecimento. Sugerimos procurar pelo método de Gram-Schmidt.

UNI

139

RESUMO DO TÓPICO 3


• Um vetor será combinação linear de outros se houver números reais tais que:

1 1 2 2 n nv a v a v a v= + + + .

• Sobre dependência e independência linear 1 1 2 2 0n na v a v a v+ + + = :

o O conjunto A diz-se linearmente independente (LI), ou os vetores 1 2, , , nv v v são LI caso a equação admita apenas a solução trivial.

o Se existirem soluções 0na ≠ , diz-se que o conjunto A é linearmente dependente (LD), ou que os vetores 1 2, , , nv v v são LD.

• Uma base deve atender a dois critérios:

o B é LI.

o B gera V.

• Uma base ortogonal possui todos os vetores ortogonais entre si.

• Uma base ortonormal possui os vetores ortogonais e unitários.

140

1 Sejam u = (1,1,-2) e v = (3,0,4). Quais dos vetores t = (4,-5,9), w = (3,1,-4) e z = (-1,1,0) são combinações de u e v?

AUTOATIVIDADE

2 Escreva o vetor (1,-7) como combinação linear dos vetores (2,3) e (5,-1).

3 Determine (se existir!) todas as combinações lineares possíveis entre os vetores (1, -2, 3) e (-2, 4, -6).

4 Determine se os conjuntos de vetores a seguir são L.D. ou L.I.

a) ( ) {(1, 1, 2), (1, 0, 0), (4, 6,12)} b) ( ) {(1, -2, 3), (-2, 4, -6)} c) ( ) {(1, 1, 1), (2, 3, 1), (3, 1, 2)} d) ( ) {(4, 2, -1), (6, 5, -5), (2, -1, 3)} e) ( ) {(1, 1, 1), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (0, 0, 1)}

5 Considere os vetores: 1 2(2,1) , (4,3)x x= = . Mostre que x1 e x2 formam uma base para R².

6 Determine se (1,4) e (2,8) é uma base de R².

7 Determine se (1,1,1), (1,0,1) e (1,2,1) formam uma base de R³.

8 Dados os vetores V

1=(3,2,2) e V

2=(18,–22,–5) e V

3 =(–8,–12,24), verifique se eles formam uma base ortogonal ou ortonormal?

141

TÓPICO 4

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃO

Até o momento, você obteve os conhecimentos de vários conceitos da Álgebra Linear e Vetorial, conhecimentos estes que estruturam os assuntos de Noções de vetores, Operações, Espaços e Subespaços Vetoriais. Tão importante quanto desenvolver os conhecimentos destes tópicos é entender de forma clara como a matemática está interligada em seus mais diferentes assuntos. Exemplo este que podemos observar quando tratamos matrizes como Espaços Vetoriais.

Neste tópico, veremos as Transformações Lineares, que, como o próprio nome sugere, é a transformação em Espaços Vetoriais. Esta transformação é fundamentada por funções, que possuem no seu domínio um Espaço Vetorial e como imagem um outro Espaço Vetorial. Uma observação simples sobre o domínio e imagem é que podemos ter um Espaço no R² e transformar ele em R³.

Para desenvolver este tópico é imprescindível que você tenha convicção dos temas já estudados, pois, como mencionado, a transformação dos Espaços Vetoriais ocorrerá em forma de funções que utilizarão os conceitos de Vetor e Espaços Vetoriais. Logo, caso sinta necessidade, retorne aos tópicos anteriores!

2 DEFINIÇÃO

Definição: Sejam U e V espaços vetoriais. Definimos a função :T U V→ como sendo uma transformação linear, se, e somente se, forem verdade as seguintes condições:

a) ( ) ( ) ( ) , , ;T u v T u T v u v U+ = + ∀ ∈b) ( ) ( ) , , .T k u k T u k u U⋅ = ⋅ ∀ ∈ ∀ ∈

Perceba que esta definição é ligada novamente às duas operações primitivas: adição e multiplicação.

Exemplo 1: Em uma Transformação : ² ³T → , que está definida por ( ) ( ), 3 , ,T x y x y x y= + , informe se ela é classificada como linear.

142


Note que esta transformação pegará um vetor que inicialmente está localizado no plano, ou seja 3 , e transformará ele em vetor do espaço 3 (três coordenadas).

Para verificar se esta transformação é linear, precisaremos da Definição 1, e fazer a verificação matematicamente, não são aceitos exemplos numéricos, então:

Sejam dois vetores de ( ) ( ), , , ²u a b ev c d de= = (vetores do domínio).

Temos: ( ) ( ) ( )( ) ( ), , ,T u v T a b c d T a c b d+ = + = + + , que utilizando a lei de

formação indicada no Exemplo 1, segue:

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )

3 , ,

3 3 , ,

3 , , 3 , ,

, ,

.

a c b d a c b d

a c b d a b c d

a b a b c d c d

T a b T c d

T u T v

⋅ + + + + + =

+ + + + + =

+ + + =

+ =

+

Logo, a primeira condição é satisfeita. Porém, ainda temos que verificar a segunda:

b) ( ) ( )( ) ( ), ,T k u T k a b T k a k b⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅

E pela lei de formação, segue:

Assim, a segunda condição também é verificada. Logo, podemos dizer que T(x,y) é linear.

Exemplo 2: Verifique se a transformação :T → , definida por T(x) = u2 é linear.

Talvez seja evidente o fato a se seguir, que este não será linear pelo quadrado apresentado no vetor, mas para provar a verificação da linearidade da transformação devemos proceder como no exemplo anterior e mostrar na adição e multiplicação. Primeiramente, devemos mostrar que a transformação, dados os vetores u = (a,b) e v = (c,d), conserva a operação de soma: T(u+v) = u2 + 2uv + v2 pela definição. Sabemos também que: T(u) + T(v) = u2 + v2, e portanto, T(u+v) ≠ T(u) + T (v).

( )( )( )

( )

3 , ,

3 , ,

,

k a k b k a k b

k a b a b

k T u

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =

⋅ ⋅ + =

⋅

TÓPICO 4 | TRANSFORMAÇÃO LINEAR, AUTOVALORES E AUTOVETORES

143

Conceitos importantes:

• A Transformação Linear T: U →V, tal que dado ( ) 0u U T u V∈ ⇒ = ∈

, é dita Transformação Nula.

• Seja uma Transformação Linear T: U →V. Se U=V, então T é dito um Operador Linear.

• O Operador Linear Iu: U →U, tal que dado ( )u U I u u∈ ⇒ = é dito um Operador Identidade.

Observação: Uma outra forma de detectar que uma transformação não é linear trata-se de analisar a definição e perceber que dada uma transformação linear T: U →V, o vetor nulo do domínio implicará no vetor nulo do contradomínio, ou seja, se ( )0 0 0U T V∈ ⇒ = ∈

. E assim, caso ( )0 0T ≠

, a transformação não é linear.

Cuidado! Para provar que uma transformação é linear não basta verificar que

( )0 0T ≠

, deve-se realizar o procedimento tal qual o Exemplo 1. Tente com a transformação 3 2:T → , tal qual ( ) ( ), , 4,T x y x y z= + .

3 LEI DE FORMAÇÃO DE UMA TRANSFORMAÇÃO

Ao falar de Transformações Lineares, uma de suas características é que elas são ou podem ser encontradas apenas analisando seus coeficientes, referenciando-se a elementos de uma base.

Teorema 1: Sejam dois espaços vetoriais U e V, e uma base não nula e finita de U, {u1, ..., un}. Tomemos elementos quaisquer do domínio V. Sendo que existe uma transformação linear T: U →V, tal que T(u1) = v1, ..., T(un) = vn. E ainda se u = a1 . u1 + ... + an . un, podemos escrever:

Exemplo 3: Obtenha a lei de formação de uma Transformação Linear, 3 2:T → , sabendo que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,0,0 1,0 , 0,1,0 1,1 0,0,1 1, 1T T eT= = = − .

( ) ( ) ( )1 1

1 1

n n

n n

T u a T u a T ua v a v

= ⋅ + + ⋅ =

⋅ + + ⋅

ATENCAO

144


Estes vetores de entrada caracterizam um tema estudado no tópico anterior, eles representam a base de um espaço vetorial no 3 (a base canônica, diga-se de passagem). Logo, para resolver este exemplo, podemos nos basear no Teorema 1.

Inicialmente, devemos tomar um vetor sem perda de generalidade do domínio ( 3 ). Seja então este vetor u=(x,y,z). Agora, devemos escrevê-lo como combinação linear dos vetores da base: (x,y,z)= a · (1,0,0) + b · (0,1,0) + c · (0,0,1) = (a,0,0) + (0,b,0) + (0,0,c) = (a,b,c) .

Logo, temos que: x = a; y = b; z = c.

Tendo provado que existe um vetor que é combinação linear dos vetores da base, podemos escrever:

O que resulta: T (x, y, z) = (x + y + z, y - z). (Lei de formação da transformação).

4 IMAGEM E NÚCLEO DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR

A começar pela Imagem, esta pode ser recordada dos assuntos de funções em que seu significado é os valores possíveis de resposta encontrados no contradomínio. Este conhecimento adquirido em funções pode esclarecer a definição em transformações. Sabemos que as Transformações Lineares possuem Espaços Vetoriais no seu Domínio e Contradomínio, e a partir disto, a imagem de uma transformação são os vetores do contradomínio que são resultados da aplicação dos vetores do domínio na Transformação. A seguir, temos a definição formal:

Definição 2: Considerando a transformação linear T: U →V . A imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores do contradomínio V que são resultados da aplicação de pelo menos um vetor u U∈ .

Simbolicamente: Im (T) = {v ∈ V, tal que T (u) = v, para algum u ∈ U}.

Exemplo 4: Seja a transformação 3 2:T → dada por: T(x,y) = (2x, x + y, x - y) , determine a imagem dos vetores u = (1,-2), v = (0,3) e w = (-1,1), quando aplicados na transformação indicada.

( ) ( ) ( ) ( )(( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

, , [ 1,0,0 0,1,0 0,0,1

1,0,0 ( 0,1,0 0,0,1

1,0,0 0,1,0 0,0,1

1,0 1,1 1, 1

T x y z T x y z

T x T y T z

x T y T z T

x y z

= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ =

⋅ + ⋅ + ⋅ =

⋅ + ⋅ + ⋅ −


145

Perceba que estamos trabalhando com uma transformação que possui domínio em 32 e contradomínio em 3 , ou seja, toma vetores de duas coordenadas e os transforma em vetores de três coordenadas. Vamos verificar:

• ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1, 2 2 1,1 2 ,1 2 2, 1,3T u T= − = ⋅ + − − − = −

• ( ) ( ) ( ) ( )0,3 2 0,0 3,0 3 0,3, 3T v T= = ⋅ + − = −

• ( ) ( ) ( )( ) ( )1,1 2 1 , 1 1, 1 1 2,1, 2T w T= − = ⋅ − − + − − = − −

A ideia por detrás do cálculo acima pode ser analisada no diagrama a seguir:

FIGURA 13 - REPRESENTAÇÃO DA INTERAÇÃO ENTRE OS ELEMENTOS DA TRANSFORMAÇÃO

2� 3R

(1, -2)

(-1, 1)

(0,3)

(2, -1, 3)

(-2, 1, -2)

(0,3,-3)

FONTE: Os autores

Observações 1:

• Dada a transformação linear T: U →V, a transformação é dita injetora quando para quaisquer ,u v U∈ , se ( ) ( ).u v T u T v≠ ⇒ ≠

• Dada a transformação linear T: U →V, a transformação é dita sobrejetora quando o contradomínio é igual ao conjunto imagem, ou seja, ( ) .Im T V=

Uma transformação é dita bijetora, quando ela é injetora e sobrejetora.

Quando a transformação T: U →V é bijetora, temos um caso de isomorfismo, ou seja, os Espaços Vetoriais U e V são ditos isomorfos.

NOTA

146


Exemplo 5: Seja a transformação linear : ³ ³T → , dada por T(x, y, z) = (x + 2y, y - z, x + 2z), encontre uma base para a imagem desta transformação.

Uma das principais aplicações dos conceitos da imagem de uma transformação é encontrar uma base que gera todos os seus elementos. Isto quer dizer que, a partir deste subespaço gerado, podemos escrever todos os vetores que pertencem à imagem através de combinações lineares dos vetores que compõem a base.

Vejamos: ( ) ( ){ }2 , , 2 , , ,Im T x y y z x z x y z= + − + ∈ e este conjunto pode ser

reescrito da seguinte forma: .

Porém, note o vetor (1, 2, 0) = (1, 0, 2) + 2 · (0, 1, -1). Logo, como ele é combinação linear dos outros componentes, podemos excluí-lo e aferir a seguinte base geradora para a imagem da transformação: [(1, 0, 2),(0, 1, -1)]. Isto significa que todos os vetores da imagem podem ser gerados pela base acima.

Exemplo 6: Seja a transformação linear : ³ ³T → dada por T(x, y ,z) = (x + 2y - 3z, -2x - 4y + 6z), verifique se existe algum vetor do domínio que possui como imagem o vetor nulo.

Como já sabemos, o vetor nulo é aquele que possui suas coordenadas nulas. Assim, para verificar qual o vetor (x, y, z) irá gerar imagem tal que (x + 2y - 3z, -2x - 4y + 6z) = (0,0), basta resolver o sistema linear homogêneo a seguir:

Pelos estudos anteriores, temos que sistemas homogêneos possuem ao menos uma solução que chamamos de solução trivial, ou seja, temos o vetor (0, 0, 0) do domínio que implica na imagem nula. Basta saber se existem outros vetores com esta característica.

No sistema apresentado no exemplo anterior podemos perceber que um é múltiplo escalar do outro e que, portanto, é um sistema possível e indeterminado, pois há várias possibilidades de respostas, vejamos que isolando x na primeira equação (poderia ser a segunda equação): x = -2y + 3z, ou seja, o conjunto

( ){ }2 3 , , , ,S y z y z y z= − + ∀ ∈ é solução para o sistema. E assim temos, por exemplo, fazendo y = 1 e z = 2, o vetor (4, 1, 2) que também implicará na imagem nula.

Este conjunto de vetores, que quando aplicados em uma transformação geram o vetor nulo na imagem, damos o nome de Núcleo da Transformação.

( ) ( ) ( ) ( ){ }1,2,0 0,1, 1 1,0,2 , , ,Im T x y z x y z= ⋅ + ⋅ − + ⋅ ∈

2 3 02 4 6 0x y z

x y z+ − =

− − + =


147

Definição: O núcleo de uma transformação linear T: U →V, que pode ser indicado por N(T) ou ker(T), é o conjunto formado por todos os vetores de U que têm como imagem o vetor nulo de V, ou seja, ( ) ( ){ } , 0N T u U tal queT u= ∈ =

.

FIGURA 25 - REPRESENTAÇÃO DE ELEMENTOS DO NÚCLEO DE UMA TRANSFORMAÇÃO

u

U VT:U→V

w

v 0

�

FONTE: Os autores

Exemplo 7: Determine o núcleo da transformação : ³ ²T → , dada por T(x, y) = (0, x + y, 0).

Como definido, sabemos que o Núcleo da Transformação são os vetores (x, y), tal que (0, x + y, 0) = (0, 0, 0). Ora, neste caso, basta resolver: 0x y x y+ = ⇔ = − .

Assim, o núcleo da transformação é dado por: ( ) ( ){ }, ,N T y y y= − ∀ ∈ . Este conjunto também pode ser expresso pelo subespaço gerado pela base [(-1, 1)].

Observação 2: Note que ( )N T ≠ ∅ , ou seja, existe pelo menos um vetor do domínio da transformação T: U →V que possui imagem nula. Pois ( )0U N T∈

, já que ( )0 0U VT =

.

Por favor, se a Observação 2 não lhe foi clara, reveja a Observação 1.

NOTA

Exemplo 8: Determine o Núcleo e a Imagem da Transformação Linear : ³ ³T → , tal que ( ) ( ), , 2 ,3 2T x y z x y z x y z= − + + − .

148


Como já sabemos, por definição, o núcleo da transformação é o conjunto ( ) ( ) ( )3{ , 0,0N T u T u= ∈ = . Para tanto, devemos ter que:

( ) ( ) ( ), , 2 ,3 2 0,0T x y z x y z x y z= − + + − = o que recai no sistema linear homogêneo a seguir:

Agora, isolando y na segunda equação e fazendo z = 5x, segue que: 3 2 3 2 5 7y x z y x x y x= − + ⇒ = − + ⋅ ⇒ = , e assim, o núcleo é dado por:

( ) ( ){ },7 ,5 ,N T x x x x= ∀ ∈ .

Para finalizar, sabemos que o núcleo de uma transformação é um subespaço vetorial do domínio. Portanto, reescrevendo-o na forma de combinação linear temos a forma x . (1, 7, 5), o que nos permite encontrar uma base para este subespaço, sendo ela dada por [(1, 7, 5)].

Resta realizar o processo para encontrar o conjunto imagem desta transformação. Para isto, vamos partir da lei de formação, que é dada por T(x, y, z) = (2x - y + z, 3x + y - 2z). Verificamos que podemos escrevê-la, também, na forma de combinação linear: (2x - y + z, 3x + y - 2z) = (2x, 3x) + (-y, y) + (z, -2z) = x · (2, 3) + y · (-1, 1) + z · (1, -2).

Desta forma, podemos escrever a imagem da transformação como o conjunto formado a partir desta combinação linear encontrada, ou seja:

( ) ( ) ( ) ( ){ }2,3 1,1 1, 2 , , ,Im T x y z x y z= ⋅ + ⋅ − + ⋅ − ∀ ∈ .

Observação 3: Note que o contradomínio deste exemplo é o espaço 2 , que

possui dimensão 2. Portanto, para determinar uma base para a imagem, esta não pode ser [(2, 3), (-1,1), (1,-2)], pois veja que este conjunto é formado por três vetores, logo, de dimensão 3. Porém, note que o vetor (-1,2) é LD com os outros dois vetores do conjunto, e, por este fato, podemos descartá-lo e gerar a base para a imagem, tal como: [(2, 3), (-1,1)].

5 TEOREMA DO NÚCLEO E IMAGEM DE UMATRANSFORMAÇÃO

O Teorema do Núcleo e Imagem de uma Transformação tem como análise a dimensão que cada espaço vetorial gerado a partir de conjuntos do núcleo e imagem. Logo, para ficar mais claro o entendimento, vamos rever a seguir a definição de dimensão.

Definição 4: Seja U um espaço vetorial com uma base finita de elementos. Se U = { 0

}, dizemos que a base deste espaço é 0. Se U ≠ { 0

}, dizemos que a dimensão deste espaço é igual à quantidade de elementos de uma base qualquer de U.

2 03 2 0

x y zx y z

− + = + − =


149

Exemplo 9: Determine a dimensão do Núcleo e da Imagem do Exemplo 7.

Como visto anteriormente, os conjuntos do Núcleo e da Imagem são subespaços vetoriais do domínio e do contradomínio da transformação. No Exemplo 8 eles podem ser gerados pelas respectivas bases [(1, 7, 5)] (para o núcleo) e [(2, 3), (-1, 1)] (para a imagem). Note que estas bases possuem um e dois elementos, nesta ordem. Assim, podemos aferir que a dimensão do núcleo é 1, e a dimensão da imagem é 2.

Simbolicamente: dim N(T) = 1 e dim Im(T) = 2.

Outros exemplos:• A dimensão do conjunto dos números reais é 1.• A dimensão do conjunto formado por todos os elementos de 2

é 2.• A dimensão do conjunto formado por todos os pontos de 3 é 3.• O espaço vetorial formado pelos polinômios de gra n, possui dimensão n.

Relembrado a definição de dimensão de um espaço vetorial, podemos agora enunciar o que diz o Teorema do Núcleo e Imagem.

Teorema 2: (Teorema de Núcleo e Imagem) Seja uma transformação linear T: U →V, onde U tem dimensão finita. Então: dim U = dim N(T) + dim Im (T).

A princípio, o que o teorema nos diz é bem intuitivo, que a soma das dimensões do núcleo e da imagem de uma transformação é igual à dimensão de seu domínio. No Exemplo 8, tínhamos uma transformação : ³ ²T → , onde concluímos que dim N(T) = 1 e dim Im (T) = 2. Ora, basta perceber que o teorema é válido para o caso, pois, dim 3 = dim N(T) + dim Im (T) 3 = 2 + 1.

Exemplo 10: Determinar uma transformação linear 4: ³T → , tal que

( ) ( ) ( )1,1,2,1 , 2,1,0,1Im T = . Pelo enunciado, o conjunto {(1,1,2,1), (2,1,0,1)} forma uma base de Im (T), e

como vimos, temos que dim Im (T) = 2. Agora, utilizando o Teorema 2 (Teorema do Núcleo e Imagem), segue que:

Escolhendo agora uma base para N(T) = {(1,0,0)} (note que escolhemos o primeiro termo da base canônica, por termos de facilidade), podemos completá-la a fim de atingir uma base de 3 , como sendo {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} (base canônica).

