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VIII E P A E M Encontro Paraense de Educação Matemática

Faces da História da Matemática e da Educação Matemática na Amazônia

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08 a 09 de setembro de 2011 Belém – Pará – Brasil

O USO DO SOFTWARE GEOGEBRA EM CÁLCULO

ANÁLISE GRÁFICA DE DERIVADA E INTEGRAL

Eduardo Álvaro Dias da Trindade Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia do Pará - IFPA

[email protected]

Emanuel Tiago Dias Wanghon Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia do Pará - IFPA

[email protected]

RESUMO O objetivo do trabalho constitui no apoio da utilização de softwares no ensino da disciplina Cálculo Difrencial e Integral para analisar o compotamento gráfico das funções e compreender conceitos de Derivada e Integral. A construção de gráficos no papel é possivel até certo ponto para os alunos, depois essas construções ficam difíceis ser repassadas para o papel, sobretudo, a Derivada e Integral que muita das vezes os conceitos não são compreendidos. Para auxiliar na construção gráfica utilizaremos os computadores nas aulas de matemática para desenvolver atividades por meio do software chamado Geogebra. O Geogebra é um software gratuito de matemática dinâmica utilizado em ambiente de sala de aula e foi desenvolvido em 2001 pelo professor Markus Hohenwarter da Universidade de Salzburg na Áustria. Recebeu muitos prêmios internacionais incluindo o prêmio software educacional Alemão e Europeu. O software foi criado a partir de suas funções que oferece construções envolvendo Geometria, Álgebra, Cálculo e outros. Logo, o uso dessa ferramenta pedagógica no desenvolvimento de conteúdos matemáticos nos dias atuais, possibilita o ensino de Cáculo e a prática de atuação docente de forma diferenciada. A partir da utilização desse software pode-se trabalhar Cálculo para construir e analisar as propriedades gráficas existentes compreendendo as definições de Derivada e Integral por meio do seu dinamismo. Palavras chave: Cálculo Diferencial e Integral. Geogebra. Matemática Dinâmica. Computadores.



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1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS

O uso de softwares na educação é uma das tendências para melhorar o ensino

por meio das TIC’s (Tecnologias da Informação e Comunicação), trata-se de

recursos tecnológicos que proporcionam a autonomia e a comunicação de vários

tipos de processos existentes nas atividades profissionais, no ensino, na pesquisa

científica entre outros.

Com utilização das TIC’s, por meio dos computadores nas aulas de

matemática, é possível desenvolver atividades utilizando softwares, no entanto, é

fundamental que os professores tenham conhecimento necessário para aplicá-los.

Este trabalho tem como objetivo apresentar uma alternativa de ensino de Cálculo

Diferencial e Integral para compreender o comportamento gráfico quando utilizamos

derivada e integral por meio do software Geogebra.

O uso dos computadores no ensino da matemática possibilita o uso de

softwares educacionais como o GeoGebra que atendem às expectativas dos alunos

e a realidade do sistema de ensino globalizado. Assim, o professor deve encontrar

estratégias de ensino por meio dessa ferramenta para tornar sua aula mais dinâmica

e interessante para os alunos.

Atualmente, o software matemático em questão é utilizado em ambientes

educacionais de ensino superior auxiliando no processo de aprendizagem do aluno

e na construção de materiais didáticos com qualidade tipográfica em apostilas,

artigos e pôsteres. Esse tipo de recurso auxilia no ensino – aprendizagem

procurando relacionar materiais manipuláveis com o intuito de desenvolver no aluno

capacidades de visualização, análise e raciocínio, essenciais para a atividade

matemática.

O Geogebra é um software gratuito de matemática dinâmica para ser utilizado

em ambiente de sala de aula e foi desenvolvido em 2001 pelo professor Markus

Hohenwarter da Universidade de Salzburg na Áustria. Recebeu muitos prêmios

internacionais incluindo o prêmio software educacional Alemão e Europeu e hoje tem

dado continuidade ao seu trabalho na Universidade da Flórida nos Estados Unidos.



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O software foi criado a partir de suas funções que oferece construções envolvendo

Geometria, Álgebra, Cálculo e Estatística, dentre outros conteúdos pertinentes a

Matemática.

2. REFERENCIAL TEÓRICO

Trabalhando com a matemática elementar podemos lidar com inúmeras de

nossas necessidades mais corriqueiras do dia a dia. A partir de agora, teremos a

oportunidade de dispor de recursos mais sofisticados. O Cálculo, em conjunto com

outras disciplinas, fazem parte do aprendizado da matemática de nível superior, ele

é uma ferramenta de análise, muito utilizada em ciências exatas, esta ferramenta

recebeu o nome cálculo, como forma abreviada da expressão "cálculo infinitesimal".

