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LGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICA (UFCG-CUIT)

PLANOS PAR ALEL OS A OS EI X OS E A OS P LAN OS COOR DEN ADOS

Casos Particulares

A equao dczbyax na qual a, b e c no so nulos, a equao de um plano ),,( , anormalvetorumcbavsendo . Quando uma ou duas das componentes de v so nulas, ou quando d = 0 teremos os casos particulares.

Plano que Passa pela Origem Se o plano dczbyax passa pela origem: 0 ,0.0.0. distodcba

Assim a equao: 0 czbyax representa a equao de um plano que passa pela origem.

Planos Paralelos aos Eixos Coordenados Se apenas uma das componentes do vetor ),,( cbav nula, o vetor ortogonal a um dos eixos coordenados, e, portanto, o plano paralelo ao mesmo eixo:

I. Se xcbva 0//),,0(,0 e a equao geral dos planos paralelos ao eixo 0x : .dczby

A figura mostra o plano de equao: .0632 zy

Observemos que suas interseces com os eixos 0y e 0z so A1 (0,3,0) e A2 (0,0,2), respectivamente, e que nenhum ponto da forma P(x,0,0) satisfaz a equao. Um vetor normal ao plano ),3,2,0(v pois a equao de pode ser escrita na forma:

.06320 zyx

LGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICA (UFCG-CUIT) Com raciocnio anlogo, vamos concluir que:

II. Os planos paralelos ao eixo 0y tm equao da forma: ;dczax III. Os planos paralelos ao eixo Oz tm equao da forma: .dbyax

Da anlise feita sobre este caso particular, conclui-se que a varivel ausente na equao indica que o plano paralelo ao eixo desta varivel.

As figuras seguintes mostram os planos ,42: 3: 21 yxezx

Observaes: a) A equao 042 yx , como vimos, representa no espao 3

um plano paralelo ao eixo 0z. Porm, esta mesma equao, interpretada no plano 2 , representa uma reta.

b) Se na equao 0 ,0 byaxequaoadfizemosdbyax representa um plano que passa pela origem e, portanto, contm o eixo 0z.

Planos Paralelos aos Planos Coordenados Se duas das componentes do vetor normal ),,( cbav so nulas, v colinear a um

dos vetores )1,0,0( )0,1,0( )0,0,1(

koujoui ,e, portanto, o plano paralelo ao plano dos outros dois vetores:

I) Se yxkcccvba 0//)1,0,0(),0,0(,0

e a equao geral dos planos

paralelos ao plano x0y : . :,0 ,cdzvemccomodcz

Os planos cujas equaes so da forma z = k so paralelos ao plano x0y.

A figura abaixo mostra o plano de equao z = 4.

LGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICA (UFCG-CUIT)

A equao z = 4 pode tambm ser apresentada sob a forma 0400 zyx na qual

vemos que qualquer ponto do tipo A (x,y,4) satisfaz esta equao e )1,0,0(

k um vetor normal ao plano.

Assim sendo, o plano paralelo ao plano x0y e que passa pelo ponto A(x1,y1,z1) tem por equao: z = z1.

Por exemplo, o plano que passa pelo ponto A(-1,2,-3) e paralelo ao plano x0y tem por equao: z = -3.

Com raciocnio anlogo, vamos concluir que:

II) Os planos paralelos ao plano x0z tm por equao: y = k; III) Os planos paralelos ao plano y0z tm por equao: x = k. As figuras abaixo mostram os planos 2: ; 3: 21 xy respectivamente

Exemplos: 1) Determinar uma equao cartesiana do plano paralelo ao eixo y e que contm os pontos A(2,1,0) e B(0,2,1).

LGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICA (UFCG-CUIT) 2) Determinar a equao do plano paralelo ao plano yz e que contem o ponto A(3,4,-1).

EQUAES PARAMTRICAS DA RETA

Seja r a reta que contm o ponto A(x0,y0,z0) e paralela ao vetor v = (a, b, c).