( ) ( )( )

( )

3dim dim dim

3 dim 2

dim 1

N T Im T

N T

N T

= +

= +

=

150


Descartando-se o elemento do núcleo, percebemos que {T(0,1,0), T(0,0,1)} formam uma base de Im (T), e como já vimos, podemos desta forma escrever:

• T(1,0,0) = (0,0,0,0), pelo fato de pertencer ao núcleo.• T(0,1,0) = (1,1,2,1),• T(0,0,1) = (2,1,0,1)

Agora, conforme visto no Exemplo 3, podemos escrever:

Exemplo 11: Seja : ³ ³T → , dada por T(x,y,z) = (z,x-y,z).

a) Indique o núcleo de T, uma base e sua dimensão.b) Determine a dimensão da imagem da transformação.

a) Para determinar o núcleo da transformação, devemos verificar que teremos T(x,y,z) = (z,x-y,z) = (0,0,0). A partir daí, segue que z = 0 e 0x y x y− = ⇒ = . Portanto, o conjunto do núcleo é dado por ( ) ( ){ }, ,0 , .N T x x x= ∀ ∈ Note, agora, que podemos escrever ( ){ }1,1,0 ,x x⋅ ∀ ∈ , ou seja, o conjunto LI [(1,1,0)] é uma base para N(T), e assim dim N(T) = 1.

b) Utilizando o Teorema 2, que diz que: dim U = dim N(T) + dim Im(T), podemos assumir:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

, , 1,0,0 0,1,0 0,0,1

, , 0,0,0,0 1,1,2,1 2,1,0,1

, , 0,0,0,0 , , 2 , 2 , ,0,

, , 2 , , 2 ,

T x y z x T y T z T

T x y z x y z

T x y z y y y y z z z

T x y z y z y z y y z

= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒

= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒

= + + ⇒

= + + +

( ) ( )( )

( )

3dim dim dim

3 1 dim

dim 2.

N T Im T

Im T

Im T

= +

= +

=

Resultados importantes:1) Se uma Transformação T possui N(T) = { 0

}, T é injetiva.2) Se uma Transformação T: U →V é tal que dim U = dim V, temos que T é

injetiva e sobrejetiva.


151

6 TRANSFORMAÇÕES PLANAS ESPECIAIS

Possivelmente, você pode ter visto, no Ensino Médio, transformações possíveis em figuras planas com a utilização de matrizes. Estas transformações modificavam de várias formas a figura. Veremos as transformações que ocorrem nas transformações lineares : ² ²T → que podem ser aplicadas na computação gráfica e no desenho gráfico, que são fortemente utilizados nos cursos de Engenharia, Computação, Design, entre outros.

6.1 TRANSFORMAÇÃO DE REFLEXÃO

6.1.1 Em torno do eixo X.

Expressão: T(x,y) = (x,-y) Forma matricial (matriz A): Podemos escrever ( ) ( ) ( )

1 0, 1,0 0, 1

0 1x y x y A

− = ⋅ + ⋅ − ⇒ = − .

Representação Geométrica:

Exemplo: Faça a reflexão em torno do eixo X do vetor u = (1,2).

Resolução 12 : Para gerar a reflexão solicitada, basta multiplicar o vetor

dado pela matriz A: 1 0 1 10 1 2 2

⋅ = − −

, ou seja, obtemos o vetor u' = (1,-2), que é

a reflexão em torno do eixo X, com relação a u.

152


Geometricamente:

1

u

u’

2

2

0

f (x,y)(-x,y)

Exemplo 13: Faça a reflexão em torno do eixo Y, do vetor u = (-2,3).

Resolução: Para gerar a reflexão solicitada, basta multiplicar o vetor dado pela

matriz A: 1 0 2 2

0 1 3 3− −

⋅ =

, ou seja, obtemos o vetor u' = (2,3) que é a reflexão

em torno do eixo X, com relação a u.

6.1.2 Em torno do eixo Y.

Expressão: T(x,y) = (-x,y).

Forma matricial (matriz A): Podemos escrever ( ) ( ) ( )1 0

, 1,0 0,10 1

x y x y A − = ⋅ − + ⋅ ⇒ =

.



153

6.2 TRANSFORMAÇÃO DE PROJEÇÃO

6.2.1 Projeção sobre o eixo X

Expressão: T(x,y) = (x,0).


,0 1,0 0,00 0

x x y A = ⋅ + ⋅ ⇒ =

.


u u’

-2 2

3

0 f (v) = (x, )0

v = (x, y)

Geometricamente:

Exemplo 14: Faça a projeção sobre o eixo X, do vetor u = (2,4).


matriz A: 1 0 2 20 0 4 0

⋅ =

, ou seja, obtemos o vetor u' = (2,0), que é a projeção

sobre o eixo X, com relação a u.

154


2

4

u

u’

6.2.2 Projeção sobre o eixo Y

Expressão: T(x,y) = (0,y).


0, 0,0 0,10 1

y x y A = ⋅ + ⋅ ⇒ =

.


0

v = (x, y)f (v) = ( , y)0

Exemplo 15: Faça a projeção sobre o eixo Y do vetor u = (3,-4).


matriz A: 0 0 3 00 1 4 4

⋅ = − −

, ou seja, obtemos o vetor u' = (0,-4) que é a projeção

sobre o eixo Y, com relação a u.

Geometricamente:


155

Geometricamente:

3

-4

u’u

6.3 TRANSFORMAÇÕES DE DILATAÇÃO OU CONTRAÇÃO

6.3.1 Na direção do vetor ( α ∈ ).

Expressão: ( ) ( ), ,T x y x yα α= ⋅ ⋅

Forma matricial (matriz A): Podemos escrever ( ) ( ) ( )0

, ,0 0,0

x y x y Aα

α α α αα

⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ =

.


0

f(v)

v

Exemplo 16: Faça a ampliação do vetor u = (1,2) utilizando α = 3, ou seja, triplicar o seu módulo.


156


matriz A:3 0 1 30 3 2 6

⋅ =

, ou seja, obtemos o vetor u' = (3,6) que é a dilatação em

três vezes com relação a u.

Geometricamente:

Observações: a) Quando temos 0 < α < 1, ocorre uma contração no vetor.b) Quando temos α < 0, ocorre uma “inversão” no sentido do vetor.

6.3.2 Na direção do eixo X (horizontal)

Expressão: T(x,y) = (α . x,y).

Forma matricial (matriz A): Podemos escrever ( ) ( ) ( )0

, ,0 0,10 1

x y x y Aα

α α

⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ =

.

Representação Geométrica: (para os casos α = 2 e 12

α = )

2

6

1 3

u

u’

0 2xxx

(2x,y)(x,y)( x,y)

1

2

1

2


157

Exemplo 17: Faça a ampliação do vetor u = (2,2) na direção do eixo X utilizando α = 2 e 1

2α = .

Resolução: Para gerar a reflexão solicitada, basta multiplicar o vetor dado pela matriz A:

Para α = 2: 2 0 2 40 1 2 2

⋅ =

, ou seja, obtemos o vetor u' = (4,2), que é a

dilatação em duas vezes com relação a u, na direção do eixo X.

Para 12

α = : 1 2 102

2 20 1

⋅ =

, ou seja, obtemos o vetor u" = (1,2), que é a

contração em duas vezes com relação a u, na direção do eixo X.

Geometricamente:

u

421

2

u’u’’

6.3.3 Na direção do eixo Y (vertical)

Expressão: T(x,y) = (α,x . y).Forma matricial (matriz A): Podemos escrever ( ) ( ) ( )

1 0, 1,0 0,

0x y x y Aα α

α

⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ =

.

Representação Geométrica: (para os casos α = 2 e 12

α = ).

0

y

(x,2y)(x,y)

(x, y)1

2

1

2

y

2y

(x,y)

158


Exemplo 18: Faça a ampliação do vetor u = (1,3) na direção do eixo Y utilizando α = 2.


matriz A: 1 0 1 10 2 3 6

⋅ =

, ou seja, obtemos o vetor u' = (1,6), que é a dilatação em

duas vezes com relação a u, na direção do eixo X.

Geometricamente:

u

1

3u’

6

6.4 TRANSFORMAÇÕES DE ROTAÇÃO (DE UM ÂNGULO α NO SENTIDO ANTI-HORÁRIO)

Para realizar a transformação de rotação, teremos que aplicar conhecimentos da trigonometria já estudados no Ensino Médio. As relações trigonométricas que utilizaremos são a do seno e cosseno, assim como a soma de arcos nestas razões.


v

α

θ

α

‘

‘

Rθ(v)

Rθ


159

Note que o vetor v e sua rotação ( )R vθ continuam com o mesmo módulo, ou seja: ( ) v R vθ= .

Recorde de duas identidades de arcos duplos no seno e cosseno e como ficam estas relações pela ilustração anterior:

a) sen(α+θ) = senα · cosθ + senθ · cosα b) cos(α+θ) = cosα · cosθ - senα · senθ c) ysen

vα =

d) xcosv

α =

Assim, temos que, ao rotacionar o vetor θ unidades, seguem as seguintes relações:

Como o vetor ( ) ( ),R v x yθ ′ ′= , podemos escrevê-lo tal que: ( ) ( ) ,R v x cos y sen y cos x senθ θ θ θ θ= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ , e assim, colocando os fatores x e

y em evidência, chegamos à matriz de rotação: cos sen

Asen cos

θ θθ θ

− =

.

Exemplo 19: Tome o vetor do plano u = (3,4) e faça nele uma rotação de 30º no sentido anti-horário.

Resolução: Para gerar a rotação solicitada, basta multiplicar o vetor dado

pela matriz A dada por cos sen

Asen cos

θ θθ θ

− =

:

3 1 3 3 430 30 3 3 0,62 2 230 30 4 4 51 3 4 3 3

2 2 2

cos sensen cos

−− ° − ° ⋅ ⇒ ⋅ ⇒ ≈ ° ° +

, ou seja, obte-

mos o vetor u' = (0,6;5), que é o vetor u, após uma rotação de 30º.

I

) �

� � �

sen yv

sen cos sen cos yv

yv

co

� � � � � ��

� �

� �

ss sen xv

yv

y y cos x sen

� �

� �

� �

� � � � �

�

�

� � �

( ))

II

x xcos cos cos sen senv v

x x xcos senv v v

x x cos y sen

α θ α θ α θ

θ θ

θ θ

′ ′

′

+ = ⇒ ⋅ − ⋅ =

⇒ ⋅ + =

⇒ = ⋅ + ⋅′

160


7 AUTOVALORES E AUTOVETORES

Autovalores e Autovetores é um conceito muito importante na Álgebra Linear aplicado nas áreas de Processamento de Imagens, Análise de Vibrações, Mecânica Quântica, Mecânica dos Sólidos e Estatística, onde são apresentados operadores lineares T: V →V, para os quais a equação T(u) = λ · u possui soluções não nulas. O uso dos autovalores e autovetores possibilita, na visão geométrica, uma ideia bem sutil de transformação ou ampliação sobre uma imagem construída a partir de vetores.

Outra aplicação dos autovalores e autovetores é no estudo das matrizes. Em particular, sabemos que uma das aplicações deste estudo viabiliza a inversão e a diagonalização de matrizes.

Definição: Seja T: V →V uma transformação linear (operador linear). Se existirem , 0 com v V v eλ∈ ≠ ∈

, tais que T(u) = λ · u, então λ é um autovalor e v é um autovetor de T associado a λ.

Observação: Note que λ pode ser o número 0, porém v não pode ser o vetor nulo.

Assim, de acordo com Boldrini (1984, p. 87), “no conceito de autovalor e autovetor estamos interessados em saber que vetores não nulos são levados a um múltiplo de si mesmo através de uma transformação”. Neste caso, teremos que T(v) será um vetor na mesma direção de v.

Na prática:

I) Seja : ² ²T → dado por T(x,y) = (2x,2y). Podemos escrevê-lo como T(x,y) = 2 . (x,y) , ou seja, neste caso λ = 2 é um autovalor de T e qualquer vetor ( ), 0x y ≠

é um autovetor associado a λ = 2.


161

II) Seja : ² ²T → dado por T(x,y) = (x,-y). Este caso possui dois autovalores:

a) Note que se T(0,y) = (0,-y) = -1 . (0,y). Portanto, λ1 = -1 é um autovalor de T e todo vetor (0,y) com y ≠ 0 é um autovetor de T.

b) Veja que se T(x,0) = (x,0) = 1 . (x,0). Portanto, λ2 = 1 é um autovalor de T e todo vetor (x,0) com x ≠ 0 é um autovetor de T.

Interpretação Geométrica:

T(v)

T(u)

u

v

u é autovetor de T, pois ∃λ ∈ R / T(u) = λu.

v não é autovetor de T, pois não ∃λ ∈ R / T(v) = λv.

7.1 AUTOVALORES E AUTOVETORES DE UMA MATRIZ

Toda transformação linear T: V →V está associada a uma matriz quadrada de mesma dimensão de V em relação à base canônica. Portanto, representando a matriz identidade como I, temos que:

Desta forma, sabe-se que este sistema homogêneo só pode admitir várias soluções, se: det(A - λ . I) = 0.

Exemplo 20: Encontre os autovalores e autovetores do operador linear:

( ) ( )2 2: , , 3 4 , 2dada porT T x y x y x y→ = − + − + .

Resolução: Utilizando o polinômio característico, vamos encontrar os autovalores associados à transformação:

( )

( )

00

0

T v v A v vA v v

A v I vA I v

λ λλ

λλ

= ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅

⇔ ⋅ − ⋅ =⇔ ⋅ − ⋅ ⋅ =

⇔ − ⋅ ⋅ =

162


Cujas raízes (e portanto, os autovalores) são λ1 = -2 e λ1 = 1. Agora, para cada um dos autovalores encontrados existe(m) autovetor(es)

associado(s). Sabemos também que a expressão (A - λ . I) . v = 0 calcula os autovetores de uma transformação, então, pelo que foi resolvido antes temos que:

3 4 01 2 0

xy

λλ

− − ⋅ = − −

.

Substituindo λ1 = -2 na expressão acima, temos que:

, ou seja, um sistema possível

e indeterminado (infinitas soluções), o que nos faz concluir que os autovetores

associados a λ1 têm a forma: v = (4y, y), com y ≠ 0, ou ainda , , 04xv x com x = ≠

.

Substituindo λ2 = 1 na expressão acima, temos que:

que também é um sistema possível

e indeterminado, o que novamente nos faz concluir que os autovetores associados a λ2 têm a forma: v = (y, y), com y ≠ 0 ou v = (x, x), com x ≠ 0.

Exemplo 21: Determinar os autovalores e autovetores do operador linear:

Resolução: Este exemplo é um operador em 3 , e exigirá um pouco mais de trabalho do que o exemplo anterior. Inicialmente, vamos representar o operador (transformação) na forma matricial.

( )

( ) ( )2

det 0

3 4 1 0det( ) 0

1 2 0 1

3 4 0det( ) 0

1 2 0

3 4det 0

1 2

3 2 4

2 0 polinômio característico de

A I

T

λ

λ

λλ

λλ

λ λ

λ λ

− ⋅ = ⇒

− − ⋅ = ⇒ −

− − − = ⇒ − −

− − = ⇒ − −

− − ⋅ − + ⇒

+ − = ⇒

( )( )

3 2 4 0 1 4 0 4 04

1 2 2 0 1 4 0 4 0x x x y

x yy y x y

− − − − − + = = ⇒ ⋅ = ⇒ ⇒ = − − − − − + =

( )( )

3 2 4 0 1 4 0 4 04

1 2 2 0 1 4 0 4 0x x x y

x yy y x y

− − − − − + = = ⇒ ⋅ = ⇒ ⇒ = − − − − − + =

3 1 4 0 4 4 0 4 4 01 2 1 0 1 1 0 0

x x x yx y

y y x y− − − − + =

⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⇒ = − − − − + = 3 1 4 0 4 4 0 4 4 01 2 1 0 1 1 0 0

x x x yx y

y y x y− − − − + =

⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⇒ = − − − − + =

( ) ( )3 3: , , , 3 , 5 , 3T T x y z x y z x y z x y z→ = − + − + + − +

3 1 11 5 1

1 1 3A

− = − −


163

O próximo passo, como já visto, é encontrar o polinômio característico e encontrar suas raízes (autovalores do operador):

Perceba que encontramos uma equação de 3º grau. Para resolvê-la, iremos pelo método da tentativa encontrar a primeira raiz:

I) Aplicando λ = 0 na equação chegamos em: -36 = 0. Logo λ1 > 0II) Aplicando λ = 1 na equação chegamos em: -10 = 0. Logo λ1 > 1III) Aplicando λ = 2 na equação chegamos em: 0 = 0. Logo λ1 = 2.

Assim, colocando (λ - 2) em evidência: ( ) ( )22 32 . 9 18 0 3 6eλ λ λ λ λ− − + = ⇒ = = .

Logo, os autovalores são: λ1 = 2, λ2 = 3 e λ3 = 6. Agora, para encontrar os autovetores basta substituí-los na expressão (A - λ . I) . v = 0.

a) Para λ1 = 2: onde, desta vez, resolven-

do por escalonamento recorre que: .

Logo, qualquer vetor que possuir a forma v1 = (x,0,-x) é um autovetor de λ1 =

2. Isto quer dizer que qualquer vetor múltiplo de (1,0,-1) é um autovetor associado ao autovalor 2.

b) Para λ2 = 3: onde, resolvendo por es-

calonamento recorre que:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3

3 1 1 1 0 0det 0 det 1 5 1 0 1 0 0

1 1 3 0 0 1

3 1 1 0 0det 1 5 1 0 0 0

1 1 3 0 0

3 1 1det 1 5 1 0

1 1 3

3 5 3 5 3 3 0

11

A Iλ λ

λλ

λ

λλ

λ

λ λ λ λ λ λ

λ λ

− − ⋅ = ⇒ − − ⋅ = −

− − ⇒ − + − = − −

− − ⇒ − − = − −

⇒ − ⋅ − ⋅ − − − − − + − =

⇒ − + 2 36 36 0λ− + =

1 1 1 0 01 3 1 0 3 0,

1 1 1 0 0

x x y zy x y zz x y z

− − + = − ⋅ = ⇒ − + + = − − + =

1 1 1 1 1 1 1 0 11 3 1 ~ 0 2 0 ~ 0 1 0 0

1 1 1 0 0 0 0 0 0z xe y

− − − ⇒ = − = −

0 1 1 0 01 2 1 0 2 0,

1 1 0 0 0

x y zy x y zz x y

− − + = − − ⋅ = ⇒ − + − = − − =

0 1 1 0 0 01 2 1 ~ 1 0 1 . .

1 1 0 0 1 1z xe x y Logo x y z

− − − − ⇒ = = = = − −

164


Logo, qualquer vetor que possuir a forma v1 = (x,x,x) é um autovetor de λ2 = 3. Isto quer dizer que qualquer vetor múltiplo de (1,1,1) é um autovetor associado ao autovalor 3.

c) Para λ3 = 6: em que, desta vez, resol-

vendo por escalonamento recorre que:

Logo, qualquer vetor que possuir a forma v1 = (z,-2z,z) é um autovetor de λ3 = 6. Isto quer dizer que qualquer vetor múltiplo de (1,-2,1) é um autovetor associado ao autovalor 6.

Exemplo 22: Se u = (-1,1) e 5 ,12

v =

, são autovetores de T, com relação aos

autovalores λ1 = -1 e λ2 = 6, respectivamente. Determine T(x,y) e a imagem do vetor v = (1,4) nesta transformação.

Resolução: Inicialmente, neste exemplo, devemos construir a transformação linear que gera estes resultados citados. Para tanto, iremos descobrir os coeficientes dos componentes da transformação, e pelo fato de que se trata de T(x,y), podemos associá-la com uma matriz 2x2, chamando seus elementos de a, b, c e d, respectivamente.

Sabemos que (A - λ · I) · v = 0 , logo:

Para λ1 = -1 e u = (-1,1), temos:

Para λ2 = 6 e 5 ,12

u =

, temos:

3 1 1 0 0 01 1 1 ~ 0 1 2 2 .

1 1 3 1 0 1z xe y z

− − − − − − ⇒ = = − − − −

3 1 1 0 3 01 1 1 0 0 ,

1 1 3 0 3 0

x x y zy x y zz x y z

− − − − + = − − − ⋅ = ⇒ − − − = − − − − =

( )1 0 1 0

1 . .0 1 1 0

1 0 1 0.

0 1 1 0

1 1 0.

