aplicações do geogebra

8/3/2019 Aplicaes do Geogebra

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Aplicaes do GeoGebra ao ensino de Matemtica/Imprimir 1

Aplicaes do GeoGebra ao ensino deMatemtica/ImprimirO GeoGebra um software de acesso livre, ( permitido utilizar, copiar e distribuir o aplicativo para fins no

comerciais[1]

) e por isso poder vir a ser um importante aliado dos professores como recurso metodolgico.Conforme ser visto ao longo deste texto, o programa permite uma abordagem mais dinmica para diversos

contedos trabalhados na Educao Bsica (Ensino Fundamental e Mdio), especialmente geometria e funes.

Por meio da construo interativa de "figuras" e "objetos", pode-se tentar melhorar a compreenso dos alunos atravs

da visualizao, percepo dinmica de propriedade, estmulo heurstico descoberta e obteno de concluses

"validadas" durante a experimentao.

O presente trabalho fruto de uma pesquisa, que teve como principal objetivo formular material didtico de apoio ao

professor, apresentando instrues de utilizao do programa na abordagem de contedos matemticos. O uso do

software facilita a compreenso e aprofundamento dos conceitos por parte dos alunos [2] . Pretendemos mostrar que

possvel utiliz-lo como ferramenta que desperte no aluno, de nveis fundamental e mdio, o interesse pela busca do

conhecimento matemtico atravs da dinamicidade presente no GeoGebra.

Notas[1] Especificamente, o aplicativo GeoGebra e seu cdigo fonte podem ser usados e distribudos nos termos da GNU General Public License v2

(acesse o texto completo (http://www. gnu. org/licenses/old-licenses/gpl-2.0.html#SEC1) da licena) ou quaisquer verses posteriores a

sua escolha. Os arquivos de idiomas e documentao esto licenciados sob a licena Creative CommonsAttribution-Share Alike 3.0 (http://

creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/). No entanto, os arquivos de instalao esto sob a licena Creative Commons

Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 3.0 Unported(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/), conforme pode ser

conferido na pgina http://www. geogebra.org/download/license.txt.

[2] Veja, por exemplo, sua aplicao ao ensino do conceito integral na disciplina de Clculo Diferencial e Integral, no trabalho de Barroso et al

(200?).

O GeoGebra possibilita trabalhar de forma dinmica em todos os nveis da Educao Matemtica. A abordagem que

apresentamos est embasada nas exigncias dos Parmetros Curriculares Nacionais (PCN), tanto do Ensino

Fundamental[1] quanto do Ensino mdio, apresentamos a seguir os contedos que sero abordados em cada nvel.

Lembrando que o leque de possibilidades e de aplicaes pode ser ampliado por aqueles que estiverem interessados

em colaborar com o aprimoramento deste texto.

Tpicos do Ensino FundamentalVrios contedos matemticos que esto presentes nos PCN do terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental,

podem ser abordados de forma dinmica em sala de aula ou em um ambiente informtico com a utilizao do

GeoGebra. Eis alguns exemplos: o estudo de figuras planas, permetros, reas, medida de ngulos, os Teoremas deTales e Pitgoras, o Teorema Fundamental da Semelhana, eixos coordenados, planos cartesianos, homotetias e

simetrias.

Tpicos do Ensino MdioDa mesma forma as sugestes para aplicao do software no Ensino Mdio so:

1. No primeiro ano: noes de funes, trigonometria do tringulo retngulo. Geometria plana (semelhana,

congruncia e representaes de figuras planas).

2. No segundo ano: funes trigonomtricas. Trigonometria do tringulo qualquer e da primeira volta.

Comprimentos, permetros e reas,
http://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Especial:Busca/%C3%A1reashttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Especial:Busca/per%C3%ADmetroshttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Especial:Busca/Comprimentoshttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Especial:Busca/Trigonometria_do_tri%C3%A2ngulo_qualquerhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Especial:Busca/fun%C3%A7%C3%B5es_trigonom%C3%A9tricashttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Especial:Busca/representa%C3%A7%C3%B5es_de_figuras_planashttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Especial:Busca/congru%C3%AAncia_de_tri%C3%A2nguloshttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Especial:Busca/semelhan%C3%A7a_de_tri%C3%A2nguloshttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Especial:Busca/Geometria_planahttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Especial:Busca/trigonometria_do_tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulohttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Especial:Busca/fun%C3%A7%C3%B5eshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Special:Search/simetriashttp://pt.wikipedia.org/wiki/Special:Search/homotetiashttp://pt.wikipedia.org/wiki/Special:Search/planos_cartesianoshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Special:Search/eixos_coordenadoshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Special:Search/Teorema_Fundamental_da_Semelhan%E7%A1%80http://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Especial:Busca/Teorema_de_Pit%C3%A1gorashttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Especial:Busca/Teoremas_de_Taleshttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Especial:Busca/Teoremas_de_Taleshttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Especial:Busca/medida_de_%C3%A2nguloshttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Especial:Busca/%C3%A1reashttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Especial:Busca/per%C3%ADmetroshttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Especial:Busca/figuras_planashttp://pt.wikipedia.org/wiki/Special:Search/Ensino_m%E9%A4%A9ohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Special:Search/Ensino_Fundamentalhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Special:Search/Ensino_Fundamentalhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Special:Search/Par%E2%AD%A5tros_Curriculares_Nacionaishttp://pt.wikipedia.org/wiki/Special:Search/Educa%E7%A3%AF_Matem%E1%B4%A9cahttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=../Refer%C3%AAnciashttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=../Refer%C3%AAnciashttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Especial:Busca/C%C3%A1lculo_Diferencial_e_Integralhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Especial:Busca/integralhttp://www.geogebra.org/download/license.txt.http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/http://pt.wikipedia.org/wiki/Special:Search/Creative_Commonshttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/http://pt.wikipedia.org/wiki/Special:Search/Creative_Commonshttp://www.gnu.org/licenses/old-licenses/gpl-2.0.html#SEC1http://pt.wikipedia.org/wiki/GNU_General_Public_Licensehttp://pt.wiktionary.org/wiki/Special:Search/heur%EF%BF%BDicohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Special:Search/fun%E7%B5%A5shttp://pt.wikipedia.org/wiki/Special:Search/geometriahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Special:Search/Ensino_M%E9%A4%A9ohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Special:Search/Ensino_Fundamentalhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Special:Search/Educa%E7%A3%AF_B%E1%B3%A9cahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Special:Search/GeoGebra


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3. No terceiro ano: geometria analtica (representaes do plano cartesiano e equaes; interseo e posies

relativas de figuras planas).

Referncias[1] Consulte os Parmetros Curriculares Nacionais para a Matemtica do Ensino Fundamental acessando o Volume 03 (http://portal.mec.gov.

br/seb/arquivos/pdf/matematica.

pdf) da coleo.

OrigemA verso inicial do programa foi criada no final de 2001[1] , por Markus Hohenwarter[2] [3] , que tem liderado o

desenvolvimento do software desde ento.

O objetivo de dinamizar o estudo da Matemtica, e de maneira a facilitar sua utilizao, pode ser encontrado com

facilidade atravs de mecanismos de busca ou diretamente no endereo: http://www.geogebra. org.

Reunindo Geometria, lgebra e Clculo, o software permite relaes entre suas respectivas janelas, podendo ser

utilizado em diversos nveis de ensino.