Um ponto P(x,y,z) pertence a reta r se, e somente se,

Da,

E assim,

Equaes Paramtricas da Reta

Exemplo: Obtenha as equaes paramtricas da reta r que contem o ponto A(3,-1,2) e paralela ao vetor v=(-3,-2,-1).

Reta Definida por Dois Pontos

A reta definida pelos pontos A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2) a reta que passa por A(ou B) e tem a direo do vetor .

Exemplo: Obtenha a equao da reta definida pelos pontos A(1,-2,-3) e B(3,1,-4).

Interseo de Planos

A interseco de dois planos no paralelos uma reta. O nosso problema ser determinar a equao que define esta reta.

Sejam 1 e 2 planos no paralelos. Para determinar a reta interseco de 1 e 2 resolveremos o sistema composto por suas equaes.

Exemplo: Determinar a equao da reta interseco dos planos 0725:1 zyx e 0433:2 zyx .

Soluo: Montamos o seguinte sistema:

04330725

zyxzyx

LGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICA (UFCG-CUIT) O sistema acima indeterminado, ou seja, possuem infinitos valores para x, y e z que atendem simultaneamente as duas equaes. Isso bastante claro quando entendemos que a interseco de dois planos uma reta e esta tem infinitos pontos.

Para obtermos a equao da reta que representa os infinitos pontos de interseco entre os dois planos procuramos escrever duas das variveis em funo de uma 3 varivel, que chamamos de varivel livre.

Como fazer:

ambos. de somaa efetuamos seguidaem e 1- por equaes das uma ndomultiplicaz varivel a oseliminarem

zyx

zyx

0433

0725

y) caso (no variveis das uma isolamosyx

zyxzyx

032

04330725

32 xy

Agora substitumos 32 xy na primeira ou na segunda equao do primeiro sistema.

Substituindo 32 xy na equao 0725 zyx , teremos:

07645

073225

zxx

zxx

Agora isolando z, teremos:

139 xz

Logo os pontos de interseo so da forma

As equaes paramtricas so

Interseo de Reta com Plano

A interseco entre uma reta r e um plano um ponto, que chamaremos de I. Para determinar as coordenadas do ponto I resolvemos o sistema composto pelas equaes da reta r e pela equao do plano .

LGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICA (UFCG-CUIT) Exemplo: Determinar o ponto de interseco da reta

com o plano 09253: zyx .

Soluo:

Se I (x, y, z) ponto de interseco de r e , ento suas coordenadas devem verificar as equaes do sistema formado pelas equaes de r e de :

Resolve-se este sistema substituindo x, y e z na equao 09253 zyx e assim encontramos t, t=-2 . Logo x = -2, y = -1 e z = -10.

Portanto I (-2, -1, -10)

Interseo de Retas

Duas retas no espao podem ser paralelas, concorrentes ou reversas. Se seus vetores diretores so paralelos, ento as retas so paralelas, caso contrrio so concorrentes ou reversas.

Exemplo: Verifique se so paralelas, concorrentes ou reversas:

Distncia de um Ponto a um Plano

Sejam um ponto P(x0,y0, z0 ) e um plano 0: dczbyax , definimos a distncia entre P e por

LGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICA (UFCG-CUIT) Exemplo: Calcule a distncia do ponto P(-4,2,5) ao plano .

Distncia de um Ponto a uma Reta

Seja r uma reta definida por um ponto e pelo vetor diretor

e seja um ponto qualquer do espao. Os vetores determinam um paralelogramo cuja altura corresponde a distncia que pretendemos calcular.

Sabemos que a rea do paralelogramo

Mas pela interpretao geomtrica do produto vetorial, temos

Logo

E Portanto,

Exemplo: Encontre a distncia do ponto a reta

Distncia entre Retas Reversas

Consideremos duas retas r e s reversas: a reta r definida por um ponto e pelo vetor diretor e a reta s definida por e

pelo vetor diretor . A distncia entre elas dada por

Exemplo: Calcular a distncia entre as retas