1 1 0

1 0 11 1

1 0 1 e

a bc d

a bc d

a bc d

a b a bb a d c

c d c d

− − − = ⇒

− −

− = ⇒ − + −

= ⇒ + − − + − + =

= ⇒ ⇒ = + = − − + + − + = −

( )51 0 0

6 . . 20 1 01

56 0 0. 2

0 6 01

56 0. 2

6 01

5 515 150 52 25 0 56 62 2

a bc d

a bc d

a bc d

a ab b abc cd d

− = ⇒ − = ⇒

− = ⇒ − − + + =

= ⇒ ⇒ = − + − + =

515 62 2

ce d

+ = − +


165

Daí segue que das relações assumidas vêm:

Como a = 4 e c = 2, resta calcular que b = 5 e d = 1. Assim, a matriz da

transformação é dada por 4 52 1

A =

, e por consequência a transformação é T(x,y)

= (4x + 5y, 2x + y).

Por fim, para calcular a imagem do vetor (1,4) nesta transformação, basta substituí-lo na fórmula encontrada, ou multiplicá-lo pela matriz correspondente.

Vamos utilizar o segundo processo: 4 5 1 24.

2 1 4 6

=

. O vetor transformado é v’ = (24,6).

7.2 MULTIPLICIDADE DOS AUTOVETORES DE UMA TRANSFORMAÇÃO

Após termos visto os autovalores e autovetores associados a uma transformação, vamos apresentar dois conceitos muito importantes: o de multiplicidade algébrica e o de multiplicidade geométrica.

a) Chamamos de multiplicidade algébrica de um autovalor a quantidade de vezes que ele aparece como raiz do polinômio característico.

Por exemplo, na transformação ( ) ( )3 3: , , , 2 , 2 , 2T T x y z x y y z z→ = + + , recaímos no polinômio característico (2 - λ)3 = 0, que gera em três raízes iguais (caro acadêmico, por favor, verifique!), sendo ela λ1 = λ2 = λ3 = 2, em que podemos dizer que λ = 2 é um autovalor com multiplicidade algébrica igual a 3.

( )51 0 0

6 . . 20 1 01

56 0 0. 2

0 6 01

56 0. 2

6 01

5 515 150 52 25 0 56 62 2

a bc d

a bc d

a bc d

a ab b abc cd d

− = ⇒ − = ⇒

− = ⇒ − − + + =

= ⇒ ⇒ = − + − + =

515 62 2

ce d

+ = − +

5 71 15 14 42 2

5 71 6 7 22 2

a aa a

c cc c

+ = − + ⇒ = ⇒ =

− = − + ⇒ = ⇒ =

166



b) Chamamos de multiplicidade geométrica de um autovalor λ a dimensão do subespaço gerado pelos autovetores associados a λ.

Por exemplo, na transformação do Exemplo 25, para λ1 = 2, encontramos os autovetores da forma v1 = (x,0,-x) = x . (1,0,-1), que pode ser escrito na forma de uma base [(1,0,-1)], que possui dimensão 1. E, desta forma, dizemos que o autovalor λ1 = 2 possui multiplicidade geométrica igual a 1.

A IMPORTÂNCIA DA DISCIPLINA ÁLGEBRA LINEAR NOS CURSOS DE ENGENHARIA

A Álgebra Linear ocupa papel importante nas diversas áreas da Matemática – da Análise à Estatística, onde se utilizam, constantemente, os Cálculos Matricial e Vetorial. A importância da Álgebra Linear tem crescido nas últimas décadas, os modelos matemáticos lineares assumiram um importante papel juntamente com o desenvolvimento da informática e, como seria de se esperar, esse desenvolvimento estimulou um notável crescimento de interesse em Álgebra Linear.

Sua importância vai desde as ciências sociais às ciências exatas, permitindo seu uso diário em áreas como economia, aviação, exploração petrolífera e circuitos eletrônicos. A disciplina Álgebra Linear surge no terceiro grau, na grade curricular de diversas áreas, como na Matemática, Física, Engenharia, Economia e, geralmente, no primeiro ano contendo quatro ou duas horas-aula.

Em cada uma dessas áreas, a ênfase dada a essa disciplina é diferente, podendo-se dizer que existem diversos cursos de Álgebra Linear. Os livros didáticos apresentam esse conteúdo matemático de formas bem diferenciadas. Alguns autores, preocupados com o julgamento dos alunos, colocam no prefácio de seus livros esclarecimentos de que o conteúdo desenvolvido é tangível e concreto.

Apesar de muitos conceitos de Álgebra Linear serem abstratos, conseguimos aplicar técnicas que envolvem uma matemática simples para resolver alguns problemas práticos, como a aplicação na teoria de grafos, uma área recente da matemática tendo como pré-requisito propriedades das operações com matrizes.

Grafos podem ser aplicados em estudos de logística, planejamentos de autoestradas, localizações de distribuidoras, tabelas de placares dos jogos de um campeonato, redes de comunicação etc.

De acordo com Moore (1998), um “grafo orientado é uma coleção não vazia de um número finito de vértices Pi juntamente com um número finito de arestas direcionadas PiPj que ligam alguns ou todos desses. Um grafo orientado é chamado um dígrafo se ele não contém nenhum “loop” (laço) e possui no máximo uma aresta de Pi a Pj, para cada i e j”. A figura ilustra um dígrafo.


167

Grafos orientados podem ser representados matricialmente de modo que cada elemento aij da matriz possuirá o número de arestas direcionadas do vértice Pi para o Pj. No caso dos dígrafos, o elemento um representa uma aresta orientada ligando Pi a Pj e zero caso contrário.

Brasília

Goiânia

Belo Horizonte

Rio de Janeiro

São Paulo

Porto Alegre

O que corresponde à matriz:

0 1 1 1 1 01 0 1 1 1 01 1 0 0 0 0

M = 1 1 0 0 0 01 1 0 0 0 10 0 0 0 1 0

168


Se elevarmos tal matriz ao quadrado, então os elementos bij da nova matriz indicam o número de formas que podemos ir do vértice Pi para o vértice Pj em exatamente dois passos.

Note que o elemento b35=2 indica que existem dois modos de ir de Belo Horizonte para Brasília com exatamente uma escala intermediária. No caso, as possibilidades são Belo Horizonte – Rio de Janeiro – Brasília ou Belo Horizonte – São Paulo – Brasília. O elemento b16=1 indica que há somente uma forma de sair de São Paulo com destino a Goiânia com exatamente uma escala, no caso o trecho correspondente é São Paulo – Brasília – Goiânia.

Se calcularmos o cubo da matriz, então se tem o número de modos que o vértice Pi é levado ao vértice Pj, em exatamente três passos, e assim sucessivamente.

4

2ij

3 1 1 1 13 4 1 1 1 11 1 2 2 2 0

[b ] = M = 1 1 2 2 2 01 1 2 2 3 01 1 0 0 0 1

67

3ij

7 7 7 8 1 6 7 7 8 1

7 7 2 2 2 2[c ] = M =

7 7 2 2 2 28 8 2 2 2 31 1 2 2 3 0

A matriz soma M + M2, isto é, a matriz do dígrafo somada à sua matriz quadrada indica o número de forma que o vértice Pi é levado em Pj em até dois passos. De modo que é possível saber se é possível ir de um ponto a outro com no máximo uma escala.

44

2ij

4 2 2 2 1 4 2 2 2 1

2 2 2 2 2 0[d ] = M + M =

2 2 2 2 2 02 2 2 2 3 11 1 0 0 1 1


169

O elemento d36=0 indica que não é possível ir de Belo Horizonte para Goiânia diretamente e nem com uma só escala, mas, pela matriz M3, segue que tal percurso pode ser feito com exatamente duas escalas e de dois modos possíveis, já que elemento c36=2.

Com base nesses dados, se uma outra companhia aérea que desejasse realizar voos nessa rota pode, através da informação da figura, implantar novos trechos de voos e, analisando as matrizes, poderia fazer uma verificação se é uma boa estratégia enfrentar concorrência com as rotas existentes, ou se mudaria a quantidade de escalas para se chegar de um lugar ao outro.

É claro que a teoria dos grafos é um dos muitos fatores que deverão ser analisados, mas com o exemplo exibido poder-se-ia tirar boas conclusões. Essa teoria pode ser utilizada em um grande número de situações.

FONTE: NIETO, S. S.; LOPES, C. M. C. A importância da disciplina álgebra linear nos cursos de engenharia. Anais: World Congress on Computer Science, Engineering and Technology Education. São Paulo: UNISANTOS, 2006.

170

RESUMO DO TÓPICO 4


• Para uma transformação ser dita linear, ela necessita conservar as operações de adição e multiplicação por escalar, tais que:a) ( ) ( ) ( ) , , ;T u v T u T v u v U+ = + ∀ ∈

b) ( ) ( ) , , .T k u k T u k u U⋅ = ⋅ ∀ ∈ ∀ ∈

• A Transformação Linear ( ): , 0tal que dadoT U V u U T u V→ ∈ ⇒ = ∈

é dita Trans-formação Nula.

• Seja uma Transformação Linear T: U →V . Se U = V, então T é dito um Operador Linear.

• O Operador Linear ( ): , tal que dadouI U U u U I u u→ ∈ ⇒ = é dito um Operador Identidade.

• A imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores do contradomínio V que são resultados da aplicação de pelo menos um vetor u U∈ .

• O núcleo de uma tranformação linear T: U →V, que pode ser indicado por N(T) ou ker(T), é o conjunto formado por todos os vetores de U que tem como imagem o vetor nulo de V, ou seja, ( ) ( ){ }, 0tal queN T u U T u= ∈ =

.

• As transformações : n nT → possuem várias aplicações na computação gráfica e no desenho gráfico, que são fortemente utilizados nos cursos de Engenharia, Computação, Design, entre outros. São algumas delas:

o Transformações de Reflexão. o Transformações de Projeção. o Transformações de Dilatação ou Contração. o Transformação de Rotação.

• A equação det(A - λ . I) = 0 é denominada Polinômio Característico da Transformação. As raízes desta equação são os autovalores associados à transformação.

• As soluções da equação (A - λ . I) . v = 0 são os autovetores associados a λ.

• Chamamos de multiplicidade algébrica de um autovalor a quantidade de vezes que ele aparece como raiz do polinômio característico.

• Chamamos de multiplicidade geométrica de um autovalor λ a dimensão do subespaço gerado pelos autovetores associados a λ.

171

1 A transformação 2 3:T → , definida por T(x,y) = (3x,-2y, x – y) é linear:

AUTOATIVIDADE

2 O núcleo da transformação linear 2 2: , ( , ) ( , 2 )T T x y x y x y→ = + − é o conjunto:

3 Seja a transformação linear 3 2: , ( , , ) ( 4 , 3 8 )T T x y z x y z x y z→ = − + + +

. Neste caso, o núcleo é dado por:

4 Determine o núcleo e a imagem do operador linear: 3 3: , ( , , ) ( 2 , 2 , 3 )T T x y z x y z y z x y z→ = + − + + +

5 Obtenha a imagem do vetor (4, 2)v =

pela rotação / 2θ π= .

6 Determine os autovalores e autovetores do operador linear:( ) ( )3 3: , , , 3 – , 5 , – 3 T T x y z x y z x y z x y z→ = + − + + +

7 Com base 3 1

1 3

−=

A equação característica: – 0( ) det A lI =

173

UNIDADE 3

GEOMETRIA ANALÍTICA


PLANO DE ESTUDOS


• articular o conhecimento entre a álgebra e a geometria numa perspectiva interdisciplinar;

• compreender e utilizar o pensamento geométrico (geometria analítica) que leve o aluno a resolver situações-problema;

• desenvolver o pensar algébrico e o raciocínio visual;

• determinar interseções e distâncias entre retas e planos;

• identificar uma curva plana, reconhecer seus elementos e representá-la graficamente.

Esta unidade está dividida em três tópicos. Ao final de cada um deles você encontrará atividades que o auxiliarão no seu aprendizado.

TÓPICO 1 - A RETA

TÓPICO 2 - O PLANO

TÓPICO 3 - CÔNICAS

175

TÓPICO 1

A RETA

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃO

Acadêmico, você já realizou o estudo da reta no Ensino Médio, conheceu alguns postulados, como “Por dois pontos passa uma única reta”, “Uma reta é formada por infinitos pontos” e “Por um único ponto passam infinitas retas”, bem como estudou conceitos relacionados à reta, como coeficiente angular e linear.

Assim como também já conhece que um plano representa duas dimensões (comprimento e largura) e sabe calcular distâncias entre pontos, retas e planos, bem como entre ponto e reta, ponto e plano e reta e plano.

Nesta terceira unidade de estudos vamos ampliar os conceitos já vistos no Ensino Médio, compreendendo como podemos representar uma reta e um plano utilizando vetores. Vamos também aprender a efetuar cálculos para saber se duas retas são concorrentes ou perpendiculares, se um ponto ou reta pertence a um plano, e faremos cálculo de distância. Tudo isso utilizando vetores. Legal, não é? Curioso para começar? Vamos lá!

2 EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA

Seja r uma reta que passa pelo ponto A e tem a direção de um vetor não nulo v . Para que um ponto P do espaço pertença à reta r, é necessário e suficiente que os vetores APev

sejam colineares, isto é:

AP tvP A tvP A tv

=− == +

Podemos escrever:

(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c) , se P(x, y, z) A, (x1, y1, z1) e v = (a, b, c).

UNIDADE 3 | GEOMETRIA ANALÍTICA

176

As equações P A tv= + ou (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c) são denominadas

equação vetorial da reta r e o vetor v = (a, b, c) é chamado vetor diretor da reta r, também conhecido como parâmetro.

Exemplo 1: Determinar a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A (3, 0, -5) e tem direção do vetor 2 2v i j k= + −

Resolução: Para determinar esta equação de reta, devemos tomar o ponto A (3,0,-5) e o vetor ( )2,2, 1v = − , como vetor diretor, conforme enunciado. Após isto, basta tomar a definição de equação vetorial de reta:

O que resultará no sistema de equações:

Que é a equação vetorial da reta, conforme determinado no exemplo.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

., , , , . , ,

, , 3,0, 5 . 2, 2, 1A A A

P A t vx y z x y z t a b c

x y z t

= +

= +

= − + −

3 225

x ty t

z t

= + = = − −

TÓPICO 1 | A RETA

177

Note que tomando esta equação, ao variar o valor do parâmetro t, iremos encontrar os pontos no espaço relativo à reta r. Por exemplo, caso tivermos t = 2:

3 2.2 72.2 45 2 7

x xy y

z z

= + = = ⇒ = = − − = −

Isto quer dizer que o ponto (7,4,-7) pertence à reta r.

IMPORTANTE

3 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA

O resultado que encontramos no exemplo anterior nos traz uma nova forma de realizar o estudo da reta (não convencionalmente, como no Ensino Médio!). Agora, quem guiará a formação dos infinitos pontos que irão compor a reta é um vetor diretor (vetor que dará a direção da reta). Em Geometria Analítica chamamos esta forma de mostrar a reta de “Equações Paramétricas”. A definição vem a seguir:

Da equação vetorial da reta r temos: P A tv= +

(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c)ou, ainda: (x, y, z) = (x1 + at, y1 + bt, z1 + ct)

Pela definição de igualdade, podemos escrever:

1

1

1

x x aty y bt Equações paramétricas da reta rz z ct

= + = + ⇒ = +

A reta r é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) determinados pelas equações paramétricas quando t varia de -∞ a +∞.

Exemplo 2: Determinar as equações paramétricas da reta r, que passa pelo ponto A (3, -1, 2) e é paralela ao vetor ( )3, 2,1 v = − −

.

Resolução: Neste caso, não devemos ficar “aflitos” em ter que determinar algo relacionado com a palavra “paralela” que apareceu no exemplo. Tendo o vetor, ele funcionará apenas como a direção da reta, pois possuindo o ponto de início (Ponto A), basta ter a direção para determinar onde a reta se situará. Assim, tomando a estrutura das equações paramétricas:


178

1

1

1

3 3 1 2

2

x x at x ty y bt y tz z ct z t

= + = − = + ⇒ = − − = + = +

Veja que as coordenadas do ponto A foram substituídas em (x1, y1, z1) e as coordenadas do vetor em (a, b, c). O resultado acima são as equações paramétricas solicitadas.

3.1 RETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS

Para tratar deste ponto, iremos diretamente à definição. A reta definida pelos pontos A (x1, y1, z1) e B (x2, y2, z2) é a reta que passa pelo ponto A (ou B) e tem direção do vetor v AB= =

(x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1). Isto quer dizer que, tomando dois pontos, conseguimos determinar um vetor (como já visto na Unidade 2). Conhecendo isto, basta tomar um destes dois pontos como referência e determinar a reta na direção do vetor encontrado.

Exemplo 3: Determinar as equações paramétricas da reta r, determinada pelos pontos A (1, -2, -3) e B (3, 1, -4).

Resolução: Inicialmente, temos que determinar o vetor diretor da reta:

Agora, com o ponto A (poderia ser B) como referência, basta determinar as equações paramétricas:

4 EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA

Podemos perceber que se tomarmos as equações paramétricas vistas anteriormente e isolarmos o parâmetro t, podemos igualar os resultados e assim determinar o que chamamos de equações simétricas da reta.

Das equações paramétricas, supondo abc ≠ 0 (o vetor diretor não pode ser nulo), vem:

( ) ( )( ) ( )( )

( )

3,1, 4 1, 2, 3

3 1,1 2 , 4 3

2,3, 1

v AB B A

v

v

= = − = − − − −

= − − − − − −

= −

1

1

1

1 2 2 3

3

x x at x ty y bt y tz z ct z t

= + = + = + ⇒ = − + = + = − −

TÓPICO 1 | A RETA

179

Logo, igualando os resultados de t:

Estas equações são denominadas equações simétricas ou normais de uma reta que passa por um ponto A (x1, y1, z1) e tem direção do vetor v = (a, b, c).

Exemplo 4: Determinar as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A (3, 0, -5) e tem a direção do vetor 2 2 .v i j k= + −

Resolução: Este exemplo é bastante similar ao exemplo 1, porém, desta vez iremos determinar a equação simétrica da reta. O vetor referido nas direções de i, j e k é (2,2,-1). Logo, basta substituir na fórmula.

Que resulta em:

1

1

1

x xta

y ytb

z ztc

−=

−=

−=

1 1 1 x x y y z za b c− − −

= =

( )

1 1 1

53 02 2 1

x x y y z za b c

zx y

− − −= =

− −− −= =

−

3 52 2

x y z−= = −

O resultado encontrado acima é equivalente ao resultado encontrado no exemplo 1. Trata-se de apenas uma alternativa de representação da equação da reta, que poderá ser útil em exercícios posteriores.

NOTA


180

5 EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA

De encontro ao que estamos propondo, vamos verificar mais uma forma alternativa de expressar a equação de uma reta. Sabendo que as equações simétricas da reta são:

1 1 1x x y y z za b c− − −

= =

Pode-se dar outra forma a elas, isolando as variáveis y e z e expressando-as em função de x.

( ) ( )

1 1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

x x y y z za b c

a y y b x xay ay bx bx

bx bx ayyabx aybxy

a a

− − −= =

− = − ⇒

− = − ⇒− +

= ⇒

− += + ⇒

( ) ( )

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

z z x xc a

a z z c x xaz az cx cx

cx cx azzacx azcxz

a a

− −=

− = − ⇒

− = − ⇒− +

= ⇒

− += + ⇒

1 1 , :

Fazendo: bx aybm en temos

a a− +

= =

= +y mx n

1 1 , :

Fazendo: cx azcp eq temos

a a− +

= =

= +z px q

Exemplo 5: Estabelecer as equações reduzidas da reta r que passa pelos pontos A (2,1,-3) e B (4,0,-2).

Resolução: Inicialmente, vamos realizar a determinação do vetor diretor da reta solicitada:

Tomaremos como referência o ponto A, logo vamos determinar suas equações reduzidas:

( ) ( )( )( )

( )

4,0, 2 2,1, 3

4 2,0 1, 2 3

2, 1,1

v AB B A

v

v

= = − = − − −

= − − − − −

= −

TÓPICO 1 | A RETA

181

( )

1 1

1 .2 2.11 4 22 2 2

22

Logo,

bx aybm ena a

m en

− += =

− − +−= = = =

= − +xy

( )

1 1

1.2 2. 31 8 42 2 2

42

Logo,

cx azcp eqa a

p eq

− += =

− + − −= = = = −

= −xz

6 RETAS PARALELAS AOS PLANOS E AOS EIXOS COORDENADOS

Após estudar e compreender as equações das retas através de uma perspectiva vetorial, iremos agora verificar o estudo de suas posições relativas. Inicialmente, vamos estudar os conceitos de retas paralelas a planos e eixos coordenados. Para tanto, utilizaremos os conceitos já vistos, por exemplo, vimos que as equações:

1

1

1

x x aty y btz z ct

= + = + = +

ou as equações:

1 1 1x x y y z za b c− − −

= = representam uma reta r determinada por um ponto A

(x1, y1, z1) e por um vetor diretor v = (a, b, c).