Instalao do programa

No Microsoft Windows

Primeiramente, para baixar a ltima verso do software GeoGebra, proceda da seguinte forma:

1. Acesse a pgina oficial do programa: www.geogebra.org;

2. Clique na opoDownloadque fica na coluna esquerda da tela.

3. Clique em:DownloadGeoGebra .

4. Aparecer em parte da tela, a figura 1 deste texto, onde dever selecionar a opo de acordo com o seu sistema

operacional.

5. Ao aparecer a prxima tela, clique em salvar.

6. Crie uma pasta para o GeoGebra, clicando em "nova pasta".

7. D dois cliques na nova pasta para selecion-la, em seguida clique em SALVAR.

Este mdulo tem a seguinte tarefa pendente: Incluir a Ilustrao 1 - Janela de download

1. Aguarde...

2. Ao concluir o donwload, clique em FECHAR.

Uma vez baixado o arquivo de instalao, o procedimento o seguinte:

1. Abra o cone GeoGebra, que dever estar na pasta escolhida.

2. Abra o arquivo GeoGebra, com um clique duplo.

3. Clique em EXECUTAR.

4. Selecione o idioma, e clique no boto OK.

5. Clique em AVANAR.

6. SelecioneAceito os termos do Contrato de Licena (depois de ler, claro!) e clicar no botoAvanarem cada

tela que for aparecendo.

7. Aguarde a instalao...

8. Clique em AVANAR e em seguida em CONCLUDO.

9. Finalmente aparecer a tela do GeoGebra para iniciar o trabalho.

Observao
http://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:Crystal_Clear_app_kaddressbook.pnghttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Especial:Busca/C%C3%A1lculohttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Especial:Busca/%C3%81lgebrahttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Especial:Busca/Geometriahttp://www.geogebra.org./http://pt.wikipedia.org/wiki/Special:Search/mecanismos_de_buscahttp://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdfhttp://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdfhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Especial:Busca/interse%C3%A7%C3%A3o_e_posi%C3%A7%C3%B5es_relativas_de_figuras_planashttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Especial:Busca/interse%C3%A7%C3%A3o_e_posi%C3%A7%C3%B5es_relativas_de_figuras_planashttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Especial:Busca/equa%C3%A7%C3%B5eshttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Especial:Busca/representa%C3%A7%C3%B5es_do_plano_cartesianohttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Especial:Busca/geometria_anal%C3%ADtica


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Caso no consiga executar o programa, ser necessrio baixar a mquina virtual Java, a partir do site http://

www.java.com/getjava.

Reconhecimento do programaVamos ento conhecer a interface do GeoGebra. Ao acessar o programa temos uma janela como a seguinte.

Observamos que a janela inicial est dividida em duas: esquerda a parte algbrica, que pode ser fechada se

necessrio, e direita a parte geomtrica. Para reativar a parte algbrica basta ir ao item exibir do menu e clicar em

"janela de lgebra". Neste mesmo item podemos ativar/desativar os eixos, a malha e o protocolo de construo. Na

tela inicial ainda temos a barra de ferramentas:

Cada cone desta barra tem vrias opes, relacionadas com as funes descritas no desenho do cone. Estas opes

so acessadas clicando na seta do canto inferior direito de cada cone. Exploraremos algumas delas na sequncia,

para conhecermos seus nomes e utilidades. A explorao das ferramentas fundamental para execuo dos

exerccios. Para ativar cada funo na parte geomtrica necessrio primeiro clicar no cone depois na janela

geomtrica, conforme instrues do menu de conversao que est localizado ao lado da barra de ferramentas.

Faremos o detalhamento de apenas um dos cones e apresentaremos na sequncia todas as opes disponveis em

cada cone. Durante a realizao das atividades, teremos oportunidade de explorar a maioria das ferramentas

presentes no programa. Devemos ficar alerta para dois aspectos especiais do programa: o sistema decimal recebe

ponto em vez da vrgula, e a cpia de qualquer figura da tela (para colar no Paint, por exemplo) deve ser feita

selecionando o que queremos e ir em "arquivo", "exportar", "copiar para a rea de transferncia (Ctrl+Shift+C)".
http://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro%3ABarra_de_ferramentas_do_GeoGebra_3.2.30.0.PNGhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro%3ATela_inicial_do_GeoGebra_3.2.30.0.pnghttp://www.java.com/getjava.http://www.java.com/getjava.


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Neste momento iniciaremos a explorao dos cones da barra de ferramentas do GeoGebra:

As opes do cone ponto so as seguintes:

Novo pontoPara cri-lo voc precisa clicar primeiro no cone, e depois na parte geomtrica. O ponto ser carregado na tela

enquanto o boto do mouse no for solto, s depois disso que o ponto ser criado efetivamente. Durante o

movimento, as coordenadas aparecem na parte algbrica, se ela estiver ativada.

Interseo de dois objetosPode ser selecionando dois objetos e os pontos de interseo sero marcados. A outra opo clicar na interseo

dos objetos, mas neste caso somente este ponto ser marcado.

Ponto mdio ou centroPara utilizar esta ferramenta, clique em:

dois pontos para encontrar o ponto mdio;

em um segmento para encontrar seu ponto mdio;

em uma seco cnica para obter seu centro.

Teremos a seguir a apresentao das opes de cada cone:
http://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:GeoGebra_button_midpoint.gifhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:GeoGebra_button_intersect.gifhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:GeoGebra_button_point.gifhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro%3A2%C2%BA_menu_da_barra_de_ferramentas_do_GeoGebra_3.2.30.0.pnghttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro%3A1%C2%BA_menu_da_barra_de_ferramentas_do_GeoGebra_3.2.30.0.png


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Reta definida por dois pontosA partir de dois pontos, clica neste boto e nos pontos dados para construir a reta.

Segmento definido por dois pontosDois pontos marcados determinam as extremidades de um segmento, observe que na janela algbrica aparece sua

medida.

Segmento com dado comprimento a partir de um pontoMarca-se a origem do segmento e digita-se a medida desejada para ele, em uma janela que se abre automaticamente.

Semi-reta definida por dois pontosTraa-se uma semi-reta a partir do primeiro ponto dado, passando pelo segundo.

Vetor definido por dois pontosCria-se dois pontos e traa-se o vetor com origem no primeiro ponto e ponto final no segundo.

Vetor a partir de um ponto

Construdo um vetor, podemos construir um representante deste a partir de um ponto considerado. Para isso,marca-se um ponto (que ser a origem do outro representante de v), seleciona-se esta ferramenta, clica-se sobre o

vetor v j construdo e, depois, sobre o ponto considerado.
http://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:GeoGebra_button_vector_from_point.gifhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:GeoGebra_button_vector.gifhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:GeoGebra_button_ray.gifhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:GeoGebra_button_segment_fixed.gifhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:GeoGebra_button_segment.gifhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:GeoGebra_button_join.gifhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro%3A3%C2%BA_menu_da_barra_de_ferramentas_do_GeoGebra_3.2.30.0.png


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Reta perpendicular

Constri-se uma reta e um ponto fora dela, clica-se na ferramenta e temos uma perpendicular reta passando por talponto. Isso vale para segmento e semi-reta tambm.

Reta paralelaIdem anterior.

MediatrizA partir de um segmento, clica-se nele e na ferramenta e ela vai criar uma perpendicular pelo ponto mdio.

