geogebra prcurso inicial

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Apostila Geogebra

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  • Centro de Comptncia CRIEEscola Superior de Educao de Setbal

    GEOGEBRA UM PERCURSO INICIAL

    Joo Torres

    jtorres@ese.ips.pt

    Jos Duarte

    jaduarte@ese.ips.pt

    Fevereiro de 2008

  • Centro de Competncia CRIE da ESE de Setbal -1-

    Contedo

    1 Sobre este documento 2

    2 Soma dos ngulos internos de um tringulo 3

    3 Construo de polgonos regulares 63.1 Construo de um quadrado utilizando rectas paralelas e perpendiculares 63.2 Construo de um quadrado utilizando rotaes . . . . . . . . . . . . . . 10

    4 Valor de 11

    5 Teorema de Pitgoras 12

    6 Relaes geomtricas em tringulos (a ilha Triangular) 14

    7 Estudo de famlias de funes 16

    Tecnologias na aprendizagem da Matemtica

  • Centro de Competncia CRIE da ESE de Setbal -2-

    1 Sobre este documento

    Este documento no pretende ser um guia exaustivo do programa. Trata-se ape-nas de uma compilao da resoluo passo-a-passo de desaos elementares de modoa explorar algumas das potencialidades e ferramentas do programa. Destina-se essen-cialmente a professores que nunca tenham utilizado nenhum programa de geometriadinmica ou que, conhecendo outros, queiram testar o Geogebra.

    A passagem pelos desaos propostos deveria permitir descobrir algumas das fun-cionalidades do programa autonomamente, de modo a possibilitar a compreenso eelaborao de desaos mais arrojados.

    Cada vez que seja utilizada uma ferramenta, ou procedimento, pela primeira vezo processo ser ilustrado por uma gura. Sempre que esse procedimento, ou algummuito parecido, j tenha sido ilustrado partiremos do principio que no h necessi-dade de o voltar a ser e apontaremos apenas para a gura onde foi o procedimentofoi utilizado pela primeira vez, mesmo que se trate de uma resoluo anterior. Assimaconselha-se que a resoluo sequencial dos desaos propostos.

    Tecnologias na aprendizagem da Matemtica

  • Centro de Competncia CRIE da ESE de Setbal -3-

    2 Soma dos ngulos internos de um tringulo

    1. Esconda o sistema de eixos JFig. 1I;

    2. dena um tringulo traando trs segmentos de recta JFig. 2I;

    3. pea as medidas dos ngulos internos do tringulo JFig. 3I. O Geogebra atribuiautomaticamente uma letra grega a cada um dos ngulos.

    4. calcule a soma dos trs ngulos JFig. 4I. Pode ver agora a varivel soma nabarra de lgebra JFig. 5I.

    5. represente no ecr, junto ao tringulo a soma dos ngulos internos JFig. 6I.

    6. arraste os pontos, alterando o tringulo. Verique que a soma dos ngulos inter-nos se mantm.

    Figura 1: Esconder Eixos de coordenadas desactive a opo real-ada na gura. Neste menu pode ainda denir se pretendever ou um fundo quadriculado, a janela de lgebra, etc

    Figura 2: Para traar um segmento de recta escolha a ferramentaevidenciada e faa clique no ecr para denir um ponto,arraste e faa um segundo clique.

    Tecnologias na aprendizagem da Matemtica

  • Centro de Competncia CRIE da ESE de Setbal -4-

    Figura 3: Seleccione a ferramenta em destaque e aponte para os 3pontos que denem o ngulo

    Figura 4: Para denir uma varivel (soma) que escreva na linha deentrada soma= + + . Para obter as letras gregasutilize a caixa assinalada na gura.

    Figura 5: Em destaque a o resultado da soma Figura 6: Utilize a ferramenta em destaque para inserir texto najanela do Geogebra. Pode juntar vrias cadeias de textoseparando-as pelo sinal de +. Neste caso Soma= ++ = ser texto enquanto que a segunda vez que apa-rece a palavra soma ser substituda pelo valor da variveldenida anteriormente, uma vez que no se encontra entre .

    Tecnologias na aprendizagem da Matemtica

  • Centro de Competncia CRIE da ESE de Setbal -5-

    Figura 7: Para arrastar os pontos deve seleccionar a ferramenta em destaque (seta). Caso contrrio, continuar a utilizar a ltima ferramentaque tinha utilizado

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  • Centro de Competncia CRIE da ESE de Setbal -6-

    3 Construo de polgonos regulares

    O Geogebra tem uma ferramenta que permite construir polgonos regulares, queutilizaremos adiante, bastando denir um dos lados e indicar qual o nmero de ladosdo polgono. Pode, no entanto, ser interessante pedir aos alunos que construam essespolgonos obedecendo s suas propriedades.

    3.1 Construo de um quadrado utilizando rectas paralelas e perpen-

    diculares

    1. Esconda os de eixos JFig. 1I;

    2. dena um segmento de recta AB JFig. 2I

    3. trace uma recta perpendicular ao segmento de recta que passe pelo ponta AJFig. 8I;

    4. construa uma circunferncia, de centro A, que passe pelo ponto B JFig. 9I;

    5. marque umdos pontos (C) de interseco da circunferncia com a rectaJFig. 10I;

    6. trace uma recta paralela a AB que passe por C e uma perpendicular a [AB] quepasse por B;

    7. marque o ponto de interseco das rectas traadas no ponto anterior e dena ossegmentos BC, CD e DA JFig. 10I;

    8. esconda a circunferncia e as rectas auxiliares de que j no precisa JFig. 12I;

    9. Mea os comprimentos dos lados e as amplitudes dos ngulos do quadradoJFig. 13I

    10. verique que a gura obtida tem a propriedades de um quadrado e que estas semantm quando arrasta um dos pontos azuis (A ou B) JFig. 7I.