É claro ainda que até agora supôs-se que as componentes são diferentes de zero. Entretanto, uma ou duas destas podem ser nulas. Desta forma, temos dois casos:

1º) Uma só componente de v é nula

Neste caso, o vetor v

é ortogonal a um dos eixos coordenados e, portanto, a reta r é paralela ao plano dos outros eixos. Sistematizando:

Se a = 0, temos que v = (0, b, c) / /Ox r yOz⊥ ∴ (a reta r é paralela ao plano yOz)


182

As equações de r ficam:

1

1 1

x xy y z z

b c

=

− −=

Se b = 0, temos que v = (a, 0, c) / /Oy r xOz⊥ ∴ (a reta r é paralela ao plano xOz)


1

1 1

y yx x z z

a c

=

− −=

Se c = 0, temos que v = (a, b, 0) / /Oz r xOy⊥ ∴ (a reta r é paralela ao plano xOy)

TÓPICO 1 | A RETA

183


1

1 1

z zx x y y

a b

=

− −=

2º) Duas das componentes de v são nulas

Obviamente, podemos imaginar indutivamente que se no caso anterior (uma coordenada apenas é nula) temos a reta paralela a um plano, agora que duas componentes são nulas teremos a reta paralela ao lugar geométrico composto por um grau a menos (uma reta). Em especial, estas retas serão paralelas aos eixos coordenados x, y, e z (que também são retas). Em específico, o vetor v tem a direção de um dos vetores ( ) ( ) ( )1,0,0 0,1,0 0,0,1i ou j ou k= = =

e, portanto, a reta r é paralela ao eixo que tem a direção de i

ou de j

ou de k

. Sistematizando:

a) Se a = b = 0, temos que v = (0, 0, c) / / / /k r Oz∴

(a reta r é paralela ao eixo Z)


184


1

1

1

x xy y

z z ct

= = = +

b) Se a = c = 0, temos que v = (0, b, 0) / / / /j r Oy∴

(a reta r é paralela ao eixo Y)


1

1

1

x xy y bt

z z

= = + =

c) Se b = c = 0, temos que v = (a, 0, 0) / / / /i r Ox∴

(a reta r é paralela ao eixo X)

TÓPICO 1 | A RETA

185


1

1

1

x x aty yz z

= + = =

Exemplo 6:

a) Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A (-2, 3, -2) e tem direção do vetor 3 2v i k= +

Resolução: Para este caso devemos notar que a coordenada y (pois não tem a parte da direção de j

) do vetor dado é nula. Logo, teremos o caso onde a reta é paralela ao plano xOz. Portanto, as equações da reta têm a forma:

1

1 1

y yx x z z

a c

=

− −=

Substituindo os valores do ponto A (-2,3,-2) e do vetor (3,0,2): ( ) ( ) 3

2 23 2

yx z

=

− − − −=

Ou seja, 3

2 23 2

yx z

=

+ +=

.

Nesta questão não foi solicitada uma forma específica de expressar a equação da reta. Como determinamos acima, através de equações simétricas, iremos agora tomar o resultado anterior na forma de equações paramétricas. Para isso basta tomar cada parcela das igualdades acima e igualar ao parâmetro t:

ATENCAO

( )

2 2 33

3 2 2 2

2

x t x t

yz t z t

+= ⇒ = − +

=

+= ⇒ = − +

não há parâmetro t, pois é a equação do plano xOz

b) Estabelecer as equações da reta que passa pelos pontos A (1, 0, 9) e B (4, 8, 9).

Resolução: Determinando as coordenadas do vetor diretor:


186

Veja que a coordenada z do vetor diretor resultante é nula. Logo, temos o caso onde a reta é paralela ao eixo xOy. Assim, tomando o ponto A (1,0,9) como referência:

91 0

3 8 8

zx y y

=

− −= =

7 ÂNGULO DE DUAS RETAS

Após estudar uma característica importante das posições relativas de retas, iremos adentrar em um tópico que possui grandes aplicações, o conceito do ângulo formado entre duas retas. Por exemplo, nas diversas construções geométricas que um projeto pode possuir, notamos que haverá diversas intersecções entre linhas retas, onde, ao determinarmos as medidas dos ângulos entre elas, ampliamos as possibilidades de estudos de resultados e propriedades importantes do lugar geométrico a ser estudado. Em particular, podemos destacar o caso onde duas (ou mais) retas são perpendiculares (ou ortogonais) entre si, onde na Engenharia Civil, por exemplo, determinamos se duas retas formam um ângulo reto.

Iremos, portanto, inicialmente definir como se determina o ângulo entre duas retas.

Definição: Sejam as retas r1, que passa pelo ponto A1 (x1, y1, z1) e tem a direção de um vetor 11 1 1( , , )v a b c=

, e r2, que passa pelo ponto A2 (x2, y2, z2) e tem a direção de um vetor 2 2 2 2( , , )av b c=

.

( ) ( )( )( )

4,8,9 1,0,9

4 1,8 0,9 9

3,8,0

v AB B A

v

v

= = − = −

= − − −

=

TÓPICO 1 | A RETA

187

Chama-se ângulo de duas retas r1 e r2 o menor ângulo de um vetor diretor de

r1 e de um vetor diretor de r2. Logo, sendo θ este ângulo, tem-se: 1 2

1 2

cos v vv v

θ ⋅=

⋅

ou, em coordenadas:

Exemplo 7: Calcular o ângulo entre as retas

Resolução: Analisando as equações das retas, podemos descobrir as coordenadas dos vetores diretores de r1 e r2.

Repare que para determinar as coordenadas do vetor diretor de r1, basta olharmos os coeficientes do parâmetro t na equação paramétrica da reta. Já, por sua vez, para determinar as coordenadas do vetor r2, analisamos o denominador das equações simétricas da reta.

Agora, de modo vetorial, vamos determinar o ângulo entre as retas:

Logo,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

cos a a b b c c

a b c a b cθ + +

=+ + ⋅ + +

1

2

3

1 22 3

2 1 1

x tr y t

z tx y zr

= += = = − −

+ −= = =

−

( ) ( )( ) ( )

1 1 1 1

2 2 2 2

, , 1,1, 2

, , 2,1,1

v a b c

v a b c

= = −

= = −

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2

1,1, 2 2,1,1 1. 2 1.1 2 .1cos

1,1, 2 2,1,1 1 1 2 2 1 1

2 1 2 3 1cos6 21 1 4 4 1 1

θ

θ

− ⋅ − − + + −= =

− ⋅ − + + − ⋅ − + +

− + − −= = = −

+ + ⋅ + +

1 2cos 1202 3

radπθ θ= − ⇒ = ° =


188

Em particular, quando o produto escalar 1 2 1 2 1 2 1 2v v a a b b c c⋅ = + + for igual a zero, temos o caso em que as retas são perpendiculares (ou ortogonais) entre si.

UNI

8 CONDIÇÃO DE PARALELISMO DE DUAS RETAS

Já verificamos em situações anteriores, quando uma reta é paralela a um plano ou a um dos eixos. Ficou faltando, obviamente, o caso em que duas retas são paralelas entre si. Para que isto ocorra, é um pouco intuitivo notar que precisamos de um multiplicador que “afaste” uma reta da outra sem alterar sua direção (ou angulação). Desta forma, a condição de paralelismo das retas r1 e r2 é a mesma dos vetores 11 1 1( , , )v a b c=

e 2 2 2 2( , , )av b c=

que definem as direções dessas retas, isto é: 1 2v mv=

Em que m é o fator multiplicador, ou ainda:

Exemplo 8: Verificar se a reta r1, que passa pelos pontos A1 (-3, 4, 2) e B1 (5, -2, 4), e a reta r2, que passa pelos pontos A2 (-1, 2, -3) e B2 (-5, 5, -4) são paralelas.

Resolução: Para cada par de retas, vamos determinar o vetor diretor:

Reta 1:

Reta 2:

Verificando as razões existentes entre as coordenadas dos vetores:

1 1 1

2 2 2

a b ca b c

= =

( ) ( )( )( )

( )

1

1

1

5, 2, 4 3,4,2

5 3 , 2 4,4 2

8, 6,2

v AB B A

v

v

= = − = − − −

= − − − − −

= −

( ) ( )( ) ( )( )

( )

2

2

2

5,5, 4 1,2, 3

5 1 ,5 2, 4 3

4,3, 1

v AB B A

v

v

= = − = − − − − −

= − − − − − − −

= − −

TÓPICO 1 | A RETA

189

Logo, como estas razões tiveram um fator resultante igual (-2), concluímos que as retas 1 e 2 são paralelas.

9 CONDIÇÃO DE ORTOGONALIDADE DE DUAS RETAS

Quando citamos a definição de ângulo entre vetores, já induzimos o fato de que teríamos um caso especial a respeito daquela fórmula resolutiva. Este caso era quando o numerador, que era dado por 1 2 0v v⋅ =

, resultava zero. Isto nos levaria a entender que o ângulo formado entre as retas é 90° (pois cos 90° = 0). Vamos trabalhar um pouco mais esta condição, pois ela é bastante usual em aplicações da engenharia como um todo.

A condição de ortogonalidade das retas r1 e r2 é a mesma dos vetores

11 1 1( , , )v a b c=

e 2 2 2 2( , , )av b c=

que definem as direções dessas retas, isto é:

1 2 0v v⋅ =

ou:

Exemplo 9: Verificar se as retas r1 e r2 são ortogonais.

Resolução: Dadas as equações simétricas da reta, conforme acima, iremos construir (por análise) os vetores diretores das retas.

Agora, basta determinar o produto escalar entre os vetores e realizar a análise:

Logo, as retas são ortogonais.

1 1 1

2 2 2

8 6 2 24 3 1

a b ca b c

−= = ⇒ = = = −

− −

1 2 1 2 1 2 0a a b b c c+ + =

1

2

3: 3 1

8 61 3:

3 5 4

yr x z

x y zr

=

− += −+ −

= =

( ) ( )1 28,0 6 3,5, 4v e v= − =

( )1 2 1 2 1 2 1 2 8 3 0 5 6 4 24 24 0v v a a b b c c⋅ = + + = ⋅ + ⋅ + − ⋅ = − =


190

10 CONDIÇÃO DE COPLANARIDADE DE DUAS RETAS

Em muitos casos, é importante conhecer se duas (ou mais) retas estão contidas no mesmo plano. Talvez não apenas para comprovar este fato, mas sim para mostrar que elas não são reversas (em algumas aplicações de Geometria Descritiva isto se aplica). Para tal, devemos imaginar uma reta r1, que passa por um ponto A1 (x1, y1, z1) e tem a direção de um vetor 11 1 1( , , )v a b c=

, e uma reta r2, que passa por um ponto A2 (x2, y2, z2) e tem a direção de um vetor 2 2 2 2( , , )av b c=

. Elas serão coplanares se os vetores 1 2 1 2, v v e A A

forem coplanares, isto é, se for nulo o produto misto ( )1 2 1 2, , v v A A

.

( )1 1 1

1 2 1 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1

, , 0a b c

v v A A a b cx x y y z z

= = − − −

Veja que não é condição necessária, mas não suficiente que os vetores diretores sejam coplanares. O vetor que liga os pontos A

1 e A

2 também deve pertencer ao mesmo

plano, para assim evitar que as retas sejam reversas. Neste caso, o produto misto deve ser igual a zero (como já visto), pois ele calculará o volume de um paralelepípedo formado por estes vetores (e sendo zero o resultado, mostra que os vetores estão no mesmo plano).

ATENCAO

Exemplo 10: Verificar se as retas r1 e r2 são coplanares.

1

2

2 5:2 3 4

5 3 6:1 1 3

x y zr

x y zr

− − = =

+ + − = = −

TÓPICO 1 | A RETA

191

Resolução: Para resolver este exemplo devemos retirar de cada reta um ponto e o vetor diretor. Realiza-se este processo analisando as retas e, por comparação, retira-se as informações. Do numerador, retiram-se as coordenadas do ponto e do denominador retiram-se as coordenadas do vetor.

Reta 1: ( ) ( )1 12,0,5 2,3, 4A e v= =

Reta 2: ( ) ( )2 25, 3,6 1,1,3A e v= − − = −

O próximo passo é a construção do vetor que liga os dois pontos:

( ) ( )1 2 2 1 5 2, 3 0,6 5 7, 3,1= − = − − − − − = − −A A A A

Calculando o produto misto entre os vetores:

Logo, as retas são coplanares.

11 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS

Duas retas r1 e r2, no espaço, podem ser:

a) Coplanares, isto é, situadas no mesmo plano. Neste caso, poderão ser:Concorrentes: { }( )1 2 .1 2 é o ponto de interseção das retas r e rr r I I∩ =

( ) ( )1 1 1

1 2 1 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1

2 3 4, , 1 1 3 2 63 12 28 18 3

7 3 1

49 49 0

= = − = − + − − − − − − − − −

= − + =

a b cv v A A a b c

x x y y z z


192

{ }( )1 2 .II) Paralelas: é o conjunto vazior r∩ = ∅ ∅

Reversas, isto é, não situadas no mesmo plano. Neste caso: { }1 2r r∩ = ∅

12 INTERSEÇÃO DE DUAS RETAS

Quando duas retas r1 e r2 forem coplanares e não paralelas, elas são concorrentes e é possível determinar o seu ponto de interseção. Para realizar este procedimento, basta igualar as coordenadas respectivas das retas envolvidas no caso.

Exemplo 11: Dadas duas retas concorrentes, r1 e r2, determinar seu ponto de interseção.

Resolução: Incialmente, devemos notar que a reta 1 está na forma reduzida (forma padrão para o caso) e a reta 2 está na forma paramétrica. Ainda, podemos notar da equação para a coordenada x da reta 2, que: x t t x= − ⇒ = −

Iremos, com este resultado, aplicar nas equações abaixo, para y e z:

1 2

3 2: : 1 2

3 12

x ty x

r e r y tz x

z t

= −= − + = + = − = −

TÓPICO 1 | A RETA

193

Igualando, por exemplo, a coordenada y (poderia ser z) das retas 1 e 2, vem:

Substituindo, para determinar y e z (pode ser escolhida a equação a ser utilizada):

Implicando que o ponto de intersecção entre as duas retas é (1,-1,2).

13 RETA ORTOGONAL A DUAS RETAS

Sejam as retas r1 e r2, não paralelas, com as direções dos vetores 11 1 1( , , )v a b c=

e 2 2 2 2( , , )av b c=

, respectivamente. Qualquer reta r, simultaneamente ortogonal às retas r1 e r2, terá um vetor diretor paralelo ou igual ao vetor 1 2.v v×

( )( )

1 2 1 2. 2 1

2 2. 2

y t y x y x

z t z x z x

= + ⇒ = + − ⇒ = − +

= − ⇒ = − − ⇒ =

3 2 2 13 2 1 2

1 1

x xx x

x x

− + = − +− + = −− = − ⇒ =

( )( )

2 1 2. 1 1 2 1 1

2 2. 1 2

y x y

z x z

= − + ⇒ = − + = − + = −

= ⇒ = =

1 2 1 1 1

2 2 2

i j kv v a b c

a b c

× =


194

Exemplo 12: Determinar as equações da reta r que passa pelo ponto A (-2, 1, 3) e é ortogonal comum às retas:

Resolução: Vamos, incialmente, tomar um vetor diretor de cada reta dada. Este processo, como já visto anteriormente, é feito por associação à fórmula geral de cada tipo de reta. Logo:

Devemos, agora, construir o vetor ortogonal a estes dois vetores encontrados, pois como já visto na Unidade 2, o produto vetorial entre eles irá gerar um vetor ortogonal a ambos, ao mesmo tempo. Desta forma:

Que é a forma canônica de se representar o vetor ( )3 2,8,6 .v = −

Tendo este vetor e o ponto A descrito no enunciado, podemos construir a equação da reta ortogonal às outras duas, conforme solicitado. Escolheremos a forma paramétrica de representação, porém fica a seu critério gerar outras representações caso seja de interesse.

14 DISTÂNCIAS

Em várias aplicações são necessárias análises que envolvem o conceito de distâncias. Muitas vezes isto se deve ao fato da necessidade de determinação do menor caminho entre dois lugares geométricos dados. Neste nosso estudo daremos foco a dois casos de distâncias: A distância entre um ponto e uma reta e a distância entre duas retas (que por sua vez se dividem em três casos).

1 2

2 2: 1 2 : 1

3 3 1

x t yr y t e r x z

z t

= − = = + −

= = − − −

( ) ( )1 21, 2, 3 3,0, 1 v e v= − − = − −

1 2 1 2 3 2 9 6 2 8 63 0 1

i j kv v i j k j i j k

× = − − = − + + − = − + + − −

2 2: 1 8

3 6

x tr y t

z t

= − − = + = +

TÓPICO 1 | A RETA

195

14.1 DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA

Seja uma reta r definida por um ponto P1(x1,y1,z1) e pelo vetor diretor v = (a, b, c) e seja P0(x0,y0,z0) um ponto qualquer do espaço. Os vetores v e 1 0PP

determinam um paralelogramo, cuja altura corresponde à distância d de P0 a r que se pretende calcular.

Sabe-se que a área A de um paralelogramo é dada pelo produto da base pela altura: A v d=

. Ou, de acordo com a interpretação geométrica do módulo do produto vetorial por: 1 0 A v PP= ×

.

Comparando as equações, vem: 1 0 v d v PP= ×

e: ( ) 1 00 ,

v PPd d P r

v

×= =

Exemplo 13: Calcular a distância do ponto P0(2,0,7) à reta 2 3:2 2 1x y zr − +

= =

Resolução: Da equação simétrica fornecida pela questão, tomamos o seu vetor diretor ( )2,2,1v = . Já para a formação do vetor 1 0PP precisamos de um ponto 1 0PP que pertença à reta dada (note que a questão não nos forneceu). Para isto, basta fornecer um valor qualquer para uma das coordenadas (x, y ou z) e determinar a partir disto as outras duas. Em particular, iremos atribuir o valor x = 2 (poderia ser outro). Assim:

Logo, o ponto ( )1 2, 4, 2P = − .

2 2 42 22 3 22 1

y y

z z

−= ⇒ =

+= ⇒ = −


196

Realizaremos agora a formação do vetor 1 0PP :

Calculando a distância entre o ponto e a reta:

( )( ) ( )1 0 0 1 2 2,0 4,7 2 0, 4,9= − = − − − − = −PP P P

14.2 DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS

Para determinar a menor distância entre duas retas é necessário saber a posição relativa entre elas, isto é, classificá-las entre concorrentes, paralelas ou reversas.

As Retas são ConcorrentesA distância d entre duas retas r e s concorrentes é nula, por definição.

As Retas são Paralelas

( ) ( )( ) ( )22 2

1 00 2 2

2 2 10 4 22 18 822 18 8

,2,2,1 9

9

2 2 1²

− + − + −× − − − = = = =

+ +

i j k

v PP i j kd d P r

v

29,53 9,843

= ≅ unidades de comprimento.

A distância d entre as retas r e s, paralelas, é a distância de um ponto qualquer P0 de uma delas à outra reta, isto é: ( ) ( )0 0, , ,d r s d P s P r= ∈ ou

( ) ( )0 0, , ,d r s d P r P s= ∈ .

Como se vê, a distância entre duas retas paralelas se reduz ao cálculo da distância de um ponto a uma reta, visto no item anterior.

TÓPICO 1 | A RETA

197

Exemplo 14: Calcular a distância entre as retas:

Resolução: Da reta r, tomaremos um ponto 0P de referência: ( )0,3,0oP = . Ele foi obtido, atribuindo x = 0 e determinando as outras coordenadas y e z.

Da reta s, tomaremos um vetor diretor (coeficiente de t) e um ponto P1, desta vez, atribuindo t = 0 (pois trata-se da forma simétrica): ( ) ( )12, 4, 4 1,1, 3v e P= − − = − − .

O próximo passo agora é a determinação do vetor 1 0 :PP ( ) ( )( ) ( )1 0 0 1 0 1 ,3 1,0 3 1,2,3PP P P= − = − − − − − =( ) ( )( ) ( )1 0 0 1 0 1 ,3 1,0 3 1,2,3PP P P= − = − − − − − = .

Calculando a distância:

As Retas são reversas

Consideremos duas retas r e r reversas: a reta r definida por um ponto P1 (x1,y1,z1) e pelo vetor diretor u = (a1,b1,c1) e a reta s pelo ponto P2 (x2,y2,z2) e pelo vetor diretor v = (a2,b2,c2).