BissetrizMarcando-se trs pontos A, B e C, constri-se a bissetriz do ngulo ABC. Clicando-se sobre as duas linhas

concorrentes, j traadas, constri-se as bissetrizes dos ngulos determinados pelas linhas.

TangentesPodemos constru-las selecionando um cnica c e um ponto A (todas as tangentes a c por A so traadas) ou

selecionando uma linha e uma cnica.

Reta polar ou diametralA reta polar ou diametral a uma cnica pode ser construda selecionando-se um ponto e uma cnica; ou uma linha ou

vetor e uma cnica.

Lugar geomtricoClica-se em um objeto, como ponto e ativa a ferramenta ento podemos conhecer o lugar geomtrico deste objeto.
http://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:GeoGebra_button_locus.gifhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:GeoGebra_button_polar_diameter.gifhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:GeoGebra_button_tangent.gifhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:GeoGebra_button_angular_bisector.gifhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:GeoGebra_button_line_bisector.gifhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:GeoGebra_button_parallel.gifhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:GeoGebra_button_orthogonal.gifhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro%3A4%C2%BA_menu_da_barra_de_ferramentas_do_GeoGebra_3.2.30.0.png


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http://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro%3A6%C2%BA_menu_da_barra_de_ferramentas_do_GeoGebra_3.2.30.0.pnghttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro%3A5%C2%BA_menu_da_barra_de_ferramentas_do_GeoGebra_3.2.30.0.png


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Crculo definido pelo centro e um de seus pontosMarcando-se um ponto A e outro B, marca-se o crculo com centro em A, passando por B.

Crculo dados centro e raioMarca-se o centro A e digita-se a medida desejada para o raio, em uma janela que aparece automaticamente.

Crculo definido por trs pontosMarcam-se trs pontos no colineares, traa-se o crculo que passa por eles.

Semicrculo dados dois pontosMarcando-se dois pontos A e B, traa-se o semicrculo de dimetro AB.

Arco circular dados o centro e dois pontosmarcando-se trs pontos A, B e C, Traa-se o arco circular com centro A, comeando no ponto B e terminando

no ponto C.

Arco circumcircular dados trs pontosEssa ferramenta permite traar um arco circular por trs pontos no colineares.

Setor circular dados o centro e dois pontosMarcando-se trs pontos A, B e C, traa-se o setor circular com centro A, comeando no ponto B e terminando no

ponto C.

Setor circumcircular dados trs pontosMarcando-se trs pontos no colineares, traa-se um setor circular por esses pontos.

Cnica definida por cinco pontosMarcando-se cinco pontos constri-se a cnica que passa por eles (a cnica s ser definida se quaisquer quatro dos

cinco pontos no forem colineares).
http://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:GeoGebra_button_conic_5.gifhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:GeoGebra_button_circumcircle_sector_3.gifhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:GeoGebra_button_circle_sector_3.gifhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:GeoGebra_button_circum_circle_arc_3.gifhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:GeoGebra_button_circle_arc_3.gifhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:GeoGebra_button_semicircle.gifhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:GeoGebra_button_circle_3.gifhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:GeoGebra_button_circle_point_radius.gifhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:GeoGebra_button_circle_2.gifhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro%3A7%C2%BA_menu_da_barra_de_ferramentas_do_GeoGebra_3.2.30.0.png


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nguloCom tal ferramenta podemos traar ngulo entre trs pontos; entre dois segmentos; entre duas retas (ou semi-retas);

entre dois vetores ou ainda interiores de um polgono.

ngulo com amplitude fixaMarcando-se dois pontos e digitando-se a medida desejada para o ngulo, em uma janela que aparece

automaticamente.

Distncia

Essa ferramenta fornece, na janela algbrica a distncia entre dois pontos; duas linhas ou entre um ponto e uma linha.As demais ferramentas que no esto relacionadas aqui so de fcil acesso e ao decorrer da utilizao do programa

entende-se rapidamente como manipul-las, portanto partimos agora para as atividades.
http://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro%3A9%C2%BA_menu_da_barra_de_ferramentas_do_GeoGebra_3.2.30.0.PNGhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:GeoGebra_button_distance.gifhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:GeoGebra_button_angle_fixed.gifhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:GeoGebra_button_angle.gifhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro%3A8%C2%BA_menu_da_barra_de_ferramentas_do_GeoGebra_3.2.30.0.PNG


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http://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro%3A11%C2%BA_menu_da_barra_de_ferramentas_do_GeoGebra_3.2.30.0.pnghttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro%3A10%C2%BA_menu_da_barra_de_ferramentas_do_GeoGebra_3.2.30.0.png


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Referncias[1] http://www.geogebra.org/conferences/20080507-igi-cambridge/May7-IGI-GeoGebra-History.ppt GeoGebra History

[2] http://www.geogebra.org/cms/index.php?option=com_contact&task=view&contact_id=1&Itemid=60

[3] Hohenwarter, M.. GeoGebra - ein Softwaresystem fr dynamische Geometrie und Algebra der Ebene. 2002. Master thesis. 288p. University

of Salzburg, Austria.

Listaremos algumas definies que sero utilizadas no desenvolvimento das atividades propostas para familiarizao

com o GeoGebra durante o curso. Assim pretendemos propiciar o melhor aproveitamento para todos os participantes

no s no sentido de sanar eventuais dvidas conceituais porventura existentes, mas principalmente para fixar uma

linguagem comum. Trabalharemos inicialmente as suas ferramentas de construes elementares para ento

chegarmos s atividades. As definies que apresentaremos seguem uma ordem lgica para comunicao.

Ponto, reta e planoNeste texto PONTO, RETA e PLANO, sero considerados conceitos elementares e por isso no sero definidos.

Admitiremos como forma de comunicao os elementos da linguagem dada pela teoria ingnua dos conjuntos. Nesse

sentido, retas e planos sero considerados como conjuntos de pontos de modo que ponto um elemento do plano, ou

que ponto pertence ao plano, ponto pertence reta e assim a reta est contida no plano. comum usar o termo figurageomtrica ou figura como sinnimo para se referir a um subconjunto de pontos do plano.

Para obter esses elementos temos as ferramentas especficas e de uso imediato, basta clicar no cone adequado,

na barra de ferramentas de acesso rpido e na parte geomtrica da janela inicial do GeoGebra para que o

elemento desejado seja representado.

Crculo o conjunto dos pontos do plano situados a uma distncia constante r (raio) de um ponto fixo C (centro).

Sua construo feita com a ferramenta crculo do cone curvas as opes so: crculo dado dois pontos, crculo

dado um ponto e o raio ou ainda com a ferramenta seletor (est no cone de ferramentas extras) que consiste emcriar um intervalo de variao para a distncia.

DimetroDada uma reta passando pelo centro do crculo, os pontos de interseo com o crculo determinam sobre a reta um

segmento chamado dimetro.

OBSERVAO: Neste texto Circunferncia e Crculo sero considerados sinnimos, mas em vrios textos

didticos, costume usar o primeiro nome para se referir apenas borda, enquanto o segundo pode significar tanto o

interior reunido com a borda quanto somente a borda. Usaremos o termo Crculo e o seu significado ficar claro no

contexto.
http://www.geogebra.org/cms/index.php?option=com_contact&task=view&contact_id=1&Itemid=60http://www.geogebra.org/conferences/20080507-igi-cambridge/May7-IGI-GeoGebra-History.ppt


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SemicrculoToda reta pelo centro de um crculo divide-o em dois semicrculos.

