Análise Vetorial

Prof Daniel Silveira

Introdução

Objetivo� Revisão de conceitos de análise vetorial

� A análise vetorial facilita a descrição matemática das equações encontradas no eletromagnetismo

Vetores e Álgebra Vetorial

EscalaresVetores� Álgebra vetorial

� Bi-dimensionais� Tri-dimensionais� N-dimensionais

Quatro operações� Soma de vetores� Produto por escalar� Produto escalar� Produto vetorial

Vetores e Álgebra Vetorial

Adição de vetores

Ar

Br

BArr

+BArr

+Ar

Br

Regra do paralelogramo

� Adição é comutativa

ABBArrrr

+=+

� Adição é associativa

( ) ( ) CBACBArrrrrr

++=++

Vetores e Álgebra Vetorial

Subtração de vetores

Ar

Br

BArr

−

Basta inverter o sentido do segundo vetor e somar

( )BABArrrr

−+=−

Vetores e Álgebra Vetorial

Multiplicação por escalar

Ar

Multiplica o módulo e pode alterar o sentido, mas não altera direção

Ar

2 Ar

2−

( )( ) ( ) ( ) BsAsBrArBAsBArBAsrrrrrrrrrrr

+++=+++=++

• Divisão por escalar = Multiplicação pelo inverso do escalar

Sistemas de Coordenadas Cartesianas

Método mais simples para descrever um vetorSistema tri-dimensional� Três eixos formando ângulos retos entre si (x, y e z)� Um ponto é dado pelo valor constante de x, y e z

(coordenadas escalares)� Um vetor é dado pela soma de suas componentes ao longo

dos 3 eixos coordenados

x

z

y

)3,2,1(p

x

z

y

rr

xr

yr

zr zyxr

rrrr++=

Vetores unitários

Vetores de módulo unitário na direção de cada eixo e no sentido crescente

Para obter a componente do vetor em cada eixo, basta multiplicar cada vetor unitário por um escalar

x

z

y

zar

xar ya

r

zyx azayaxzyxrrrrrrrr

++=++=

Vetores unitários

Para definir um vetor unitário em qualquer direção, basta dividir cada componente do vetor pelo módulo do mesmo� O vetor unitário na direção de será:

Ex: pontos A(2,-3,1), B(-4,-2,6) e C(1,5,-3)� Vetor AC� Vetor unitário na direção BA� Distância entre B e C� Vetor de A até o ponto médio entre B e C

zyxr ar

za

r

ya

r

x

r

ra

rr

rr

rrr

rr

++==

rar

rr

222zyxr ++=

r

Vetores e Álgebra Vetorial

Produto escalar

Ar

• O resultado do produto é um escalar

Br

• Projeção de um vetor na direção do outro e multiplicação dos módulos

θ

ABBABA θcosrrrr

=⋅

ABBArrrr

⋅=⋅

• Multiplicação do módulo de A na direção de B pelo módulo de B

Vetores e Álgebra Vetorial

Produto escalar utilizando coordenadas retangulares

pois sabemos que

Produtor escalar de um vetor por ele mesmo

zzyyxx aAaAaAArrrr

++=

zzyyxx aBaBaBBrrrr

++=

zzyyxx BABABABA ++=⋅rr

2

0cos AAAAArrrrr

==⋅

0=⋅=⋅=⋅ zyzxyx aaaaaarrrrrr

1=⋅=⋅=⋅ zzyyxx aaaaaarrrrrr

02/cos90cos == πo

10cos =

Vetores e Álgebra Vetorial

Exemplo: A partir dos vetores abaixo determinar

� F · G� O ângulo entre eles� A componente escalar de F na direção de G� A projeção de F na direção de G

zyx aaaFrrrr

452 −−= zyx aaaGrrrr

253 ++=

Vetores e Álgebra Vetorial

Produto vetorial

Ar

• O resultado do produto é um vetor perpendicular ao plano contendo os vetores A e B, cujo sentido segue a regra da mão direita

Br

• O módulo do vetor resultante é numericamente igual à área do paralelogramo definido pelos dois vetores

θ

ABn BAaBA θsenrrrrr

=×

( )ABBArrrr

×−=×

zyx aaarrr

=×

Vetores e Álgebra Vetorial

Produto vetorial utilizando componentes cartesianas

sabemos que

temos

zzyyxx aAaAaAArrrr

++= zzyyxx aBaBaBBrrrr

++=

+×+×+×=× zxzxyxyxxxxx aaBAaaBAaaBABArrrrrrrr

zyx aaarrr

=×

0=×=×=× zzyyxx aaaaaarrrrrr

12/sen90sen == πo

00sen =

+×+×+×+ zyzyyyyyxyxy aaBAaaBAaaBArrrrrr

+×+×+×+ zzzzyzyzxzxz aaBAaaBAaaBArrrrrr

zxy aaarrr

−=×

( ) ( ) ( )zxyyxyzxxzxyzzy aBABAaBABAaBABABArrrrr

−+−+−=×

Vetores e Álgebra Vetorial

Produto vetorial na forma determinante

E1.4) Dado o triângulo abaixo, determine� AB×AC� Área do triângulo� Vetor unitário perpendicular ao plano do triângulo

zyx

zyx

zyx

BBB

AAA

aaa

BA

rrr

rr=×

A(6,-1,2)

B(-2,3,-4)

C(-3,1,5)