Os vetores u , v e ( )1 2 2 1 2 1 2 1, , PP x x y y z z= − − −

determinam um parale-lepípedo. A base desse paralelepípedo é definida pelos vetores u e v e a altura corresponde à distância d entre as retas r e s, porque a reta s é paralela ao plano da base do paralelepípedo, uma vez que sua direção é a do vetor v .

1 22 3

: : 1 42

3 4

x ty x

r e s y tz x

z t

= − −= − + = + = = − −

( ) ( ) ( )( )2 2 2

1 02 22

2 4 11 2 3 14 5 812 4 4 2 6

62,4, 4 2 4 4

i j k

i j k k i jv PPdv

− − + + −− − − + +× = = = = =

− − − + + −

16,88 2,81 6

unidades de comprimento.=


198

Sabe-se que o volume V de um paralelepípedo é dado pelo produto da área da base pela altura: V u v d= ×

, ou, de acordo com a interpretação geométrica do módulo do produto misto, por: ( )1 2 , , :V u v PP=

.

Comparando as equações, vem: ( )1 2, , :V u v PP=

e ( )( )1 2, ,

,u v PP

d d r su v

= =×

Exemplo 15: Calcular a distância entre as retas

31: : 2 142

32

xyr e s y tzx

z t

== = − −

+ = = − + −

Resolução: Para cada reta, temos que retirar um ponto e um vetor diretor:

Reta r: ( ) ( )10,0, 2 2,1, 4u e P= − = −Reta s: ( ) ( )20, 2, 1 3, 1,3v e P= − = −

Determinando o vetor P1 P2: ( )( ) ( )1 2 2 1 3 2 , 1 1,3 4 5, 2, 1PP P P= − = − − − − − = − − .

Por último, calculando a distância entre as retas:

( )( ) ( )1 2

2

0 0 20 2 1

, , 20 ²5 2 1 20, 5 4 4

0 0 20 2 1

unidades de comprimento.u v PP

d r su v ii j k

− − −− − = = = = =

×

−−

199


• Equação vetorial da reta: P A vt= +

• Equação paramétrica da reta: 1

1

1

xyz

x aty btz ct

= + = + = +

• Equação simétrica da reta: 11 1y yx x z za b c

−− −= =

• Ângulo entre duas retas: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

cosa a b b c c

a b c a b cθ

+ +=

+ + ⋅ + +

• Condição de paralelismo entre duas retas: 1 1 1

2 2 2

a b ca b c

= =

• Condição de ortogonalidade de duas retas: 1 2 1 2 1 2 0a a b b c c+ + =

• Condição de coplanaridade de duas retas: ( )1 1 1

1 2 1 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1

, , 0a b c

v v A A a b cx x y y z z

= = − − −

• Interseção de duas retas: deve-se igualar as equações para determinar o ponto de interseção.

• Reta ortogonal a duas retas: 1 2 1 1 1

2 2 2

i j kv v a b c

a b c

× =

• Distância de um Ponto a uma Reta: ( ) 1 00 ,

v PPd P r

v

×=

• Distância entre Duas Retas o Concorrentes: a distância d entre duas retas r e s concorrentes é nula. o Paralelas: ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0, , , , , , ou d r s d P s P r d r s d P r P s= ∈ = ∈

o Reversas: ( )( )1 2, ,

,u v PP

d r su v

=×

RESUMO DO TÓPICO 1

200

Acadêmico, o processo de cálculos na Geometria Analítica pode parecer complicado no começo. Porém, não desista! É normal escolhermos caminhos que não nos levem à resposta esperada nas primeiras tentativas, mas o importante é reconhecer que a escolha foi errada e recomeçar outra vez. Lápis, borracha e mãos à obra!

1 Assinale a alternativa que traz as equações reduzidas da reta que passa pelo ponto A (4, 0, -3) e tem a direção do vetor

2 4 5v i j k= + +

.

a) ( ) 5 2 8 132

y x e z x= − = −

b) ( ) 5 2 8 132

y x e z x= + = − −

c) ( ) 5 2 8 132

y x e z x= + = − +

d) ( ) 5 2 8 132

y x e z x= − = − +

e) ( ) 5 2 8 132

y x e z x= − − = −

2 Duas retas são concorrentes se, e somente se, possuírem um ponto em comum, ou seja, a intersecção das retas r e s, quando existir, é o ponto P(x, y), comum a elas, que é a solução do sistema formado pelas equações das duas retas. Determine o ponto de intersecção das retas:

a) ( ) P (4, 2, 7)b) ( ) P (2, 1, 9)c) ( ) P (4, 3, 9)d) ( ) P (2, 0, 5)e) ( ) P (2, 0, 9)

3 Nesta questão a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas.

AUTOATIVIDADE

52 5: : 2

2 3 47 2

x t

x y zr e s y tz t

= +− − = = = −

= −

201

(1) a reta que passa por A (1,-2,4) e é paralela ao eixo dos x é, x = 1.(2) o ângulo formado pelos vetores ( ) ( )1,1 , 4 1, 2, 2u ev= = −

é de 45°.(3) a reta que passa pelo ponto B (2,3,4) é ortogonal ao tempo aos eixos dos x

e dos y é 23

xy

= =

.

(4) os vetores ( ) ( ) ( )3, 1, 4 , 1, 0, 1 2, 1, 0u v e w= − = − = − são coplanares.

O somatório das alternativas corretas é:

a) ( ) 3 b) ( ) 4 c) ( ) 5 d) ( ) 6 e) ( ) 7

4 Assinale a alternativa que determina corretamente o valor de “n” para que seja de 30° o ângulo entre as retas:

a) ( ) n = 15b) ( ) n = 5 e n = -5 c) ( ) n = 1 e n = 7 d) ( ) n = -1 e n = 2 e) ( ) n = -1 e n = 1

5 Determine as equações das seguintes retas:

a) Reta que passa por A (1,-2,4) e é paralela ao eixo x.b) Reta que passa por B (3,2,1) e é perpendicular ao plano x0z.c) Reta que passa por A (4,-1,2) e tem direção do vetor i j−

.d) Reta que passa pelos pontos M (2,-3,4) e N (2,-1,3).

6 A reta r passa pelo ponto A (1,-2,1) e é paralela à reta 2: 3

x ts y t

z t

= + = − = −

. Se P (-3,m,n) r∈ , determine m e n.

7 Demonstre que o ponto P1 (2,2,3) é equidistante dos pontos P2 (1,4,-2) e P3 (3,7,5).

8 Calcule a distância entre as retas r e s nos seguintes casos:

52 4: :2 24 5 3

y nxx y zr e sz x

= +− += = = −

202

a) 0 3

: 2

x yr e s

y z z x= =

= =

b) r passa pelos pontos A (1,0,1) e B (-1,-1,0) e s pelos pontos C

(0,1,-2) e D(1,1,1)

c) 3 1

: 2 4

x xr e s

y y= =

= =

d) 1

: 2 3 : x t

r y t e s eixodos xz t

= − = + = −

e) 1

: 2 :3

y xr x y z e s

z x= +

= = − = −

203

TÓPICO 2

O PLANO

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃO

No tópico anterior, realizamos o estudo da reta através dos vetores. Em continuidade a esse estudo, neste tópico iremos aprender a representar planos de forma analítica e geométrica com base nos vetores.

2 EQUAÇÃO GERAL DO PLANO

Seja A(x1,y1,z1) um ponto pertencente a um plano ( ) , 0,0,0en ai bj ck nπ = + + ≠

um vetor normal (ortogonal) ao plano. O plano π pode ser definido como sendo o conjunto de todos os pontos P(x, y, z) do espaço, tais que o vetor AP

é ortogonal a n . O ponto P pertence a π se, e somente se:

0n AP⋅ =

Substituindo ( ) ( )1 1 1, , , ,n a b c e AP x x y y z z= = − − −

, na igualdade acima, temos:

( ) ( )1 1 1, , , , 0a b c x x y y z z⋅ − − − =

204


Ou:

( ) ( ) ( )1 1 1

1 1 1

00

a x x b y y c z zax by cz ax by cz

− + − + − =

+ + − − − =

Como a expressão 1 1 1ax by cz− − − forma um único número real, que chamamos d, podemos escrever, ainda: 0ax by cz d+ + + = que é a equação geral ou cartesiana do plano.

Observações:

a) Da forma que definimos o plano π , vimos que ele é identificado por um de seus pontos A e por um vetor normal ( ), , n a b c=

a π , com a, b, c não simultaneamente nulos. Desta forma, qualquer vetor , 0kn k ≠

é também um vetor normal ao plano.

b) Sendo n um vetor ortogonal ao plano π , ele será ortogonal a qualquer vetor representado neste plano. Em particular, se 1 2 v ev

são vetores colineares, e paralelos ao plano, em virtude de n ser ortogonal, ao mesmo tempo, a 1 2 v ev

, tem-se: 1 2 n v v= ×

.

c) É importante observar que os três coeficientes a, b e c da equação geral (0ax by cz d+ + + = ) representam as componentes de um vetor normal ao

plano. Por exemplo, se um plano π é dado por: 3 2 4 5 0x y zπ = + − + = , um de seus vetores normais é ( )3,2, 4n = −

.

Exemplo 1: Determinar a equação geral do plano π que passa pelo ponto A (2,-1,3), sendo ( )3,2, 4n = −

um vetor normal a π .

Resolução: Como já visto, a equação geral do plano é dada por 0ax by cx d+ + + = , onde (a, b, c) é o vetor normal a ele. Logo, substituindo as

coordenadas de n e A na equação geral, vem:

Ou seja, a equação geral do plano é: 3 2 4 8 0x y x+ − + =

Exemplo 2: Escrever a equação cartesiana do plano π que passa pelo ponto A (3,1,-4) e é paralelo ao plano: 1 : 2 3 6 0x y zπ − + − = .

Resolução: Pelo fato de que o plano π é paralelo ao plano π 1, o vetor

( ) ( ) ( )3. 2 2. 1 4. 3 06 2 12 0

8

dd

d

+ − − + =

− − + ==

TÓPICO 2 | O PLANO

205

normal à π 1 também é normal à π . Tomando o vetor n de π 1, como sendo n = (2,-3, 1), temos:

Logo, a equação do plano é dada por: 2 3 1 0x y z− + + =

Exemplo 3: Estabelecer a equação geral do plano mediador do segmento AB, dados A (2,-1,4) e B (4,-3,-2).

Resolução: Inicialmente, devemos compreender o que significa o plano mediador. Ele trata de um plano perpendicular ao segmento que o divide em duas partes iguais.

Com esta informação, devemos agora entender que o vetor normal ao plano tem a direção do segmento formado pelos pontos A e B. Assim:

Este vetor nos dá os valores de a, b e c para substituir na equação geral. Porém, para a determinação do valor de “d” precisamos de mais uma informação: Um ponto pertencente ao plano. Quem seria ele?

Como estamos falando no plano mediador, é intuitivo imaginar que o ponto médio do segmento AB pertence a este plano, logo:

Calcularemos agora o valor de “d”:

E assim, a equação do plano é: 2 4 6 8 0x y z− − − =

Exemplo 4: Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A

(2,1,-2) e é perpendicular à reta 4 3

: 1 2x t

r y tz t

= − + = + =

Resolução: Como se trata de um plano que é perpendicular à reta r, podemos concluir que o vetor diretor da reta r é o vetor normal ao plano solicitado. Somando-se ao fato de já conhecermos o ponto A (pertencente à reta), temos que: n = (3,2,1).

( ) ( ) ( )0 2. 3 3. 1 1. 4 06 3 4 0 1

ax by cz d dd d

+ + + = ⇒ − + − + =

⇒ − − + = ⇒ =

( ) ( )4 2, 3 1, 2 4 2, 4, 6n AB B A= = − = − − − − − = − −

( )2 4 1 3 4 2, , , , 3, 2,12 2 2 2 2 2

A B A B A Bx x y y z zM + + + + − − − = = = −

( ) ( ) ( )0 2. 3 4. 2 6. 1 06 8 6 0 8

ax by cz d dd d

+ + + = ⇒ − − − + =

+ − + = ⇒ = −

206


E ainda,

Logo, a equação da reta é dada por: 3 2 3 0x y z+ + − =

2.1 DETERMINAÇÃO DE UM PLANO

Um plano pode ser determinado por um de seus pontos e por um vetor normal a ele. Porém, existem outras formas de determinar um plano, nas quais ponto e vetor ficam bem mais evidentes.

Assim, existe apenas um plano que:

1) Passa por um ponto A e é paralelo a dois vetores 1 2 v ev

não colineares. Neste caso: 1 2 n v v= ×

.

( ) ( ) ( )0 3. 2 2. 1 1. 2 03 0 3

ax by cz d dd d

+ + + = ⇒ + + − + =

+ = ⇒ = −

2) Passa por dois pontos A e B e é paralelo a um vetor v não colinear ao vetor AB

. Neste caso: n v AB= ×

TÓPICO 2 | O PLANO

207

3) Passa por três pontos A, B e C não em linha reta. Neste caso, n AB AC= ×

4) Contém duas retas r1 e r2 concorrentes. Neste caso: 1 2 n v v= ×

, sendo

1 2 v ev

vetores diretores de r1 e r2

5) Contém duas retas r1 e r2 paralelas. Neste caso, 1 1 2 n v A A= ×

, sendo v1 um vetor diretor de r1 (ou r2) e A1 ∈ r1 e A2 ∈ r2

208


6) Contém uma reta r e um ponto B ∉ r. Neste caso: n v AB= ×

, sendo v um vetor diretor de r e A ∈ r

Exemplo 5: Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A (1,-3,4) e é paralelo aos vetores ( ) ( )1 23,1, 2 1, 1,1v e v= − = −

.

Resolução: Como o plano é paralelo aos vetores v1 e v2, o vetor n é dado por:

1 2 n v v= ×

(caso 1)

Já conhecendo o vetor normal, o próximo passo é determinar o valor de d:

Logo, a equação do plano é dada por: 5 4 2 0x y z− − − + =

Exemplo 6: Estabelecer a equação geral do plano determinado pelos pontos A (2,1,-1), B (0,-1,1) e C (1,2,1).

Resolução: Vamos inicialmente verificar a colinearidade dos pontos dados pelo exemplo.

( )3 1 2 3 2 3 2 5 4 1, 5, 41 1 1

i j kn i k j k j i i j k

= − = − − − − − = − − − = − − − −

( ) ( ) ( )0 1. 1 5. 3 4. 4 01 15 16 0 2

ax by cz d dd d

+ + + = ⇒ − − − − + =

− + − + = ⇒ =

2 1 10 1 1 2 1 1 4 61 2 1

−− = − + − − = −

TÓPICO 2 | O PLANO

209

Como o determinante das coordenadas dos pontos foi diferente de zero, os pontos não são colineares. Neste caso, para determinar a equação do plano, iremos utilizar o caso 3, determinando n AB AC= × :

Determinando AB e AC:

Calculando n:

Tomando o ponto A como referência, juntamente com o vetor normal, vamos determinar o valor constante d da equação geral:

Concluindo assim que a equação da reta é dada por: 6 2 4 6 0x y z− + − + =

Exemplo 7: Estabelecer a equação cartesiana do plano que contém a reta 4 2

: 30

x tr y t

z

= + = − =

e o ponto B (-3,2,1).

Resolução: Notamos, logo de partida, que o ponto B não pertence à reta r. Logo, para este caso, utilizaremos o caso 6, onde: n v AB= ×

Verifique que o vetor diretor de r é ( )3,1,0v = . Também podemos retirar da equação de r, que o ponto A é dado por ( )4,3,0A = .

O próximo passo é a determinação do vetor AB: ( ) ( )3 4, 2 3,1 0 7, 1,1AB B A= − = − − − − = − −( ) ( )3 4,2 3,1 0 7, 1,1AB B A= − = − − − − = − −

Como já vimos que n v AB= × , segue: ( )3 1 0 3 7 3 3 4 1,3,47 1 1

i j kn v AB i k k j i j k

= × = = − + + = + + = − −

( )3 1 0 3 7 3 3 4 1,3,47 1 1

i j kn v AB i k k j i j k

= × = = − + + = + + = − −

( )( ) ( )( )( ) ( )

0 2, 1 1,1 1 2, 2,2

1 2,2 1,1 1 1,1,2

AB B A

AC C A

= − = − − − − − = − −

= − = − − − − = −

( )

2 2 2 4 2 2 2 2 41 1 2

6 2 4 6,2, 4

i j kn AB AC i j k k i j

i j k

= × = − − = − − − − − + − = − + − = − −

( ) ( ) ( )0 6. 2 2. 1 4. 1 012 2 4 0 6

ax by cz d dd d

+ + + = ⇒ − + − − + =

− + + + = ⇒ =

210


Tomando agora o ponto B como referência, iremos determinar o valor da constante d:

Ficando o plano com equação geral: 3 4 7 0x y z+ + − =

2.2 PLANOS PARALELOS AOS EIXOS E AOS PLANOS COORDENADOS – CASOS PARTICULARES

A equação ax + by + cz + d = 0, na qual a, b e c não são todos nulos, é a equação de um plano π , sendo ( ), ,n a b c=

um vetor normal a π . Quando uma ou duas das componentes de n são nulas, ou quando d = 0, está-se em presença de casos particulares.

2.2.1 Planos que Passam pela Origem

Se o plano ax + by + cz + d = 0 passa pela origem: a.0 + b.0 + c.0 + d = 0 isto é: d = 0

Assim, a equação: ax + by + cz = 0 representa a equação de um plano que passa pela origem.

2.2.2 Planos Paralelos aos Eixos Coordenados

Se apenas uma das componentes do vetor ( ), ,n a b c=

é nula, o vetor é ortogonal a um dos eixos coordenados, e, portanto, o plano π é paralelo ao mesmo eixo:

I) Se a = 0, ( )0, , //n b c Ox Oxπ= ⊥ ∴

e a equação geral dos planos paralelos ao eixo Ox é: by + cz + d = 0

( ) ( ) ( )0 1. 3 3. 2 4. 1 03 6 4 0 7

ax by cz d dd d

+ + + = ⇒ − + + + =

− + + + = ⇒ = −

TÓPICO 2 | O PLANO

211

Exemplo 8: Plano de equação 2y + 3z – 6 = 0

Observemos que suas interseções com os eixos Ou e Oz são A1 (0,3,0) e A2 (0,0,2), respectivamente, e que nenhum ponto da forma P (x,0,0) satisfaz a equação. Um vetor normal ao plano é ( )0,2,3n =

.

De forma análoga, podemos concluir:

II) Os planos paralelos ao eixo Oy têm a equação da forma: ax + cz + d = 0

Exemplo 9: π 1: x + z – 3 = 0

III) Os planos paralelos ao eixo Oz têm a equação da forma: ax + by + d = 0

Exemplo 10: π 2: x + 2y – 4 = 0

212


2.2.3 Planos Paralelos aos Planos Coordenados

Se duas componentes do vetor normal n = (a,b,c) são nulas, n é colinear a um dos vetores ( ) ( ) ( )1,0,0 0,1,0 0,0,1i ou j ou k= = =

, e, portanto, o plano π é paralelo ao plano dos outros dois vetores:

I) Se a = b = 0, ( ) ( )0,0, 0,0,1 / /n c c ck xOyπ= = = ∴

e a equação geral dos

planos paralelos ao plano xOy é: 0 dcz d ou zc

+ = = −

Os planos cujas equações são da forma z = k são paralelos ao plano xOy.

Exemplo 11: Plano de equação z = 4.

II) Os planos paralelos ao plano xOz têm por equação: y = k.

Exemplo 12: π 1: y = 3

TÓPICO 2 | O PLANO

213

III) Os planos paralelos ao plano yOz têm por equação: x = k.

Exemplo 13: π 2: x = 2

3 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO

Seja ( )0 0 0, ,A x y z um ponto de um plano ( ) ( )1 1 1 2 2 2 , , , ,eu a b c ev a b cπ = =

dois vetores não colineares. Um ponto P (x,y,z) pertence ao plano π que passa por A e é paralelo aos vetores u ev

se, e somente se, existirem números reais h e t tais que: AP hu tv= +

Em coordenadas, temos: ( ) ( ) ( )0 0 0 1 1 1 2 2 2, , , , , ,x x y y z z h a b c t a b c− − − = +

214


Ou: 0 1 2

0 1 2

0 1 2

Equações Paramétricas do Plano.x x a h a ty y b h b tz z c h c t

= + + = + + ⇒ = + +

Exemplo 14: Determinar as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A (2,1,3) e é paralelo aos vetores ( ) ( )3, 3,1 2,1, 2u ev= − − = −

.