Segmento o conjunto de pontos compreendidos entre dois pontos A e B tomados sobre uma reta, juntamente com A e B, que

so extremidades do segmento. representado por .

Medida de segmento

A cada segmento corresponde um nmero real positivo, que a medida do segmento. Dizemos tambm que esse

nmero a distncia entre A e B. Notao: AB.

PoligonalUma poligonal, A

1, A

2,..., a reunio de finitos segmentos , , ..., sequenciais tendo como interseo apenas os pontos

A2

,A3

,... An-1

. Se coincide com A1

ento a poligonal fechada.

Ponto mdioUm ponto M chamado ponto mdio de um segmento se M est entre A e C e AM = MC.

ParalelasSo retas que no se intersecam.

Semirreta

Dados dois pontos A e B sobre uma reta. A semirreta a reunio do segmento com os pontos C da reta tais que Best entre A e C. O ponto A chamado origem da semirreta.

ngulo a figura plana formada pela reunio de duas semirretas de mesma origem. A origem comum O chama-se vrtice e

as semi-retas chamam-se lados. A cada ngulo corresponde um nmero real entre 0 e 180 que a sua medida, nesse

caso sua medida dada em graus.

Podemos fazer ngulo de amplitude fixa, clicando na opo do cone medidas e em dois pontos onde quer que o

ngulo seja construdo e abrir uma janela pedindo a medida do ngulo.

Classificao de ngulos

Os ngulos podem ser:

Reto: quando mede 90

Agudo: possui medida menor que 90.

Obtuso: possui medida maior que 90 e menor que 180.

Adjacentes: ngulos que tem um lado em comum.

Complementares: ngulos cuja soma de suas medidas igual a 90.

Suplementares: ngulos cuja soma de suas medidas igual a 180.

ngulo inscrito: tem o vrtice na circunferncia e os lados intersecam o crculo em dois pontos.

ngulo central: tem o vrtice no centro de um crculo.


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DEFINIO: Diz-se que doissegmentos e so CONGRUENTES quando possuem o mesmo comprimento, e que

doisngulos e so congruentes quando tm a mesma medida.

OBSERVAES: - ngulos opostos pelo vrtice possuem mesma medida. - com esta definio as propriedades da

igualdade de nmeros passam a valer para a congruncia de segmentos ou de ngulos. Logo, um segmento sempre

congruente a ele mesmo, e se dois segmentos so congruentes a um terceiro, ento so congruentes entre si.

Bissetriz

a semirreta de origem no vrtice de um ngulo que determina, com seus lados, dois ngulos adjacentes

congruentes.

PerpendicularesSo retas que se intersecam formando ngulos de 90.

Mediatriz

a reta perpendicular a um segmento passando pelo seu ponto mdio.

Conjunto convexoUm conjunto A chamado convexo se para todo par de pontos P e Q do conjunto o segmento est contido no

conjunto.

Disco o conjunto dos pontos cuja distncia do centro C menor ou igual ao raio r.

SemiplanoUma reta dada divide o plano em dois semiplanos opostos. A reta dada chamada origem de cada um dos

semiplanos.

PolgonoA figura formada por uma linha poligonal fechada chama-se polgono e recebe denominaes conforme o nmero de

lados que possui. Consideraremos tambm como polgono a reunio da linha poligonal com os pontos interiores

determinados por ela.

Polgono convexo

Um polgono denominado convexo se nenhum par de seus pontos est em semiplanos opostos relativamente a uma

reta que contm cada lado do polgono.


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Polgono regular

Um polgono regular se todos os seus lados e ngulos internos so congruentes.

Classificao dos polgonos

Quanto ao nmero de lados:

Tabela 1 - Nmero de lados dos polgonos

Nmero de lados Nome do polgono

3 Tringulo

4 Quadriltero

5 Pentgono

6 Hexgono

7 Heptgono

8 Octgono

9 Enegono/Nongono

10 Decgono

Subconjuntos do crculo

Arco de crculo

a parte do crculo determinada por um ngulo central. Os pontos de interseo do crculo com o ngulo so os

extremos do arco.

Temos vrias maneiras de constru-lo, basta abrirmos o cone curvas e observamos a mais conveniente.

Corda

segmento de reta que une os dois extremos de um arco. Quando dois arcos compartilham a mesma corda dizemos

que eles so arcos suplementares.

Crculo circunscrito

Diz-se que um crculo est circunscrito a um polgono quando todos os vrtices do polgono pertencem ao crculo.

Para fazer um crculo com esta propriedade, interessante fazer primeiro o polgono, caso no lhe seja exigido o

raio do mesmo. Ao se exigir o raio temos que conhecer melhor os mtodos de diviso de crculo em n partes

iguais. Que consiste em dividir o crculo ou o ngulo central pelo nmero de partes desejadas.

Crculo inscrito

Diz-se que um crculo est inscrito a um polgono se tangente (possui apenas um ponto em comum) a todos os

lados do polgono.

Seu centro o encontro das bissetrizes do polgono e ele tangente internamente a todos os lados do mesmo.

Para determinar seu raio trace uma perpendicular a um lado do polgono passando pelo centro e essa distncia

ser o raio do crculo. Temos a ferramenta que constri a reta tangente a curva passando por um ponto dado no

pertencente a curva. Est localizada no cone propriedade.


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TringuloDEFINIO: se ABC um tringulo, os seus ngulos , e so chamados de ngulos internos ou simplesmente de

ngulos do tringulo. Os suplementos destes ngulos so chamados ngulos externos do tringulo.

Cevianas

todo segmento que tem uma extremidade num vrtice qualquer de um tringulo e a outra num ponto qualquer da

reta suporte ao lado oposto ao mesmo.

Classificao dos tringulos

1. Quanto aos lados:

Equiltero: possui os trs lados congruentes.

Issceles: possui dois lados congruentes; o terceiro lado chama-se base; os ngulos adjacentes base so

congruentes.

Escaleno: quando os trs lados tm medidas diferentes.

2. Quanto aos ngulos: Retngulo: quando um dos ngulos internos reto.

Acutngulo: quando os trs ngulos internos so agudos.

Obtusngulo: quando um dos ngulos internos obtuso.

Elementos notveis do tringulo

- Altura: a ceviana que une um vrtice ao lado oposto, formando com esse lado um ngulo reto. - Bissetriz: a

ceviana que parte de um dos vrtices do tringulo dividindo o ngulo em duas partes iguais. - Mediana: a ceviana

que une um vrtice ao ponto mdio do lado oposto. - Mediatriz: a reta perpendicular ao lado de um tringulo por

seu ponto mdio.

Pontos notveis do tringulo

Considerando altura, bissetriz, mediana e mediatriz elementos do tringulo temos: - Ortocentro o encontro das

alturas. - Incentro o encontro das bissetrizes. - Baricentro o encontro das medianas. - Circuncentro o

encontro das mediatrizes.

Congruncia de tringulosDois tringulos so congruentes se for possvel estabelecer uma correspondncia biunvoca entre seus vrtices de

modo que lados e ngulos correspondentes sejam congruentes.

OBS: Podemos considerar dinamicamente que um tringulo congruente a outro quando for possvel mov-lo de

forma a encaixa-lo exatamente sobre o outro.

Casos de congruncia:

1 Caso: (LAL) Dados dois tringulos ABC e EFG, se , A E, e , ento ABC EFG. 2 Caso: (ALA) Dados dois

tringulos ABC e EFG, se , A E e B F, ento ABC EFG. 3 Caso: (LLL) Se dois tringulos ABC e EFG, tem trs

lados correspondentes congruentes, ento ABC EFG

E LLA caso de congruncia?