O cálculo infinitesimal hoje em dia é conhecido como Cálculo Diferencial e

Integral que constituem no estudo da variação das funções, por variações

infinitamente pequenas das grandezas variáveis.

Durante o século XVII o cálculo diferencial e integral já se via como disciplina

independente da geometria e da álgebra. Sua criação surgiu devido os problemas

científicos da época que necessitavam de modelos matemáticos mais rápido e

eficientes. Os problemas enfrentados eram: encontrar a velocidade e aceleração de

um móvel; determinação de tangentes a curvas; cálculo de máximos e mínimos;

encontrar comprimentos, áreas e volumes.

Vários matemáticos na Idade Moderna enfrentaram esses problemas e alguns

deram contribuições significativas para solucioná-los. No entanto, dois se

sobressaíram Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz que deram base no cálculo

de derivadas de funções e a integral de diferenciais.

3. DERIVADA

As funções são criadas para refletir o comportamento de certos fenômenos

entre físicos ou estados de valores, porém existe outro meio para analisar o

comportamento dos números, que não conhecemos; a derivação é um processo que



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se destina a analisar as variações no comportamento de um conjunto de números,

ela é largamente utilizada hoje em dia.

O cálculo diferencial é o estudo da definição, propriedade e aplicações da

derivada ou deslocamento de um gráfico. O processo de encontrar a derivada é

chamado "diferenciação". A derivada é um operador linear, o qual forma uma nova

função a partir da função original, em que cada ponto da nova função é o

deslocamento da função original.

Seja f uma função definida em um intervalo aberto I e x0 um elemento de I.

Chama – se derivada de f no ponto x0 o limite

0

0 )()(lim0 xx

xfxfxx

Notação para derivada: f’(x0); 0xxdx

df

A diferença 0xxx é denominado acréscimo ou incremento da variável x

relativamente ao ponto x0. A diferença )()( 0xfxfy é chamada acréscimo ou

incremento da função f relativamente ao ponto x0. A razão 0

0 )()(xx

xfxfxy

recebe o nome de razão incremental de f relativo ao ponto x0.

A derivada de f no ponto x0. Pode ser indicada das seguintes formas:

i) 0

00

' )()(lim)(0 xx

xfxfxfxx

ii) xyxf

x

00

' lim)(

iii) x

xfxxfxfx

)()(lim)( 00

00'



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4. INTEGRAL

Uma vez que podemos analisar a variação de determinados valores em uma

função, ou seja, se é possível criar uma função a partir de outra utilizando a

diferenciação, o que teríamos se fizéssemos a operação inversa? Esta é uma

questão que nos leva a mais um método do cálculo, a integração é uma forma de

reverter a derivação, com ela temos um artifício para recuperar a função original a

partir da sua derivada.

O cálculo Integral é o estudo das definições, propriedades, e aplicações de dois

conceitos relacionados, as integrais indefinidas e as integrais definidas. O processo

de encontrar o valor de uma integral é chamado integração.

A integral indefinida é a antiderivada, o processo inverso da derivada. F é uma

integral indefinida de f quando f é uma derivada de F. O uso de letras maiúsculas e

minúsculas para uma função e sua integral indefinida é comum em cálculo.

Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um intervalo I (ou

simplesmente uma primitiva de f(x)), se para todo x ∈ I, temos F'(x) = f(x).

Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + c é chamada integral

indefinida da função f(x) e é denotada por

cxFdxxf )()(

Notação para integral: (sinal de integração).

A integral definida insere uma função e extrai um valor numérico de uma

integral definida exatamente em um intervalo é correspondente ao valor da área do

desenho delimitado pela curva da função e o eixo x (abscissas). A definição técnica

da integral definida é o limite da soma das áreas dos retângulos, abordagens

tomadas para solucionar o problema do cálculo de áreas curvas encontrando o

mesmo resultado denominado Somam de Riemann.



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Seja f uma função definida [a, b] e seja P uma partição qualquer de [a, b]. A

integral de f de a até b, denotada por

b

a

dxxf )( ,

É dada por

n

iiixmáx

b

a

xcfdxxfi 10

)(lim)(

5. APLICAÇÃO DO SOFTWARE GEOGEBRA EM CÁLCULO

Agora utilizaremos o software Geogebra para construir os gráficos das funções

e depois analisar o seu comportamento quando usamos derivada e integral. Para

isso mostraremos os comandos necessários para aplicar os conceitos de cálculo.