Resolução: Neste exemplo já temos destacados o ponto e os vetores necessários para a formação da equação paramétrica do plano. Desta forma, basta substituir estas coordenadas na forma paramétrica:

Exemplo 15: Escrever as equações paramétricas do plano determinado pelos pontos A (5,7,-2), B (8,2,-3) e C (1,2,4).

Resolução: Para a determinação da equação paramétrica do plano, devemos, inicialmente, determinar dois vetores pertencentes (ou paralelos) ao plano para que eles sejam os coeficientes dos parâmetros h e t.

Tomaremos, por fim, o ponto A como referência para a construção da equação paramétrica (poderia ser qualquer outro ponto pertencente ao plano).

4 ÂNGULO ENTRE DOIS PLANOS

Sejam os planos, π 1: a1x + b1y + c1z + d1 = 0 e π 2: a2x + b2y + c2z + d2 = 0.

Então, ( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 2, , , ,n a b c en a b c= =

são vetores normais a π 1 e π 2, respectivamente.

2 3 2 1 3

3 2

x h ty h tz h t

= − + = − + = + −

( ) ( )( )( ) ( )

8 5,2 7, 3 2 3, 5, 5

1 5,2 7,4 2 4, 5,6

AB B A

AC C A

= − = − − − − = − −

= − = − − − − = − −

5 3 4 7 5 5

2 5 6

x h ty h tz t

= + − = − − = − − +

TÓPICO 2 | O PLANO

215

Chama-se ângulo de dois planos π 1 e π 2 o menor ângulo que um vetor normal de π 1 forma com um vetor normal de π 2. Sendo θ este ângulo, tem-se:

ou, em coordenadas: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

cos a a b b c c

a b c a b cθ + +

=+ + ⋅ + +

Exemplo 16: Determinar o ângulo formado entre os planos π1: 2x –y –4z– 6 = 0 e π2: x + y + 2z -3 = 0.

Resolução: Para cada um dos ângulos indicados tomaremos seu vetor normal, pois o ângulo formado por seus vetores normais é o mesmo ângulo formado pelos planos.

Plano π1 = (2,-1,-4)Plano π2 = (1,1,2)

Agora, basta utilizar a relação dada acima para a determinação do cosseno do ângulo formado entre os planos:

Com o auxílio de uma calculadora, podemos aferir que o ângulo formado entre os ângulos é: ( )1cos 0,62 128,32θ −= − ≅ °

1 2

1 2

cos n nn n

θ ⋅=

⋅

( ) ( )1 2

22 21 2

2.1 1.1 4.2 2 1 8 7cos 0,6211,2221 62 1 4 ². 1² 1 2²

n nn n

θ ⋅ − − − − −= = = = = −

⋅ ⋅+ − + − + +

216


5 CONDIÇÃO DE PARALELISMO E PERPENDICULARISMO ENTRE DOIS PLANOS

Sejam os planos:π 1: a1x + b1y + c1z + d1 = 0 e π 2: a2x + b2y + c2z + d2 = 0. Então, ( ) ( )1 1 1 1 1 2 2 2 2 2, , , , n a b c en a b cπ π= ⊥ = ⊥

.

As condições de paralelismo e de perpendicularismo de dois planos são as mesmas de seus respectivos vetores normais, isto é:

I) Se 1 1 11 2 1 2

2 2 2

/ / , / / a b cn na b c

π π ∴ = =

II) Se 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2, 0n n a a b b c cπ π⊥ ⊥ ∴ + + =

TÓPICO 2 | O PLANO

217

Exemplo 17: Calcular os valores de m e n para que o plano π1: (2m – 1)x –2y + nz –3 = 0 seja paralelo ao plano π2: 4x + 4y – z = 0.

Resolução: Como verificamos nas orientações deste tópico, para que os planos sejam paralelos, devemos respeitar a relação entre as coordenadas dos vetores normais aos planos, conforme segue:

Realizando a análise das equações dos planos, podemos notar que os vetores normais são:

Plano π1: n1 = (2m - 1, -2, n)Plano π2: n2 = (4, 4, -1)

Substituindo na relação citada: 2 1 24 4 1

m n− −= =

−

Temos que:

E ainda,

6 ÂNGULO DE UMA RETA COM UM PLANO

Seja uma reta r com a direção do vetor v e um plano π, sendo n um vetor normal a π.

1 1 1

2 2 2

a b ca b c

= =

( )4. 2 1 2.48 4 8

4 18 2

mm

m

− = −

− = −

= − = −

4 22 14 2

n

n

=

= =

218


O ângulo φ da reta r com o plano π é o complemento do ângulo θ que a reta r forma com uma reta normal ao plano.

Tendo em vista que 2πθ φ+ = e, portanto, cos θ = sen φ , vem:

Exemplo 18: Determine o ângulo formado pelo plano x + y – z – 2 = 0 e a

reta 2 2

: 13 2

x tr y t

z t

= + = − + = −

Resolução: Para realizar a determinação do ângulo entre a reta e o plano, iremos determinar o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano. Este procedimento será feito apenas por análise das equações.

Agora, utilizando a relação descrita acima:

Com o auxílio de uma calculadora, podemos aferir que o ângulo formado entre os ângulos é: ( )1 0,96 74,21senθ −= ≅ °

7 CONDIÇÃO DE PARALELISMO E PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO

Para a reta r e o plano π, temos:

I) Se / / , r v nπ ⊥

. O paralelismo de r e π implica a ortogonalidade dos vetores v en

.

v nsenv n

φ ⋅=

⋅

( ) ( )2,1, 2 1,1, 1 v e n= − = −

( )( ) ( )2 2 2 2

2.1 1.1 2. 1 2 1 2 5 0,965,1969 32 1 2 ² 1 1 1 ²

v nsenv n

φ+ − −⋅ + +

= = = = =⋅ ⋅+ + − ⋅ + + −

TÓPICO 2 | O PLANO

219

II) Se r/ / , r v nπ ⊥

π, / / , r v nπ ⊥

/// / , r v nπ ⊥

. O perpendicularismo de r e π implica o paralelismo dos vetores v en

.

8 INTERSEÇÃO ENTRE DOIS PLANOS

Do mesmo modo que já tratamos a intersecção entre duas retas, no Tópico 1, podemos também estender este conceito para a intersecção entre dois planos. Neste ponto, como já estamos avançados nos conceitos básicos de retas e planos, iremos aprender o conceito através do exemplo diretamente.

Exemplo 19: Consideremos os planos não paralelos

Sabemos que a interseção de dois planos não paralelos é uma reta r cujas equações se deseja determinar. Uma reta está determinada quando se conhece dois de seus pontos ou um ponto e um vetor diretor da mesma. Um ponto pertence à reta interseção se suas coordenadas satisfazem simultaneamente a equação dos dois planos, isto é, ele constitui uma solução do sistema.

O sistema é indeterminado e, em termos de x, sua solução é:

Estas são as equações reduzidas da reta interseção dos planos π1 e π2, sendo os pontos desta interseção da forma: (x,y,z) = (x, -2x-3, -9x-13).

1 2: 5 2 7 0 : 3 3 4 0x y z e x y zπ π− + + = − + + =

5 2 7 03 3 4 0

x y zx y z

− + + = − + + =

2 39 13

y xz x

= − − = − −

220


9 INTERSEÇÃO DE RETA COM PLANO

Exemplo 20: Determinar o ponto de interseção da reta 2 3

: 3 4

y xr

z x= +

= − com o

plano π: 3x + 5y – 2z – 9 = 0.

Resolução: A reta dada, como podemos verificar, possui as coordenadas y e z, em função de x. Desta forma, basta substituir estas relações nas coordenadas y e z, do plano referido no exemplo:

Agora que já conhecemos a coordenada x da intersecção entre a reta e o plano, podemos substituir nas equações reduzidas da reta para determinar y e z:

Concluindo assim que o ponto de intersecção possui coordenadas (-2,-1,-10).

( ) ( )3 5. 2 3 2. 3 4 9 03 10 15 6 8 9 0

7 14 014 27

x x xx x x

x

x

+ + − − − =

+ + − + − =+ =

= − = −

( )( )

2. 2 3 12 33. 2 4 103 4

yy xzz x

= − + = −= + ⇒ = − − = −= −

Caso a questão não informe a você as equações reduzidas da reta, você deve determiná-las, conforme aprendeu no Tópico 1 desta unidade.

ATENCAO

9.1 INTERSEÇÃO DE PLANO COM OS EIXOS E PLANOS COORDENADOS

Seja o plano π: 2x + 3y + z – 6 = 0

a) Interseção com os eixos

I) Se y = z = 0, 2x – 6 = 0 ∴ x = 3 e A1 (3,0,0) é a interseção do plano π com o eixo dos x.II) Se x = z = 0, 3y – 6 = 0 ∴ y = 2 e A2 (0,2,0) é a interseção do plano π com o eixo dos y.III) Se x = y = 0, z – 6 = 0 ∴ z = 6 e A3 (0,0,6) é a interseção do plano π com o eixo dos z.

TÓPICO 2 | O PLANO

221

b) Interseção com os planos coordenados

I) Se x = 0, 3y + z – 6 = 0, a reta 1

0:

3 6x

rz y

= = − +

é a interseção de π com o plano yOz.

II) Se y = 0, 2x + z – 6 = 0, a reta 2

0:

2 6y

rz x

= = − +

é a interseção de π com o plano xOz.

III) Se z = 0, 2x + 3y – 6 = 0, a reta 3

0: 2 2

3

zr

y x

=

= − +

é a interseção de π com o plano xOy.

10 DISTÂNCIAS

Após estudar vários conceitos básicos referente a retas e pontos, sejam eles no plano ou no espaço, iremos começar a compreender como podemos analisar as distâncias de pontos e retas à planos, objeto que será bastante útil em diversas aplicações da Geometria Analítica.

222


O vetor n = (a, b, c) é normal ao plano π e, por conseguinte, o vetor 0AP

tem a mesma direção de n .

A distância d do ponto P0 ao plano π é: ( )0 0,d P APπ =

Observando que o vetor 0AP

é a projeção do vetor 0PP

na direção de n e desenvolvendo a igualdade, podemos escrever:

Exemplo 21: Calcular a distância do ponto P0(-4,2,5) ao plano π: 2x + y + 2z + 8 = 0.

Resolução: Para a determinação desta distância, basta determinar antecipadamente as coordenadas do vetor normal ao plano: n = (2,1,2), o valor d = 8 e o ponto ( )0 4, 2,5P = − .

10.1 DISTÂNCIA DE UM PONTO A UM PLANO

Sejam um ponto P0(x0,y0,z0) e um plano π: ax + by + cz + d = 0.

Seja A o pé perpendicular conduzido por P0 sobre o plano π e P (x,y,z) um ponto qualquer desse plano.

( ) 0 0 00 2 2 2,

ax by cz dd P

a b cπ

+ + +=

+ +

( ) ( ) ( ) ( )0 0 00 2 2 2 2 2 2

2. 4 1. 2 2. 5 8 8 2 10 8,

92 1 212

4 3

unidades de comprimento.

ax by cz dd P

a b cπ

− + + ++ + + − + + += = = =

+ + + +

= =

TÓPICO 2 | O PLANO

223

10.2 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PLANOS

A distância entre dois planos é definida somente quando os planos forem paralelos. Obviamente, pois caso contrário eles teriam um ponto de intersecção.

Dados dois planos π1 e π2 paralelos, a distância d entre eles é a distância de um ponto qualquer de um dos planos ao outro: ( ) ( )1 2 0 2 0 1, , , d d P com Pπ π π π= ∈ ou: ( ) ( )1 2 0 1 0 2, , , d d P com Pπ π π π= ∈ .

Como se vê, a distância entre dois planos paralelos se reduz ao cálculo da distância de um ponto a um plano, visto no item anterior.

Exemplo 22: Calcular a distância entre os planos π1: 2x – 2y + z – 5 = 0 e π2: 4x – 4y + 2z + 14 = 0.

Resolução: Para a resolução deste exemplo devemos levar em conta o fato de que o ponto P0 = (1,-1,1) pertence ao plano π1, pois substituindo suas coordenadas na equação do plano, temos:

Temos ainda que separar o vetor normal n = (4,4,2) e o valor d = 14, referentes ao plano π2.

Agora, falta apenas determinar a distância entre o ponto e o plano, conforme exemplo anterior.

( )( )

2.1 2. 1 1 5 0

0 0 respeita a igualdade

− − + − =

=

( ) ( ) ( ) ( )0 0 00 2 2 2 2 2 2

4. 1 4. 1 2. 1 14 4 4 2 14,

364 4 216

2,66 6

unidades de comprimento.

ax by cz dd P

a b cπ

+ − + ++ + + − + += = = =

+ + + +

= =

Nesta questão, note que o ponto P0 foi determinado propositalmente para

pertencer ao plano 1. Este procedimento é imprescindível para o caso. Lembrando também que você pode determinar outros pontos e, mesmo assim, o resultado dará certo.

ATENCAO

224

Neste tópico, você aprendeu:

• Equação Geral do Plano: 0ax by cz d+ + + =

• Determinação de um Plano o Casos importantes:

1) Passa por um ponto A e é paralelo a dois vetores 1 2 v ev

não colineares. Neste caso: 1 2 n v v= ×

.2) Passa por dois pontos A e B e é paralelo a um vetor v não colinear ao vetor n v AB= ×

. Neste caso: n v AB= ×

.3) Passa por três pontos A, B e C não em linha reta. Neste caso, n AB AC= ×

4) Contém duas retas r1 e r2 concorrentes. Neste caso: 1 2 n v v= ×

, sendo

1 2 v ev

vetores diretores de r1 e r2

5) Contém duas retas r1 e r2 paralelas. Neste caso, 1 1 2 n v A A= ×

, sendo 1 2 v ev

um vetor diretor de r1 (ou r2) e A1 ∈ r1 e A2 ∈ r2

6) Contém uma reta r e um ponto B ∉ r. Neste caso: n v AB= ×

, sendo v um vetor diretor de r e A ∈ r

• Planos paralelos aos eixos:

o by + cz + d = 0 (plano paralelo a Ox) o ax + cz + d = 0 (plano paralelo a Oy) o ax + by + d = 0 (plano paralelo a Oz)

• Planos paralelos aos eixos:

o cz + d = 0 (plano paralelo a xOy) o by + d = 0 (plano paralelo a xOz) o ax + d = 0 (plano paralelo a yOz)

• Equações Paramétricas do Plano 0 1 2

0 1 2

0 1 2

x x a h a ty y b h b tz z c h c t

= + += + += + +

• Ângulo entre dois Planos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

cos a a b b c c

a b c a b cθ + +

=+ + ⋅ + +

RESUMO DO TÓPICO 2

225

• Condição de Paralelismo e Perpendicularismo entre dois planos:

o Paralelismo: Se

1

1

2 1 1 1

2 2 22

, na b ca b cn

π

π∴ = =

o Perpendicularismo: Se 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2, 0n n a a b b c cπ π⊥ ⊥ ∴ + + =

• Ângulo formado por uma reta e um plano: v nsenv n

φ ⋅=

⋅

• Condição de Paralelismo e Perpendicularismo entre reta e plano:

o Paralelismo: Se / / , r v nπ ⊥

. O paralelismo de r e π implica a ortogonalidade dos vetores v en

.o Perpendicularismo: Se / / , r v nπ ⊥

/ / , r v nπ ⊥ / / , r v nπ ⊥

/ / , r v nπ ⊥ / / , r v nπ ⊥

. O perpendicularismo de r e π implica o paralelismo dos vetores v en

.

• Intersecção de um plano com os eixos:

1) Se y = z = 0, 2x – 6 = 0 ∴ x = 3 e A1 (3,0,0) é a interseção do plano π com o eixo dos x.2) Se x = z = 0, 3y – 6 = 0 ∴ y = 2 e A2 (0,2,0) é a interseção do plano π com o eixo dos y.3) Se x = y = 0, z – 6 = 0 ∴ z = 6 e A3 (0,0,6) é a interseção do plano π com o eixo dos z.

• Intersecção de um plano com os planos coordenados:

I) Se x = 0, 3y + z – 6 = 0, a reta 1

0:

3 6x

rz y

= = − +

é a interseção de π com o plano yOz.

II) Se y = 0, 2x + z – 6 = 0, a reta 2

0:

2 6y

rz x

= = − +

é a interseção de π com o plano xOz.

III) Se z = 0, 2x + 3y – 6 = 0, a reta 3

0: 2 2

3

zr

y x

=

= − +

é a interseção de π com o plano xOy.

• Distância de um ponto a um plano: ( ) 0 0 00 2 2 2,

ax by cz dd P

a b cπ

+ + +=

+ +

226

AUTOATIVIDADE

1 Assinale a opção que apresenta a equação geral do plano π que passa pelo ponto A (2,-1,3), sendo n = (3,2,-4) um vetor normal a π.

a) ( ) 3x + 2y – 4z + 8 = 0b) ( ) x + y – z = 0c) ( ) -x – y + z + 8 = 0d) ( ) -3x + y + z + 8 = 0e) ( ) -3x - y + z + 8 = 0

2 Observe o gráfico a seguir:

O gráfico é esboço do plano de equação:

a) ( ) π: 2x + 5y = 0b) ( ) π: 2x + 5y + z - 1 = 0 c) ( ) π: 5x + 2y - 10 = 0 d) ( ) π: 2x + 5y - 1 = 0 e) ( ) π: 5x + 2y = 0

3 Determine m de modo que os planos π1: 2mx + 2y - z = 0 e π2: 3x - my + 2z - 1= 0 sejam perpendiculares. Em seguida, assinale a opção que apresenta este valor:

a) ( ) m = 3/2b) ( ) m = 1/2c) ( ) m = -2d) ( ) m = -3/2e) ( ) m = -1/2

227

4 Uma vez estabelecido que dois planos são concorrentes, podemos determinar a reta de interseção. Sabendo que os planos descritos a seguir são concorrentes, a reta de interseção dos planos é: π1: -x -y + 2z - 4 = 0 e π2: 2x + y - 3z = 0.

a) ( ) 124

y xz x

= − = −

b) ( ) 4

y xz x

= = +

c) ( ) 4

y xz x

= = −

d) ( ) { 4z x= −

e) ( ) 4

y xz x

= − = −

229

TÓPICO 3

CÔNICAS

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃO

A geometria é um dos ramos mais antigos da matemática, seus princípios baseiam-se nos estudos do ponto, da reta e do plano, e estes estão fundamentados em axiomas, postulados, definições e teoremas, compilados pelo filósofo e matemático grego Euclides, por volta do ano 300 a.C.

Nesta unidade, nosso foco de estudos é uma área ainda mais específica da geometria, a geometria analítica. E, neste tópico, aprofundaremos seus conhecimentos sobre a circunferência, a parábola, a elipse e a hipérbole, também conhecidas como cônicas.

Cada cônica é uma superfície gerada pela interseção de um plano secante com uma superfície cônica, conforme mostra a figura a seguir:

FIGURA 14 - SEÇÕES CÔNICAS

CIRCUNFERÊNCIA

FONTE: Os autores

2 CIRCUNFERÊNCIA

Santos e Ferreira (2009, p. 63) definem circunferência como “o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo é constante”. Esse ponto fixo é denominado centro da circunferência (C). Sendo que se denomina raio (R) a medida da distância de qualquer ponto da circunferência (A, B, ..., P) ao centro (C) e essa distância (raio) é sempre constante.


230

Em que CA CB CD r= = = (raio da circunferência)

Observando a figura anterior, verificamos que a circunferência possui o centro com coordenadas C(h, k), o ponto qualquer com coordenadas P(x, y). Para estabelecer a fórmula da equação da circunferência, vamos utilizar a fórmula da distância de dois pontos (vista no tópico anterior), o centro (C) da circunferência e o ponto P, ou seja, o raio da circunferência.

Elevando ambos os lados da equação ao quadrado, temos:

Resolvendo a raiz elevada ao quadrado, teremos:

Como a distância entre o centro (C) e o ponto P é a medida do raio da

circunferência, vamos substituir ,²C PD por R², logo, teremos ² ( )² ( )²R x h y k= − + − .

, ( )² ( )²C PD x h y k= − + −

,( )² ( ( )² ( )² )²C PD x h y k= − + −

,² ( )² ( )²C PD x h y k= − + −

Essa é a fórmula para equação da circunferência, ou seja, a expressão (x – h)² + (y – k)² = R².

ATENCAO

Exemplo 1: Determine a equação da circunferência com centro C (1, 2) e raio 2, e faça a representação geométrica.

Solução: Temos o centro da circunferência com as coordenadas h = 1 e k = 2 e a medida do raio da circunferência, R = 2.

TÓPICO 3 | CÔNICAS

231

Substituindo os valores das coordenadas e do raio:

(x – h)² + (y – k)² = R²(x – 1)² + (y – 2)² = 2²(x – 1)² + (y – 2)² = 4

Assim, a equação da circunferência com centro C (1, 2) e raio 2, é: (x – 1)² + (y – 2)² = 4.