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Teorema fundamental da semelhanaSe uma reta paralela a um lado de um tringulo interseca os outros dois lados em pontos distintos ento ela

determina segmentos que so proporcionais a tais lados.

Semelhana de tringulosDiremos que dois tringulos so semelhantes se for possvel estabelecer uma correspondncia biunvoca entre seus

vrtices de modo que ngulos correspondentes sejam iguais e lados correspondentes sejam proporcionais.

Casos de semelhana

Primeiro caso (LAL): se, em dois tringulos ABC e EFG tem-se A E e = , ento os tringulos so semelhantes.

Segundo caso (AA): dados dois tringulos ABC e EFG, se A E e B F ento os tringulos so semelhantes. Terceiro

caso (LLL): dados dois tringulo ABC e EFG, tem-se = = , ento os dois tringulos so semelhantes.

E LLA caso de semelhana?

Regio poligonal uma figura plana formada pela justaposio de um nmero finito de regies triangulares

reaA cada regio poligonal corresponde um nico nmero real positivo que a sua rea.

Para determinar a rea de um polgono basta clicar no cone medida na opo rea e posteriormente no

polgono.

PermetroSoma das medidas dos lados do polgono.

Para determinar o permetro de um polgono basta clicar no cone medida, na opo distncia e posteriormente

no polgono.

QuadrilterosClassificao dos quadrilteros

1. Trapzio: possui dois lados (bases) paralelos.

1. Tipos de trapzios

2. Retngulo: quando um dos lados no-paralelos perpendicular s bases.3. Issceles: o trapzio no qual os lados no-paralelos so congruentes.

2. Paralelogramo: possui lados opostos paralelos.

3. Retngulo: o quadriltero cujos ngulos internos so retos.

4. Losango: o quadriltero cujos quatro lados so congruentes

5. Quadrado: o quadriltero que possui todos os lados e ngulos congruentes.


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Equivalncia de polgonosDois polgonos so equivalentes quando possuem a mesma rea.

Propriedade fundamental da equivalnciaSe os tringulos ABC e MNP tm mesma altura, a razo entre suas reas a mesma que a razo entre suas bases.

Teorema de talesUm feixe de retas concorrentes corta um outro feixe de retas paralelas segundo segmentos proporcionais.

Teorema de pitgorasEm um tringulo retngulo, o quadrado da hipotenusa igual a soma dos quadrados dos catetos.

Problema geral de quadratura

Construir um quadrado equivalente a um polgono dado (tringulo, retngulo, trapzio, etc).

FunoDados dois conjuntos A e B, no-vazios, dizemos que uma regra f de associao de elementos de A com elementos

de B uma funo de A em B se, para todo x pertencente ao conjunto A, existe um nico y pertencente a B

associado a x, indicado por y = f(x).

Grfico de uma funoO grfico de uma funo f um subconjunto do plano cartesiano formado pelos pares ordenados (x,y) onde y = f(x)

Para esboarmos o grfico de uma funo no plano cartesiano, devemos atribuir alguns valores varivel x,

determinando valores numricos de y.

Parte algbricaO programa nos permite construir vrias funes, As entradas algbricas ficam na parte inferior da tela e devem

respeitar algumas notaes tais como: - o sinal de multiplicao representado por (*) - para elevar a uma potncia,

antes do valor da mesma, devo colocar (^) - o sinal de diviso (/) As principais funes que o programa esboa

diretamente esto disponveis ao lado da entrada algbrica. Temos possibilidade de mudar as unidades de medida e

de alterar as coordenadas cartesianas para polares.

Faremos na sequncia a explorao da equao da reta, da parbola e crculo, alm dos grficos das funes

trigonomtricas sen(x), cos(x) e tg(x) e deixaremos como desafio a funo modular.


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Equaes1. Reta: y= a*x+b

2. Parbola: y=a*x^2+b*x+c

3. Crculos: (x-a)^2+(y-b)^2=r^2

O Programa apresenta OUTRAS APLICAES, mostraremos os arquivos elaborados de algumas destas

aplicaes. Estes arquivos estaro disponveis no site http://www.mat. ufpr.br/verao e eventuais dvidas podemser esclarecidas por [email protected].

O ciclo trigonomtrico que estudado no Ensino Mdio pode ser construdo pelo prprio aluno, levando-o a

compreender o significado geomtrico das funes trigonomtricas. Exemplificaremos os casos das funes seno,

cosseno e tangente, deixando as demais como exerccios.

Podemos explorar Vetores, adio e translao, no Ensino Mdio para a disciplina de Fsica.

Para o Ensino Superior o GeoGebra apresenta aplicaes, tais como integrais e derivadas, e estudo de funes.

Os sistemas de equaes podem ser interpretados geometricamente como posies relativas entre retas expressas

por equaes algbricas. Por exemplo

g: 3x + 4y = 12h: y = 2x - 8

S = Interseco[g, h]

Para mudar as equaes podemos clicar com o boto direito do mouse em cada uma e selecionar Redefinir.

Usando agora o boto esquerdo do mouse, podemos arrastar as retas usando o modo Mover, ou rodar cada

uma delas em torno de um ponto, usando agora o modo Rodar em torno de um ponto.

A criao de ferramenta utilizada para fazer diretamente construes mais elaboradas, ela muito til quando

estamos repetindo vrias vezes os mesmos passos, como, por exemplo, quando construmos ortocentro, baricentro,

fractais, etc...

Apesar disso algumas construes como as de fractais ainda so muito extensas e trabalhosas, para facilitar trabalhosdeste tipo temos disponvel neste programa a possibilidade de construir novas ferramentas que aps salvas podem ser

utilizadas em vrios momentos.

Para criar uma nova ferramenta, devemos clicar no menu ferramenta na parte superior da tela e logo em seguida em

"criar uma nova ferramenta", abrir uma tela que pede a sada de objetos, isto , onde queremos chegar, como por

exemplo, quando queremos encontrar o ortocentro, devemos ento ter a construo do mesmo. Neste caso nossa

sada de objetos o ponto ortocentro. A entrada de objetos, que o que aparece na prxima tela, o programa j

sugere os trs pontos, a partir dos quais, conseguiremos construir a nova ferramenta, e ento clicamos em concludo.

Para utilizar este recurso precisamos apenas criar trs pontos na tela, selecionar a ferramenta criada e clicar nos trs

pontos, o ortocentro ser criado automaticamente.

Pela exiguidade do tempo no abordaremos esta ferramenta com muitos detalhes, optando por apresentar vrias

demonstraes de como utiliz-la no sentido de realar seus benefcios. As animaes do GeoGebra que

abordaremos, sero sempre relacionadas com o seletor, pois as mais complexas so em linguagem Java, a qual no

iremos abordar.

Para exportar construes da tela v ao menu arquivo Exportar, janela de visualizao como figura (.png), este

formato interessante inclusive para ser exportado para publicaes que exigem LaTex (Programa de digitao de

texto Cientfico). Este formato um dos que podemos usar no pendrive para passar aos alunos na TV Pendrive.