Conhecendo a face do Geogebra, temos: barras de menus, barras de ferramentas,

zona algébrica, zona gráfica e entrada de comandos.

(Fig.1: tela de apresentação do Geogebra)



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Usando como exemplo 1 o polinômio 332 xx , digitamos essa função no

campo de Entrada de comandos no Geogebra.

Os comandos devem seguir as nomenclaturas abaixo:

i) f(x)=x^2–3*x+3

ii) derivada[f]

iii) integral[f]

(Fig.2: gráfico da derivada e integral)

O software Geogebra proporciona a construção gráfica da derivada e integral,

desse modo, é possível visualizar os novos gráficos partido do conceito do cálculo.

Ao construir um polinômio (i) caracterizado pela cor preta na figura 2, o comando

para determinar qualquer derivada de uma função no Geogebra é (ii) caracterizado

pelo cor verde, enquanto, a o comando para a integral de uma função no Geogebra

é (iii) caracterizado pela cor vermelha.

Assim, encontrando a derivada de um polinômio de grau dois obtemos outro

polinômio de grau menor que dois, ou seja, uma função afim de grau igual a um de



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acordo com a definição da mesma. Partindo desse analise para integral de um

polinômio de grau dois obtemos outro polinômio de grau maior que dois, ou seja, um

polinômio de grau igual a três. O exemplo utilizado é possível construir os gráficos

algebricamente no papel, porém, existem funções que necessita do auxilio do

software para visualizar os gráficos da derivada e integral. A integral que trabalhos

no exemplo 1 foi a integral indefinida, pois não utilizou os intervalos de integração.

Agora no exemplo 2 a função )()( xsenxf usaremos o Geogebra para

determinar a integral definida com os intervalos de integração, nesse caso, os

intervalos serão, 0 < x < 휋. Digitamos essa função no campo de Entrada de

comandos no Geogebra.


i) f(x)=sin(x)

ii) integral[f,0,휋]

(Fig.3: integral definida)



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O software Geogebra trabalha com a integral definida como mostra o exemplo

2, dessa forma, podemos determinar a área de curvas de acordo com os intervalos

de integração. A área da função seno no intervalo 0 < x < 휋 é igual a dois. Se

mudamos a imagem e o intervalo de integração da função consequentemente altera

sua área. Também, podemos usar o limite da soma das áreas dos retângulos,

denominado Somam de Riemann para se trabalhar integral.

No exemplo 3 usaremos a mesma função )()( xsenxf usaremos o

Geogebra para determinar a integral definida com Soma de Riemann com os

intervalos de integração de 0 < x < 휋. Digitamos essa função no campo de Entrada

de comandos no Geogebra.


i) f(x)=sin(x)

ii) n=20 (vá na janela algébrica com o botão direito do mause e escolha

propriedades: seletor em mínimo = 0, Maximo = 20 e incremento = 1)

iii) somainferior[f,0,π,n]

(Fig.4: Soma de Riemann)



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A integral definida usando Soma de Riemann com o software Geogebra

podemos criar o número de retângulos desejados para determinar a área de uma

curva, quanto maior o número de retângulos em uma curva mais próximo da área

chegaremos. Assim, as definições de cálculo conhecido nos livros podem ser

compreendidas por meio desse software conhecendo os gráficos de funções que

apresentam construções algébricas o tanto trabalhosas.

6. CONCLUSÃO O uso do software GeoGebra, pode auxiliar no ensino como na aprendizagem

no Cálculo Diferencial e Integral e a prática de atuação docente de forma

diferenciada. A partir da utilização dessa ferramenta pode se trabalhar conteúdos

para construir e analisar os gráficos de funções aplicando as definições de derivada

e integral por meio do dinamismo do software, assim os alunos podem compreender

a importância desse recurso no ensino da matemática com o avanço das

tecnologias.



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7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] ALMEIDA, Maria Elizabeth B.; MORAN, José Manuel. Integração das Tecnologias

na Educação – salto para o futuro/ Secretaria de Educação a Distância. Brasília:

Ministério da Educação, Seed, 2005. 204 p.; il. [2] ARAÚJO, Luís Lopes de; NÓBRIGA, Jorge Cássio Costa. Aprendendo

Matemática com o Geogebra. São Paulo. Ed. Exato, 2010.

[3] GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo, vol.1 – 5ª Edição. LTC, 2001.

[4] HOWARD, Anton et al. Cálculo, vol 1 – 8ª Edição. Bookman, 2007

[5] IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar: limites, derivadas e

noções de integrais, vol. 8 – 6ª Edição.STEWART, James. Cálculo, vol 1 – 6ª

Edição. Ed. Atual, 2005.

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