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  • Centro de Competncia CRIE da ESE de Setbal -7-

    Figura 8: Traar uma recta que passa por um ponto dado e per-pendicular a um segmento. Seleccione a ferramenta emevidncia na gura, depois, faa clique no segmento e noponto.

    Figura 9: Traar uma circunferncia denida pelo centro e umponto. Seleccione a ferramenta em destaque, depois faaclique no Centro, arraste e faa clique no ponto que per-tence circunferncia

    Figura 10: Marcar um pontos de interseco. Seleccione a ferra-menta destacada, aponte para o ponto de interseco dosobjectos e faa clique quando estiverem ambos selecciona-dos (cam ligeiramente mais escuros)

    Figura 11: Denir uma recta paralela ao segmento AB que passapelo ponto C. Com a ferramenta em destaque, faa cliquesobre o segmento AB e depois sobre o ponto C

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  • Centro de Competncia CRIE da ESE de Setbal -8-

    Figura 12: Esconder objectos. Para esconder um objecto faa clique,com o boto do lado direito, sobre o objecto e escolha aopo Exibir objecto de modo a desactivar a sua visibi-lidade

    Figura 13: Ferramentas para obter comprimentos, distncias e am-plitudes de ngulos. Para medir comprimentos basta se-leccionar a ferramenta e fazer clique sobre um segmentoou circunferncia. Pode tambm obter a distncia entredois pontos fazendo clique num e depois no outro. Paraas amplitudes dos ngulos, seleccione a ferramenta des-tacada e, de seguida, trs pontos de modo a que o vrticeseja o segundo ponto a ser apontado.

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  • Centro de Competncia CRIE da ESE de Setbal -9-

    Figura 14: Quadrado

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  • Centro de Competncia CRIE da ESE de Setbal -10-

    3.2 Construo de um quadrado utilizando rotaes

    1. Denina um segmento de recta AB JFig. 2I;

    2. obtenha um ponto (C) atravs de um rotao de 90o do ponto B em torno doponto A JFig. 15I;

    3. obtenha o ltimo vrtice do quadrado (D) por rotao, no sentido inverso, doponto A em torno do ponto B;

    4. una os vrtices obtidos e verique que se trata de um quadrado que mantm aspropriedades quando arrasta os pontos A ou B JFig. 7I.

    Estes processo pode ser utilizado para obter qualquer polgono regular. Os alu-nos podem ser desaados investigar o ngulo da rotao para cada um dos polgonosregulares, relacionando-o com o nmero de lados.

    Podemos tambm fazer as construes partir de uma circunferncia, encontrandoas imagens da rotao de um ponto em torno do centro.

    Figura 15: Rodar um objecto com centro num ponto. Seleccione aferramenta em destaque na e depois faa clique no pontoa rodar e no centro da rotao. Na caixa que surge escrevao nmero de graus que o ponto deve rodar e termine comaplicar;

    Figura 16: Denir os parmetros e sentido da rotao

    Tecnologias na aprendizagem da Matemtica

  • Centro de Competncia CRIE da ESE de Setbal -11-

    4 Valor de

    1. Comece por representar uma circunferncia JFig. 9I;

    2. represente o seu dimetro

    trace uma semi-recta que passe por um ponto da circunferncia e pelo seuCentro JFig. 17I;

    Marque o segundo ponto de interseco da semi-recta com a circunfernciaJFig. 10I;

    represente o dimetro da circunferncia e esconda a semi-recta de que j noprecisa JFig. 12I;

    3. pea as medidas do permetro e do dimetro da circunferncia JFig. 13I

    4. calcule a razo entre o permetro e o dimetro da circunferncia, denindo umavarivel de nome razao JFig. 18I;

    5. a varivel razao aparece agora na janela lgebra e, como seria de esperar, o seuvalor igual a . Pode aumentar o nmero de casas decimais no menu opes.

    Figura 17: Denir uma semi-recta. Com a ferramenta em destaqueseleccionada, faa clique no ponto que dene a extremi-dade da semi-recta e depois num outro ponto por onde eladever passar

    Figura 18: Na linha de entrada escreva ra-zao=Circunferencia[c]/b. Circunferncia umdos comandos do Geogebra que nos devolve o permetrode uma circunferncia. Repare o programa completa onome do comando quando escrevemos as trs primeirasletras.

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  • Centro de Competncia CRIE da ESE de Setbal -12-

    5 Teorema de Pitgoras

    1. Esconda os eixos JFig. 1I;

    2. desenhe um tringulo rectngulo.Um processo possvel comear por denir um segmento de recta AB; JFig. 2Idepois trace uma recta perpendicular ao segmento AB que passe pelo ponto B.Para isso, depois de escolher a ferramenta em evidncia na JFig. 8I faa cliqueno ponto B e no segmento de recta AB.