Alm disso, podemos inserir textos e figuras para que os exerccios sejam melhor elaborados. Assim, se desejarmos

escrever o enunciado de um exerccio devemos clicar no menu extras e, em seguida, selecionar a ferramenta inserir

texto, e clicar na parte geomtrica para que se abra a caixa de texto. Ou ainda, inserir pequenas figuras, clicando nomenu extras, e selecionando a ferramenta inserir imagem e clicando na janela geomtrica para realizar a busca da
http://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:GeoGebra_button_move_rotate.gifhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:GeoGebra_button_move.gifhttp://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Ficheiro:GeoGebra_icon_edit.pnghttp://www.mat.ufpr.br/verao


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figura desejada.

Orientaes gerais para resoluo das atividades: - Procure fazer cada item em um arquivo novo e sem esquecer de

salvar em sua rea de trabalho sendo seunome_ativ1.1_01; - Procure realizar as atividades na ordem proposta, pois

as definies e ferramentas esto sendo exploradas gradativamente; - Ao surgirem dvidas solicite a ajuda imediata

de um monitor ou ao termino de cada aula; - As dvidas podem ser enviadas tambm para

[[email protected]:geogebraufpr@gmail. com] e sero respondidas na seqncia e esta porta decontato permanente. OBS: as solues das atividades no sero descritas, pois sero realizadas durante o

mini-curso.

Atividade 01 Ponto, reta e segmento 011. Crie dois pontos livres. Movimente-os.

2. Construa uma reta passando por estes dois pontos.

3. Construa mais dois pontos livres em qualquer lugar da tela, e o segmento de reta com extremidades nestes pontos.

4. Apague a reta e o segmento construdo, inclusive as extremidades (para apagar um objeto, clique sobre ele com o

boto direito do mouse e, a seguir, clique em Apagar).

5. Usando apenas a ferramenta, construa um outro segmento e determine a medida do segmento. Movimente uma

das extremidades do segmento. Observe a janela geomtrica e a janela algbrica.

Atividade 02 Ponto, reta e segmento 021. Crie um segmento a partir de um seletor com intervalo de 0 a 8.Clique sobre o segmento com o boto direito do

mouse, a seguir clique em Propriedades para mudar sua cor e sua "espessura".

2. Renomeie as extremidades do segmento (clique sobre a extremidade do segmento com o boto direito do mouse,

no menu que abrir clique em Renomear, digite na janela que aparecer o novo nome do ponto e clique em

Aplicar).

3. Faa uma crculo com centro em uma das extremidades do segmento passando por um ponto qualquer.4. Faa outra crculo de raio 3 e centro na outra extremidade do segmento. Clique com o boto direito do mouse

sobre a crculo e entre em propriedades, modifique a cor, a espessura da linha e preencha o desenho, agora

observe que temos o disco.

5. Faa um ponto sobre cada um dos crculos e uma reta passando por esses pontos. Movimente o seletor e verifique

o que acontece com o segmento e os crculos.

6. Verifique a posies relativas entre os crculos.

Atividade 03 Crculos

1. Construa um crculo com centro (2, 3) e um de seus pontos sendo (2, 1). Determine a medida do raio destecrculo.

2. Crie um seletor de intervalo de 0 a 5. Construa um crculo com centro (0, 0) e raio dependente do seletor. (para

isso quando o crculo pedir o tamanho do raio coloque a letra que representa o seletor). Movimente o seletor

3. Construa um crculo com centro (2, 4) e raio 4 (utilizando a ferramenta de construo de crculo com centro e

raio). Altere a espessura, e preencha o crculo. O que temos agora?

4. Construa um crculo definido pelos seguintes pontos: (2, 2), (1, 4), (3, 4), (dica: crie os pontos primeiro, e voc

pode utilizar a ferramenta exibir malha para facilitar a localizao dos pontos). Agora clique com o boto direito

sobre a figura v em propriedades, cor e altere a cor do crculo, depois v em preenchimento e preencha a figura.
mailto:[email protected]


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Atividade 04 Arcos1. Construa um semicrculo dados os pontos extremos (1, 1) e (4, 1).

2. Construa um arco circular dados centro A (3, 2) e os pontos extremos B (3, 4), C (1, 2). Agora considere o

mesmo centro e tome B (1, 2) e C (3, 4). Compare estes dois arcos. Que figuras formamos unindo-os?

3. Construa um arco circumcircular dados os pontos: A(-5, -2), B(-2, -2), C(-2, 2). Movimente o ponto B e descreva

o que acontece.4. Construa um segmento qualquer e determine a semicrculo com extremos coincidentes com os extremos do

segmento.

Atividade 05 Segmento, ponto mdio, mediatriz e perpendicular1. Construa um segmento com uma extremidade em A(3, 4) e medida 3,5 (lembre que no lugar de vrgula devemos

colocar o ponto).

2. Utilizando a ferramenta ponto mdio, determine o ponto mdio deste segmento. Renomeie o ponto de M.

3. Construa a reta perpendicular a este segmento passando pelo ponto M. O que temos?

4. Construir um segmento qualquer, e sua mediatriz utilizando crculos5. Construa outro segmento qualquer, determine a sua mediatriz (o programa tem esta ferramenta localize-a). Mea

este segmento, depois movimente uma das extremidades dele e verifique o que acontece com a mediatriz.

6. Construa uma reta passando por dois pontos quaisquer, determine sua mediatriz. Porque isso acontece.

7. Construa uma semi-reta e determine seu ponto mdio.

Atividade 06 Paralelas1. Construa uma reta e nomeia de r, construa uma crculo de raio 2,. construa um ponto P sobre a crculo, trace uma

reta paralela a r por P

2. Construa uma reta passando por A(2,3) e B(-1,-2). Determine a reta paralela a esta passando pelo ponto C (-1,3)

3. Construa um seletor. Construa um segmento dependente do seletor. Crie o ponto D(-3,2) e a reta paralela ao

segmento passando por D. Calcule a distncia do segmento at sua paralela.

4. Construa uma reta t. Construa um seletor. Construa um ponto F sobre t. Construa uma perpendicular a t passando

por F. Construa uma crculo de centro F dependente do seletor. Com a opo interseco de dois objetos encontre

a interseo da crculo e a perpendicular. Trace paralela pelas interseces e t. Movimente o seletor e descreva o

que acontece.

Atividade 07 ngulos e bissetrizes1. Construa duas retas paralela entre si. Construa uma concorrente a essas duas. Mea o ngulos formado na

interseco delas.2. Construa um ngulo de 60 utilizando a ferramenta ngulo com amplitude fixa. Determine sua bissetriz.

3. Construa um ngulo qualquer, e determine sua medida. Utilizando a ferramenta bissetriz, determine sua bissetriz.

4. Construa um setor circular com raio 4 cm. Mea seu ngulo, determine sua rea e seu comprimento. Agora altere

a medida do raio e verifique o que acontece com o ngulo, com a rea e com o permetro do setor circular.

5. Construa um crculo pelo centro (A) e um de seus pontos (B). Marque trs outros pontos (C, D e E) da crculo.

Construa os segmentos EC, ED, AC e AD. Marque o ngulo inscrito CD e o ngulo central CD. Observe, na

janela algbrica a medida desses ngulos e compare-as.


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Atividade 08 Tringulos1. Explorando a ferramenta ngulo crie um triangulo retngulo issceles

2. Utilizando a ferramenta polgono, construa um tringulo qualquer. Determine uma das bissetrizes deste tringulo,

utilizando a ferramenta bissetriz e atravs de crculos.