Representação Geométrica

Exemplo 2: Determine a equação da circunferência com centro no ponto C (2, 3) e que passa pelo ponto A (1, 1). Apresente a representação geométrica.

Solução: Temos as coordenadas do centro da circunferência C (2, 3), h = 2 e k = 3, e as coordenadas do ponto A (1, 1), x = 1 e y = 1. Inicialmente, precisamos determinar a medida do raio da circunferência.

Substituindo os valores das coordenadas do centro e do ponto da circunferência na equação genérica, temos:

(x – h)² + (y – k)² = R²(1 – 2)² + (1 – 3)² = R²( – 1)² + ( – 2)² = R²

1 + 4 = R²R² = 5R = √5


232

Agora basta substituir, na equação genérica da circunferência, as coordenadas de centro e o raio.

(x – h)² + (y – k)² = R²(x – 2)² + (y – 3)² = (√5)²

Assim, a equação da circunferência com centro C (2, 3) e raio √5, é: (x – 2)² + (y – 3)² = 5.


Exemplo 3: Determine o centro e o raio da circunferência de equação (x + 6)² + (y - 1)² = 9 e represente geometricamente.

Solução: Temos a fórmula da equação da circunferência igual a (x – h)² + (y – k)² = R², logo, as coordenadas do centro da circunferência são h = - 6 e k = 1, C(- 6, 1)

e a medida do raio da circunferência será: R² = 9, R = 9 3= .



233

Exemplo 4: Qual é a equação da circunferência de centro C (-3, 4) que é tangente ao eixo dos y?

Solução: A circunferência está afastada da origem de quatro unidades no sentido positivo de y. O raio, portanto, vale 4.

Equação reduzida é (x + 3)² + (y – 4)² = 4², temos (x + 3)² + (y – 4)² = 16.

2.1 EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA

Para encontrarmos a Equação geral da circunferência é simples, devemos resolver os produtos notáveis (quadrados) da equação da circunferência.

A equação ( ) ( )2 2 2x h y k R− + − = é conhecida como equação reduzida da circunferência, desenvolvendo os quadrados, teremos:

Com o objetivo de simplificar a equação, considerando: 2hα = − , 2kβ = − e

2 2 2h k Rγ = + − , temos a equação geral da circunferência: 2 2 0x y x yα β γ+ + + + = .

Exemplo 5: Determine a equação geral da circunferência de centro C (3,2) e raio R = 6, represente geometricamente.

( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 22 2 0

x h y k R

x hx h y ky k Rx y hx ky h k R

− + − =

− + + − + =

+ − − + + − =


234

Solução: Temos o centro da circunferência com as coordenadas h = 3 e k = 2 e a medida do raio da circunferência R = 6, substituindo na equação reduzida da circunferência teremos:

( ) ( )2 2 23 2 6x y− + − =

Resolvendo as potências, obtemos: 2 26 9 4 4 36 0x x y y− + + − + − =

Reduzindo os termos semelhantes: 2 2 6 4 23 0x y x y+ − − − = , essa é a equação geral da circunferência de centro C (3,2) e raio R = 6.


Exemplo 6: Determine o centro e o raio da circunferência de equação x ² + y² - 6x - 4y - 36 = 0 e a representação geométrica.

Solução: Temos a fórmula 2 2 2 2 22 2 0x y hx ky h k R+ − − + + − = , comparando com a equação da circunferência temos:

x ² + y ² - 2hx –2ky + h² + k² - R² = 0

x ² + y ² - 6x - 4y - 36 = 0

Logo, h será -2h = - 6, portanto h = 3 e k será, -2k = - 4, logo k = 2, então o centro da circunferência é C(3, 2) e a medida do raio (R) será: + h² + k² - R ² = -36

+ 3² + 2² - R ² = -36+ 9 + 4 - R ² = -36

- R ² = -36 -13- R ² = - 49

R ² = 49

R = 49 7=


235


2.2 RECONHECENDO UMA EQUAÇÃO DE CIRCUNFERÊNCIA

Acadêmico, é importante salientar que qualquer circunferência pode ser representada por uma equação da forma 2 2 0x y x yα β γ+ + + + = , porém não é toda equação dessa forma que representa uma circunferência.

Temos as seguintes restrições para 2 2 2R h k γ= + − :

Será uma circunferência se:

( )

2 20 02

2 2

a

os coeficientes de x e y forem iguais

o centro é C a, b com a - e b -2 2

R ou b γ

α β

> + − > = =

Será um ponto se: 2 0, ,2 2

2R 0 ou h é o próprio centro Ck α βγ = + − = − −

Será um conjunto vazio se: { 20 02h R ou k γ< + − < , a equação não será satisfeita por nenhum ponto do plano.

Exemplo 7: Verificar se a equação x² + y² - 6x - 8y + 49 = 0 representa o gráfico de uma circunferência.


236

Solução: como a fórmula da equação geral da circunferência é 2 2 0x y x yα β γ+ + + + = , vamos verificar se a equação x ² + y ² - 6x - 8y + 49 = 0

atende às restrições:

Caso não atenda a uma das restrições é porque não é a equação de uma circunferência.

1º Passo: Vamos verificar a primeira restrição: 2 20 02hR ou k γ> + − > , para isso precisamos encontrar o valor das

coordenadas do centro de a e b.

2 2 0x y x yα β γ+ + + + =

x² + y² - 6x - 8y + 49 = 0, logo 2hα = −-6 e 8β = − ,

como h - e k -2 2α β

= = , então:

Substituindo em 2

2

04 49 0

16 49 024 0

2

2

h39

k γ+ − >

+ − >+ − >

− >

, saberemos se R> 0, logo:

2º Passo: como R² é negativo, a equação fornecida não representa uma circunferência e não tem representação geométrica.

Exemplo 8: Verifique se a equação x² + 2y² - 14x + 9y - 17 = 0 pode ser considerada uma equação da circunferência.

Solução: É preciso verificar todas as condições, mas nesse caso pela segunda restrição (os coeficientes de x² e y² forem iguais) já identificamos que não é uma equação de circunferência, pois x² = 1 e de y² = 2, logo, são diferentes.

Exemplo 9: Determine se a equação - x² - y ² + 8x + - 7 = 0 pode ser considerada uma equação da circunferência.

( )

2 20 02

2 2

h

os coeficientes de x e y forem iguais

o centro é C h, k com h - e k -2 2

R ou k γ

α β

> + − > = =

( 6) ( 8)

3 4

h - e k -2 2

h e k

− −= =

= =


237

Solução: Vamos verificar se a equação - x ² - y ² + 8x - 7 = 0 atende às restrições:

1º Passo: Vamos verificar a primeira restrição: 2 20 02hR ou k γ> + − > , para isso precisamos encontrar o valor das coordenadas do centro, de h e k.

Substituindo em 2 02h k γ+ − > , saberemos se R> 0, logo:

2º Passo: como R² = 9 = 3, ou seja, R é positivo, a equação fornecida representa uma circunferência.

3º Passo: vamos verificar a segunda restrição, que refere-se ao coeficiente de x² e y² serem iguais, e nessa equação - x² - y² + 8x + - 7 = 0 são iguais, ou seja, x² = y² = -1. Portanto, por essa restrição também a equação fornecida representa uma circunferência.

4º Passo: vamos verificar na terceira restrição se o centro é C (h,k) com

( )o centro é C h, k com h - e k -2 2α β

= = , para provar a primeira restrição já verificamos a terceira, em que

C (4,0). Portanto, por essa restrição também a equação fornecida representa uma circunferência.

Assim, é possível concluir que a equação - x² - y² + 8x + - 7 = 0 é de uma circunferência, vamos confirmar com a representação geométrica.

2 2

²

0

8² 8 7

( 8) 0

4

7 ,

0

0 logo, e h - e k, como: -2 2

h - e k -2 2

h e

k

x y x

x y x yα β γα βα γ+

+ + + + =

= − = − =− − = =

−= =

= =

20 7 016 7 0

9 0

24 + − >− >

>


238

3 PARÁBOLA

Você já reparou nas antenas parabólicas? Estas eram um objeto muito comum nas residências. As antenas parabólicas consistem em uma superfície denominada paraboloide, que se origina ao girar a parábola em torno do seu eixo de simetria. Este paraboloide serve para refletir as ondas eletromagnéticas emitidas por satélites, para o foco da parábola, onde encontra-se o aparelho receptor, que as converterá em um sinal que a TV transformará em ondas.

As parábolas também são figuras comuns nos faróis dos carros, nos holofotes, fornos solares, em lanternas e muitos outros objetos do nosso dia a dia. Vamos conhecer mais sobre elas?

Para Santos e Ferreira (2009, p. 64), “parábola é o lugar geométrico dos pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo, denominado foco, e de uma reta fixa, denominada diretriz”.

Observe os elementos de uma parábola!

Elementos da Parábola:

• Foco: é o ponto F.• Diretriz: é a reta d.• Eixo: é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à reta diretriz.• Vértice: é o ponto V de intersecção da parábola com o seu eixo.

Observe que a reta perpendicular à diretriz que contém o vértice e o foco da parábola é o eixo de simetria da parábola e a distância VF , denominada distância


239

focal, é a distância do foco ao vértice (VF = p), em que p é o parâmetro da parábola, isto é, a distância do foco à reta diretriz. Assim, a distância do foco ao vértice é igual à distância do vértice à diretriz.

Acadêmico, como você já estudou anteriormente, a parábola pode apresentar a concavidade voltada para cima e para baixo. Agora, verá que ela também pode ter a concavidade voltada para esquerda e para direita. Isso reflete diretamente na sua equação, fique atento!

3.1 EQUAÇÕES DA PARÁBOLA

Como já vimos anteriormente, podemos ter diversos tipos de parábolas, iremos apresentá-las a você, porém, para o processo de demonstração iremos utilizar o caso da parábola com vértice em (h, k) e sua concavidade voltada para o sentido positivo de Ox.

Demonstração: Inicialmente, iremos considerar o vértice da parábola como sendo o ponto V (0,0) para facilitar os cálculos. Devemos ainda imaginar uma reta d diretriz (fixa) e um ponto F (foco). Passando por F, devemos traçar uma reta paralela ao eixo X, que obviamente será perpendicular à diretriz. Um elemento importante é o fato de que temos a distância de F a diretriz d igual a 2p, ou seja:

( ) ( ), 2 2 ,d F d p d V F= = ⋅ .

Logo, temos que as coordenadas de F são F = (p,0) e a equação da diretriz é x = -p.


240

Considerando um ponto P (x,y), tal que a distância PF = PM (o ponto M está sobre a diretriz, projetado perpendicularmente). Logo, pela distância entre dois pontos e distância entre ponto e reta:

Elevando os dois membros ao quadrado vem: 2 2 2 22 2 ²x xp p y x xp p− + + = + +2 2 2 22 2 ²x xp p y x xp p− + + = + + .

E, cancelando os termos opostos temos: 2 4y px=Estendendo para a parábola com vértice em qualquer ponto (h,k) temos:

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

1. 0.0

1 01. 0.

01 0

PF PMx y p

x p y

x y px p y

=

+ +− + − =

++ +

− + − =+

Equação reduzida da Parábola

( ) ( )2 4 .− = −y k p x h

As outras relações (bem como suas demonstrações) para o estudo da parábola são bastante similares, adequando-se à concavidade esperada e sua direção com relação aos eixos. O quadro a seguir resume estes casos.

QUADRO 1 - REPRESENTAÇÃO DAS EQUAÇÕES DA PARÁBOLA

TIPO DE PARÁBOLA EQUAÇÃO EXEMPLO

Côncava para a direção positiva de Ox

Côncava para a direção negativa de Ox

( ) ( )2 4 .− = −y k p x h

( ) ( )2 4 .− = − −y k p x h


241

Côncava para a direção positiva de Ou

Côncava para a direção negativa de Oy

( ) ( )2 4 .− = −x h p y k

( ) ( )2 4 .− = − −x h p y k

FONTE: Os autores

Note que a alteração fica em torno do valor p, da coordenada que possui grau 2 e também da colocação das coordenadas do vértice (h ,k)

UNI

Exemplo 10: Dadas as equações das parábolas y2 = 4x e x2 = 6y, determinar as coordenadas dos vértices, dos focos e as equações das diretrizes.

Resolução:

• No caso de y2 = 4x usaremos os fatos:

o Côncava para a direção positiva de Ox (y - k)2 = 4p . (x - h) o As coordenadas de foco são F = (p, 0) o As coordenadas do vértice (h, k) o A equação da diretriz é x = -p

Como h = 0, h = k e p = 1. Logo V(0,0), F(1,0)e reta diretriz x = -1.

• No caso de x2 = 6y usaremos os fatos:

o Côncava para a direção negativa de Oy (x - h)2 = -4p . (y - k) o As coordenadas de foco são F = (p, 0) o As coordenadas do vértice (h, k) o A equação da diretriz é y = -p

Como h = 0, k = 0 e p = 32

− . Logo V(0,0), F( 32

− ,0)e reta diretriz y = 32

− .


242

Exemplo 11: Sejam as parábolas y2 - 8y -4x + 20 = 0 e x2 - 4x -8y + 12 = 0 dadas na sua forma geral. Determine suas formas reduzidas, e indique as coordenadas do foco, do vértice e a equação da reta diretriz.

Resolução:

• Na primeira parábola: y2 - 8y -4x + 20 = 0

Devemos completar o quadrado em y, logo:

y2 - 8y -4x + 20 = 0

(y - 4)2 = 4x - 20 +16

(16 aparece no completamento do quadrado)

(y - 4)2 = 4x - 4

(y - 4)2 = 4(x - 1)

Como h=1,k=4 e p=1. Logo,V(1,4).

No caso do foco e da reta diretriz, devemos identificar que a parábola tem concavidade voltada para a direita e como o parâmetro é igual a 1, temos o foco descolocado 1 unidade para a direita do vértice e a reta diretriz 1 unidade para a esquerda do vértice. Portanto:

F(2,4) e x = 0 (perceba que a mudança é no eixo x)

• Na segunda parábola: x2 - 4x -8y + 12 = 0

Devemos completar o quadrado em x, logo:

x2 - 4x -8y + 12 = 0

(x - 2)2 = 8y - 12 + 4

(4 aparece no completamento do quadrado)

(x - 2)2 = 8y - 8

(x - 2)2 = 8(y - 1)

Como h = 2, k = 1 e p = 2. Logo,V(2,1).

Com pensamento análogo a anterior, devemos notar que é uma parábola com concavidade voltada para cima e tanto o foco quanto a reta diretriz estarão distantes 2 unidades (parâmetro). Isto implicará na mudança da coordenada do y do vértice. Portanto: F(2,3) e y = -1


243

Como podemos notar, trata-se de uma parábola com concavidade voltada para cima, pois a reta diretriz está abaixo do foco. Pelo ponto y = 4 do foco identificamos que a reta diretriz está a 2 unidades de distância, logo o p = 1 e V(2,3). Portanto, substituindo as informações temos que a parábola é: (x - 2)2 = 8(y - 3).

4 ELIPSE

Quando observamos a forma geométrica da elipse, podemos imaginar que não haverá processos práticos onde ela descreve tal situação. Porém, muitas das coisas que conhecemos até hoje só foram possíveis de serem estudadas através do estudo das elipses. Por exemplo:

• Estudo das trajetórias de estrelas, na astronomia.• Estudo dos movimentos e inércia dos corpos.• Aplicação nas estruturas de correntes elétricas estacionárias.• Dentre outras.

Iremos, agora, mostrar a você, caro acadêmico, as principais características das elipses.

Definição: Uma elipse, de focos definidos em F1 e F2 é um conjunto de pontos do plano que possui soma das distâncias a F1 e F2, que é igual a uma constante 2a > 0, maior que a distância entre os focos d(F1,F2) = 2c.

Exemplo 12: Obter a equação da parábola cujo foco é F(2,4) e a equação de sua diretriz é y =2.

Resolução:Visão geométrica:


244

Podemos ainda definir que:

• A reta l que contém os focos é chamada de reta focal.• A intersecção da elipse com a reta focal l delimita dois pontos A1 e A2 chamados

de vértices da elipse.• O segmento A1A2 é chamado de eixo focal (eixo maior) da elipse e possui

comprimento 2a.• O ponto médio C do eixo focal A1A2 é o centro da elipse. Este ponto em especial

também é o ponto médio do segmento F1F2.• A reta m que passa por C (perpendicular a l, é claro!) é a reta não focal.• A reta não focal intercepta a elipse em dois pontos B1 e B2, chamados de vértices

da elipse sobre o eixo não focal.• O segmento B1 B2 é chamado de eixo não focal (eixo menor) e possui comprimento 2b.

Devemos notar também que em uma elipse as distâncias a, b e c respeitam o Teorema de Pitágoras, conforme a seguir: (temos que para as demais posições o pensamento é análogo).

Logo, a2 = b2 + c2


245

4.1 EQUAÇÕES DA ELIPSE

Assim como já verificamos no caso da equação da parábola, existem algumas posições relativas para determinarmos a equação de uma elipse. Por exemplo, a disposição do eixo maior (eixo focal) da elipse interfere em sua equação representativa. Para demonstrar a equação da elipse, iremos utilizar o caso em que a reta focal coincide com o eixo X, e o centro (h, k) é a origem, para a facilitação dos cálculos.

Demonstração: Temos que na situação apresentada acima F1 = (-c,0), F2 = (c,0), A1 = (-a,0), A2 = (a,0), B1 = (-b,0), B2 = (b,0). Pela definição da elipse, para que um ponto P(x,y) pertença à elipse, temos que:

( ) ( )

( ) ( )1 2

2 22 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

4 2 2 2 2 2

, , 2

2

2 2 2

2 2 2

2 4 4 2 2

4 4 4 2

2

2 .

d P F d P F a

x c y x c y a

x xc c y x xc c y a

x xc c y a x xc c y

x xc c y a a x xc c y x xc c y

xc a a x xc c y

a cx a x xc c y

a a cx c x a x

+ =

⇔ + + + − + =

⇔ + + + + − + + =

⇔ + + + = − − + +

⇔ + + + = − − + + + − + +

⇔ = − − + +

⇔ − = − + +

⇔ − + = ( )( ) ( )

2 2

2 2 2 2 2 2 2

2

²

xc c y

a c x a y a a c

− + +

⇔ − + = −

Com a relação ( )2 2 2 2 2 2a b c b a c= + ⇒ = − . Logo, 2 2 2² ² ²b x a y a b+ =

Dividindo ambos os membros por 2 2 0.a b > Temos, 2

2

² 1²

x ya b

+ = .

Estendendo para a elipse com centro em qualquer ponto (h,k) temos:

Equação reduzida da Elipse

( ) ( )² ²1

² ²− −

+ =x h y k

a b

Porém, existe também o caso onde a elipse possui seu eixo maior na direção do eixo Y, logo iremos apresentar a você as possibilidades.


246

QUADRO 2 - REPRESENTAÇÃO DAS EQUAÇÕES DA ELIPSE

TIPO DE ELIPSE EQUAÇÃO EXEMPLO

Eixo maior na direção de Ox

Eixo maior na direção de Oy

( ) ( )² ²1

² ²− −

+ =x h y k

a b

( ) ( )² ²1

² ²− −

+ =y k x h

a b

FONTE: Os autores

Excentricidade da elipse

A excentricidade da elipse é um número: cea

=

Que será do intervalo 0 < e < 1, pois pela definição de elipse

cea

= > ce

a=

. Esta excentricidade, no caso da elipse, “mede” o grau de “achatamento” da elipse com relação a uma circunferência.

IMPORTANTE

Exemplo 13: Dadas as elipses de equações:

² ² ² ²1 19 4 25 4x y y xe+ = + =

Determine as coordenadas dos focos, vértices e do centro.

Resolução:

• Na primeira situação: ² ² 19 4x y

+ =

Temos que o centro está em C (0,0), pois não há nada no quadrado de y e x. Para determinar os focos, devemos encontrar o valor de c pelo Teorema de Pitágoras. Como a2 = 9 e b2 = 4, logo:

9 4 ²

5

c

c

= +

=


247

Sabendo que C (0,0) e que os focos distam

9 4 ²

5

c

c

= +

= do centro (eixo x neste caso), logo ( )1 5,0F e ( )2 5,0F − . Para os vértices, estes estão distantes a do centro, como a2 = 9 então a = 9, logo A1 (3,0) e A2 (-3,0).

• Na segunda situação:

Temos que o centro está também em C (0,0) pois não há nada no quadrado de y e x. Para determinar os focos, devemos encontrar o valor de c pelo Teorema de Pitágoras. Como a2 = 25 e b2 = 4, logo:

Sabendo que C (0,0) e que os focos distam ( )1 0, 21F do centro (eixo y neste caso), logo ( )1 0, 21F e ( )2 0, 21F − . Para os vértices, estes estão distantes a do centro, como a2 = 25, então, a = 5, logo A1 (0,5) e A2 (0,-5).