Sistemas de coordenadas

Prof Daniel Silveira

Introdução

Objetivo� Revisão de sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas

� Os sistemas facilitam cálculos em problemas que possuem geometria cilíndrica ou esférica

Coordenadas cilíndricas circulares

Um ponto no espaço tridimensional é dado por:� Distância do ponto

ao eixo z (ρ)� Ângulo que ρ faz

com o eixo x (φ)� Altura (z)

Coordenadas cilíndricas circulares

Vetores unitários

� Perpendiculares entre si

� Não são eixos, são funções das coordenadas

� Regra do triedro direito

zaaarrr

,, φρ

zaaarrr

=× φρ

Coordenadas cilíndricas circulares

φρ cos=x

Relação entre coordenadas retangulares e cilíndricas

ou

φρ sen=y

zz =

22yx +=ρ

= −

x

y1tanφ

zz =

Coordenadas cilíndricas circulares

Elemento diferencial de volume� Como ρ e z têm dimensão de comprimento, os elementos

diferenciais são dρ e dz, respectivamente� A componente diferencial na direção de aφ é ρd φ

dzdddV φρρ=

Elemento diferencial de volume

(φ em rad)

Coordenadas cilíndricas circulares

Conversão de componentes escalares entre coordenadas retangulares e cilíndricas� Seja

queremos obter

Para isto, basta projetar o vetor em cada uma das direções das coordenadas cilíndricas

zzyyxx aAaAaAArrrr

++=

zzaAaAaAArrrr

++= φφρρ

ρρρρρ aaAaaAaaAaAA zzyyxx

rrrrrrrr⋅+⋅+⋅=⋅=

φφφφφ aaAaaAaaAaAA zzyyxx

rrrrrrrr⋅+⋅+⋅=⋅=

zzzzyyzxxzz aaAaaAaaAaAArrrrrrrr

⋅+⋅+⋅=⋅=

Coordenadas cilíndricas circulares

Conversão de componentes escalares entre coordenadas retangulares e cilíndricas� Analisando os produtos escalares entre vetores unitários,

podemos resumi-los na seguinte Tabela

� Exemplo 1.3: Encontre para o campo vetorial abaixo

( ) zyx azaxayzyxBrrrr

+−=,,

( )zB ,,φρr

Coordenadas cilíndricas circulares

E1.5) e E1.6)� Dê as coordenadas cartesianas do ponto

� Dê as coordenadas cilíndricas do ponto

� Determine a distância entre C e D

� Transforme para coordenadas cilíndricas

no ponto

no ponto

� Transforme para coordenadas retangulares

no ponto

)2;115;4,4( =−== zCoφρ

)3;6,2;1,3( −==−= zyxD

zyx aaaFrrrr

6810 +−= ( )6,8,10 −P

( ) ( )yx axyayxGrrr

42 −−+= ( )zQ ,,φρ

zaaaHrrrr

31020 +−= φρ( )1,2,5 −P

Coordenadas esféricas

Um ponto no espaço tridimensional é dado por:� Distância do ponto a

origem ( r ) � Ângulo que r faz

com o eixo z (θ)� Ângulo que r faz

com o eixo x (φ)

Coordenadas esféricas

Vetores unitários

� Perpendiculares entre si

� Não são eixos, são funções das coordenadas

� Regra do triedro direito

φθ aaar

rrr,,

φθ aaar

rrr=×

Relação entre coordenadas retangulares e esféricas

ou

Coordenadas esféricas

φθ cossenrx =

φθ sensenry =

θcosrz =

222zyxr ++=

= −

x

y1tanφ

222

1cos

zyx

z

++= −θ ( )πθ ≤≤0

Coordenadas esféricas

Elemento diferencial de volume� Os comprimentos diferenciais nas direções r , θ e φ são, respectivamente,

� Elemento diferencial de volume

φθθ drrddr sen,,

(φ e θ em rad)

φθθ ddrdrdV sen2=

Coordenadas esféricas

Conversão de componentes escalares entre coordenadas retangulares e esféricas� Seja

queremos obter

Para isto, basta projetar o vetor em cada uma das direções das coordenadas esféricas

zzyyxx aAaAaAArrrr

++=

φφθθ aAaAaAA rr

rrrr++=

rzzryyrxxrr aaAaaAaaAaAArrrrrrrr

⋅+⋅+⋅=⋅=

φφφφφ aaAaaAaaAaAA zzyyxx

rrrrrrrr⋅+⋅+⋅=⋅=

θθθθθ aaAaaAaaAaAA zzyyxx

rrrrrrrr⋅+⋅+⋅=⋅=

Coordenadas esféricas

Conversão de componentes escalares entre coordenadas retangulares e esféricas� Analisando os produtos escalares entre vetores unitários,

podemos resumi-los na seguinte Tabela

� Exemplo1.4: Encontre para o campo vetorial abaixo

( ) xay

xzzyxG

rr=,,

( )φθ ,,rGr

Coordenadas esféricas

E1.7)� Dê as coordenadas cartesianas do ponto

� Dê as coordenadas esféricas do ponto

� Determine a distância entre C e D

E1.8)

� a) Transforme para coordenadas esféricas

no ponto

( )oo70;20;5 −=== φθrD

)1;2;3( ==−= zyxC

xaFrr

10= ( )4,2,3−P

Lista de exercícios

Capítulo 1 (Hayt)� 1.1, 1.5, 1.7, 1.11, 1.13, 1.17, 1.19, 1.21, 1.25, 1.27, 1.30