3. Construa um tringulo equiltero de lado 6 cm. Determine sua altura, uma de suas bissetrizes, a medida de seus

ngulos internos, a medida de sua altura, seu permetro, sua rea, e a mediatriz de um de seus lados.4. Construa um tringulo qualquer. Determine sua altura, uma de suas bissetrizes, a medida de seus ngulos

internos, a medida de sua altura, seu permetro, sua rea, e a mediatriz de um de seus lados.

5. Movimente o tringulo acima alterando sua forma e perceba o que acontece com as outras construes, e suas

medidas.

6. Construa um tringulo retngulo ABC que possa ser deslocado pela tela sem perder suas propriedades. Marque os

ngulos internos do tringulo e observe suas medidas na janela algbrica. Movimente um dos vrtices e confira

sua construo.

7. Construa um tringulo issceles ABC que possa ser deslocado pela tela sem perder suas propriedades. Observe as

medidas dos lados do tringulo, na janela algbrica. Movimente um dos vrtices e confira sua construo. Marque

os ngulos internos do tringulo e observe suas medidas na janela algbrica. Movimente, novamente, um dosvrtices e descreva o que voc observou quanto medida dos ngulos da base.

8. Construa um tringulo equiltero ABC que possa ser deslocado pela tela sem perder suas propriedades. Observe

as medidas dos lados do tringulo, na janela algbrica. Movimente um dos vrtices e confira sua construo.

Marque os ngulos internos do tringulo e observe suas medidas na janela algbrica. Movimente, novamente, um

dos vrtices e descreva o que voc observou quanto medida dos ngulos internos.

9. Construa um tringulo ABC. Utilizando a ferramenta Mediatriz (no menu que contm a ferramenta reta

perpendicular), construa a mediatriz do lado AB e a do lado AC . Marque o ponto D, interseo dessas retas.

Trace a mediatriz do lado BC, movimente um dos vrtices e verifique que ela tambm passa por D. Trace a

crculo de centro D que passa por A. Observe as posies dos pontos B e C em relao crculo. Movimente um

dos vrtices do tringulo e enuncie com suas palavras a propriedade que voc observou.10. Construa um tringulo ABC. Trace duas alturas desse tringulo e marque o ponto D, interseo dessas retas.

Trace a terceira altura, movimente um dos vrtices e verifique que ela tambm passa por D (ortocentro do

tringulo ABC). Movimente novamente um dos vrtices de forma a obter tringulos acutngulos, obtusngulos e

retngulos. Relacione a posio do ortocentro com a classificao dos tringulos quanto medida de seus ngulos

(acutngulo, obtusngulo ou retngulo).

Atividade 09 Construo de tringulos a partir de elementos dados.

Construir tringulo ABC, sendo dados:

1. os trs lados. a=5 cm, b=4,5, c=5 cm.

2. dois lados e um ngulo adjacente. a=5 cm, b=3,5 cm, B =30.

3. um lado e dois ngulos adjacentes. a=5 cm, B =30, C =45.

4. um lado, ngulo oposto e ngulo adjacente. a=4 cm, =45,B =22,5.

5. dois lados e o ngulo oposto ao terceiro lado. a=4 cm, b=3 cm, C =60.


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Construir o tringulo ABC, retngulo em A, dados:

1. um cateto e o ngulo oposto. b=2 cm, B =30.

2. a hipotenusa e um ngulo adjacente. a=4 cm, B =60.

3. a hipotenusa e um cateto. a=5 cm, c=2 cm.

4. os catetos. b=3,5, c=2 cm.

5. as projees dos catetos sobre a hipotenusa. m=2 cm, n=3 cm6. um cateto e a sua projeo sobre a hipotenusa. c=3,5 cm, n=2 cm.

7. um cateto e a projeo do outro sobre a hipotenusa. c=2 cm, m=4 cm

Construir tringulo ABC, dados dois ngulos B =60 e C =45, e

1. uma altura. ha=3,5 cm.

2. uma mediana. ma=4,5 cm.

3. uma bissetriz. ba=4 cm.

4. o raio da crculo circunscrita. R=3 cm.

5. o raio da crculo inscrita. r=1,5 cm.

Construir o tringulo ABC, dados

1. dois lados e a altura relativa a um deles. a=3,5 cm, c=2,5 cm, ha=2 cm.

2. um lado, altura relativa ao mesmo e um ngulo adjacente. a=3 cm, ha=2 cm, B =30.

3. um lado, um ngulo adjacente e a mediana relativa ao mesmo. a=4 cm, B =45, ma=2,5 cm

4. dois lados e a altura relativa ao terceiro lado. b=4,5 cm, c=4 cm, ha=3 cm.

5. um lado, ngulo oposto e a altura relativa ao mesmo. a=3,5 cm, ha=2,5, =45.

6. um lado, altura relativa ao mesmo e altura relativa a outro lado. a=5 cm, ha=3,5 cm, hb=4 cm.

7. um lado e as alturas relativas aos outros lados. a=5 cm, hb=4 cm, hc=4,5 cm.

8. dois lados e a mediana relativa a um deles. a=5 cm, c=4 cm, mc=4,5.

9. um lado, mediana relativa ao mesmo e a altura relativa ao outro lado. a=6 cm, ma=3,5 cm, hb=5 cm.

10. dois lados e a mediana relativa ao terceiro. a=5 cm, c=4 cm, mb=3,5.

11. as medianas. ma=3 cm, mb=4 cm, mc=5 cm.

12. um ngulo, mediana relativa ao lado oposto e outra mediana. =60, ma=5 cm, mc=4 cm.

13. uma altura e uma mediana relativas ao mesmo lado e o raio da crculo circunscrita. ha=4 cm, ma=4,5 cm,

R=3,5 cm

14. um lado, um ngulo e o raio da crculo inscrita. b=6 cm, r=1,5 cm, =90o.

15. os pontos mdios dos lados em posio. MaMb=3,5 cm, MaMc=3 cm, MbMc=2,5.

Atividade 10 Congruncia1. Mostrar que em todo tringulo issceles, os ngulos opostos aos lados congruentes so tambm congruentes.

2. Mostrar que em todo paralelogramo, os lados opostos so congruentes.

3. Mostrar que em todo retngulo, os lados opostos so congruentes.

4. Mostrar que as diagonais de um retngulo so congruentes.

5. Mostrar que em todo paralelogramo, as diagonais cortam-se ao meio.

6. Porque o caso (LLA) no caso de congruncia?


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Atividade 11 reas e permetro1. Construa um crculo de centro (-2, -3) e raio 3. Calcule a rea deste crculo e o comprimento da crculo.

2. Construa um crculo de centro (-2, -3) e raio 3. Calcule a rea deste crculo e o comprimento da crculo

3. Construa duas retas paralelas r e s. Um segmento AB qualquer sobre uma delas. Construa os pontos D e E sobre a

outra. Construa os tringulos ABD e ABE, calcule suas reas, movimente D e E e descreva o que acontece com as

medidas das reas.

Atividade 12 Quadrilteros1. Construa um quadrado de lado 4 cm. Determine a crculo inscrita e a circunscrita a este quadrado, altere a medida

do lado do quadrado. Determine a medida de seus ngulos internos.

2. Construa um retngulo de lados 4 cm e 3 cm. Utilizando as propriedades do retngulo. Movimente um de seus

vrtices e perceba que as propriedades so conservadas. Calcule sua rea e seu permetro.