Exemplo 14: Seja a elipse de equação 7x2 + 16y2 - 28x - 128y - 92 = 0, determinar:

a) A equação na forma reduzida.b) As coordenadas dos focos e dos vértices e de seu centro.d) O esboço do gráfico.c) Sua excentricidade.

Resposta: a) Completando os quadrados de x e y, acompanhe:

2 2

125 4y x

+ =

25 4 ²

21

c

c

= +

=

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

7 16 28 128 92 07 28 16 128 92 0

7 4 16 8 92

7 2 16 4 92 4 16

7 2 16 4 112

7 2 16 4 112112 112 112

2 41

16 7

x y x yx x y y

x x y y

x y

x y

x y

x y

+ − − − =

− + − − =

− + − =

− + − = + +

− + − =

− −+ =

− −+ =


248

b) No caso do centro basta pegar as correspondências de h e k, logo C(2,4). Para determinar os focos devemos encontrar o valor de c pelo Teorema de Pitágoras. Como a2 = 16 e b2 = 7, logo:

Sabendo que C(2,4) e que os focos distam 3 do centro (eixo x neste caso), logo F1(5,4) e F2(-1,4). Para os vértices, estes estão distantes a do centro, como a2 = 16 então a = 4, logo A1 (6,4) e A2 (-2,4).

c)

d) 3 0,754

cea

= = =

Exemplo 15: Os focos da elipse são os pontos (2,0) e (-2,0) e a sua excentricidade tem valor 2/3. Determine a equação da elipse.

Resolução: Como os focos estão com as coordenadas de y fixadas e percebendo que as de x estão distantes em 4 unidades, logo c = 4 e o centro está em C(0,0). Sabendo que:

Temos ainda que determinar o valor de b2. Usaremos o Teorema de Pitágoras:

62 = b2 + 42

b2 = 20

Logo, substituindo os dados na equação reduzida da elipse, temos:

16 7 ²3

cc= +

=

2 4 63

ce aa a

= ⇒ = ⇒ =

2 2

136 20x y

+ =


249

5 HIPÉRBOLE

A hipérbole é uma das cônicas mais interessantes. Não apenas pelo seu formato geométrico, que é o mais “excêntrico” de todos, mas pelas suas aplicações peculiares. Podemos destacar, por exemplo, sua aplicação nos sistemas de longa navegação, no que diz respeito à comunicação através de sinais de rádio. O sistema LORAN (long range navigation) e o sistema DECCA, como de navegação aérea, como são conhecidos, usam a hipérbole como base de funcionamento. Da Terra, concomitantemente são transmitidos sinais de rádio de dois pontos fixos F1 e F2 que são captados pelo aeroplano em P, ao longo de t1 e t2 segundos, respectivamente. A diferença entre t1 e t2 determina 2ª e assim obtém a característica da hipérbole na qual está P.

De acordo com Silva (2010), igualmente na navegação marítima utilizam-se sistemas hiperbólicos: O sistema RADUX (de baixíssima frequência) e o sistema LORAC (de ondas contínuas para observações de grande precisão).

Visto a grande importância deste estudo, vamos agora conhecer os principais elementos e características da hipérbole.

Definição: Uma hipérbole, de focos definidos em F1 e F2 é um conjunto de pontos do plano que possuem módulo da diferença das distâncias a F1 e F2 igual a uma constante 2a > 0, menor que a distância entre os focos d(F1,F2) = 2c. Na primeira ilustração temos a visão da construção da hipérbole por sua definição e na segunda os seus elementos.

Podemos ainda definir que:

• A reta l que contém os focos é chamada de reta focal.• A intersecção da hipérbole com a reta focal l delimita dois pontos A1 e A2

chamados de vértices da hipérbole.


250

• O segmento A1A2 é chamado de eixo focal (eixo maior) da elipse e possui comprimento 2a.

• O ponto médio C do eixo focal A1A2 é o centro da hipérbole. Este ponto em especial também é o ponto médio do segmento F1F2.

• A reta m que passa por C (perpendicular a l, é claro!) é a reta não focal. • A reta não focal não intercepta a hipérbole em dois pontos B1 e B2, que neste

caso são chamados de vértices imaginários da hipérbole.• O segmento B1B2 é chamado de eixo imaginário (eixo menor) e possui

comprimento 2b. • As retas s e r são denominadas assíntotas da hipérbole. Elas passam pelo centro

da hipérbole e tangenciam os dois ramos da hipérbole num ponto impróprio situado no infinito.

Devemos notar também que em uma hipérbole, as distâncias a, b e c respeitam o Teorema de Pitágoras, conforme a seguir: (temos que para as demais posições o pensamento é análogo).

Logo, c2 = a2 + b2

5.1 EQUAÇÕES DA HIPÉRBOLE

Demonstração:

Por definição temos que: ( ) ( )1 2, , 2d P F d P F a− =

Utilizando as coordenadas temos:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2

2 22 2

0 0 2

2

x c y x c y a

x c y x c y a

+ + − − − + − =

+ + = − + +


251

Elevando ao quadrado ambos os lados:

Dividindo todos por 4 e posteriormente elevando ao quadrado ambos os lados:

Como 2 2 2 2 2 ²c a b b c a= + ⇒ = − , logo:

Dividindo ambos os lados por a2 b2, temos:

Quando o centro estiver fora da origem, a demonstração é análoga e sua equação será:

( ) ( ) ( )

( )

( )

2 2 22 2 2 2

22 2 2 2 2 2 2

2 2

4 4

2 2 4 4

4 4 ² 4

x c y x c y a x c y a

x cx c y x cx c a a x c y

cx a a x c y

+ + = − + + − + +

+ + + = − + + + − +

− = − +

( ) ( )

( )

( )

2 22 2

22 2 2 4 2 2

2 2 2 4 2 2 2 2 2 2

2 2 4 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 4

2 2 2 2 2 2 2

²

2 ²

2 2 ²²

²

( ) ²

cx a a x c y

c x a cx a a x c a y

c x a cx a a x a cx a c a yc x a a x a c a yc x a x a y a c a

c a x a y a c a

− = − +

− + = − +

− + = − + +

+ = + +

− − = +

− − = +

2 2 2 2 2 2b x a y a b− =

( ) ( )² ²1

² ²− −

− =x h y k

a b

2 2

2 1²

x ya b

− =

Porém, existe também o caso onde a elipse possui seu eixo maior na direção do eixo Y, logo iremos apresentar a você as possibilidades.

Equação reduzida da Hipérbole


252

QUADRO 3 - REPRESENTAÇÃO DAS EQUAÇÕES DA HIPÉRBOLE

TIPO DE HIPÉRBOLE EQUAÇÃO EXEMPLO

Eixo maior na direção de Ox

Eixo maior na direção de Oy

FONTE: Os autores

( ) ( )² ²1

² ²x h y k

a b− −

− =

( ) ( )² ²1

² ²y k x h

a b− −

− =

Excentricidade da elipse

A excentricidade da elipse é um número: cea

=

Que será do intervalo cea

= > 1, pois pela definição de elipse

cea

= < ce

a=

. Esta excentricidade, no caso da hipérbole, “mede” o grau de “abertura das folhas da hipérbole”.

IMPORTANTE

Exemplo 16: Determine os vértices, os focos e a excentricidade da hipérbole 4x² - 8x – 9y² - 36y = 68, e faça a representação geométrica.

Resolução: Vamos reescrever a equação dada para obter a sua equação na forma reduzida:

4x ² - 8x – 9y ² - 36y = 68, isolando os polinômios em x e y:(4x ² - 8x) – (9y ² + 36y) = 68, colocando 4 e 9 em evidência:4(x ² - 2x) – 9(y ² + 4y) = 68, completando os quadrados dos polinômios:4(x ² - 2x + 1 - 1) – 9(y ² + 4y + 4 - 4) = 68, juntando os termos semelhantes:4(x ² - 2x+ 1) - 4 – 9(y ² + 4y+ 4) + 36 = 68, escrevendo os quadrados:4(x - 1)² – 9(y + 2)² + 32 = 68, resolvendo:


253

4(x - 1)² – 9(y + 2)² = 68 - 32,4(x - 1)² – 9(y + 2)² = 36, dividindo ambos os membros da igualdade por 36

3636 36 36

9(y 2)² 4(x - 1)² +− = , simplificando

19 4

(y 2)² (x - 1)² +− =

A partir da equação da hipérbole podemos determinar as coordenadas do centro, h e k.

C(h,k)= C(1, -2), a ² = 9, a = 3 e b ² = 4, b = 2.

Conhecendo o valor de A podemos determinar os vértices: (±a, 0)+ (h,k): A1 (4, -2) e A2 (-2, -2)

Conhecendo a e b, podemos encontrar o valor de c:c² = a² + b²c² = 3² + 2²c² = 9 + 4

c² = 13, c = 13 = 3,61

Conhecendo c podemos determinar os focos: (±c, 0)+ (h,k) F1 = (-3,61 +1, -2) e F2 =(+3,61 +1, -2)F1 = (-2,61, -2) e F2 =(4,61, -2)

Para determinar a excentricidade basta dividir c por a:

e =3,61

3ca

= =1,20


254

Exemplo 17: Encontre a equação reduzida da hipérbole que possui focos com coordenadas: F1 (0, -10) F2 (0, 10) e eixo imaginário medindo 10, comprove com a representação geométrica.

Resolução: Temos que o valor de c, F1 (0, -c) = F1 (0, -10), c = 10 e o valor do eixo imaginário, 2b = 10, b = 5.

Utilizando a relação determinamos o valor de a, e encontramos a equação:

c² = a² + b²10² = a² + 5²100 = a² + 25100 - 25 = a²

a² = 75, a = 75

Assim, a equação reduzida da hipérbole será dada por:

² ² 125 75y x

− =

² ² 15² ( 75)²y x

− =

² ² 1² ²

y xb a

− =

Exemplo 17: Determine o centro, os vértices, os focos, os eixos de simetria e represente geometricamente a hipérbole de equação: x² - 4y² + 6x + 24y - 31 = 0.


255

Resolução: Inicialmente, precisamos escrever a equação em sua forma reduzida.

Centro: (-3,3)Medida do eixo real: 2.a = 4Medida do eixo imaginário: 2.b = 2

[ ] [ ]

² 6 4 ² 24 31( ² 6 ) 4( ² 6 ) 31

² 2. .(3) 3² 9 4 ² 2. .( 3) ( 3)² 36 31( 3)² 9 4( 3)² 36 31( 3)² 4( 3)² 31 36 9

( 3)² 4( 3)² 44 4 4

( 3)² ( 3)² 14 1

x x y yx x y y

x x y yx yx y

x y

x y

+ − − =+ − − =

+ + − − + − + − + =

+ − − − + =+ − − = − +

+ −− =

+ −− =

Distância focal = 2.c = 2 . 2,24 = 4,47

Focos: (- 5,24; 3) e (-0,76; 3)

² ²² 4 1

52,24

c a bc

cc

= += +

=≅


256


AS SEÇÕES CÔNICAS NA ENGENHARIA CIVIL

Fernando Henrique EspíndolaJoão Mário Andrade Pinto

As características físicas das curvas cônicas aparecem em diversos tipos de obras de engenharia civil, como pontes, viadutos e túneis, como solução estrutural e/ou estética.

Um exemplo teórico

Um exemplo clássico da aplicação das curvas cônicas na engenharia é descrito a seguir:

A Figura 15 mostra um túnel hipotético de duas pistas com uma seção transversal que é uma parábola. A altura H do túnel é de 7 m e sua largura na base é de L =20√7 m. Pretende-se saber a que altura h deverá estar a pista 2 de modo que ela tenha l = 40 m de largura.

Para solucionar o problema é necessário encontrar a equação da parábola, e para isto é preciso posicionar no esquema um sistema de referência (plano cartesiano). Se o plano cartesiano for posicionado com sua origem no topo do túnel, onde está o vértice da parábola, então obter-se-á sua equação reduzida.


257

A Figura 16 mostra o sistema cartesiano posicionado de tal maneira que a equação reduzida da parábola tenha a forma genérica x² = – 4py. Para determinar a equação específica da parábola do túnel, basta substituir na equação genérica o ponto A (10√7,−7), que é um ponto conhecido da curva (seção do túnel):

(10√7)² = – 4p(–7) 700 = 28p p = 25

Desta maneira obtém-se p = 25 e então a equação específica da parábola será x² = – 4(25)y ou x² = – 100y, substituindo o ponto B(20, y) na equação da parábola, vem:

20² = – 100y 400 = – 100y y = – 4

A ordenada do ponto B é – 4, então podemos concluir que a altura h da pista 2 será:

h = 7 – 4 h = 3m

Exemplos reais na Engenharia


258

Na Figura 17 vê-se a Catedral de Brasília. As estruturas de concreto são arcos de parábolas que têm funções estrutural e também estética.

As torres de refrigeração de uma usina nuclear, como as mostradas na Figura 18, geralmente são estruturas em formato de hiperboloide de uma folha gerado pela rotação de uma hipérbole em torno de um de seus eixos (Figura 19). Podemos mostrar que o hiperboloide de uma folha gerada pela rotação de uma hipérbole em torno do seu eixo transverso é também gerado por uma reta, ou seja, ele pode ser considerado como sendo formado por uma união de retas (superfície regrada). Assim, seu formato é usado na construção de centrais de energia atômica, onde barras de aço retilíneas (que têm alta resistência) se cruzam para obter estruturas extremamente fortes (SATO, 2005).

FONTE: Disponível em <http://www.fumec.br/revistas/construindo/article/viewFile/1714/1084>. Acesso em: 29 mar. 2017.

259


• A equação da circunferência pode ser estudada das seguintes maneiras:

x2 + y2 = R2 - Com centro na origem(x - h)2 + (y - k)2 = R2- Com centro em (h,k)

• A equação da parábola pode ser estudada das seguintes maneiras:

y2 = 4px – Com vértice na origem na direção de OXy2 = 4py – Com vértice na origem na direção de OY

(y - k)2 = 4p . (x - h) – Com centro em (h,k) e direção de OX(x - h)2 = 4p . (y - k) - Com centro em (h,k) e direção de OY

• A equação da elipse pode ser estudada das seguintes maneiras:

• A equação da hipérbole pode ser estudada das seguintes maneiras:

RESUMO DO TÓPICO 3

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2

2

2

² 1²² 1²

² ²1

² ²² ²

1² ²

Com centro na origem e direção de OX.

Com centro na origem e direção de OY.

Com centro em h,k e direção de OX.

Com centro em h,k e direção de OY.

x ya by xa bx h y k

a by k x h

a b

+ = −

+ = −

− −+ = −

− −+ = −

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2

2

2

² 1²² 1²

² ²1

² ²² ²

1² ²

Com centro na origem e direção de OX.

Com centro na origem e direção de OY.

Com centro em h,k e direção de OX.

Com centro em h,k e direção de OY.

x ya by xa bx h y k

a by k x h

a b

− = −

− = −

− −− = −

− −− = −

260

AUTOATIVIDADE

Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado no Tópico 3. Lápis, papel, régua e calculadora em mãos!

1 No estudo da Geometria Analítica, deparamo-nos com seções cônicas: a hipérbole, a elipse, a circunferência e a parábola, que são curvas geradas pela intersecção de um cone circular reto de duas folhas com um plano. A parábola é a cônica definida na intersecção de um plano que penetra de forma oblíqua a superfície de um cone e também pode ser conceituada como a curva plana definida como o conjunto dos pontos que são equidistantes do foco e de uma reta diretriz e foi fortemente divulgada pelo matemático Pierre de Fermat (1601-1655). Desta forma, determine a equação da parábola que apresenta foco em F(2, 3) e equação diretriz y = -1.

a) ( ) x2 – 4x – 8y + 12 = 0.b) ( ) y2 – 4y – 8x + 12 = 0.c) ( ) x2 + 4x + 8y + 12 = 0.d) ( ) y2 + 4y + 8x + 12 = 0.

2 Uma das aplicações das cônicas é na construção de faróis parabólicos, da seguinte maneira: girando-se uma parábola em torno de seu eixo obtemos uma superfície denominada paraboloide circular reto. O farol parabólico é obtido seccionando-se essa superfície por um plano perpendicular ao seu eixo. Quando a fonte de luz é colocada sobre o foco do farol parabólico, todos os raios luminosos se refletem paralelamente ao seu eixo. Assim, pela propriedade da reflexão, a lâmpada deve ser posicionada sobre o foco. Sabendo que um farol parabólico apresenta a equação x2 = 12y, determine a que distância, sobre o eixo, a lâmpada deverá ser posicionada.

a) ( ) A lâmpada deverá ser posicionada, sobre o eixo, a 3 cm do vértice.b) ( ) A lâmpada deverá ser posicionada, sobre o eixo, a 6 cm do vértice.c) ( ) A lâmpada deverá ser posicionada, sobre o eixo, a 12 cm do vértice.d) ( ) A lâmpada deverá ser posicionada, o vértice da parábola.

3 O raio de uma circunferência com centro no ponto C = (2, 1) e que passa pelo ponto P = (6, 4) é:

a) ( ) 5b) ( ) 12,5c) ( ) 16d) ( ) 25

261

4 A parábola é uma seção cônica gerada pela interseção de uma superfície cônica e um plano. Uma parábola também pode ser definida como o conjunto dos pontos que são equidistantes de um ponto dado (chamado de foco) e de uma reta diretriz. Desta forma, determine as coordenadas de vértice e de foco da equação y2 + 4y + 16x – 44 = 0.

Assinale a alternativa correta:

a) ( ) V(3, -2) e F(-1, -2)b) ( ) V(-2, 3) e F(-2, -1)c) ( ) V(2, 3) e F(1, 2)d) ( ) V(3, 2) e F (2, 1)

5 Cônicas são curvas geradas nas intersecções entre um plano que atravessa um cone. Classificam-se em: circunferência, elipse, parábola e hipérbole. A hipérbole é definida pelo conjunto de pontos, tais que o módulo das distâncias (2a) a dois pontos fixos (F1 e F2) seja menor que a distância (2c) entre os pontos (0 < 2a < 2c). A esses pontos fixos chamamos de focos e a constante (2c) é o comprimento do eixo real, isto é, o eixo que contém os focos. Utilizando os conceitos que permeiam este conteúdo, determine os focos e os vértices da hipérbole de equação 16x2- 9y2 – 144 = 0.

a) ( ) Focos: F1(5,0) e F2(-5,0). Vértices A1(3,0) e A2(-3,0).b) ( ) Focos: F1(0, 5) e F2(0, -5). Vértices A1(3,0) e A2(-3,0).c) ( ) Focos: F1(5,0) e F2(-5,0). Vértices A1(0, 3) e A2(0, -3).d) ( ) Focos: F1(0, 5) e F2(0, -5). Vértices A1(0, 3) e A2(0, -3).

6 Considere as equações apresentadas na coluna da esquerda e os nomes das curvas planas descritas na coluna da direita.

Associe a 2ª coluna com a 1ª coluna.

I) ² ² 14 3x y

+ =

II) 14 9x y

+ =

III) ² 14 9x y

+ =

IV) ² ² 1

4 3y x

− =

V) ² ² 19 9x y

+ =

( ) Elipse

( ) Hipérbole

( ) Reta

( ) Circunferência

( ) Parábola

262

A associação que relaciona corretamente a equação ao tipo de curva plana na sequência de cima para baixo, é:

a) ( ) I, IV, II, V e IIIb) ( ) I, V, III, IV e IIc) ( ) II, III, V, I e IVe) ( ) IV, II, V, I e III

7 Determine o centro da elipse de equação: 4x2 + 9y2 – 8x – 36y + 4 = 0

a) ( ) C (2,1)b) ( ) C (9,4)c) ( ) C (-1, -2)d) ( ) C (1,2)

8 A representação gráfica de uma circunferência é dada por um modelo quadrático. Para determiná-lo é necessário conhecer as coordenadas do centro da circunferência e o comprimento do seu raio. Neste caso, encontre a equação geral da circunferência, cujo centro é (-2, 4) e que passa pela origem do sistema cartesiano, e assinale a alternativa CORRETA:

I) x2 + y2 + 10x + 8y = 0II) x2 + y2 + 4x + 8y = 0III) x2 + y2 + 4x + 6y - 13 = 0IV) x2 - y2 + 10x + 8y = 0

a) ( ) Somente a alternativa I está correta.b) ( ) Somente a alternativa II está correta.c) ( ) Somente a alternativa III está correta.d) ( ) Somente a alternativa IV está correta.

263

REFERÊNCIAS

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geometria analítica e Álgebra vetorial

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