3. Construa um quadrado de lado 3 Mostre, na janela geomtrica, a medida dos ngulos e dos lados do quadrado

(clique sobre o objeto com o boto direito do mouse; no menu que abrir clique em propriedades; na janela que

aparecer, selecione todos os segmentos e ngulos, com o boto control do teclado apertado; em exibir rtulo,coloque Nome & Valor e clique em Aplicar).Movimente um dos vrtices e confira sua construo, observando as

medidas dos ngulos e dos lados. No menu, no alto da tela, clique em Exibir e, a seguir, clique em Protocolo de

construo. Reveja a sequncia de passos de sua construo. Ao terminar, feche essa janela.

Atividades 13 Construo de quadrilteros a partir de elementos dados

Construir um quadrado dados:

1. o lado. a=3 cm.

2. a diagonal. BD=4 cm.

3. o raio da crculo circunscrita. R=2,5 cm.4. o raio da crculo inscrita. r=2 cm.

Construir um retngulo dados:

1. os lados. a=4 cm, b=2,5 cm.

2. diagonal e o lado. a=2,5, d=3,5.

3. diagonal e o ngulo formado pelas mesmas. d=4 cm, a=120.

Construir um losango dados:

1. as diagonais. AC=5 cm, BD=3 cm.2. um lado e uma diagonal. AB=3 cm, AC=4,5.

3. um lado e um ngulo. AB=3 cm, C =45.

Construir um paralelogramo ABCD dados:

1. os lados e um ngulo. AB=4 cm, BC=7 cm, B =45.

2. os lados e uma diagonal. AB=5 cm, BC=3 cm, AC=4 cm.

3. as diagonais e um lado. AC=5 cm, BD=4 cm, BC=2,5 cm.

4. as diagonais e o ngulo por elas formado. BD=4 cm, AC=3 cm, a=120.

5. os lados e a altura. BC=5 cm, AB=3 cm, hBC=2,5.


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Construir um trapzio ABCD dados:

1. os lados. AB=5,5 cm, BC=3,5 cm, CD=4 cm, AD=3 cm.

2. as bases e as diagonais. AB=4,5 cm, CD=3,5 cm, BD=5,5 cm, AC=5 cm

3. as bases, uma diagonal e o ngulo formado pelas diagonais. AB=4,5 cm, AC=4 cm, DC=2,5, AB=120 (E o

ponto de interseo das diagonais).

4. uma base, dois lados e o ngulo formado por um dos lados com a base dada. AB=4,5 cm, AD=3 cm, BC=2,5,=60.

Construir um trapzio issceles dados:

1. as bases e altura. AB=3 cm, CD=4,5 cm, h=2 cm.

2. as bases e uma diagonal. AB=4 cm, CD=3 cm, AC=4 cm.

3. as bases e o raio da crculo circunscrita. AB=5,5 cm, CD=3 cm, R=3 cm.

Construir um trapzio retngulo em A dados:

1. as bases e a altura. AB=3,5 cm, CD=2 cm, h=2,5 cm.

2. uma base, um lado e a altura. AB=3,5 cm, BC=2,5 cm, h=2 cm.

3. Em um losango de lado 5 cm, uma das diagonais mede 8 cm. Calcule a rea desse losango.

4. Calcule a rea de um paralelogramo ABCD, em que AB = 8 cm, BC = 12 cm e m


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Atividade 16 Equivalncia de reas1. Construir um tringulo ABC equivalente a um quadriltero PQRS dado, sabendo-se que P_A e que o segmento

BC est sobre a reta QR.

2. Construir um tringulo ABC equivalente a um polgono dado, sabendo-se que o ponto A coincide com o ponto P

e o segmento BC est sobre a reta RS.

3. Construir um tringulo ABC equivalente a um polgono dado, sabendo-se que o ponto A pertence ao segmentoPQ e o segmento BC est sobre a reta RS.

4. Construir um tringulo ABC equivalente a um polgono dado, sendo A_P e que o segmento BC est sobre a reta

RS.

5. Construir um quadrado equivalente a um tringulo ABC dado

6. Obter graficamente o lado do quadrado equivalente ao trapzio ABCD dado.

7. Obter graficamente o lado de um quadrado equivalente ao octgono regular inscrito numa crculo de raio 2 cm.

8. Construir um quadrado equivalente a um crculo de raio 3 cm.

9. Determinar graficamente o lado de um quadrado equivalente a um setor circular de 75o de um crculo de raio

4,3 cm.

Atividade 17 Pitgoras1. Demonstre (geometricamente) o teorema de Pitgoras com o tringulo retngulo qualquer.

2. Construa um tringulo equiltero de lado a= 2,5 cm determine sua altura.

3. Uma folha quadrada de papel ABCD dobrada de modo que o vrtice C coincide com o ponto M, mdio de AB.

Se o lado de ABCD 1, o comprimento de BP :

4. Num trapzio retngulo as bases medem 16 cm e 4 cm respectivamente. O maior lado no paralelo mede 13 cm,

qual o permetro do trapzio?

5. Numa crculo de 5 cm de raio calcule as medidas do lado e do aptema de um: tringulo equiltero inscrito;

quadrado inscrito e hexgono regular inscrito.

Atividade 18 Funes1. Construa 2 seletores de intervalo de -10 10. Na entrada algbrica construa a reta y= ax+b. Movimente os

seletores para ver o que acontece com o grfico. Clique com o boto direito do mouse e habilite a funo rastro,

movimente os seletores.

2. Construa a reta y= 2x+1, com entrada algbrica. Construa sua perpendicular por qualquer ponto da reta. Compare

as duas equaes.

3. Qual a equao da paralela reta y= -2x+5 passando pelo ponto P=(1,1)

4. Ache a equao da perpendicular reta y= 3x-1 baixada pelo ponto Q= (2,2)

5. Construa 3 seletores a, b e c de intervalo de -30 a 30. Na entrada algbrica construa y=ax2+bx+c. Crie um ponto

na curva descrita. Habilite o rastro deste ponto.

6. Construa 4 seletores a, b, c e d, com intervalo -10 a 10. e na entrada algbrica construa a\*sen(bx+c)+d;

a\*cos(bx+c)+d e a\*tan(bx+c) +d

7. Construa a crculo dada pela seguinte equao: (x-2)2+(y-3)2=2 , qual a medida do raio desta crculo? E qual o

seu centro?

8. Construa o crculo dada pela seguinte equao:(x+3)2 + (y-4)2=5, qual a medida do raio desta crculo? E qual o

seu centro?

9. Tente mover as crculos construdas acima. Compare o que acontece.


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Atividade 19 Macros1. Construa a macro para os seguintes pontos notveis do Ortocentro, Baricentro, Incentro, Circuncentro.

Atividade 20 Extras1. Construa dois crculos concntricos, de centro (2, 1) e raios 2 e 5 respectivamente.

2. Determine o crculo de centro (3, 5) e raio 4, determine o crculo tangente a este de centro (5, 3). E um tangente a

estes dois de raio 3.

3. Utilizando a ferramenta polgono construa um polgono qualquer, e determine suas bissetrizes e movimente os

vrtices dos polgonos.

4. Construa uma semi-reta, determine um segmento qualquer sobre esta semi-reta, construa um crculo de raio

dependente a medida do segmento. Altere a medida do segmento e veja o que acontece com o crculo. Determine

a medida do segmento, e a medida do raio do crculo, e compare estas medidas ao alterar o tamanho do segmento.

5. Exerccio especial: Dada a figura (criar a figura no GeoGebra) com AC = BC, DC = EC, G ponto mdio de DC,

H ponto mdio de EC,


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